十一 齿轮机构设计
1．教学目标
1．了解齿轮机构的类型和应用；
2．了解平面齿轮机构的齿廓啮合基本定理；
3．深入了解渐开线齿轮的啮合特性及正确啮合的条件、连续传动条件等；
4．熟悉渐开线齿轮各部分的名称、基本参数及几何尺寸计算；
5．了解渐开线齿廓的展成切齿原理及根切现象、最少齿数；
6．了解斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成、啮合特点，并能计算其几何尺寸；
7．了解标准直齿圆锥齿轮的传动特点及其基本尺寸计算。
8．了解掌握齿轮传动的失效形式和设计准则，常用的材料及热处理方法。
9．掌握圆柱齿轮传动的设计和强度校核方法。对斜齿圆柱齿轮传动的设计方法有所了解和掌握。
10．掌握圆锥齿轮传动设计的特点。
2．教学重点和难点
重点：渐开线直齿圆柱齿轮外啮合传动的基本理论和设计计算。齿轮传动的失效形式和设计准则。圆柱齿轮传动的设计和强度校核方法。
难点：共轭齿廓的确定；啮合过程；锥齿轮的当量齿轮和齿数。
3．讲授方法：
§6.1 概述（齿轮机构的应用和分类）
对于齿轮的形状，我们大家并不陌生，同时也知道几乎所有的机器上都有齿轮的应用。但是，对于各种各样的齿轮各有什么特点，为什么应用的这么广泛，我们如何才能对其进行科学的分类等等，我们也许不太清楚，或者说不能用科学的语言对其进行描述。那么这一节中我们就要来了解这些内容，这些内容也是我们对齿轮进行进一步讨论所必须的。
齿轮机构是历史上应用最早的传动机构之一，被广泛地应用于传递空间任意两轴间的运动和动力。它与其它机械传动相比，具有传递功率大、效率高、传动比准确、使用寿命长、工作安全可靠等特点。但是要求有较高的制造和安装精度，成本较高；不宜在两轴中心距很大的场合使用。
在所有众多的齿轮机构中，直齿圆柱齿轮机构是最基本、也是最常用的一种，所以本章中我们也就以直齿圆柱齿轮作为研究的重点。
齿轮传动类型很多，有不同的分类方法。
1、按照齿轮副中两轴的相对位置、齿轮传动可以分为平行轴齿轮传动、相交轴齿轮传动和交错轴齿轮传动三类。（按照传递运动和力的方向可以分为平面齿轮机构和空间齿轮机构，也就是按照主、从动轮轴线是否平行的划分方法）。
2、按传动比（）是否恒定分为定传动比（）和变传动比（）传动齿轮机构。
在定传动比传动的齿轮机构中，齿轮都是圆柱形或圆锥形的，所以我们把这类齿轮机构又称为圆形齿轮机构，如图6-1所示。
在定传动比齿轮机构中，根据啮合方式的不同有多种类型的齿轮机构，如外啮合直齿、斜齿，内啮合直齿、斜齿，曲齿啮合，齿条等等。如图所示。
而在变传动比的传动机构中，齿轮一般是非圆形的，例如椭圆齿轮机构传动，如图4－2所示。所以该类机构又称为非圆齿轮机构。
3、按使用要求分类：
4、从齿廓曲线分类：
5、从外形分类：
6、从工作条件分类：
齿轮传动的主要类型、特点和应用见下表5－1。
由于动力渐开线圆柱齿轮传动的应用十分广泛，同时又是讨论其它类型齿轮传动的基础，所以我们在本章主要讨论这类齿轮传动。
齿轮传动是靠主、从动轮的轮齿依次啮合来传递连续回转运动和动力的。因此，为了使传递的回转运动每一瞬时都保持稳定不变的速比，避免产生震动和冲击；并能够传递一定的动力（功率），使轮齿承受一定大小的力，特对齿轮传动提出了以下的要求：
1、传动平稳、可靠，能保证实现瞬时角速比（传动比）恒定；即对不同用途的齿轮，要求不同程度的工作平稳性指标，使齿轮传动中产生的振动、噪声在允许的范围内，保证机器的正常工作。
2、有足够的承载能力。即要求齿轮尺寸小、重量轻，能传递较大的力，有较长的使用寿命。也就是在工作过程中不折齿、齿面不点蚀，不产生严重磨损而失效。
§6.2 齿廓啮合基本定理
一个齿轮的最关键部位是其轮廓的齿廓曲线，这是因为一对齿轮之间是依靠主动轮轮齿的齿廓推动从动轮轮齿的齿廓来实现的。这样一对互相啮合的、能实现预定传动比的齿廓就称为共轭齿廓。因此，实际应用中的任何一对齿轮机构中，互相啮合的齿廓都是共轭齿廓。那么，齿轮的齿廓曲线究竟与一对齿轮的传动比有什么关系呢？
如图6-3所示为一对互相啮合的齿轮，主动轮1以角速度转动并推动从动轮2以角速度反向回转，O1、O2分别为两轮的回转中心。两轮轮齿的齿廓C1、C2在任意一点K接触，在K点处，两轮的线速度分别为和。
过K点作两齿廓的公法线nn。我们知道，要使两齿廓实现正常的接触传动，它们彼此既不分离，也不能互相嵌入。因此，和在公法线nn上的分速度（即投影）应该相等。所以齿廓接触点间相对速度必与公法线nn垂直，即满足齿廓啮合方程：
根据三心定理，啮合齿廓公法线nn与两轮连心线的交点P即为两齿轮的相对瞬心，点P称为啮合节点（简称节点）。故两齿轮的传动比为：
………………………6－2
由此，我们可以得到齿廓啮合基本定理：任意一瞬时相互啮合传动的一对齿轮，其传动比与两啮合齿轮齿廓接触点公法线分两轮连心线的两线段长成正比。
由于两齿轮在传动过程中，其轴心O1、O2均为定点，由式4-2可知，传动比随P点位置的不同而变化。若要求两齿轮的传动比为常数，P点应为定点。所以，我们得到两齿轮作定传动比传动的齿廓啮合条件是：两齿廓在任一位置接触点处的公法线必须与两齿轮的连心线始终交于一固定点。
当两轮作定传动比传动时，节点P在两轮的运动平面上的轨迹是两个圆，我们分别称其为轮1和轮2的节圆，节圆半径分别为和。由于两节圆在P点相切，并且P点处两轮的圆周速度相等，即：，故两齿轮啮合传动可视为两轮的节圆在作纯滚动。
当两轮作变传动比传动时，节点P在两轮的运动平面上的轨迹则为非圆曲线，称之为节线（椭圆齿轮传动）。
一般说来，只要给出一条齿廓曲线，就可以根据啮合的基本定律求出与其共轭的另一条齿廓曲线。（关于共轭曲线的求法，有兴趣的同学可以自学）
本章中我们主要研究传动比为恒定的齿轮传动，也就是节圆为圆形的齿轮传动。在这类传动中，目前常用的齿廓曲线有渐开线、摆线和变态摆线等，随着生产和科学的发展，新的齿廓曲线将会不断出现。
由于用渐开线作为齿廓曲线，不但传动性良好、容易制造，而且便于设计、制造、测量和安装，具有良好的互换性。所以，目前绝大多数齿轮都采用渐开线作齿廓曲线。渐开线齿廓的研究和应用已有近300年的历史。
§6.3 渐开线的形成及特性
一．渐开线的形成
如图6-4所示，当直线BC沿一圆周作纯滚动时，直线上任意点I的轨迹AI，称为该圆的渐开线。这个圆称为渐开线的基圆，其半径用表示。直线NI称为渐开线的发生线。角称为渐开线NI段的展角。
二．渐开线的特性
根据渐开线的形成过程，可知渐开线具有下列特性：
（1）发生线沿基圆滚过的长度，等于该基圆上被滚过圆弧的长度，即。
（2）发生线NI是渐开线在任意点I的法线，也就是说：渐开线上任意点的法线，一定是基圆的切线（发生线）。
（3）发生线与基圆的切点N是渐开线在点I的曲率中心，而线段是渐开线在I点的曲率半径。渐开线上越接近基圆的点，其曲率半径越小，渐开线在基圆上点A的曲率半径为零。
（4）同一基圆上任意两条渐开线之间各处的公法线长度相等。
（5）渐开线的形状取决于基圆的大小。如图4-5所示，在相同展角处，基圆半径越大，其渐开线的曲率半径越大，当基圆半径趋于无穷大时，其渐开线变成直线。故齿条的齿廓就是变成直线的渐开线。
（6）基圆内没有渐开线。
以上六条是我们研究渐开线齿轮啮合原理的出发点。
§6.4 渐开线齿廓啮合传动（三大特性）
一、渐开线齿廓满足啮合基本定理并能保证定传动比传动
在我们了解了渐开线的形成及性质之后，就不难证明用渐开线作为齿廓曲线，是满足啮合基本定理并能保证定传动比传动的。
如图6-6所示，两齿轮连心线为O1O2，两轮基圆半径分别为。两轮的渐开线齿廓C1、C2在任意点K啮合，根据渐开线特性（2），齿廓啮合点K的公法线nn必同时与两基圆相切，切点为N1、N2，即N1N2为两基圆的内公切线。
由于两轮的基圆为定圆，其在同一方向只有一条内公切线。因此，两齿廓在任意点K啮合，其公法线N1N2必为定直线，其与O1O2线交点必为定点，则两轮的传动比为常数，即：
渐开线齿廓啮合传动的这一特性称为定传动比性。这一特性在工程实际中具有重要意义，可减少因传动比变化而引起的动载荷、振动和噪声，提高传动精度和齿轮使用寿命。
二、渐开线齿廓传动具有可分性
在图4-6中，∽，因此两轮的传动比又可写成：
由此可知，渐开线齿轮的传动比又与两轮基圆半径成反比。渐开线加工完毕之后，其基圆的大小是不变的，所以当两轮的实际中心距与设计中心距不一致时，而两轮的传动比却保持不变。这一特性称为传动的可分性。这一特性对齿轮的加工和装配是十分重要的。
三、渐开线齿廓传动具有平稳性
由于一对渐开线齿轮的齿廓在任意啮合点处的公法线都是同一直线N1N2，因此两齿廓上所有啮合点均在N1N2上，或者说两齿廓在N1N2上啮合。因此，线段N1N2是两齿廓啮合点的轨迹，故N1N2线又称作啮合线。而在齿轮传动中，啮合齿廓间的正压力方向是啮合点公法线方向，故在齿轮传动过程中，两啮合齿廓间的正压力方向始终不变。这一特性称为渐开线齿轮传动的受力平稳性。该特性对延长渐开线齿轮使用寿命有利。
渐开线齿廓的上述特性是在机械工程中广泛应用渐开线齿轮的重要原因。
§6.5 渐开线标准齿轮的参数和几何尺寸
为了进一步研究齿轮的传动原理和齿轮的设计问题，必须要首先了解和掌握齿轮各部分的名称、符号及其尺寸间的关系。关于渐开线标准直齿圆柱齿轮各部分的名称和几何尺寸的计算，是本章最基本的内容，必须熟悉和掌握。下面我们讲第一个问题。
一．齿轮各部分名称和符号
