第四节 矩、协方差矩阵
在数学期望一讲中，我们已经介绍了
矩和中心矩的概念,
这里再给出混合矩、混合中心矩的概念,
协方差 Cov(X,Y)是 X和 Y的
二阶混合中心矩,
称它为 X和 Y的 k+L阶混合（原点）矩,
若 })]([)]({[ Lk YEYXEXE ?? 存在，
称它为 X和 Y的 k+L阶混合中心矩,
)( LkYXE
设 X和 Y是随机变量，若
k,L=1,2,… 存在，
可见，
协方差矩阵的定义
将二维随机变量（ X1,X2）的四个二阶中心矩
})]({[ 21111 XEXEc ??
)]}()][({[ 221112 XEXXEXEc ???
排成矩阵的形式,
)]}()][({[ 112221 XEXXEXEc ???
})]({[ 22222 XEXEc ??
称此矩阵为（ X1,X2）的协方差矩阵,
???
?
???
?
2221
1211
cc
cc
这是一个
对称矩阵
类似定义 n维随机变量 (X1,X2,…,Xn)
的协方差矩阵,
下面给出 n元正态分布的概率密度的定义,
为 (X1,X2,…,Xn) 的
协方差矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
?
????
?
?
21
22221
11211称矩阵都存在,i,j=1,2,…,n
),( jiji XXC o vc ?若
)]}()][({[ jjii XEXXEXE ???
)}()(21e x p {||)2( 1 1212 ??? ????? ? XCXCn
f (x1,x2,…,xn)
则称 X服从 n元正态分布,
其中 C是 (X1,X2,…,Xn) 的协方差矩阵,
|C|是它的行列式,表示 C的逆矩阵，1?C
X和 是 n维列向量,表示 X的转置,? X?
设 =(X1,X2,…,Xn)是一个 n维随机向量,
若它的概率密度为
X?
n元 正态分布的几条重要性质
1,X=(X1,X2,…,Xn)服从 n元正态分布
a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn均服从正态分布,
对一切不全为 0的实数 a1,a2,…,an，
n元 正态分布的几条重要性质
2,若 X=(X1,X2,…,Xn)服从 n元正态分布，
Y1,Y2,…, Yk是 Xj（ j=1,2,…,n）的线性函数，
则 (Y1,Y2,…, Yk)也服从多元正态分布,
这一性质称为正态变量的线性变换不变性,
n元 正态分布的几条重要性质
3,设 (X1,X2,…,Xn)服从 n元正态分布，则
“X1,X2,…,Xn相互独立”
等价于
“X1,X2,…,Xn两两不相关”
例 2 设随机变量 X和 Y相互独立且 X~N(1,2),
Y~N(0,1),试求 Z=2X-Y+3的概率密度,
故 X和 Y的联合分布为正态分布,X和 Y的
任意线性组合是正态分布,
解, X~N(1,2),Y~N(0,1)，且 X与 Y独立,
Var(Z)=4Var(X)+Var(Y)=8+1=9
E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5
即 Z~N(E(Z),Var(Z))
Z~N(5,32)
故 Z的概率密度是
,
23
1)( 18 )5(
2?
?
?
z
Z ezf ? ????? z
Z~N(5,32)
这一讲我们介绍了协方差和相关系数
相关系数是刻划两个变量间 线性相关程度
的一个重要的数字特征,
注意独立与不相关并不是等价的,
当 (X,Y)服从二维正态分布时，有
X与 Y独立 X与 Y不相关?