北京大学：光学（推荐下载）：第 5 章 多元多维结构衍射与分形光学

5.1 第 5 章 多元多维结构衍射与分形光学 5.1 位移－相移定理 5.2 有序结构 一维光栅的衍射 5.3 光栅光谱仪 闪耀光栅 5.4 二维周期结构的衍射 5.5 三维周期结构 X 射线晶体衍射 5.6 无规分布的衍射 5.7 分形光学——自相似结构的衍射 5.8 光栅自成像 5.9 超短光脉冲和锁模 习题 16 道 5.1 位移－相移定理 ? 概述 ?位移－相定理 ?例题—五方孔的 ? 场 ú ú ú ?概述 多元结构及其衍射图样； 单元分布是否规则？ 单元取向是否有序？ ▲ 含 N 个全同单元的结构类型 （ a） 规则、有序（ b）规则、无序（ c）有序、无规（ d）无规、无序 5.2 ▲单细胞组织与其 ? 图样 ▲自相似分形结构及其 ? 图样 5.3 ▲光栅 含 N 个全同单元的周期结构 ——既“规则” ，又“有序” 。 光栅周期 d ， 光栅常数 。 单元密度 1/d～ 100/mm， 600/mm， 1200/mm， 有效宽度 D～ 5cm， 10cm，高达 30cm， 含单元总数 N N＝ d D ～ 5cm× 600/mm ～ 3× 10 4 >>> 1. 故 刻制一块母光栅技术工艺： “高精度” 、 “高稳定” 、 “长时间” 。 5.4 ? 光栅类型 多种 （ 1） 透射式光栅与反射式光栅 （ 2） 振幅型光栅与相位型光栅 （ 3） 一维光栅、二维光栅与三维光栅 —— 一维晶丝、二维晶面、三维晶体 ? 衍射屏的屏函数 光栅屏函数 定义屏函数 t ~ ( yx, )＝ ),( ~ ),( ~ 1 2 yxU yxU ， “相位型” “微棱镜列阵” 5.5 一维振幅型光栅的屏函数 一维光栅 ),( ~ )( ~ xtndxt =+ L,2,1,0 ±±=n 二维光栅 ),,( ~ ),( ~ 21 yxtmdyndxt =++ L,2,1,0, ±±=mn ),( 21 dd 分别为 ),( yx 方向的空间周期。 ? 位移－相移定理 ▲定理表述 ：在一个夫琅禾费衍射系统中，当图 像位移时，其夫琅禾费衍射场将响 应一个位移。定量关系为 位移 ),( oo yx ?相移 ),,( 21 δδ 这里 11 sinθδ o kx?= ， 22 sinθδ o ky?= ▲说明与证明 （ 1） 点位移情形： 点源 0 处 → )( ~ θu 点源 o x 处 → )( ~ )( ~ sin θθ θ ueu o ikx ?= ′ ? 5.6 （ 2） 图像位移情形 原图像 →),( ~ yxt 衍射场 ),,( ~ 21 θθU 位移后的图像 ),( ~ oo yyxxt ?? → 衍射场 )sinsin( 2121 21 ),( ~ ),(' ~ θθ θθθθ oo yxik eUU +? ?= ,),( ~ )( 21 21 δδ θθ + ?= i eU 其中，相移量 ,sin 11 θδ ?? o kx＝ .sin 22 θδ ??= o ky ▲注意 （ 1） 该定理只适用于夫琅禾费衍射场，或者说 对夫琅禾费衍射而言，相移量与位移量之间 是线性关系——线性相移因子。 （ 2） 证明过程中，隐含了“系统具有空不变性” ——至少要求“透镜孔径足够大” 。 5.7 ? 例题——五方孔的 ? 场 ),coscos2coscos2() sinsin ( ~ 2),( ~ 2111 1 1 1 1 121 δδβα β β α α θθ +??= cU 或 ). sin3 cos sin3 cos sin cos sin (cos) sinsin ( ~ 4),( ~ 2121 1 1 1 1 121 λ θπ λ θπ λ θπ λ θπ β β α α θθ aaaa cU + ?? ??= ▲习题 5.8 5． 2 有序结构 一维光栅的衍射 ?有序结构的夫琅禾费衍射场 ?单元因子和结构因子 ?一维光栅 ?一维光栅强度结构因子的主要特征 ?一维周期结构的其他样式 ? 有序结构的 ? 