第二章 固体结构 （ Solid Structure） ??
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气态（g a s s t a t e ）
物质（s u b s t a n c e ）液态（l i q u i d s t a t e ）
晶体（c r y s t a l ）
固态（s o l i d s t a t e ）
非晶体（a m o r p h o u s s o l i d ）
金的 AFM 照片
? ※ 1晶体学基础
? （ Basis Fundamentals of crystallography）
? 晶体结构的基本特征：原子 （ 或分子, 离子 ） 在三维空间
呈周期性重复排列 （ periodic repeated array）,
即存在长程有序 （ long-range order）
? 性能上两大特点,固定的熔点 （ melting point）,
各向异性 （ anisotropy）
一, 晶体的空间点阵 （ Space lattice）
1,空间点阵的概念
将晶体中原子或原子团抽象为纯几何点 （ 阵点 lattice point）,
即可得到一个由无数几何点在三维空间排列成规则的阵列
— 空间点阵 （ space lattice）
特征：每个阵点在空间分布必须具有完全相同的周围环境 (surrounding)
2,晶胞 （ Unite cells）
代表性的基本单元 （ 最小平行六面体 ） small repeat entities
选取晶胞的原则,
Ⅰ) 选取的平行六面体应与宏观晶体具有同样的对称性；
Ⅱ ） 平行六面体内的棱和角相等的数目应最多；
Ⅲ ） 当平行六面体的棱角存在直角时, 直角的数目应最多；
Ⅳ ）在满足上条件，晶胞应具有最小的体积。
??
?
lattice parametera,b,c 棱边长（点阵常数 ）描述晶胞
α,β,γ 晶轴间的夹角
uvw阵点 r = u a + v b + w c
a ?体积V ＝ ( b ×c )
简单晶胞 （ 初级晶胞 ）,只有在平行六面体每个顶角上有一阵点
复杂晶胞,除在顶角外，在体心、面心或底心上有阵点
或用点阵矢量a,b,c
3.晶系与布拉菲点阵 （ Crystal System and Bravais Lattice）
七个晶系, 14个布拉菲点阵
晶系 布拉菲点阵 晶系 布拉菲点
阵
三斜 Triclinic
a≠b≠c, α≠β≠γ
单斜 Monoclinic
a≠b≠c, α=γ=90 o≠β
正交
a≠b≠c, α=β=γ ＝ 90o
简单三斜
简单单斜
底心单斜
简单正交
底心正交
体心正交
面心正交
六方 Hexagonal
a1=a2＝ a3≠c, α=β ＝ 90o，
γ=120 o
菱方 Rhombohedral
a=b=c,α=β=γ≠90 o
四方（正方） Tetragonal
a=b≠c,α=β=γ ＝ 90o
立方 Cubic
a=b=c,α=β=γ ＝ 90o
简单六方
简单菱方
简单四方
体心四方
简单立方
体心立方
面心立方
底心单斜
简单三斜
简单单斜
底心正交
简单正交
面心正交
体心正交
简单菱方简单六方
简单四方 体心四方
简单立方
体心立方 面心立方
4,晶体结构与空间点阵
二, 晶向指数和晶面指数
（ Miller Indices of Crystallographic Direction and Planes）
1,阵点坐标
晶向族 <u v w>,具有等同性能的晶向归并而成；
（ x1,y1,z1）,(x2,y2,z2)二点连线的晶向指数,[x2-x1,y2-y1,z2-z1]
*指数看特征，正负看走向
求法：
1） 确定坐标系
2） 过坐标原点，作直线与待求晶向平行；
3） 在该直线上任取一点，并确定该点的坐标（ x,y,z）
4） 将此值化成最小整数 u,v,w并加以方括号 [u v w]即是。
（代表一组互相平行，方向一致的晶向）
2.晶向指数（ Orientation index）
o p x a y b z c? ? ?
