结构力学
(Structure Mechanics)
2011-7-18 结构力学 2
第三章
静定结构的受力分析
(Forces Analysis of Statically
Determinate Structure)
2011-7-18 结构力学 3
目 录
(contents)
§ 3-1 梁的内力计算的回顾
§ 3-2 多跨静定梁
§ 3-3 静定平面刚架
§ 3-4 静定平面桁架
§ 3-5 组合结构
§ 3-6 三铰拱
----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------
2011-7-18 结构力学 4
静定结构的内力分析, 主要是确定各类结构
由荷载所引起的内力和相应的内力图 。 本章将在
理论力学的受力分析和材料力学的内力分析的基
础上, 分析静定结构的内力 。 主要是应用 结点法,
截面法 和 内力与荷载间的平衡微分关系 来确定各
种静定结构的内力和内力图 。
2011-7-18 结构力学 5
符号说明
y
x
Q
N
FV
FH
FQ
FN
MM
?
?
?
?
?
? 新旧
弯矩
剪力
竖直力
轴力
水平力
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§ 3 -1 梁的内力计算的回顾
3-1-1 材料力学内容回顾
材料力学中关于杆件内力分析的要点有：
2011-7-18 结构力学 7
? 内力符号规定,轴力 N,拉
为正, 压为负；剪力 Q使
截开部分产生顺时针旋转
者为正, 反之为负；梁的
弯矩 M使杆件产生上凹者
为正, 反之为负 。
? 求内力的方法 — 截面法,用假想截面将杆截开,
以截开后受力简单部分为平衡对象, 由平衡条
件求得内力 。
2011-7-18 结构力学 8
? 直杆平衡方程 (也称为微分关系 )：
qx,qy分别为轴向和横向分布荷载集度,在右手坐
标系中其指向与坐标正向相同者为正,M(x)为作用在
荷载平面内的分布力偶矩集度,逆时针方向为正 。
dd xqxN ?? QxM ?dd
d
d
yqx
Q ?
2011-7-18 结构力学 9
? 内力图绘制方法,利用截面法确定控制截面上
的内力, 应用微分关系确定控制截面之间内力
的图形 。
? 叠加法的应用,小变形情况下, 复杂荷载引起
的内力, 可由简单荷载引起的内力叠加确定 。
2011-7-18 结构力学 10
3-1-2 结构力学与材料力学规定的异同
① 轴力和剪力的符号规定同材料力学, 轴力 N拉
为正, 剪力 Q使截面顺时针转动为正 。
② 弯矩 M的正负号规定也于材料力学一致, 但注
意 杆端弯矩 的概念 。
2011-7-18 结构力学 11
③ 结构力学中规定 AB杆 A端的杆端弯矩记作 MAB,B
端的杆端弯矩记作 MBA。 习惯上规定杆端弯矩顺时
针为正, 反之为负 。 杆端轴力和杆端剪力的标记
方法和杆端弯矩相同, 如图所示 。 例如 A端的杆端
轴力和杆端剪力分别记为 NAB和 QAB。
(a) 直杆段受力示意
ABN
1q
ABQ
M
A B
2q
p ( x )
pF
BAQ
BAN
BAM
ABM
2011-7-18 结构力学 12
④ 结构力学弯矩图必须画在杆件纤维受拉的一侧,
弯矩图上不标正负号 。
2011-7-18 结构力学 13
3-1-3 用 截面法 计算杆件指定截面的内力
利用平衡方程求三个内力分量
计算法则,（取隔离体将内力暴露）
① 轴力：以拉力为正、压力为负。
② 剪力：以使截面所在的隔离体有顺时针
转动趋势为正，反之为负。
③ 弯矩：弯矩使杆件下部受拉为正、反之
为负。
2011-7-18 结构力学 14
3-1-4 载荷与内力之间的关系
<1> 微分关系
由 0 ( ) 0
xX N N d N q d x? ? ? ? ? ? ??
x
dN q
dx? ? ?
由 0 ( ) 0
yY Q Q d Q q d x? ? ? ? ? ??
y
dQ q
dx? ? ?
2
20,( ) 0,2yy
d x d M d MM M M d M Q d x q d x q Q
d x d x? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
载荷连续分布的直杆，取 dx微段
以右边截面形心为力矩中心
xq
2011-7-18 结构力学 15
<2> 增量关系 （集中载荷作用处，取微段）
MM??
NN??
QQ??
由平衡关系：
0X ??
0Y ??
0M ??
xNP? ??
yQP? ??
Mm??
2011-7-18 结构力学 16
<3> 积分关系
B
A
x
B A x
x
N N q d x?? ?
B
A
x
B A y
x
Q Q q d x?? ?
B
A
x
BA
x
M M Q dx?? ?
yq
xq
2011-7-18 结构力学 17
图 3-1a表示结构中任意一直线区段, 用截面
法求得区段两端横截面上的内力如图示 。
图 3-1(a) 直杆段受力示意
ABN
1q
ABQ
M
A B
2q
p(x)
pF
BAQ
BAN
BAM
ABM
3-1-5 分段叠加法作弯矩图
2011-7-18 结构力学 18
图 3-1b 为
和图 3-1a 对应
的简支梁, 受
相同荷载, 杆
端弯矩和右端
轴力作用 。
(b) 区段叠加示意
2q
1q M
A
B
p(x)
pF
BAN
BAM
ABM
图 3-1
(a) 直杆段受力示意
ABN
1q
ABQ
M
A B
2q
p(x)
pF
BAQ
BAN
BAM
ABM
杆端 AB弯矩图
可用与之对应
的简支梁用叠
加法作出 。
2011-7-18 结构力学 19
用叠加法绘弯矩图时
1,先绘出控制截面的弯矩竖标, 其间若
无外荷载作用, 可用直线相连；
2,若有外荷载作用, 则以上述直线为基
线, 再叠加上荷载在相应简支梁上的
弯矩图 。
2011-7-18 结构力学 20
图 3-2 简支梁在常见荷载作用下的弯矩图
2011-7-18 结构力学 21
例题, 试绘制图示外伸梁的内力图。
解,
（一）求支座反力,
?
?
?
?
?
?
0
0
0
A
B
M
M
X
)(3 1 0
)(1 3 0
0
??
??
?
KNV
KNV
H
B
A
A
校核,? ??????? 0640401 6 03 1 01 3 0Y
（二）绘内力图,
?
?
?
?
?
?
0
0
0
C
C
M
M
X
MKNM
KNQ
N
C
C
C
.130
130
0
?
??
?
HA=0
VA=130KN VB=310KN
H A =0
V A=130KN
2011-7-18 结构力学 22
3-1-6 静定结构的内力分析方法
基本原则,循着结构组成的相反顺序, 逐步应用
平衡方程 。
例如,如图 3-3所示结构，可按 EC?AB顺序逐步应用
平衡方程。
图 3-3
A C
B
D E F
3m 3m 1.5m 1m 2m
10kN/m15kN·m 20kN
2011-7-18 结构力学 23
FP/2
FP
FP
FP
FP
FP
FP/2
G
A B
C
D
E F
1 2 3 4 5
(a) 按组成的相反顺序求解
?表示已知
图 3-4
FPFNFE
FNF3
FNF4
FNFG?
?
(b) 取结点隔离体
F
FP
B
FPFNFE
FNF3
?
?
?
