第三章 近平衡态的输运过程
(Transportation process near equilibrium)
前两章讨论的都是系统已经达到 平衡态 后的性质，并不关心系统
是如何 从非平衡态到平衡态 的。本章讨论这些过程的一个简单情
况,从近平衡态到平衡态 。
第一节 气体分子的碰撞频率与平均自由程
从 麦克斯韦速率分布 估算的气体分子 平均速率 在 500 m/s 左右，
但实验中发现一种气体向另一种气体的 扩散速率 很慢。
解释：气体 扩散速率 不但与气体 平均速率 有关，还与粒子 碰撞频率
有关。（醉鬼走路）。
给定气体平均速率，粒子碰撞频率越高，其扩散速率越低。
（一）有效碰撞截面与碰撞速度
碰撞截面
由于分子之间有相互作用，当分子 B
以相对速度 向分子 A靠近时，其
“运动轨迹”与分子 A到其入射方向
的 垂直距离 b (称为 瞄准距离 ）有关
对有效直径分别为 d1,d2 的分子碰撞，
（如图示 ),b增大，偏折角（出射角）变小。恰好使偏折角为 0
的瞄准距离 b=d 称为分子的 有效直径,以 d 为半径的“圆截面”
称为分子的散射截面，或碰撞截面，记为
2d?? ?
221
41 )( dd ?? ??
u?
显然刚球的有效直径就是刚球的直径
相对速度
两粒子发生碰撞的相对速度服从牛顿定律（两体问题）：
( 2 ), ( 1 ) ; 1221221211 FFdtvdmFdtvdm ????
??
0)(,)2()1( 2211 ??? vmvmdtd ??
定义质心：
21
2211
mm
rmrmr
c ?
?? ???
得：
0)( 21 ?? dtvdmm c
? 质心运动与碰撞无关，不予考虑。
1221212112 )()(,)2()1( Fmmvvdt
dmmmm ?????? ??
定义折合质量：,/)(
2121 mmmmm r ??
相对速度：
21 vvu
??? ??
12Fdt
udm
r ?
?
相对速度分布
在同一个地方 同时找到速度为),,( dzdydx
21,vv
?? 两分子概率为
zyxzyx
BB
zyxzyxzyxzyx
dvdvdvddvdvvmvm
TkTk
mm
dvdvdvvvvfdvdvdvvvvf
222111
2
22
2
113
2/3
21
222222111111
)
2
1
2
1
(
1
e x p
)2(
)(
),,(),,(
??
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?
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?
?
?
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?
容易证明：
22
21
2
22
2
11 2
1)(
2
1
2
1
2
1 umvmmvmvm
rc
???? ????
又因为 1
),(
),(
22
11
21 ?
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c
c
c
v
v
u
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v
v
u
v
uv
vv
J
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?
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zyxczcycx
zyxczcycxzyxzyx
dudududvdvdv
dudududvdvJ d vdvdvdvdvdvdv
?
?222111
两分子联合速度分布可写为：
zyxczcycx
r
BB
r
zyxzyx
BB
dudududvdvdv
vmvmm
TkTk
mmm
dvdvdvddvdvvmvm
TkTk
mm
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)(
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)2(
)(
2
2
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2/3
21
222111
2
22
2
113
2/3
21
??
??
?
?
在全空间对 积分，在对 可取的所有方向积分，得：
cv
? u?
dueu
Tk
mduuf Tk
um
B
r B
r
22
2/3 2
4
2
)(
?
??
?
?
??
?
?
? ?
?
2/1
8
???
?
???
?
?
r
B
m
Tku
?
当
21 mm ?
时，
,2/mm r ? vu 2?
（二）平均碰撞频率与平均自由程
上面分析的目的是把一个分子与其他分子发生碰撞的过程用一个 等
价的过程 代替。既：一个质量为 的分子以平
均速率 在有 静止分子 组成的气体中运动并与之碰撞。
)/( 2121 mmmmm r ??
u
这个等价分子的运动速率满足麦克斯
伟分布
dueu
Tk
mduuf Tk um
B
r B
r
22
2/3 2
4
2
)(
?
