04:18:51 1
第五章 动态数列
?第一节 动态数列的编制
?第二节 动态数列水平分析指标
?第三节 动态数列速度分析指标
?第四节 长期趋势的测定和预测
04:18:51 2
第一节 动态数列的编制
?一、动态数列的概念
?二、动态数列的种类
?三、动态数列的编制原则
04:18:51 3
一、动态数列的概念
? 概念：将某种现象在时间上变化发展的一系列
同类的统计指标, 按时间先后顺序排列形成的
数列, 称为动态数列 (又称时间数列 )。
? 动态 （ 时间 ） 数列具有两个基本要素, 一是 时
间, 二是 各时间指标值 。
1990 1 8 5 4 7, 9
1991 2 1 6 1 7, 8
1992 2 6 6 3 8, 1
1993 3 4 6 3 4, 4
1994 4 6 7 5 9, 4
1995 5 8 4 7 8, 1
1996 6 7 8 8 4, 6
1997 7 4 4 6 2, 6
1998 7 8 3 4 5, 2
1999 8 1 9 1 0, 9
我国 90年代 GDP （ 单位：亿元，当年价）
04:18:51 4
一、动态数列的概念
?编制动态数列列是计算动态分析指标和分
析客观现象发展变化过程及规律的基础,
具体来讲, 它有以下作用：
– 1,反映客观现象在不同时间上的规模和水平；
– 2,反映某些客观现象随着时间推移发展变化的过程和
趋势, 探索客观现象发展变化的规律性, 并据此进行
统计预测 。
04:18:51 5
二、动态数列的种类
动态 (时间 )数
平均数数列绝对数数列 相对数数列
时期数列 时点数列
动态 (时间 )数列
平均数数列绝对数数列 相对数数列
时期数列 时点数列
04:18:51 6
1、绝对数动态数列
? 把一系列总量指标按时间先后顺序排列起来所
形成的动态数列称为 绝对数动态数列 。
? （ 1）、时期数列：各项指标反映某现象在一
段时期内发展过程的总量，如工业总产值等。
? 时期数列的特点：
? ⑴各项数值是可加的
? ⑵指标值大小与时期长短有关
? ⑶每个指标数值通过连续登记而得
04:18:51 7
1、绝对数动态数列
? （ 2）、时点数列：各项指标反映某现象在某
一时点内发展过程的总量，如职工人数、人
口数等。
? 时点数列的特点：
① 各项数值是不可加的
② 指标值大小与时期长短无关
③ 每个指标数值通过一定时期登记一次而得
04:18:51 8
2、相对数动态数列
? 把一系列同类相对指标按时间先后顺序
排列起来所形成的动态数列称为 相对数
动态数列 。
90年代以来我国 GDP指数（以上年为 100%）
1990 1 0 3, 8
1991 1 0 9, 2
1992 1 1 4, 2
1993 1 1 3, 5
1994 1 1 2, 6
1995 1 1 0, 5
1996 1 0 9, 6
1997 1 0 8, 8
1998 1 0 7, 8
1999 1 0 7, 1
04:18:51 9
3、平均数动态数列
? 把一系列同类的平均指标按时间先后顺序排列
起来所形成的动态数列称为 平均数动态数列 。
90年代以来我国人均 GDP（ 单位：元 /人）
1990 1634
1991 1879
1992 2287
1993 2939
1994 3923
1995 4854
1996 5576
1997 6053
1998 6307
1999 6534
04:18:51 10
三、动态数列的编制原则
? 1、时期长短应该统一
? 2、总体范围应该一致
? 3、指标的经济内容应该相同
? 4、计算口径应该统一
04:18:51 11
第二节 动态数列水平分析指标
?一、发展水平和平均发展水平
?二、增长量和平均增长量
04:18:51 12
一、发展水平和平均发展水平
? 1,发展水平
? 2,平均发展水平
04:18:51 13
1、发展水平
? 发展水平是现象在不同时间上所达到的规模
或水平的数量反映，也就是动态 (时间 )数列中
的每一项指标数值。
? 发展水平既可能是 总量数据,也可能是 相对
数据 或 平均数据,分别反映现象在不同时间
上所达到的总量水平、相对水平或平均水平。
04:18:51 14
1、发展水平
? 按在时间数列分析中所处的位置和作用
不同，发展水平分为 最初水平、最末水
平、中间水平 或 基期水平、报告期水平等。
最初水平 中间水平 最末水平
naaaa,、、,.......210
04:18:51 15
1、发展水平
?我国 1995-1999年我国进出口总额
? 如果以 1995年作为基期水平,记为 a0,则 1996
年,1997年,1998年,1999年进出口总额分
别用 a1,a2,a3,a4表示，称为报告期或计算
期水平； a0为最初水平,a1,a2,a3 为中间
水平,a4为最末水平。
指 标 1995 1996 1997 1998 1999
进出口总额
( 人民币亿元 ) 2 3 4 9 9, 9 2 4 1 3 3, 8 2 6 9 6 7, 2 2 6 8 5 7, 7 2 9 8 9 6, 3
04:18:51 16
2、平均发展水平
? 平均发展水平是不同时间上发展水平的平均数。统计
上习惯称为序时平均数（或动态平均数）。
? 平均发展水平（动态平均数）与一般平均数（静态平
均数）的异同
? 动态平均数 （或动态平均数）是同一现象不同时间上
数值的平均，消除的是该现象在 不同时间 上的数量差
异；
? 静态平均数 是同一现象在同一时间上各数值的平均，
消除的是该现象在 不同总体单位上数量 表现的差异。
04:18:51 17
2、平均发展水平
?平均发展水平的计算
– （ 1）,由绝对数动态数列计算平均发展水
平
– （ 2）,由相对数动态数列或平均数动态数
列计算平均发展水平
04:18:51 18
（ 1）、由绝对数动态数列计
算平均发展水平
? A,由时期数列计算平均发展水平
12 n
a a a a
a
nn
?? ? ?
??
指 标 1995 1996 1997 1998 1999
进出口总额
( 人民币亿元 ) 2 3 4 9 9, 9 2 4 1 3 3, 8 2 6 9 6 7, 2 2 6 8 5 7, 7 2 9 8 9 6, 3
a
n
a?
?
＝ 131354.9/5=26270.98（亿元）
04:18:51 19
（ 1）、由绝对数动态数列计
算平均发展水平
? B,由 时点数列计算平均发展水平
– ①连续时点数列的 平均发展水平
? 对连续变动的连续时点数列求平均发展水平
? 非连续变动的连续时点数列求平均发展水平
– ②间断时点数列的 平均发展水平
? 对间隔相等的间断时点数列求平均发展水平
? 对间隔不相等的间断时点数列求平均发展水平
04:18:51 20
对连续变动的连续时点数列求
平均发展水平
? 如果时点数列中的各项指标数值是按日连续登
记的资料时, 称为连续时点数列, 这时可采用
简单算术平均法求序时平均数, 计算公式与时
期数列的序时平均数相同 。
? 某商业银行某年 1月 13日 —17日的存款余额
（ 万元 ） 分别为,766,664,843,578,639，
则这 5天的平均余额 =（ 766 + 664 + 843 + 578 +
639） / 5 = 698（ 万元 ）
04:18:51 21
非连续变动的连续时点数列求
平均发展水平
?如果现象不是逐日变动，则以每次变动
后持续的日数为权数 (f),用加权算术平
均法计算序时平均数，计算公式如下：
?
?
?
f
af
a
04:18:51 22
非连续变动的连续时点数列求
平均发展水平
某单位一周内职工人数
则该单位在本周内平均每天的职工人数为：
时 间 星期一～星期三 星期四～星期五
职工人数（人） 80 85
?
??
f
af
a 8223
285380 ?
?
????
04:18:51 23
对间隔相等的间断时点数列求
平均发展水平
A 1 A 2 A 3 A nAn-1
T3T2T1 Tn-1
?某商业企业某年第二季度某种商品的
库存量如下表，求该商品第二季度月
平均库存量。
月份 3月末 4月末 5月末 6月末
库存量（百件） 66 72 64 68
04:18:51 24
对间隔相等的间断时点数列求
平均发展水平
66 72
2
? 72 64
2
? 64 68
2
?
69 68 66
?某商业企业某年第二季度某种商
品的库存量如下表，求该商品第
二季度月平均库存量。
月份 3月末 4月末 5月末 6月末
库存量（百件） 66 72 64 68
04:18:51 25
对间隔相等的间断时点数列求
平均发展水平
? 4月平均库存 =（ 66+72） / 2 = 69
? 5月平均库存 =（ 72+64） / 2 = 68
? 6月平均库存 = （ 64+68） / 2 = 66
? 第二季度月平均库存 =（ 69+68+66） / 3=67.67（百件）
04:18:51 26
对间隔相等的间断时点数列求
平均发展水平
1
222
13221
?