3 4 122 ?！ ＝！
3 4 2 4?！ ＝ 组，如{ 1 2 3 }
晶面族 {h k l}中的晶面数：
a） h k l三个数不等, 且都 ≠ 0,则此晶面族中有
b） h k l有两个数字相等 且都 ≠ 0,则有, 如 {1 1 2}
c) h k l三个数相等, 则有,
d） h k l 有一个为 0,应除以 2,则有
有二个为 0,应除以 22,则有
3! 4 4 {1 1 1 }3! ?? 组，如
3! 4 122 ?? 组，如{ 1 2 0}
2
3! 432 ! 2 ?? 组，如{ 1 0 0}
求法：
1） 在所求晶面外取晶胞的某一顶点为原点 o，三棱边为三坐标轴 x,y,z
2） 以棱边长 a为单位，量出待定晶面在三个坐标轴上的截距；
3） 取截距之倒数，并化为最小整数 h,k,l并加以圆括号（ h k l）即是。
3.晶面指数 （ Indices of Crystallographic Plane）
4.六方晶系指数
（ Indices of hexagonal crystal system orhexagonal indices）
三坐标系 四轴坐标系
a1,a2,c a1,a2,a3,c
120°
120°
120°
（ h k i l ) i= -( h+k )
[u v t w] t= -( u+v )
指三指数系统 → 四 数系统
three －in de x sy st em fo ur －in de x sy st em
（h k l ） （h k i l ） i ＝-（h ＋k ）
[ U V W ] [ u v t w ]
U = u - t,V = v - t,W = w
11u = [ 2 U - V ],v = [ 2 V - U ],t = - ( u + v ),w = W
33
5.晶带 （ Crystal zone）
所有相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个
,晶带, （ crystal zone）
此直线称为晶带轴 （ crystal zone axis）, 所有的这些晶面都称为共带面 。
晶带轴 [u v w]与该晶带的晶面 （ h k l） 之间存在以下关系
hu ＋ kv ＋ lw＝ 0 ———— 晶带定律
凡满足此关系的晶面都属于以 [u v w]为晶带轴的晶带
1 1 1
2 2 2
3 3 3
u v w
u v w ＝0,则三个晶轴同在一个晶面上
u v w
1 1 1
2 2 2
3 3 3
h k l
h k l ＝0,则三个晶轴同属一个晶带
h k l
则三个晶面同属一个晶带
6,晶面间距 （ Interplanar crystal spacing）
两相邻近平行晶面间的垂直距离 — 晶面间距, 用 dhkl表示
从原点作（ h k l） 晶面的法线，则法线被最近的（ h k l）
面所交截的距离即是
hkl 2
ad
h k l22立方晶系 ＝ ＋＋
hkl
2
1d
h k l
a b c
22
直角坐标系 ＝
（ ）＋（ ）＋（ ）
hkl 2
1d
4 h h k k l
3 a c
2
2
2
六方晶系 ＝
＋＋（ ）＋（ ）
上述公式仅适用于简单晶胞,对于复杂晶胞则要考虑附加面的影响
fcc 当（ hkl） 不为全奇、偶数时，有附加面：
hkl 2
ad
h k l22
1＝,如{ 1 0 0 },{ 1 1 0 }
2 ＋＋
hkl 2
1d
4 h h k k l
3 a c
2
2
2
1 ＝,如{ 0 0 0 } 面
2 ＋＋
（ ）＋（ ）
h 2 k 3 n n 0 1 2 3 ??????当 ＋ ＝ （ ＝,，，,），l = 奇数，有附加面：
通常低指数的晶面间距较大, 而高指数的晶面间距则较小
bcc 当 h＋ k＋ l＝ 奇数时，有附加面,如{ 1 0 0 },{ 1 1 1 }
六方晶系
立方晶系：
如 {0 0 0 1}面
三, 晶体的对称性 crystalline symmetry
symmetrization of crystals
对称性 —— 晶体的基本性质
对称元素（ symmetry elements）
宏观对称性 元素
?
?
?
?
?
??
回转对称轴（n ） 1, 2, 3, 4, 6
对称面（m ）
对称中心（i ）
回转—反演轴 1，2，3,4,6
??