场 设 中心单元产生的衍射场为 ),,( ~ 21 θθu 其它单元，分别位移 ),,( jjj yxr r 相应的相移量为 ),sin,sin(),( 2121 θθδδ jjjj yxk?= 于是衍射场的组成 , ~ u , ~~ )( 1 2111 δδ + ?= i euu , ~~ )( 2 2212 δδ + ?= i euu , ~~ )( 3 2313 δδ + ?= i euu M 5.9 总的衍射场 j N j uU ~ ),( ~ 1 0 21 ∑ ? = = ）（ θθ )( ~ )( 1 0 21 jj i N eu δδ + ? ∑ ?= ▲改写 含 N个全同单元衍射屏产生的夫琅禾费 衍射场为 ),( ~ ),( ~ ),( ~ 212121 θθθθθθ SuU ?= 其中 u ~ ，单元衍射因子，单元因子， 形状因子 。 )( 1 0 21 ~ jj i N eS δδ + ? ∑ = ， 衍射场结构因子， 分布因子 。 总之， 夫琅禾费衍射场＝单元因子×结构因子 . ▲其意义是 衍射场的主要特征分别决定于这两个因子； 尤 其对于光栅的衍射场，其特征中的主要方面决定 于 结构因子 ， 虽然 单元因子 可能复杂 （尚未获悉） 。 5.10 bad += * 应用于光栅——规则排列的有序结构 ? 一维多缝光栅 其单元（缝）衍射因子 )( ~ θu ∝ , sin α α . sin λ θπ α a = 其结构因子 j i N j eS δ θ ∑ = = 1 )( ~ ).1( )1(2 δδδ ? +++= Niii eee 结果 , 1 1 )( ~ δ δ θ i iN e e S ? ? = ,sinθδ kd= 改写为 ) sin sin ()( ~ )1( β β θ β N eS Ni ?= ? 宗量 . sin 2 λ θπδ β d == * 推荐一个有用的公式 . 2 sin2)1( 2 iee i i γ γ γ ?=? 于是 , sin sin 1 1 )1( β δ δ β β ? = ? ? Ni i iN e N e e 其中 λ θπδ β sin 2 d == 5.11 ▲其它孔型的一维光栅（一维晶丝） 共同的结构因子 ： )( ~ 1 θS ∝ ), sin sin ( β βN . sin 1 λ θπ β d = 故 衍射强度分布函数为 2 2 2121 ) sin sin (),( ~ ),( β β θθθθ N uI ?= ? 一维光栅强度结构因子的主要特征 ▲衍射强度公式 ),( ~ )( ~ )( ~ θθθ SuU ?= 22 ~~ )( suI ?=θ 22 0 ) sin sin () sin ( β β α α N i ?= 强度单元因子 强度结构因子 “单缝衍射因子 ”， “缝间干涉因子” 0 i ——单元衍射零级（象点）光强。 5.12 ▲强度分布曲线和照片 5.13 ▲ 2 ) sin sin ( β βN 主要特征， . sin λ θπ β d = （ 1） 主极强位置（方位角） 当 λθ kd k =?sin ， L,2,1,0 ±±=k 有 πβ k= 致 22 ) sin sin ( N N = β β ， 极大 （ 2）此时 )()( 2 kk iNI θθ ?= 即 N 2 倍于单缝衍射在该处的强度。 （ 3）主极强的半角宽度（体现“锐度” ） 其左右第一暗点方位角 )( θθ ?± k 满足 ,) 1 ()sin( λθθ N kd k +=?±? 即 ,cos N d k λ θθ =?? 有 , cos k Nd θ λ θ =? 或 , cos k D θ λ θ =? （ 4）相邻主极强之间，有 )1( ?N 个暗点； )2( ?N 个次极强。 5.14 （ 5）单元因子 2 0 ) sin ( α α i 的作用 ?影响主极强峰值（高度） ——决定光功率在各主极强之间的分配； 但不影响主极强的位置与半角宽度 。 ?某些情况下，可能出现“ 缺级 ” 。 ,sin λθ kd k =? （ k 级主极强位置） . ,'sin λθ ka k ′ =? （单缝零点位置） . 