第2讲 构件的静力分析·件杆的基本变形
授课日期：
课 题：力偶和力矩·平面方程及应用·拉伸和压缩
课 型：课堂讲解
目的要求：1、掌握力矩和力偶的概念、性质、定理及分析计算方法
2、掌握平衡方程及其应用
3、掌握杆件拉伸与压缩的受力、变形特点，应力计算及许用应力
重点难点：1、力偶的定理与分析、平衡方程及应用
2、杆件拉伸与压缩的受力、变形特点，应力计算及许用应力
教 具：
教学方式及时间分配：课时总计3课时，教师课堂讲解主要内容
复习与课外作业： 安排学生复习、预习；作业
（2－1）
第二章 构件的静力分析
一、力矩和力偶
（一）力矩
力矩是力对一点的矩，其定义如下：
力对点的矩可以用一个代数量表示，其绝对值等于力的大小和力臂的乘积，其正负号按如下确定：力使物体绕矩心逆时针转动时为正；反之为负。
如下图：刚体上作用一力F，取O点，O点称为矩心；d称为力臂，则F对O点的矩用MO（F）
表示，其计算公式如下：
MO（F）＝±Fd 单位为牛顿·米（N·M）
由上式可知：
力的大小为零时，力矩为零
力的作用线通过矩心时，力臂为零，
力矩为零；
取不同矩心，力臂和转动方向都可 F
能改变，故同一力对不同矩心的力 图2－1
矩并不相同。
（二）合力矩定理
平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各力对该点之矩的代数和。
数学表达式为：
MO（R）＝MO（F1）＋MO（F2）＋…＋MO（Fi） （2－1）
（三） 力偶和力偶矩
1、力偶
作用在刚体上的一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶
2、力偶矩
由力偶产生的力矩之和。 图2－2
MO（F，F，）＝MO（F）＋MO（F，）
＝F（d＋a）＋F，·a
＝F·d
MO（F，F，）＝F·d （2－2）
由上表明：力偶对作用面内任一点的矩恒等于
力偶中一力的大小和力偶臂的乘积，它与力偶的旋转方向
有关而与矩心的位置无关，乘积Fd加上适当的正负号称为力偶矩
3、力偶等效变换的性质——平面力偶的等效条件
性质1：力偶可以在其作用平面内任意移动，而不改变它对刚体的作用。
性质2：只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
（2－2）
4、平面力偶系的合成与平衡
1）平面力偶系的合成
作用在刚体上同一平面内的几个力偶称为平面力偶系。平面力偶系能与一个力偶等效，这个力偶称为该平面力偶系的合力偶，合力偶等于力偶系中各力偶矩的代数和。
M＝M1＋M2＋M3＋…＝ΣMi
2）平面力偶系的平衡
平面力偶系平衡的必要和充分条件是各力偶矩的代数和为零。
ΣMi＝0
二 平面一般力系向一点简化（根据教学进度选讲）
平面一般力系的简化，通常是利用下述定理，将力向一点简化。
1、力的平移定理
作用在刚体上的力，可以在附加一个力偶的条件下，平移到刚体上任一指定点，而不改变原来对刚体的效应。附加力偶矩等于原力对指定点的矩。
图2－3
（a）图 （b）图 （c）图
2、平面一般力系向一点简化·主矢和主矩
如下图： 根据力的平移定理，由（a）图可简化得（b）图；根据力的平行四边形法则及力偶的合成，（b）图可简化得（c）图。
即： Fi′＝Fi Mi＝MO（Fi）
R′＝ΣFi′＝ΣFi （2－3）
MO＝ΣMi＝ΣMO（Fi） （2－4）
合力R′称为一般力系的主矢，其矩MO称为一般力系的主矩。
（2－3）
3、平面一般力系简化结果讨论（参考教材P35页）
1）力系平衡
当主矢和主矩同时为零时（R′＝0，MO＝0），力系必定平衡。