?
??
?
?
?
?
?
n
aaaaaa
a
nn?
1
22
12
1
?
????
?
?
n
a
aa
a n
n?
04:18:51 27
对间隔相等的间断时点数列求
平均发展水平
? 该公式形式上表现为首末两项数值折半，故
称为, 首末折半法,,显然，首末折半法 适
用于 对 间隔相等的时点数列 求其平均发展水
平。
? 其假设条件是：假设上期期末时点数据即为
本期期初时点数据，并假定相邻两时点间现
象的数量变动是均匀的。
04:18:51 28
对间隔不相等的间断时点数列
求平均发展水平
日期 1月 1日 4月 30日 10月 31日 12月 31日
商业从业
人数 231 216 268 247
04:18:51 29
对间隔不相等的间断时点数列
求平均发展水平
? 根据资料可知其时间间隔分别为 4个月,6个月
和 2个月。
2 3 1 2 1 6 2 1 6 2 6 8 2 6 8 2 4 7
4 6 2
2 2 2
4 6 2
a
? ? ?
? ? ? ? ?
?
??
42.23 8
12
28 61
?? （万人）
04:18:51 30
对间隔不相等的间断时点数列
求平均发展水平
? 设某种股票 1999年各统计时点的收盘价如下表
,计算该股票 1999年的年平均价格
某种股票 1999年各统计时点的收盘价
统计时点 1月 1日 3月 1日 7月 1日 10月 1日 12月 31日
收盘价 (元 ) 15.2 14.2 17.6 16.3 15.8
（元）0.16
3342
3
2
8.153.16
3
2
3.166.17
4
2
6.172.14
2
2
2.142.15
?
???
??
?
?
?
?
? ?
???
?
?
?
?
? ?
???
?
?
?
?
? ?
???
?
?
?
?
? ?
?a
04:18:51 31
对间隔不相等的间断时点数列
求平均发展水平
? 对于 间隔不等的时点数列, 两相邻时点间的间
隔期数不尽相同, 在利用上述公式求平均发展
水平时, 应以间隔期数 （ 以 f 表示 ） 为其权
数加权平均, 即：
?
?
?
?
??
?
?
?
?
n
i
i
n
nn
f
f
aa
f
aa
f
aa
a
1
1
2
21
1
10
2
.,,,,,
22
04:18:51 32
（ 2）、由相对数动态数列或平
均数动态数列计算平均发展水平
? 相对数 （这里仅指静态相对数）或平均数数列
中的各项数值（以 c表示）是根据两个有联系的
总量数据（分别用 a和 b表示）对比而求得，用
符号表示即 c = a/b。因此，由相对数或平均数
数列计算平均发展水平，应当符合该相对数或平
均数本身的计算公式，即由 而得到，而不应
当由 得到。 ba
n
n
n
bbbbb
aaaaa
ccccc
b
a
c
??
??
??
，，，：
，，，：
，，，：
321
321
321
?
n
c?
04:18:51 33
（ 2）、由相对数动态数列或平
均数动态数列计算平均发展水平
?由两个时期数列对比形成的相对指标时
间数列计算序时平均数
?由两个时点数列对比形成的相对指标时
间数列计算序时平均数
?由一个时期数列和一个时点数列对比形
成的平均指标时间数列计算序时平均数
04:18:51 34
由两个时期数列对比形成的相对
指标时间数列计算序时平均数
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
c
a
a
b
cb
b
a
nb
na
b
a
c
/
/
某企业第二季度产值计划完成程度资料
时 间 4月 5月 6月
c产值计划完成程度（％）
a实际产值（万元）
b计划产值（万元）
100
500
500
102
612
600
104
832
800
04:18:51 35
由两个时期数列对比形成的相对
指标时间数列计算序时平均数
? 计算（ 1）该企业第二季度平均（每月）产值
计划完成程度；
? （ 2）该企业第二季度产值计划完成程度。
（ 1）第二季度平均（月）产值计划完成程度为,
%.
/
/
nb
na
b
a
c
31 0 2
1 9 0 0
1 9 9 4
38 0 06 0 05 0 0
38 3 26 1 25 0 0
/
/
??
??
??
??
??
?
?
产值第二季度平均每月计划
产值第二季度平均每月实际
04:18:51 36
由两个时期数列对比形成的相对
指标时间数列计算序时平均数
?（ 2） 第二季度产值计划完成程度为：
%.3102
1900
1994
800600500
832612500
??
??
??
?
?
第二季度计划产值
第二季度实际产值
程度第二季度产值计划完成
04:18:51 37
由两个时点数列对比形成的相对
指标时间数列计算序时平均数
1/)(
1/)(
1
1
3221
3221
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
n
bbbbbb
n
aaaaaa
b
a
c
nn
nn
222
222
?
?
某企业第三季度生产工人比重资料
时 间
6月末 7月末 8月末 9月末
c 生产工人比重 （ ％ ）
a 生产工人数
b全部职工人数
75
435
580
78
452
580
77
462
600
80
576
720
计算该企业第三季度平均（每月）生产工人比重
04:18:51 38
由两个时点数列对比形成的相对
指标时间数列计算序时平均数
%.
/
/
n
bbbbbb
n
aaaaaa
b
a
c
nn
nn
577
14
2
720600
2
600580
2
580580
14
2
576462
2
462452
2
452435
1/
1/
1
1
3221
3221
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
222
222
职工人数第三季度平均每月全部
工人数第三季度平均每月生产
?
?
04:18:51 39
由一个时期数列和一个时点数
列对比形成的相对指标时间数
列计算序时平均数
1
13221
?
?
??
?
?
?
??
?
?
n
bbbbbb
n
a
b
a
c
nn
222
?
04:18:51 40
由一个时期数列和一个时点数列对比形成
的平均指标时间数列计算序时平均数
日期 9月 10月 11月 12月
工业增加值 (万元 )a 32 34 36
月末人数 b 600 612 618 630
求第四季度平均每人工业增加值
14
2
630
618612
2
600
3
363432
?
???
??
?c
04:18:51 41
二、增长量和平均增长量
? 1、增长量
? 2、平均增长量
04:18:51 42
1、增长量
? 增长量 就是报告期水平与基期水平之差：
– 增长量 =报告期水平 — 基期水平
? 增长量可正、可零或负值，表示正增长、零增长或负
增长。
– 逐期增长量 = a1 - a0, a2 - a1,……,an - an-1
– 累计增长量 = a1 - a0,a2 - a0,……,an - a0
? ①累计增量等于逐期增量之和,
– (a1 - a0 )+(a2 - a1) +… + ( an -an-1)= an - a0
? ② 相邻两期累计增量之差等于相应的逐期增量
? 年距增长量,本期发展水平与上年同期水平的增减数
量。
04:18:51 43
2、平均增长量
?平均增长量表明总量指标在一段时期内
平均每期增长的数量。
? 平均增长量 =逐期增长量之和 /逐期增长量个数
=累积增长量 /（动态数列项数 -1）
? 根据 我国国内生产总值资料，计算各年逐期
增长量和各年以 1990年为基期的累积增长量，
年平均增长量。
04:18:51 44
2、平均增长量
国内生产总值增长量计算表 单位：亿元
国内生产总值年平均增长量 ==77613.8/11=7055.8（亿元）
11 8.77613
04:18:51 45
第三节 动态数列速度分析指标
?一、发展速度和增长速度
?二、平均发展速度和平均增长速度
04:18:51 46
一、发展速度和增长速度
?（一）,发展速度
?（二）,增长速度
04:18:51 47
（一）、发展速度
报告期水平与基期水平之比, 用以说明
现象报告期较基期水平的相对发展程度 。
由所选择的基期不同, 发展速度分为 环
比发展速度 和 定基发展速度 。
基期水平
报告期水平发展速度＝
04:18:51 48
（一）、发展速度
? 环比发展速度 报告期水平与报告期前一期水
平之比, 反映现象逐期发展变化的相对程度
1
( 1,2,,)i
i
a
in
a ?
?
?定基发展速度（总速度） 报告期水平与某
一固定基期水平（通常为最初水平）之比，
表明现象在一段时期内的发展相对程度
0
( 1,2,,)i
a
in
a
?
04:18:51 49
? 两种速度的关系：
? （ 1） 某段时期内各环比发展速度的连乘积等
于该时期内的定基发展速度
? （ 2） 相邻的两个定基发展速度之商, 等于相
应的环比发展速度
?
? ?
n
i i
i
a
a
1 1
= =
（ = 2,3,…, n）
0a
an
0a
ai ?
0
1
a
ai?
1?i
i
a
a
i
04:18:51 50
为了消除季节因素的影响, 实际工作
中, 也可以本期 （ 月或季 ） 发展水平与
上年同期 （ 月或季 ） 发展水平相比, 表
示本期较上年同期发展的相对程度 （ 称
为 年距发展速度 ） 。
用公式表示为：
（ L=12或 4； i=1,2,…, n– L）
ia
?
ia
L?