当 kk θθ ′ = 时， k 级主极强“缺”——落到了第 k ′ 零点。 例如，当 ,3= a d 则 缺“ 3 级、 6 级、 9 级” ； 例如，当 , 2 3 5.1 == a d 则 缺“ 3 级”——落在第二个零点； 缺“ 6 级”——落在第四个零点。 总之，当 n m a d = 简约整数比， 则第 m 级、 2m 级、 K “缺” 。 不过， 在光栅场合， “缺级” 现象无多大实际价值。 5.15 5． 3 光栅光谱仪 闪耀光栅 ?光栅分光原理 　 ?光栅光谱仪性能指标 　 ?闪耀光栅 ? 光栅分光原理 ▲来自结构因子（元间干涉因子） ,) sin sin ( 2 β βN 的两个主要特点是 λθ kd k =sin （ 1） k k D θ λ θ cos =? （ 2） 据（ 1） ，不同波长的同级主极强，出现于不同的 方位角——形成光谱。 * 注意到“ 零级无色散 ” 。 5.16 ▲色散型光谱仪 核心元件 光栅或棱镜， 整机含： 入射狭缝，出射狭缝， 光路转换（产生、接收平行光） ， 转动鼓轮，读数系统， 输出响应 ——光电记录或胶片摄谱。 光谱仪 用于分析光谱、显示光谱， “摄谱仪” ； 用于挑选波长、 “单色仪” 。 * 注意到 光谱仪中用于 “转换光路” 的元件均选 “反射镜” ， 因为 （ 1） 反射无色散 （ 2） 缩短整机尺寸 5.17 ? 光栅光谱仪性能指标 ▲角色散本领 λ ， k θ ； λ ′ ， k θ ′ ， 即 ,λλδλ ? ′ = , kk θθδθ ? ′ = 定义 . δλ δθ θ =D （度 /?） k 级、波长 λ 附近， 单位波长差响应的角间隔。 据 ,sin λθ kd k = 有 δλδθθ kd k =cos ， 得 , cos k d K D θ θ = 可见 d ， θ D ； θ D 与 N 数无关。 * 数量级—— 设 d 1 ～ 800/mm, 波段 λ ～ 600nm， 对 1 级谱， ,1cos 1 ≈θ 有 θ D ～ 3.0 ′ /?. 5.18 ▲线色散本领 摄谱仪，直接关心的是线色散——涉及记录介 质的空间分辨率。 定义 , δλ δl D l = （ mm/?） 由图可见， lδ ～ δθ?f ， 得 . cos k l d K ffDD θ θ =≈ * 数量级—— 设 d 1 ～800/mm, λ～600nm， f ～10 3 mm， 对 1 级谱， 1cos 1 ≈θ , 有 1.0≈ l D （ mm/?）. 习惯上喜欢表达为 10 ?/mm。 例如，这台光谱仪作为单色仪，出射狭缝宽度 ,1.0 mms =δ 则其单色线宽 λ? ～ 1 ?。 5.19 ▲色分辨本领 可分辨的最小波长间隔 m δλ ，不仅与峰值（两 个） 角间隔有关， 也与峰值自身的角宽度 θ? 有关。 瑞利判据： 令 θδθ ?＝ ， 而 δλ θ δλδθ θ k d K D cos =?＝ ， k Nd θ λ θ cos =? ， 于是 KN m λ δλ = ， 定义，色分辨本领 , m R δλ λ = 得 KNR = . 可见， N ， R ； R 与 d 无关。 5.20 * 数量级—— 设 D～ 10cm， 1/d～ 600/mm， 有 N＝ 6× 10 4 ， 对于 1 级光谱， 4 106×≈R ， 若分析波段在 λ ～ 600nm 附近， 则 R m λ δλ ≈ ～ nm 2 10 ? ， 0.1?. 这当然远不如 FP 分光仪精细，但光栅光谱仪 的“量程大” ，适于测定“宽谱线轮廓” 。 ▲选择使用光栅（备件）的两条原则 （ 1） 三个性能指标 θ D 、 l D 、 R ， 各有独立功能，设计与使用时要调配适当。 “大光栅”配“长焦距” 。 （ 2） 满足 λ>d ，否则（ λ≤d ） 据 λθ = 1 sind （ 1 序） ， 1sin 1 >θ ?? 得“费解”——无远场光谱， “隐失波” 。 例如：红外，长波 λ ， d 更大， θ D 本领不高。 而“傅里叶变换光谱仪”无此限制。 5.21 ?