???
?
???
?? ?
?
可以把分子在单位时间里做过的轨迹拉
直，形成一个有效直径 d 为半径的圆筒。
在筒内的分子都可以与运动分子发生碰
撞。
在 时间内运动分子的平
均碰撞数为：
t?
ntudN c o l )( 2 ?? ?
平均碰撞频率为：
nvnvdnudZ ??? 22 22 ???
平均自由程为：
)(
22
1 TnkP
P
Tk
nZ
v
B
B ????
???
?
单位体积中总碰撞次数为：
2
2/1
222 4
2
2
2
1 n
m
TkdnvdZnZ B
AA ?
?
?
?
?
????
?
??
把这个分子看成是醉鬼。在它离开原地的平均距离为：
)/(105.5101.6102.8 389 smtttZR ?? ??????? ?
例,N2 分子在标准情况下
smvmnnmd /5 0 0,/107.2,37.0 325 ????
snvdZ /102.8107.25001037.014.34.12 9251822 ?????????? ??
mZv 89 101.6102.8/5 0 0/ ???????
步长?? NR
（三）气体分子的自由程分布
设自由程的概率密度函数为 择一个分子在行走了 后不
发生碰撞的几率为：
)(?f ?
????
?
???
0
)(1)(1 dfP
在这之后，分子又行走了 没有发生碰撞的几率为?d )(1 ?dP?
当 充分小时?d 0)0(,)0()( ??? PdPdP ??? 没有三分子碰撞事件
两事件为独立事件
)1) ) ((1()(1 ????? dPdP ?????
00 )],(1[)()()( ?????? )P(PddPd PdP ????? ???
解方程得
??? ??? eP 1)(
概率密度函数
???
??
??? e
d
dPf )(
由于
1)()(
00
?? ??
?
?
?
???? ?? dedf
归一化条件不能确定 ?
?
?
?
??????? ?? 1,1)(
00
???? ?
??
?? dedf
?
?
??
?? ef 1)(
平均自由程概率密度函数为
（柏松分布）
?1
)(lP
ll dll?
分子飞行时间的分布
以经过坐标 x 处的时间 t 表示碰撞概率。
,tvx ?,?? ?? v
则由
dxedxxf x?? ?? 1)(
得
dtedttf t?? ?? 1)(
例题：试计算 1mol理想气体中分子自由程在 ?1到 ?2之间的分子数及在此区间内
的分子自由程的平均值。
解：由分子按自由程分布的概率密度为
???? ?? eP 1)(
知，自由程在 ?~ ? + d?的区间内的分子数为 ???
??? dedPNdN N ??? 0)(0
对 1mol 理想气体,N0 = NA,则自由程在 ?1到 ?2之间的分子数为
? ? ??? ???? 21 21 21 ][)~( 21 ?? ?? ? ?????? ??? eeNdedNN AN A
自由程在 ?1 ~ ?2 之间的分子的自由程的平均值为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?? ?? 21
2
2
1
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2
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2
1
21
][
)~(~ ??
??
??
?
?
?
?
??????
ee
ee
eeN
deN
N
dN
A
A
第二节 输运现象的宏观规律
（一） 一些基本概念
驰豫
在均匀且恒定的外部条件下，当热力学系统对于平衡态 稍有偏离时,
粒子间的相互作用（碰撞）使之 向平衡态趋近 的现象称为驰豫现象。
输运过程
在孤立系统中，由于动量、能量、质量等的传递，各部分之间的宏
观相对运动、温度差异,密度差异将逐渐消失，系统将 从非平衡
态过渡到平衡态,这些过程统称为输运过程。
输运的方式
平衡条件
?
?
?
?
?
化学
热学
力学
?
?
?
?
?
扩散
热传导
粘滞输运方式
（二）黏滞现象的宏观规律
流动：
层流：流线平行
湍流：流线复杂，物理量的时
间平均值有不规则涨落
黏滞现象：
流体作层流时，通过任一平行于流速的截面两侧的相邻两
层流体间具有 互相阻滞 相对,滑动, 的现象。
牛顿黏滞定律
稳恒流动：
?