? 1 1 2 1 3 2 1 5 2 4 3
滑动面 a,b,c,n,d 元素
螺旋轴 2 ；3,3 ；4,4,4 ；6,6,6,6,6
点群 （ point group） — 晶体中所有点对称元素的集合
根据晶体外形对称性, 共有 32种点群
空间群 （ space group） — 晶体中原子组合所有可能方式
根据宏观, 微观对称元素在三维空间的组合, 可能存在
230种空间群（分属于 32种点群）
微观对称性
四, 极射投影 Stereographic projection
极射投影原理 （ principle）
参考球, 极点, 极射面, 大图, 基图
Wulff网 （ wullf net） 经线, 纬线, 2o等分
沿赤道线 沿基圆读数
只有两极点位于吴氏经线或赤道上才能正确度
量晶面, 晶向间夹角
标准投影：以某个晶面 //投影面作出极射投影图 。
（ 001）
倒易点阵（ reciprocal lattice）
?
?
?
?
?
1
2
3
面心立方结构（A ） f a c e - c e n t r e d c u b i c l a t t i c e
常见金属晶体结构 体心立方结构（A ） b o d y - c e n t r e d c u b i c l a t t i c e
密排立方结构（A ） h e x a g o n a l c l o s e - p a c k e d l a t t i c e
※2 金属的晶体结构
（ Crystal Structure of Metals）
体心立方点阵面心立方点阵 密排六方点阵
表 2.5三种典型金属结构的晶体学特点
晶胞中的原子数 （ Number of atoms in unit cell）
28
f cN N??
iN=N
点阵常数 （ lattice parameter） a,c
原子半径 （ atomic radius） R
配位数 （ coordination number） N
致密度 （ Efficiency of space filling） 343nRnvK
VV
?
??
轴比（ axial ratio） c/a
堆垛 （ Stacking）
密排结构 （ close-packed crystal structure）
最密排面 (close-packed plane of atoms)
fcc {1 1 1} ABCABCABC···
hcp{0 0 0 1} ABABABAB···
间隙 （ Interstice）
四, 八面体间隙
fcc,hcp 间隙为正多面体, 且八面体和四面体间隙相互独立
bcc 间隙不是正多面体, 四面体间隙包含于八面体间隙之中
???? 溶质多面体分散 不对称点阵畸变
tetrahedral
octahedral interstice
?
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气态（g a s s t a t e ）
物质（s u b s t a n c e ）液态（l i q u i d s t a t e ）
晶体（c r y s t a l ）
固态（s o l i d s t a t e ）
非晶体（a m o r p h o u s s o l i d ）
金的 AFM 照片
? ※ 1晶体学基础
? （ Basis Fundamentals of crystallography）
? 晶体结构的基本特征：原子 （ 或分子, 离子 ） 在三维空间
呈周期性重复排列 （ periodic repeated array）,
即存在长程有序 （ long-range order）
? 性能上两大特点,固定的熔点 （ melting point）,
各向异性 （ anisotropy）
一, 晶体的空间点阵 （ Space lattice）
1,空间点阵的概念
将晶体中原子或原子团抽象为纯几何点 （ 阵点 lattice point）,
即可得到一个由无数几何点在三维空间排列成规则的阵列
— 空间点阵 （ space lattice）
特征：每个阵点在空间分布必须具有完全相同的周围环境 (surrounding)
2,晶胞 （ Unite cells）
代表性的基本单元 （ 最小平行六面体 ） small repeat entities
选取晶胞的原则,
Ⅰ) 选取的平行六面体应与宏观晶体具有同样的对称性；
Ⅱ ） 平行六面体内的棱和角相等的数目应最多；
Ⅲ ） 当平行六面体的棱角存在直角时, 直角的数目应最多；
Ⅳ ）在满足上条件，晶胞应具有最小的体积。
??
