第四章 综合指标
本章内容
? 第一节 总量指标
? 第二节 相对指标
? 第三节 平均指标
? 第四节 标志变动度
第一节 总量指标
? 一、总量指标的概念和作用
? 二、总量指标的种类
? 三、总量指标的计算
一、总量指标的概念和作用
?总量指标是反映社会经济现象在一
定时间、地点、条件下的总规模或
总水平的统计指标。
?表现形式：绝对数，有名数。
04:17:15 4
一、总量指标的概念和作用
? 作用：
– 1、可以反映一个国家的基本国情和国力，
反映某部门、单位的人、财、物的基本数
据；
– 2、它是制定政策、编制计划、实行社会经
济管理的基本依据之一；
– 3、它是计算相对指标、平均指标以及各种
分析指标的基础指标。
总体标志总量指标
总体单位总量指标按反映的总体内容不同
分为：
二、总量指标的基本分类
按反映的时间状况不
同分为：
时期指标
时点指标
按计量单位不同分为,实物指标
价值指标
劳动指标
? ⒈ 按反映内容分：
?⑴ 总体单位总量指标：总体单位数
?⑵ 总体标志总量指标：总体单位数量标
志值之和
二、总量指标的基本分类
? ⒉按反映时间状况不同分：
?⑴时期指标：在某一时期发展过程的总数量
?⑵时点指标：在某一时刻上状况的总量
? 时期指标和时点指标的区别：
?⑴时期指标连续计数，时点指标间断计数
?⑵时期指标具有累加性，时点指标不具有累加性
?⑶时期指标受时期长短影响，时点指标不受时点间
隔影响
二、总量指标的基本分类
三、总量指标的计算
? ⒈ 总量指标计算应注意的问题
? ⑴ 同类现象才能加总
? ⑵ 明确总量指标的含义
? ⑶ 在统计汇总时, 必须有统一的计量单
位
⒉计量单位
? ⑴ 实物单位 实物指标
? ① 自然单位：人, 辆
? ② 度量衡单位：千克, 吨
? ③ 双重单位或多重单位：千瓦 /台
? ④ 复合单位：吨公里
? ⑵ 货币单位 价值指标
? ① 现行价
? ② 不变价
? ⑶ 劳动单位：工时, 工日 (劳动指标 )
第二节 相对指标
? 一、相对指标的概念和作用及表现形式
? 二、相对指标的种类和计算方法
? 三、正确运用相对指标的原则
一、相对指标的概念和作用
? ⒈概念
?相对指标是两个有联系的指标数值对比的结果。
? ⒉作用：
?⑴综合反映社会经济现象之间的比例关系
?⑵使不能直接对比的事物进行比较
?⑶便于记忆
无名数
有名数
用倍数、系数、成数,﹪, ‰ 等表示
用双重计量单位表示的复名数
如：人口密度 (人 /平方公里 )
3、相对指标的表现形式
倍数与成数应当用整数的形式来表述
5倍,3成、近 7成
3.25倍,8.6成
?
?
分母
为 1
分母为
1.00
分母
为 10
分母
为 100
分母为
1000
二、相对指标的种类和计算方
法
? ㈠计划完成程度相对指标
– ⒈ 计划完成相对数的一般公式
%1 0 0??
计划数
实际完成数计划完成相对数
2、计划完成相对数的计算
? ⑴根据总量指标计算
? 某厂计划完成工业增加值 200万元，实
际完成 220万元，则：
%11 0%10 020 022 0 ???计划完成相对数
⑵根据相对指标计算计划完成程度
? 例：某厂计划 2000年劳动生产率要比上
年提高 4%，实际提高 5%，则
%96.10 0%10 0%4%10 0 %5%10 0 ?????计划完成相对数
即：超额 0.96%完成计划。
? 例：某企业计划产品单位成本比上年降
低 5%，实际降低 6%，则
%95.98%10 0%5%10 0 %6%10 0 ?????计划完成相对数
即：成本降低率比计划多完成 1.05%。
04:17:15 17
(3)、长期计划的检查
? 1、水平法：
– 当计划任务是以计划期期末（最后一年）应
达到的水平下达的，检查计划执行情况用水
平法。
– 如：某产品计划规定第 5年产量 56万吨，实际
第 5年产量 63万吨，则
%100??
平计划任务规定的期末水
水平计划期期末实际达到的计划完成相对指标
%5.11210 0 %56635 ???年计划完成程度
04:17:15 18
(3)、长期计划的检查
? 2、累计法
? 当计划任务是以计划期全期累计应达到的水平
下达的，检查计划执行情况用累计法。
? 例如：某 5年计划的基建投资总额约为 2200亿元，
5年内实际累计完成 2240亿元，则
%1 0 0??
计划规定全期累计数
数计划全期实际完成累计计划完成相对指标
%8.101100%
2200
22405 ???年计划完成程度
㈡结构相对指标
? ⒈定义
? ⒉计算：例
%1 0 0??
总体全部数值
总体部分数值结构相对数
某班学生的性别构成情况
按性别分组 绝对数人数 比重 ( % )
男 30 75
女 10 25
合计 40 100
㈢比例相对指标
? ⒈定义
? ⒉计算：例
? 在上例中某班男女生比例为 3,1。
%100??
总体中另一部分数值
总体中某部分数值比例相对数
㈣比较相对指标
? ⒈定义
? ⒉计算：例
– 中国国土面积为 960万平方公里，美国为
937万平方公里，两者之比为
%1 0 0??
值另一条件下同类指标数
某条件下某类指标数值比较相对数
%45.102%100937960 ??
㈤强度相对指标
? ⒈定义
? ⒉计算：
– 1998年末我国人口密度
%100??
的总量指标数值另一有联系而性质不同
某一总量指标数值强度相对数
平方公里人
万平方公里
万人 /130
960
1 2 4 8 1 0 ?
04:17:15 23
㈤强度相对指标
? 3、强度相对数的正逆指标
? 当强度相对指标的分子和分母可以互换时，就产
生了有些强度相对指标有正逆之分。
)(
)(
逆指标
某地零售商业机构数
某地人口数
或
正指标
某地人口数
某地零售商业机构数
商业网点密度
?
?
㈥动态相对指标
? ⒈定义
? ⒉计算：例
? 温州市 1-3季度工业总产值同比增长 17%
%117%100 ???