?
?
?
?
?
???
c o n s t a n t
0
dz
du
fdfd
?? 实验表明：
Sf dzdu???
其中 ?为流体的黏度、或动力黏度，也称
黏滞系数，单位 Nsm-2.,-”表示定向动量
总是沿着流速变小的方向输运。
切向动量流密度
动量流：单位时间内相邻流体层之间转移的 沿流体层切向 的定向
动量,记为：
dtdP /
动量流密度,单位面积上 转移的 动量流,
Sdt
dPJ
P ?
因为：
SJSdzdudtdPf p ????? ?
dz
duJ
P ???
得：,–”表示定向动量流总是沿着流速变小的方向输
运的 。
（三） 热量传递的宏观规律
热量传递的方式,传导；辐射；对流 。
热传导,当系统 各层 温度不均匀 时，热量从 高温 传向 低温区 的方
式称为热传导。 原因：热运动 。
辐射传热,当 两 系统 表面有温度差 时，由于表面温度不同，发射
或吸收的热辐射能量不同，致使 能量 从 高温系统 的表面 向 低温系
统 的表面 迁移,这种方式称为辐射传热。 原因：光子气体热运动
对流传热, 流体 从某处吸收热量后 流到 别处 向较冷的流体 释放出
热量 的传热方式称为对流传热。 原因：系统宏观运动
热传导现象的宏观规律
傅立叶传导定律：
SdzdTtQH ??????
热流量（热流）
“-”表示热流方向与温度梯度方向相反 ?为热导率（热导系数），单位 W/mK
热流密度：单位面积的热流量
dz
dTh ???
例题：一半径为 b的长圆柱形容器沿它的轴线上有一半径为 a、单位长度电阻为 R
的圆柱形长导线。圆柱形筒维持在恒温下，里面充有被测气体，当导线内有一小
电流 I通过时，测出容器壁与导线间的温度差为,假设此时已达到稳态传热，
试问待测气体的热导率为多大。
T?
解：由傅立叶定律知，热流密度为
dr
dTh ???
设圆筒长为 L，则半径为 r 处的圆柱面上通过的热流为
rLdrdTH ?? 2??
因为稳态传热时，在不同 r 处 H 都相同，则
r
dr
L
HdT
??2??
积分得
a
b
L
HT
ba ln2 ?????
又因为 RLIH
2? 所以
T
abRI
?
?
?
?
2
)/ln (2
辐射传热的规律
黑体：斯特藩 —玻 尔兹曼定律：
4TE B ??
一般物体（灰体）：基尔霍夫定律,辐射：
4TEE B ??? ??
吸收,ina aEE ? 反射,inr rEE ? ind dEE ?透射：
对流传热
牛顿冷却定律：
温度差不大时：
STTdtdQ )( 21 ?? ?
（四）扩散现象的宏观规律
扩散过程
扩散现象：当系统中粒子数密度不均匀时,由于粒子的热运动 使
粒子 从 密度高 的地方 迁移到 密度低 的地方的现象。
菲克扩散定律 (Fick)
粒子密度梯度
dz
d
zz
?? ?
?
?
?? 0
lim
质量通量（或质量流） J,单位时间
内通过 z=z0 处面元 ?S的质量
t
MJ
tM ?
??
?? 0
lim
菲克扩散定律
S
dt
dDJ
zz
M ???
??
?
???
? 0
?
?? d?
?
其中，,-”表示质量沿密度下降
（即逆密度梯度）的方向流动；
D为扩散系数，单位,m2s-1。
例题：两个体积都为 V 的容器用长为 L、横截面积 S很小（ ）的水平管
连通。开始时，左边容器中充有分压强为 的 CO和分压强为 的 N2组成
的混合气体，右边容器中装有压强为 p的纯 N2。设 CO向 N2中扩散及 N2向 CO中扩
散的扩散系数都为 D，试求出左边容器中 CO的分压强随时间变化的函数关系。
VLS ??
