第六章 图形变换
? 内容与要点：
? 矢量（向量），矩阵，
二维平移变换、放缩
变换、旋转变换、错
切变换、对称变换，
齐次坐标，变换的固
定坐标系模式与活动
坐标系模式，世界坐
标系、用户坐标系、
设备（屏幕）坐标系
与局部坐标系，裁剪
窗口与视区，二维图
形的显示流程图，窗
口到视区的变换，三
维平移变换、放缩变
换、旋转变换，坐标系之间的变换。
要点,
1,掌握矢量、矩阵以及它们的运算；
2,掌握二维平移变换、放缩变换、旋转变换、
错切变换及对称变换；
3,掌握变换的两种模式：固定坐标系模式与
活动坐标系模式；
4,掌握坐标系的概念：世界坐标系、用户坐
标系、设备（屏幕）坐标系与局部坐标系；
5,掌握什么是裁剪窗口与视区以及它们各自
的作用；
6,掌握齐次坐标的概念，二维（三维）变换
在其次坐标下的表示；
7,了解二维图形的显示过程，掌握窗口到视
区的变换；
8,掌握三维平移变换、放缩变换、旋转变换；
9,掌握坐标系之间的变换。
6.1变换的数学基础
1,矢量运算,加，减，模运算，点乘，叉
乘等运算；
2,矩阵运算,矩阵的加、减、乘、逆、转
置，求特征值等运算；
6.1.1 矢量运算
加，减，模运算，点乘，叉乘等运算；
矢量,是一有
向线段，具有
方向和大小两
个参数。
说明,CG中常
用的是 2D,3D
中的矢量。
（以 3D中的矢
量为主）
坐标系：
CG坐标系：例子
矢量 的几何意义
? 矢量 的几何
意义,任何一
个矢量可以平移为
从 原点 (0,0,0)出发
到 端点（ x,y,z） 的
一个有向线段
? 矢量 的表示
– r=r(x,y,z)
矢量 的运算
1) 矢量的长度
2) 数乘矢量
3) 两个矢量之和
4) 两个矢量的点积
，为两向量之间的夹角。
点积满足交换律和分配律
5) 两个矢量的叉积
叉积满足反交换律和分
配律
设有两个矢量
? V1（ x1,y1,z1）
? V2（ x2,y2,z2）
矢量 的运算
1) 矢量的长度
2) 数乘矢量
3) 两个矢量之和
4) 两个矢量的点积
为两向量之间的夹角。
点积满足；
– 交换律
– 分配律
5) 两个矢量的叉积
叉积满足：
– 反交换律
– 分配律
矢量 的运算
5) 两个矢量的叉积
叉积满足：
– 反交换律
– 分配律
6.1.2 矩阵运算
1,一个 m行 n列矩阵 A
第 i个行向量：
第 j个列向量：
1) 矩阵的加法运算
1,设两个矩阵 A和 B都是 mxn的，把他们对
应位置的元素相加而得到的矩阵叫做 A、
B的和，记为 A＋ B
说明：
两个矩阵
的行数
和列数
都相同
时才能
加法
2) 数乘矩阵
３）矩阵的乘法运算
4) 单位矩阵
5) 矩阵的转置
6) 矩阵的逆
7) 矩阵运算的基本性质
1,矩阵加法适合交换律与结合律
2,数乘矩阵适合分配律与结合律
3,矩阵的乘法适合结合律
4,矩阵的乘法对加法适合分配律
5,矩阵的乘法不适合交换率
6.2 齐次坐标
? 所谓齐次坐标就是将一个原本是 n维的向量用一
个 n+1维向量来表示。
? 例如,２ D中 (x,y)的齐次坐标是 (x,y,1)或 (r*x,r*y,r)
如齐次坐标 [8,4,2],[4,2,1]表示的都是二维点 [2,1]。
? 好处：
– 提供用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个
坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。
– 它可以表示无穷远的点。 n+1维的齐次坐标中如果 h=0，实际上就
表示了 n维空间的一个无穷远点。对于齐次坐标 [a,b,h]，保持 a,b
不变，的过程就表示了在二维坐标系中的一个点沿直线 ax+by=0
逐渐走向无穷远处的过程。
６．３ 二维基本变换
? 注意：几何变换都
将采用齐次坐标
? 二维齐次坐标变换
的矩阵的形式是：
对图形进行缩放、
旋转、对称、错
切等变换；
对图形进行平移
变换；
对图形作投影变
换；
对图形整体进行
缩放变换。
1）平移变换
?