图6-7所示为标准直齿圆柱齿轮的一部分。其主要包含以下部分。
（1）齿顶圆：齿轮所有各齿的顶端都在同一个圆上，这个过齿轮各齿顶端的圆称作齿顶圆，用或表示其直径或半径。
（2）齿根圆：齿轮所有各齿之间的齿槽底部也在同一圆上，这个圆称作齿根圆，用或表示其直径或半径。
（3）基圆：前面我们已经提到过这个圆。也就是形成渐开线的基础圆，其直径和半径分别用和表示。
（4）分度圆：为便于齿轮几何尺寸的计算、测量所规定的一个基准圆，其直径和半径分别用符号和表示。
（5）齿厚：轮齿在任意圆周上的弧长，用表示。
（6）齿槽宽：又称齿间宽，齿槽在任意圆周上的弧长，用表示。
（7）齿距：任意圆周上相邻两齿间同侧齿廓之间的弧长，用表示。显然
（8）法向齿距：相邻两齿间同侧齿廓之间的法向距离，用表示。根据渐开线的性质，法向齿距等于基圆齿距，即：=。
（9）齿顶高：分度圆与齿顶圆之间的径向高度，用表示。
（10）齿根高：分度圆与齿根圆之间的径向高度，用表示。
（11）齿全高：齿顶圆与齿根圆之间的径向高度，用h表示。
（12）齿宽：轮齿沿轴线方向的宽度，用B表示。
☆分度圆上齿厚、齿槽宽和齿距分别用s、e、p表示。
二．齿轮基本参数
（1）齿数：在齿轮整个圆周上轮齿的总数，用z表示。它将影响传动比和齿轮尺寸。
（2）模数：模数是分度圆作为齿轮几何尺寸计算依据的基准而引入的参数。
因为分度圆周长=，故
由于是无理数，为了便于计算、制造和检测，我们人为地规定比值为一简单的数值，并把这个比值称作模数，用m表示。即：
m=
所以得到：
图6-8所示为齿数Z相同，模数m不同的三个齿轮。由图可以看出：模数m是决定齿轮几何尺寸的重要参数。模数的单位为mm。
齿轮的模数已经标准化，我国规定的标准模数有两个系列，要求优先选用第一系列，括号内的最好不要使用，需要时可以查表。
由于任何一个齿轮的齿数Z和模数m是一定的，由可知：任何齿轮都有而且只有一个分度圆。
（3）压力角：由式可知，渐开线齿廓上任意一点K处的压力角为。对于同一渐开线齿廓，不同，也不同。十分显然，基圆上渐开线的压力角等于零。我们通常所说的齿轮压力角是指在分度圆上的压力角，用表示。所以有：
由上式可知，模数、齿数不变的齿轮，若其压力角不同，其基圆的大小也不同，因而其齿廓渐开线的形状也不同。因此，压力角是决定渐开线齿廓形状的重要参数。
国家标准（GB1356-88）中规定分度圆压力角为标准值，一般情况下为，个别情况也用等。
（4）齿顶高系数和顶隙系数：为了以模数m表示齿轮的几何尺寸，规定齿顶高和齿根高分别为： ，
这两个参数也已经标准化，其值分别为：
正常齿
短 齿
以上5个参数为齿轮的基本参数。
三．几何尺寸计算公式
根据图6－7，很容易推导出齿轮的齿顶圆、齿根圆及齿全高等等其它尺寸的计算公式。渐开线直齿标准圆柱齿轮的几何尺寸计算公式已经列在表中，在有关的机械设计手册中也有公式汇集，供我们在实际工作中使用。
我们通常所说的标准齿轮是指：m、、、都为标准这值，而且e=s的齿轮。
由表中公式可见，渐开线标准直齿齿轮的几何尺寸和齿廓形状完全由Z、m、、、这五个基本参数确定。
由图6-9所示为齿轮齿条传动结构，它可以看作齿轮传动的一种特殊形式。当齿轮的齿数增大到无穷大时，其圆心将位于无穷远处，这时该齿轮的各个圆周都变成直线，渐开线齿廓也变成直线齿廓，并且齿条运动为平动，所以齿条直线齿廓上各点的压力角相等，其大小等于齿廓倾斜角，也即齿形角，故齿形角为标准值。由于齿条上同侧齿廓平行，所以在与分度线平行的其它直线上的齿距均相等，为，但只有在分度线上。其它尺寸可参照直齿标准齿轮计算。
对于如图6-10所示的内齿轮，其轮齿和齿槽相当于外齿轮的齿槽和轮齿，故内齿轮的齿廓为内凹的，并且齿根圆大于分度圆，分度圆大于齿顶圆，而齿顶圆必须大于基圆才能保证其啮合齿廓全部为渐开线。
内齿轮传动的有关参数计算公式请同学们下去后进行推导。
§6.6 渐开线圆柱直齿轮的啮合传动
前面我们仅主要对单个渐开线齿轮进行了研究，但单个齿轮无法组成传动机构，所以我们还必须研究两个或两个以上的渐开线齿轮的啮合传动情况。
一．一对渐开线齿轮正确啮合的条件
在第四节中，我们已经得出结论：一对渐开线齿廓是满足啮合的基本定律并能保证定传动比传动的。但这并不说明任意两个渐开线齿轮都能搭配起来并能正确地传动。例如：一个齿轮的周节很小，而另一个齿轮的周节很大，十分显然，这两个齿轮是无法啮合传动的。那么，一对渐开线齿轮要正确啮合传动，应该具备什么条件呢？
为了解决这一问题，我们现按图6-11所示的一对齿轮进行分析。
如前所述，一对渐开线齿轮在传动时，它们的齿廓啮合点都应该在N1N2啮合线上。因此，要使处于啮合线上的各对齿轮轮齿都能正确地进入啮合，显然两齿轮的相邻两齿同侧齿廓间的法线距离应相等。
我们在此定义：齿轮上相邻两齿同侧齿廓间的法线距离称为齿轮的法节（齿距）。
如果两齿轮的法节相等，则当图示的前一对轮齿在啮合线上的K1点啮合时，后一对轮齿就可以正确地在啮合线上的K2点进入啮合。由图可知，即是轮1的法节，又是轮2的法节。
由上分析可知：两齿轮要正确地啮合，它们的法节（法向齿距、基圆齿距）必须相等。
根据渐开线的性质，齿轮的法节与其基圆上的基节（周节）相等，于是法节也以表示，即有： 。
又因为 、
、
所以可以得到两轮正确啮合的条件为：
前面我们已经讲过，和都已标准化了，所以要满足上式必须有：
也就是说，渐开线齿轮正确啮合的条件为：两轮的模数和压力角必须分别相等。
二．齿轮传动的标准中心距及啮合角
1．标准顶隙与无侧隙啮合条件
在齿轮传动中，为避免一轮的齿顶与另一轮齿根的过渡曲线相抵触，故在一轮齿顶与另一轮齿根圆之间应留有一定的间隙c，称作顶隙。称为标准顶隙。顶隙在传动中还可以起到储存润滑油的作用。
在齿轮传动中，为避免或减小轮齿的冲击，应使两轮齿侧间隙为零；而为防止轮齿受力变形、发热膨胀以及其它因素引起轮齿间的挤轧现象，两轮非工作齿廓间又要留有一定的齿侧间隙。
这个齿侧间隙一般很小，通常由制造公差来保证。所以在我们的实际设计中，齿轮的公称尺寸是按无侧隙计算的。
由于轮齿传动时，仅两轮节圆作纯滚动，故无侧隙啮合条件是：一个齿轮节圆上的齿厚等于另一个齿轮节圆上的齿槽宽，即：及。
2．中心距和啮合角
中心距a是齿轮传动的一个重要参数，它直接影响两齿轮传动是否为标准顶隙和无侧隙啮合。
图6-12所示为一对标准外啮合齿轮传动的情况，当保证标准顶隙时，两轮的中心距应为：
即：
就是说：两轮的中心距a应等于两轮分度圆半径之和。这个中心距称为标准中心距，按照标准中心距进行安装称标准安装。
我们知道：一对齿轮啮合时两轮的节圆总是相切的，即两轮的中心距总是等于两轮节圆半径之和。当两轮按标准中心距安装时，由上式可知两轮的分度圆也是相切的，故两轮的节圆与分度圆相重合。由此可知，节圆与分度圆上的齿厚和齿槽宽分别相等，满足无侧隙啮合条件。可以得到结论：一对渐开线标准齿轮按照标准中心距安装能同时满足标准顶隙和无侧隙啮合条件。
在这里同学们需要注意：不论齿轮是否参加啮合传动，分度圆是单个齿轮所固有的、大小确定的圆，与传动的中心距变化无关；而节圆是两齿轮啮合传动时才有的，其大小与中心距的变化有关，单个齿轮没有节圆。
接下来我们介绍有关啮合角的概念。
所谓啮合角是两轮节点P的圆周速度方向与啮合线之间所夹的锐角，用表示，如图6-12所示。当标准齿轮按照标准中心距安装时，节圆与分度圆重合，故。
由于齿轮制造和安装的误差，运转时径向力引起轴的变形以及轴承磨损等原因，两轮的实际中心距往往与标准中心距不一致，而是略有变动，如图6-13所示。
当两轮实际中心距大于或小于标准中心距时，两轮的节圆虽相切，但两轮的分度圆却分离或相割，出现分度圆与节圆不重合情况。
因为
所以 该式表明了啮合角随中心距改变的关系。
对于内啮合齿轮可用同样的方法进行类似的分析，在此我们就不作进一步的介绍了。
接下来本节的最后一个问题，我们看一下齿轮与齿条的啮合传动，如图6-14所示。
其啮合线为垂直齿条齿廓并与齿轮基圆相切的直线，N2点在无穷远处。过齿轮轴心并垂直于齿条分度线的直线与啮合线的交点即为节点P。
当齿轮分度圆与齿条分度线相切时称为标准安装，标准安装时，保证了标准顶隙和无侧隙啮合，同时齿轮的节圆与分度圆重合，齿条节线与分度线重合。故传动啮合角等于齿轮分度圆压力角，也等于齿条的齿形角。
当非标准安装时，由于齿条的齿廓是直线，齿条位置改变后其齿廓总是与原始位置平行。故啮合线的位置总是不变的，而节点P的位置也不变，因此齿轮节圆大小也不变，并且恒与分度圆重合，其啮合角也恒等于齿轮分度圆压力角，但齿条的节线与其分度线不再重合。
三. 重合度、连续传动
一对满足正确啮合条件的齿轮，只能保证在传动时其各对齿轮能依次正确的啮合，但并不能说明齿轮传动是否连续。为了研究齿轮传动的连续性，我们首先必须了解两轮轮齿的啮合过程。
一 ) 轮齿的啮合过程
如图6-15反映了轮齿的啮合过程。
在图6-15（a）中，所显示的一对渐开线齿轮的啮合情况。设轮1为主动轮，以角速度顺时针回转；轮2为从动轮，以角速度逆时针回转；为啮合线。在两轮轮齿开始进入啮合时，先是主动轮1的齿根部分与从动轮2的齿顶部分接触，即主动轮1的齿根推动从动轮2的齿顶。而轮齿进入啮合的起点为从动轮的齿顶圆与啮合线的交点B2。随着啮合传动的进行，轮齿的啮合点沿啮合线移动，即主动轮轮齿上的啮合点逐渐向齿根部分移动，而从动轮轮齿上的啮合点则逐渐向齿根部分移动。当啮合进行到主动轮的齿顶与啮合线的交点B1时，两轮齿即将脱离接触，故B1点为轮齿接触的终点。