闪耀光栅 ▲透射式多缝光栅的缺点（两条） （ 1） 有多序光谱，既分散能量，又限制“量 程” 。 （ 2） 各单元“衍射零级”之间等光程，因而， 该方向成为元间“干涉零级”——它总 是无色散——又是一个“能量浪费” 。 ▲设法 只产生一序光谱； 分离“单元衍射零级”与“元间干涉零级” 。 闪耀光栅可为之。有两种照明方式。 （ 1） 入射光束 ⊥ 光栅宏观平面 可见，沿单元零级方向，相邻单元间的光程差 b dL θ2sin 0 ?=? ， b θ ， 闪耀角 。 5.22 于是 ? ? ? =? b b b d 2 1 2 2sin λ λ θ 即 以 b1 λ 为居中的一段光谱 ,展开在 2 b θ 方向的两侧。 （ 2） 入射光束 ⊥ 单元微观槽面 各单元零级衍射方向，其相邻光程差 ,sin2 0 b dL θ=′? 于是 ? ? ? ? ? = ,2 , sin2 2 ' 1 ' b b b d λ λ θ ▲最后说明 闪耀光栅仅有 1 序光谱，这是因为 ad ≈ ， 致使其它主极强被埋没——与单元衍射因子的 “零点”相遇，包括元间干涉 0 级也是如此。 ▲上述分析并没有展现 )(θI 表达式。 ——始终关注单元衍射 0 级怎样造成元间干涉某一 非零级； ——基于多缝光栅而引入的 θ D 、 l D ， R 概念同样地 适用于闪耀光栅。 ， 1 级闪耀波长 ； ， 2 级闪耀波长 。 1 级闪耀波长 2 级闪耀波长 5.23 ▲闪耀光栅衍射强度 )(θI 曲线 ▲透射式闪耀光栅——微棱镜列阵 小角棱镜的偏向角， αθ )1( 0 ?≈ n ， 单元衍射 0 级方向， 其相邻光程差 00 sinθ?=? dL . 5.24 5.4 二维周期结构的衍射 ?二维周期结构 ?二维晶片的夫琅禾费衍射场 ?例题——二维晶片的共面衍射 ? 二维周期 ? 二维晶片的 ? 场 （ 1） 原始单元：矩孔，其单元衍射因子为 2 2 2 1 1 0 2 21 ) sinsin ( ~ ),( α α α α θθ ?== iui ， 沿 x 方向作周期性位移，形成“排孔” ， 其衍射结构因子 2 1 11 2 ) sin sin ( ~ β βN S x = ； （ 2） 以“排孔”为次级单元，沿 y 方向作周期性位移， 形成二维网格，其衍射结构因子 2 2 22 2 ) sin sin ( ~ β βN S y = ， 这里 λ θπ β 11 1 sind = ， λ θπ β 22 2 sind = ； 5.25 （ 3） 最后，获得二维光栅夫琅禾费衍射场 强度分布公式 22 2121 ~~ ),(),( yx SSiI ?= θθθθ ?= ),( 21 θθi 2 2 22 2 1 11 ) sin sin () sin sin ( β β β β NN ? . 其中， 2 2121 ),( ~ ),( θθθθ ui = . “单元衍射因子 ”， 由原始单元的形貌 （ form phase） 决定， u ~ □、 u ~ ?、 u ~ o 、 K . * 单元编组的思想——方法与程序 视情况，逐次形成 1 级单元、 2 级单元、 K ， 再应用“相移定理” ，求得总场 U ~ 。 ▲再举一例—— Rowland ghost lines (参见习题 5.16) “小尺度短周期” ， “大尺度长周期” 。 复式周期 5.26 ▲ 二维正交网格 ? 图样（照片） (a)An ordered array of rectangular apertures.(b) The resulting white-light Fraunhofer pattern. (c) An ordered array of circular apertures. (d) The resulting white-light Fraunhofer pattern. ? 二维晶片的共面衍射 5.27 5.5 三维周期结构 X射线晶体衍射 ?晶体和 X 射线 ?布拉格条件 ?劳厄相和德拜相 ?释疑——不选取面内线间干涉非零级的理由 ?晶体衍射的劳厄方程 ?例题－微波布拉格衍射实验 ?布拉格衍射的光学模拟 ? 