基期水平
报告期水平动态相对数
%100??
基期水平
报告期水平动态相对数
三、正确运用相对指标的原则
? ⒈注意可比性
? 对比的两个指标在经济内容上要具有内在联系，在
总体范围及指标口径上要求一致或相适应。此外，
还要注意计算方法和计算价格的一致。
? ⒉总量指标和相对指标结合起来使用
? 相对数具有抽象化的特点，从而掩盖了现象间绝对
量的差别，因此为了全面分析问题，必须与计算相
对数所依据的绝对数联系起来考察。
? ⒊多种相对指标结合使用
第三节 平均指标
? 一、平均指标的概念和作用
? 二、算术平均数
? 三、调和平均数
? 四、几何平均数
? 五、众数
? 六、中位数
? 七,正确运用平均数的原则
? 八、各种平均数的比较
一、平均指标的概念和作用
? ㈠、概念：平均指标是指在同质总体
内将各单位的数量差异抽象化，反映
总体一般水平的代表值。
? 理解要点：
? ⒈将 数量 差异抽象化
? ⒉必须具有同质性
? ⒊反映总体变量值的集中趋势
? ㈡、作用：
? ⒈可用于同类现象在不同空间的比
? ⒉可用于同类现象在不同时间的比
? ⒊作为评判事物的标准
? ⒋可进行数量估算
一、平均指标的概念和作用
二、算术平均数
? ㈠、基本公式
? ㈡、简单算术平均数
总体单位总量
总体标志总量算术平均数 ?
n
X
X ??
※ 注意区分算术平均数与强度相对数
— 适用于总体资料未经分组整理、尚为
原始资料的情况。
04:17:15 30
平均每人日销售额为：
? ?元5 5 8
5
2 7 9 0
5
4 4 07 5 04 8 06 0 05 2 0
??
????
??
?
N
X
X
简单算术平均数的计算方法
某售货小组 5个人，某天的销售额
分别为 520元,600元,480元,750
元,440元，则
【 例 】
? ㈢、加权算术平均数
?
??
f
Xf
X
—— 适用于总体资料经过分组整理
形成变量数列的情况
? 例
日产零件分组 x 工人人数 f
20 1
21 4
22 6
23 8
24 12
25 10
26 7
27 2
合计 50
某厂工人生产情况
若上述资料为组距数列，则应取各组的 组
中值 作为该组的代表值用于计算；此时求
得的算术平均数只是其真值的 近似值 。
说
明
04:17:15 33
⒈ 变量值与其算术平均数的离差之
和衡等于零，即：
⒉变量值与其算术平均数的离差平
方和为最小，即：
0)( ??? xx
m in)( 2 ??? xx
算术平均数的主要数学性质
8.2
900500
900
3
1
500
5.2
1
1
3
900
5.2
500
900500
?
?
???
?
?
?
??
总盒数
总金额
H
问题：学校的采购员从两个厂家买回一批粉笔，具体情况
如下, 单价 （元） 2.5 3
金额 （元） 500 900
问：该批粉笔平均每盒的价格是多少？
三,调和平均数 (H)
04:17:15 35
（一）简单调和平均数
1n 2i
nn
H
1 1 1 1
x x x x
??
? ? ? ?
注意与简单算术平均数的不同
概念,是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒
数, 也称 倒数平均数 。
04:17:15 36
单价 ( 元/ k g ) 金额 ( 元)
1,0 0 1
2,0 0 1
2,5 0 1
合 计
（Σ）
3
/k g )1, 5 8 ( 元
1, 9
3
0, 40, 51
3
ix
1
n
nx
1
2x
1
1x
1
n
H ??
??
?
?
?
???
?
?
苹果价格及购买情况表 购买量购买额商品价格 ?
求平均价格
04:17:15 37
(二 )加权调和平均数
?
?
?
???
???
?
i
i
i
n
n
2
2
1
1
n21
x
f
f
x
f
x
f
x
f
fff
H
?
?
注意与加权算术平均数的不同
04:17:15 38
单价 元 / k g (x) 金额 元(m)
1.0 10
2.0 20
2.5 5
合 计 35
i
m 3 5
H 1, 5 9 1 ( / )
m 20
x
?
? ? ?
?
元 kg
m/x
10
10
2
22
调和平均数举例 2
苹果价格及购买情况表 购买数量
04:17:15 39
模拟计算,体会含义并进行比较
某种水产品早中晚价格各不相同,分别为 3元 /kg, 2元 /kg和 1元 /kg
(1)消费者早中晚各买一公斤时；
(2)消费者早中晚各买一元时；
请计算两种情况下，消费者购买这种水产品的平均价格 （元 /kg）
? ? ? ?3 2 11 2 /k g
111
xf
f
??? ? ?
??
?
?
平 均 价 格 元
? ? ? ?
111
2 1,6 4 /kg
1 1 1
3 2 1
m
m
x
??
? ? ?
??
?
?
平 均 价 格 元
加权算术平均
加权调和平均
04:17:15 40
※ 当 m=xf时：
加权调和平均数公式 就变成 加权算术平均数公式
X
f
Xf
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
xf
xf
x
m
m
H
结论是,调和平均与算术平均的计算只是由于资料不
同而出现的差异,其经济含义完全一致,
注意
04:17:15 41
算术平均数与调和平均数的其他应用
产值利润率
（ %）
一季度 二季度
企业数
（个）
实际产值
（万元）
企业数
（个）
实际利润
（万元）
5 － 10
10 － 20
20 － 30
30
70
50
5700
20500
22500
50
80
20
710
3514
2250
合计 150 48700 150 6474
某行业产值和利润情况表
问题：请计算该行业一季度和二季度的平均产值利润率
%1 0 0??
实际产值
实际利润产值利润率
%74.182 2 5 0 02 0 5 0 05 7 0 0 2 2 5 0 025.02 0 5 0 015.05 7 0 0075.0 ??? ?????
%45.15
25.0
2 2 5 0
15.0
3 5 1 4
0 7 5.0
7 1 0
2 2 5 03 5 1 47 1 0
?
??
??
一
季
度
的
平
均
产
值
润
率
二
季
度
的
平
均
产
值
利
润
率
四、几何平均数
某产品的完整生产包括
三个流水作业的连续工序。
三道工序的产品合格率分别
为,80%,90%,95%，那么：
三道工序的平均合格率
是多少？
3 %95%90%80 ???G
04:17:15 43
（一）简单几何平均数
n
n
xxxG ???? ?