04:18:51 51
（二）、增长速度
?增长速度是增长量与基期水平之比，用
以说明报告期水平较基期水平增减变化
的相对程度。
– 环比增长速度 = 环比发展速度 -1
– 定基增长速度 = 定基发展速度 -1
1??
?
??
发展速度
基期水平
基期水平报告期水平
基期水平
增长量
增长速度
04:18:51 52
（二）、增长速度
?各个时期环比增长速度的连乘积不等于
相应的定基增长速度。即：
1)1()1)1)1(
012
3
1
2
0
1 ??????????
? a
a
a
a
a
a
a
a
a
a n
n
n
( ( ?
04:18:51 53
我国 1996～ 2000年钢产量各年环比发
展速度与定基发展速度
1
1
?
?n
n
a
a
0a
an
1?n
n
a
a
1
0
?aan
年 份 1995a0 1996a1 1997a2 1998a3 1999a4 2000a5
钢产量 （ 万吨 ） 9400 10110 10757 11559 12426 12850
环比发展速度（ %） — 107.55 106.40 107.46 107.50 103.41
定基发展速度（ %） 100 107.55 114.44 122.97 132.19 136.70
环比增长速度（ %） — 7.55 6.40 7.46 7.50 3.41
定基增长速度（ %） — 7.55 14.44 22.97 32.19 36.70
04:18:51 54
二、平均发展速度和平均增长
速度
? 平均发展速度,各期环比发展速度的序时平均数，表
明现象在一段时期内逐期发展变化的平均程度 。
? 平均增长速度,各期环比增长速度的序时平均数，表
明现象在在一定时期内逐期平均增长变化的程度。
? 平均增长速度 = 平均发展速度 -1
? 求平均增长速度，应先求平均发展速度，再由平均发
展速度减 1而得。
04:18:51 55
二、平均发展速度和平均增长
速度
?（一）计算平均发展速度的几何平均法
（水平法）
?（二）计算平均发展速度的方程式法 (累
计法 )
04:18:51 56
（一）几何平均法
? 假设 xi 为 n个逐年的环比发展速度，根据定基
发展速度和环比发展速度的关系：
? 定基发展速度常称为总速度（用 R表示），所
以上式也可以写为：
? 定基发展速度等于期末水平除以期初水平
n nxxxx ?21?
n Rx ?
n n aax 0?
04:18:51 57
（一）几何平均法
? 三个公式的实质是一致的，应视不同条
件灵活运用。其中 n都是指环比发展速
度的个数，也即时间数列项数减 1。
? 我国 2000年欲在 1980年国内生产总值的基础
上翻 2番。问年平均增长速度至少为多少才能
达此目标？
?
%1 7 7.71411 20 ?????? n Rx
04:18:51 58
（一）几何平均法
? 1982年末我国人口是 10.15亿人，人口净增长
率 14.49‰,如果按此速度增长,2000年末将
有多少亿人？若 2000年要将人口控制在 12亿
人以内，人口年均净增长率应控制在多少？
%9345.0115.10/121
15.1301449.115.10
18
1818
19822000
????
????
x
xaa
04:18:51 59
（一）几何平均法
? 某地区 1980年国内生产总值为 450亿元，
若每年能保持 8%的增长速度，问经过
多少年能实现翻 2番（或：经过多少年
能达到 1000亿元）？
（年）0 1 3.1808.1l o g/4l o gl o g/l o g ??? xRn
)(3 7 5 5.10
08.1l o g
2 2 2 2.2l o g
08.1l o g
4 5 0
1 0 0 0
l o g
年???n
04:18:51 60
（一）几何平均法
? 几何平均法的重要 理论性质, 即从最初水平 出发,
每期都按平均发展速度 发展, 则 n期后一定达到末
期水平, 用公式表示为,由该公式
可以得出：
? 由于几何平均法着眼于末期水平, 因而又常将其称为
,水平法, 。
0a
n
n axa ?
0na
0/ aax n
n ?
x
04:18:51 61
（二）方程式法
?方程式法又称累积法，它的实质是要求
在最初水平 (a0)的基础上，各期按平均
发展速度 计算所得的水平之和，应等
于同期实际水平之和。 *x
?
?
????
n
i
i
n axaxaxa
1
*
0
2*
0
*
0,,,,,,
04:18:51 62
（二）方程式法
? 实际上，各期实际水平的总和为：
? 用各期的环比发展速度和 表示各期实际水平，则
上式可表示为：
? 再用平均发展速度替换各期的环比发展速度，则有：
?
?
?
???? n
i in
aaaa
121
?
0a
?
?
???? n
i in
axxxaxxaxa
121021010
??
?
?
????
n
i
i
n axaxaxa
1
*
0
2*
0
*
0,,,,,,
04:18:51 63
（二）方程式法
? 等式两边都除以 后有：
? 解此高次方程所得的正根，就是按方程式法
所求得的平均发展速度。由于方程式法着眼
于累计和，因此又常将此法称为“累计法”。
0
1
*2** /.,,,,, aaxxx
n
i
i
n ?
?
????
?
?
????
n
i
i
n aaaxaaxaaxa
1
00
*
00
2*
00
*
0 //.,,,,,//
0a
04:18:51 64
? 根据下表中第三产业国内生产总值数列, 计
算各年的环比发展速度和增长速度, 及以第 1
年为基期的定基发展速度和增长速度
第三产业国内生产总值速度计算表
年 份 序 号 1 2 3 4 5
国内生产总值 (亿元 ) 14930.0 17947.2 20427.5 24033.3 26104,3
发展速度
(%)
环比
定基
—
100
120.2
120.2
113.8
136.8
117.7
161.0
108.6
174.8
增长速度
(%)
环比
定基
—
—
20.2
20.2
13.8
36.8
17.7
61.0
8.6
74.8
04:18:51 65
? 根据上表中的有关数据, 计算这 5年间我国第三
产业国内生产总值的年平均发展速度和年平均增
长率
? 平均发展速度
? 平均增长速度
%99.114
0.1 4 9 3 0
3.2 6 1 0 4
%6.108%7.117%8.113%2.120
4
4
1
??
????? ?
?
n
i
i
Y
Y
R
%99.141%99.114 ??
04:18:51 66
总结
动态数列的速度分析指标
动态数列的水平分析指标
发展水平
增长量
平均发展水平
平均增长量
增长速度
发展速度
平均增长速度
平均发展速度
动
态
平
均
指
标
动
态
比
较
指
标
04:18:51 67
第四节 长期趋势的测定和预
测
?一,动态数列的影响因素
?二,长期趋势测定与预测的意义
?三,长期趋势测定的常用方法
04:18:51 68
一、动态数列的影响因素
? 1、长期趋势（ T）
? 2、季节变动（ S）
? 3,循环变动（ C）
? 4,不规则变动（ I）
?两种动态数列的经典模式：
– 加法模式,Y＝ T＋ S＋ C＋ I
– 乘法模式,Y＝ T?S?C?I
04:18:51 69
二、长期趋势测定与预测的意义
? 长期趋势就是研究某种现象在一个相当长的
时期内持续向上或向下发展变动的趋势。
? 长期趋势测定的意义：
– （ 1）、把握现象的趋势变化；
– （ 2）、从数量方面来研究现象发展的规律性，
为统计预测提供必要条件；
– （ 3）、测定长期趋势，可以消除原有动态数列
中长期趋势的影响，以便更好地显示和测定季节
变动。
04:18:51 70
三、长期趋势测定的常用方法
? 反映现象发展的长期趋势有两种基本形式
– 1、直线趋势
– 2、非直线趋势
? 研究现象发展的长期趋势，必须对原来的动
态数列进行统计处理，也就是对动态数列进
行长期趋势测定，常用的方法有：
– 1,间隔扩大法
– 2,移动平均法
– 3,最小平方法
04:18:51 71
1、间隔扩大法
? 当原始动态数列中各指标数值上下波动，使现象变
化规律不明显时，可以通过扩大数列时间间隔，对
原资料加以整理，以反映现象发展变化趋势。
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
机器台数 41 42 52 43 45 51 53 40 51 49 56 54
季度 1 2 3 4
机器台数 135 139 144 159
04:18:51 72
2、移动平均法
? 移动平均法是测定长期趋势的一种较简单的常用
方法
– 通过扩大原动态数列的时间间隔, 并按一定的间隔
长度逐期移动, 计算出一系列移动平均数
– 由移动平均数形成的新的动态数列对原动态数列的
波动起到修匀作用, 从而呈现出现象发展的变动趋
势
? 移动步长为 K(1<K<n)的移动平均数列为
K
YYYY iKii
i
11 ??? ???? ?