2）力系简化为合力
当主矢R′≠0，主矩MO＝0时，原力系与R′等效，这时主矢R′就是原力系的合力R，合力的大小和方向由式（2－4）确定，其作用线通过简化中心。
当主矢和主矩均不为零（R′≠0，MO≠0），可利用力的平移定理，将作用在同平面内的力R′和力偶M合成一个合力。
见图2－3反向推理。
3）力系简化为合力偶
当主矢R′＝0，主矩MO≠0时，原力系与MO等效，这时主矢MO就是原力系的合力偶。
综上所述：平面一般力系简化的最后结果有三种可能：平衡；简化为一个合力；简化为一个合力偶。
三、平衡方程及其应用 y
（一）平面受力时的解析表示法 F
平面受力时的解析表示法是通过力在坐标轴上的 Fy
投影为基础建立起来的。
如图：在力F的作用线所在的平面建立直角坐标
系Oxy，将力F分别向x轴和y轴投影则可得下式： Fx
Fx＝F·cosα O
Fy＝F·cosβ＝F·sinα x
tanα＝Fy /Fx
Fx、Fy是力F沿x轴和y轴分解所得的两正交分力，其正负号的规定为：与轴指向相同为正，反之为负。可见，利用力在直角座标轴上的投影可以表示力在直角座标上分力的大小和方向。
（二）平面受力时的平衡方程式
由前面可知：平面一般力系平衡的必要和充分条件是主矢和主矩同时为零。
即： R′＝ΣFi＝0
MO＝ΣMO（Fi）＝0 （2－6）
设力Fi在两坐标轴上的投影为Xi和Yi，主矢R′的投影为XR、YR。则
XR＝X1＋X2＋…＋Xn＝ΣXì
YR＝Y1＋Y2＋…＋Yn＝ΣYì
因而主矢 R′的大小为
R′＝ XR'＋YR'＝ （ΣXi）2＋（ΣYi）2
（2－4）
利用上式，将式（2－6）改写成(为简便计，将ΣMO（Fi）简写成ΣMO，并略去各投影的下标i)：
ΣX＝0
ΣY＝0 (2-7) 该式称为平面一般力系的平衡方程。
ΣMO＝0
即平面一般力系平衡的必要和充分条件是：在平面内，该力系中所有各力在两个任选的相互垂直的坐标轴上投影的代数和分别为零，以及这些力对任一点O之矩的代数和为零。
（三）应用平衡方程解题的注意事项
1、平面汇交力系和平面力偶系都是平面一般力系的特殊情况。因此，他们的平衡方程可作式(2-7)的特殊情况而导出。
如对平面汇交力系，无论其平衡与否，ΣMO＝0都能满足，平衡方程可写为：
ΣX＝0
ΣY＝0
2、为使计算简便，适当选取矩心的位置和坐标轴的方向：矩心选在两未知力的交点，坐标轴尽量与未知力垂直或与多数力平行。
3、解题的主要步骤：
选取一个或多个研究对象。
进行受力分析，画出受力图。
选取坐标系，计算各投影；选取矩心，计算各力的矩。
列出平衡方程，求知未知量。
例题一：
（2－5）
第3章：杆件的基本变形
本章的研究内容及几个基本概念
（一）本章研究的内容
本章研究的内容属材料力学范筹，所学习的内容，为材料力学中的一些基本知识。主要研究杆件的四种变形：
1）轴向拉压变形；
2）剪切变形；
3）扭转变形；
4）弯曲变形。
各种机械、设备和建筑，都是由许多构件或零件组成，受外力作用的构件，要能够正常的工作，一般须满足下面三个方面的要求：
1）足够的强度
2）必要的刚度
3）足够的稳定性
构件的强度、刚度和稳定性，有时统称为构件的承载能力。材料力学研究的是构件在外力作用下变形和破坏的规律，研究材料的力学性质，并根据构件受到的载荷及其工作要求，为构件选择材料、确定截面形状及尺寸，使其具有相应的承载能力。
（二） 材料力学的基本概念和基本假设
1、 强度
构件在外力的作用下，抵抗变形和破坏的能力。
2、 刚度
构件在一定外力的作用下，抵抗弹性变形的能力。
3、稳定性
在一定外力的作用下，构件维持其原有的平衡形式的能力。
4、材料力学的基本假设
