十三 齿 轮 系
1．教学目标
1．能正确划分轮系，能计算定轴轮系、周转轮系、复合轮系的传动比；
2．对轮系的主要功用有所了解；
3．了解行星轮系的齿数条件。
2．教学重点和难点
1．周转轮系传动比的计算；
2．如何将复合轮系转化为基本轮系。
3．讲授方法：多媒体和演示柜教学
正 文
§8.1 概述（轮系及分类）
我们在前面讨论了一对齿轮啮合传动、蜗杆传动等相关设计问题。但是，在实际的机械工程中，为了满足各种不同的工作需要，仅仅使用一对齿轮是不够的。例如，在各种机床中，为了将电动机的一种转速变为主轴的多级转速；在机械式钟表中，为了使时针、分针、秒针之间的转速具有确定的比例关系；在汽车的传动系中等，都是依靠一系列的彼此相互啮合的齿轮所组成的齿轮机构来实现的。这种由一系列的齿轮所组成的传动系统称为齿轮系，简称轮系。
在工程上，我们根据轮系中各齿轮轴线在空间的位置是否固定，将轮系分为两大类：定轴轮系和周转轮系。如图8-1和8-2所示。
十分明显，所有齿轮轴线相对于机架都是固定不动的轮系称为定轴轮系，定轴轮系也称作普通轮系；反之，只要有一个齿轮的轴线是绕其它齿轮的轴线转动的轮系即为周转轮系。
如果在轮系中，兼有定轴轮系和周转轮系两个部分，则称作混合轮系。
轮系可以由各种类型的齿轮所组成——圆柱齿轮、圆锥齿轮、蜗轮蜗杆等组成。本章仅从运动分析的角度研究轮系设计，即只讨论轮系的传动比计算方法和轮系在机械传动中的作用。
§8.2 定轴轮系
一．传动比大小的计算
上一章我们已经介绍，一对齿轮的传动比是指该连齿轮的角速度之比，而轮系的传动比是指所研究轮系中的首末两构件的角速度（或转速）之比，用表示。为了完整的描述a、b两构件的运动关系，计算传动比时不仅要确定两构件的角速度比的大小，而且要确定他们的转向关系。也就是说轮系传动比的计算内容包括：大小和方向。
下面我们首先以图8-1所示的定轴轮系为例介绍传动比的计算。
齿轮1、2、3、、6为圆柱齿轮；、4、、5为圆锥齿轮。设齿轮1为主动轮（首轮），齿轮6为从动轮（末轮），其轮系的传动比为：
从图中可以看出，齿轮1、2为外啮合，2、3为内啮合。根据上一章所介绍的内容，可以求得图中各对啮合齿轮的传动比大小：
1、2齿轮： 2、3齿轮：
、4齿轮： 、5齿轮：
、6齿轮：
因为 、，观察分析以上式子可以看出，、、三个参数在这些式子的分子和分母中各出现一次。
我们的目的是求，我们将上面的式子连乘起来，于是可以得到：
所以：
上式说明，定轴轮系的传动比等于组成该轮系的各对啮合齿轮传动比的连乘积。其大小等于各对啮合齿轮所有从动轮齿数的连乘积与所有主动轮齿数连乘积之比。即通式为：
二．转向关系的确定
齿轮传动的转向关系有用正负号表示或用画箭头表示两种方法。
1．箭头法
在图8-1所示的轮系中，设首轮1（主动轮）的转向已知，并用箭头方向代表齿轮可见一侧的圆周速度方向，则首末轮及其它轮的转向关系可用箭头表示。因为任何一对啮合齿轮，其节点出圆周速度相同，则表示两轮转向的箭头应同时指向或背离节点。
由图可见，轮1、6的转向相同。
2．正、负号法
对于轮系所有齿轮轴线平行的轮系，由于两轮的转向或者相同、或者相反，因此我们规定：两轮转向相同，其传动比取“+”；转向相反，其传动比取“—”。其“+”、“—”可以用箭头法判断出的两轮转向关系来确定，如图8-2所示的轮系；也可以直接计算而得到：由于在一个所有齿轮轴线平行的轮系中，每出现一对外啮合齿轮，齿轮的转向改变一次。如果有m对外啮合齿轮，可以用表示传动比的正负号。