04:18:51 73
2、移动平均法
?移动平均法的步骤：
– ⒈确定移动步长
– ⒉计算各移动平均值，并将其编制成动态
数列
1t 2t 3t 4t 5t 6t
7t
原数列
移动平均
3
321 ttt ??
3
432 ttt ??
3
543 ttt ??
3
654 ttt ??
3
765 ttt ??
新数列
2t 3t 4t 5t 6t
04:18:51 74
2、移动平均法
? 例 1,已知
1981～ 1998年
我国汽车产量
数据如下表 。
分别计算五年
移动平均趋势
值, 以及五年
移动中位数,
并作图与原序
列比较 。
1981～ 1998年我国汽车产量数据
年 份 产量 (万辆 ) 年份 产量 (万辆 )
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
17.56
19.63
23.98
31.64
43.72
36.98
47.18
64.47
58.35
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
51.40
71.42
106.67
129.85
136.69
145.27
147.52
158.25
163.00
04:18:51 75
2、移动平均法
0
50
100
150
200
1981 1985 1989 1993 1997
产量
五项移动平均趋势值
五项移动中位数
汽
车
产
量
（万辆）
汽车产量移动平均趋势图
（年份）
04:18:51 76
2、移动平均法
? 移动平均法计算表
年份 粮食产量
（百万吨）
三年移动
平均数
四年移动平均
第一次平均 移正平均
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
446.2
435.3
442.7
456.5
445.1
466.6
504.5
449.2
512.3
508.4
462.2
452.6
—
441.4
444.8
448.1
456.1
472.1
473.4
488.7
490.0
494.3
474.4
—
－
445.2
444.9
452.8
468.2
466.4
483.2
493.6
483.0
483.9
—
—
—
445.1
448.9
460.5
467.3
474.8
488.4
488.3
483.5
—
—
04:18:51 77
2、移动平均法
? （ 1）、用移动平均法对原动态数列修匀，修
匀程度的大小，与原数列移动平均的项数有
关。
? （ 2）、移动平均法所取项数的多少，应视资
料的特点而定。
? （ 3）、移动平均法，采用奇数项移动比较简
单，一次即得趋势值。
? （ 4）、移动平均后的数列，比原数列项数要
减少。
04:18:51 78
3、最小平方法
? 用最小平方法研究现象的发展趋势，就是用
一定的数学模型，对原有的动态数列配合一
条适当的趋势线来进行修匀。
? 根据最小平方法的要求，这条趋势线就满足
如下要求，即原有数列的实际数值与趋势线
的估计数值的离差平方和最小。
m i n)( 2 ??? cyy
04:18:51 79
3、最小平方法
?（ 1）、直线方程
?（ 2）、抛物线方程
?（ 3）、指数曲线方程
04:18:51 80
（ 1）、直线方程
1,现象的发展按线性趋势变化时 (即逐期增
长量大致相等时 ),可用直线方程表示
2,直线方程的形式为
? t—时间标号
? a—趋势线在 Y轴上的截距
? b—趋势线的斜率, 表示时间 t 变动一个单位时
观察值的平均变动数量
btay c ??
04:18:51 81
（ 1）、直线方程
1,趋势方程中的两个未知常数 a 和 b 按最小
二乘法 (Least-square Method） 求得
– 根据回归分析中的最小二乘法原理
– 使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最
小
2,根据趋势线计算出各个时期的趋势值
04:18:51 82
（ 1）、直线方程
?由,对其
求偏导数,m i n)(
2 ???
cyy
?
?
?
??
?
?
??????
?
?
??????
?
?
0))((2
0)1)((2
tbtay
b
Q
btay
a
Q 最小值?????? 2)( btayQ
?
?
?
?????
????
? 2
tbtaty
tbnay
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
? ?
? ? ?
n
t
b
n
y
a
ttn
yttyn
b
22
)(
04:18:51 83
（ 1）、直线方程
?由下表资料, 用最小平方法为我国, 九五,
期间的国内生产总值配合趋势直线, 并预
测 2001年的国内生产总值 。
? 中国 1996－ 2001年国内生产总值资料 (单位：百亿元 )
年 份 1996 1997 1998 1999 2000 2001
国内生
产总值
668.5 731.4 769.7 805.8 882.3 943.5
04:18:51 84
（ 1）、直线方程
年份 序号
＊
国内生产总
值 (百亿元 )y
t2 ty 趋势值
yc y－ yc
1996
1997
1998
1999
2000
1
2
3
4
5
668.5
731.4
769.7
805.8
882.3
1
4
9
16
25
668.5
1462.8
2309.1
3223.2
4411.5
671.14
721.34
771.54
821.74
871.94
-2.64
10.06
-1.84
-15.94
10.36
合
计
15 3857.7 55 12075.1 — 0
＊,为了使计算较简单，在实际计算时，往往先给时间编序号。
04:18:51 85
（ 1）、直线方程
?∑ t=15,∑y= 3857.7,∑t 2=55,∑ty= 12075.1
,n=5
? ? 225555
7.3857151.120755
22 ??
????
?
?
?
??
???
ttn
yttyn
b 2.50
50
2510 ??
94.6 2 0
5
15
2.50
5
5.3 8 5 7
?????? ??
n
t
b
n
y
a
?则要配合的直线趋势方程为,yc＝ 620.94＋ 50.2 t
?预测 2001年 （ t=6） 的国内生产总值：
（ 百亿元 ）
14.92262.5094.620 ????cy
04:18:51 86
（ 1）、直线方程
?在上例中, 给时间编序号的方法是, 把
原点放在数列的第一年,, 如果把, 原
点放在数列的中间一年, 。 可使 ∑ t=0，
这样计算过程可更加简化 。 因为当 ∑ t=0
时, 上式联立方程组可变为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
y
a
t
ty
b
2
04:18:51 87
（ 1）、直线方程
年份 序号 t 国内生产总值 (百亿元 ) t2 ty yc
1996
1997
1998
1999
2000
-2
-1
0
1
2
668.5
731.4
769.7
805.8
882.3
1
4
0
4
1
-1337
-731.4
0
805.8
1764.6
671.14
721.34
771.54
821.74
871.94
合计 0 3857.7 10 1502 —
最小平方法计算表（简便方法）
2.50101 5 0 22 ??? ?? ttyb 54.771
5
7.3857 ??? ?
n
ya
?趋势直线方程为,yc＝ 771.54＋ 50.2t
04:18:51 88
(2),抛物线方程
当 现象的发展，其二级增长量大体上相等时。
50 69 90 11 0
19 21 20?
逐 期 增 长 量,
二 级 增 长 量,
则 给 该 资 料 配 合 抛 物 线 方 程
2
c
2
2
3
3
2 2 4
y a b t c t ( a b c )
y N a b t c t
ty a t b t c t
t y a t b t c t
? ? ?
? ? ? ?
?
?
? ? ??
?
? ? ??
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
该 方 程 的 一 般 形 式 为,
、, 均 为 未 定 参 数
同 样 用 求 偏 导 数 的 方 法, 导 出 以 下 联 立 方 程 组,
04:18:51 89
某地区 1995-2003年国内生产总值的动态数列
配合抛物线计算过程如下表：
年份 GDP(万元 )y t t2 t4 ty t2y yc
1995 3941 -4 16 256 -15764 63056 3897.56
1996 4285 -3 9 81 -12774 38322 4259.94
1997 4736 -2 4 16 -9472 18944 4854.67
1998 5652 -1 1 1 -5652 5652 5681.76
1999 7020 0 0 0 0 0 6741.20
2000 7859 1 1 1 7859 7859 8032.99
2001 9313 2 4 16 18626 37252 9557.14
2002 11738 3 9 81 35214 105642 11313.64
2003 13125 4 16 256 52500 210000 13302.50
合计 67642 0 60 708 70537 486727 67641.40
04:18:51 90
)(71.15523
5177.1165617.11752.6741
,2004
177.116617.11752.6741
177.116
617.1175
6 7 4 1, 2a
70860486727
6070537
60967642
2
2
万元
则：年若预测该地区
?
?????
????
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
c
c
y
GDP
tty
c
b
ca
b
ca
04:18:51 91
(3),指数曲线方程
当 现象的发展，环比增长速度大体上相等时。
t
cy a b?
该 方 程 的 一 般 形 式 为,
2
lg lg lg
lg,lg,lg
(,0 )
c
c
y a t b
Y y A a B b
Y A Bt
Y N A B t
tY A t B t
tt
??
? ? ?
??
? ??
?
?
??
??
?
??
? ? ?
?