从一对轮齿的啮合过程来看，啮合点实际走过的轨迹只是啮合线的一部分线段，故把称为实际啮合线段。
当两轮齿顶圆加大（如图4-16b）时，B1及B2点愈接近于啮合线与两基圆的切点，实际啮合线段就越长。
但因为基圆内部没有渐开线，所以两轮的齿顶圆不得超过N1、N2点。因此啮合线是理论上可能的最大啮合线段，称作理论啮合线段，而N1、N2称作啮合极限点。
二) 渐开线齿轮连续传动的条件
由上述齿轮啮合的过程可以看出，一对齿轮的啮合只能推动从动轮转过一定的角度，而要使齿轮连续地进行转动，就必须在前一对轮齿尚未脱离啮合时，后一对轮齿能及时地进入啮合。显然，为此必须使，即要求实际的啮合线段大于或等于齿轮的法节。
如果，如图a所示，则表明始终只有一对轮齿处于啮合状态；如果，如图b所示，则表明有时为一对轮齿啮合，有时为多于一对轮齿啮合；如果，如图c所示，则前一对轮齿在B1脱离啮合时，后一对轮齿还未进入啮合，结果将使传动中断，从而引起轮齿间的冲击，影响传动的平稳性。
由上可知，齿轮连续传动的条件是：两齿轮的实际啮合线应大于或至少等于齿轮的法节。即：我们用符号 表示与的比值，称为重合度（也称作端面重迭系数）：
为了保证齿轮的连续传动，实际工作中应满足，为许用值。根据机械行业的不同，一般可在1.1～1.4范围内选取，也可以查阅相关的手册、标准等资料。
对于一般的机械制造业：=1.4；
汽车拖拉机 ： =1.1~1.2；
机床： =1.3
三） 重合度的计算
由图6-16可知，
而
∴
式中、、分别为啮合角和两轮齿顶圆压力角。
由上式可以看出，与模数无关，但随齿数z的增多而加大。如果假想将两轮的齿数逐渐增加，趋于无穷大时，则将趋于一极限值，这时
当，时，
当，时，=2.546
内啮合传动的重合度可用类似的方法推出。
对于齿条传动，
增大重合度，对提高齿轮传动的承载能力具有重要意义。
§6.7 渐开线齿轮的切齿原理和齿轮变位原理
一．齿廓的切削加工原理
近代齿轮的加工方法很多，有铸造法、热轧法、冲压法、模锻法和切齿法等。其中最常用的是切削方法，就其原理可以概括分为仿形法和范成法两大类。
1．仿形法
顾名思义，仿形法就是刀具的轴剖面刀刃形状和被切齿槽的形状相同。其刀具有盘状铣刀和指状铣刀等，如图6-17所示。
如图中a所示，切削时，铣刀转动，同时毛坯沿它的轴线方向移动一个行程，这样就切出一个齿间，也就是切出相邻两齿的各一侧齿槽；然后毛坯退回原来的位置，并用分度盘将毛坯转过，再继续切削第二个齿间（槽）。依次进行即可切削出所有轮齿。
在图b中，显示的是指状铣刀切削加工的情形。其加工方法与盘状铣刀加工时基本相同。不过指状铣刀常用于加工模数较大（）的齿轮，并可用于切制人字齿轮。
由于轮齿渐开线的形状是随基圆的大小不同而不同的，而基圆的半径，所以当m及一定时，渐开线齿廓的形状将随齿轮齿数而变化。
那么，如果我们想要切出完全准确的齿廓，则在加工m与相同、而z不同的齿轮时，每一种齿数的齿轮就需要一把铣刀。显然，这在实际上是作不到的。所以，在工程上加工同样m与的齿轮时，根据齿数不同，一般备有8把或15把一套的铣刀，来满足加工不同齿数齿轮的需要。见下表：
刀号
1
2
3
4
5
6
7
8
轮齿数
12~13
14~16
17~20
21~25
26~34
35~54
55~134
≥135
每一号铣刀的齿形与其对应齿数范围中最少齿数的轮齿齿形相同。因此，用该号铣刀切削同组其它齿数的齿轮时，其齿形均有误差。但这种误差都是偏向轮齿齿体的，因此不会引起轮齿传动干涉。
这种方法的优缺点为：
缺点：加工精度低；加工不连续，生产率低；加工成本高。
优点：可以用普通铣床加工。
故该方法主要用于修配和小批量生产。
2．范成法（又称展成法、共轭法或包络法）
这种方法是加工齿轮中最常用的一种方法。它是根据第§4-2节所述的共轭曲线原理，利用一对齿轮互相啮合传动时，两轮的齿廓互为包络线的原理来加工的。设想将一对互相啮合传动的齿轮之一变为刀具，而另一个作为轮坯，并使二者仍按原传动比进行传动，则在传动过程中，刀具的齿廓便将在轮坯上包络出与其共轭的齿廓。
常用的刀具有齿轮插刀、齿条插刀和齿轮滚刀。
a.齿轮插刀
如图6-18所示为用齿轮插刀进行轮齿加工的情形。
齿轮插刀的外形就像一个具有刀刃的外齿轮，当我们用一把齿数为的齿轮插刀去加工一个模数m，压力角与该插刀相同，而齿数为z的齿轮时，将插刀和轮坯装在专用的插齿机床上，通过机车的传动系统使插刀与轮坯按恒定的传动比回转，并使插刀沿轮坯的齿宽方向作往复切削运动。这样，刀具的渐开线齿廓就在轮坯上包络出与刀具渐开线齿廓相共轭的渐开线齿廓。
在用齿轮插刀加工齿轮时，刀具与轮坯之间的相对运动主要有：
（1）范成运动：即齿轮插刀与轮坯以恒定的传动比作回转运动，就如同一对齿轮啮合一样（展成运动）；
（2）切削运动：即齿轮插刀沿着轮坯的齿宽方向作往复切削运动；
（3）进给运动：即为了切出轮齿的高度，在切削过程中，齿轮插刀还需要向轮坯的中心移动，直至达到规定的中心距为止；
（4）让刀运动：轮坯的径向退刀运动，以免损伤加工好的齿面。
b.齿条插刀
齿条插刀加工齿轮的原理与用齿轮插刀加工相同，仅仅是展成运动变为齿条与齿轮的啮合运动，并且齿条的移动速度为（如图6-19）。
由加工过程可以看出，以上两种方法其切削都不是连续的，这样就影响了生产率的提高。因此，在生产中更广泛地采用齿轮滚刀来加工齿轮。
b.齿轮滚刀
滚刀形状象一个开有刀口的螺旋且在其轴剖面（即轮坯端面）内的形状相当于一齿条。其加工原理与用齿条插刀加工时基本相同。但滚刀转动时，刀刃的螺旋运动代替了齿条插刀的展成运动和切削运动。滚刀回转时，还需沿轮坯轴向方向缓慢进给运动，以便切削一定的齿宽。加工直齿轮时，滚刀轴线与轮坯端面之间的夹角应等于滚刀的螺旋升角，以使其螺旋的切线方向与轮坯径向相同。
滚刀的回转就像一个无穷长的齿条刀在移动，所以这种加工方法是连续的，具有很高的生产率。
利用范成法加工齿轮，只要刀具和被加工齿轮的模数及压力角相同，就可以利用一把刀具来加工。
二．用标准齿条型刀具加工标准齿轮
齿条插刀和齿条滚刀都属于齿条型刀具。齿条型刀具与普通齿条基本相同，仅仅是在齿顶部分高出一段，以便切出齿轮的顶隙，如图6-21所示。
加工齿轮时，刀具的中线（或称分度线）与轮坯分度圆相切并作纯滚动，由于刀具中线的齿厚和齿槽宽均为，故加工出的齿轮在分度圆上。被切齿轮的齿顶高为，齿根高为，这样便加工出所需的标准齿轮。
三、 根切与Zmin
用范成法加工齿轮时，有时会发现刀具的顶部切入了轮齿的根部，而把齿根切去了一部分，破坏了渐开线齿廓，如图6-22所示。这种现象称为根切。
根切的齿轮会削弱轮齿的抗弯强度、降低传动的重合度和平稳性。所以在设计制造中应力求避免根切。
1．根切的成因
要避免根切，应了解根切的成因。如图6-23所示为用齿条加工标准齿轮的情形，刀具中线与轮坯分度圆相切并作纯滚动。当刀具由左向右移动切削加工时，其直线齿廓到极限啮合点N1时，轮坯渐开线齿廓全部加工完成。当范成运动继续进行时，刀具齿顶没能退出而继续切削加工。设轮坯转过角，则已加工好的渐开线齿廓段即被刀具齿顶部分切去，形成根切。
当轮坯转过角，基圆转过的弧长为：
此时刀具的位移为：
而刀具沿啮合线的位移为：
故得到：(弧)（线段）
故知：渐开线齿廓上点必落在刀刃左下方而被切掉，而发生这种情况的根本原因是刀具齿顶超过了N1点。由此得出结论：用范成法加工齿轮，若刀具的齿顶超过啮合极限点N1，则被切齿轮必定发生轮齿根切。
2．渐开线标准齿轮不根切的最少齿数Zmin
由前述可知，只要刀具齿顶线不超过啮合极限点N1，轮齿将不发生根切，如图4-23所示。
不根切的条件可以表示为，而
所以有：
从而：
因此，渐开线标准齿轮不根切的最少齿数为：
，时，
，时，
由式可以看出，增大或减小都可以减少最小根切齿数。
四、变位齿轮简介
1．问题的提出（渐开线标准齿轮的局限性）
渐开线标准齿轮有很多优点，但也存在如下不足：
（1）用范成法加工时，当时，标准齿轮将发生根切；
（2）标准齿轮不适合中心距的场合。当时无法安装；当时，侧隙大，重合度减小，平稳性差；
（3）小齿轮渐开线齿廓曲率半径较小，齿根厚度较薄，参与啮合的次数多，故强度较低。并且齿根的华东系数大，所以小齿轮易损坏。
为了改善和解决标准齿轮的这些不足，工程上广泛使用变位修正齿轮，有效地解决了这些问题。
2．变位修正法
在实际机械中，常常要用到的齿轮。为避免根切，应该设法减小。由知，增大或减小都可以减少最小根切齿数，但是的减小会降低传动的重合度，影响平稳性，而的增大将增大齿廓间的受力及功率损耗。更重要的是不能用标准刀具加工齿轮。
我们知道，轮齿根切的根本原因是刀具的齿顶线超过了啮合极限点N1，如图6-24所示。
当标准刀具从发生根切的虚线位置相对于轮坯中心向外移动至刀具齿顶线不超过啮合极限点N1的实线位置，则切出的齿轮就不发生根切。这种用改变刀具与轮坯相对位置的齿轮加工方法称为变位修正法。加工出的齿轮称作变位齿轮。刀具移动的距离称作变位量，用表示，x称作变位系数。相对于轮坯中心，刀具向外移动称作正变位，x>0；刀具向里移动，称作负变位，x<0；正变位加工出的齿轮称作正变位齿轮，负变位加工出来的齿轮称作负变位齿轮。
3．不根切的最小变位系数
由图4-25所示，当刀具齿顶线移至N1点或以下时，齿轮即不根切，故变位量应该满足，即：
因为 ，，
所以
故，最小变为系数为：
