结构力学
(Structure Mechanics)
2011-7-18 结构力学 2
第二章
结构的几何构造分析
(Geometric Construction Analysis of
Structure)
2011-7-18 结构力学 3
§2-1 几何构造分析的几个概念
§2-2 平面几何不变体系的组成规则
§2-3 平面杆件体系的计算自由度
----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------
目 录
(contents)
2011-7-18 结构力学 4
由若干杆件用各种结点连接而成的杆件体系,
当能承受一定范围内任意荷载时, 称为 杆件结构 。
不能承受任意荷载的体系称为 机构 。 土木等工程应
用的都是结构, 但结构的组成方式不同将影响其力
学性能和分析方法 。 因此, 分析结构受力, 变形之
前, 必须首先了解结构的组成 。
实际结构中的构件在外界因素作用下都是可
变形的, 但在小变形的情形下, 分析结构组成时,
其变形可以忽略不计, 因而所有构件均将视为刚体 。
2011-7-18 结构力学 5
§ 2-1 几何构造分析的几个概念
2-1-1 几何不变体系和几何可变体系
几何不变体系 是指在不考虑材料应变的条
件下, 体系的 相对位置 和 形状 是 不改变 的 。
几何可变体系 是指在不考虑材料应变的条
件下, 体系的 相对位置 和 形状 是 可以改变 的 。
2011-7-18 结构力学 6
几何不变体系
如图 2-1(a)
几何可变体系
如图 2-1(b)
几何不变体系和几何可变体系图 2-1
2011-7-18 结构力学 7
自由度 是指确定体系空间位置所需的独立坐
标数, 或体系运动时可以独立改变的几何参数的
数目, 自由度记作 n。
2-1-2 自由度
2011-7-18 结构力学 8
根据上述自由度定义, 图 2-2所示之平面的一
自由点 A以及一自由 平面 刚体 AB(也称刚片, 其形
状任意 )的自由度分别为 n=2,n=3,
(a) n=2
o
x1
y
A
x
y1
自由点与自由刚体的自由度图 2-2
x
?B
yAxA
y
(b) n=3
A
2011-7-18 结构力学 9
2-1-2 约束
能减少体系自由度的装置称为 约束 (有时也
称联系 ),能减少 s个自由度的装置称为 s个约束 。
常见的约束有：
2011-7-18 结构力学 9
2-1-3 约束
能减少体系自由度的装置称为 约束 (有时也
称联系 ),能减少 s个自由度的装置称为 s个约束 。
常见的约束有：
2011-7-18 结构力学 10
图 2-3
x
?
yA
xA
y
?1
o
?2A
(a) 单铰 A s=2
(b) 单铰杆 12 s=1
2
x
y
Ax
A yA
?1?2 ?31
o
单铰 仅连接两个刚
片的铰称为单铰, 如图
2-3a
链杆 仅用于将两个
刚片连接在一起的两端
铰 结的杆件称为链杆 。
图 2-3b中之 12杆即为链
杆 。
2011-7-18 结构力学 11
单刚结点 仅连
接两杆的刚结点,
图 2-3c所示之 B处即
为单刚结点 。
A
x
yA
y
xA
B
?