晶体和 X 射线（简介） ▲波动空间周期 λ 与物质结构周期 d 。 ?X 射线 x λ ： 2 10 ?←?→ 2 10 ? ?. 光波长与光子能量的换算公式： λ ν hc hE == 10 834 10 )103()106.6( ? ? ×?× ≈ 1 ? J 15 102 ? ?≈ eV 4 10≈ 1 ? 波长的光子有 1 万电子伏的能量。 5.28 ▲“有效衍射”术语含义 由光栅公式 λθ kd k =sin ， 可获得一般估算（数量级） : λ≤d . “无效衍射” ， “隐失波” ； λλ >> d 2 10 . 有效衍射——出现衍射图样 , 敏感地反映了物质结构 ； λ 3 10>d . “无效衍射” ，“几何光学衍射” 。 这着眼于 衍射图样应用于微结构分析。 ? 布拉格条件——三维衍射的逐维处理 5.29 ▲可见， 线内点间干涉 零级衍射之方位—— 不唯一 ； 面内线间干涉 零级衍射之方位—— 晶面反射定理 ； 体内面间干涉 非零级衍射之方位—— Bragg 条件 。 K,3,2,1,sin2 == kkd λθ ▲布拉格条件的内涵 —— 与一维光栅公式 λθ kd =sin 有重要区别，源于： ),( 11 θd 、 ),( 22 θd 、 K ),( ii d θ 成对出现 互不独立 5.30 ? 劳厄相 德拜相 为了获得 有效的 X 光晶体衍射图，拟可采取实验方法如下。 ▲单晶体、多色（连续谱） ↓ → 波长选择性 劳厄相 （ Laue disk） ▲单色、多晶（粉末） ↓ → 方向选择性 德拜相 （ Debye ring） ▲旋转单晶法、单色入射 ↓ 德拜相 * 三维光栅，具有 色选择性&角度选择性 ，此乃“体全息图实现 白光再现”之依据。 (b) (c) 5.31 ? 晶体衍射的劳厄方程 劳厄以另一种方式， 得出晶体衍射主极强方向所要满足的条件。 a?N= λh , (a,b,c)为晶体结构的三个基矢。 b?N= λk , (h,k,l)为整数。 c?N＝ λl ? 例题—— 微波布拉格衍射实验 用微波来代替 X 射线，用人工摆设的铝球阵列替代晶体， 用接收器探测微波衍射束的方向角和 强度，这便构成了一个微 波布拉格衍射实验，用以模拟 X 射线晶体衍射实验。具体做法 是， 使一系列尼龙丝绷紧于一木框架上， 其布线呈三维周期性； (5× 5× 5)个铝球等间距地系挂在尼龙丝网中，形成一立方阵 列。铝球直径约 1cm。设微波束的波长 λ～ 3cm，试问铝球间 隔即列阵常数 d 应选取在什么范围合适。 ? 布拉格衍射的光学模拟（详见书 253 页） 三光束干涉生成 ),,( zyxn 三维周期分布 5.32 ? 历史简述与学科发展 ▲X 射线与晶体的相互作用 ——上世纪初期二、三十年间，国际物理学研究的热 门课题。 ▲有多位物理学家，在与 X 射线有关的研究领域中，获 得重大成就，而荣获 Nobel 奖： R?ntgen 1901， Laue 1914， Bragg 父子 1915， Debye 1936， Compton 1927， ▲Laue 评说 X 射线的晶体衍射图——他们习惯地称其为干涉图 的出现，同时说明了两件事： X 射线是一种波，是一种短波长的电磁波； 晶体是周期结构， 是具有三维周期性的空间点阵。 ▲晶体衍射的几何理论—— Laue 斑的几何方位； 晶体衍射的动力学理论—— Laue 斑的强度分布， 这反 映了晶胞散射因子的特征，其内涵着 “相互作用”的 动力学因素。 5.33 ▲由此发展成为一门新的物理学科分支， X 射线结构分析学 X射线形貌学 实验立体化学 电子射线干涉学 ▲应用列举： （ 1） 由 Laue disk 或 Debye ring 测定晶格常数 d ，晶轴方向， K . （ 2） 利用 d 已知晶体，测定 X 光波长，用于 Compton effect 的研究。 （ 3） 精确测定 d，进而精确定出 Avogadro constant， N o . 1 3 =dN o ρ , 其中， ρ 是某立方晶体单位体积中的摩尔数。 现确认 23 10022.6 ×= o N /mol. 5.34 5.6 无规分布的衍射 ?