可以看出，当z<zmin时，xmin>0，为避免根切，必须正变位。当z>zmin时，xmin<0，该齿轮不会根切，但为了保证某些性能的要求，也可以用正变位或负变位方法加工齿轮。
4．变位齿轮的几何尺寸
1） 分度圆和基圆
由于分度圆和基圆仅与齿轮的z、m、有关，并且加工变位齿轮的刀具仍是标准刀具，故变位齿轮的分度圆和基圆仍为
；
2．齿厚和齿槽宽
由于加工变位齿轮时，与轮坯分度圆相切的不再是刀具中线（即刀具分度线），如图4-25所示，则齿厚和齿槽宽为：
3．齿顶高和齿根高
由于正变位时，刀具向外移出xm距离，故加工出的齿轮其齿根高减小xm，即：
同样，齿顶高增大xm，即：
变位齿轮需要利用被切齿轮毛坯的直径（外径）保证齿顶高。
4．齿顶圆和齿根圆
变位齿轮的齿顶圆和齿根圆分别为：
为齿顶高削减系数。有兴趣的同学可以结合教材后面的内容进行学习，此处我们只需要知道计算时还要考虑这个参数即可。
5．变位齿轮的应用
变位有等距变位和不等距变位两大类。不等距变位又有正变位和负变位两种。
等距变位指，一般用在z<zmin的情况下。结果使齿根变厚，可以改善磨损、避免根切、提高强度。但有所下降。
不等距变位指的情况，当称作正变位，称作负变位，可以用在z>zmin的情况下。对正变位，下降，负变位上升。
变位齿轮的共同缺点是互换性差。
§6.8齿轮传动精度
一、精度等级
齿轮在制造、安装中，总要产生误差。例如，齿形齿距、齿向误差和轴线变形产生的误差，将产生三个方面的影响：1）相啮合齿轮在一转范围内，实际转角和理论转角不一致，影响传动的准确性；2）不能保持瞬时传动比恒定，出现速度波动，引起振动、冲击等，影响传动平稳性；3）齿向误差造成载荷的不均匀性。
GB10095-88规定了渐开线圆柱齿轮传动的精度等级和公差。GB11365-89规定了锥齿轮传动的精度等级和公差。两标准将齿轮精度等级分为12个级别，1级最高，12级最低，其中常用为6～9级。
按误差特性和它们对传动性能的影响，将齿轮的各项公差分为三个组，见表所示。根据使用要求不同，允许各项公差组选用不同的精度等级，但在同一公差组内，各项公差与极限偏差应保持相同的精度等级。
齿轮公差组及其对传动性能的影响
公差组
误 差 特 性
对传动性能的影响
Ⅰ
以齿轮一转为周期的误差（运动精度）
传动的准确性
Ⅱ
以齿轮一转内多次周期性出现的误差（工作平稳性精度）
传动的平稳性
Ⅲ
齿向误差（接触精度）
载荷分布的均匀性
齿轮的精度等级，应根据齿轮传动的用途、使用条件、传递的功率、圆周速度以及经济性等技术要求选择。具体选择时可根据齿轮的圆周速度参考下表进行。
注意：锥齿轮传动的圆周速度按齿宽中点分度圆直径计算。
齿轮传动常用精度等级及其应用
精度 等级
圆周速度v/m·s-1
应 用 举 例
直齿圆柱
斜齿圆柱
直齿锥齿轮
6
≤15
≤30
≤9
要求运转精确或在高速重载下工作的齿轮传动；精密仪器和飞机、汽车、机床中重要齿轮
7
≤10
≤20
≤6
一般机械中的重要齿轮；标准系列减速器齿轮；飞机、汽车和机床中的齿轮
8
≤5
≤9
≤3
一般机械中的重要齿轮；飞机、汽车和机床中的不重要齿轮；纺织机械中的齿轮；农业机械中的重要齿轮
9
≤3
≤6
≤2.5
工作要求不高的齿轮；农业机械中的齿轮
二、侧隙
为了保证齿轮副在啮合传动时，不因工作温升造成热变形而卡死，也不因齿轮副换向时有过大的空行程而产生冲击、振动和噪声，为此要求齿轮副的轮齿齿侧间隙在法向（传力方向）留有一定的间隙，称为侧隙。
圆柱齿轮的侧隙由齿厚的上下偏差和中心距极限偏差来保证。GB10095－88规定了14种齿厚极限偏差，按偏差数值大小为序，依次用字母C、D、E、┄、S表示。D为基准（偏差为0）C为正偏差，E～S为负偏差。
锥齿轮的侧隙由最小法向侧隙和法向侧隙公差来保证。GB11365－89规定了6种最小法向侧隙分别用字母a、b、c、d、e和h表示，a值最大，h为0。相啮合两轮齿间的法向侧隙公差有5种，分别用字母A、B、C、D和H表示。
在高速、高温、重载条件下工作的传动齿轮，应有较大的侧隙；对于一般齿轮传动，应有中等大小的侧隙；对经常正、反转，转速不高的齿轮，应有较小的侧隙。
三、齿轮精度等级和侧隙的标注
在齿轮零件图上的参数表栏内，应标注齿轮精度等级和齿厚偏差的字母代号。
如图示例。当三个公差组的精度等级同为7级时，可以表示为7－GM GB10095－88
锥齿轮精度等级的标注同圆柱齿轮，其侧隙由最小法向侧隙种类代号和法向侧隙公差种类代号共同表达。示例如图所示：
§6.9 齿轮传动失效形式及设计准则、材料及热处理
一、失效形式及设计准则
齿轮传动的失效主要是指齿轮轮齿的破坏。至于齿轮的其它部分，通常都是按经验进行设计，所以确定尺寸对强度来说都是很富裕的，在实际工程中也极少破坏。针对轮齿失效形式不同，决定轮齿强度的设计准则和计算方法也不同。所以，首先我们要了解轮齿的主要失效形式。工程上主要有二大类（5小类）失效形式。
1）轮齿折断（打牙）
轮齿就好象一个悬臂梁，在受外载作用时，在其轮齿根部产生的弯曲应力最大。同时，在齿根部位过渡尺寸发生急剧变化，以及加工时沿齿宽方向留下加工刀痕而造成应力集中的作用，当轮齿重复受载，在脉动循环或对称循环应力作用下，在根部会造成疲劳断裂。
轮齿受到突然过载，齿根应力如果超过材料强度极限，也会发生脆断现象。
在斜齿轮传动中，轮齿的接触线为一斜线，轮齿受载后会发生局部折断；即使是直齿圆柱齿轮，若制造及安装不良或由于轴的刚度不足而产生过大的弯曲变形，也会出现轮齿局部受载过重，造成局部折断。
轮齿的折断都是其弯曲应力超过了材料相应的极限应力，是最危险的一种失效形式。一旦发生断齿，传动立即失效。根据这种失效形式确定的设计准则及计算方法即为轮齿的弯曲强度计算。由于疲劳破坏是断齿的主要原因，故齿根弯曲疲劳强度计算是后面所要讨论的主要问题之一。
2）轮齿工作表面的破坏
轮齿的破坏，除断齿外，还有轮齿表面的破坏而造成传动的失效。轮齿表面的破坏主要有四类：点蚀、胶合、塑性变形和磨损。
（1）齿面点蚀
在润滑良好的闭式齿轮传动中，由于齿面材料在交变接触应力作用下，因为接触疲劳产生贝壳形状凹坑的破坏形式称为点蚀，也是常见的一种齿面破坏形式。齿面上最初出现的点蚀随材料不同而不同，一般出现在靠近节线的齿根面上，最初为细小的尖状麻点。
当齿面硬度较低、材料塑性良好，齿面经跑合后，接触应力趋于均匀，麻点不再继续扩展，这是一种收敛性点蚀，不会导致传动失效。但当齿面硬度较高、材料塑性较差时，点蚀就会不断扩大，这是一种破坏性点蚀，是一种危险的失效形式。
为什么最初点蚀会发生在靠近节线的齿根面上呢？因为在轮齿的啮合过程中，齿面间的相对滑动起着形成润滑油膜的作用，而且相对速度越高，形成油膜的作用越显著，润滑也就越好。当轮齿在靠近节线处啮合时，相对滑动速度低，带油效果差，所以在这里首先出现点蚀破坏。也就是说：在靠近节线处的齿根面抵抗点蚀破坏的能力最差。
由于油膜的存在，增大了齿面上实际承受压力的面积，可以减缓点蚀破坏。在合理的限度内，油的粘度越高，效果越好。
低速时可用高粘度油；当高速（如）时，则要选用粘度较低的油，采用喷油润滑，同时起到散热的作用。
针对点蚀破坏而拟订的设计准则和计算方法即为齿面接触疲劳强度计算。
（2）齿面胶合
对于某些高速重载的齿轮传动（如航空发动机的主传动齿轮），齿面间的压力大，瞬时温度高，油变稀而降低了润滑效果，导致摩擦增大，发热增多，将会使某些齿面上接触的点熔合焊在一起，在两齿面间相对滑动时，焊在一起的地方又被撕开。于是，在齿面上沿相对滑动的方向形成伤痕，这种现象称作胶合。缺少供油，也会导致胶合。
针对胶合失效而拟订的设计准则及计算方法即为传动的胶合承载能力计算。由于这种方法目前还不统一，而且计算过程复杂。作为教学，本章就不作介绍。
（3）齿面磨损
在开式传动中，这是一种主要的破坏形式，现在还没有简明的计算方法。改用闭式传动是避免轮齿磨损的最有效办法。加大齿面硬度也有助于减少磨损。
（4）齿面塑性变形
若轮齿的材料较软，载荷及摩擦力又都很大时，齿面材料就会沿着摩擦力的方向产生塑性变形，这种情况一般发生在硬度较低的齿面上。
以上所列举的是齿轮失效的几种主要形式，都有可能在传动中发生。但在一定条件下，总有一种形式是主要的。
随着强度计算理论的发展和计算方法的完善，现在各国都已制订有针对轮齿折断和点蚀的两种计算方法和标准，也是比较成熟和完善的两种。针对其它种类的失效也在研究之中，已经拟订了在设计部门推广使用的胶合承载能力计算方法。作为教学，我们只介绍前两种基本的计算方法。
针对不同的齿轮传动失效形式、设计准则也有所不同，具体设计准则如下：
1、当轮齿表面硬度≤350HBS（HRC<38）时，称软齿面；当轮齿表面硬度>350HBS(HRC>38)时，称硬齿面。
2、闭式软齿面齿轮传动：按接触强度确定传动的尺寸，而后验算齿根弯曲疲劳强度；
3、闭式硬齿面齿轮传动：按弯曲疲劳强度确定，验算接触强度；
4、开式传动：由于开式传动的失效形式主要是造成轮齿变薄，产生断齿，故按弯曲疲劳强度计算进行设计。
二、材料选择及热处理
根据轮齿失效形式的分析可以知道，齿轮材料应具备如下性能：1）齿绵具有足够的硬度，以获得较高的抗点蚀、抗磨损、抗胶合的能力；2）齿芯部有足够的韧性，以获得较高的抗弯曲和抗冲击载荷的能力；3）具有良好的加工工艺性和热处理工艺性能；4）经济。
总的要求就是：齿面硬度高、齿芯韧性要好。所以，主要用各种钢材，由于钢材经过适当的热处理就具有这种综合性能。在特殊场合也有使用其它材料的，如铸铁、工程塑料等。