o
(c) 单刚结 B s=3
图 2-3
2011-7-18 结构力学 12
(d)一铰连接多根杆
S=2(n-1)
复铰 复刚结
(f)多杆刚结
S=3(n-1)
(e)一杆连接多根杆
S=2n-3
约束图 2-4
同时连接多个刚片的铰, 链杆和刚结点分别称
为复铰, 复链杆, 复刚结点 。 分别如图 2-4d,e,f
所示：
这些约束的约束数 s及相当的单铰, (单 )链杆和
单刚结点个数是多少呢？
2011-7-18 结构力学 13
2-1-4 约束分类
根据对自由度的影响, 体系中的约束可分为
两类：
? 除去约束后, 体系
的自由度将增加,
这类约束称为必要
约束, 如图 2-6a中
结构除去水平链杆
A后, 原来的结构
变为图 2-6b所示的
可动体系, 因此 A
是 必要约束 。
(a) 超静定
(b) 几何常变
A BC
图 2-6
2011-7-18 结构力学 14
? 除去约束后,
体系的自由
度不变, 这
类约束称为
多余约束 。
多余约束和必要约束图 2-5
(a) 超静定
A C B
(c) 静定
2011-7-18 结构力学 15
2-1-5 瞬变体系
某体系原为几何可变, 在发生微小住移后又成为几何
不变体系, 该体系称为 瞬变体系 。
注,若两刚片用三根链杆相交的实铰相连或用三根
平行等长的链杆相连, 则组成的是常变体系或几何
可变体系, 而不是瞬变体系 。
2011-7-18 结构力学 16
两刚片由两根链杆连接, 若每根链杆的两端均分别
连在两个刚片上, 则这两根链杆的约束作用等效于该两
根链杆交点处的一个 O铰的约束作用, 如图 (a)所示, 这
种等效约束 (即 O铰 )称为 瞬铰 (有时也称 虚铰 ） 。
(a) (b) (c)
2-1-6 瞬铰
2011-7-18 结构力学 17
在几何组成分析中, 瞬铰在无穷远时的情况
(a) 瞬变体系 (b) 瞬变体系 (c)常变体系
关于 ∞点和 ∞线的结论,
（ 1） 每个方向有一个 ∞ 点 （ 即该方向各平行线的交点 ）
（ 2） 不同方向有不同的 ∞点
（ 3） 各 ∞ 点都在同一直线上, 此直线称为 ∞ 线
（ 4） 各有限点都不在 ∞线上
2011-7-18 结构力学 18
链杆, 单铰和刚结
点从运动的可能性或从
所提供的约束力方面考
虑, 可以如图 2-4和 2-5
所示互相代替, 也即双
向箭头 (?)所表示的是
相互可以等价替换的 。
例如图 2-4相交两链杆
等价于一个实铰, 延长
线相交的两链杆等价于
一个 虚铰 等等 。
o o
等价
o 称为虚铰
铰与链杆的关系图 2-6
两根链杆所起的约束作用相当与在
链杆交点处的一个铰所起作用 。
2011-7-18 结构力学 19
刚结与链杆的关系图 2-7
2011-7-18 结构力学 20
2-1-7 体系的分类
杆件体系
几何不变体系
(形状、位置不
变 )
几何可变体系
(形状、位置可
变 )
无多余约束
(图 2-8a静定 )
有多余约束
(图 2-8e,f超静定 )
常变体系
(图 2-8b,c机构 )
瞬变体系
(图 2-8d)
2011-7-18 结构力学 21
(e) 多三个约束
杆件体系图 2-8
(a) 形状位置都不变 (b) 形状可变 (c) 位置可变
(f) 多一个约束(d) 形状可微小变化
2011-7-18 结构力学 22
土木和水利等工程结构，都必须是几何不变体系。
根据静力特征, 结构可分为静定和超静定的,
前者可由平衡方程确定全部未知约束反力和内力,
后者则不能：
结构
(几何不变 )
静定结构 (梁、刚架、拱、桁架、组合结
构 ) ? 无多余约束
超静定结构 (梁、刚架、拱、桁架、组合
结构 ) ? 有多余约束
2011-7-18 结构力学 23
不同静力特征的结构其分析计算方法是不同的。
因此，要正确分析必须首先准确无误地判断体系的
可变性以及静定和超静定性质。
2011-7-18 结构力学 24
§ 2-2 平面几何不变体系的组成规则
静定结构 — 几何特征为无多余约束几何不变。
2011-7-18 结构力学 25
规则 1 一刚片规则（ 二元体规则）
2-2-1 静定结构组成规则
一个刚片与一个
点用两根链杆相连,
且三个铰不在一直线
上, 则组成几何不变
的整体, 并且没有多
余约束 。
2011-7-18 结构力学 26
图 2-9a符合定义为
二元体, 而图 2-9b
因为不符合上述定
义条件, 因此不是
二元体 。
(a) (b)
二元体和非二元体图 2-9
在体系上用两个不共
线杆件或刚片连接一个新
结点, 这种产生新结点的
装置称为 二元体 。
2011-7-18 结构力学 27
基于二元体的定义,在任意一体系上加二元体
或减二元体都不会改变体系的可变性 。
利用加二元体规则，可在一个按上述规则构成
的静定结构基础上，通过增加二元体组成新的静定
结构，如此组成的结构称为主从结构，基础部分称
为主结构或基本部分，后增加的 二元体部分 称为 从
结构 或 附属部分 。图 2-10所示之结构均为主从结构。
2011-7-18 结构力学 28
E