注意：在轮系中，轴线不平行的两个齿轮的转向没有相同或相反的意义，所以只能用箭头法，如图8－3所示。
箭头法对任何一种轮系都是适用的。
【例】在如图8-4所示的轮系中，已知蜗杆的转速为（顺时针），z1=2，z2=60，=20, z3=24,=20, z4=24,=30, z5=35,=28, z6=135。求n6的大小和方向。
【解】1、分析传动关系
指定蜗杆1为主动轮，内齿轮6为最末的从动轮，轮系的传动关系为：1→2＝2′→3＝3′→4＝4′→5＝5′→6
2、计算传动比
该轮系含有空间齿轮，且首末两轮轴线不平行，我们可以利用公式求出传动比的大小，然后求出n6 ：＝243
所以 n6＝＝3.7r/min
3、在图中画箭头指示n6的方向（如图所示）。
§8.3 周转轮系
所谓周转轮系是指轮系中一个或几个齿轮的轴线位置相对机架不是固定的，而是绕其它齿轮的轴线转动的。这种轮系也可以称作“动轴轮系”。周转轮系相对要复杂一些，所以我们首先需要了解周转轮系的组成。
一．周转轮系的组成
如图8-5所示轮系，为一基本周转轮系。外齿轮1、内齿轮3都是绕固定轴线OO回转的，在周转轮系中称作太阳轮或中心轮。
齿轮2安装在构件H上，绕进行自转，同时由于H本身绕OO有回转，齿轮2会随着H绕OO转动，就象天上的行星一样，兼有自转和公转，故此称作行星轮。而安装行星轮的构件H称作行星架（或称作系杆、转臂）。
在周转轮系中，一般都以太阳轮或行星架作为运动的输入和输出构件，所以它们就是周转轮系的基本构件。OO轴线称作主轴线。
由上可以看出，一个基本周转轮系必须具有一个行星架、具有一个或若干个行星轮以及与行星轮啮合的太阳轮。
根据基本的周转轮系的自由度数目，我们可以将其划分为两大类。
a).如果轮系中两个太阳轮都可以转动，其自由度为2，如基本图所示的轮系，我们称之为差动轮系（如图8－5）。该轮系需要两个输入，才有确定的输出。
b).如果有一个中心轮是固定的，则其自由度为1，就称作行星轮系（如图8－5b）。
另外，周转轮系还常根据其中构件的组成情况分为：2K-H 型、3K型和K-H-V型等，其中 K代表太阳轮，H代表行星架，V代表输出构件。具体我们就不进行深入的讨论了。
二．周转轮系传动比的计算
通过对周转轮系和定轴轮系的观察分析发现，它们之间的根本区别就在于周转轮系中有着转动的系杆，使得行星轮既有自转又有公转，那么各轮之间的传动比计算就不再是与齿数成反比的简单关系了。由于这个差别，周转轮系的传动比就不能直接利用定轴轮系的方法进行计算。但是根据相对运动原理，假如我们给整个周转轮系加上一个公共的角速度“”，则各个齿轮、构件之间的相对运动关系仍将不变，但这时系杆的绝对运动角速度为，即系杆相对变为“静止不动”，于是周转轮系便转化为定轴轮系了。我们称这种经过一定条件转化得到的假想定轴轮系为原周转轮系的转化机构或转化轮系。利用这种方法求解轮系的方法称为转化轮系法。
如图8-6所示的一基本轮系。按照上述方法转化后得到定轴轮系如图8-7所示，在转化轮系中，各构件的角速度变化情况如下表。
构件
原有角速度
转化后角速度
行星架H
齿轮1
齿轮2
齿轮3
机架4
故此，我们可以求出此转化轮系的传动比为：
“—”号表示在转化轮系中和转向相反。