0pp?0p
解：设左、右两容器中 CO的数密度分别为 n1,n2，则由 Fick定律知，从左边容
器流向右边容器的 CO的粒子流率为,
SL nnDSLDNdtdNdtdMNJN AAMA ?????? ????????? ????? 212111 ?????
SLV nnDdtdn 211 ???
粒子数守恒,
0110121 2)( nnnnnnn ?????? dtLV
DS
nn
dn ??
? 01
1
2
)1(2)( 01 tLVDSentn ???
解得
)1()( 21 0 tp LVDSetp ???
第三节 气体中输运现象的微观解释
（一）基本假设
（ 1）气体 足够稀薄,三分子碰撞概率可以忽略不计，分子 平均
自由程公式有效 ；但 不能太稀薄,在非平衡气体中取出任一小单
元，单元内的 平均自由程公式有效 。
dV ????? ?3/1)(
（ 2） 局部平衡假设 。气体宏观非平衡，但在局部上可以 近似地
看成是平衡态 。在系统中取出任意小单元，单元内的温度、粒子
数密度、和平均运动速度可以确定。小单元的状态量随时间与空
间变化：
),( ),,( ),,( trvtrntrT ???
条件,状态参量在空间变化不太快 。
n
dz
dnv
dz
vdT
dz
dT ?????? ???,,
（二）输运过程中的流
在 ?t 时间内穿过 ?S 的
粒子数近似为
tSvntSN ????????? 61泻泻
1/6,6个面。严格计算是 1/4。
由于物理量 Q有分布 Q(z)，则由热运动引起的通过 z = z0 处平行于
xy平面的面元 ?S 的物理量为
BABA qtSvnqtSvnQ )6
1()
6
1( ?????????
?
其中,q为每个粒子携带的物理量 。相应的流则为
Snqnqv
t
QJ
BABA ????
??
? ])()[(6
NQq /?
假设当粒子越过 z0 后在 的路径中被同化（ 被同化所需
要的平均碰撞次数）：
?? ?
SnqnqvJ zzzzBA ??? ????? ])()[(6
00 ????
再假设物理量 Q在距离为 的范围内变化缓慢，则??
Svnq
dz
d
Snq
dz
dv
J
zz
zzBA
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
??
?
?
??
0
0
)(
3
2)]([
6
（三）输运系数的推导
粘滞过程,Q 是 动量,
umpq ???
S
dz
ud
vSvu
dz
d
Svunm
dz
d
J
zz
zz
p
????
?
?
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?
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??
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
3
)(
3
)(
3
0
0
与宏观定律比较，得
?
?
?
????? vm
n
vmnv
23233 ???
m
TkvTTmk BB
???
?? 8
3
2 2/1 ???
严格的理论推
导给出：
47.13215 ??
?
??
?
?? ??
与粒子数
密度无关
热传导过程 。 Q 是热量：
Tmcq V?? ?
SdzdTcvSvTn m cdzdJ
zz
V
zz
VE ???
??
?
????
??
?
??
???
?? 00 3
)(3 ?????
比较傅利叶传热定律，得
?
?
?
?
??
?
?
V
VV
cvm
c
n
vnmcv
23
2
1
33
?
??
与粒子数密度无关
2/1
3
2
T
Tmkc BV
??
??
?
?
严格的理论推导给出,68.364/76 ?? ??
扩散过程 。 Q 是质量：
?? d?
?
mq ?
S
dz
d
v
Svnm
dz
d
J
zz
zz
M
??
?
?
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?
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??
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?
?
?
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?
??
?
?
0
0
3
)(
3
?
?
?
?
?
比较宏观扩散定律（ Fick 定律），得：
2/3
2/1
2/3 1
)(
)(
3
2
2
8
33
T
pm
Tk
p
Tk
m
TkvD BBB ????
??
?
??
???
???
?
???
? ??
??
?
p
Tk
n
B
22
1严格的理论推
导给出,76.1169 ??
?
??
?
?? ??
黏度、热导率及扩散系数间的关系
?? Vc?
1/ ???DD?? ?