21
Ｇ 表示几何平均数 ； x表示变量值 ； n表示变量值个数 。
适用于 计算平均比率和平均速度
是 n个比率乘积的 n次方根
?各个比率或速度的连乘积等于总比率
或总速度。
应用的前提条件：
04:17:15 44
【 例 】 某流水生产线有前后衔接的五道工序。
某日各工序产品的合格率分别为 95﹪, 92﹪,
90﹪, 85﹪, 80﹪,求整个流水生产线产品
的平均合格率。
分析：
设最初投产 100A个单位,则
第一道工序的合格品为 100A× 0.95；
第二道工序的合格品为 （ 100A× 0.95） × 0.92；
……
第五道工序的合格品为
（ 100A× 0.95× 0.92× 0.90× 0.85） × 0.80；
04:17:15 45
因该流水线的最终合格品即为第五道工序
的合格品,故该流水线总的合格品应为
100A× 0.95× 0.92× 0.90× 0.85× 0.80；
则该流水线产品总的合格率为：
80.085.090.092.095.0
100A
80.085.090.092.00, 9 5100A
?????
?????
?
总产品
总合格品
即 该流水线总的合格率等于各工序合格率
的连乘积，符合几何平均数的适用条件，
故需采用几何平均法计算 。
﹪24.885349.0
80.085.090.092.095.0
5
5
??
?????GX
解：
04:17:15 46
利率% 年数f
103 1
105 1
108 1
合计 3
几何平均数举例
若已知条件中使用的利率为 2%,5%,8%
注意应把基数 1（ 100%）考虑在内 —— 对于本利率、发展速
度类的计算。
我们根据假设
连续三年的银
行利率求平均
利率。
1 0 5, 3 1 3 %1, 1 6 8 0 21, 0 81, 0 51, 0 3G 33 ?????
04:17:15 47
? ?? f xxxG nf
n
ff,..21
21
（二）加权几何平均数
%08.10608.105.103.1G 10 532 ????
利率% 年数f
103 2
105 3
108 5
合计 10
我们假设连
续 10年的银行
利率，求平均
利率。
概念,是一组数据中出现次数最多的变量值
确定方法,随所掌握的资料不同而不同
五、众数 Mo (mode)
特点,它不受极端数值的影响，用
来说明总体中大多数单位所达到的
一般水平。
04:17:15 49
鞋码 需求量（双）
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
136
500
1950
2150
2500
1942
822
合计 10000
某鞋厂市场需求调查情况 众数 MO ＝ 24
结论,根据定义确定
单项式分布数列的众
数
(一 )单项式数列确定众数
04:17:15 50
（二）组距数列确定众数
某班成绩分布表
分数 人数 f 组中值 x xf
60以下
60-70
70-80 √
80-90
90以上
2
11
18 √
13
6
55
65
75
85
95
110
715
1350
1105
570
合计 50 — 3850
04:17:15 51
U
组限
A D
B
C
L
次数密度
FE
O
Mo
d
1?
2?
CD
OF
AB
OE ?
2
0
1
0
?
??
?
LMdLM
dLM
21
1
0 ???
??
dLM
21
1
0 ???
???
这是众数的下限公式
04:17:15 52
某班成绩分布表
分数 人数 f 组中值 x xf
60以下
60-70
70-80 √
80-90
90以上
2
11
18 √
13
6
55
65
75
85
95
110
715
1350
1105
570
合计 50 — 3850
? ? ? ? 9.751011181318
111870 ??
???
???
oM
04:17:15 53
众数不一定存在，存在时也不一定是唯一的
只有一个众数的分布 单峰分布
有两个众数的分布 双峰分布
结论
04:17:15 54
Mo Mo
MoMo
04:17:15 55
将总体各单位标志值按大小顺序排
列后，处于数列中间位置的标志，
用 表示。
1、概念
不受极端数值的影响,在总体标志值差异很大
时，具有较强的代表性。
中位数的特点：
中位数把数列按 标志值 分为两个部分,一部
分标志值小于或等于它,另一部分标志值大
于或等于它,
eM
六、中位数
04:17:15 56
2、未分组资料的中位数计算
2
1?? N中位数位置
中位数的位次为：
3
2
15
2
1
?
?
?
?N
即第 3个单位的标志值就是中位数 ? ?元5 2 0?
eM
例,某售货小组 5个人，某天的销售额按从小
到大的顺序排列为 440元,480元,520元、
600元,750元，则
04:17:16 57
2、未分组资料的中位数计算
中位数的位次为
5.3
2
16
2
1 ????N
? ?元560
2
600520 ???
eM
例,若上述售货小组为 6个人，某天的销售额
按从小到大的顺序排列为 440元,480元,520
元,600元,750元,760元，则
中位数应为第 3和第 4个单位标志值的算术平
均数，即
04:17:16 58
3、由单值数列确定中位数
? ① 求 ； (∑f为总体
单位数之和 )
?② 计算各组的累计次数；
?③根据中位数位置找出中位数 。
2
?? f中位数位置
04:17:16 59
拥有发电机组（套） 发电厂（个） 向上累计 向下累计
1
2
3
4
5
35
48
26
12
4
35
83 √
109
121
125
125
90 √
42
16
4
合计 125 — —
根据定义, 中位数所在位置 125/2=62.5
中位数为 2
例：某省所有发电厂发电机组拥有情况
04:17:16 60
4.组距数列确定中位数
某班成绩分布表
分数 人数 f 组中值 x xf
60以下
60-70
70-80 √
80-90
90以上
2
11
18 √
13
6
55
65
75
85
95
110
715
1350
1105
570
合计 50 — 3850
04:17:16 61
d
f
S
2
f
LM
m
1m
e
??
?
?? d
f
S
2
f
UM
m
1m
e
??
?
??
式中,L 表示中位数组的下限
U 表示中位数组的上限
fm 表示中位数所在组的次数
Sm-1 表示中位数所在组以前各组的向上累计次数
Sm+1 表示中位数所在组以后各组的向下累计次数
∑ f 表示总次数
d 表示中位数所在组的组距 。
下限公式（适用于向上累计） 上限公式（适用于向下累计）
04:17:16 62
分数 人数
f
向上累计
次数
向下累计
次数
60以下 2 2 50
60— 70
70— 80√
80— 90
90以上
11
18√
13
6
13
31√
44
50
48
37√
19
6
合计 50 — —
7.7610
18
13
2
50
70 ??