作为差动轮系，任意给定两个基本构件的角速度（包括大小和方向），则另一个构件的基本角速度（包括大小和方向）便可以求出。从而就可以求出该轮系中三个基本构件中任意两个构件间的传动比。
从上可以看出，转化轮系中构件之间传动比的求解通式为：
(该公式必须记住并能够熟练应用)
若上述差动轮系中的太阳轮1和3之中的一个固定，如令，则轮系就转化为行星轮系，此时行星轮系的传动比为：
即：
综上所述，我们可以得到周转轮系传动比的通用表达式。设周转轮系中太阳轮分别为a、b，行星架为H，则转化轮系的传动比为：
对或的行星轮系，根据上式可推出其传动比的通用表达式分别为：
特别注意：
1）通用表达式中的“”号，不仅表明转化轮系中两太阳轮的转向关系，而且直接影响、、之间的数值关系，进而影响传动比计算结果的正确性，因此不能漏判或错判。
2）、、均为代数值，使用公式时要带相应的“”。
3）式中“”不表示周转轮系中轮a、b之间的转向关系，仅表示转化轮系中轮a、b之间的转向关系。
4）周转轮系与定轴轮系的差别就在于有无系杆（行星轮）存在。
【例1】在如图8-8所示的轮系中，如已知各轮齿数，，，；且已知轮1于轮3的转数分别为，。试求：当（1）、同向转动；（2）、异向转动时，行星架H的转速及转向。
【解】这是一个周转轮系，因两中心轮都不固定，其自由度为2，故属差动轮系。现给出了两个原动件的转速、，故可以求得。根据转化轮系基本公式可得：
齿数前的符号确定方法同前，即：按定轴轮系传动比计算公式来确定符号。在此，m=1，故取负号。
（1）当、同向转动时，他们的负号相同，取为正，代入上式得：
， 求得
由于符号为正，说明的转向与、相同。
（2）当、异向时，他们的符号相反，取为正、为负，代入上式可以求得
由于符号为负，说明的转向与相反，而与相同。
【例2】在图8-9所示的行星轮系中，已知，，，行星架H为原动件，试求传动比
解：根据式得
所以
则
计算结果说明，这种轮系的传动比极大，系杆H转10000转，齿轮1转过1转。
【例3】如图所示的差速器中z1=48，z2=42， ，z3=21，n1=100r/min，n3=80r/min，其转向如图所示，求 nH=?。
【解】这个差速器由锥齿轮1、2、2′、3、行星架H以及机架4组成。双联齿轮2－2′的轴线运动，所以2－2′是行星轮，与其啮合的两个活动太阳轮1、3的几何轴线重合，这是一个差动轮系，可以使用轮系基本公式进行计算。齿数比之前的符号取“负号”，因为可视为行星架固定不动，轮1和轮3的传动比，如图8－10b所示，用箭头表示。可知与方向相反。从图8－10a可知，和方向相反，如设为正，则为负值。代入基本公式有：
即：
解得：
为正值，表示与转向相同。
§8.4 混合轮系（也称复合轮系）
一个轮系中同时包含有定轴轮系和周转轮系时，我们称之为混合轮系（或复合轮系）。一个混合轮系可能同时包含一个定轴轮系和若干个基本周转轮系。
对于这种复杂的混合轮系，求解其传动比时，既不可能单纯地采用定轴轮系传动比的计算方法，也不可能单纯地按照基本周转轮系传动比的计算方法来计算。其求解的方法是：
1）将该混合轮系所包含的各个定轴轮系和各个基本周转轮系一一划分出来。
2）找出各基本轮系之间的联接关系。
3）分别计算各定轴轮系和周转轮系传动比的计算关系式；
4）联立求解这些关系式，从而求出该混合轮系的传动比。
其中关键是第一步工作。