材料的选择是一个比较费事的工作。针对各行业的不同，一般采用的方法是类比选择。但是，作为一个机械设计工程技术人员应对材料的选择方法原则有一个大概的了解。
1．材料的选择必须满足一般工作要求和特殊工作要求，即机器的工作要求、可靠性等要求；
2．要考虑齿轮尺寸的大小、毛坯成型方法、热处理及加工等因素；
3．要考虑齿轮载荷的大小、工况条件等因素的影响；
4．齿轮的重要程度；
5．传动比及配对情况。
下面提出几点注意事项，供同学选择材料时参考：
1）软齿面齿轮：工艺简单、生产率高，故比较经济。但因为齿面硬度不高，限制了承载能力，故适用于载荷、速度、精度要求均不很高的场合。硬齿面齿轮承载能力高，但成本也高，故适用于载荷、速度、精度要求高的重要齿轮。
2）相啮合的一对齿轮，小齿轮齿面硬度要比大吃论齿面硬度高20～50HBS。
3）由于锻钢的力学性能优于同类铸钢，所以齿轮材料应优先选用锻钢。对于结构复杂的大型齿轮，手锻造工艺和设备的限制，可采用铸钢制造。如低速重载的轧钢设备、矿山机械的大型齿轮等。
4）在小功率和精度要求不高的高速齿轮传动中，为了减少噪声，其小齿轮常用尼龙、夹布胶木、聚甲醛等非金属材料制造，但配对的大齿轮仍用钢或铸铁制造。
提高齿面硬度，既可以提高接触强度，又可以提高抗磨粒磨损及抗塑性变形的能力。硬齿面齿轮与软齿面齿轮比较，其综合承载能力可提高2～3倍以上。在相同承载能力的条件下，硬齿面齿轮尺寸比软齿面齿轮尺寸小的多。所以除非生产条件受到限制，一般硬采用硬齿面齿轮传动。
经过表面硬化的齿轮齿面硬度一般不低于HRC45（相当于424HBS）。对金属制的直齿轮，配对的两齿轮齿面的硬度差应保持在30～50或更多（即HBS1～HBS2），是普遍要求。因为当小齿轮与大齿轮的齿面具有较大的硬度差时（如小齿轮淬火磨制，大齿轮为常化或调质），在运转过程中较硬的小齿轮齿面对较软的大齿轮齿面，会有显著的冷作硬化效应，提高大齿面的疲劳极限，其接触疲劳强度约可以提高20%。
选取齿轮材料及热处理方法时，要根据需要及可能而定。钢制齿轮总要进行适当的热处理以改善材料性能，常用的方法有：常化、调质、淬火、渗碳淬火、氮化等。
1）调质
对于45、40Cr、35SiMn等中碳合金钢，经过调质处理后，其机械强度、韧性等综合性能较好，齿面硬度一般为220～260HBS。因为硬度不高，故可以在热处理之后精切齿面，以消除热处理的变形。
2）正火
正火处理后可以使材料晶粒细化，增大机械强度和韧性，消除内应力，改善切削性能。一般用于机械强度要求不高的中碳钢齿轮。对于大直径的齿轮可采用铸钢正火处理。
3）表面淬火
对于45、40Cr等中碳钢和中碳合金钢齿轮，也可以进行表面淬火，齿绵硬度达到50HRC以上，齿芯部仍有较高的韧性，故接触强度高。耐磨性好，也可承受一定的冲击载荷，适用于无剧烈冲击的齿轮传动。
4）渗碳淬火
对于含碳量0.15％～0.25％的低碳钢和低碳合金钢，例如20、20Cr等材料，为了获得较好的力学性能，可进行渗碳淬火处理，齿面硬度达到56～62HRC，而芯部仍能保持较高的韧性。这种齿轮的齿面接触强度高、耐磨性好，常用于承受冲击载荷的重要齿轮。但由于渗碳淬火后变形比较大，渗碳淬火后都必须磨齿或用硬质合金滚刀滚刮加工。
5）表面渗氮
表面渗氮是一种化学热处理方法，渗氮后不再进行其它热处理。渗氮齿轮轮齿变形小，齿绵硬度比渗碳齿轮高，故适用于尺寸较大的外齿轮或难于磨齿的内齿轮。在精度等级低于7级时，一般不需要磨齿。由于硬化层深度很小（只有0.1～0.6mm），故其承载能力稍低于渗碳齿轮，且不适宜于有冲击过载或有磨粒磨损的场合。用于渗氮的材料一般含有 Mo 、Al。
§6.10 直齿圆柱齿轮传动的载荷分析
1．公称载荷（也叫名义载荷）（用理论力学方法求出的载荷—法向载荷）
直齿圆柱齿轮在传动时所受得公称载荷，在不计及齿面摩擦力时，即为作用于齿面法线方向上的法向载荷Fn。渐开线齿形任何一点上的法线均与基圆相切，如图所示。
设齿轮传动时，当已知小齿轮传递的名义功率为P1（KW）、转速为n1(r/min)，则小齿轮名义转距T为: （Nm）
法向载荷Fn对轮轴的矩即等于齿轮轴上所受的扭矩T，
∵ ∴
T——Nm，——mm
Fn分解（在节点P ）：
圆周力：
d——分度圆直径
径向力：
请大家思考：大齿轮的受力如何计算？
2．计算载荷
考虑原动机和工作机的不平稳，轮齿啮合时产生的动载荷，载荷沿齿面接触线分布不均匀及载荷在同时啮合齿间分配不均匀等因素对齿轮强度的不利影响，应对名义载荷进行修正，即给名义载荷乘以一个修正系数，称为载荷系数K：
而其中
式中：称为使用系数；称为动载系数；
齿向载荷分布系数；齿间载荷分布系数；
1）使用系数
用以考虑齿轮外部工作条件产生的动载荷。它取决于原动机和工作机的性质、联轴器的缓冲能力等因素，它应该通过精密测量或对传动系统有关因素全面计算求得。一般计算可以查表。
很多教材或手册上都给出了这样的表格，如图所示。
2）动载系数
考虑由齿轮副本身的啮合误差引起的内部动载荷，其数值等于实际齿轮副啮合时的最大作用力与纯由外载荷产生的作用力之比。齿轮加工和载荷引起的轮齿变形产生的基节误差、齿形误差都会造成从动轮转速变化，并引起动载荷。所以，决定于齿轮的制造精度及圆周速度，可以由图中查出。
3）齿向载荷分布系数
为考虑沿齿宽方向载荷分布不均匀对齿轮强度的影响，可以由右图查出。
由于齿轮制造误差、轴变形引起的轴上齿轮偏斜等导致载荷沿齿宽方向分布不均匀。为了减小这一误差，可以提高有关零件的精度、刚度，减小轴的变形对齿轮的影响（如齿轮不知在两个支撑轴承中间位置）。此外，还可以将齿做成鼓形齿，以避免轮齿某一端受载过大。
4）齿间载荷分布系数
为了考虑同时啮合的各对齿轮之间载荷分配不均匀的影响系数，可以从下表中查取。
齿间载荷分布系数
KAFt/b
≥100N/mm
<100N/mm
精度等级
5
6
7
8
5～9
直齿轮
齿面未硬化
1.0
1.0
1.1
≥1.2
齿面硬化
1.0
1.1
1.2
≥1.2
斜齿轮
齿面未硬化
1.0
1.1
1.2
≥1.4
齿面硬化
1.0
1.1
1.2
1.4
≥1.4
§6.11 直齿圆柱齿轮传动的强度计算
直齿圆柱齿轮的强度计算方法是其它各类齿轮传动计算方法的基础，斜齿圆柱齿轮、直齿圆锥齿轮等强度计算，可以折合成当量直齿圆柱齿轮来进行计算。
强度计算的目的在于保证齿轮传动在工作载荷的作用下，在预定的工作条件下不发生各种失效。
工作载荷是指作用在齿上的载荷大小及其在齿上的分布情况。
失效形式主要是前面所述的断齿及齿面点蚀。
由于齿轮工作情况和使用要求千差万别，影响齿轮强度的因素又十分复杂和难以确定，世界标准化组织以及各国都制定了相应的计算标准。其齿根弯曲强度的计算多以刘易斯（W.Lewis）公式为基础的，而齿面接触强度的计算多是以赫兹（H.Hertz）公式为基础。
一、齿根弯曲疲劳强度计算
直齿圆柱齿轮齿根弯曲疲劳强度计算是针对防止齿根疲劳折断破坏而进行的计算方法，其依据是材料力学中的悬臂梁的应力分析。
通过前面的学习我们已经知道，无论载荷作用于齿面何处，法向载荷的值不变。当然，当载荷作用于齿顶时，齿根上的弯矩最大，轮齿的弯曲疲劳强度齿根处最弱。所以，我们以齿顶受载作为分析的依据，可以把轮齿简化为宽度为b的悬臂梁。如图所示为轮齿齿顶受载的情况。
图中所示为单位宽度的齿，作用于此单位齿宽上的载荷即为最大的单位接触线上的载荷。
当不计摩擦力时，作用于齿顶的总载荷沿啮合线方向，把沿作用线移到轮齿的对称中线上，并分解为垂直于对称中线和平行对称中线的两个分量，即为和。显然，只有分量在齿根剖面上引起弯矩M，其值为 ： 。
在齿根危险截面上，切向力引起弯曲应力和切应力，径向力引起压应力。其中切应力和压应力起的作用很小，疲劳裂纹往往从齿根受拉边开始发生。因此，只考虑最危险的弯曲拉应力，齿根弯曲疲劳强度计算以受拉边为依据，由此，可以列出轮齿弯曲疲劳的强度计算条件为：
由材料力学知道，单位齿宽的齿根抗弯模量W为
所以，齿根弯曲应力：
即：
令 ： 得：
将代入上式得：
在式中只随齿制和齿数而改变，它们代表了齿形抗弯能力的形状参数，因此称为：载荷作用于齿顶时的齿形系数，简称齿形系数。这个数据可以查到。
为载荷作用于齿顶的齿形系数，取决于轮齿的形状，与齿数、变位系数、压力角等有关，与模数无关，是无量钢的常量。
考虑压应力、切应力和应力集中等因素对的影响，引入重合度系数及应力修正系数，应力修正系数可以理解为考虑齿根圆角处的应力集中，同时也考虑了齿根压应力和其余应力的影响后引入的计算参数。重合度系数可以理解为载荷作用于单对齿啮合区的上界点与载荷作用于齿顶时引起的应力变化参数。
从而可以得到：
{个别教材上令：，可以查表得到。得： }
其中 ，和也可以查表得到。
对于软齿面的闭式齿轮传动，由于分度圆直径主要取决于齿面接触强度，所以一般选小轮齿数不小于24。
对于硬齿面的闭式齿轮传动，由于尺寸主要取决于弯曲强度，所以应选择较小的小轮齿数，但最好能大于根切齿数。
由于一对齿轮传动中，大、小齿轮上所受的圆周力是相等的，同时m也是相等的。但复合齿形系数不同，也不同，所以要分别计算大、小两轮的齿根弯曲应力和。
强度条件式为：
式中和分别为小齿轮及大齿轮的许用齿根弯曲应力。
引入齿宽系数 ，代入强度校核公式整理可以得到设计计算公式如下：
注意：式中各参数的量纲
设计时，认为两齿轮的齿宽b相等，相同。
但由于对两齿轮不同，所以应分别求出，取二者中较大的代入上式计算m。