先 对 上 述 方 程 两 边 各 取 对 数,
设
则,
应 用 最 小 平 方 法 求 得 的 联 立 方 程 组 为,
同 样 设 使
例题见教材 P164-166
其中,
a—动态数列的基期水平
b —现象的发展速度
t —动态数列的时间变量
第五章 动态数列
?第一节 动态数列的编制
?第二节 动态数列水平分析指标
?第三节 动态数列速度分析指标
?第四节 长期趋势的测定和预测
04:18:51 2
第一节 动态数列的编制
?一、动态数列的概念
?二、动态数列的种类
?三、动态数列的编制原则
04:18:51 3
一、动态数列的概念
? 概念：将某种现象在时间上变化发展的一系列
同类的统计指标, 按时间先后顺序排列形成的
数列, 称为动态数列 (又称时间数列 )。
? 动态 （ 时间 ） 数列具有两个基本要素, 一是 时
间, 二是 各时间指标值 。
1990 1 8 5 4 7, 9
1991 2 1 6 1 7, 8
1992 2 6 6 3 8, 1
1993 3 4 6 3 4, 4
1994 4 6 7 5 9, 4
1995 5 8 4 7 8, 1
1996 6 7 8 8 4, 6
1997 7 4 4 6 2, 6
1998 7 8 3 4 5, 2
1999 8 1 9 1 0, 9
我国 90年代 GDP （ 单位：亿元，当年价）
04:18:51 4
一、动态数列的概念
?编制动态数列列是计算动态分析指标和分
析客观现象发展变化过程及规律的基础,
具体来讲, 它有以下作用：
– 1,反映客观现象在不同时间上的规模和水平；
– 2,反映某些客观现象随着时间推移发展变化的过程和
趋势, 探索客观现象发展变化的规律性, 并据此进行
统计预测 。
04:18:51 5
二、动态数列的种类
动态 (时间 )数
平均数数列绝对数数列 相对数数列
时期数列 时点数列
动态 (时间 )数列
平均数数列绝对数数列 相对数数列
时期数列 时点数列
04:18:51 6
1、绝对数动态数列
? 把一系列总量指标按时间先后顺序排列起来所
形成的动态数列称为 绝对数动态数列 。
? （ 1）、时期数列：各项指标反映某现象在一
段时期内发展过程的总量，如工业总产值等。
? 时期数列的特点：
? ⑴各项数值是可加的
? ⑵指标值大小与时期长短有关
? ⑶每个指标数值通过连续登记而得
04:18:51 7
1、绝对数动态数列
? （ 2）、时点数列：各项指标反映某现象在某
一时点内发展过程的总量，如职工人数、人
口数等。
? 时点数列的特点：
① 各项数值是不可加的
② 指标值大小与时期长短无关
③ 每个指标数值通过一定时期登记一次而得
04:18:51 8
2、相对数动态数列
? 把一系列同类相对指标按时间先后顺序
排列起来所形成的动态数列称为 相对数
动态数列 。
90年代以来我国 GDP指数（以上年为 100%）
1990 1 0 3, 8
1991 1 0 9, 2
1992 1 1 4, 2
1993 1 1 3, 5
1994 1 1 2, 6
1995 1 1 0, 5
1996 1 0 9, 6
1997 1 0 8, 8
1998 1 0 7, 8
1999 1 0 7, 1
04:18:51 9
3、平均数动态数列
? 把一系列同类的平均指标按时间先后顺序排列
起来所形成的动态数列称为 平均数动态数列 。
90年代以来我国人均 GDP（ 单位：元 /人）
1990 1634
1991 1879
1992 2287
1993 2939
1994 3923
1995 4854
1996 5576
1997 6053
1998 6307
1999 6534
04:18:51 10
三、动态数列的编制原则
? 1、时期长短应该统一
? 2、总体范围应该一致
? 3、指标的经济内容应该相同
? 4、计算口径应该统一
04:18:51 11
第二节 动态数列水平分析指标
?一、发展水平和平均发展水平
?二、增长量和平均增长量
04:18:51 12
一、发展水平和平均发展水平
? 1,发展水平
? 2,平均发展水平
04:18:51 13
1、发展水平
? 发展水平是现象在不同时间上所达到的规模
或水平的数量反映，也就是动态 (时间 )数列中
的每一项指标数值。
? 发展水平既可能是 总量数据,也可能是 相对
数据 或 平均数据,分别反映现象在不同时间
上所达到的总量水平、相对水平或平均水平。
04:18:51 14
1、发展水平
? 按在时间数列分析中所处的位置和作用
不同，发展水平分为 最初水平、最末水
平、中间水平 或 基期水平、报告期水平等。
最初水平 中间水平 最末水平
naaaa,、、,.......210
04:18:51 15
1、发展水平
?我国 1995-1999年我国进出口总额
? 如果以 1995年作为基期水平,记为 a0,则 1996
年,1997年,1998年,1999年进出口总额分
别用 a1,a2,a3,a4表示，称为报告期或计算
期水平； a0为最初水平,a1,a2,a3 为中间
水平,a4为最末水平。
指 标 1995 1996 1997 1998 1999
进出口总额
( 人民币亿元 ) 2 3 4 9 9, 9 2 4 1 3 3, 8 2 6 9 6 7, 2 2 6 8 5 7, 7 2 9 8 9 6, 3
04:18:51 16
2、平均发展水平
? 平均发展水平是不同时间上发展水平的平均数。统计
上习惯称为序时平均数（或动态平均数）。
? 平均发展水平（动态平均数）与一般平均数（静态平
均数）的异同
? 动态平均数 （或动态平均数）是同一现象不同时间上
数值的平均，消除的是该现象在 不同时间 上的数量差
异；
? 静态平均数 是同一现象在同一时间上各数值的平均，
消除的是该现象在 不同总体单位上数量 表现的差异。
04:18:51 17
2、平均发展水平
?平均发展水平的计算
– （ 1）,由绝对数动态数列计算平均发展水
平
– （ 2）,由相对数动态数列或平均数动态数
列计算平均发展水平
04:18:51 18
（ 1）、由绝对数动态数列计
算平均发展水平
? A,由时期数列计算平均发展水平
12 n
a a a a
a
nn
?? ? ?
??
指 标 1995 1996 1997 1998 1999
进出口总额
( 人民币亿元 ) 2 3 4 9 9, 9 2 4 1 3 3, 8 2 6 9 6 7, 2 2 6 8 5 7, 7 2 9 8 9 6, 3
a
n
a?
?
＝ 131354.9/5=26270.98（亿元）
04:18:51 19
（ 1）、由绝对数动态数列计
算平均发展水平
? B,由 时点数列计算平均发展水平
– ①连续时点数列的 平均发展水平
? 对连续变动的连续时点数列求平均发展水平
? 非连续变动的连续时点数列求平均发展水平
– ②间断时点数列的 平均发展水平
? 对间隔相等的间断时点数列求平均发展水平
? 对间隔不相等的间断时点数列求平均发展水平
04:18:51 20
对连续变动的连续时点数列求
平均发展水平
? 如果时点数列中的各项指标数值是按日连续登
记的资料时, 称为连续时点数列, 这时可采用
简单算术平均法求序时平均数, 计算公式与时
期数列的序时平均数相同 。
? 某商业银行某年 1月 13日 —17日的存款余额
（ 万元 ） 分别为,766,664,843,578,639，
则这 5天的平均余额 =（ 766 + 664 + 843 + 578 +
639） / 5 = 698（ 万元 ）
04:18:51 21
非连续变动的连续时点数列求
平均发展水平
?如果现象不是逐日变动，则以每次变动
后持续的日数为权数 (f),用加权算术平
均法计算序时平均数，计算公式如下：
?
?
?
f
af
a
04:18:51 22
非连续变动的连续时点数列求
平均发展水平
某单位一周内职工人数
则该单位在本周内平均每天的职工人数为：
时 间 星期一～星期三 星期四～星期五
职工人数（人） 80 85
?
??
f
af
a 8223
285380 ?
?
????
04:18:51 23
对间隔相等的间断时点数列求
平均发展水平
A 1 A 2 A 3 A nAn-1
T3T2T1 Tn-1
?某商业企业某年第二季度某种商品的
库存量如下表，求该商品第二季度月
平均库存量。
月份 3月末 4月末 5月末 6月末
库存量（百件） 66 72 64 68
04:18:51 24
对间隔相等的间断时点数列求
平均发展水平
66 72
2
? 72 64
2
? 64 68
2
?
69 68 66
?某商业企业某年第二季度某种商
品的库存量如下表，求该商品第
二季度月平均库存量。
月份 3月末 4月末 5月末 6月末
库存量（百件） 66 72 64 68
04:18:51 25
对间隔相等的间断时点数列求
平均发展水平
? 4月平均库存 =（ 66+72） / 2 = 69
? 5月平均库存 =（ 72+64） / 2 = 68
? 6月平均库存 = （ 64+68） / 2 = 66
? 第二季度月平均库存 =（ 69+68+66） / 3=67.67（百件）
04:18:51 26
对间隔相等的间断时点数列求
平均发展水平
1
222
13221
?