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lattice parametera,b,c 棱边长（点阵常数 ）描述晶胞
α,β,γ 晶轴间的夹角
uvw阵点 r = u a + v b + w c
a ?体积V ＝ ( b ×c )
简单晶胞 （ 初级晶胞 ）,只有在平行六面体每个顶角上有一阵点
复杂晶胞,除在顶角外，在体心、面心或底心上有阵点
或用点阵矢量a,b,c
3.晶系与布拉菲点阵 （ Crystal System and Bravais Lattice）
七个晶系, 14个布拉菲点阵
晶系 布拉菲点阵 晶系 布拉菲点
阵
三斜 Triclinic
a≠b≠c, α≠β≠γ
单斜 Monoclinic
a≠b≠c, α=γ=90 o≠β
正交
a≠b≠c, α=β=γ ＝ 90o
简单三斜
简单单斜
底心单斜
简单正交
底心正交
体心正交
面心正交
六方 Hexagonal
a1=a2＝ a3≠c, α=β ＝ 90o，
γ=120 o
菱方 Rhombohedral
a=b=c,α=β=γ≠90 o
四方（正方） Tetragonal
a=b≠c,α=β=γ ＝ 90o
立方 Cubic
a=b=c,α=β=γ ＝ 90o
简单六方
简单菱方
简单四方
体心四方
简单立方
体心立方
面心立方
底心单斜
简单三斜
简单单斜
底心正交
简单正交
面心正交
体心正交
简单菱方简单六方
简单四方 体心四方
简单立方
体心立方 面心立方
4,晶体结构与空间点阵
二, 晶向指数和晶面指数
（ Miller Indices of Crystallographic Direction and Planes）
1,阵点坐标
晶向族 <u v w>,具有等同性能的晶向归并而成；
（ x1,y1,z1）,(x2,y2,z2)二点连线的晶向指数,[x2-x1,y2-y1,z2-z1]
*指数看特征，正负看走向
求法：
1） 确定坐标系
2） 过坐标原点，作直线与待求晶向平行；
3） 在该直线上任取一点，并确定该点的坐标（ x,y,z）
4） 将此值化成最小整数 u,v,w并加以方括号 [u v w]即是。
（代表一组互相平行，方向一致的晶向）
2.晶向指数（ Orientation index）
o p x a y b z c? ? ?
3 4 122 ?！ ＝！
3 4 2 4?！ ＝ 组，如{ 1 2 3 }
晶面族 {h k l}中的晶面数：
a） h k l三个数不等, 且都 ≠ 0,则此晶面族中有
b） h k l有两个数字相等 且都 ≠ 0,则有, 如 {1 1 2}
c) h k l三个数相等, 则有,
d） h k l 有一个为 0,应除以 2,则有
有二个为 0,应除以 22,则有
3! 4 4 {1 1 1 }3! ?? 组，如
3! 4 122 ?? 组，如{ 1 2 0}
2
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求法：
1） 在所求晶面外取晶胞的某一顶点为原点 o，三棱边为三坐标轴 x,y,z
2） 以棱边长 a为单位，量出待定晶面在三个坐标轴上的截距；
3） 取截距之倒数，并化为最小整数 h,k,l并加以圆括号（ h k l）即是。
3.晶面指数 （ Indices of Crystallographic Plane）
4.六方晶系指数
（ Indices of hexagonal crystal system orhexagonal indices）
三坐标系 四轴坐标系
a1,a2,c a1,a2,a3,c
120°
120°
120°
（ h k i l ) i= -( h+k )
[u v t w] t= -( u+v )
指三指数系统 → 四 数系统
three －in de x sy st em fo ur －in de x sy st em
（h k l ） （h k i l ） i ＝-（h ＋k ）
[ U V W ] [ u v t w ]
U = u - t,V = v - t,W = w
11u = [ 2 U - V ],v = [ 2 V - U ],t = - ( u + v ),w = W
33
5.晶带 （ Crystal zone）
所有相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个
,晶带, （ crystal zone）
此直线称为晶带轴 （ crystal zone axis）, 所有的这些晶面都称为共带面 。
晶带轴 [u v w]与该晶带的晶面 （ h k l） 之间存在以下关系
hu ＋ kv ＋ lw＝ 0 ———— 晶带定律
凡满足此关系的晶面都属于以 [u v w]为晶带轴的晶带
1 1 1
2 2 2
3 3 3
u v w
u v w ＝0,则三个晶轴同在一个晶面上
u v w
1 1 1
2 2 2
3 3 3
h k l
h k l ＝0,则三个晶轴同属一个晶带
h k l
则三个晶面同属一个晶带