注意：在实际传动中，为了安装时两轮不致沿端面错开，往往把小齿轮的齿宽长度在设计宽度b的基础上人为地加宽一些（2～3mm），但在计算时仍按设计齿宽计算。
二、直齿圆柱齿轮齿面接触疲劳强度计算
直齿圆柱齿轮接触疲劳强度计算是防止齿面点蚀破坏的计算方法，其理论依据是两平行圆柱体的接触应力理论。
如图所示，设沿接触线作用有单位宽度上的载荷。
在未受此载荷时，两圆柱体沿其母线相接触，这时我们称作初始线接触。
在受载荷后，由于材料的弹性变形，接触线变成宽度为，长度为b的矩形接触带。显然，在此接触面积内，接触应力的分布时不均匀的，在初始接触线上有最大的压应力，我们称为：接触应力。一般用表示，其大小的值就是著名的赫兹公式：
式中：代表两接触圆柱体的半径（接触点曲率半径）
分别代表材料的弹性模量和泊桑比
号中的“+”用于外接触，“—”号用于内接触
前面我们在分析齿轮失效时，已经说过，点蚀往往先发生在靠近接线的齿根面上，所以可以把在节点P处的接触应力值作为计算的依据。
在节点处齿廓的曲率半径分别为：
∴
令 ，将上式和代入赫兹公式有：
令 ，
∴ （MPa）
∵ ∴
考虑重合系数的影响，并将代入整理得到：
称作区域系数；时，；时，
称作弹性影响系数；（可以查表）
钢对钢时， ；
钢对灰铸铁时，
对于直齿圆柱齿轮传动，＝0.85～0.92（也可以查阅手册图形），当齿数多时重合度大，取小值；反之取大值。
强度条件式为：
在传动中，大、小两齿轮齿面上的接触应力是相同的，而两轮的材料一般是大齿轮稍差，所以大轮的较低，故要按大齿轮材料的计算。
引入齿宽系数 ，代入接触强度校核公式整理可以得到设计计算公式如下：
一般中低硬度闭式齿轮传动，接触疲劳点蚀是主要得失效方式，计算时常常先按接触疲劳强度计算公式求出小齿轮直径d1和宽度b，再按弯曲疲劳强度计算公式校核。对于硬度很高得闭式齿轮传动，弯曲疲劳成为主要得失效形式，可以先按弯曲疲劳强度计算公式求出模数，经圆整后再按接触疲劳强度进行校核。开式齿轮传动只计算弯曲疲劳强度，为了补偿因齿面磨损减薄而造成强度削弱，通常将计算得到得模数加大10％～15％。为了防止轮齿太小引起意外断齿，传递动力的齿轮模数一般不小于1.5～2mm。
三、许用应力
许用应力值随材料成分、力学性能、硬度、残余应力及应力计算方法而有所不同；而齿轮的热处理质量及机械加工质量等对许用应力也有影响。即使齿轮材料及硬度相同，由试验所得的许用应力值也有很大的离散性。因此在设计时，必须考虑以上这些因素的影响。国家齿轮标准规定的许用应力是用齿轮试件进行运转实验获得的持久极限应力，失效概率为1％。时间参数为m=3～5mm，，b=10～50mm，v＝10m/s，齿根圆角粗糙度参数值平均为10，在设计中应作必要的修正以求得许用应力。
1、许用弯曲应力
两齿轮的许用弯曲应力分别按下式进行计算：
——分别为小齿轮材料及大齿轮材料按齿轮试件进行试验求得的齿根弯曲疲劳极限值，试验结果具有较大的离散性。
——为实验齿轮的应力修正系数，当采用国家标准给定的进行计算时，＝2；
——为弯曲疲劳强度计算的寿命系数，一般取为＝1。
（或者查图；或者：—弯曲疲劳计算时的寿命系数，，。当N>4X106时取。对于正火、调质的齿轮m=9；对于淬火、渗碳和氮化的齿轮m=6。）
——为弯曲疲劳强度计算时的尺寸系数，一般取＝1（或可查图）
—齿根弯曲强度的最小安全系数。由于断齿比点蚀破坏由更大的危险性，所以一般取为＝1.3～1.5；重要的传动可以取为＝1.6～3.0。
在图中查取时，应该注意：当齿轮材质、结构及热处理要求、检验手段良好时，以及对机器的操作正确，其值可取上限，一般工业用取中值，条件较差时取下限；对于对称循环变应力下工作的齿轮，在查取的基础上乘以0.7作为计算依据。
2、许用接触应力
许用接触应力的计算式为：
式中：
—接触疲劳极限值，通过实验获得。其值在实验时具有很大的离散性，在GB3480-83中可以查到。使用时需要注意表下面备注的条件。
——接触疲劳用的安全系数。
（一般齿轮传动取＝1.0～1.2，重要传动取＝1.3～1.6）
（）——接触疲劳计算时的寿命系数，一般取＝1。
（ 或者：，
——应力循环基数，一般可以取为，当时，取，此时。
——齿轮在规定的寿命内的工作时数。）
——工作硬化系数，它是以考虑经磨齿的小齿轮硬齿面对大齿轮的冷作硬化作用而来，可以查表得到。对于小齿轮可以省略此参数；当两轮均为硬齿面或软齿面时取＝1。
四、基本设计参数选择
1、精度等级
根据使用条件、受载情况、重要程度等因素确定（参考5.8节内容）。
2、齿数比u
齿轮减速传动时，；增速传动时。
单级闭式传动，一般取（直齿）、（斜齿）。传动比过大，则大小齿轮尺寸悬殊，会使传动的总体尺寸增大，且大小齿轮强度差别过大，不利于传动。所以，需要更大的传动比时，可采用二级或以上的传动。开式传动或手动机械可以达到8～12。
对传动比无严格要求的一般齿轮传动，实际传动比允许有±3％～±5％的误差。
3、齿数和模数m
对于软齿面闭式齿轮传动，传动尺寸主要取决于接触疲劳强度，而弯曲疲劳强度往往比较富裕。这时，在传动尺寸不变并满足弯曲疲劳强度要求的前提下，小齿轮齿数取多一些以增大端面重合系数，改善传动平稳性；模数减小后，降低齿高，使齿顶圆直径减小，从而减少了齿轮毛坯直径，减少切削用量，节省制造费用。通常选取＝20～40；对于硬齿面闭式齿轮传动，首先应具有足够大的模数以保证齿根弯曲疲劳强度，为减小传动尺寸，其齿数一般可取＝17～25。
为了提高开式齿轮传动的耐磨性，要求有较大的模数，因而齿数应尽可能的少，一般取＝17～20。允许有少量根切的手动机械，可以少于17。
模数m的最小允许值应根据抗弯曲疲劳强度确定。
减速器中的齿轮传动，通常取m＝（0.007～0.02）a（a为中心距，mm）。载荷平稳、中心距大、软齿面齿轮传动取小值；冲击载荷较大、中心距小、硬齿面传动取较大值。开式齿轮传动取m＝0.02a。
动力传动中，通常应使m不小于1.5～2.0mm。
4、齿宽系数及齿宽b
齿宽系数取大值时，齿宽b增加，可减小两轮分度圆直径和中心距，进而减小传动装置的径向尺寸，而且齿轮越宽承载能力越高，所以齿轮不宜过窄；但是增大齿宽会使载荷沿齿宽方向分布不均匀更加严重，导致偏载发生。所以，齿宽系数应取得适当。
此参数可以根据布置形式、齿面性质查表得到。
对于多级齿轮传动，由于转距从高速级向低速级增大，因此设计时应使低速级的齿宽系数比高速级大些，以便协调各级的尺寸。
例：设计用于矿石破碎机的一级直齿圆柱齿轮传动装置，主轴转速n1＝680r/min，从动轴转速n2＝240r/min，输入功率为P＝90KW，每天工作16小时，预期寿命10年，每年工作250天。允许传动比误差5％。
【解】1、选择材料、热处理、齿轮精度和齿数
由材料表格比较选择：小齿轮材料为40Cr钢，调质处理，硬度241～286HBS,＝686MPa，＝490MPa；大齿轮材料选择ZG35CrMo铸钢，调制处理，硬度190～240HBS，＝686MPa，＝539MPa；精度等级8级。
取＝21
因为，所以＝21×2.833＝59.5，取＝60
可以求得：实际从动轴转速＝238 r/min，实际传动比为u＝2.857
转速相对误差＝＝0.83％ < 5％ ，合乎要求。
2、按齿面接触疲劳强度设计（软齿面齿轮传动）
接触疲劳设计计算公式为：
＝9550×＝1264Nm
查齿宽系数表：由于是软齿面齿轮对称安装，故取＝1.2。
根据工况条件查＝1.75（由表6－7）。
试取动载系数＝1.15（由图6－6）。
由于对称布置取＝1.07（由图6－8）。
由表6－8，按齿面未硬化，直齿轮8级精度，KAFt/b > 100N/mm，＝1.1
所以有：K=1.75×1.15×1.07×1.1=2.37
取为标准齿轮，，＝2.5；齿数不算少，取＝0.9
材料为铸钢对锻钢，故此可以查取弹性系数：＝188.9
由图上可以查取：＝800MPa，＝560 MPa。
齿面接触许用应力为：
小齿轮应力循环次数：＝60×680×1×10×250×16＝1.632×109，
大齿轮应力循环次数：＝60×238×1×10×250×16＝5.712×108，
可以取为（图上查取）（或N > ）
由于均为软齿面，故取：＝1。安全系数取
所以： MPa， MPa
所以有：＝157.17(mm)
b＝×d1＝1.2×157.17＝188.6(mm)
所以，可以取小齿轮宽度：b1＝190mm，大齿轮宽度b2＝188mm
从而有：mm，取m＝7mm强度略微不足，采用正变位齿轮提高强度以满足强度要求。
变位前中心距：
为了提高强度采用正变位，取变位后中心距为整数，取。
变位后的啮合角为： 代入数据得：
确定变位系数、变位后节圆直径等参数。
按， 查表可以得到：x1=0.5，x2=0.5032
得齿轮节圆直径：，
接下来验算前面所作假设是否正确：
齿轮节圆速度：，查取＝1.13
可以求得，所以有： 原假设合理。
下面按照正常步骤进行验算（包括弯曲疲劳强度验算），同学们可以参照教材上得有关内容进行自学。
§6.12 斜齿圆柱齿轮传动设计
前面我们已经比较系统地讨论了直齿圆柱齿轮的相关内容。接下来在本节中我们研究另外一种常用的齿轮传动，即斜齿圆柱齿轮传动。
★一．齿面形成及啮合特点
我们前面研究渐开线直齿圆柱齿轮时，仅讨论了齿轮端面上的渐开线齿廓及其啮合。但是，实际上齿轮都有一定的宽度。因此，前述的发生线实际应该为发生面，前面的基圆应该为基圆柱，发生线上的K点就成了直线，如图6-35所示。