?
??
?
?
?
?
?
n
aaaaaa
a
nn?
1
22
12
1
?
????
?
?
n
a
aa
a n
n?
04:18:51 27
对间隔相等的间断时点数列求
平均发展水平
? 该公式形式上表现为首末两项数值折半，故
称为, 首末折半法,,显然，首末折半法 适
用于 对 间隔相等的时点数列 求其平均发展水
平。
? 其假设条件是：假设上期期末时点数据即为
本期期初时点数据，并假定相邻两时点间现
象的数量变动是均匀的。
04:18:51 28
对间隔不相等的间断时点数列
求平均发展水平
日期 1月 1日 4月 30日 10月 31日 12月 31日
商业从业
人数 231 216 268 247
04:18:51 29
对间隔不相等的间断时点数列
求平均发展水平
? 根据资料可知其时间间隔分别为 4个月,6个月
和 2个月。
2 3 1 2 1 6 2 1 6 2 6 8 2 6 8 2 4 7
4 6 2
2 2 2
4 6 2
a
? ? ?
? ? ? ? ?
?
??
42.23 8
12
28 61
?? （万人）
04:18:51 30
对间隔不相等的间断时点数列
求平均发展水平
? 设某种股票 1999年各统计时点的收盘价如下表
,计算该股票 1999年的年平均价格
某种股票 1999年各统计时点的收盘价
统计时点 1月 1日 3月 1日 7月 1日 10月 1日 12月 31日
收盘价 (元 ) 15.2 14.2 17.6 16.3 15.8
（元）0.16
3342
3
2
8.153.16
3
2
3.166.17
4
2
6.172.14
2
2
2.142.15
?
???
??
?
?
?
?
? ?
???
?
?
?
?
? ?
???
?
?
?
?
? ?
???
?
?
?
?
? ?
?a
04:18:51 31
对间隔不相等的间断时点数列
求平均发展水平
? 对于 间隔不等的时点数列, 两相邻时点间的间
隔期数不尽相同, 在利用上述公式求平均发展
水平时, 应以间隔期数 （ 以 f 表示 ） 为其权
数加权平均, 即：
?
?
?
?
??
?
?
?
?
n
i
i
n
nn
f
f
aa
f
aa
f
aa
a
1
1
2
21
1
10
2
.,,,,,
22
04:18:51 32
（ 2）、由相对数动态数列或平
均数动态数列计算平均发展水平
? 相对数 （这里仅指静态相对数）或平均数数列
中的各项数值（以 c表示）是根据两个有联系的
总量数据（分别用 a和 b表示）对比而求得，用
符号表示即 c = a/b。因此，由相对数或平均数
数列计算平均发展水平，应当符合该相对数或平
均数本身的计算公式，即由 而得到，而不应
当由 得到。 ba
n
n
n
bbbbb
aaaaa
ccccc
b
a
c
??
??
??
，，，：
，，，：
，，，：
321
321
321
?
n
c?
04:18:51 33
（ 2）、由相对数动态数列或平
均数动态数列计算平均发展水平
?由两个时期数列对比形成的相对指标时
间数列计算序时平均数
?由两个时点数列对比形成的相对指标时
间数列计算序时平均数
?由一个时期数列和一个时点数列对比形
成的平均指标时间数列计算序时平均数
04:18:51 34
由两个时期数列对比形成的相对
指标时间数列计算序时平均数
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
c
a
a
b
cb
b
a
nb
na
b
a
c
/
/
某企业第二季度产值计划完成程度资料
时 间 4月 5月 6月
c产值计划完成程度（％）
a实际产值（万元）
b计划产值（万元）
100
500
500
102
612
600
104
832
800
04:18:51 35
由两个时期数列对比形成的相对
指标时间数列计算序时平均数
? 计算（ 1）该企业第二季度平均（每月）产值
计划完成程度；
? （ 2）该企业第二季度产值计划完成程度。
（ 1）第二季度平均（月）产值计划完成程度为,
%.
/
/
nb
na
b
a
c
31 0 2
1 9 0 0
1 9 9 4
38 0 06 0 05 0 0
38 3 26 1 25 0 0
/
/
??
??
??
??
??
?
?
产值第二季度平均每月计划
产值第二季度平均每月实际
04:18:51 36
由两个时期数列对比形成的相对
指标时间数列计算序时平均数
?（ 2） 第二季度产值计划完成程度为：
%.3102
1900
1994
800600500
832612500
??
??
??
?
?
第二季度计划产值
第二季度实际产值
程度第二季度产值计划完成
04:18:51 37
由两个时点数列对比形成的相对
指标时间数列计算序时平均数
1/)(
1/)(
1
1
3221
3221
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
n
bbbbbb
n
aaaaaa
b
a
c
nn
nn
222
222
?
?
某企业第三季度生产工人比重资料
时 间
6月末 7月末 8月末 9月末
c 生产工人比重 （ ％ ）
a 生产工人数
b全部职工人数
75
435
580
78
452
580
77
462
600
80
576
720
计算该企业第三季度平均（每月）生产工人比重
04:18:51 38
由两个时点数列对比形成的相对
指标时间数列计算序时平均数
%.
/
/
n
bbbbbb
n
aaaaaa
b
a
c
nn
nn
577
14
2
720600
2
600580
2
580580
14
2
576462
2
462452
2
452435
1/
1/
1
1
3221
3221
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
222
222
职工人数第三季度平均每月全部
工人数第三季度平均每月生产
?
?
04:18:51 39
由一个时期数列和一个时点数
列对比形成的相对指标时间数
列计算序时平均数
1
13221
?
?
??
?
?
?
??
?
?
n
bbbbbb
n
a
b
a
c
nn
222
?
04:18:51 40
由一个时期数列和一个时点数列对比形成
的平均指标时间数列计算序时平均数
日期 9月 10月 11月 12月
工业增加值 (万元 )a 32 34 36
月末人数 b 600 612 618 630
求第四季度平均每人工业增加值
14
2
630
618612
2
600
3
363432
?
???
??
?c
04:18:51 41
二、增长量和平均增长量
? 1、增长量
? 2、平均增长量
04:18:51 42
1、增长量
? 增长量 就是报告期水平与基期水平之差：
– 增长量 =报告期水平 — 基期水平
? 增长量可正、可零或负值，表示正增长、零增长或负
增长。
– 逐期增长量 = a1 - a0, a2 - a1,……,an - an-1
– 累计增长量 = a1 - a0,a2 - a0,……,an - a0
? ①累计增量等于逐期增量之和,
– (a1 - a0 )+(a2 - a1) +… + ( an -an-1)= an - a0
? ② 相邻两期累计增量之差等于相应的逐期增量
? 年距增长量,本期发展水平与上年同期水平的增减数
量。
04:18:51 43
2、平均增长量
?平均增长量表明总量指标在一段时期内
平均每期增长的数量。
? 平均增长量 =逐期增长量之和 /逐期增长量个数
=累积增长量 /（动态数列项数 -1）
? 根据 我国国内生产总值资料，计算各年逐期
增长量和各年以 1990年为基期的累积增长量，
年平均增长量。
04:18:51 44
2、平均增长量
国内生产总值增长量计算表 单位：亿元
国内生产总值年平均增长量 ==77613.8/11=7055.8（亿元）
11 8.77613
04:18:51 45
第三节 动态数列速度分析指标
?一、发展速度和增长速度
?二、平均发展速度和平均增长速度
04:18:51 46
一、发展速度和增长速度
?（一）,发展速度
?（二）,增长速度
04:18:51 47
（一）、发展速度
报告期水平与基期水平之比, 用以说明
现象报告期较基期水平的相对发展程度 。
由所选择的基期不同, 发展速度分为 环
比发展速度 和 定基发展速度 。
基期水平
报告期水平发展速度＝
04:18:51 48
（一）、发展速度
? 环比发展速度 报告期水平与报告期前一期水
平之比, 反映现象逐期发展变化的相对程度
1
( 1,2,,)i
i
a
in
a ?
?
?定基发展速度（总速度） 报告期水平与某
一固定基期水平（通常为最初水平）之比，
表明现象在一段时期内的发展相对程度
0
( 1,2,,)i
a
in
a
?
04:18:51 49
? 两种速度的关系：
? （ 1） 某段时期内各环比发展速度的连乘积等
于该时期内的定基发展速度
? （ 2） 相邻的两个定基发展速度之商, 等于相
应的环比发展速度
?
? ?
n
i i
i
a
a
1 1
= =
（ = 2,3,…, n）
0a
an
0a
ai ?
0
1
a
ai?
1?i
i
a
a
i
04:18:51 50
为了消除季节因素的影响, 实际工作
中, 也可以本期 （ 月或季 ） 发展水平与
上年同期 （ 月或季 ） 发展水平相比, 表
示本期较上年同期发展的相对程度 （ 称
为 年距发展速度 ） 。
用公式表示为：
（ L=12或 4； i=1,2,…, n– L）
ia
?
ia
L?
