第四章第二节
方 差
上一讲我们介绍了随机变量的数学期
望，它体现了随机变量取值的平均水平，
是随机变量的一个重要的数字特征,
但是在一些场合，仅仅知道平均值是
不够的,
例如，某零件的真实长度为 a，现用甲、
乙两台仪器各测量 10次，将测量结果 X用坐
标上的点表示如图：
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优
劣，你认为哪台仪器好一些呢？
a
?? ? ? ?? ??? ?
乙仪器测量结果
a
? ? ? ?? ? ?? ??
甲仪器测量结果
较好
测量结果的
均值都是 a
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击 10发炮
弹，其落点距目标的位置如图：
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙较好
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近,
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?? ??? ?
中心 中心
为此需要引进另一个数字特征,用它
来度量随机变量取值在其中心附近的离
散程度,
这个数字特征就是我们这一讲要介绍的
方差
一、方差的定义
采用平方是为了保证一切
差值 X-E(X)都起正面的作用
由于它与 X具有相同的度量单位，在实
际问题中经常使用,
设 X是一个随机变量, 若 E{[X-E(X)]2}<∞，
则称 Var(X)=E{[X-E(X)]2 } (1)
为 X的方差,
注,有的书上
记作 D(X)
若 X的取值比较分散，则方差较大,
若方差 Var(X)=0,则 r.v,X 以概率 1取常数值,
方差刻划了随机变量的取值对于其数学
期望的离散程度,
若 X的取值比较集中，则方差较小；
Var(X)=E[X-E(X)]2
X为离散型，
P{X=xk}=pk
由定义知，方差是随机变量 X的函数
g(X)=[X-E(X)]2的 数学期望,
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,)()]([
,)]([
)(
2
1
2
dxxfXEx
pXEx
XV ar k
kk
X为连续型，
X~f(x)
二、计算方差的一个简化公式
Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 展开
证,Var(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2
=E(X2)-[E(X)]2
利用期望
性质
请自己用此公式计算常见分布的方差,
例 1 设 r.v.X服从几何分布，概率函数为
P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…, n
其中 0<p<1,求 Var(X)
解,记 q=1-p
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1
1)(
k
kk pqXE ?
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1
)'(
k
kqp
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?
?
?
1
)'(
k
kqp )'
1
(
q
qp
?
?
p
1?
求和与求导
交换次序
无穷递缩等比
级数求和公式
Var(X)=E(X2)-[E(X)]2
?
?
?
??
1
122 )(
k
kpqkXE
])1([
1
1
1
1 ??
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? ???
k
k
k
k kqqkkp
?
?
?
???
1
)(
k
kqqp +E(X)
pq
qqp 1)
1
( ???
?
?
pq
qp 1
)1(
2
3 ??? pp
q 12
2 ?? 2
2
p
p??
2
2
p
p??
2
1
p
? 21
p
p??
求,Var(X)
解,
例 2 设连续型随机变量 X的 密度函数 f(x)为,
?
?
?
?
?
?
]1,0[x0
]1,0[xx2
)x(f
18
1
3
2
2
1
x dx2xx dx2x
dx)x(xfdx)x(fx
)]X(E[)X(E)X(V a r
2
2
1
0
1
0
2
2
2
22
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????
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例 3 设随机变量 X的 期望和方差为 E(X)和
Var(X),且 Var(X)>0,求,
的期望和方差
)(
)(
XVa r
XEXY ??
解,
0
)X(V a r
)X(E
)X(E
)X(V a r
1
]
)X(V a r
)X(E
X
)X(V a r
1
[E)Y(E
???
??
1)X(V a r
)X(V a r
1
]X
)X(V a r
1
[V a r
]
)X(V a r
)X(E
X
)X(V a r
1
[V a r)Y(V a r
???
??
.X
)X(V a r
)X(EX
Y
.X
)X(V a r
)X(EX
的标准化随机变量为称
标准化为把称
?
?
?