A
C
B
D F
附属部分
(a)
附属部分
基本部分
(b)
附属部分
基本部分
(c)
主从结构图 2-10
2011-7-18 结构力学 29
图 2-11
规则 2 两刚片规则
两个刚片用一个
铰和一根链杆相联结,
且三个铰不在一条直
线上, 则组成几何不
变的整体, 并且无多
余约束 。
2011-7-18 结构力学 30
(a) 一铰一杆
单体 (或联合 )结构图 2-12
? 当铰由两链杆
构成时, 规则
叙述改为：两
个刚片用 三个
既不平行也不
交于一点的链
杆 相连构成静
定结构, 如图
2-12b,c所示 。
(b) 三杆情况
(c) 一虚铰一杆
需要注意的是：
2011-7-18 结构力学 31
? 若链杆通过铰, 则所组成的体系为瞬变体系,
图所示的即为瞬变体系 。
瞬变体系图 2-13
2011-7-18 结构力学 32
规则 3 三刚片规则
三个刚片用三
个铰两两相连, 且
三个铰不在一条直
线上, 则组成几何
不变的整体, 并且
无多余约束 。 图 2-14
B
2011-7-18 结构力学 33
三铰结构和体系图 2-15
(a) 三铰刚架 (b) 三铰拱
(c) 有虚铰情况 (d) 三铰重合体系
根据这一规则可构造出如图 2-15所示的各种三铰结构。
2011-7-18 结构力学 34
? 刚片的形状是可以任意转换的, 例如图 2-15a三
铰 刚架中的折杆可以换成直杆 。
? 三个铰可以是真实铰, 也可以是二链杆组成的
虚铰, 如图 2-15c所示 。
? 若三铰共线, 则为瞬变体系, 例如 图 2-15d所示
之体系 。
需要注意的是：
2011-7-18 结构力学 35
两个刚片用三个链
杆相连, 且三个链杆不
交于同一点, 则组成几
何不变的整体, 并且无
多余约束 。
规则 4 两刚片规则的 推论
2011-7-18 结构力学 36
上述四种基本组成规律也可以归结为三种基本装
配格式：
1,固定一个结点的装配格式 （ 简单装配格式 ）
2011-7-18 结构力学 37
2,固定一个刚片的装配格式 （ 联合装配格式 ）
2011-7-18 结构力学 38
3,固定两个刚片的装配格式 （ 复合装配格式 ）
B
2011-7-18 结构力学 39
2011-7-18 结构力学 40
需要指出的是, 结构力学中, 一般并不是应
用这些规则构造静定结构, 而是用以判定一个体系
是否属于几何不变, 是否具有多余约束, 或者分析
体系的组成顺序以便选取计算方法等等 。
2011-7-18 结构力学 41
2-2-2 组成分析举例
[例题 2-1] 分析图 2-16a所示体系的几何组成
加二元体 减二元体
图 2-16
(b) (c)(a)
2011-7-18 结构力学 42
解,图 2-16a所示体系可视为在图 2-16b所示静定结
构的基础上逐次增加两个杆按规则 3构成, 如
图 2-16c所示 。 也可如图按相反次序依次撤除两
杆, 使体系简化后再分析 。 两种方法分析结果
该体系都是无多余约束的几何不变体系, 可作
为静定 (构架 )结构 。
2011-7-18 结构力学 43
[例题 2-2] 试对图 2-17所示体系进行几何组成分析。
A
C
B A
C
B
D
图 2-17
E
A
C
B
D
F
E
A
C
B
D
F
2011-7-18 结构力学 44
解,首先在基础上依次增加 A-B-C和 C-D-B两个二元
体, 并将所得部分视为一刚片；再将 EF部分视
为另一刚片 。 该两刚片通过链杆 ED和 F处两根
水平链杆相联, 而这三根链杆既不全交于一点
又不全平行, 故该体系是几何不变的, 且无多
余约束 。
2011-7-18 结构力学 45
[例题 2-3] 试对图 2-18所示体系进行几何组成分析。
图 2-18
III
III
A
C
B D
2011-7-18 结构力学 46
解,将 AB,BED和基础分别作为刚片 I,II,III。
刚片 I和 II用铰 B相联；刚片 I和 III用铰 A相联；
刚片 II和 III用虚铰 C (D和 E两处支座链杆的交
点 )相联 。 因三铰在一直线上, 故该体系为瞬
变体系 。
2011-7-18 结构力学 47
2011-7-18 结构力学 48
2011-7-18 结构力学 49
2011-7-18 结构力学 50
2011-7-18 结构力学 51
2011-7-18 结构力学 52
三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
① 一个虚铰在无穷远处
几何不变体 瞬变体系
② 两个虚铰在无穷远处
几何不变体 瞬变体系
2011-7-18 结构力学 53
③ 三个虚铰在无穷远处
瞬变体系 常变体系
2011-7-18 结构力学 54
作业
2-1(a),(b)
2-2(c)
2-3(b),(c)
2-7(b)
2-9(c)
2011-7-18 结构力学 55
§ 2-3 平面杆件体系的计算自由度
复杂体系并不都按照三角形规律组成，
如何求：自由度 S？ 多余约束的个数 n?