04:18:51 51
（二）、增长速度
?增长速度是增长量与基期水平之比，用
以说明报告期水平较基期水平增减变化
的相对程度。
– 环比增长速度 = 环比发展速度 -1
– 定基增长速度 = 定基发展速度 -1
1??
?
??
发展速度
基期水平
基期水平报告期水平
基期水平
增长量
增长速度
04:18:51 52
（二）、增长速度
?各个时期环比增长速度的连乘积不等于
相应的定基增长速度。即：
1)1()1)1)1(
012
3
1
2
0
1 ??????????
? a
a
a
a
a
a
a
a
a
a n
n
n
( ( ?
04:18:51 53
我国 1996～ 2000年钢产量各年环比发
展速度与定基发展速度
1
1
?
?n
n
a
a
0a
an
1?n
n
a
a
1
0
?aan
年 份 1995a0 1996a1 1997a2 1998a3 1999a4 2000a5
钢产量 （ 万吨 ） 9400 10110 10757 11559 12426 12850
环比发展速度（ %） — 107.55 106.40 107.46 107.50 103.41
定基发展速度（ %） 100 107.55 114.44 122.97 132.19 136.70
环比增长速度（ %） — 7.55 6.40 7.46 7.50 3.41
定基增长速度（ %） — 7.55 14.44 22.97 32.19 36.70
04:18:51 54
二、平均发展速度和平均增长
速度
? 平均发展速度,各期环比发展速度的序时平均数，表
明现象在一段时期内逐期发展变化的平均程度 。
? 平均增长速度,各期环比增长速度的序时平均数，表
明现象在在一定时期内逐期平均增长变化的程度。
? 平均增长速度 = 平均发展速度 -1
? 求平均增长速度，应先求平均发展速度，再由平均发
展速度减 1而得。
04:18:51 55
二、平均发展速度和平均增长
速度
?（一）计算平均发展速度的几何平均法
（水平法）
?（二）计算平均发展速度的方程式法 (累
计法 )
04:18:51 56
（一）几何平均法
? 假设 xi 为 n个逐年的环比发展速度，根据定基
发展速度和环比发展速度的关系：
? 定基发展速度常称为总速度（用 R表示），所
以上式也可以写为：
? 定基发展速度等于期末水平除以期初水平
n nxxxx ?21?
n Rx ?
n n aax 0?
04:18:51 57
（一）几何平均法
? 三个公式的实质是一致的，应视不同条
件灵活运用。其中 n都是指环比发展速
度的个数，也即时间数列项数减 1。
? 我国 2000年欲在 1980年国内生产总值的基础
上翻 2番。问年平均增长速度至少为多少才能
达此目标？
?
%1 7 7.71411 20 ?????? n Rx
04:18:51 58
（一）几何平均法
? 1982年末我国人口是 10.15亿人，人口净增长
率 14.49‰,如果按此速度增长,2000年末将
有多少亿人？若 2000年要将人口控制在 12亿
人以内，人口年均净增长率应控制在多少？
%9345.0115.10/121
15.1301449.115.10
18
1818
19822000
????
????
x
xaa
04:18:51 59
（一）几何平均法
? 某地区 1980年国内生产总值为 450亿元，
若每年能保持 8%的增长速度，问经过
多少年能实现翻 2番（或：经过多少年
能达到 1000亿元）？
（年）0 1 3.1808.1l o g/4l o gl o g/l o g ??? xRn
)(3 7 5 5.10
08.1l o g
2 2 2 2.2l o g
08.1l o g
4 5 0
1 0 0 0
l o g
年???n
04:18:51 60
（一）几何平均法
? 几何平均法的重要 理论性质, 即从最初水平 出发,
每期都按平均发展速度 发展, 则 n期后一定达到末
期水平, 用公式表示为,由该公式
可以得出：
? 由于几何平均法着眼于末期水平, 因而又常将其称为
,水平法, 。
0a
n
n axa ?
0na
0/ aax n
n ?
x
04:18:51 61
（二）方程式法
?方程式法又称累积法，它的实质是要求
在最初水平 (a0)的基础上，各期按平均
发展速度 计算所得的水平之和，应等
于同期实际水平之和。 *x
?
?
????
n
i
i
n axaxaxa
1
*
0
2*
0
*
0,,,,,,
04:18:51 62
（二）方程式法
? 实际上，各期实际水平的总和为：
? 用各期的环比发展速度和 表示各期实际水平，则
上式可表示为：
? 再用平均发展速度替换各期的环比发展速度，则有：
?
?
?
???? n
i in
aaaa
121
?
0a
?
?
???? n
i in
axxxaxxaxa
121021010
??
?
?
????
n
i
i
n axaxaxa
1
*
0
2*
0
*
0,,,,,,
04:18:51 63
（二）方程式法
? 等式两边都除以 后有：
? 解此高次方程所得的正根，就是按方程式法
所求得的平均发展速度。由于方程式法着眼
于累计和，因此又常将此法称为“累计法”。
0
1
*2** /.,,,,, aaxxx
n
i
i
n ?
?
????
?
?
????
n
i
i
n aaaxaaxaaxa
1
00
*
00
2*
00
*
0 //.,,,,,//
0a
04:18:51 64
? 根据下表中第三产业国内生产总值数列, 计
算各年的环比发展速度和增长速度, 及以第 1
年为基期的定基发展速度和增长速度
第三产业国内生产总值速度计算表
年 份 序 号 1 2 3 4 5
国内生产总值 (亿元 ) 14930.0 17947.2 20427.5 24033.3 26104,3
发展速度
(%)
环比
定基
—
100
120.2
120.2
113.8
136.8
117.7
161.0
108.6
174.8
增长速度
(%)
环比
定基
—
—
20.2
20.2
13.8
36.8
17.7
61.0
8.6
74.8
04:18:51 65
? 根据上表中的有关数据, 计算这 5年间我国第三
产业国内生产总值的年平均发展速度和年平均增
长率
? 平均发展速度
? 平均增长速度
%99.114
0.1 4 9 3 0
3.2 6 1 0 4
%6.108%7.117%8.113%2.120
4
4
1
??
????? ?
?
n
i
i
Y
Y
R
%99.141%99.114 ??
04:18:51 66
总结
动态数列的速度分析指标
动态数列的水平分析指标
发展水平
增长量
平均发展水平
平均增长量
增长速度
发展速度
平均增长速度
平均发展速度
动
态
平
均
指
标
动
态
比
较
指
标
04:18:51 67
第四节 长期趋势的测定和预
测
?一,动态数列的影响因素
?二,长期趋势测定与预测的意义
?三,长期趋势测定的常用方法
04:18:51 68
一、动态数列的影响因素
? 1、长期趋势（ T）
? 2、季节变动（ S）
? 3,循环变动（ C）
? 4,不规则变动（ I）
?两种动态数列的经典模式：
– 加法模式,Y＝ T＋ S＋ C＋ I
– 乘法模式,Y＝ T?S?C?I
04:18:51 69
二、长期趋势测定与预测的意义
? 长期趋势就是研究某种现象在一个相当长的
时期内持续向上或向下发展变动的趋势。
? 长期趋势测定的意义：
– （ 1）、把握现象的趋势变化；
– （ 2）、从数量方面来研究现象发展的规律性，
为统计预测提供必要条件；
– （ 3）、测定长期趋势，可以消除原有动态数列
中长期趋势的影响，以便更好地显示和测定季节
变动。
04:18:51 70
三、长期趋势测定的常用方法
? 反映现象发展的长期趋势有两种基本形式
– 1、直线趋势
– 2、非直线趋势
? 研究现象发展的长期趋势，必须对原来的动
态数列进行统计处理，也就是对动态数列进
行长期趋势测定，常用的方法有：
– 1,间隔扩大法
– 2,移动平均法
– 3,最小平方法
04:18:51 71
1、间隔扩大法
? 当原始动态数列中各指标数值上下波动，使现象变
化规律不明显时，可以通过扩大数列时间间隔，对
原资料加以整理，以反映现象发展变化趋势。
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
机器台数 41 42 52 43 45 51 53 40 51 49 56 54
季度 1 2 3 4
机器台数 135 139 144 159
04:18:51 72
2、移动平均法
? 移动平均法是测定长期趋势的一种较简单的常用
方法
– 通过扩大原动态数列的时间间隔, 并按一定的间隔
长度逐期移动, 计算出一系列移动平均数
– 由移动平均数形成的新的动态数列对原动态数列的
波动起到修匀作用, 从而呈现出现象发展的变动趋
势
? 移动步长为 K(1<K<n)的移动平均数列为
K
YYYY iKii
i
11 ??? ???? ?