2）缩放变换
3）旋转变换
? 二维图形绕原点
旋转 角的变换
形式
? 逆时针旋转
取正值，顺时针
旋转 取负值
６．４ 复合变换
? 一个复杂的变换可以分解为若干基本的变换
复杂变换 若干基本的变换
每个基本变
换为一矩阵复杂变换用一个合成矩阵描述 多个基本变换的矩阵的乘积
6.4.1复合平移
两次平移合成相当于一次平移
6.4.2 复合缩放
两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘
6.4.3复合旋转
? 两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加
6.4.4 参考点
? 缩放、旋转变换
都与 参考点 有
关,
? 变换都是以原点
为参考点的。如
果相对某个一般
的参考点（ xf,yf）
作缩放、旋转变
换，相当于将该
点先移到坐标原
点处，然后进行
缩放、旋转变换，
最后将（ xf,yf）
点移回原来的位
置。
? 注意,(1)复合变换
时，先作用的变
换矩阵在右端，
后作用的变换矩
阵在左端。 (2)变
换的顺序
6.4.5 关于（ xf,yf）点的缩放变换
example
6.4.6绕（ xf,yf）点的旋转变换
6.4.7对称变换
? ----图形关于一个镜面的反射图形（二维
时镜面为直线）,
对称变换其实只
是 a,b,d,e取 0、
1等特殊值产生的
一些特殊效果
对称的情形
? （ 1） 关于 x轴对称,b=d=0,a=1,e=-1，有 x/=x,y/=-y；
? （ 2） 关于 y轴对称,b=d=0,a=-1,e=1，有 x/=-x,y/=y；
? （ 3） 关于原点对称,b=d=0,a=e=-1，有 x/=-x,y/=-y；
? （ 4） 关于直线 y=x对称,b=d=1,a=e=0，有 x/=y,y/=x；
? （ 5） 关于直线 y=-x对称,b=d=-1,a=e=0，有 x/=-y,y/=-x。
? 关于任意直线对称
6.4.8 错切变换
? 图形上某坐标不变（依赖轴），另一坐
标关于不变坐标呈线性变化,
6.4.9仿射变换
? 保持平行关系不变
6.5二维图形的显示流程
现实世界 裁剪 视图 显示
坐标系
1,世界坐标系 (world coordinate)：用户在图形对象所在空间定义
2,用户坐标系 (user coordinate):用户按自己的习惯定义
3,局部坐标系 (local coordinate)：简化图形对象的描述，相对于
图形定义
局
部
坐
标
系
世界
坐标
系与
局部
坐标
系
? 屏幕坐标系 (screen coordinate)：屏幕上定
义
? 设备坐标系 (device coordinate)：图形输出
设备上定义
? * 窗口：图形很大，屏幕有限，在世界
坐标系中指定一个矩形区域，用来指定
要显示的图形。
? * 视区：在设备坐标系（屏幕或绘图纸）
上指定的矩形区域，用来指定窗口内的
图形在屏幕上显示的大小及位置
窗口到视区的变换
? 窗口与视区在不同坐标系，须进行变换
6.6 窗口区到视图区的变换
? 实际的窗口区与视图区的大小不一样，
要在视图区正确地显示形体的，必须将
其从窗口区变换到视图区。
变换的求法：分解与合成
? 1） 窗口区的边与坐标轴平行
? 2） 窗口区的边与坐标轴不平行
6.7 三维几何变换
? 三维齐次坐标
? 三维坐标系,右手系
? 三维几何变换矩阵
? * 平移变换
? * 缩放变换
* 绕坐标轴的旋转变换
1,绕 x轴旋转
2,绕 y轴旋转
3,绕 z轴旋转
4,绕任意轴的旋转变换
* 错切变换
* 对称变换
6.7.1 三维齐次坐标
? 由于用齐次坐标表示，三维空间中的
点 (x,y,z)的齐次坐标定义为 (xh,yh,zh,h)(h
为不等于零的任意常数 )，其标准齐次坐
标为 (x,y,z,1).
6.7.2 三维坐标系,右手系
?