材料力学研究的是构件在外力作用下变形和破坏，这时不能象理论力学那样，再把物体看成
为绝对刚体，而必须将物体视为右变形体。为便于研究，作如下假设：
连续均匀性假设：认为物体在其整个体积内毫无空隙地充满了物质，各点处的力学性质是完
全相同的。
各向同性假设：认为物体沿各个方向的力学性质是相同的。
（2－6）
二、拉伸和压缩
（一）内力与截面法
1、内力的概念
内力，即是构件内部之间或各质点之间的相互作用力。
构件在未受外力作用时，其中即有内力存在；当受到外力作用时，这些构件内力就要发生相应的变化，可以认为，在外力作用下出现了附加内力，材料力学中，只研究外力与附加内力的关系，故将附加内力简称为内力（杆件的外力作用下产生变形，其内部一部分对另一部分的作用称为内力）。
2、截面法
1）概念
将受外力作用的杆件假想地切开以显示内力，并以平衡条件来确定其合力的方法。
2）方法步骤 m
（1）在需求内力的截面处，将构件假想将其切开 F F
为两部分；
（2）留下一部分，弃去另一部分，并以内力代替 m
弃去部分对留下部分的作用； F N
（3）根据留下部分的平衡条件求出该截面的内力。
N F
N- F= 0 N= F
3）轴力
上述内力N为沿杆的轴线，称为截面m－m上的轴力。
由上可见，留下左侧或右侧，所求得的内力合力大小相等而指向相反。
当杆件受拉伸时，则轴力背离截面时为正号；反之，杆件受压缩，轴力指向截面时为负号。
（二）杆件拉伸与压缩的受力、变形特点·应力与应变
受力特点·应力
受力特点
作用于杆件上的外力合力的作用线沿杆件轴线。
平面假设
根据实验，可作用出如下假设：直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。
应力
根据“平面假设”可知，内力在横截面上是均匀分布的，若杆轴力为N，横截面面积为A，则单位面积上的内力为：
σ＝N/A
式中σ称为正应力，它反映了内力在横截面上分布的密度，国际单位为帕斯卡（Pa）。
当轴力为正号（拉伸）时，正应力也得正号，称为拉应力，常以σl表示；
当轴力为负号（压缩）时，正应力也得负号，称为压应力；常以σy表示。
（2－7）
变形特点·应变
变形特点
杆件在拉力或压力的作用下，沿轴线方向产生纵向伸长或缩短。
线应变
杆件单位长度的伸长或缩短，称为线应变（简称应变）ε，即
ε＝Δl/l
虎克定律
实验表明，工程上使用的材料大都有一个弹性阶段，在此范围内轴向拉、压杆件的伸长或缩短量Δl与轴力N和杆长l成正比，与横截面A成反比，即
Δl∝Nl/A
引入比例常数E，得到
Δl＝Nl/EA
式中E称为弹性模量（杨氏模量）。上式改写为
N /A＝E（Δl / l）
其中：N /A＝σ Δl / l＝ε
即
σ＝Eε
在弹性范围內，正应力与线应变成正比。这一关系，称为虎克定律。
（三）拉伸（压缩）时材料的力学性质
材料的力学性质，主要是指材料受力时在强度、变形方面表现出来的性质。
低碳钢拉伸时的力学性质
1）弹性阶段
2）屈服阶段
3）强化阶段
4）局部变形阶段
（2－8）
2、铸铁拉伸时的力学性质
约束力的方向与支承面垂直。
3、材料压缩时的力学性质
（四）许用应力和安全系数
根据前面知道，受拉压材料在达到或超过材料的极限应力σS时，材料就会破坏，为保证构件的安全，将测定的极限应力σS作适当降低，规定出杆件能安全工作的应力最大值，这就是许用应力〔σ〕。
〔σ〕＝σS/n
式中，n称为安全系数
为保证零件有足够的强度，必须使零件在受载后的最大工作应力不超过许用应力。
即：
σmax＝Nmax/A≤〔σ〕
例子（拉伸与压缩时的强度校核）：教材第33页。
（2－9）