发生面沿基圆柱纯滚动，发生面上与基圆柱轴线平行的直线所形成的轨迹，即为直齿轮齿面，它是渐开线曲面。
斜齿圆柱齿轮齿面形成的原理与直齿轮相似，所不同的是直线与轴线不平行，而有一个夹角，如图6-36（b）所示。
当发生面沿基圆柱纯滚动时，斜直线的轨迹即为斜齿轮齿面，它是一个渐开线螺旋面。该螺旋面与基圆柱的交线为一条螺旋线，其螺旋角为，称为基圆柱上的螺旋角。
同理，该螺旋面与分度圆柱的交线也是一条螺旋线，该螺旋线的螺旋角用表示，称为分度圆圆柱上的螺旋角，通常称为斜齿轮的螺旋角。
根据螺旋线左右旋向，有正负之分。
啮合特点：
1）当两直齿轮啮合时，其齿面接触线是与整个齿轮轴线平行的直线，如图6-36(a)所示。因此，直齿轮啮合时，整个齿宽同时进入和退出啮合，所以容易引起冲击、振动和噪声，从而影响传动的平稳性，不适宜于高速传动。
2）当两斜齿轮啮合时，由于轮齿的倾斜，一端先进入啮合，另一端后进入啮合，其接触线由短变长，再由长变短，如图6-36(b)所示，极大地降低冲击、振动和噪声，改善了传动的平稳性。相对于直齿轮而言更适合高速传动。
3）斜齿圆柱齿轮相对于直齿圆柱齿轮而言，可以增大重合度、降低根切齿数，可以提高齿轮承载能力，减小结构尺寸。
二．斜齿轮的基本参数
斜齿轮与直齿轮有共同之处，例如在端面上两者均具有渐开线齿廓的齿型等。但是，由于斜齿轮的轮齿是螺旋形的，故在垂直于轮齿螺旋线方向的法面上，齿廓曲线及齿型都与端面不同。
由于加工斜齿轮时，常用齿条型刀具或盘形齿轮铣刀来切齿，且刀具沿齿向方向进刀，所以必须按斜齿轮法面参数选择刀具，故此，我们规定斜齿轮法面参数为标准值。而斜齿轮几何尺寸又要按端面参数计算，因此必须建立法面参数与端面参数的换算关系。
1．法面模数与端面模数
为了便于说明问题，我们把斜齿轮分度圆柱面展开，成为一个矩形如图6-37所示。它的宽度是斜齿轮的轮宽B；长是分度圆的周长。
这是分度圆柱面上轮齿的螺旋线便展成一条斜直线，其与平行于轴的直线的夹角为，即称为分度圆柱面上的螺旋角（简称螺旋角）。通常就用这个螺旋角来表示斜齿轮轮齿的倾斜程度。
由图6-38(a)所示的几何关系，可得：
式中为螺旋线的导程，即螺旋线绕分度圆柱一整周后上升的高度。
同一个斜齿轮，任何一圆柱面上的螺旋线导程都是一样的，因此基圆柱上的螺旋角（如图6-38b所示）为：
而
由上面两式可以得到：
从图上可以看出：
因为 所以
可以看出，传动时的轴向分力与有关，为了减小轴向力不宜过大，一般取（最大不超过）。但是，对噪声有特殊要求的齿轮，可以适当放大。例如目前小轿车齿轮已经达到35°～37 °。
2．法面压力角与端面压力角
为了便于分析和的关系，我们利用斜齿条来说明。因为斜齿轮与斜齿条正确啮合时，两者的法面压力角和端面压力角一定分别相等，它们之间的关系也相同。
图6-39a所示为一直齿条的情况，其上法面和端面是同一个平面，所以有：
对于斜齿条来说，因为轮齿倾斜了一个角，于是就有端面与法面之分，如图6-39b所示的斜齿条。
平面为端面，为法面。即为端面压力角，为法面压力角。
由于和这两个直角三角形等高，即：
于是，通过三角关系可以得到：
而 ， 所以
3．法面、与端面、
斜齿轮的齿顶高和齿根高，在法面和端面上是相同的，计算方法和直齿轮相同。有：
即：
式中 、为标准值。
4．法面变位系数与端面变位系数
斜齿轮的变位量在法面和端面上是一样的（径向尺寸），即：
所以
三．斜齿圆柱齿轮的几何尺寸计算
1．几何尺寸计算
见教材表(9-4)。其中特别要注意：公式中的法面参数为标准值。
2．中心距a
由该式可以看出，设计斜齿轮传动时，可用螺旋角改变来调整中心距的大小，以满足对中心距的要求。
四．斜齿圆柱齿轮的当量齿数
上面我们对斜齿轮的有关几何尺寸进行了简单的说明。但，对于斜齿轮而言，还有一个十分重要的参数——当量齿轮。
用仿形法切制斜齿轮时，刀刃位于轮齿的法面内，并沿分度圆柱螺旋线方向切齿，故斜齿轮法面上的模数、压力角和法面齿型应与刀具参数和齿型分别相同。因此，选择齿轮铣刀时，刀具的模数和压力角应等于斜齿轮法面模数和压力角。但铣刀的刀号需由齿数来确定，因此应找出一个与斜齿轮法面齿型相当的直齿轮，该虚拟的直齿轮称为斜齿轮的当量齿轮，当量齿轮的齿数称为当量齿数，用表示。铣刀刀号应按照选取。
为确定当量齿数，如图6-40所示。过斜齿轮分度圆上C点，作斜齿轮法面剖面，得到一椭圆。该剖面上C点附近的齿型可以视为斜齿轮的法面齿型。以椭圆上点C的曲率半径作为虚拟直齿轮的分度圆半径，并设该虚拟直齿轮的模数和压力角分别等于斜齿轮的法面模数和压力角，该虚拟直齿轮即为当量齿轮，其齿数即为当量齿数。
根据几何学，由图6-40可知：
椭圆长半轴为 ， 短半轴为
而
所以得到：
当量齿数的作用有：
1）用来选取齿轮铣刀的刀号；
2）用来计算斜齿轮的强度；
3）用来确定斜齿轮不根切的最少齿数：
五．斜齿圆柱齿轮啮合传动
1．正确啮合的条件
斜齿轮传动的正确啮合条件，除了两齿轮的模数和压力角分别相等外，他们的螺旋角必须相匹配，否则两啮合齿轮的齿向不同，依然不能进行啮合。因此斜齿轮传动正确啮合的条件为：
前的“+”好用于内啮合，“—”号用于外啮合。
2．重合度
前面我们已经介绍过直齿圆柱齿轮的重合度。现在，我们利用直齿轮传动与斜齿轮传动来进行对比分析，如图6-41。
直线、分别表示轮齿进入啮合过程和退出啮合的位置，啮合区的长度为L。
对于直齿轮传动，沿整个齿宽B同时进入啮合，同时退出啮合，重合度仍为：。
对于斜齿轮传动，轮齿前端B2先进入啮合，待整个轮齿全部退出啮合，啮合区增长了一段。由于轮齿倾斜而增加的重合度用表示，即：
所以斜齿轮的重合度为：
式中： 为端面重合度； 称作轴向重合度。
3．传动特点
与直齿轮传动相比较，斜齿轮的优点有：
（1）啮合性好：轮齿开始和退出啮合都是逐渐的，所以传动平稳，噪声小，对齿廓的制造误差反映小；
（2）重合度大：相对提高了承载能力，延长了使用寿命；
（3）结构紧凑：斜齿标准齿轮的最少齿数比直齿轮少，相对而言，在同样的条件下，斜齿轮传动结构更紧凑。
其缺点是会产生轴向推力。越大，推力越大。
要消除轴向推力的影响，可以采用左右对称的人字形齿轮或反向同时使用两个斜齿轮传动。
六．斜齿圆柱齿轮传动的强度计算
斜齿圆柱齿轮传动的强度计算方法是在直齿圆柱齿轮传动强度计算的基础上拟订的。我们主要从两者的不同点进行介绍。
1．受力分析
如图所示，斜齿轮传动时，作用于齿面上的法向载荷仍垂直指向齿面。由于齿向有偏斜，故不再与齿轮轴线垂直，而在啮合面上，与端面齿形的发线偏一基圆螺旋角。可以把作用于节点P的分解成圆周力、径向力及轴向力。
根据图中力的关系，有：，
，
（ ）
——节圆螺旋角，对标准齿轮传动即为分度圆螺旋角。
——基圆螺旋角。
——法面压力角，也即标准压力角。
——端面压力角。
由于轴向载荷与螺旋角的正切成正比，为了不使轴向力过大而使（齿轮）轴的轴承设计发生困难，通常规定。对于人字齿轮，。
2．单位接触线长度上的计算载荷
法向载荷分布在整个接触线上，一个齿上的接触线长为。在整个啮合区中，由于轮齿的倾斜，将同时有几对齿参与啮合。根据研究，可以利用下面的公式计算平均啮合线长度：
（——端面重合度系数）
如同直齿圆柱齿轮一样，考虑载荷系数K，则有单位接触线长度上的最大载荷为：
3．齿根弯曲疲劳强度计算
斜齿圆柱齿轮的齿根弯曲疲劳强度的计算，按单位齿宽最大法向载荷作用于齿顶时的受力情况推导。
我们知道，在斜齿轮传动中其齿面上的载荷是沿一条斜的接触线分布的。因此，只可能在某一横剖面的齿顶处承受部分载荷，而在其它剖面上载荷作用在低于齿顶的位置上，因而引起的弯矩、弯曲变形和弯曲应力都要小于齿顶受载的情况，所以要比全由齿顶受载产生的弯曲应力小。这一作用可在计算式中用一个经验的螺旋角系数来反映。
当轴向重合系数在的范围以内时，螺旋角系数为：
式中：——分度圆螺旋角，当时，以代入。
——轴向重合度系数。
：
当时以1代入计算。
于是按齿根弯曲疲劳强度导出的校核计算和设计计算用的公式分别为：
校核公式仍分别按大小齿轮进行校核，在设计计算公式中，仍用值较大者代入计算。
齿形系数仍按表查取，不过此时要使用斜齿轮的当量齿数；的选择应当保证，以防止根切。
4．齿面接触疲劳强度计算
斜齿轮传动时，利用赫兹公式计算节圆上的接触应力。此时，须按法面齿廓节点P处的曲率半径作为依据。
，
传动比
所以
代入赫兹公式，通过推导可以得到按接触疲劳强度而定的校核公式为：
其中
ZE只与材料性能有关，故与直齿圆柱齿轮计算时一样取值，钢对钢时，；钢对铸铁时，
考虑螺旋角系数和重合系数的影响，则上式变为：
同样地，与直齿轮相似，可以导出设计用的公式为：
为简化起见，许用应力仍按直齿圆柱齿轮的方法计算和选用，这样时偏于安全的。
§6.13 圆锥齿轮传动设计
圆锥齿轮机构主要用来传递两相交轴之间的运动和动力,如图6-44。圆锥齿轮的轮齿是分布在一个截锥体上的，如图6-45，这是圆锥齿轮区别于圆柱齿轮的特殊点之一。所以，相应于圆柱齿轮中的各有关“圆柱”，在这里都变成了“圆锥”，例如齿顶圆锥、分度圆锥、齿根圆锥等。
一对圆锥齿轮两轴之间的夹角可根据传动的需要来决定。但通常情况下，工程上多采用的是的传动。
圆锥齿轮按两轮啮合的形式不同，可分别为外啮合、内啮合及平面啮合三种，如图4-34所示。