?
??eM 7.7610
18
19
2
50
80 ??
?
?eM
例：某班成绩分布表
04:17:16 63
七、正确运用平均数的原则
? 1、平均指标只能用于 同质总体
? 2、用组平均数补充说明总体平均数
? 3、用分配数列补充说明平均数
04:17:16 64
八、各种平均数的比较
? （一）各种平均数的特点及应用场合
? 是就全部数据计算的，具有优良的数学性质，实
际中应用最为广泛。其主要缺点是易受极端值的
影响，对偏态分布其代表性较差。
? H主要用于不能直接计算 的数据,易受极端值的
影响。
? G主要用于计算比率数据的平均数,易受极端值的
影响。
? 不受极端值大小的影响，对偏态分布其代表性
较 好，但不是根据所有的变量值计算的,
? 不受极端值的影响,对偏态分布其代表性较 好,
但不是根据所有的变量值计算的,
x
x
eM
x
0M
04:17:16 65
（二） 的关系x em 0m
x em 0m xem0m0e mmx ??
对称分布 左偏分布 右偏分布
第四节 标志变动度
? 一、标志变动度的意义和作用
? 二、全距
? 三、平均差
? 四、标准差
? 五、离散系数
一、标志变动度的意义和作用
㈠、标志变动度的概念
? 标志变动度是描述总体各单位标志值差别大小程度
的指标，又称离散程度或离中程度。
? 例某车间两个生产小组各人日产量如下：
? 甲组,20,40,60,70,80,100,120
? 乙组,67,68,69,70,71,72,73
? 从下图可以看出甲组离散程度大，乙组离散程度小。
70
70
? ㈡、标志变动度的作用
– ⒈标志变动度是评价平均数代表性的依据。
– ⒉标志变动度反映社会经济活动过程的均衡性或协调性，
以及产品质量的稳定性。
二、全距
? ㈠、全距的概念与计算
– 全距是总体各单位标志的最大值和最小值之差。
– R=Xmax-Xmin
? 例：在某班统计学原理考试中，最低分为 48分，
最高分为 96分，全距 =96-48=48（分）
? ㈡、全距的特点：
– 是描述数据离散程度最简单的测度值，计算简单，易于理解。在实际工
作中常用于检查工业产品质量。
– 只反映两个极端变量值的差距，未考虑中间数据的变异情况。对于开口
组则无法计算，不能准确描述数据的离散程度。
三、平均差
? 平均差的概念与计算
– 平均差是各单位标志值对平均数离差绝对值的
平均数。
– 计算公式：
?
?
?
?
?
?
?
f
fXX
DA
N
XX
DA
.:
.:
分组资料
未分组资料
四、标准差和方差
? 标准差的概念与计算
? 标准差 (均方差）是各单位标志值与其算术平均数离差平方
的算术平均数的平方根。
? 计算公式
? 方差：就是标准差的平方 σ 2。
? ?
? ?
?
? ?
? ?
?
?
f
f
n
XX
XX
2
2
:
:
?
?
分组资料
未分组资料
04:17:16 73
? ?
13.433
50
9 3 8 0 0 0 0
2
??
?
?
?
?
f
fxx
? 13.4331 3 2 0
50
9 6 5 0 0 0 0 0 22
2
?????
?
? x
f
fx
?
例 1 单项式资料
月工资 x 员工
数 f
Xf ∣ X- ∣ f (x- ) 2f x2f
800
1000
1200
1500
2000
2500
5
10
20
7
5
3
4000
10000
24000
10500
10000
7500
2600
3200
2400
1260
3400
3540
1352000
1024000
288000
226800
2312000
4177200
3200000
10000000
28800000
15750000
20000000
18750000
合计 50 66000 16400 9380000 96500000
1 3 2 0
50
6 6 0 0 0
???
?
?
f
xf
x
3 28
50
1 64 00
,??
?
?
?
?
f
fxx
DA
X X
04:17:16 74
例 2 组距式资料
按工资分组（元） 工人数
（人）
组中值
x
∣ x-A∣ ∣ x-A∣ f x2f
600－ 700
700 － 800
800 － 900
900 － 1000
1000 － 1100
10
15
35
12
8
650
750
850
950
1050
191.25
91.25
8.75
108.75
208.75
1912.5
1368.75
306.25
1305
1670
4225000
8437500
25287500
10830000
8820000
合计 80 － － 6562.5 57600000
25.8 4 1?? ??
f
xfx 5006001100
m i nm a x ????? xxR
03.82
80
5.6562,????
?
?
f
fxx
DA ? ? 94.11025.84180
5 7 6 0 0 0 0 0 222 ?????
?
? x
f
fx
?
04:17:16 75
例 3 是非标志的平均数和标准差
是非标志,反映总体单位的某一种属性，标志的表现
只有 两种 情况，具体体现在各总体单位
要么具有该种属性，要么不具有该种属性。
例：性别 男性 女性
x 1 0
设总体中共有 n各个体，其中取值为 1的单位数为
n1个，取值为 0的个体有 n0个
n
nq
n
np 01,??
04:17:16 76
p
n
n
nn
x
x ??
???????
?? ? 1
0...001...11
? ?
? ? pqppppx
n
x
n
xx
???????
?
?
??
1
2
2
2
2
2
? P是一种特殊的平均数
五、离散系数
? 标志变动度的数值大小，不仅受离散程度影响，而
且还受平均水平高低的影响，因此，在平均数不相
等时，不能简单根据标准差或平均差大小来比较离
散程度。
? 例：有两组工人日产量
? 甲组,60,65,70,75,80
? 乙组,2,5,7,9,12
不能简单断言甲组离散程度大于乙组离散程度
70?X 甲
7?X 乙
07.7?? 甲
41.3?? 乙
? 可以计算离散系数
本例中
%100??
X
?标准差系数
%7.48%100
7
41.3
%1.10%100
70
07.7
???
???