2011-7-18 结构力学 56
W＝ (各对象自由度总和 )-(全部约束数 )
非多余约束＋多余约束数
真实自由度,S
计算自由度,W
设多余约束为,n，则 n=S-W
n ≥ 0 S≥ W故
2011-7-18 结构力学 57
说明：简单约束与复杂约束
简单铰结
相当于两个约束
复杂铰结,简单刚结
相当于三个约束
复杂刚结，
简单链杆
相当于一个约束
复杂链杆
n个链杆构成的复铰
相当于 n-1个简单铰结 。
n个刚片构成的复刚结
相当于 n-1个简单刚结 。
连结 n个点的链杆相当
于 2n-3个单链杆 。
2011-7-18 结构力学 58
算法 1：
总自由度＝ 3?m
约束总数＝ 3g+2h+b
W＝ 3m-(3g+2h+b)
体系 m个刚片
铰结 h个
刚结 g个
链杆 b个
受
约
束
没有多余约
束
2011-7-18 结构力学 59
有多余约束的刚片
一个刚片 三个自由度 (内部没有多余约束 )
加一根链杆
加一个铰结 内部产生两个多余约束
加一个刚结 内部产生三个多余约束
内部产生一个多余约束
W＝ 3m-(3g+2h+b)
2011-7-18 结构力学 60
例：求计算自由度
分析
m=1
无多余约束刚片
三个自由度
?W=3× 1-(3× 3+2× 0+4× 1)=3-13=-10
显然是几何不变体,即 S＝ 0 多余约束 n＝ S－ W＝ 10
链杆 4个 b＝ 4
铰结 h＝ 0
刚结 g＝ 3
2011-7-18 结构力学 61
算法 2：
则,W＝ 2?j-b
体系 j个结点
受构成
链杆约束
2011-7-18 结构力学 62
例：
刚片 m＝ 7
D,C为复杂铰，
各相当于两个简单铰
?简单铰 h＝ 9,链杆数
b＝ 4，刚结 =0
W=3?7-2 ?9-4 ?1=-1
分析,方法一 方法二
结点 j＝ 7
AC,CB为复链杆，
各相当于三个单链杆
?链 杆数 b= 15
W=2?7-15=-1
2011-7-18 结构力学 63
算法 3(混合算法 )：
则,W＝ (3m+2j)-(3g+2h+b)
体系
m个刚片
j个结点
2011-7-18 结构力学 64
例：
刚片 m＝ 2，结点 j＝ 2
刚结 g=0，简单铰 h＝ 1,链杆数 b＝ 9，
W=（ 3?2+2 ? 2） -（ 2 ?1+9 ?1） = -1
分析,W＝ (3m+2j)-(3g+2h+b)
2011-7-18 结构力学 65
由计算自由度 W,可进行如下定性分析：
若 W>0,则 S>0,体系是几何可变的 。
若 W=0,则 S=n,如无多余约束则为几何不变, 如
有多余约束则为几何可变的 。
若 W<0,则 n > 0,体系有多余约束 。
2011-7-18 结构力学 66
几何构造与静力特性的关系
W＝ 3m-(3g+2h+b)
简单铰结简单刚结 简单链杆平衡方程数目 未知力数目
计算自由 W = 平衡方程数目 – 未知力个数
若 W>0,则平衡方程个数 多于 未知力个数 。 （ 方程组
无解, 即不能维持平衡 ）
若 W=0,则 平衡方程个数 等于 未知力个数 。
若 W<0,则 平衡方程个数 少于 未知力个数 。
2011-7-18 结构力学 67
作业
2-12(a)
2-12(b)
2011-7-18 结构力学 68