6.7.3 三维几何变换矩阵
? 4阶方阵 缩放、旋转、错切等
平移变换 投影变换
整体
的缩
放变
换
6.7.3.1平移变换
6.7.3.2 缩放变换
? 考虑相对于参
考点（ xf,yf，
zf）的缩放变
换，步骤：
? A,将平移到
坐标原点处；
? B,进行缩放
变换；
? C,将参考点
（ xf,yf,zf）
移回原来位置
6.7.3.3 绕坐标轴的旋转变换
? 右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋
转 q 角的变换,绕 x轴旋转
6.7.3.3 绕坐标轴的旋转变换
? 右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋
转 q 角的变换,绕 y轴旋转
6.7.3.3 绕坐标轴的旋转变换
? 右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋
转 q 角的变换,绕 z轴旋转
绕任意轴的旋转变换
? 设旋转轴 AB由任意一点 A（ xa,ya,za）
及其方向数（ a,b,c）定义，空间一点
P（ xp,yp,zp）绕 AB轴旋转 角到 P'(xp'，
yp',zp')，则：
实现 P点旋转的步骤：
A,将 A点移到坐标原点。
B,使 AB分别绕 X轴,Y轴旋转适当角度
与 Z轴重合。
C,将点 P绕 Z轴旋转 角。
作上述变换的逆操作，使 AB回到原来
位置。
? 各个矩阵的形式参照上面所讲的平移、
选择矩阵，而, 分别是 AB在 YOZ平面
与 XOZ平面的投影与 Z轴的夹角。
错切变换
? z轴为依赖轴，坐标不变,x y坐标依 z坐
标线性变化
对称变换
? （关于 xy平面）
6.8 坐标系变换
? 同一图形对象在不同坐标系中的表示，需
要坐标系之间的变换，即用矩阵将图形从
一个坐标系中变换到另一个坐标系中,
坐标系,OXYZ和 O'UVN,点 O'和单位向量 O'U,O'V,O'N在
OXYZ中的坐标为 (Ox,Oy,Oz),(Ux,Uy,Uz),(Vx,Vy,Vz)、
(Nx,Ny,Nz)，现要将坐标系 OXYZ中的图形 变换到 坐标系 O'UVN
中去，记变换为 Mxyz->uvn.由线性代数知识可以求得坐标系之
间的正交变换为,R=
但其中还应有坐标系位置关系的平移变换，即坐标系之间的
变换应为,Mxyz->uvn=R·T(-Ox,-Oy,-Ox).这个变换也可以由
复合变换得到。
? 内容与要点：
? 矢量（向量），矩阵，
二维平移变换、放缩
变换、旋转变换、错
切变换、对称变换，
齐次坐标，变换的固
定坐标系模式与活动
坐标系模式，世界坐
标系、用户坐标系、
设备（屏幕）坐标系
与局部坐标系，裁剪
窗口与视区，二维图
形的显示流程图，窗
口到视区的变换，三
维平移变换、放缩变
换、旋转变换，坐标系之间的变换。
要点,
1,掌握矢量、矩阵以及它们的运算；
2,掌握二维平移变换、放缩变换、旋转变换、
错切变换及对称变换；
3,掌握变换的两种模式：固定坐标系模式与
活动坐标系模式；
4,掌握坐标系的概念：世界坐标系、用户坐
标系、设备（屏幕）坐标系与局部坐标系；
5,掌握什么是裁剪窗口与视区以及它们各自
的作用；
6,掌握齐次坐标的概念，二维（三维）变换
在其次坐标下的表示；
7,了解二维图形的显示过程，掌握窗口到视
区的变换；
8,掌握三维平移变换、放缩变换、旋转变换；
9,掌握坐标系之间的变换。
6.1变换的数学基础
1,矢量运算,加，减，模运算，点乘，叉
乘等运算；
2,矩阵运算,矩阵的加、减、乘、逆、转
置，求特征值等运算；
6.1.1 矢量运算
加，减，模运算，点乘，叉乘等运算；
矢量,是一有
向线段，具有
方向和大小两
个参数。
说明,CG中常
用的是 2D,3D
中的矢量。
（以 3D中的矢
量为主）
坐标系：
CG坐标系：例子
矢量 的几何意义
? 矢量 的几何
意义,任何一
个矢量可以平移为
从 原点 (0,0,0)出发
到 端点（ x,y,z） 的
一个有向线段
? 矢量 的表示
– r=r(x,y,z)
矢量 的运算
1) 矢量的长度
2) 数乘矢量
3) 两个矢量之和
4) 两个矢量的点积
，为两向量之间的夹角。
点积满足交换律和分配律
5) 两个矢量的叉积
叉积满足反交换律和分