V
V
乙
甲
即乙组的离散程度大于甲组。
由此可见，当我们比较两组数据的离散程度时，如两组
平均数相等，可以直接比较标准差；如两组平均数不等，
则需比较两组的离散系数 (标准差系数 )。
本章内容
? 第一节 总量指标
? 第二节 相对指标
? 第三节 平均指标
? 第四节 标志变动度
第一节 总量指标
? 一、总量指标的概念和作用
? 二、总量指标的种类
? 三、总量指标的计算
一、总量指标的概念和作用
?总量指标是反映社会经济现象在一
定时间、地点、条件下的总规模或
总水平的统计指标。
?表现形式：绝对数，有名数。
04:17:15 4
一、总量指标的概念和作用
? 作用：
– 1、可以反映一个国家的基本国情和国力，
反映某部门、单位的人、财、物的基本数
据；
– 2、它是制定政策、编制计划、实行社会经
济管理的基本依据之一；
– 3、它是计算相对指标、平均指标以及各种
分析指标的基础指标。
总体标志总量指标
总体单位总量指标按反映的总体内容不同
分为：
二、总量指标的基本分类
按反映的时间状况不
同分为：
时期指标
时点指标
按计量单位不同分为,实物指标
价值指标
劳动指标
? ⒈ 按反映内容分：
?⑴ 总体单位总量指标：总体单位数
?⑵ 总体标志总量指标：总体单位数量标
志值之和
二、总量指标的基本分类
? ⒉按反映时间状况不同分：
?⑴时期指标：在某一时期发展过程的总数量
?⑵时点指标：在某一时刻上状况的总量
? 时期指标和时点指标的区别：
?⑴时期指标连续计数，时点指标间断计数
?⑵时期指标具有累加性，时点指标不具有累加性
?⑶时期指标受时期长短影响，时点指标不受时点间
隔影响
二、总量指标的基本分类
三、总量指标的计算
? ⒈ 总量指标计算应注意的问题
? ⑴ 同类现象才能加总
? ⑵ 明确总量指标的含义
? ⑶ 在统计汇总时, 必须有统一的计量单
位
⒉计量单位
? ⑴ 实物单位 实物指标
? ① 自然单位：人, 辆
? ② 度量衡单位：千克, 吨
? ③ 双重单位或多重单位：千瓦 /台
? ④ 复合单位：吨公里
? ⑵ 货币单位 价值指标
? ① 现行价
? ② 不变价
? ⑶ 劳动单位：工时, 工日 (劳动指标 )
第二节 相对指标
? 一、相对指标的概念和作用及表现形式
? 二、相对指标的种类和计算方法
? 三、正确运用相对指标的原则
一、相对指标的概念和作用
? ⒈概念
?相对指标是两个有联系的指标数值对比的结果。
? ⒉作用：
?⑴综合反映社会经济现象之间的比例关系
?⑵使不能直接对比的事物进行比较
?⑶便于记忆
无名数
有名数
用倍数、系数、成数,﹪, ‰ 等表示
用双重计量单位表示的复名数
如：人口密度 (人 /平方公里 )
3、相对指标的表现形式
倍数与成数应当用整数的形式来表述
5倍,3成、近 7成
3.25倍,8.6成
?
?
分母
为 1
分母为
1.00
分母
为 10
分母
为 100
分母为
1000
二、相对指标的种类和计算方
法
? ㈠计划完成程度相对指标
– ⒈ 计划完成相对数的一般公式
%1 0 0??
计划数
实际完成数计划完成相对数
2、计划完成相对数的计算
? ⑴根据总量指标计算
? 某厂计划完成工业增加值 200万元，实
际完成 220万元，则：
%11 0%10 020 022 0 ???计划完成相对数
⑵根据相对指标计算计划完成程度
? 例：某厂计划 2000年劳动生产率要比上
年提高 4%，实际提高 5%，则
%96.10 0%10 0%4%10 0 %5%10 0 ?????计划完成相对数
即：超额 0.96%完成计划。
? 例：某企业计划产品单位成本比上年降
低 5%，实际降低 6%，则
%95.98%10 0%5%10 0 %6%10 0 ?????计划完成相对数
即：成本降低率比计划多完成 1.05%。
04:17:15 17
(3)、长期计划的检查
? 1、水平法：
– 当计划任务是以计划期期末（最后一年）应
达到的水平下达的，检查计划执行情况用水
平法。
– 如：某产品计划规定第 5年产量 56万吨，实际
第 5年产量 63万吨，则
%100??
平计划任务规定的期末水
水平计划期期末实际达到的计划完成相对指标
%5.11210 0 %56635 ???年计划完成程度
04:17:15 18
(3)、长期计划的检查
? 2、累计法
? 当计划任务是以计划期全期累计应达到的水平
下达的，检查计划执行情况用累计法。
? 例如：某 5年计划的基建投资总额约为 2200亿元，
5年内实际累计完成 2240亿元，则
%1 0 0??
计划规定全期累计数
数计划全期实际完成累计计划完成相对指标
%8.101100%
2200
22405 ???年计划完成程度
㈡结构相对指标
? ⒈定义
? ⒉计算：例
%1 0 0??
总体全部数值
总体部分数值结构相对数
某班学生的性别构成情况
按性别分组 绝对数人数 比重 ( % )
男 30 75
女 10 25
合计 40 100
㈢比例相对指标
? ⒈定义
? ⒉计算：例
? 在上例中某班男女生比例为 3,1。
%100??
总体中另一部分数值
总体中某部分数值比例相对数
㈣比较相对指标
? ⒈定义
? ⒉计算：例
– 中国国土面积为 960万平方公里，美国为
937万平方公里，两者之比为
%1 0 0??
值另一条件下同类指标数
某条件下某类指标数值比较相对数
%45.102%100937960 ??
㈤强度相对指标
? ⒈定义
? ⒉计算：
– 1998年末我国人口密度
%100??
的总量指标数值另一有联系而性质不同
某一总量指标数值强度相对数
平方公里人
万平方公里
万人 /130
960
1 2 4 8 1 0 ?
04:17:15 23
㈤强度相对指标
? 3、强度相对数的正逆指标
? 当强度相对指标的分子和分母可以互换时，就产
生了有些强度相对指标有正逆之分。
)(
)(
逆指标
某地零售商业机构数
某地人口数
或
正指标
某地人口数
某地零售商业机构数
商业网点密度
?
?
㈥动态相对指标
? ⒈定义
? ⒉计算：例
? 温州市 1-3季度工业总产值同比增长 17%
%117%100 ???
