第四章第三节
协方差与相关系数
任意两个随机变量 X和 Y的协方差,
记为 Cov(X,Y),定义为
⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X)
一、协方差
2.简单性质
⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
1.定义
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
可见，若 X与 Y独立,Cov(X,Y)= 0,
3,计算协方差的一个简单公式
由协方差的定义及期望的性质，可得
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)
=E(XY)-E(X)E(Y)
即
若 X1,X2,…,Xn两两独立,，上式化为
Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)+ 2Cov(X,Y)
4,随机变量 和的方差与协方差的关系
),(2)()(
1 1
ji
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i
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ii XXC o vXV a rXV a r ? ?
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????
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ii XV a rXV a r
1 1
)()(
协方差的大小在一定程度上反映了 X和 Y
相互间的关系，但它还受 X与 Y本身度量单位
的影响, 例如：
Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)
为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，
这就引入了 相关系数,
二,相关系数
为随机变量 X和 Y的相关系数,
定义, 设 Var(X)>0,Var(Y)>0,
)()(
),(
YV a rXV a r
YXC o v
XY ??
称
在不致引起混淆时，记 为,XY? ?
关于 ?XY的符号,
当 ?XY > 0时,称 X与 Y为 正相关,
当 ?XY < 0时,称 X与 Y为 负相关,
相关系数和协方差具有相同的符号,因此,
前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到
这里, 即
正相关表示两个随机变量有同时增加或同
时减少的变化趋势,
负相关表示两个随机变量有相反的变化趋
势,
相关系数的性质：
11 ?||,?
证, 由方差的性质和协方差的定义知,
对任意实数 b,有
0≤Var(Y-bX)= b2Var(X)+Var(Y)-2b Cov(X,Y )
)(
),(
XV a r
YXC o vb ?令,则上式为
Var(Y- bX)=
)(
)],([)( 2
XVa r
YXC o vYVa r ?
]
)()(
)],([1)[( 2
YVa rXVa r
YXC o vYVa r ?? ]1)[( 2??? YV a r
由方差 Var(Y)是正的,故必有
1- ≥ 0,所以 | |≤1。2? ?
2,X和 Y独立时,=0，但其逆不真,?
由于当 X和 Y独立时,Cov(X,Y)= 0.
故
)()(
),(
YV a rXV a r
YXC o v?? = 0
0??但由 并不一定能推出 X和 Y 独立,
请看下例,
证明,
例 1 设 (X,Y)服从单位圆域 x2+y2≤1
上的均匀分布,证明, ?XY =0。
?
?
?
?
?
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??
D)y,x(0
D)y,x(
1
)y,x(f
0dy0dyx dx
1
d x d y
x
)X(E
1
1
1
1
y1
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1yx
2
2
22
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∴ Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0
同样得 E(Y)=0
0dy0dyx d xy
1
d x d y
xy
)XY(E
1
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可易得 Var(X)>0,Var(Y)>0.
∴ ?XY =0,故 X与 Y不相关,
但是在例 3.6.2(P82)计算过,
X和 Y不相互独立,
1.3 ?? 存在常数 a,b(b≠0），
使 P{Y=a+bX}=1，
即 X和 Y以概率 1线性相关,
请看演示
相关系数的直观意义
但对下述情形，独立与不相关等价
若 (X,Y)服从二维正态分布，则
X与 Y独立 X与 Y不相关?
前面，我们已经看到：
若 X与 Y独立，则 X与 Y不相关，
但由 X与 Y不相关，不一定能推出 X与 Y独立,
参见书 P121--122
小结：本节主要介绍了协方差与相关系数，
它们都是用来刻画两个随机变量之间的相关
程度的量，它们取值的正副，反映了两个随
机变量变化方向的趋势。
稍事休息
协方差与相关系数
任意两个随机变量 X和 Y的协方差,
记为 Cov(X,Y),定义为
⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X)
一、协方差
2.简单性质
⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
1.定义
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
可见，若 X与 Y独立,Cov(X,Y)= 0,
3,计算协方差的一个简单公式
由协方差的定义及期望的性质，可得
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)
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即
若 X1,X2,…,Xn两两独立,，上式化为
Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)+ 2Cov(X,Y)
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为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，
这就引入了 相关系数,
二,相关系数
为随机变量 X和 Y的相关系数,
定义, 设 Var(X)>0,Var(Y)>0,
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称
在不致引起混淆时，记 为,XY? ?
关于 ?XY的符号,
当 ?XY > 0时,称 X与 Y为 正相关,
当 ?XY < 0时,称 X与 Y为 负相关,
相关系数和协方差具有相同的符号,因此,
前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到
这里, 即
正相关表示两个随机变量有同时增加或同
时减少的变化趋势,
负相关表示两个随机变量有相反的变化趋
势,
相关系数的性质：
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证, 由方差的性质和协方差的定义知,
对任意实数 b,有
0≤Var(Y-bX)= b2Var(X)+Var(Y)-2b Cov(X,Y )
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由方差 Var(Y)是正的,故必有
1- ≥ 0,所以 | |≤1。2? ?
2,X和 Y独立时,=0，但其逆不真,?
由于当 X和 Y独立时,Cov(X,Y)= 0.
故
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YV a rXV a r
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0??但由 并不一定能推出 X和 Y 独立,
请看下例,
证明,
例 1 设 (X,Y)服从单位圆域 x2+y2≤1
上的均匀分布,证明, ?XY =0。
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∴ ?XY =0,故 X与 Y不相关,
但是在例 3.6.2(P82)计算过,
X和 Y不相互独立,
1.3 ?? 存在常数 a,b(b≠0），
使 P{Y=a+bX}=1，
即 X和 Y以概率 1线性相关,
请看演示
相关系数的直观意义
但对下述情形，独立与不相关等价
若 (X,Y)服从二维正态分布，则
X与 Y独立 X与 Y不相关?
前面，我们已经看到：
若 X与 Y独立，则 X与 Y不相关，
但由 X与 Y不相关，不一定能推出 X与 Y独立,
参见书 P121--122
小结：本节主要介绍了协方差与相关系数，
它们都是用来刻画两个随机变量之间的相关
程度的量，它们取值的正副，反映了两个随
机变量变化方向的趋势。
稍事休息