3FPFN43
(c) 截面法取隔离体
FP/2
2011-7-18 结构力学 24
3-1-7 受弯结构作内力图的顺序
材料力学中, 一般是先作剪力图, 再作弯矩
图 。 而在结构力学中, 对梁和刚架等受弯结构作
内力图的顺序为：
1) 一般先求反力 (不一定是全部反力 )。
2) 利用截面法求控制截面弯矩 。 以便将结构用控
制截面拆成为杆段 (单元 )。
3) 在结构图上利用区段叠加法作每一单元的弯矩
图, 从而得到结构的弯矩图 。
2011-7-18 结构力学 25
4) 以单元为对象, 对杆端取矩可以求得杆端剪力,
在结构图上利用微分关系作每单元的剪力图, 从
而得到结构剪力图, 需要指出的是, 剪力图可画
在杆轴的任意一侧, 但必须标注正负号 。
5) 以未知数个数不超过两个为原则, 取结点由平衡
求单元杆端轴力, 在结构图上利用微分关系作每
单元的轴力图, 作法和剪力图一样, 从而得到结
构轴力图 。
综上所述, 结构力学作内力图顺序为“先区段叠
加作 M图，再由 M图作 Q图，最后由 Q图作 N图”。
上述作图顺序可用图 3-5示意。
2011-7-18 结构力学 26
(d) 杆段平衡求剪力
40kN·m ?X=010kN
10kN
40kN·m
?Y=0
1.67kN 28.3kN
10kN/m
3m
4m
10kN
10kN/m
B
A
C
?X=0
10kN
?Y=0
1.67kN
?MA=0
28.3kN
(a) 整体平衡求反力
?MB=0
10kN
?MB=0 40kN·m
40kN·m
40kN·m
(b) 截面法求控制弯矩
40kN·m
A
C
40kN·m
(c) 作弯矩图
图 3-5 受弯结构作内力步骤示意
1.67kN
A
C
(f) 结点平衡求并作轴力图
10kN
10kN 1.67kN
投影
求轴
力
(e) 作剪力图
10kN1.67kN
A
C
28.3kN
2011-7-18 结构力学 27
§ 3-2 多跨静定梁
由一些可能的基本部件按静定结构组成规则组
合而成, 杆件共线的受弯结构, 称为 多跨静定梁 。
能独立 (不需要其他部件支撑 )承担荷载的部件称为
基本部分 。 否则, 需要其他部件的支撑才能承担荷
载的, 称为 附属部分 。 用部件组成多跨静定梁的可
能形式很多, 图 3-6只给出其中几种形式 。
2011-7-18 结构力学 28
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
图 3-6 组成多跨静定梁的可能部件示意
2011-7-18 结构力学 29
图 3-6 几种可能的多跨静定梁构造示意
(a) 仅一个基本部分 (b) 竖 向荷载下二个基本部分
(c) 中间一个基本部分 (d) 竖向荷载下二个基本部分
2011-7-18 结构力学 30
从多跨静定梁的组成可知, 其部件都是单跨梁,
因此, 只要注意部件间的相互作用和反用作用关系,
根据各单跨梁所受荷载和单跨梁作内力图的知识,
按组成相反顺序：, 先附属部分, 后基本部分, 。
先求支座反力和支座截面控制弯矩, 然后用平衡微
分关系即可作出多跨静定梁的内力图 。
2011-7-18 结构力学 31
40kN
10kN
10kN
51 2 3 4 6
(d) 由控制剪力作剪力图
20kNmm 1025 ??
51 2 3 4 6
10kN/m 10kN
(a) 结构及所受荷载
60kN·m抛物线
20kN·m
20kN·m直线
51 2 3 4 6直线
(c) 由控制弯矩和微分关系作
弯矩图
图 3-7 多跨静定梁求解过程及弯矩、剪力图
10kN·m
40kN 10kN
(b) ―先附属、后基本”求反力
10kN/m 10kN
1 2 3 4 65
2011-7-18 结构力学 32
例：
先作出层次图
2011-7-18 结构力学 33
1,计算附属部分 CD
0Y ??Q
1 2 0 6 0C D C DV V k N V V k N? ? ? ? ? ?
2011-7-18 结构力学 34
2,计算基础部分 AC
6 0 3 2 0 0ABVV? ? ? ? 380ABVV??
利用基础部分 AC梁的平衡条件
320 4 120 145
8AV
???? 3 8 0 1 4 5 2 3 5
BV ? ? ?
0Y ??Q 80A B CV V V q? ? ? ? ?
即有：
0M ?? 8 2 3 2 0 4 0ACVV? ? ? ? ? ?
即：
2011-7-18 结构力学 35
3,作内力图
M图，
峰值＝
22113,6 3 2 4 2 6 3,5
88lq ? ? ? ? ?（）
120kNm 180kNm
Q图，
3.63m
145kN
175kN
60kN
60kN
145 3,6 3
1 7 5 8
x x
x? ? ??
2011-7-18 结构力学 36
作业
3-1 (b),(d)
3-5 (a)
3-6
2011-7-18 结构力学 37
§ 3-3 静定平面刚架
静定刚架 刚架也称框架, 是工程中最常见的结
构形式之一, 一般都是超静定的 。 但也有如图 3-8a所
示的小型厂房框架是静定的其计算简图如 3-8b所示 。
2011-7-18 结构力学 38
(a) 江苏泰兴某厂房三铰刚架
图 3-8 厂房及计算简图
(b) 计算简图
2011-7-18 结构力学 39
静定刚架 按组成方式有“单体刚架”、
“三铰刚架”和具有“基本 -附属关系”的刚架，
分 别 如 图 3-9所示
图 3-9 静定刚架示意
(a) 两刚片
单体刚架
(b) 三刚片
三铰刚架
(c) 有基本、附属
关系的刚架
基本
部分
附属
部分
2011-7-18 结构力学 40
3-3-1 单体刚架
1) 单体刚架的分析计算过
程和多跨静定梁类似 。
图 3-10(a) 单体刚架
2m
A
2
1
3 45?
kN220
2011-7-18 结构力学 41
2) 取 2-3作为平衡对象, 对 2点取矩可得杆端弯矩
为 M23= –40kN.m。
(b) 求控制弯矩
?M2=0 45?2
结点力
矩平衡 0kN·m
1
3
外荷合
力通过 A
kN220
2011-7-18 结构力学 42
3)取结点 2为平衡对象, 可得杆端弯矩 M21= –40kN·m
4) 因为悬臂部分荷
载, 合力, 作用
线通过 A点, 因
此 A点的弯矩为
零 。 有了上述控
制截面弯矩, 利
用平衡微分关系
根据杆上荷载即
可作出弯矩图 。
?M2=0 45?2
结点力
矩平衡 0kN·m
1
3
外荷合
力通过 A
kN220
A
2011-7-18 结构力学 43
(c) 作弯矩图
40kN.m
直线
40kN.m
20kN
20kN
20kN
20kN 20kN
(d) 杆端力矩平衡作剪力图
(e) 结点平衡作轴力图
20kN
图 3-10 静定刚架求解过程示意
2011-7-18 结构力学 44
3-3-2 三铰刚架
三铰刚架是由两个单体刚架用三个铰组成的静
定结构 。 因为杆轴都是直线, 因此分析过程比较简
单 。 关键在求反力：首先以整体为平衡对象, 对底
铰取矩；以部分为平衡对象时, 对顶铰取矩, 即可
解决反力计算 。
图 3-11给出了三铰刚架分析过程示例 。
2011-7-18 结构力学 45
(b) 求按制弯矩
?M2=0
1 2
A B
40kN?mC
40kN?m
(5)B2杆
?M=0
(6) 2点
(7) 同理
(4)?X=0
13.3kN 0
1 2
A B
(2)?MB=0
40kN?mC
3m 3m
(3)?MC=0
13.3kN0
(1)?MA=0
(a) 结构、荷载、反力
B
40
A
40
单位 kN?m
(c) 作弯矩图
2011-7-18 结构力学 46
13.33
B
00
(9)
13.33单位 kN
13.33
A
(e) 作轴力图
图 3-11 三铰刚架分析过程示例
(d) 作剪力图
13.33
13.33
A B
00
(8)
13.33单位 kN
2011-7-18 结构力学 47
例：
静定平面刚架
计算内力，并画出 内力图
<1> 取整体为隔离体，
由平衡条件：
0 3 0 0 3 0 ( )BBX k N H H k N? ? ? ? ??
0 6 3 0 4 2 0 6 3 0 4 0 ( )B A AM V V k N? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
0 6 3 0 4 2 0 6 3 0 8 0 ( )A B BM V V k N? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
利用 0Y ?? 校核
P=30KN
2011-7-18 结构力学 48
<2> 作弯矩图：
00A C C AMM??
AD杆,AC段无载荷区，
CD段无均布载荷；
0 3 0 2 6 0 /C D D CM M k N m? ? ? ?(左侧受拉 )
2011-7-18 结构力学 49
3 0 2 6 0D E D CM M k N m? ? ? ?
DE杆,DE段受均布载荷，
产生弯矩，为二次抛物线。
且 (上边受拉 )
3 0 6 1 8 0E D E BM M k N m? ? ? ?(上边受拉 )
峰值＝ 2211 20 6 90
88ql ? ? ? ?
叠加：与二次抛物线叠加
BE杆,AC段无载荷作用,B端一约束力，弯矩为一
直线。
2011-7-18 结构力学 50
<3> 剪力图：根据已知反力或约束力求出杆端的剪力。
AD杆,AC段的剪力为零CD段 剪力为平行于杆轴的直线。
DE杆：
顺时针转动
逆时针转动
40D E AQ V k N??
80E D BQ V k N? ? ? ?
EB杆,顺时针转动逆时针转动30E B BQ H k N??
30B E BQ H k N??
2011-7-18 结构力学 51
<4> 轴力图：
AD杆,4 0 ( ) 4 0 ( )
A D A D AN V k N N k N? ? ? ? ?
DE杆,3 0 ( ) 3 0 ( )
D E E D AN k N N k N? ? ? ?
EB杆,8 0 ( ) 8 0 ( )B E B E BN V k N N k N? ? ? ? ?
2011-7-18 结构力学 52
<5> 内力校核：
截刚架任一部分为隔离体，看是否满足静力平衡条件。
2011-7-18 结构力学 53
例：求如图所示刚架内力。
<1>求解支座力
8 0 ( )AV k N??