受抑无规行走 ?统计数据实验——有序孔径角 ?讨论 ?实验照片 ? 受抑无规行走 ? 有序孔径角 衍射强度结构因子（一维无规分布） [] ∑ Σ == ?= N n nm N m xxkF 11 sin)(cos)( θθ [] ∑ Σ ≠= ?+= N mn nm N m xxkN θsin)(cos 1 2 N , 当 0=θ ； ＝ 2 N ～ N ，当 o θθ < ； ～ N , 当 o θθ > . 5.35 ▲统计数据实验 ? 实验照片 (a) A random array of rectangular apertures. (b) The resulting white-light Fraunhofer pattern. (c) A random array of circular apertures. (d) The resulting white-light Fraunhofer pattern. 5.36 5.7 分形光学——自相似结构的衍射 ?自相似分形结构 ?逐代繁衍——位移和缩放 ?康托尔条幅的衍射场 ?康托尔地毯的衍射场 ?谢尔宾斯基垫片的衍射场 ? 自相似分形结构 对于 康托尔条幅 ，其维数 63.1 3ln 6ln ≈=D ； 对于 康托尔地毯 ，其维数 89.1 3ln 8ln ≈=D . ? 逐代繁衍—— 位移 和 缩放 泛论之，人们以不同眼光看待自相似结构，就有相应不同的方 式导出其夫琅禾费衍射场。 我们采取 逐代繁衍 眼光看待自相似结构， 从而通过 位移－相移定理 和 缩放定理 而导出 ? 场。按逐代繁衍的观 点，自相似分形结构产生的 ? 场的普遍表达式，可以构成为 ))]} ~ ( ~ ( ~ [ ~ { ~ ),( ~ 021 L+∑+∑+∑+∑+= jklm m jkl l jk k j j UUUUUU θθ . 这里， 0 ~ U 表示位于中心那个母代产生的 ? 场， j U ~ ∑ ， jk U ~ ∑∑ ， jkl U ~ ∑∑∑ 分别表示第 1 代、第 2 代和第 3 代的 ? 场。为了简化下 角标，上式也可以改写为 L+∑+∑+∑+∑+= )4()3()2()1( 021 ~~~~~ ),( ~ M M L L K K J J UUUUUU θθ 其中， MLKJ ,,, 取值从1分别至第1代、第2代、第3代和第4 代的单元总数。 5.37 ? 康托尔条幅的衍射场（参见书 P. 259-261） 5.38 ? 康托尔地毯的衍射场（参见书 P. 261-262） 5.39 ? 谢尔宾斯基垫片的衍射场 5.40 5.8 Talbot 效应 ? 实验现象——光栅自成像 λ 2 2d mZ m = ， K,2,1,0=m 引起人们很大兴趣， 相继出现了几种理论阐述， 现代 重新引起人们的重视，应用于“ 频谱 分析 ” &“ 光学信息处理 ” 。 数据： 设 .3050nm600 md μλλ ==，～ 有 .330502 1 mmmz =××= μ 5.41 ? 历史回顾 1836 年， Fox Talbot 发现光栅后场的纵向周期性。 此后 100 多年中，提出各种理论解释。 1961 年，伦敦， “光学仪器国际会议” ，提出—— Talbot 效应频谱仪。 1971 年， <Optics Communications>，发表—— Talbot Interferometer。 1979 年，权威著述《光学全息手册》 ，一节专论： §18. 周期物体的 Fresnel 衍射—— Talbot 效应 （译本 科学出版社， 1988） ? 理论意义——对波动性认识的一种新境界， 一 个在 横向 具有周期性的波前，向前传播，竟会 在 纵向 出现周期性——自重复现象。 三维波动空间中， 其二维横向与一维纵向之间的 这等微妙关系 由 Talbot 效应生动地显示出来。 5.42 ? 理论说明——拟采取“衍射平面波”理论 （ 1） 光栅衍射出现若干主极强，表明 光栅后场 充满若干列衍射平面波： （2） 考察这些平面波在纵向 0≠z 区域的叠加。 