1/ ???Vc
或 严格,15/18/ ??? D
或 严格：
75/30/ ???Vc
适用性
实 验
理 论 2/1T?? 2/1T?? 2/3TD ? 2.1?
?
?D 5.2?
?
?
Vc
7.0T?? 7.0T?? 0.2~75.1TD ?
]5.1,3.1[??? D ]5.2,5.1[???
Vc
定性符合！
偏差源于刚球假设。
（四）稀薄气体的输运现象
稀薄气体特征,L~?
wpppt o t a l ZZZ ?? ??
通常：
,10~2 110 ?? svnZ ? m
nZ
v 710~
2
1 ???
?
?
因为
Zv /??
wpppt ??
?? ??? 111
Lt
111 ??
??
因为
Lt ?? nvnn
c ?? 4
1
黏滞现象
即 p??
热传导
2
1
3
1 ???? pTLcv
V???
RTp ??
扩散 对由小孔连接的两容器，动态平衡时，泻流数率相同，可
形成定向流。
(Transportation process near equilibrium)
前两章讨论的都是系统已经达到 平衡态 后的性质，并不关心系统
是如何 从非平衡态到平衡态 的。本章讨论这些过程的一个简单情
况,从近平衡态到平衡态 。
第一节 气体分子的碰撞频率与平均自由程
从 麦克斯韦速率分布 估算的气体分子 平均速率 在 500 m/s 左右，
但实验中发现一种气体向另一种气体的 扩散速率 很慢。
解释：气体 扩散速率 不但与气体 平均速率 有关，还与粒子 碰撞频率
有关。（醉鬼走路）。
给定气体平均速率，粒子碰撞频率越高，其扩散速率越低。
（一）有效碰撞截面与碰撞速度
碰撞截面
由于分子之间有相互作用，当分子 B
以相对速度 向分子 A靠近时，其
“运动轨迹”与分子 A到其入射方向
的 垂直距离 b (称为 瞄准距离 ）有关
对有效直径分别为 d1,d2 的分子碰撞，
（如图示 ),b增大，偏折角（出射角）变小。恰好使偏折角为 0
的瞄准距离 b=d 称为分子的 有效直径,以 d 为半径的“圆截面”
称为分子的散射截面，或碰撞截面，记为
2d?? ?
221
41 )( dd ?? ??
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显然刚球的有效直径就是刚球的直径
相对速度
两粒子发生碰撞的相对速度服从牛顿定律（两体问题）：
( 2 ), ( 1 ) ; 1221221211 FFdtvdmFdtvdm ????
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? 质心运动与碰撞无关，不予考虑。
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定义折合质量：,/)(
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相对速度：
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在同一个地方 同时找到速度为),,( dzdydx
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容易证明：
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时，
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（二）平均碰撞频率与平均自由程
上面分析的目的是把一个分子与其他分子发生碰撞的过程用一个 等
价的过程 代替。既：一个质量为 的分子以平
均速率 在有 静止分子 组成的气体中运动并与之碰撞。
)/( 2121 mmmmm r ??
u
这个等价分子的运动速率满足麦克斯
伟分布
dueu
Tk
mduuf Tk um
B
r B
r
22
2/3 2
4
2
)(
?
???
?
???
?? ?
?
可以把分子在单位时间里做过的轨迹拉
直，形成一个有效直径 d 为半径的圆筒。
在筒内的分子都可以与运动分子发生碰
撞。
在 时间内运动分子的平
均碰撞数为：
t?
ntudN c o l )( 2 ?? ?
平均碰撞频率为：
nvnvdnudZ ??? 22 22 ???
平均自由程为：
)(
22
1 TnkP
P
Tk
nZ
v
B
B ????
???
?
单位体积中总碰撞次数为：
2
2/1
222 4
2
2
2
1 n
m
TkdnvdZnZ B
AA ?
?
?
?
?
????
?
??
把这个分子看成是醉鬼。在它离开原地的平均距离为：
)/(105.5101.6102.8 389 smtttZR ?? ??????? ?