0 8 2 0 8 4 0BAMV? ? ? ? ? ??
0 8 2 0 8 4 0ABMV? ? ? ? ? ??
8 0 ( )BV k N??
2011-7-18 结构力学 54
00 A B A BX H H H H? ? ? ??
0CM ?因为 可取 C左侧或右侧
为隔离体。
4 8 2 0 4 2 0AAVH? ? ? ? ? ? ?
2 0 ( )BH k N??
2 0 ( )AH k N??
2011-7-18 结构力学 55
<2> 作弯矩图 (分段作 )：
0 2 0 6 1 2 0A D D AM M k N m? ? ? ?AD杆,(左侧受拉 )
叠加得：
DC杆的中点弯矩
2111 2 0 2 0 4 2 0
28 k Nm? ? ? ? ? ? ?
(上边受拉 )
峰值
2 0 6 1 2 0DCM k N m? ? ? ? ?(上边受拉 )
DC杆,DC受均布载荷作用，弯矩为一 二次抛物线。
峰值 ＝？
ABN
ABQ
M
A B
BAQ
BAN
BAM
ABM
2011-7-18 结构力学 56
<3> 剪力图和轴力图
AD杆：剪力 2 0 2 0
A D D AQ k N Q k N? ? ? ?
轴力 80A D D AN N k N? ? ?
（逆时针）
（压力）
2011-7-18 结构力学 57
20 8 0 c o s 2 0 s i n 0 c o s 0, 8 9 4
5DCtQ ? ? ?? ? ? ? ? ??
18 0 c o s 2 0 s in s in 0, 4 4 7
5DCQ ? ? ?? ? ? ?
218 0 2 0 6 2,6
55 kN? ? ?
D端：
0 8 0 s 2 0 s i n 0DCn N i n ??? ? ? ??
8 0 s i n 2 0 c o sDCN ??? ? ?
128 0 2 0 5 3, 6
55 kN? ? ? ?
2011-7-18 结构力学 58
0 6 2, 6 8 0 c o s 0CDtQ ?? ? ? ??
26 2, 6 8 0 8, 9
5CDQ k N? ? ? ?
0 5 3, 6 8 0 s 0CDn N i n ?? ? ? ??
1 7,8CDN k N??
C端：
作业：
2011-7-18 结构力学 59
§ 3-4 静定平面桁架
桁架结构 直杆铰接体系且只受结点荷载作用,
其受力特性是结构内力只有轴力, 而
没有弯矩和剪力 。
2011-7-18 结构力学 60
实际复杂问题的简化和假定
2011-7-18 结构力学 61
1,桁架的结点为光滑的铰结点 。 实际问题往往轴线
不绝对交于一点, 产生一定的弯矩 （ 次内力, 次
应力 ） 。
2,各杆的轴线均为直线且通过铰心 。
3,载荷和支座反力都作用在结点上 。 理想桁架 各杆
只受轴力, 截面上应力分布均匀, (主应力 )主内
力
3-4-1 桁架的特点
2011-7-18 结构力学 62
桁架结构可有多种分类：
1,简化后简图中各杆件轴线处于同一平面后称为
平面桁架,否则为 空间桁架 。
2,根据结构组成规则，若属先组成三角形，然后由
加二元体组成桁架时，则称 简单桁架 。如图 3-12a
图 (a)简单桁架
由 n个简单桁架按二,
三刚片组成规则构造
的静定结构, 称 联合
桁架, 如图所示 。
2011-7-18 结构力学 63
图 (b) 联合桁架
除这两类以外的其它
桁架，称为 复杂桁架,
如图 c所示。
图 (c)复杂桁架
图 3-12
桁架组成分类
2011-7-18 结构力学 64
3,按不同特征分类：
a) 平行弦桁架
b) 折弦桁梁
c) 三角形桁架
d) 梯形桁架
2011-7-18 结构力学 65
4,按竖向载荷引起的支座反力分类：
a) 无推力桁架
b) 有推力桁架
2011-7-18 结构力学 66
以桁架的结点作为平衡对象时, 结点承受汇交
力系作用 。 因此, 如果对简单桁架遵循按, 组成相
反顺序, 的求解基本原则, 逐次建立各结点的平衡
方程, 则桁架各点未知内力数目一定不超过独立平
衡方程数 。 据此, 可求得桁架各杆内力 。 这种方法
称为结点法 。
3-4-2 结点法, 截面法及其联合应用
1,结点法
2011-7-18 结构力学 67
[例 ] 如图所示为一施工托架的计算简图 。 在所示荷载
作用下求各杆的轴力 。
解,（ 1） 求支座反力
)(19)648(21 ?????? kNYY BA
（ 2） 结点 A,如图 b
? ?0Y 0819 ??? ADY
kNY AD 335.0 5.111 ???
利用比例关系式, 得
拉力）(8.345.0 58.111 kNN AD ???
得，由,00? ??? ADAC XNX
3 3 (ACN k N?? 压 力 ）
kNY AD 11?
2011-7-18 结构力学 68
(c)
（ 3） 结点 C,如图 C所示 。
（ 4） 结点 D,如图 d所示 。
再利用比例关系式, 得
0,3 3 0CEXN? ? ??
得 33CEN k N?? （ 压 力 ）
0 8 0CDYN? ? ? ??,
得 8(CDN k N?? 压 力 ）
0 1 1 8 0DEYY? ? ? ??,
得 3
DEY kN??
0,93 5,40,5
DEN k N? ? ? ? ? （ 压 力 ）
0.753 4.50.5
DEX k N? ? ? ? ?
0,3 3 0D F D EX N X? ? ? ??
得 3 3 4, 5 3 7, 5 (DFN k N? ? ? 压 力 ）
2011-7-18 结构力学 69
零杆判别
零杆 内力为零的杆件。
(a) 二杆结点无荷载 (b) 有三杆结点无荷载 (c) 单杆为零杆
表示无荷载
图 3-13 一些零杆情况
计算桁架时，可先进行零杆判别，而使计算过程简化。
表示为零杆
2011-7-18 结构力学 70
结点单杆的概念
如果在同一结点的所有内力为未知的各杆中, 除某一
杆外, 其余各杆都共线, 则该杆称为此 结点的单杆 。
结点单杆的一些性质：
1,结点单杆的内力, 可由该结点的平衡条件直接求出 。
而非结点单杆的内力则不能由该结点的平衡条件直
接求出 。
2,当结点无荷载作用时, 单杆的内力必为零 。 或者此
无载结点的单杆必为零杆 。
2011-7-18 结构力学 71
2,截面法
截面法,是用截面切断拟求内力的杆件, 从桁架中
截出一部分作为隔离体 （ 隔离体包含两个以上的结点,
所作用的力系为平面一般力系 ）, 利用平面一般力系
的三个平衡方程, 计算所切各杆中的未知轴力 。
注意,为了避免解联立方程, 应注意对平衡方程加
以选择 。
2011-7-18 结构力学 72
[例 ] 试求图 示 桁架指定杆 1,2,3的内 力 。
AH
AV BV
解,先求支反力得
作截面 I-I，切断三根联系秆，
取左部为隔离体，由 ∑y=0得
由 ∑MA=0得
0A A BH V P V P? ? ? ? ?,（ ）,（ ）
1 0N ?
30
3
DC
DC
dN Pd
PN
??
??
取结点 C，由 ∑X=0得
2
2
3NP?
2011-7-18 结构力学 73
作截面 Ⅱ -Ⅱ, 取下部为隔离体 (b)，
将 N3在 B点处分解 。 由 ∑MA=0得
3
3
3 2 0
2
3
y
y
N d P d
NP
? ? ? ?
??
亦
3
3
55
23
yNNP? ? ? ?
2011-7-18 结构力学 74
截面单杆的概念
如果某个截面所截的内力为未知的各杆中, 除其一杆
外其余各杆都交于一点 (或彼此平行 —交点在无穷远
处 ),则此杆称为该 截面的单杆 。
A B A B
截面单杆具有如下性质,截面单杆的内力可从本截面
相应的隔离体的平衡条件直接求出 。
2011-7-18 结构力学 75
2011-7-18 结构力学 76
3,结点法与截面法的联合应用
例 求如图所示桁架中 1,2,3三杆的轴力。
解：
1）先求出支座反力
作截面 m-m：
再作截面 n-n：如图 b
2）用截面法求内力
(b)
得0
GM ??
44 8 6 0N ? ? ?
即
4 1 2 (N k N? 拉 力 ）
得0
DM ??
21 8 4 3 4 6 2 1 2 4 4 0X? ? ? ? ? ? ? ? ?得 则2 0X ?, 2200YN??，
1 8 ( )AHV V k N? ? ?
H
2011-7-18 结构力学 77
(b)
再取结点 E为隔离
体 (如图 c)：
由几何关系：
得0X ??