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(Structure Mechanics)
2011-7-18 结构力学 2
第二章
结构的几何构造分析
(Geometric Construction Analysis of
Structure)
2011-7-18 结构力学 3
§2-1 几何构造分析的几个概念
§2-2 平面几何不变体系的组成规则
§2-3 平面杆件体系的计算自由度
----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------
目 录
(contents)
2011-7-18 结构力学 4
由若干杆件用各种结点连接而成的杆件体系,
当能承受一定范围内任意荷载时, 称为 杆件结构 。
不能承受任意荷载的体系称为 机构 。 土木等工程应
用的都是结构, 但结构的组成方式不同将影响其力
学性能和分析方法 。 因此, 分析结构受力, 变形之
前, 必须首先了解结构的组成 。
实际结构中的构件在外界因素作用下都是可
变形的, 但在小变形的情形下, 分析结构组成时,
其变形可以忽略不计, 因而所有构件均将视为刚体 。
2011-7-18 结构力学 5
§ 2-1 几何构造分析的几个概念
2-1-1 几何不变体系和几何可变体系
几何不变体系 是指在不考虑材料应变的条
件下, 体系的 相对位置 和 形状 是 不改变 的 。
几何可变体系 是指在不考虑材料应变的条
件下, 体系的 相对位置 和 形状 是 可以改变 的 。
2011-7-18 结构力学 6
几何不变体系
如图 2-1(a)
几何可变体系
如图 2-1(b)
几何不变体系和几何可变体系图 2-1
2011-7-18 结构力学 7
自由度 是指确定体系空间位置所需的独立坐
标数, 或体系运动时可以独立改变的几何参数的
数目, 自由度记作 n。
2-1-2 自由度
2011-7-18 结构力学 8
根据上述自由度定义, 图 2-2所示之平面的一
自由点 A以及一自由 平面 刚体 AB(也称刚片, 其形
状任意 )的自由度分别为 n=2,n=3,
(a) n=2
o
x1
y
A
x
y1
自由点与自由刚体的自由度图 2-2
x
?B
yAxA
y
(b) n=3
A
2011-7-18 结构力学 9
2-1-2 约束
能减少体系自由度的装置称为 约束 (有时也
称联系 ),能减少 s个自由度的装置称为 s个约束 。
常见的约束有：
2011-7-18 结构力学 9
2-1-3 约束
能减少体系自由度的装置称为 约束 (有时也
称联系 ),能减少 s个自由度的装置称为 s个约束 。
常见的约束有：
2011-7-18 结构力学 10
图 2-3
x
?
yA
xA
y
?1
o
?2A
(a) 单铰 A s=2
(b) 单铰杆 12 s=1
2
x
y
Ax
A yA
?1?2 ?31
o
单铰 仅连接两个刚
片的铰称为单铰, 如图
2-3a
链杆 仅用于将两个
刚片连接在一起的两端
铰 结的杆件称为链杆 。
图 2-3b中之 12杆即为链
杆 。
2011-7-18 结构力学 11
单刚结点 仅连
接两杆的刚结点,
图 2-3c所示之 B处即
为单刚结点 。
A
x
yA
y
xA
B
?