例,N2 分子在标准情况下
smvmnnmd /5 0 0,/107.2,37.0 325 ????
snvdZ /102.8107.25001037.014.34.12 9251822 ?????????? ??
mZv 89 101.6102.8/5 0 0/ ???????
步长?? NR
（三）气体分子的自由程分布
设自由程的概率密度函数为 择一个分子在行走了 后不
发生碰撞的几率为：
)(?f ?
????
?
???
0
)(1)(1 dfP
在这之后，分子又行走了 没有发生碰撞的几率为?d )(1 ?dP?
当 充分小时?d 0)0(,)0()( ??? PdPdP ??? 没有三分子碰撞事件
两事件为独立事件
)1) ) ((1()(1 ????? dPdP ?????
00 )],(1[)()()( ?????? )P(PddPd PdP ????? ???
解方程得
??? ??? eP 1)(
概率密度函数
???
??
??? e
d
dPf )(
由于
1)()(
00
?? ??
?
?
?
???? ?? dedf
归一化条件不能确定 ?
?
?
?
??????? ?? 1,1)(
00
???? ?
??
?? dedf
?
?
??
?? ef 1)(
平均自由程概率密度函数为
（柏松分布）
?1
)(lP
ll dll?
分子飞行时间的分布
以经过坐标 x 处的时间 t 表示碰撞概率。
,tvx ?,?? ?? v
则由
dxedxxf x?? ?? 1)(
得
dtedttf t?? ?? 1)(
例题：试计算 1mol理想气体中分子自由程在 ?1到 ?2之间的分子数及在此区间内
的分子自由程的平均值。
解：由分子按自由程分布的概率密度为
???? ?? eP 1)(
知，自由程在 ?~ ? + d?的区间内的分子数为 ???
??? dedPNdN N ??? 0)(0
对 1mol 理想气体,N0 = NA,则自由程在 ?1到 ?2之间的分子数为
? ? ??? ???? 21 21 21 ][)~( 21 ?? ?? ? ?????? ??? eeNdedNN AN A
自由程在 ?1 ~ ?2 之间的分子的自由程的平均值为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
??
?
?? ?? 21
2
2
1
1
21
2
1
21
2
1
21
][
)~(~ ??
??
??
?
?
?
?
??????
ee
ee
eeN
deN
N
dN
A
A
第二节 输运现象的宏观规律
（一） 一些基本概念
驰豫
在均匀且恒定的外部条件下，当热力学系统对于平衡态 稍有偏离时,
粒子间的相互作用（碰撞）使之 向平衡态趋近 的现象称为驰豫现象。
输运过程
在孤立系统中，由于动量、能量、质量等的传递，各部分之间的宏
观相对运动、温度差异,密度差异将逐渐消失，系统将 从非平衡
态过渡到平衡态,这些过程统称为输运过程。
输运的方式
平衡条件
?
?
?
?
?
化学
热学
力学
?
?
?
?
?
扩散
热传导
粘滞输运方式
（二）黏滞现象的宏观规律
流动：
层流：流线平行
湍流：流线复杂，物理量的时
间平均值有不规则涨落
黏滞现象：
流体作层流时，通过任一平行于流速的截面两侧的相邻两
层流体间具有 互相阻滞 相对,滑动, 的现象。
牛顿黏滞定律
稳恒流动：
?
?
?
?
?
?
???
c o n s t a n t
0
dz
du
fdfd
?? 实验表明：
Sf dzdu???
其中 ?为流体的黏度、或动力黏度，也称
黏滞系数，单位 Nsm-2.,-”表示定向动量
总是沿着流速变小的方向输运。
切向动量流密度
动量流：单位时间内相邻流体层之间转移的 沿流体层切向 的定向
动量,记为：
dtdP /
动量流密度,单位面积上 转移的 动量流,
Sdt
dPJ
P ?
因为：
SJSdzdudtdPf p ????? ?
dz
duJ
P ???