312 0X??
即
3 12X kN?
3 12Y kN?故，
3 1 2 2 1 6, 9 7N k N?? （ 拉 力 ）
又 得0Y ??
13 0NY??
可得：
13 1 2 (N Y k N? ? ? ? 压 力 ）
2011-7-18 结构力学 78
作业
3-18(d)
3-19(c)
2011-7-18 结构力学 79
§ 3-5 组合结构的计算
在有些由直杆组成的结构中, 一部分杆件是链杆,
只受轴力作用；另一部分杆件是梁式杆, 除受轴力作
用外, 还受弯矩作用 。 这种由链杆和梁式杆件组成的
结构, 称为 组合结构 。
2011-7-18 结构力学 80
★ 在计算中不应忘记在梁式杆截面上还作用有 未知弯
矩 和 剪力 。
2011-7-18 结构力学 81
例 作如图所示下撑式五角形组合屋架的内力图。
2011-7-18 结构力学 82
解：
1）求支座反力
)(6 ??? kNRR BA
2）链杆的内力计算
作截面 I-I,截断铰 C和
链杆 DE(如图 b)
3）梁式杆的内力图
如图 c，取 AFC杆为例来
分析：
再由结点 D,E可算得杆
AD,ED,EG,EB轴力。
得0CM ??
6 6 1 6 3 1, 2 0DEN? ? ? ? ? ?
即 15
DEN k N?
2011-7-18 结构力学 83
0
C
DE
MN
f?
2011-7-18 结构力学 84
作业
3-20(b)
2011-7-18 结构力学 85
轴线为曲线, 仅在竖向荷载下能产生水平反
力 (推力 )的结构称为拱 。 图 3-14所示为拱结构的工
程实例 。
图 3-14 工程中的拱结构
§ 3-6 三铰拱
2011-7-18 结构力学 86
图 3-15所示之拱
都有四个反力, 而以
整体为对象只有三个
独立平衡方程, 故无
法求得全部支座反力 。
C拱顶铰
BA 拱肋
跨度 拱趾铰
(a) 等高三铰拱
(c) 带拉杆三铰拱
拉杆A BD
C
E
C
高差 hA B
(b) 不 等高三铰拱
图 3-15
静定拱的不同形式及
一些名称
2011-7-18 结构力学 87
拱式结构的特点：
? 由于有 水平推力存在，拱的弯矩比相应的简支梁
的弯矩小。
? 抗压性强，抗拉性弱。
拱结构可分为：静定拱、超静定拱。
本节只讨论静定三铰拱，常见的三铰静定拱：
支座间有水平拉杆 有水平推力
2011-7-18 结构力学 88
静定三铰等高拱的一些专业术语：
拱高（矢高）,f ； 跨度,l ； 矢跨比,f/l (与性能有关 )
2011-7-18 结构力学 89
3-6-1 拱的支座力的计算
支座反力共四个分量
需列出四个方程：
由整体平衡方程：
0BM ?? 0BM ??和
可求两个竖向支座反力：
AV
iiPb
l?
?
BV
iiPa
l?
?
2011-7-18 结构力学 90
由
0X ?? 得：
另考虑中间铰 C处弯矩为零：
0CM ??
以左部分为例
则：
1 1 1 1( ) 0CAM V l P l a H f? ? ? ? ??
所以推力,
1 1 1 1()AV l P l aH
f
???
ABHHH??
(推力 )
2011-7-18 结构力学 91
分析两个竖向支座反力
AV
iiPb
l?
?
BV
iiPa
l?
?
与右图简支梁的支座反力：
0
AV
iiPb
l?
? 0
BV
iiPa
l?
?
0AAVV? 0BBVV?
2011-7-18 结构力学 92
分析推力 H 式：
1 1 1 1()AV l P l aH
f
???
恰恰与简支梁截面 C处的弯
矩 相同。0CM
上式中的分子
1 1 1 1
00
1 1 1 1
()
()
A
AC
V l P l a
V l P l a M
??
? ? ? ?
0
CMH
f?
即，推力 H等于相应简支梁截面 C处的弯矩 除以拱
高 f。
0CM
2011-7-18 结构力学 93
3-6-2 拱的内力计算：
<1> 弯矩计算公式
? ?11()K A K K KM V x P x a H y? ? ? ?
0AAVV?Q
所以,0
K K KM M H y??
显然，由于推力 H 存在，
0KKMM?
2011-7-18 结构力学 94
<2> 剪力计算公式
为相应简支梁 K截面处的剪力。0
KQ
注,在左半拱为正,右半拱为负。
K?
<3> 轴力计算公式
KKK
KKAK
HQ
HPVN
??
??
c o ss i n
c o ss i n)(
0
1
???
????
? ?
1
1
0
c os c os si n
c os si n
c os si n
K A K K K
A K K
K K K
Q V P H
V P H
QH
? ? ?
??
??
? ? ?
? ? ?
??
2011-7-18 结构力学 95
3) 推力只与支座和载荷位置有关，与拱轴形状无关；
即只与 f/l 有关 。
1) 由于推力的存在，三铰拱截面弯矩比简支梁弯矩小。
2) 梁无轴力 (在竖向载荷作用下 )
拱的截面轴力较大，且一般
为压力。
1 1 1 1( ) 0CAM V l P l a H f? ? ? ? ??
三铰拱 C处弯矩
0C 1 1 1 1M ( )AV l P l a? ? ?
简支梁 C处弯矩
3-6-3 拱的受力特点：
2011-7-18 结构力学 96
4) 当载荷和拱的跨度不变时，推力与拱高 f 成反比。
当 f 越大,H越小；反之,f 越小,H越大；
当 f 等于零,H趋于无穷大；此时三铰共线。
几何瞬变体系。
5) 三铰拱受向内的推力，因此需给基础施加向外的推力。
所以三铰拱的基础要比基础大，或加拉杆，以减小对
墙的推力。
2011-7-18 结构力学 97
例 三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线：
试求支座反力，
并绘制内力图。
。)(4 2 xlxl fy ???
解：
（ 1）反力计算
)(716 128440 ??????? kNVV AA
)(516 124480 ??????? kNVV BB
kNfMH C 64 4485
0
??????
2011-7-18 结构力学 98
（ 2）内力计算
现取 x=12m的截面 D
为例：
1）截面 D的几何
参数：
mxlxl fy 3)1216(1216 44)(4 22 ?????????
5.0)12216(16 44)2(4t a n 22 ???????? xll fdxdy?
894.0c o s
447.0s in
4326 0
?
??
???
?
?
?
2）截面 D的内力：
HyMM ?? 0
?? c o ss i n0 HQN ????? s i nco s0 HQQ ??
2011-7-18 结构力学 99
2011-7-18 结构力学 100
2011-7-18 结构力学 101
3-6-4 三铰拱的压力线
1) 压力线概念
在荷载作用下, 三铰拱的任意截面一般有三个
内力分量 Mk,Qk,Nk。 这三个内力分量可用它的合
力 R代替 。 将三铰拱每一截面上合力作用点用折线或
曲线连接起来, 这些折线或曲线成为 三铰拱的压力
线 。
2011-7-18 结构力学 102
DDD
DDD
DDD
RN
RQ
rRM
?
?
c o s
s i n
?
?
?
２ ) 压力线作法
2011-7-18 结构力学 103
3-6-5 三铰拱的合理轴线
当拱的压力线与拱的轴线重合时, 各截面形心到合力
作用线的距离为零, 则各截面弯矩为零, 只受轴力作
用, 正应力沿截面均匀分布, 拱处于无弯矩状 。 这时
材料的使用最经济 。 在固定荷载作用下使拱处于无弯
矩状态的轴线称为 合理轴线 。
H
M
y
HyMM
0
0
0
?
???
即
2011-7-18 结构力学 104
例 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载求其
合理轴线 (如图右图 )。
解：
简支梁的弯矩方程为 H
My 0?
)(20 xlxqM ??
拱的推力为
f
ql
f
MH C
8
20
??
所以
)(4 2 xlxl fy ??