划分定轴轮系的基本方法：若一系列互相啮合的齿轮的几何轴线都是固定不动的，则这些齿轮和机架便组成一个基本定轴轮系。
划分周转轮系的方法：首先需要找出既有自转、又有公转的行星轮（有时行星轮有多个）；然后找出支持行星轮作公转的构件——行星架；最后找出与行星轮相啮合的两个太阳轮（有时只有一个太阳轮），这些构件便构成一个基本周转轮系，而且每一个基本周转轮系只含有一个行星架。
从理论上说，混合轮系的求解并不困难，但是实际工作中还是需要动点脑筋的。下面我们用一道例题来说明具体的方法和步骤。
【例4】在图8-11所示的轮系中，若各齿轮的齿齿数已知，试求传动比。
解：根据前面介绍的划分轮系的方法进行分析，此轮系是由齿轮1、2构成的定轴轮系及齿轮、3、4和行星架H构成的周转轮系复合而成的复合轮系。
定轴轮系部分的传动比为：
或 ……….…..(a)
周转轮系部分是一个行星轮系，其传动比为：
或 ……..(b)
将（b）代入(a)式得：
于是，可最后求得此复合轮系得传动比为：
【例5】图8-12所示为滚齿机中应用的复合轮系，设已知各齿轮的齿数、、、、（右旋蜗杆）；又已知齿轮1的转速为（方向如图所示），蜗杆5的转速为（方向如图所示），试求传动比。
【解】由图8-12可知，齿轮、3、4及行星架H组成周转轮系，而齿轮1、2及蜗轮和蜗杆5分别组成两个定轴轮系。各部分的传动比分别为：
因而得：
因而得：
而
由于、，且转向均相同，故将及的值代入后，可以求得：
（转向如图所示）
于是，最后可以求得该复合轮系中构件1与H的传动比为：
§8.5 行星轮系的齿数条件
在设计过程中，当选定行星轮系的类型后，需要确定各轮的齿数条件。在行星轮系中，各轮的齿数选配需要满足四个方面的要求（条件），否则轮系将无法安装和完成预期的工作要求。
1）要保证实现给定的传动比；
2）保证两中心轮及系杆的轴线重合，也即满足同心条件；
3）保证各行星轮能均匀地装入两中心轮之间，也即安装条件；
4）保证各行星轮不致互相碰撞，也即满足邻接条件。
1．保证实现给定的传动比
如图8-13所示的行星轮系。
因为：
所以：
2．保证满足同心要求
要保证行星轮系能正常回转，其三个基本构件的回转轴线必须在同一轴线上，即节圆半径必须满足条件：
当使用标准齿轮传动或等移距变位齿轮传动时，上式变为：
或
3．保证满足安装条件
为使各行星轮都能均匀地装入两太阳轮之间，行星轮的数目与各轮齿数必须满足一定的关系，否则行星轮与太阳轮将会发生装配干涉。
在如图7-12的轮系中，设需要在太阳轮1和3之间装入k个行星轮，并要求均匀布置（分布），即相邻两行星轮之间间隔角为。为了在相隔处装入第二个行星轮，可设轮3固定，而转动轮1，使第一个行星轮由O2转到，即：使。此时，轮1的点A转到位置，其转过角度为，根据传动比公式，与的关系为：
，即：
如果这时太阳轮1恰好转过整数个齿N，即：
这时，轮1与轮3的齿的相对位置又恢复到与开始装第一个行星轮时一模一样，故在原来安装第一个行星轮的位置O2处一定能再装入第二个行星轮。依次类推可以装入第三、四、…….个，直到第k个行星轮。
所以可以得到：
由该式可知，均匀安装的条件为：两太阳轮的齿数和应能被行星轮个数k整除。
4．保证满足邻接条件
在图中，我们可以看出，为保证相邻两行星轮不致相碰撞，应使（行星轮齿顶圆半径）。对于标准齿轮传动，应满足：
即：