基期水平
报告期水平动态相对数
%100??
基期水平
报告期水平动态相对数
三、正确运用相对指标的原则
? ⒈注意可比性
? 对比的两个指标在经济内容上要具有内在联系，在
总体范围及指标口径上要求一致或相适应。此外，
还要注意计算方法和计算价格的一致。
? ⒉总量指标和相对指标结合起来使用
? 相对数具有抽象化的特点，从而掩盖了现象间绝对
量的差别，因此为了全面分析问题，必须与计算相
对数所依据的绝对数联系起来考察。
? ⒊多种相对指标结合使用
第三节 平均指标
? 一、平均指标的概念和作用
? 二、算术平均数
? 三、调和平均数
? 四、几何平均数
? 五、众数
? 六、中位数
? 七,正确运用平均数的原则
? 八、各种平均数的比较
一、平均指标的概念和作用
? ㈠、概念：平均指标是指在同质总体
内将各单位的数量差异抽象化，反映
总体一般水平的代表值。
? 理解要点：
? ⒈将 数量 差异抽象化
? ⒉必须具有同质性
? ⒊反映总体变量值的集中趋势
? ㈡、作用：
? ⒈可用于同类现象在不同空间的比
? ⒉可用于同类现象在不同时间的比
? ⒊作为评判事物的标准
? ⒋可进行数量估算
一、平均指标的概念和作用
二、算术平均数
? ㈠、基本公式
? ㈡、简单算术平均数
总体单位总量
总体标志总量算术平均数 ?
n
X
X ??
※ 注意区分算术平均数与强度相对数
— 适用于总体资料未经分组整理、尚为
原始资料的情况。
04:17:15 30
平均每人日销售额为：
? ?元5 5 8
5
2 7 9 0
5
4 4 07 5 04 8 06 0 05 2 0
??
????
??
?
N
X
X
简单算术平均数的计算方法
某售货小组 5个人，某天的销售额
分别为 520元,600元,480元,750
元,440元，则
【 例 】
? ㈢、加权算术平均数
?
??
f
Xf
X
—— 适用于总体资料经过分组整理
形成变量数列的情况
? 例
日产零件分组 x 工人人数 f
20 1
21 4
22 6
23 8
24 12
25 10
26 7
27 2
合计 50
某厂工人生产情况
若上述资料为组距数列，则应取各组的 组
中值 作为该组的代表值用于计算；此时求
得的算术平均数只是其真值的 近似值 。
说
明
04:17:15 33
⒈ 变量值与其算术平均数的离差之
和衡等于零，即：
⒉变量值与其算术平均数的离差平
方和为最小，即：
0)( ??? xx
m in)( 2 ??? xx
算术平均数的主要数学性质
8.2
900500
900
3
1
500
5.2
1
1
3
900
5.2
500
900500
?
?
???
?
?
?
??
总盒数
总金额
H
问题：学校的采购员从两个厂家买回一批粉笔，具体情况
如下, 单价 （元） 2.5 3
金额 （元） 500 900
问：该批粉笔平均每盒的价格是多少？
三,调和平均数 (H)
04:17:15 35
（一）简单调和平均数
1n 2i
nn
H
1 1 1 1
x x x x
??
? ? ? ?
注意与简单算术平均数的不同
概念,是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒
数, 也称 倒数平均数 。
04:17:15 36
单价 ( 元/ k g ) 金额 ( 元)
1,0 0 1
2,0 0 1
2,5 0 1
合 计
（Σ）
3
/k g )1, 5 8 ( 元
1, 9
3
0, 40, 51
3
ix
1
n
nx
1
2x
1
1x
1
n
H ??
??
?
?
?
???
?
?
苹果价格及购买情况表 购买量购买额商品价格 ?
求平均价格
04:17:15 37
(二 )加权调和平均数
?
?
?
???
???
?
i
i
i
n
n
2
2
1
1
n21
x
f
f
x
f
x
f
x
f
fff
H
?
?
注意与加权算术平均数的不同
04:17:15 38
单价 元 / k g (x) 金额 元(m)
1.0 10
2.0 20
2.5 5
合 计 35
i
m 3 5
H 1, 5 9 1 ( / )
m 20
x
?
? ? ?
?
元 kg
m/x
10
10
2
22
调和平均数举例 2
苹果价格及购买情况表 购买数量
04:17:15 39
模拟计算,体会含义并进行比较
某种水产品早中晚价格各不相同,分别为 3元 /kg, 2元 /kg和 1元 /kg
(1)消费者早中晚各买一公斤时；
(2)消费者早中晚各买一元时；
请计算两种情况下，消费者购买这种水产品的平均价格 （元 /kg）
? ? ? ?3 2 11 2 /k g
111
xf
f
??? ? ?
??
?
?
平 均 价 格 元
? ? ? ?
111
2 1,6 4 /kg
1 1 1
3 2 1
m
m
x
??
? ? ?
??
?
?
平 均 价 格 元
加权算术平均
加权调和平均
04:17:15 40
※ 当 m=xf时：
加权调和平均数公式 就变成 加权算术平均数公式
X
f
Xf
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
xf
xf
x
m
m
H
结论是,调和平均与算术平均的计算只是由于资料不
同而出现的差异,其经济含义完全一致,
注意
04:17:15 41
算术平均数与调和平均数的其他应用
产值利润率
（ %）
一季度 二季度
企业数
（个）
实际产值
（万元）
企业数
（个）
实际利润
（万元）
5 － 10
10 － 20
20 － 30
30
70
50
5700
20500
22500
50
80
20
710
3514
2250
合计 150 48700 150 6474
某行业产值和利润情况表
问题：请计算该行业一季度和二季度的平均产值利润率
%1 0 0??
实际产值
实际利润产值利润率
%74.182 2 5 0 02 0 5 0 05 7 0 0 2 2 5 0 025.02 0 5 0 015.05 7 0 0075.0 ??? ?????
%45.15
25.0
2 2 5 0
15.0
3 5 1 4
0 7 5.0
7 1 0
2 2 5 03 5 1 47 1 0
?
??
??
一
季
度
的
平
均
产
值
润
率
二
季
度
的
平
均
产
值
利
润
率
四、几何平均数
某产品的完整生产包括
三个流水作业的连续工序。
三道工序的产品合格率分别
为,80%,90%,95%，那么：
三道工序的平均合格率
是多少？
3 %95%90%80 ???G
04:17:15 43
（一）简单几何平均数
n
n
xxxG ???? ?