可见该合理轴线为一抛物线
2011-7-18 结构力学 105
例 设三铰拱承受均匀水压力作用, 试证明其合理轴线
是圆弧曲线
解：
1） 先推导曲杆内力的
微分关系式
由,得? ? 0S
2011-7-18 结构力学 106
2011-7-18 结构力学 107
在本题中由于拱受均匀水压力 q作用, 故切线荷载 qs=0，
法向荷载 qr=q。 因此有：
设拱处于无弯矩状态，即 M=0，将此式代入式 (c)，即得
亦有
各截面的轴力 N是一个常数, 且荷载 q也是常数, 曲率半
径 R也应是一个常数 。 故拱的轴线应是圆弧曲线 。
2011-7-18 结构力学 108
作业
3-23
3-26
2011-7-18 结构力学 109
首 页
(Structure Mechanics)
2011-7-18 结构力学 2
第三章
静定结构的受力分析
(Forces Analysis of Statically
Determinate Structure)
2011-7-18 结构力学 3
目 录
(contents)
§ 3-1 梁的内力计算的回顾
§ 3-2 多跨静定梁
§ 3-3 静定平面刚架
§ 3-4 静定平面桁架
§ 3-5 组合结构
§ 3-6 三铰拱
----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------
2011-7-18 结构力学 4
静定结构的内力分析, 主要是确定各类结构
由荷载所引起的内力和相应的内力图 。 本章将在
理论力学的受力分析和材料力学的内力分析的基
础上, 分析静定结构的内力 。 主要是应用 结点法,
截面法 和 内力与荷载间的平衡微分关系 来确定各
种静定结构的内力和内力图 。
2011-7-18 结构力学 5
符号说明
y
x
Q
N
FV
FH
FQ
FN
MM
?
?
?
?
?
? 新旧
弯矩
剪力
竖直力
轴力
水平力
2011-7-18 结构力学 6
§ 3 -1 梁的内力计算的回顾
3-1-1 材料力学内容回顾
材料力学中关于杆件内力分析的要点有：
2011-7-18 结构力学 7
? 内力符号规定,轴力 N,拉
为正, 压为负；剪力 Q使
截开部分产生顺时针旋转
者为正, 反之为负；梁的
弯矩 M使杆件产生上凹者
为正, 反之为负 。
? 求内力的方法 — 截面法,用假想截面将杆截开,
以截开后受力简单部分为平衡对象, 由平衡条
件求得内力 。
2011-7-18 结构力学 8
? 直杆平衡方程 (也称为微分关系 )：
qx,qy分别为轴向和横向分布荷载集度,在右手坐
标系中其指向与坐标正向相同者为正,M(x)为作用在
荷载平面内的分布力偶矩集度,逆时针方向为正 。
dd xqxN ?? QxM ?dd
d
d
yqx
Q ?
2011-7-18 结构力学 9
? 内力图绘制方法,利用截面法确定控制截面上
的内力, 应用微分关系确定控制截面之间内力
的图形 。
? 叠加法的应用,小变形情况下, 复杂荷载引起
的内力, 可由简单荷载引起的内力叠加确定 。
2011-7-18 结构力学 10
3-1-2 结构力学与材料力学规定的异同
① 轴力和剪力的符号规定同材料力学, 轴力 N拉
为正, 剪力 Q使截面顺时针转动为正 。
② 弯矩 M的正负号规定也于材料力学一致, 但注
意 杆端弯矩 的概念 。
2011-7-18 结构力学 11
③ 结构力学中规定 AB杆 A端的杆端弯矩记作 MAB,B
端的杆端弯矩记作 MBA。 习惯上规定杆端弯矩顺时
针为正, 反之为负 。 杆端轴力和杆端剪力的标记
方法和杆端弯矩相同, 如图所示 。 例如 A端的杆端
轴力和杆端剪力分别记为 NAB和 QAB。
(a) 直杆段受力示意
ABN
1q
ABQ
M
A B
2q
p ( x )
pF
BAQ
BAN
BAM
ABM
2011-7-18 结构力学 12
④ 结构力学弯矩图必须画在杆件纤维受拉的一侧,
弯矩图上不标正负号 。
2011-7-18 结构力学 13
3-1-3 用 截面法 计算杆件指定截面的内力
利用平衡方程求三个内力分量
计算法则,（取隔离体将内力暴露）
① 轴力：以拉力为正、压力为负。
② 剪力：以使截面所在的隔离体有顺时针
转动趋势为正，反之为负。
③ 弯矩：弯矩使杆件下部受拉为正、反之
为负。
2011-7-18 结构力学 14
3-1-4 载荷与内力之间的关系
<1> 微分关系
由 0 ( ) 0
xX N N d N q d x? ? ? ? ? ? ??
x
dN q
dx? ? ?
由 0 ( ) 0
yY Q Q d Q q d x? ? ? ? ? ??
y
dQ q
dx? ? ?
2
20,( ) 0,2yy
d x d M d MM M M d M Q d x q d x q Q
d x d x? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
载荷连续分布的直杆，取 dx微段
以右边截面形心为力矩中心
xq
2011-7-18 结构力学 15
<2> 增量关系 （集中载荷作用处，取微段）
MM??
NN??
QQ??
由平衡关系：
0X ??
0Y ??
0M ??
xNP? ??
yQP? ??
Mm??
2011-7-18 结构力学 16
<3> 积分关系
B
A
x
B A x
x
N N q d x?? ?
B
A
x
B A y
x
Q Q q d x?? ?
B
A
x
BA
x
M M Q dx?? ?
yq
xq
2011-7-18 结构力学 17
图 3-1a表示结构中任意一直线区段, 用截面
法求得区段两端横截面上的内力如图示 。
图 3-1(a) 直杆段受力示意
ABN
1q
ABQ
M
A B
2q
p(x)
pF
BAQ
BAN
BAM
ABM
3-1-5 分段叠加法作弯矩图
2011-7-18 结构力学 18
图 3-1b 为
和图 3-1a 对应
的简支梁, 受
相同荷载, 杆
端弯矩和右端
轴力作用 。
(b) 区段叠加示意
2q
1q M
A
B
p(x)
pF
BAN
BAM
ABM
图 3-1
(a) 直杆段受力示意
ABN
1q
ABQ
M
A B
2q
p(x)
pF
BAQ
BAN
BAM
ABM
杆端 AB弯矩图
可用与之对应
的简支梁用叠
加法作出 。
2011-7-18 结构力学 19
用叠加法绘弯矩图时
1,先绘出控制截面的弯矩竖标, 其间若
无外荷载作用, 可用直线相连；
2,若有外荷载作用, 则以上述直线为基
线, 再叠加上荷载在相应简支梁上的
弯矩图 。
2011-7-18 结构力学 20
图 3-2 简支梁在常见荷载作用下的弯矩图
2011-7-18 结构力学 21
例题, 试绘制图示外伸梁的内力图。
解,
（一）求支座反力,
?
?
?
?
?
?
0
0
0
A
B
M
M
X
)(3 1 0
)(1 3 0
0
??
??
?
KNV
KNV
H
B
A
A
校核,? ??????? 0640401 6 03 1 01 3 0Y
（二）绘内力图,
?
?
?
?
?
?
0
0
0
C
C
M
M
X
MKNM
KNQ
N
C
C
C
.130
130
0
?
??
?
HA=0
VA=130KN VB=310KN
H A =0
V A=130KN
2011-7-18 结构力学 22
3-1-6 静定结构的内力分析方法
基本原则,循着结构组成的相反顺序, 逐步应用
平衡方程 。
例如,如图 3-3所示结构，可按 EC?AB顺序逐步应用
平衡方程。
图 3-3
A C
B
D E F
3m 3m 1.5m 1m 2m
10kN/m15kN·m 20kN
2011-7-18 结构力学 23
FP/2
FP
FP
FP
FP
FP
FP/2
G
A B
C
D
E F
1 2 3 4 5
(a) 按组成的相反顺序求解
?表示已知
图 3-4
FPFNFE
FNF3
FNF4
FNFG?
?
(b) 取结点隔离体
F
FP
B
FPFNFE
FNF3
?
?
?