考虑到平面波传播时其振幅维持不变，故只 须分析它们之间的相位关系 —— 看看是否在 0≠z 区域中， 可能出现与 0=z 处，有相同的相位 关系。 —— 如是，则出现“自重复现象” 。 5.43 （3） 在 ）（xoy 面上，选 O 点： o U ~ 波， φ o ； 1 ~ U 波， φ 1 ；相位关系（ φ o － φ 1 ） . 在）（yox ′ 面上，等高点为 o′： o U ~ 波， φ ’ o ； 1 ~ U 波， φ ’ 1 ；相位关系（ φ ’ o － φ ’ 1 ） . 据平面波函数标准形式（ 0= y k ） )cos(sin )( ~ zxik AerU ?+? = θθ r ， 知 相位滞后量 φ ’ o ＝ φ o kz＋， φ ’ 1 ＝ φ 1 θcoskz+ ， 于是 (φ ’ o － φ ’ 1 )＝ (φ o — φ 1 ) )cos1( θ?kz＋ ， 为满足“自重复” ，应当要求 πθ 2)cos1( ?=? mkz ， K,2,1,0 ++=m 即 θ λ cos1? = mz m ！ 5.44 （ 4）应用于一维光栅：若干离散平面波成分的衍射角为 d k k λ θ =sin ， ),0(=k 1± , L，2± 2 sin11 k km mZ θ λ ?? = 、， 考虑傍轴小角近似， 22 )( 2 1 1 2 1 1cos d k kk λ θθ ?≈?≈ ， 最后得 λ 2 2 2 k d mZ km ≈ 、 . 离散效应 walk-off. （ 5） “离散表” ? 1±=K , λ 2 2d mZ m ≈ , 即 λ 2 1 2d Z ≈ ， λ 2 2 4d Z ≈ ， λ 2 3 6d Z ≈ ； ? 2±=K ， λ2 2 d mZ m ≈ ，即 λ2 2 1 d Z ≈′ ， λ 2 2 d Z ≈′ ， λ 2 3 2 3 d Z ?≈′ ， λ 2 4 2d Z ≈′ ！ 可见，在 λ 2 1 2d Z = 处，有 2,1,0 ±±=K 等 5 列平面波“叠加自 重复” （够好的了） 。 代入 ， 5.45 5． 9 超短光脉冲 锁模 ?多光束干涉导致空域尖脉冲 ?从空域尖脉冲到时域超短脉冲 ?激光锁模技术 ?例题——估算激光超短脉冲宽度 ? 多光束干涉导致空域尖脉冲 ? 从空域尖脉冲到时域超短脉冲 可见，它们依次频差为一常数 P ， 其合成振动为： ∑ = ?+= N i tPiatu 1 0 ))1(cos()( ω tP N t P t P N a ? ? ? ? ? ? ? +? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 2 )1( cos 2 sin 2 sin 0 ω . Nd k λ θ ∝? 5.46 ▲揭示“多元干涉”的微观机制。 “叠加” ， 说到底是 “振动的叠加” ——同时性： ∑ = += N i ii tatu 1 )cos()( δω ＝ )(δA +tωcos( φ ） . 当 0 aa i = ， 等振幅，光栅衍射就是如此。 且 δδ )1( ?= i i ， 相位逐个依次延迟。 0， δ ， δ2 ， δ)1( ?NK . 有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 2 sin 2 sin )( 0 δ δ δ N aA . ＃ 矢量解法，或复数解法，均获此结果 于是， （ 1） 当 kπδ 2＝时，有极大， 0 NaA Max = ； （ 2） 当 ) 1 (2 N k += πδ 时，有邻近极小， 0 min =A ； （ 3） 峰值半角宽度为 N π δ 2 ＝? ， N ， δ? ， 单元越多，脉冲越锐。 5.47 ▲当相位差 δ 是 空域 中的变量，则出现 空间脉冲 。 例如，衍射光栅就是如此， θθδ sin)( ?= kd ， ))1(,2,,0( δδδ ?NK 于是 出现了本文开头部分的那些结果。 ▲当相位差 δ 是 时域 中的变量，则出现 时间脉冲 。 