04:18:51 73
2、移动平均法
?移动平均法的步骤：
– ⒈确定移动步长
– ⒉计算各移动平均值，并将其编制成动态
数列
1t 2t 3t 4t 5t 6t
7t
原数列
移动平均
3
321 ttt ??
3
432 ttt ??
3
543 ttt ??
3
654 ttt ??
3
765 ttt ??
新数列
2t 3t 4t 5t 6t
04:18:51 74
2、移动平均法
? 例 1,已知
1981～ 1998年
我国汽车产量
数据如下表 。
分别计算五年
移动平均趋势
值, 以及五年
移动中位数,
并作图与原序
列比较 。
1981～ 1998年我国汽车产量数据
年 份 产量 (万辆 ) 年份 产量 (万辆 )
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
17.56
19.63
23.98
31.64
43.72
36.98
47.18
64.47
58.35
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
51.40
71.42
106.67
129.85
136.69
145.27
147.52
158.25
163.00
04:18:51 75
2、移动平均法
0
50
100
150
200
1981 1985 1989 1993 1997
产量
五项移动平均趋势值
五项移动中位数
汽
车
产
量
（万辆）
汽车产量移动平均趋势图
（年份）
04:18:51 76
2、移动平均法
? 移动平均法计算表
年份 粮食产量
（百万吨）
三年移动
平均数
四年移动平均
第一次平均 移正平均
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
446.2
435.3
442.7
456.5
445.1
466.6
504.5
449.2
512.3
508.4
462.2
452.6
—
441.4
444.8
448.1
456.1
472.1
473.4
488.7
490.0
494.3
474.4
—
－
445.2
444.9
452.8
468.2
466.4
483.2
493.6
483.0
483.9
—
—
—
445.1
448.9
460.5
467.3
474.8
488.4
488.3
483.5
—
—
04:18:51 77
2、移动平均法
? （ 1）、用移动平均法对原动态数列修匀，修
匀程度的大小，与原数列移动平均的项数有
关。
? （ 2）、移动平均法所取项数的多少，应视资
料的特点而定。
? （ 3）、移动平均法，采用奇数项移动比较简
单，一次即得趋势值。
? （ 4）、移动平均后的数列，比原数列项数要
减少。
04:18:51 78
3、最小平方法
? 用最小平方法研究现象的发展趋势，就是用
一定的数学模型，对原有的动态数列配合一
条适当的趋势线来进行修匀。
? 根据最小平方法的要求，这条趋势线就满足
如下要求，即原有数列的实际数值与趋势线
的估计数值的离差平方和最小。
m i n)( 2 ??? cyy
04:18:51 79
3、最小平方法
?（ 1）、直线方程
?（ 2）、抛物线方程
?（ 3）、指数曲线方程
04:18:51 80
（ 1）、直线方程
1,现象的发展按线性趋势变化时 (即逐期增
长量大致相等时 ),可用直线方程表示
2,直线方程的形式为
? t—时间标号
? a—趋势线在 Y轴上的截距
? b—趋势线的斜率, 表示时间 t 变动一个单位时
观察值的平均变动数量
btay c ??
04:18:51 81
（ 1）、直线方程
1,趋势方程中的两个未知常数 a 和 b 按最小
二乘法 (Least-square Method） 求得
– 根据回归分析中的最小二乘法原理
– 使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最
小
2,根据趋势线计算出各个时期的趋势值
04:18:51 82
（ 1）、直线方程
?由,对其
求偏导数,m i n)(
2 ???
cyy
?
?
?
??
?
?
??????
?
?
??????
?
?
0))((2
0)1)((2
tbtay
b
Q
btay
a
Q 最小值?????? 2)( btayQ
?
?
?
?????
????
? 2
tbtaty
tbnay
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
? ?
? ? ?
n
t
b
n
y
a
ttn
yttyn
b
22
)(
04:18:51 83
（ 1）、直线方程
?由下表资料, 用最小平方法为我国, 九五,
期间的国内生产总值配合趋势直线, 并预
测 2001年的国内生产总值 。
? 中国 1996－ 2001年国内生产总值资料 (单位：百亿元 )
年 份 1996 1997 1998 1999 2000 2001
国内生
产总值
668.5 731.4 769.7 805.8 882.3 943.5
04:18:51 84
（ 1）、直线方程
年份 序号
＊
国内生产总
值 (百亿元 )y
t2 ty 趋势值
yc y－ yc
1996
1997
1998
1999
2000
1
2
3
4
5
668.5
731.4
769.7
805.8
882.3
1
4
9
16
25
668.5
1462.8
2309.1
3223.2
4411.5
671.14
721.34
771.54
821.74
871.94
-2.64
10.06
-1.84
-15.94
10.36
合
计
15 3857.7 55 12075.1 — 0
＊,为了使计算较简单，在实际计算时，往往先给时间编序号。
04:18:51 85
（ 1）、直线方程
?∑ t=15,∑y= 3857.7,∑t 2=55,∑ty= 12075.1
,n=5
? ? 225555
7.3857151.120755
22 ??
????
?
?
?
??
???
ttn
yttyn
b 2.50
50
2510 ??
94.6 2 0
5
15
2.50
5
5.3 8 5 7
?????? ??
n
t
b
n
y
a
?则要配合的直线趋势方程为,yc＝ 620.94＋ 50.2 t
?预测 2001年 （ t=6） 的国内生产总值：
（ 百亿元 ）
14.92262.5094.620 ????cy
04:18:51 86
（ 1）、直线方程
?在上例中, 给时间编序号的方法是, 把
原点放在数列的第一年,, 如果把, 原
点放在数列的中间一年, 。 可使 ∑ t=0，
这样计算过程可更加简化 。 因为当 ∑ t=0
时, 上式联立方程组可变为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
y
a
t
ty
b
2
04:18:51 87
（ 1）、直线方程
年份 序号 t 国内生产总值 (百亿元 ) t2 ty yc
1996
1997
1998
1999
2000
-2
-1
0
1
2
668.5
731.4
769.7
805.8
882.3
1
4
0
4
1
-1337
-731.4
0
805.8
1764.6
671.14
721.34
771.54
821.74
871.94
合计 0 3857.7 10 1502 —
最小平方法计算表（简便方法）
2.50101 5 0 22 ??? ?? ttyb 54.771
5
7.3857 ??? ?
n
ya
?趋势直线方程为,yc＝ 771.54＋ 50.2t
04:18:51 88
(2),抛物线方程
当 现象的发展，其二级增长量大体上相等时。
50 69 90 11 0
19 21 20?
逐 期 增 长 量,
二 级 增 长 量,
则 给 该 资 料 配 合 抛 物 线 方 程
2
c
2
2
3
3
2 2 4
y a b t c t ( a b c )
y N a b t c t
ty a t b t c t
t y a t b t c t
? ? ?
? ? ? ?
?
?
? ? ??
?
? ? ??
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
该 方 程 的 一 般 形 式 为,
、, 均 为 未 定 参 数
同 样 用 求 偏 导 数 的 方 法, 导 出 以 下 联 立 方 程 组,
04:18:51 89
某地区 1995-2003年国内生产总值的动态数列
配合抛物线计算过程如下表：
年份 GDP(万元 )y t t2 t4 ty t2y yc
1995 3941 -4 16 256 -15764 63056 3897.56
1996 4285 -3 9 81 -12774 38322 4259.94
1997 4736 -2 4 16 -9472 18944 4854.67
1998 5652 -1 1 1 -5652 5652 5681.76
1999 7020 0 0 0 0 0 6741.20
2000 7859 1 1 1 7859 7859 8032.99
2001 9313 2 4 16 18626 37252 9557.14
2002 11738 3 9 81 35214 105642 11313.64
2003 13125 4 16 256 52500 210000 13302.50
合计 67642 0 60 708 70537 486727 67641.40
04:18:51 90
)(71.15523
5177.1165617.11752.6741
,2004
177.116617.11752.6741
177.116
617.1175
6 7 4 1, 2a
70860486727
6070537
60967642
2
2
万元
则：年若预测该地区
?
?????
????
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
c
c
y
GDP
tty
c
b
ca
b
ca
04:18:51 91
(3),指数曲线方程
当 现象的发展，环比增长速度大体上相等时。
t
cy a b?
该 方 程 的 一 般 形 式 为,
2
lg lg lg
lg,lg,lg
(,0 )
c
c
y a t b
Y y A a B b
Y A Bt
Y N A B t
tY A t B t
tt
??
? ? ?
??
? ??
?
?
??
??
?
??
? ? ?
?
先 对 上 述 方 程 两 边 各 取 对 数,
设
则,
应 用 最 小 平 方 法 求 得 的 联 立 方 程 组 为,
同 样 设 使
例题见教材 P164-166
其中,
a—动态数列的基期水平
b —现象的发展速度
t —动态数列的时间变量