3FPFN43
(c) 截面法取隔离体
FP/2
2011-7-18 结构力学 24
3-1-7 受弯结构作内力图的顺序
材料力学中, 一般是先作剪力图, 再作弯矩
图 。 而在结构力学中, 对梁和刚架等受弯结构作
内力图的顺序为：
1) 一般先求反力 (不一定是全部反力 )。
2) 利用截面法求控制截面弯矩 。 以便将结构用控
制截面拆成为杆段 (单元 )。
3) 在结构图上利用区段叠加法作每一单元的弯矩
图, 从而得到结构的弯矩图 。
2011-7-18 结构力学 25
4) 以单元为对象, 对杆端取矩可以求得杆端剪力,
在结构图上利用微分关系作每单元的剪力图, 从
而得到结构剪力图, 需要指出的是, 剪力图可画
在杆轴的任意一侧, 但必须标注正负号 。
5) 以未知数个数不超过两个为原则, 取结点由平衡
求单元杆端轴力, 在结构图上利用微分关系作每
单元的轴力图, 作法和剪力图一样, 从而得到结
构轴力图 。
综上所述, 结构力学作内力图顺序为“先区段叠
加作 M图，再由 M图作 Q图，最后由 Q图作 N图”。
上述作图顺序可用图 3-5示意。
2011-7-18 结构力学 26
(d) 杆段平衡求剪力
40kN·m ?X=010kN
10kN
40kN·m
?Y=0
1.67kN 28.3kN
10kN/m
3m
4m
10kN
10kN/m
B
A
C
?X=0
10kN
?Y=0
1.67kN
?MA=0
28.3kN
(a) 整体平衡求反力
?MB=0
10kN
?MB=0 40kN·m
40kN·m
40kN·m
(b) 截面法求控制弯矩
40kN·m
A
C
40kN·m
(c) 作弯矩图
图 3-5 受弯结构作内力步骤示意
1.67kN
A
C
(f) 结点平衡求并作轴力图
10kN
10kN 1.67kN
投影
求轴
力
(e) 作剪力图
10kN1.67kN
A
C
28.3kN
2011-7-18 结构力学 27
§ 3-2 多跨静定梁
由一些可能的基本部件按静定结构组成规则组
合而成, 杆件共线的受弯结构, 称为 多跨静定梁 。
能独立 (不需要其他部件支撑 )承担荷载的部件称为
基本部分 。 否则, 需要其他部件的支撑才能承担荷
载的, 称为 附属部分 。 用部件组成多跨静定梁的可
能形式很多, 图 3-6只给出其中几种形式 。
2011-7-18 结构力学 28
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
图 3-6 组成多跨静定梁的可能部件示意
2011-7-18 结构力学 29
图 3-6 几种可能的多跨静定梁构造示意
(a) 仅一个基本部分 (b) 竖 向荷载下二个基本部分
(c) 中间一个基本部分 (d) 竖向荷载下二个基本部分
2011-7-18 结构力学 30
从多跨静定梁的组成可知, 其部件都是单跨梁,
因此, 只要注意部件间的相互作用和反用作用关系,
根据各单跨梁所受荷载和单跨梁作内力图的知识,
按组成相反顺序：, 先附属部分, 后基本部分, 。
先求支座反力和支座截面控制弯矩, 然后用平衡微
分关系即可作出多跨静定梁的内力图 。
2011-7-18 结构力学 31
40kN
10kN
10kN
51 2 3 4 6
(d) 由控制剪力作剪力图
20kNmm 1025 ??
51 2 3 4 6
10kN/m 10kN
(a) 结构及所受荷载
60kN·m抛物线
20kN·m
20kN·m直线
51 2 3 4 6直线
(c) 由控制弯矩和微分关系作
弯矩图
图 3-7 多跨静定梁求解过程及弯矩、剪力图
10kN·m
40kN 10kN
(b) ―先附属、后基本”求反力
10kN/m 10kN
1 2 3 4 65
2011-7-18 结构力学 32
例：
先作出层次图
2011-7-18 结构力学 33
1,计算附属部分 CD
0Y ??Q
1 2 0 6 0C D C DV V k N V V k N? ? ? ? ? ?
2011-7-18 结构力学 34
2,计算基础部分 AC
6 0 3 2 0 0ABVV? ? ? ? 380ABVV??
利用基础部分 AC梁的平衡条件
320 4 120 145
8AV
???? 3 8 0 1 4 5 2 3 5
BV ? ? ?
0Y ??Q 80A B CV V V q? ? ? ? ?
即有：
0M ?? 8 2 3 2 0 4 0ACVV? ? ? ? ? ?
即：
2011-7-18 结构力学 35
3,作内力图
M图，
峰值＝
22113,6 3 2 4 2 6 3,5
88lq ? ? ? ? ?（）
120kNm 180kNm
Q图，
3.63m
145kN
175kN
60kN
60kN
145 3,6 3
1 7 5 8
x x
x? ? ??
2011-7-18 结构力学 36
作业
3-1 (b),(d)
3-5 (a)
3-6
2011-7-18 结构力学 37
§ 3-3 静定平面刚架
静定刚架 刚架也称框架, 是工程中最常见的结
构形式之一, 一般都是超静定的 。 但也有如图 3-8a所
示的小型厂房框架是静定的其计算简图如 3-8b所示 。
2011-7-18 结构力学 38
(a) 江苏泰兴某厂房三铰刚架
图 3-8 厂房及计算简图
(b) 计算简图
2011-7-18 结构力学 39
静定刚架 按组成方式有“单体刚架”、
“三铰刚架”和具有“基本 -附属关系”的刚架，
分 别 如 图 3-9所示
图 3-9 静定刚架示意
(a) 两刚片
单体刚架
(b) 三刚片
三铰刚架
(c) 有基本、附属
关系的刚架
基本
部分
附属
部分
2011-7-18 结构力学 40
3-3-1 单体刚架
1) 单体刚架的分析计算过
程和多跨静定梁类似 。
图 3-10(a) 单体刚架
2m
A
2
1
3 45?
kN220
2011-7-18 结构力学 41
2) 取 2-3作为平衡对象, 对 2点取矩可得杆端弯矩
为 M23= –40kN.m。
(b) 求控制弯矩
?M2=0 45?2
结点力
矩平衡 0kN·m
1
3
外荷合
力通过 A
kN220
2011-7-18 结构力学 42
3)取结点 2为平衡对象, 可得杆端弯矩 M21= –40kN·m
4) 因为悬臂部分荷
载, 合力, 作用
线通过 A点, 因
此 A点的弯矩为
零 。 有了上述控
制截面弯矩, 利
用平衡微分关系
根据杆上荷载即
可作出弯矩图 。
?M2=0 45?2
结点力
矩平衡 0kN·m
1
3
外荷合
力通过 A
kN220
A
2011-7-18 结构力学 43
(c) 作弯矩图
40kN.m
直线
40kN.m
20kN
20kN
20kN
20kN 20kN
(d) 杆端力矩平衡作剪力图
(e) 结点平衡作轴力图
20kN
图 3-10 静定刚架求解过程示意
2011-7-18 结构力学 44
3-3-2 三铰刚架
三铰刚架是由两个单体刚架用三个铰组成的静
定结构 。 因为杆轴都是直线, 因此分析过程比较简
单 。 关键在求反力：首先以整体为平衡对象, 对底
铰取矩；以部分为平衡对象时, 对顶铰取矩, 即可
解决反力计算 。
图 3-11给出了三铰刚架分析过程示例 。
2011-7-18 结构力学 45
(b) 求按制弯矩
?M2=0
1 2
A B
40kN?mC
40kN?m
(5)B2杆
?M=0
(6) 2点
(7) 同理
(4)?X=0
13.3kN 0
1 2
A B
(2)?MB=0
40kN?mC
3m 3m
(3)?MC=0
13.3kN0
(1)?MA=0
(a) 结构、荷载、反力
B
40
A
40
单位 kN?m
(c) 作弯矩图
2011-7-18 结构力学 46
13.33
B
00
(9)
13.33单位 kN
13.33
A
(e) 作轴力图
图 3-11 三铰刚架分析过程示例
(d) 作剪力图
13.33
13.33
A B
00
(8)
13.33单位 kN
2011-7-18 结构力学 47
例：
静定平面刚架
计算内力，并画出 内力图
<1> 取整体为隔离体，
由平衡条件：
0 3 0 0 3 0 ( )BBX k N H H k N? ? ? ? ??
0 6 3 0 4 2 0 6 3 0 4 0 ( )B A AM V V k N? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
0 6 3 0 4 2 0 6 3 0 8 0 ( )A B BM V V k N? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
利用 0Y ?? 校核
P=30KN
2011-7-18 结构力学 48
<2> 作弯矩图：
00A C C AMM??
AD杆,AC段无载荷区，
CD段无均布载荷；
0 3 0 2 6 0 /C D D CM M k N m? ? ? ?(左侧受拉 )
2011-7-18 结构力学 49
3 0 2 6 0D E D CM M k N m? ? ? ?
DE杆,DE段受均布载荷，
产生弯矩，为二次抛物线。
且 (上边受拉 )
3 0 6 1 8 0E D E BM M k N m? ? ? ?(上边受拉 )
峰值＝ 2211 20 6 90
88ql ? ? ? ?
叠加：与二次抛物线叠加
BE杆,AC段无载荷作用,B端一约束力，弯矩为一
直线。
2011-7-18 结构力学 50
<3> 剪力图：根据已知反力或约束力求出杆端的剪力。
AD杆,AC段的剪力为零CD段 剪力为平行于杆轴的直线。
DE杆：
顺时针转动
逆时针转动
40D E AQ V k N??
80E D BQ V k N? ? ? ?
EB杆,顺时针转动逆时针转动30E B BQ H k N??
30B E BQ H k N??
2011-7-18 结构力学 51
<4> 轴力图：
AD杆,4 0 ( ) 4 0 ( )
A D A D AN V k N N k N? ? ? ? ?
DE杆,3 0 ( ) 3 0 ( )
D E E D AN k N N k N? ? ? ?
EB杆,8 0 ( ) 8 0 ( )B E B E BN V k N N k N? ? ? ? ?
2011-7-18 结构力学 52
<5> 内力校核：
截刚架任一部分为隔离体，看是否满足静力平衡条件。
2011-7-18 结构力学 53
例：求如图所示刚架内力。
<1>求解支座力
8 0 ( )AV k N??