o
(c) 单刚结 B s=3
图 2-3
2011-7-18 结构力学 12
(d)一铰连接多根杆
S=2(n-1)
复铰 复刚结
(f)多杆刚结
S=3(n-1)
(e)一杆连接多根杆
S=2n-3
约束图 2-4
同时连接多个刚片的铰, 链杆和刚结点分别称
为复铰, 复链杆, 复刚结点 。 分别如图 2-4d,e,f
所示：
这些约束的约束数 s及相当的单铰, (单 )链杆和
单刚结点个数是多少呢？
2011-7-18 结构力学 13
2-1-4 约束分类
根据对自由度的影响, 体系中的约束可分为
两类：
? 除去约束后, 体系
的自由度将增加,
这类约束称为必要
约束, 如图 2-6a中
结构除去水平链杆
A后, 原来的结构
变为图 2-6b所示的
可动体系, 因此 A
是 必要约束 。
(a) 超静定
(b) 几何常变
A BC
图 2-6
2011-7-18 结构力学 14
? 除去约束后,
体系的自由
度不变, 这
类约束称为
多余约束 。
多余约束和必要约束图 2-5
(a) 超静定
A C B
(c) 静定
2011-7-18 结构力学 15
2-1-5 瞬变体系
某体系原为几何可变, 在发生微小住移后又成为几何
不变体系, 该体系称为 瞬变体系 。
注,若两刚片用三根链杆相交的实铰相连或用三根
平行等长的链杆相连, 则组成的是常变体系或几何
可变体系, 而不是瞬变体系 。
2011-7-18 结构力学 16
两刚片由两根链杆连接, 若每根链杆的两端均分别
连在两个刚片上, 则这两根链杆的约束作用等效于该两
根链杆交点处的一个 O铰的约束作用, 如图 (a)所示, 这
种等效约束 (即 O铰 )称为 瞬铰 (有时也称 虚铰 ） 。
(a) (b) (c)
2-1-6 瞬铰
2011-7-18 结构力学 17
在几何组成分析中, 瞬铰在无穷远时的情况
(a) 瞬变体系 (b) 瞬变体系 (c)常变体系
关于 ∞点和 ∞线的结论,
（ 1） 每个方向有一个 ∞ 点 （ 即该方向各平行线的交点 ）
（ 2） 不同方向有不同的 ∞点
（ 3） 各 ∞ 点都在同一直线上, 此直线称为 ∞ 线
（ 4） 各有限点都不在 ∞线上
2011-7-18 结构力学 18
链杆, 单铰和刚结
点从运动的可能性或从
所提供的约束力方面考
虑, 可以如图 2-4和 2-5
所示互相代替, 也即双
向箭头 (?)所表示的是
相互可以等价替换的 。
例如图 2-4相交两链杆
等价于一个实铰, 延长
线相交的两链杆等价于
一个 虚铰 等等 。
o o
等价
o 称为虚铰
铰与链杆的关系图 2-6
两根链杆所起的约束作用相当与在
链杆交点处的一个铰所起作用 。
2011-7-18 结构力学 19
刚结与链杆的关系图 2-7
2011-7-18 结构力学 20
2-1-7 体系的分类
杆件体系
几何不变体系
(形状、位置不
变 )
几何可变体系
(形状、位置可
变 )
无多余约束
(图 2-8a静定 )
有多余约束
(图 2-8e,f超静定 )
常变体系
(图 2-8b,c机构 )
瞬变体系
(图 2-8d)
2011-7-18 结构力学 21
(e) 多三个约束
杆件体系图 2-8
(a) 形状位置都不变 (b) 形状可变 (c) 位置可变
(f) 多一个约束(d) 形状可微小变化
2011-7-18 结构力学 22
土木和水利等工程结构，都必须是几何不变体系。
根据静力特征, 结构可分为静定和超静定的,
前者可由平衡方程确定全部未知约束反力和内力,
后者则不能：
结构
(几何不变 )
静定结构 (梁、刚架、拱、桁架、组合结
构 ) ? 无多余约束
超静定结构 (梁、刚架、拱、桁架、组合
结构 ) ? 有多余约束
2011-7-18 结构力学 23
不同静力特征的结构其分析计算方法是不同的。
因此，要正确分析必须首先准确无误地判断体系的
可变性以及静定和超静定性质。
2011-7-18 结构力学 24
§ 2-2 平面几何不变体系的组成规则
静定结构 — 几何特征为无多余约束几何不变。
2011-7-18 结构力学 25
规则 1 一刚片规则（ 二元体规则）
2-2-1 静定结构组成规则
一个刚片与一个
点用两根链杆相连,
且三个铰不在一直线
上, 则组成几何不变
的整体, 并且没有多
余约束 。
2011-7-18 结构力学 26
图 2-9a符合定义为
二元体, 而图 2-9b
因为不符合上述定
义条件, 因此不是
二元体 。
(a) (b)
二元体和非二元体图 2-9
在体系上用两个不共
线杆件或刚片连接一个新
结点, 这种产生新结点的
装置称为 二元体 。
2011-7-18 结构力学 27
基于二元体的定义,在任意一体系上加二元体
或减二元体都不会改变体系的可变性 。
利用加二元体规则，可在一个按上述规则构成
的静定结构基础上，通过增加二元体组成新的静定
结构，如此组成的结构称为主从结构，基础部分称
为主结构或基本部分，后增加的 二元体部分 称为 从
结构 或 附属部分 。图 2-10所示之结构均为主从结构。
2011-7-18 结构力学 28
E