例如，设想 Ptt =)(δ ， ))1(,2,,0( δδδ ?NK 则 当 P K t k π2= 时，出现脉冲峰值 Max， 当 P N K t k 1 2 + =′ π 时，出现邻近极小 min， 即 脉冲宽度 NP t π2 =? ， 脉冲间隔 P π τ 2 = ? 如何实现 Ptt =)(δ ？ 岂看 ∑ = ?+= N i Ptitatu 1 0 ))1(cos()( ω cos 0 a ω t cos 0 a )( P+ω t cos 0 a )2( P+ω t M cos 0 a ))1(( PN ?+ω t +? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = t t P t P N a ωcos( 2 sin 2 sin 0 φ ． ))(t . 5.48 ▲以电子信息科学的语言描述之。 ω ——本机频率，或本底频率， P ——差频，相邻频率之差。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t P t P N 2 sin 2 sin ——调幅因子， 这是一个 脉冲型 的调 制因子。 总之， 一系列频差依次为一常 数的不同频率的振动之 合成，将出现周期性的 脉冲信号。其脉冲时刻 )( k t ， 脉冲宽度 )( t? 和脉冲间隔 )(τ ， 如上所述。 写成反比形式， π2)( =?? NPt ， πτ 2=?P ▲完整的表达式是（信号全貌） ： 注意到 φ t P Nt 2 )1()( ?= ， 有 )(tu ? ? ? ? ? ? ? +? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = tP N t P t P N a ) 2 1 (cos 2 sin 2 sin 0 ω 其中， ) 2 1 ( P N ? +ω 相当为频率序列的平均频率。 对讯号接收来说，它并不重要。 5.49 ? 到哪里能找到如此“频率序列” ？ （ 1） F-P 腔可以输出一系列纵模， 其纵模频率间隔为一个常数， L c KK 2 1 =?? + ννν＝ ， 即 L c 2 22 πνπωγ =?=?= . （ 3） 但是，这一系列纵模振荡选自谱线的自发展宽，其相位 是随机的，故不同纵模之间的 相位差也是随机的，彼此之间 不能产生持续的相干作用。它 们的叠加结果不能输出上述那 种规则的超短脉冲，而是一系列不规则的宽且矮的杂乱脉冲。 怎么办 ？ （ 4） 采取 锁模技术 （ Laser mode-locking） ,旨在不同纵模振荡 之间实现“相位锁定” 。 具体措施之一，是在腔内置入适当 的损耗调制元件，如声光调制 元件或电光调制元件， 使 调制频率 ν′恰巧等于纵模间隔 ν? 。 于是，经调制后的纵模 K ν 振荡便派生出两个侧频 )( νν ?+ K 与 )( νν ?? K 。正好落在两侧相邻纵模 1+K ν ， 1?K ν 上。这意味着， 通过如此调制后的这一系列纵模之 间发生能量耦合，并进而形成 同步振荡或相位锁定，基本上满足了上述理论要求。 最终导致输 出激光为超短脉冲。 5.50 （ 4） 调制的数学描写： 单一纵模 ) ~ cos( ?ω +ta K ) ~ cos()cos( ?ωω +?′+ ttba K cos(a= K ω +t ? ~ cos(( 2 ) b + ωω ′+ K +t) ? ~ cos(( 2 ) b + ωω ′? K +t) ? ~ ) . 虽然其中每一成分含随机量 ? ~ ，这三种成分 的相位关系却是有序的，非随机的。 （ 5） 数字例题。 设激光器腔长 mL 1≈ ，中心波长 nm600≈λ ， 经锁模技术，激光输出的超短脉冲： 差频 MHz L C P 1502 2 2 ×== ππ ，～ 3 102 ? ×≈?λ ?. 脉冲间隔 nss P 7107 2 9 =×≈= ? π τ . 脉冲宽度 s N NP t 11 10 700 2 ? ≈===? τ τ π ， 这里，设增益宽度中含 700 个纵模， 这相当于增益带宽～ ? 量级。 5.51 5.52