6,晶面间距 （ Interplanar crystal spacing）
两相邻近平行晶面间的垂直距离 — 晶面间距, 用 dhkl表示
从原点作（ h k l） 晶面的法线，则法线被最近的（ h k l）
面所交截的距离即是
hkl 2
ad
h k l22立方晶系 ＝ ＋＋
hkl
2
1d
h k l
a b c
22
直角坐标系 ＝
（ ）＋（ ）＋（ ）
hkl 2
1d
4 h h k k l
3 a c
2
2
2
六方晶系 ＝
＋＋（ ）＋（ ）
上述公式仅适用于简单晶胞,对于复杂晶胞则要考虑附加面的影响
fcc 当（ hkl） 不为全奇、偶数时，有附加面：
hkl 2
ad
h k l22
1＝,如{ 1 0 0 },{ 1 1 0 }
2 ＋＋
hkl 2
1d
4 h h k k l
3 a c
2
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1 ＝,如{ 0 0 0 } 面
2 ＋＋
（ ）＋（ ）
h 2 k 3 n n 0 1 2 3 ??????当 ＋ ＝ （ ＝,，，,），l = 奇数，有附加面：
通常低指数的晶面间距较大, 而高指数的晶面间距则较小
bcc 当 h＋ k＋ l＝ 奇数时，有附加面,如{ 1 0 0 },{ 1 1 1 }
六方晶系
立方晶系：
如 {0 0 0 1}面
三, 晶体的对称性 crystalline symmetry
symmetrization of crystals
对称性 —— 晶体的基本性质
对称元素（ symmetry elements）
宏观对称性 元素
?
?
?
?
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回转对称轴（n ） 1, 2, 3, 4, 6
对称面（m ）
对称中心（i ）
回转—反演轴 1，2，3,4,6
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? 1 1 2 1 3 2 1 5 2 4 3
滑动面 a,b,c,n,d 元素
螺旋轴 2 ；3,3 ；4,4,4 ；6,6,6,6,6
点群 （ point group） — 晶体中所有点对称元素的集合
根据晶体外形对称性, 共有 32种点群
空间群 （ space group） — 晶体中原子组合所有可能方式
根据宏观, 微观对称元素在三维空间的组合, 可能存在
230种空间群（分属于 32种点群）
微观对称性
四, 极射投影 Stereographic projection
极射投影原理 （ principle）
参考球, 极点, 极射面, 大图, 基图
Wulff网 （ wullf net） 经线, 纬线, 2o等分
沿赤道线 沿基圆读数
只有两极点位于吴氏经线或赤道上才能正确度
量晶面, 晶向间夹角
标准投影：以某个晶面 //投影面作出极射投影图 。
（ 001）
倒易点阵（ reciprocal lattice）
?
?
?
?
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1
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3
面心立方结构（A ） f a c e - c e n t r e d c u b i c l a t t i c e
常见金属晶体结构 体心立方结构（A ） b o d y - c e n t r e d c u b i c l a t t i c e
密排立方结构（A ） h e x a g o n a l c l o s e - p a c k e d l a t t i c e
※2 金属的晶体结构
（ Crystal Structure of Metals）
体心立方点阵面心立方点阵 密排六方点阵
表 2.5三种典型金属结构的晶体学特点
晶胞中的原子数 （ Number of atoms in unit cell）
28
f cN N??
iN=N
点阵常数 （ lattice parameter） a,c
原子半径 （ atomic radius） R
配位数 （ coordination number） N
致密度 （ Efficiency of space filling） 343nRnvK
VV
?
??
轴比（ axial ratio） c/a
堆垛 （ Stacking）
密排结构 （ close-packed crystal structure）
最密排面 (close-packed plane of atoms)
fcc {1 1 1} ABCABCABC···
hcp{0 0 0 1} ABABABAB···
间隙 （ Interstice）
四, 八面体间隙
fcc,hcp 间隙为正多面体, 且八面体和四面体间隙相互独立
bcc 间隙不是正多面体, 四面体间隙包含于八面体间隙之中
???? 溶质多面体分散 不对称点阵畸变
tetrahedral
octahedral interstice