A
C
B
D F
附属部分
(a)
附属部分
基本部分
(b)
附属部分
基本部分
(c)
主从结构图 2-10
2011-7-18 结构力学 29
图 2-11
规则 2 两刚片规则
两个刚片用一个
铰和一根链杆相联结,
且三个铰不在一条直
线上, 则组成几何不
变的整体, 并且无多
余约束 。
2011-7-18 结构力学 30
(a) 一铰一杆
单体 (或联合 )结构图 2-12
? 当铰由两链杆
构成时, 规则
叙述改为：两
个刚片用 三个
既不平行也不
交于一点的链
杆 相连构成静
定结构, 如图
2-12b,c所示 。
(b) 三杆情况
(c) 一虚铰一杆
需要注意的是：
2011-7-18 结构力学 31
? 若链杆通过铰, 则所组成的体系为瞬变体系,
图所示的即为瞬变体系 。
瞬变体系图 2-13
2011-7-18 结构力学 32
规则 3 三刚片规则
三个刚片用三
个铰两两相连, 且
三个铰不在一条直
线上, 则组成几何
不变的整体, 并且
无多余约束 。 图 2-14
B
2011-7-18 结构力学 33
三铰结构和体系图 2-15
(a) 三铰刚架 (b) 三铰拱
(c) 有虚铰情况 (d) 三铰重合体系
根据这一规则可构造出如图 2-15所示的各种三铰结构。
2011-7-18 结构力学 34
? 刚片的形状是可以任意转换的, 例如图 2-15a三
铰 刚架中的折杆可以换成直杆 。
? 三个铰可以是真实铰, 也可以是二链杆组成的
虚铰, 如图 2-15c所示 。
? 若三铰共线, 则为瞬变体系, 例如 图 2-15d所示
之体系 。
需要注意的是：
2011-7-18 结构力学 35
两个刚片用三个链
杆相连, 且三个链杆不
交于同一点, 则组成几
何不变的整体, 并且无
多余约束 。
规则 4 两刚片规则的 推论
2011-7-18 结构力学 36
上述四种基本组成规律也可以归结为三种基本装
配格式：
1,固定一个结点的装配格式 （ 简单装配格式 ）
2011-7-18 结构力学 37
2,固定一个刚片的装配格式 （ 联合装配格式 ）
2011-7-18 结构力学 38
3,固定两个刚片的装配格式 （ 复合装配格式 ）
B
2011-7-18 结构力学 39
2011-7-18 结构力学 40
需要指出的是, 结构力学中, 一般并不是应
用这些规则构造静定结构, 而是用以判定一个体系
是否属于几何不变, 是否具有多余约束, 或者分析
体系的组成顺序以便选取计算方法等等 。
2011-7-18 结构力学 41
2-2-2 组成分析举例
[例题 2-1] 分析图 2-16a所示体系的几何组成
加二元体 减二元体
图 2-16
(b) (c)(a)
2011-7-18 结构力学 42
解,图 2-16a所示体系可视为在图 2-16b所示静定结
构的基础上逐次增加两个杆按规则 3构成, 如
图 2-16c所示 。 也可如图按相反次序依次撤除两
杆, 使体系简化后再分析 。 两种方法分析结果
该体系都是无多余约束的几何不变体系, 可作
为静定 (构架 )结构 。
2011-7-18 结构力学 43
[例题 2-2] 试对图 2-17所示体系进行几何组成分析。
A
C
B A
C
B
D
图 2-17
E
A
C
B
D
F
E
A
C
B
D
F
2011-7-18 结构力学 44
解,首先在基础上依次增加 A-B-C和 C-D-B两个二元
体, 并将所得部分视为一刚片；再将 EF部分视
为另一刚片 。 该两刚片通过链杆 ED和 F处两根
水平链杆相联, 而这三根链杆既不全交于一点
又不全平行, 故该体系是几何不变的, 且无多
余约束 。
2011-7-18 结构力学 45
[例题 2-3] 试对图 2-18所示体系进行几何组成分析。
图 2-18
III
III
A
C
B D
2011-7-18 结构力学 46
解,将 AB,BED和基础分别作为刚片 I,II,III。
刚片 I和 II用铰 B相联；刚片 I和 III用铰 A相联；
刚片 II和 III用虚铰 C (D和 E两处支座链杆的交
点 )相联 。 因三铰在一直线上, 故该体系为瞬
变体系 。
2011-7-18 结构力学 47
2011-7-18 结构力学 48
2011-7-18 结构力学 49
2011-7-18 结构力学 50
2011-7-18 结构力学 51
2011-7-18 结构力学 52
三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
① 一个虚铰在无穷远处
几何不变体 瞬变体系
② 两个虚铰在无穷远处
几何不变体 瞬变体系
2011-7-18 结构力学 53
③ 三个虚铰在无穷远处
瞬变体系 常变体系
2011-7-18 结构力学 54
作业
2-1(a),(b)
2-2(c)
2-3(b),(c)
2-7(b)
2-9(c)
2011-7-18 结构力学 55
§ 2-3 平面杆件体系的计算自由度
复杂体系并不都按照三角形规律组成，
如何求：自由度 S？ 多余约束的个数 n?