0 8 2 0 8 4 0BAMV? ? ? ? ? ??
0 8 2 0 8 4 0ABMV? ? ? ? ? ??
8 0 ( )BV k N??
2011-7-18 结构力学 54
00 A B A BX H H H H? ? ? ??
0CM ?因为 可取 C左侧或右侧
为隔离体。
4 8 2 0 4 2 0AAVH? ? ? ? ? ? ?
2 0 ( )BH k N??
2 0 ( )AH k N??
2011-7-18 结构力学 55
<2> 作弯矩图 (分段作 )：
0 2 0 6 1 2 0A D D AM M k N m? ? ? ?AD杆,(左侧受拉 )
叠加得：
DC杆的中点弯矩
2111 2 0 2 0 4 2 0
28 k Nm? ? ? ? ? ? ?
(上边受拉 )
峰值
2 0 6 1 2 0DCM k N m? ? ? ? ?(上边受拉 )
DC杆,DC受均布载荷作用，弯矩为一 二次抛物线。
峰值 ＝？
ABN
ABQ
M
A B
BAQ
BAN
BAM
ABM
2011-7-18 结构力学 56
<3> 剪力图和轴力图
AD杆：剪力 2 0 2 0
A D D AQ k N Q k N? ? ? ?
轴力 80A D D AN N k N? ? ?
（逆时针）
（压力）
2011-7-18 结构力学 57
20 8 0 c o s 2 0 s i n 0 c o s 0, 8 9 4
5DCtQ ? ? ?? ? ? ? ? ??
18 0 c o s 2 0 s in s in 0, 4 4 7
5DCQ ? ? ?? ? ? ?
218 0 2 0 6 2,6
55 kN? ? ?
D端：
0 8 0 s 2 0 s i n 0DCn N i n ??? ? ? ??
8 0 s i n 2 0 c o sDCN ??? ? ?
128 0 2 0 5 3, 6
55 kN? ? ? ?
2011-7-18 结构力学 58
0 6 2, 6 8 0 c o s 0CDtQ ?? ? ? ??
26 2, 6 8 0 8, 9
5CDQ k N? ? ? ?
0 5 3, 6 8 0 s 0CDn N i n ?? ? ? ??
1 7,8CDN k N??
C端：
作业：
2011-7-18 结构力学 59
§ 3-4 静定平面桁架
桁架结构 直杆铰接体系且只受结点荷载作用,
其受力特性是结构内力只有轴力, 而
没有弯矩和剪力 。
2011-7-18 结构力学 60
实际复杂问题的简化和假定
2011-7-18 结构力学 61
1,桁架的结点为光滑的铰结点 。 实际问题往往轴线
不绝对交于一点, 产生一定的弯矩 （ 次内力, 次
应力 ） 。
2,各杆的轴线均为直线且通过铰心 。
3,载荷和支座反力都作用在结点上 。 理想桁架 各杆
只受轴力, 截面上应力分布均匀, (主应力 )主内
力
3-4-1 桁架的特点
2011-7-18 结构力学 62
桁架结构可有多种分类：
1,简化后简图中各杆件轴线处于同一平面后称为
平面桁架,否则为 空间桁架 。
2,根据结构组成规则，若属先组成三角形，然后由
加二元体组成桁架时，则称 简单桁架 。如图 3-12a
图 (a)简单桁架
由 n个简单桁架按二,
三刚片组成规则构造
的静定结构, 称 联合
桁架, 如图所示 。
2011-7-18 结构力学 63
图 (b) 联合桁架
除这两类以外的其它
桁架，称为 复杂桁架,
如图 c所示。
图 (c)复杂桁架
图 3-12
桁架组成分类
2011-7-18 结构力学 64
3,按不同特征分类：
a) 平行弦桁架
b) 折弦桁梁
c) 三角形桁架
d) 梯形桁架
2011-7-18 结构力学 65
4,按竖向载荷引起的支座反力分类：
a) 无推力桁架
b) 有推力桁架
2011-7-18 结构力学 66
以桁架的结点作为平衡对象时, 结点承受汇交
力系作用 。 因此, 如果对简单桁架遵循按, 组成相
反顺序, 的求解基本原则, 逐次建立各结点的平衡
方程, 则桁架各点未知内力数目一定不超过独立平
衡方程数 。 据此, 可求得桁架各杆内力 。 这种方法
称为结点法 。
3-4-2 结点法, 截面法及其联合应用
1,结点法
2011-7-18 结构力学 67
[例 ] 如图所示为一施工托架的计算简图 。 在所示荷载
作用下求各杆的轴力 。
解,（ 1） 求支座反力
)(19)648(21 ?????? kNYY BA
（ 2） 结点 A,如图 b
? ?0Y 0819 ??? ADY
kNY AD 335.0 5.111 ???
利用比例关系式, 得
拉力）(8.345.0 58.111 kNN AD ???
得，由,00? ??? ADAC XNX
3 3 (ACN k N?? 压 力 ）
kNY AD 11?
2011-7-18 结构力学 68
(c)
（ 3） 结点 C,如图 C所示 。
（ 4） 结点 D,如图 d所示 。
再利用比例关系式, 得
0,3 3 0CEXN? ? ??
得 33CEN k N?? （ 压 力 ）
0 8 0CDYN? ? ? ??,
得 8(CDN k N?? 压 力 ）
0 1 1 8 0DEYY? ? ? ??,
得 3
DEY kN??
0,93 5,40,5
DEN k N? ? ? ? ? （ 压 力 ）
0.753 4.50.5
DEX k N? ? ? ? ?
0,3 3 0D F D EX N X? ? ? ??
得 3 3 4, 5 3 7, 5 (DFN k N? ? ? 压 力 ）
2011-7-18 结构力学 69
零杆判别
零杆 内力为零的杆件。
(a) 二杆结点无荷载 (b) 有三杆结点无荷载 (c) 单杆为零杆
表示无荷载
图 3-13 一些零杆情况
计算桁架时，可先进行零杆判别，而使计算过程简化。
表示为零杆
2011-7-18 结构力学 70
结点单杆的概念
如果在同一结点的所有内力为未知的各杆中, 除某一
杆外, 其余各杆都共线, 则该杆称为此 结点的单杆 。
结点单杆的一些性质：
1,结点单杆的内力, 可由该结点的平衡条件直接求出 。
而非结点单杆的内力则不能由该结点的平衡条件直
接求出 。
2,当结点无荷载作用时, 单杆的内力必为零 。 或者此
无载结点的单杆必为零杆 。
2011-7-18 结构力学 71
2,截面法
截面法,是用截面切断拟求内力的杆件, 从桁架中
截出一部分作为隔离体 （ 隔离体包含两个以上的结点,
所作用的力系为平面一般力系 ）, 利用平面一般力系
的三个平衡方程, 计算所切各杆中的未知轴力 。
注意,为了避免解联立方程, 应注意对平衡方程加
以选择 。
2011-7-18 结构力学 72
[例 ] 试求图 示 桁架指定杆 1,2,3的内 力 。
AH
AV BV
解,先求支反力得
作截面 I-I，切断三根联系秆，
取左部为隔离体，由 ∑y=0得
由 ∑MA=0得
0A A BH V P V P? ? ? ? ?,（ ）,（ ）
1 0N ?
30
3
DC
DC
dN Pd
PN
??
??
取结点 C，由 ∑X=0得
2
2
3NP?
2011-7-18 结构力学 73
作截面 Ⅱ -Ⅱ, 取下部为隔离体 (b)，
将 N3在 B点处分解 。 由 ∑MA=0得
3
3
3 2 0
2
3
y
y
N d P d
NP
? ? ? ?
??
亦
3
3
55
23
yNNP? ? ? ?
2011-7-18 结构力学 74
截面单杆的概念
如果某个截面所截的内力为未知的各杆中, 除其一杆
外其余各杆都交于一点 (或彼此平行 —交点在无穷远
处 ),则此杆称为该 截面的单杆 。
A B A B
截面单杆具有如下性质,截面单杆的内力可从本截面
相应的隔离体的平衡条件直接求出 。
2011-7-18 结构力学 75
2011-7-18 结构力学 76
3,结点法与截面法的联合应用
例 求如图所示桁架中 1,2,3三杆的轴力。
解：
1）先求出支座反力
作截面 m-m：
再作截面 n-n：如图 b
2）用截面法求内力
(b)
得0
GM ??
44 8 6 0N ? ? ?
即
4 1 2 (N k N? 拉 力 ）
得0
DM ??
21 8 4 3 4 6 2 1 2 4 4 0X? ? ? ? ? ? ? ? ?得 则2 0X ?, 2200YN??，
1 8 ( )AHV V k N? ? ?