得：,–”表示定向动量流总是沿着流速变小的方向输
运的 。
（三） 热量传递的宏观规律
热量传递的方式,传导；辐射；对流 。
热传导,当系统 各层 温度不均匀 时，热量从 高温 传向 低温区 的方
式称为热传导。 原因：热运动 。
辐射传热,当 两 系统 表面有温度差 时，由于表面温度不同，发射
或吸收的热辐射能量不同，致使 能量 从 高温系统 的表面 向 低温系
统 的表面 迁移,这种方式称为辐射传热。 原因：光子气体热运动
对流传热, 流体 从某处吸收热量后 流到 别处 向较冷的流体 释放出
热量 的传热方式称为对流传热。 原因：系统宏观运动
热传导现象的宏观规律
傅立叶传导定律：
SdzdTtQH ??????
热流量（热流）
“-”表示热流方向与温度梯度方向相反 ?为热导率（热导系数），单位 W/mK
热流密度：单位面积的热流量
dz
dTh ???
例题：一半径为 b的长圆柱形容器沿它的轴线上有一半径为 a、单位长度电阻为 R
的圆柱形长导线。圆柱形筒维持在恒温下，里面充有被测气体，当导线内有一小
电流 I通过时，测出容器壁与导线间的温度差为,假设此时已达到稳态传热，
试问待测气体的热导率为多大。
T?
解：由傅立叶定律知，热流密度为
dr
dTh ???
设圆筒长为 L，则半径为 r 处的圆柱面上通过的热流为
rLdrdTH ?? 2??
因为稳态传热时，在不同 r 处 H 都相同，则
r
dr
L
HdT
??2??
积分得
a
b
L
HT
ba ln2 ?????
又因为 RLIH
2? 所以
T
abRI
?
?
?
?
2
)/ln (2
辐射传热的规律
黑体：斯特藩 —玻 尔兹曼定律：
4TE B ??
一般物体（灰体）：基尔霍夫定律,辐射：
4TEE B ??? ??
吸收,ina aEE ? 反射,inr rEE ? ind dEE ?透射：
对流传热
牛顿冷却定律：
温度差不大时：
STTdtdQ )( 21 ?? ?
（四）扩散现象的宏观规律
扩散过程
扩散现象：当系统中粒子数密度不均匀时,由于粒子的热运动 使
粒子 从 密度高 的地方 迁移到 密度低 的地方的现象。
菲克扩散定律 (Fick)
粒子密度梯度
dz
d
zz
?? ?
?
?
?? 0
lim
质量通量（或质量流） J,单位时间
内通过 z=z0 处面元 ?S的质量
t
MJ
tM ?
??
?? 0
lim
菲克扩散定律
S
dt
dDJ
zz
M ???
??
?
???
? 0
?
?? d?
?
其中，,-”表示质量沿密度下降
（即逆密度梯度）的方向流动；
D为扩散系数，单位,m2s-1。
例题：两个体积都为 V 的容器用长为 L、横截面积 S很小（ ）的水平管
连通。开始时，左边容器中充有分压强为 的 CO和分压强为 的 N2组成
的混合气体，右边容器中装有压强为 p的纯 N2。设 CO向 N2中扩散及 N2向 CO中扩
散的扩散系数都为 D，试求出左边容器中 CO的分压强随时间变化的函数关系。
VLS ??
0pp?0p
解：设左、右两容器中 CO的数密度分别为 n1,n2，则由 Fick定律知，从左边容
器流向右边容器的 CO的粒子流率为,
SL nnDSLDNdtdNdtdMNJN AAMA ?????? ????????? ????? 212111 ?????
SLV nnDdtdn 211 ???
粒子数守恒,
0110121 2)( nnnnnnn ?????? dtLV
DS
nn
dn ??
? 01
1
2
)1(2)( 01 tLVDSentn ???
解得
)1()( 21 0 tp LVDSetp ???
第三节 气体中输运现象的微观解释
（一）基本假设
（ 1）气体 足够稀薄,三分子碰撞概率可以忽略不计，分子 平均
自由程公式有效 ；但 不能太稀薄,在非平衡气体中取出任一小单
元，单元内的 平均自由程公式有效 。
dV ????? ?3/1)(
（ 2） 局部平衡假设 。气体宏观非平衡，但在局部上可以 近似地
看成是平衡态 。在系统中取出任意小单元，单元内的温度、粒子
数密度、和平均运动速度可以确定。小单元的状态量随时间与空
间变化：
),( ),,( ),,( trvtrntrT ???