2011-7-18 结构力学 56
W＝ (各对象自由度总和 )-(全部约束数 )
非多余约束＋多余约束数
真实自由度,S
计算自由度,W
设多余约束为,n，则 n=S-W
n ≥ 0 S≥ W故
2011-7-18 结构力学 57
说明：简单约束与复杂约束
简单铰结
相当于两个约束
复杂铰结,简单刚结
相当于三个约束
复杂刚结，
简单链杆
相当于一个约束
复杂链杆
n个链杆构成的复铰
相当于 n-1个简单铰结 。
n个刚片构成的复刚结
相当于 n-1个简单刚结 。
连结 n个点的链杆相当
于 2n-3个单链杆 。
2011-7-18 结构力学 58
算法 1：
总自由度＝ 3?m
约束总数＝ 3g+2h+b
W＝ 3m-(3g+2h+b)
体系 m个刚片
铰结 h个
刚结 g个
链杆 b个
受
约
束
没有多余约
束
2011-7-18 结构力学 59
有多余约束的刚片
一个刚片 三个自由度 (内部没有多余约束 )
加一根链杆
加一个铰结 内部产生两个多余约束
加一个刚结 内部产生三个多余约束
内部产生一个多余约束
W＝ 3m-(3g+2h+b)
2011-7-18 结构力学 60
例：求计算自由度
分析
m=1
无多余约束刚片
三个自由度
?W=3× 1-(3× 3+2× 0+4× 1)=3-13=-10
显然是几何不变体,即 S＝ 0 多余约束 n＝ S－ W＝ 10
链杆 4个 b＝ 4
铰结 h＝ 0
刚结 g＝ 3
2011-7-18 结构力学 61
算法 2：
则,W＝ 2?j-b
体系 j个结点
受构成
链杆约束
2011-7-18 结构力学 62
例：
刚片 m＝ 7
D,C为复杂铰，
各相当于两个简单铰
?简单铰 h＝ 9,链杆数
b＝ 4，刚结 =0
W=3?7-2 ?9-4 ?1=-1
分析,方法一 方法二
结点 j＝ 7
AC,CB为复链杆，
各相当于三个单链杆
?链 杆数 b= 15
W=2?7-15=-1
2011-7-18 结构力学 63
算法 3(混合算法 )：
则,W＝ (3m+2j)-(3g+2h+b)
体系
m个刚片
j个结点
2011-7-18 结构力学 64
例：
刚片 m＝ 2，结点 j＝ 2
刚结 g=0，简单铰 h＝ 1,链杆数 b＝ 9，
W=（ 3?2+2 ? 2） -（ 2 ?1+9 ?1） = -1
分析,W＝ (3m+2j)-(3g+2h+b)
2011-7-18 结构力学 65
由计算自由度 W,可进行如下定性分析：
若 W>0,则 S>0,体系是几何可变的 。
若 W=0,则 S=n,如无多余约束则为几何不变, 如
有多余约束则为几何可变的 。
若 W<0,则 n > 0,体系有多余约束 。
2011-7-18 结构力学 66
几何构造与静力特性的关系
W＝ 3m-(3g+2h+b)
简单铰结简单刚结 简单链杆平衡方程数目 未知力数目
计算自由 W = 平衡方程数目 – 未知力个数
若 W>0,则平衡方程个数 多于 未知力个数 。 （ 方程组
无解, 即不能维持平衡 ）
若 W=0,则 平衡方程个数 等于 未知力个数 。
若 W<0,则 平衡方程个数 少于 未知力个数 。
2011-7-18 结构力学 67
作业
2-12(a)
2-12(b)
2011-7-18 结构力学 68
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