H
2011-7-18 结构力学 77
(b)
再取结点 E为隔离
体 (如图 c)：
由几何关系：
得0X ??
312 0X??
即
3 12X kN?
3 12Y kN?故，
3 1 2 2 1 6, 9 7N k N?? （ 拉 力 ）
又 得0Y ??
13 0NY??
可得：
13 1 2 (N Y k N? ? ? ? 压 力 ）
2011-7-18 结构力学 78
作业
3-18(d)
3-19(c)
2011-7-18 结构力学 79
§ 3-5 组合结构的计算
在有些由直杆组成的结构中, 一部分杆件是链杆,
只受轴力作用；另一部分杆件是梁式杆, 除受轴力作
用外, 还受弯矩作用 。 这种由链杆和梁式杆件组成的
结构, 称为 组合结构 。
2011-7-18 结构力学 80
★ 在计算中不应忘记在梁式杆截面上还作用有 未知弯
矩 和 剪力 。
2011-7-18 结构力学 81
例 作如图所示下撑式五角形组合屋架的内力图。
2011-7-18 结构力学 82
解：
1）求支座反力
)(6 ??? kNRR BA
2）链杆的内力计算
作截面 I-I,截断铰 C和
链杆 DE(如图 b)
3）梁式杆的内力图
如图 c，取 AFC杆为例来
分析：
再由结点 D,E可算得杆
AD,ED,EG,EB轴力。
得0CM ??
6 6 1 6 3 1, 2 0DEN? ? ? ? ? ?
即 15
DEN k N?
2011-7-18 结构力学 83
0
C
DE
MN
f?
2011-7-18 结构力学 84
作业
3-20(b)
2011-7-18 结构力学 85
轴线为曲线, 仅在竖向荷载下能产生水平反
力 (推力 )的结构称为拱 。 图 3-14所示为拱结构的工
程实例 。
图 3-14 工程中的拱结构
§ 3-6 三铰拱
2011-7-18 结构力学 86
图 3-15所示之拱
都有四个反力, 而以
整体为对象只有三个
独立平衡方程, 故无
法求得全部支座反力 。
C拱顶铰
BA 拱肋
跨度 拱趾铰
(a) 等高三铰拱
(c) 带拉杆三铰拱
拉杆A BD
C
E
C
高差 hA B
(b) 不 等高三铰拱
图 3-15
静定拱的不同形式及
一些名称
2011-7-18 结构力学 87
拱式结构的特点：
? 由于有 水平推力存在，拱的弯矩比相应的简支梁
的弯矩小。
? 抗压性强，抗拉性弱。
拱结构可分为：静定拱、超静定拱。
本节只讨论静定三铰拱，常见的三铰静定拱：
支座间有水平拉杆 有水平推力
2011-7-18 结构力学 88
静定三铰等高拱的一些专业术语：
拱高（矢高）,f ； 跨度,l ； 矢跨比,f/l (与性能有关 )
2011-7-18 结构力学 89
3-6-1 拱的支座力的计算
支座反力共四个分量
需列出四个方程：
由整体平衡方程：
0BM ?? 0BM ??和
可求两个竖向支座反力：
AV
iiPb
l?
?
BV
iiPa
l?
?
2011-7-18 结构力学 90
由
0X ?? 得：
另考虑中间铰 C处弯矩为零：
0CM ??
以左部分为例
则：
1 1 1 1( ) 0CAM V l P l a H f? ? ? ? ??
所以推力,
1 1 1 1()AV l P l aH
f
???
ABHHH??
(推力 )
2011-7-18 结构力学 91
分析两个竖向支座反力
AV
iiPb
l?
?
BV
iiPa
l?
?
与右图简支梁的支座反力：
0
AV
iiPb
l?
? 0
BV
iiPa
l?
?
0AAVV? 0BBVV?
2011-7-18 结构力学 92
分析推力 H 式：
1 1 1 1()AV l P l aH
f
???
恰恰与简支梁截面 C处的弯
矩 相同。0CM
上式中的分子
1 1 1 1
00
1 1 1 1
()
()
A
AC
V l P l a
V l P l a M
??
? ? ? ?
0
CMH
f?
即，推力 H等于相应简支梁截面 C处的弯矩 除以拱
高 f。
0CM
2011-7-18 结构力学 93
3-6-2 拱的内力计算：
<1> 弯矩计算公式
? ?11()K A K K KM V x P x a H y? ? ? ?
0AAVV?Q
所以,0
K K KM M H y??
显然，由于推力 H 存在，
0KKMM?
2011-7-18 结构力学 94
<2> 剪力计算公式
为相应简支梁 K截面处的剪力。0
KQ
注,在左半拱为正,右半拱为负。
K?
<3> 轴力计算公式
KKK
KKAK
HQ
HPVN
??
??
c o ss i n
c o ss i n)(
0
1
???
????
? ?
1
1
0
c os c os si n
c os si n
c os si n
K A K K K
A K K
K K K
Q V P H
V P H
QH
? ? ?
??
??
? ? ?
? ? ?
??
2011-7-18 结构力学 95
3) 推力只与支座和载荷位置有关，与拱轴形状无关；
即只与 f/l 有关 。
1) 由于推力的存在，三铰拱截面弯矩比简支梁弯矩小。
2) 梁无轴力 (在竖向载荷作用下 )
拱的截面轴力较大，且一般
为压力。
1 1 1 1( ) 0CAM V l P l a H f? ? ? ? ??
三铰拱 C处弯矩
0C 1 1 1 1M ( )AV l P l a? ? ?
简支梁 C处弯矩
3-6-3 拱的受力特点：
2011-7-18 结构力学 96
4) 当载荷和拱的跨度不变时，推力与拱高 f 成反比。
当 f 越大,H越小；反之,f 越小,H越大；
当 f 等于零,H趋于无穷大；此时三铰共线。
几何瞬变体系。
5) 三铰拱受向内的推力，因此需给基础施加向外的推力。
所以三铰拱的基础要比基础大，或加拉杆，以减小对
墙的推力。
2011-7-18 结构力学 97
例 三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线：
试求支座反力，
并绘制内力图。
。)(4 2 xlxl fy ???
解：
（ 1）反力计算
)(716 128440 ??????? kNVV AA
)(516 124480 ??????? kNVV BB
kNfMH C 64 4485
0
??????
2011-7-18 结构力学 98
（ 2）内力计算
现取 x=12m的截面 D
为例：
1）截面 D的几何
参数：
mxlxl fy 3)1216(1216 44)(4 22 ?????????
5.0)12216(16 44)2(4t a n 22 ???????? xll fdxdy?
894.0c o s
447.0s in
4326 0
?
??
???
?
?
?
2）截面 D的内力：
HyMM ?? 0
?? c o ss i n0 HQN ????? s i nco s0 HQQ ??
2011-7-18 结构力学 99
2011-7-18 结构力学 100
2011-7-18 结构力学 101
3-6-4 三铰拱的压力线
1) 压力线概念
在荷载作用下, 三铰拱的任意截面一般有三个
内力分量 Mk,Qk,Nk。 这三个内力分量可用它的合
力 R代替 。 将三铰拱每一截面上合力作用点用折线或
曲线连接起来, 这些折线或曲线成为 三铰拱的压力
线 。
2011-7-18 结构力学 102
DDD
DDD
DDD
RN
RQ
rRM
?
?
c o s
s i n
?
?
?
２ ) 压力线作法
2011-7-18 结构力学 103
3-6-5 三铰拱的合理轴线
当拱的压力线与拱的轴线重合时, 各截面形心到合力
作用线的距离为零, 则各截面弯矩为零, 只受轴力作
用, 正应力沿截面均匀分布, 拱处于无弯矩状 。 这时
材料的使用最经济 。 在固定荷载作用下使拱处于无弯
矩状态的轴线称为 合理轴线 。
H
M
y
HyMM
0
0
0
?
???
即
2011-7-18 结构力学 104
例 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载求其
合理轴线 (如图右图 )。
解：
简支梁的弯矩方程为 H
My 0?
)(20 xlxqM ??
拱的推力为
f
ql
f
MH C
8
20
??
所以
)(4 2 xlxl fy ??
可见该合理轴线为一抛物线
2011-7-18 结构力学 105
例 设三铰拱承受均匀水压力作用, 试证明其合理轴线
是圆弧曲线
解：
1） 先推导曲杆内力的
微分关系式
由,得? ? 0S
2011-7-18 结构力学 106
2011-7-18 结构力学 107
在本题中由于拱受均匀水压力 q作用, 故切线荷载 qs=0，
法向荷载 qr=q。 因此有：
设拱处于无弯矩状态，即 M=0，将此式代入式 (c)，即得
亦有
各截面的轴力 N是一个常数, 且荷载 q也是常数, 曲率半
径 R也应是一个常数 。 故拱的轴线应是圆弧曲线 。
2011-7-18 结构力学 108
作业
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3-26
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