21
Ｇ 表示几何平均数 ； x表示变量值 ； n表示变量值个数 。
适用于 计算平均比率和平均速度
是 n个比率乘积的 n次方根
?各个比率或速度的连乘积等于总比率
或总速度。
应用的前提条件：
04:17:15 44
【 例 】 某流水生产线有前后衔接的五道工序。
某日各工序产品的合格率分别为 95﹪, 92﹪,
90﹪, 85﹪, 80﹪,求整个流水生产线产品
的平均合格率。
分析：
设最初投产 100A个单位,则
第一道工序的合格品为 100A× 0.95；
第二道工序的合格品为 （ 100A× 0.95） × 0.92；
……
第五道工序的合格品为
（ 100A× 0.95× 0.92× 0.90× 0.85） × 0.80；
04:17:15 45
因该流水线的最终合格品即为第五道工序
的合格品,故该流水线总的合格品应为
100A× 0.95× 0.92× 0.90× 0.85× 0.80；
则该流水线产品总的合格率为：
80.085.090.092.095.0
100A
80.085.090.092.00, 9 5100A
?????
?????
?
总产品
总合格品
即 该流水线总的合格率等于各工序合格率
的连乘积，符合几何平均数的适用条件，
故需采用几何平均法计算 。
﹪24.885349.0
80.085.090.092.095.0
5
5
??
?????GX
解：
04:17:15 46
利率% 年数f
103 1
105 1
108 1
合计 3
几何平均数举例
若已知条件中使用的利率为 2%,5%,8%
注意应把基数 1（ 100%）考虑在内 —— 对于本利率、发展速
度类的计算。
我们根据假设
连续三年的银
行利率求平均
利率。
1 0 5, 3 1 3 %1, 1 6 8 0 21, 0 81, 0 51, 0 3G 33 ?????
04:17:15 47
? ?? f xxxG nf
n
ff,..21
21
（二）加权几何平均数
%08.10608.105.103.1G 10 532 ????
利率% 年数f
103 2
105 3
108 5
合计 10
我们假设连
续 10年的银行
利率，求平均
利率。
概念,是一组数据中出现次数最多的变量值
确定方法,随所掌握的资料不同而不同
五、众数 Mo (mode)
特点,它不受极端数值的影响，用
来说明总体中大多数单位所达到的
一般水平。
04:17:15 49
鞋码 需求量（双）
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
136
500
1950
2150
2500
1942
822
合计 10000
某鞋厂市场需求调查情况 众数 MO ＝ 24
结论,根据定义确定
单项式分布数列的众
数
(一 )单项式数列确定众数
04:17:15 50
（二）组距数列确定众数
某班成绩分布表
分数 人数 f 组中值 x xf
60以下
60-70
70-80 √
80-90
90以上
2
11
18 √
13
6
55
65
75
85
95
110
715
1350
1105
570
合计 50 — 3850
04:17:15 51
U
组限
A D
B
C
L
次数密度
FE
O
Mo
d
1?
2?
CD
OF
AB
OE ?
2
0
1
0
?
??
?
LMdLM
dLM
21
1
0 ???
??
dLM
21
1
0 ???
???
这是众数的下限公式
04:17:15 52
某班成绩分布表
分数 人数 f 组中值 x xf
60以下
60-70
70-80 √
80-90
90以上
2
11
18 √
13
6
55
65
75
85
95
110
715
1350
1105
570
合计 50 — 3850
? ? ? ? 9.751011181318
111870 ??
???
???
oM
04:17:15 53
众数不一定存在，存在时也不一定是唯一的
只有一个众数的分布 单峰分布
有两个众数的分布 双峰分布
结论
04:17:15 54
Mo Mo
MoMo
04:17:15 55
将总体各单位标志值按大小顺序排
列后，处于数列中间位置的标志，
用 表示。
1、概念
不受极端数值的影响,在总体标志值差异很大
时，具有较强的代表性。
中位数的特点：
中位数把数列按 标志值 分为两个部分,一部
分标志值小于或等于它,另一部分标志值大
于或等于它,
eM
六、中位数
04:17:15 56
2、未分组资料的中位数计算
2
1?? N中位数位置
中位数的位次为：
3
2
15
2
1
?
?
?
?N
即第 3个单位的标志值就是中位数 ? ?元5 2 0?
eM
例,某售货小组 5个人，某天的销售额按从小
到大的顺序排列为 440元,480元,520元、
600元,750元，则
04:17:16 57
2、未分组资料的中位数计算
中位数的位次为
5.3
2
16
2
1 ????N
? ?元560
2
600520 ???
eM
例,若上述售货小组为 6个人，某天的销售额
按从小到大的顺序排列为 440元,480元,520
元,600元,750元,760元，则
中位数应为第 3和第 4个单位标志值的算术平
均数，即
04:17:16 58
3、由单值数列确定中位数
? ① 求 ； (∑f为总体
单位数之和 )
?② 计算各组的累计次数；
?③根据中位数位置找出中位数 。
2
?? f中位数位置
04:17:16 59
拥有发电机组（套） 发电厂（个） 向上累计 向下累计
1
2
3
4
5
35
48
26
12
4
35
83 √
109
121
125
125
90 √
42
16
4
合计 125 — —
根据定义, 中位数所在位置 125/2=62.5
中位数为 2
例：某省所有发电厂发电机组拥有情况
04:17:16 60
4.组距数列确定中位数
某班成绩分布表
分数 人数 f 组中值 x xf
60以下
60-70
70-80 √
80-90
90以上
2
11
18 √
13
6
55
65
75
85
95
110
715
1350
1105
570
合计 50 — 3850
04:17:16 61
d
f
S
2
f
LM
m
1m
e
??
?
?? d
f
S
2
f
UM
m
1m
e
??
?
??
式中,L 表示中位数组的下限
U 表示中位数组的上限
fm 表示中位数所在组的次数
Sm-1 表示中位数所在组以前各组的向上累计次数
Sm+1 表示中位数所在组以后各组的向下累计次数
∑ f 表示总次数
d 表示中位数所在组的组距 。
下限公式（适用于向上累计） 上限公式（适用于向下累计）
04:17:16 62
分数 人数
f
向上累计
次数
向下累计
次数
60以下 2 2 50
60— 70
70— 80√
80— 90
90以上
11
18√
13
6
13
31√
44
50
48
37√
19
6
合计 50 — —
7.7610
18
13
2
50
70 ??