配律
设有两个矢量
? V1（ x1,y1,z1）
? V2（ x2,y2,z2）
矢量 的运算
1) 矢量的长度
2) 数乘矢量
3) 两个矢量之和
4) 两个矢量的点积
为两向量之间的夹角。
点积满足；
– 交换律
– 分配律
5) 两个矢量的叉积
叉积满足：
– 反交换律
– 分配律
矢量 的运算
5) 两个矢量的叉积
叉积满足：
– 反交换律
– 分配律
6.1.2 矩阵运算
1,一个 m行 n列矩阵 A
第 i个行向量：
第 j个列向量：
1) 矩阵的加法运算
1,设两个矩阵 A和 B都是 mxn的，把他们对
应位置的元素相加而得到的矩阵叫做 A、
B的和，记为 A＋ B
说明：
两个矩阵
的行数
和列数
都相同
时才能
加法
2) 数乘矩阵
３）矩阵的乘法运算
4) 单位矩阵
5) 矩阵的转置
6) 矩阵的逆
7) 矩阵运算的基本性质
1,矩阵加法适合交换律与结合律
2,数乘矩阵适合分配律与结合律
3,矩阵的乘法适合结合律
4,矩阵的乘法对加法适合分配律
5,矩阵的乘法不适合交换率
6.2 齐次坐标
? 所谓齐次坐标就是将一个原本是 n维的向量用一
个 n+1维向量来表示。
? 例如,２ D中 (x,y)的齐次坐标是 (x,y,1)或 (r*x,r*y,r)
如齐次坐标 [8,4,2],[4,2,1]表示的都是二维点 [2,1]。
? 好处：
– 提供用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个
坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。
– 它可以表示无穷远的点。 n+1维的齐次坐标中如果 h=0，实际上就
表示了 n维空间的一个无穷远点。对于齐次坐标 [a,b,h]，保持 a,b
不变，的过程就表示了在二维坐标系中的一个点沿直线 ax+by=0
逐渐走向无穷远处的过程。
６．３ 二维基本变换
? 注意：几何变换都
将采用齐次坐标
? 二维齐次坐标变换
的矩阵的形式是：
对图形进行缩放、
旋转、对称、错
切等变换；
对图形进行平移
变换；
对图形作投影变
换；
对图形整体进行
缩放变换。
1）平移变换
?
2）缩放变换
3）旋转变换
? 二维图形绕原点
旋转 角的变换
形式
? 逆时针旋转
取正值，顺时针
旋转 取负值
６．４ 复合变换
? 一个复杂的变换可以分解为若干基本的变换
复杂变换 若干基本的变换
每个基本变
换为一矩阵复杂变换用一个合成矩阵描述 多个基本变换的矩阵的乘积
6.4.1复合平移
两次平移合成相当于一次平移
6.4.2 复合缩放
两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘
6.4.3复合旋转
? 两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加
6.4.4 参考点
? 缩放、旋转变换
都与 参考点 有
关,
? 变换都是以原点
为参考点的。如
果相对某个一般
的参考点（ xf,yf）
作缩放、旋转变
换，相当于将该
点先移到坐标原
点处，然后进行
缩放、旋转变换，
最后将（ xf,yf）
点移回原来的位
置。
? 注意,(1)复合变换
时，先作用的变
换矩阵在右端，
后作用的变换矩
阵在左端。 (2)变
换的顺序
6.4.5 关于（ xf,yf）点的缩放变换
example
6.4.6绕（ xf,yf）点的旋转变换
6.4.7对称变换
? ----图形关于一个镜面的反射图形（二维
时镜面为直线）,
对称变换其实只
是 a,b,d,e取 0、
1等特殊值产生的
一些特殊效果
对称的情形
? （ 1） 关于 x轴对称,b=d=0,a=1,e=-1，有 x/=x,y/=-y；
? （ 2） 关于 y轴对称,b=d=0,a=-1,e=1，有 x/=-x,y/=y；
? （ 3） 关于原点对称,b=d=0,a=e=-1，有 x/=-x,y/=-y；
? （ 4） 关于直线 y=x对称,b=d=1,a=e=0，有 x/=y,y/=x；
? （ 5） 关于直线 y=-x对称,b=d=-1,a=e=0，有 x/=-y,y/=-x。
? 关于任意直线对称
6.4.8 错切变换
? 图形上某坐标不变（依赖轴），另一坐