条件,状态参量在空间变化不太快 。
n
dz
dnv
dz
vdT
dz
dT ?????? ???,,
（二）输运过程中的流
在 ?t 时间内穿过 ?S 的
粒子数近似为
tSvntSN ????????? 61泻泻
1/6,6个面。严格计算是 1/4。
由于物理量 Q有分布 Q(z)，则由热运动引起的通过 z = z0 处平行于
xy平面的面元 ?S 的物理量为
BABA qtSvnqtSvnQ )6
1()
6
1( ?????????
?
其中,q为每个粒子携带的物理量 。相应的流则为
Snqnqv
t
QJ
BABA ????
??
? ])()[(6
NQq /?
假设当粒子越过 z0 后在 的路径中被同化（ 被同化所需
要的平均碰撞次数）：
?? ?
SnqnqvJ zzzzBA ??? ????? ])()[(6
00 ????
再假设物理量 Q在距离为 的范围内变化缓慢，则??
Svnq
dz
d
Snq
dz
dv
J
zz
zzBA
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
??
?
?
??
0
0
)(
3
2)]([
6
（三）输运系数的推导
粘滞过程,Q 是 动量,
umpq ???
S
dz
ud
vSvu
dz
d
Svunm
dz
d
J
zz
zz
p
????
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
3
)(
3
)(
3
0
0
与宏观定律比较，得
?
?
?
????? vm
n
vmnv
23233 ???
m
TkvTTmk BB
???
?? 8
3
2 2/1 ???
严格的理论推
导给出：
47.13215 ??
?
??
?
?? ??
与粒子数
密度无关
热传导过程 。 Q 是热量：
Tmcq V?? ?
SdzdTcvSvTn m cdzdJ
zz
V
zz
VE ???
??
?
????
??
?
??
???
?? 00 3
)(3 ?????
比较傅利叶传热定律，得
?
?
?
?
??
?
?
V
VV
cvm
c
n
vnmcv
23
2
1
33
?
??
与粒子数密度无关
2/1
3
2
T
Tmkc BV
??
??
?
?
严格的理论推导给出,68.364/76 ?? ??
扩散过程 。 Q 是质量：
?? d?
?
mq ?
S
dz
d
v
Svnm
dz
d
J
zz
zz
M
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
0
0
3
)(
3
?
?
?
?
?
比较宏观扩散定律（ Fick 定律），得：
2/3
2/1
2/3 1
)(
)(
3
2
2
8
33
T
pm
Tk
p
Tk
m
TkvD BBB ????
??
?
??
???
???
?
???
? ??
??
?
p
Tk
n
B
22
1严格的理论推
导给出,76.1169 ??
?
??
?
?? ??
黏度、热导率及扩散系数间的关系
?? Vc?
1/ ???DD?? ?
1/ ???Vc
或 严格,15/18/ ??? D
或 严格：
75/30/ ???Vc
适用性
实 验
理 论 2/1T?? 2/1T?? 2/3TD ? 2.1?
?
?D 5.2?
?
?
Vc
7.0T?? 7.0T?? 0.2~75.1TD ?
]5.1,3.1[??? D ]5.2,5.1[???
Vc
定性符合！
偏差源于刚球假设。
（四）稀薄气体的输运现象
稀薄气体特征,L~?
wpppt o t a l ZZZ ?? ??
通常：
,10~2 110 ?? svnZ ? m
nZ
v 710~
2
1 ???
?
?
因为
Zv /??
wpppt ??
?? ??? 111
Lt
111 ??
??
因为
Lt ?? nvnn
c ?? 4
1
黏滞现象
即 p??
热传导
2
1
3
1 ???? pTLcv
V???
RTp ??
扩散 对由小孔连接的两容器，动态平衡时，泻流数率相同，可
形成定向流。