?
??eM 7.7610
18
19
2
50
80 ??
?
?eM
例：某班成绩分布表
04:17:16 63
七、正确运用平均数的原则
? 1、平均指标只能用于 同质总体
? 2、用组平均数补充说明总体平均数
? 3、用分配数列补充说明平均数
04:17:16 64
八、各种平均数的比较
? （一）各种平均数的特点及应用场合
? 是就全部数据计算的，具有优良的数学性质，实
际中应用最为广泛。其主要缺点是易受极端值的
影响，对偏态分布其代表性较差。
? H主要用于不能直接计算 的数据,易受极端值的
影响。
? G主要用于计算比率数据的平均数,易受极端值的
影响。
? 不受极端值大小的影响，对偏态分布其代表性
较 好，但不是根据所有的变量值计算的,
? 不受极端值的影响,对偏态分布其代表性较 好,
但不是根据所有的变量值计算的,
x
x
eM
x
0M
04:17:16 65
（二） 的关系x em 0m
x em 0m xem0m0e mmx ??
对称分布 左偏分布 右偏分布
第四节 标志变动度
? 一、标志变动度的意义和作用
? 二、全距
? 三、平均差
? 四、标准差
? 五、离散系数
一、标志变动度的意义和作用
㈠、标志变动度的概念
? 标志变动度是描述总体各单位标志值差别大小程度
的指标，又称离散程度或离中程度。
? 例某车间两个生产小组各人日产量如下：
? 甲组,20,40,60,70,80,100,120
? 乙组,67,68,69,70,71,72,73
? 从下图可以看出甲组离散程度大，乙组离散程度小。
70
70
? ㈡、标志变动度的作用
– ⒈标志变动度是评价平均数代表性的依据。
– ⒉标志变动度反映社会经济活动过程的均衡性或协调性，
以及产品质量的稳定性。
二、全距
? ㈠、全距的概念与计算
– 全距是总体各单位标志的最大值和最小值之差。
– R=Xmax-Xmin
? 例：在某班统计学原理考试中，最低分为 48分，
最高分为 96分，全距 =96-48=48（分）
? ㈡、全距的特点：
– 是描述数据离散程度最简单的测度值，计算简单，易于理解。在实际工
作中常用于检查工业产品质量。
– 只反映两个极端变量值的差距，未考虑中间数据的变异情况。对于开口
组则无法计算，不能准确描述数据的离散程度。
三、平均差
? 平均差的概念与计算
– 平均差是各单位标志值对平均数离差绝对值的
平均数。
– 计算公式：
?
?
?
?
?
?
?
f
fXX
DA
N
XX
DA
.:
.:
分组资料
未分组资料
四、标准差和方差
? 标准差的概念与计算
? 标准差 (均方差）是各单位标志值与其算术平均数离差平方
的算术平均数的平方根。
? 计算公式
? 方差：就是标准差的平方 σ 2。
? ?
? ?
?
? ?
? ?
?
?
f
f
n
XX
XX
2
2
:
:
?
?
分组资料
未分组资料
04:17:16 73
? ?
13.433
50
9 3 8 0 0 0 0
2
??
?
?
?
?
f
fxx
? 13.4331 3 2 0
50
9 6 5 0 0 0 0 0 22
2
?????
?
? x
f
fx
?
例 1 单项式资料
月工资 x 员工
数 f
Xf ∣ X- ∣ f (x- ) 2f x2f
800
1000
1200
1500
2000
2500
5
10
20
7
5
3
4000
10000
24000
10500
10000
7500
2600
3200
2400
1260
3400
3540
1352000
1024000
288000
226800
2312000
4177200
3200000
10000000
28800000
15750000
20000000
18750000
合计 50 66000 16400 9380000 96500000
1 3 2 0
50
6 6 0 0 0
???
?
?
f
xf
x
3 28
50
1 64 00
,??
?
?
?
?
f
fxx
DA
X X
04:17:16 74
例 2 组距式资料
按工资分组（元） 工人数
（人）
组中值
x
∣ x-A∣ ∣ x-A∣ f x2f
600－ 700
700 － 800
800 － 900
900 － 1000
1000 － 1100
10
15
35
12
8
650
750
850
950
1050
191.25
91.25
8.75
108.75
208.75
1912.5
1368.75
306.25
1305
1670
4225000
8437500
25287500
10830000
8820000
合计 80 － － 6562.5 57600000
25.8 4 1?? ??
f
xfx 5006001100
m i nm a x ????? xxR
03.82
80
5.6562,????
?
?
f
fxx
DA ? ? 94.11025.84180
5 7 6 0 0 0 0 0 222 ?????
?
? x
f
fx
?
04:17:16 75
例 3 是非标志的平均数和标准差
是非标志,反映总体单位的某一种属性，标志的表现
只有 两种 情况，具体体现在各总体单位
要么具有该种属性，要么不具有该种属性。
例：性别 男性 女性
x 1 0
设总体中共有 n各个体，其中取值为 1的单位数为
n1个，取值为 0的个体有 n0个
n
nq
n
np 01,??
04:17:16 76
p
n
n
nn
x
x ??
???????
?? ? 1
0...001...11
? ?
? ? pqppppx
n
x
n
xx
???????
?
?
??
1
2
2
2
2
2
? P是一种特殊的平均数
五、离散系数
? 标志变动度的数值大小，不仅受离散程度影响，而
且还受平均水平高低的影响，因此，在平均数不相
等时，不能简单根据标准差或平均差大小来比较离
散程度。
? 例：有两组工人日产量
? 甲组,60,65,70,75,80
? 乙组,2,5,7,9,12
不能简单断言甲组离散程度大于乙组离散程度
70?X 甲
7?X 乙
07.7?? 甲
41.3?? 乙
? 可以计算离散系数
本例中
%100??
X
?标准差系数
%7.48%100
7
41.3
%1.10%100
70
07.7
???
???
V
V
乙
甲
即乙组的离散程度大于甲组。
由此可见，当我们比较两组数据的离散程度时，如两组
平均数相等，可以直接比较标准差；如两组平均数不等，
则需比较两组的离散系数 (标准差系数 )。