设,X为某加油站在一天开始时贮存的
油量,Y为一天中卖出的油量,(当然 Y≤ X),设
(X,Y)具有概率密度函数,
这里 1表明 1个容积单位,
求,每日卖出的油量 Y的期望与方差,
?
?
? ???
?
其它0
1xy0x3
)y,x(f
例 4
解,
0dx0
dx)y,x(f)y(f Y
??
?
?
?
?
??
?
??
当 y<0或 y>1时
当 0≤y≤1 时
)y1(
2
3
x dx3
dx)y,x(f)y(f
2
1
y
Y
??
?
?
?
?
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?
?
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?
??
??
]1,0[0
]1,0[)1(
2
3
)(
2
y
yy
yf
Y
5
1
)1(
2
3
)(
8
3
)1(
2
3
)(
2
1
0
22
2
1
0
????
?????
?
?
yyYE
yyYE
0 5 9 4.0
8
3
5
1
)]([)()(
2
22
??
?
?
?
?
?
??
??? YEYEYV a r
三、方差的性质
1,设 C是常数,则 Var(C)=0;
2,若 C是常数,则 Var(CX)=C2 D(X);
3,若 X1与 X2 独立，则
Var(X1+X2)= Var(X1)+Var(X2);
??
??
?
n
i
i
n
i
i XV a rXV a r
11
)(][
可推广为：若 X1,X2,…,Xn相互 独立,则
??
??
?
n
i
ii
n
i
ii XV a rCXCV a r
1
2
1
)(][
X1 与 X2不一定独立时，
Var(X1 +X2 )=？
请思考
4,Var(X)=0 P(X= C)=1,这里 C=E(X)?
xC
1
P(X= x)
下面我们用一例说明方差性质的应用,
两点分布 X ～ B(1,p),Var(X)=p(1-p)
四,常见 随机变量的方差
二项分布 X ～ B(n,p),(其中 0<p<1)
Var(X)=np(1-p)
泊松分布 X ～ P(?) 其中 ?>0,Var(X)=?
泊松分布 X ～ P(?) 其中 ?>0
???
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?
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???
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???
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?? e
!k
)1k(ke
!k
)1k(k
)]1X(X[E]X)1X(X[E)X(E
)X(E,2,1,0ke
!k
}kX{P
0k
2k
2
0k
k
2
k
讲过?
? ? ??????????????
?
?
??
?
? ?
?? ?????
?
?
? 2
''2
''
0k
k
2 eee
!k
∴ Var(X)=E(X2)-[E(X)]2=?2+?-?2=?
均匀分布
X ～ U(a,b) ?
?
?
?
?
?
?
??
]b,a[x0
]b,a[x
ab
1
)x(f
2
ba
)X(E
3
)baba(
dx
ab
x
dx)x(fx)X(E
22
b
a
2
22
?
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??
?
?
?? ??
?
??
前面讲过?
12
)ab(
2
ba
3
)baba(
)]X(E[)X(E)X(V a r
2222
22
?
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?
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??
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??
?
???
指数分布
)0(
0x0
0xe
)x(f
x
??
?
?
?
?
??
?
??
2
2
2
22
2
0
x222
112
)]X(E[)X(E)X(V a r
1
)X(E
2
dxexdx)x(fx)X(E
?
??
?
?
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?
?
?
???
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????
??
?
??
?
??
前面讲过?
正态分布 X～N(?,?2)
由第一节 E(X) = ?
??
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2
t2
2
t
2
2
)x(
22
22
2
2
t de
2
dte
2
1
)t(
ux
t
dxe
2
1
)ux()]X(EX[E)X(V a r
22
2
t
22
t2
0
dte
2
1
te
2
22
?????
?
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?
??
?
?
??
?
小结：这一讲,我们介绍了随机变量的方差,
它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程
度的一个数字特征,通过方差,可以判断均值
相同的随机变量的取值情况,
下面,我们将介绍刻划两 r.v.间线性相关程度的
两个重要的数字特征：
协方差与相关系数