在选择各轮齿数与行星轮个数时，必须满足以上四个方面的齿数要求。
§8.6 轮系的功用
在开始介绍轮系到现在，我们还没有对轮系的功用进行讨论。在已经了解的轮系的分类、结构、运动特点等之后，我们已经应该意识到轮系在工程中的地位和作用。
由于轮系具有传动准确等其它机构无法替代的特点，轮系在工程中应用的十分广泛，下面我们就对轮系的功用进行大概介绍。
1．实现变速传动（也就是多传动比传动）
例如在汽车等类似的机械中，在主轴转速不变的条件下，利用轮系可以使从动轴获得若干个不同的转速。
2．实现分路传动
利用轮系可以使一个主动轴带动若干从动轴同时旋转，实现多路输出，带动多个附件同时工作。
如图所示得机械钟表轮系结构：在同一主轴带动下，利用轮系可以实现几个从动轴的分路输出运动。
3．传递相距较远的两轴间的运动和动力
当两轴间的中心距较大时，如果仅用一对齿轮传动，两个齿轮的尺寸必然很大，将占用较大的结构空间，使机器过于庞大、浪费材料。改用轮系便可以克服这个缺点。
4．获得大的传动比
当两轴之间需要较大传动比时，仅用一对齿轮传动，必然会使两轮的尺寸相差过大，这时小齿轮就易于损坏。这时利用轮系就可以避免这个缺陷。
利用周转轮系可以由很少几个齿轮获得较大的传动比，而且机构十分紧凑。如图所示的行星轮系，只用了四个齿轮，其传动比可达。
， 而
所以 或
这就是说，在系杆转10000转时，齿轮1才转过一圈。
应该知道：减速比越大，传动的机械效率越低，故只适用于辅助装置的传动机构，不宜作大功率的传动。
也许有同学会问：是否可以让该机构用作增速装置，也就是让齿轮1转一圈，而让系杆转10000转呢？这是不行的。由于这种大传动比的行星轮系，在增速时一般都具有自锁性。
5．改变从动轴转向
在单对外啮合齿轮传动中，输入和输出转向是相反的。
6．在尺寸及重量较小的情况下，实现大功率传动
利用周转轮系，可以实现小尺寸、大功率的传动。
在行星减速器中，由于有多个行星轮同时啮合，而且常采用内啮合，利用了内齿轮中间的空间部分，故与普通定轴轮系减速器相比，在同样的体积和重量条件下，可以传递较大的功率，工作也更为可靠。因而在大功率的传动中，为了减小传动机构的尺寸和重量，广泛采用行星轮系。同时，由于行星轮系减速器的输入/输出轴在同一轴线上，行星轮在其周围均匀对称布置，尺寸十分紧凑，这一点特别对于飞行器十分重要，因而在航空用主减速器中这种轮系得到普遍采用。
如图所示的某发动机主减速器传动简图。
这个轮系的右部是一个由中心轮1、3，行星轮2和系杆H组成的差动轮系，左部是一定轴轮系。定轴轮系将差动轮系的内齿轮3与系杆H的运动联系起来，整个轮系的自由度为1。动力自小齿轮1输入后，分两路从系杆H和内齿轮3输往左边，最后在和内齿轮处汇合。由于采用多个行星轮，加上功率分流传递，所以在较小尺寸下（约430mm），传递的功率达2850KW。整个轮系的传动比为。
7．用作运动的合成及分解
对于差动轮系来说，它的三个基本构件都是运动的，必须给定其中任意两个基本构件的运动，第三个构件才有确定的运动。这就是说，第三个构件的运动是另两个构件运动的合成。
差动轮系不但可以将两个独立的运动合成一个运动，而且还可以将一个主动的基本构件的转动按所需的比例分解为另两个基本构件的转动，例如汽车、拖拉机等车辆上常用的差速装置。
9．旋轮线的利用
在周转轮系中，行星轮上任意一点的运动轨迹称作旋轮线，在工程上也有极大的用处。