标关于不变坐标呈线性变化,
6.4.9仿射变换
? 保持平行关系不变
6.5二维图形的显示流程
现实世界 裁剪 视图 显示
坐标系
1,世界坐标系 (world coordinate)：用户在图形对象所在空间定义
2,用户坐标系 (user coordinate):用户按自己的习惯定义
3,局部坐标系 (local coordinate)：简化图形对象的描述，相对于
图形定义
局
部
坐
标
系
世界
坐标
系与
局部
坐标
系
? 屏幕坐标系 (screen coordinate)：屏幕上定
义
? 设备坐标系 (device coordinate)：图形输出
设备上定义
? * 窗口：图形很大，屏幕有限，在世界
坐标系中指定一个矩形区域，用来指定
要显示的图形。
? * 视区：在设备坐标系（屏幕或绘图纸）
上指定的矩形区域，用来指定窗口内的
图形在屏幕上显示的大小及位置
窗口到视区的变换
? 窗口与视区在不同坐标系，须进行变换
6.6 窗口区到视图区的变换
? 实际的窗口区与视图区的大小不一样，
要在视图区正确地显示形体的，必须将
其从窗口区变换到视图区。
变换的求法：分解与合成
? 1） 窗口区的边与坐标轴平行
? 2） 窗口区的边与坐标轴不平行
6.7 三维几何变换
? 三维齐次坐标
? 三维坐标系,右手系
? 三维几何变换矩阵
? * 平移变换
? * 缩放变换
* 绕坐标轴的旋转变换
1,绕 x轴旋转
2,绕 y轴旋转
3,绕 z轴旋转
4,绕任意轴的旋转变换
* 错切变换
* 对称变换
6.7.1 三维齐次坐标
? 由于用齐次坐标表示，三维空间中的
点 (x,y,z)的齐次坐标定义为 (xh,yh,zh,h)(h
为不等于零的任意常数 )，其标准齐次坐
标为 (x,y,z,1).
6.7.2 三维坐标系,右手系
?
6.7.3 三维几何变换矩阵
? 4阶方阵 缩放、旋转、错切等
平移变换 投影变换
整体
的缩
放变
换
6.7.3.1平移变换
6.7.3.2 缩放变换
? 考虑相对于参
考点（ xf,yf，
zf）的缩放变
换，步骤：
? A,将平移到
坐标原点处；
? B,进行缩放
变换；
? C,将参考点
（ xf,yf,zf）
移回原来位置
6.7.3.3 绕坐标轴的旋转变换
? 右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋
转 q 角的变换,绕 x轴旋转
6.7.3.3 绕坐标轴的旋转变换
? 右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋
转 q 角的变换,绕 y轴旋转
6.7.3.3 绕坐标轴的旋转变换
? 右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋
转 q 角的变换,绕 z轴旋转
绕任意轴的旋转变换
? 设旋转轴 AB由任意一点 A（ xa,ya,za）
及其方向数（ a,b,c）定义，空间一点
P（ xp,yp,zp）绕 AB轴旋转 角到 P'(xp'，
yp',zp')，则：
实现 P点旋转的步骤：
A,将 A点移到坐标原点。
B,使 AB分别绕 X轴,Y轴旋转适当角度
与 Z轴重合。
C,将点 P绕 Z轴旋转 角。
作上述变换的逆操作，使 AB回到原来
位置。
? 各个矩阵的形式参照上面所讲的平移、
选择矩阵，而, 分别是 AB在 YOZ平面
与 XOZ平面的投影与 Z轴的夹角。
错切变换
? z轴为依赖轴，坐标不变,x y坐标依 z坐
标线性变化
对称变换
? （关于 xy平面）
6.8 坐标系变换
? 同一图形对象在不同坐标系中的表示，需
要坐标系之间的变换，即用矩阵将图形从
一个坐标系中变换到另一个坐标系中,
坐标系,OXYZ和 O'UVN,点 O'和单位向量 O'U,O'V,O'N在
OXYZ中的坐标为 (Ox,Oy,Oz),(Ux,Uy,Uz),(Vx,Vy,Vz)、
(Nx,Ny,Nz)，现要将坐标系 OXYZ中的图形 变换到 坐标系 O'UVN
中去，记变换为 Mxyz->uvn.由线性代数知识可以求得坐标系之
间的正交变换为,R=
但其中还应有坐标系位置关系的平移变换，即坐标系之间的
变换应为,Mxyz->uvn=R·T(-Ox,-Oy,-Ox).这个变换也可以由
复合变换得到。