圆锥齿轮的轮齿有直齿、斜齿及曲齿（圆弧齿）等多种形式。由于直齿圆锥齿轮的设计、制造和安装均较简便，故应用的最为广泛。曲齿圆锥齿轮由于传动平稳、承载能力较高，故常用于高速重载的传动场合，如汽车、拖拉机中的差速器齿轮、中央传动等。我们本节主要介绍用途最广、也是最基本的直齿圆锥齿轮。
★一．直齿圆锥齿轮齿廓的形成
如图6－47所示，锥齿轮的齿廓是发生面S在基圆锥上作纯滚动时形成的，发生面上K点将在空间展开成一渐开线AK。显然，渐开线是在以锥顶O为中心，锥距R为半径的球面上，所以该渐开线也称为球面渐开线。同样，在K点内侧临近的各点均展开成球面渐开线，这样就形成了球面渐开线齿廓。
二．背锥与当量齿数
与圆柱齿轮一样，圆锥齿轮有齿顶圆锥、齿根圆锥和分度圆锥。在图6-48中的锥齿轮轴剖面，OAP和OBP分别为两轮的分度圆锥。
由于圆锥齿轮的齿廓曲线为球面曲线，但是球面无法展开成平面，致使圆锥齿轮的设计和制造产生许多困难。为了使球面齿廓的问题转化成平面问题，就引入了背锥的概念。所谓背锥是过锥齿轮的大端，其母线与锥齿轮分度圆锥母线垂直的圆锥。
图中O1AP和O2BP即为两轮的背锥。
将两锥齿轮大端球面渐开线齿廓向两背锥上投影，得到近似渐开线齿廓。接下来将两背锥展成两扇形齿轮，设想把扇形齿轮补足成一个完整的圆柱齿轮。该假想的圆柱齿轮称作圆锥齿轮的当量齿轮，其齿数称作圆锥齿轮的当量齿数，用表示。
这样，当量齿轮的齿型与圆锥齿轮大端齿型相当，其模数和压力角与圆锥齿轮大端的模数和压力角相一致。因此，圆锥齿轮的啮合传动可利用其当量齿轮的啮合传动来研究。
由图可以看出：
又 所以： ；
其中：和分别为两圆锥齿轮的锥顶角。
三．直齿圆锥齿轮传动
1．正确啮合的条件
前面已经讲过，一对圆锥齿轮的啮合传动相当于一对当量圆柱齿轮的啮合传动，故其正确啮合的条件为：两圆锥齿轮大端的模数和压力角分别相等。
2．重合度
直齿圆锥齿轮传动的重合度可近似地按当量圆柱齿轮传动的重合度计算，即：
3．传动比
如图4-36所示，，
所以圆锥齿轮传动的传动比为：
当轴交角 时，有：
四．直齿圆锥齿轮传动的参数及几何尺寸
根据国家标准规定，现多采用等顶隙圆锥齿轮传动形式，即：两轮顶隙从轮齿大端到小端都是相等的，如图6-49所示。
1．基本参数
圆锥齿轮的基本参数规定是：大端参数为标准值，模数m按表（GB12368-90）中查询选择，压力角一般为。
对于正常齿，当时，；当时，，。对于短齿，。
为避免根切，圆锥齿轮应满足当量齿数。为了保持两轮等移距变位，还应满足。为直齿圆柱齿轮不根切的最少齿数。
2．几何参数计算
圆锥齿轮的几何尺寸计算规定以大端为基准，计算公式列在表中，此处就不作进一步讲述了。
6.14 直齿圆锥齿轮强度计算
为了进行直齿圆锥齿轮的强度计算，我们首先要了解有关其传动的一些几何关系。
一．几何关系
我们已经知道，直齿圆锥齿轮传动的设计时基于当量齿轮的概念。直齿圆锥齿轮的当量直齿圆柱齿轮时在齿宽中点t处作节圆锥母线的垂直线，与两个齿轮轴线相交于及点，分别以及为圆心，以及为分度圆半径，作出两个齿轮。由此形成一对当量直齿圆柱齿轮。
在工程上，我们常用轴夹角的传动，计算时涉及到的参数有以下一些。
1．齿宽系数
取齿轮宽度b与锥距L之比作齿宽系数，即：
设计时，一般取
＝0.25～0.35。
常取＝1/3。
2．齿轮的平均参数
圆锥齿轮的标准模数是指大端的模数，分度圆的直径也是大端的分度圆直径。但在强度计算时，是以齿宽中点处的模数作为计算值，所以我们必须首先找出其之间的关系。
因为
所以有： ，
由此，平均模数：
3．传动比及节锥角
4．当量齿轮直径及当量齿数
因为 所以
进而： ，
二．受力分析
作用于齿面上的法向载荷，设其作用在齿宽中点处，可以分解成三个互相垂直的分力，如图所示。
根据几何和平衡关系，有：
三．齿面接触疲劳强度计算
经过转换为当量齿轮后，变为圆柱齿轮传动，其计算就是将有关参数更换为当量齿轮参数。从而代入整理后，对于的直齿锥齿轮，，我们可以得到按齿面接触疲劳强度的校核和设计公式分别为：
其中：、仍按直齿圆柱齿轮查取选择。u为当量齿轮传动传动比开方。
四．齿面弯曲疲劳强度计算
利用当量直齿圆柱齿轮受法向载荷作用于齿顶的模型，可以得到校核和设计公式为：
………………(8-37)
…..(8-38)
和前面一样,式8-37中要分别使用大轮和小轮的齿形系数和许用应力计算.齿形系数要利用当量齿数由表8-8查取。
设计计算时，要用中较大者代入。
6.15 齿轮结构设计及齿轮传动的润滑
一．齿轮结构设计
在前面各节中，我们介绍的齿轮设计只是轮齿部分，但是作为一个完整的齿轮零件，除了轮齿以外还必须有轮缘、轮辐及轮毂等部分，才能完成传递功率或运动的任务。
轮缘、轮辐和轮毂部分设计不当，轮齿也会在这些部位出现破坏，例如轮缘开裂、轮辐折断、轮毂破坏等。同时，轮缘的刚性还会影响轮齿在工作时的刚性以及加工齿时的整体刚性，从而影响轮齿上载荷的分布以及动载荷的大小。
对于中等模数的传动齿轮，这几个部分一般是参考毛坯制造方法、根据经验关系来设计的。
1）锻造齿轮
对于齿轮齿顶圆直径小于500mm的齿轮，一般采用锻造毛坯，并根据齿轮直径的大小常采用以下几种结构形式。
（1）齿轮轴
当齿轮的齿根直径与轴径很接近时，如图6－52，可以将齿轮与轴作成一体的，称为齿轮轴。齿轮与轴的材料相同，可能挥造成材料的浪费和增加加工工艺的难度。
（2）实体式齿轮
齿顶圆直径小于160mm（当轮缘内径D与轮毂外径相差不大时，而轮毂长度要大于等于1.6倍的轴径尺寸）时可以采用这种实体式结构，如图8－17所示。在图a中，齿根与键槽顶部距离e不能过小。如果e尺寸无法保证，就要采用齿轮轴结构，即把齿轮与轴作为一体。
（3）腹板式结构
当直径大于160mm时，为了减轻重量，节约材料，同时由于不易锻出辐条，常采用腹板式结构。
对于腹板式结构，当直径接近500mm时，可以在腹板上开出减轻孔，一般也不设加强筋，而是将腹板作的厚一些。此时，轮毂长度一般不应小于齿轮宽度，可以略大，也可以对称，也可以偏向一侧。
锻造齿轮的腹板式结构又分为模锻和自由锻两种，其中模锻用于大批量生产。
2）铸造齿轮
而当直径大于500mm或随直径小于500mm但形状复杂，不便于锻造的齿轮，常采用铸造毛坯。其中齿顶圆直径大于300mm时可以做成带加强肋的腹板结构；当齿顶圆大于300mm时常做成轮辐结构。
圆锥齿轮：轮辐常用腹板代替轮辐，同时在腹板上铸出加强筋，以增强轮体的轴向刚度。
对于铸造和锻造齿轮设计可以参照例图中给出的经验公式进行，结构尺寸计算后要圆整成最近的标准整数（对于机械设计，国家规定有标准尺寸系列，一般情况下，都要符合国家标准）。
3）镶套齿轮
对于尺寸较大而需要用的贵重金属（相对而言，例如45号钢和40钢）齿轮，要采用组装齿轮结构，以节约材料。
4）焊接齿轮
对于单件或小批量生产的大齿轮，还可以采用焊接结构。
二．齿轮传动润滑
我们知道齿轮设计中的计算和校核都是针对润滑良好的闭式齿轮传动进行的，所以对齿轮传动的设计就必须考虑润滑问题，才能实现我们预期的设计要求。
我们首先要了解为什么需要润滑，也就是润滑的功用是什么？
1）润滑的功用
在齿轮传动中，轮齿表面上除节点外，其它各啮合点处均有相对的切向滑动。所以，润滑的主要作用为：
（1）减小或消除齿面的磨损：齿面的磨损主要为磨粒磨损粘着磨损。事实上，粘着磨损就是胶合。为了增强润滑剂的抗胶合能力，常在润滑油中加入极压添加剂。润滑的抗磨粒磨损的能力主要取决于啮合表面形成油膜，只要油膜厚度大于磨粒尺寸，就可以起到防止或减轻磨粒磨损的作用。
（2）润滑油可减小摩擦系数，降低齿面间的摩擦，提高传动效率。
（3）冷却齿轮传动，带走摩擦产生的热量，避免形成齿面烧伤或胶合。
（4）油膜可以起到缓冲的作用，降低齿轮传动振动、冲击和噪声。
2）润滑剂的选择
润滑剂有三大类：
（1）液体润滑剂（常用）
（2）润滑脂：用于低速传动，无法使用液体润滑剂时使用。
（3）固体润滑剂：其使用取决于使用条件及工艺水平。
最常用的液体润滑剂包括：各类机械油（如40，68，100等）；各种齿轮油（如H-32，HL-46等）；合成润滑油（如SY4024-83,4403等）。
选择液体润滑剂时，可按表8-10（教材P 129）选择适用的润滑油粘度范围。该表适用于中小载荷（），对于重载传动（），粘度应该提高。
根据粘度值，参考齿轮传动所处的条件，进行润滑油的选择。在具体选择时，粘度应根据具体条件作适当的调整。例如：速度高时，可适当降低粘度，反之可稍稍加大粘度。
在温度高时，应在油中加入抗脱氧剂及防锈添加剂。
如果齿轮和轴承要用同一油池中的油润滑，要进行折中选择。
在开式齿轮传动中，使用润滑脂时，它没有冷却效果，所以要求工作温度低于润滑脂滴点（），同时要考虑耐水性等条件。
3）润滑方法及油量选择
开式齿轮传动速度较低，一般采用润滑脂或定时滴油润滑。
闭式齿轮传动常利用浸油法或喷油法润滑：
1）浸油法：大齿轮浸入一个齿高，对于多级齿轮传动的高速级，可以采用带油轮。由于大齿轮或带油轮可以将油带起，溅落到被润滑处，也称为飞溅润滑。此时要求齿轮线速度不高于。对于单级，每传递1Kw功率约需要0.35L或更多的油量，多级传动可以按比例（级数）增加。
2）喷油润滑：在线速度超过上述数值使用时，要求齿轮宽度大时增加喷嘴的数目。在节圆线速度不大于时，直接由进入啮合的一侧向啮合处喷油。油量按10mm齿宽用0.45L/min或者每千瓦用8.5L/s来计算，喷油压力一般为0.01～0.2MPa。
对于非金属齿轮，载荷较小时可以不进行润滑。有时也可加入适量油以改善摩擦性能，提高承载能力，或改善材料使其具有自润滑能力。
