8.1 第 8 章 光在晶体中的传播 8.1 晶体双折射 ? 晶体简介 ? 双折射现象 ? 单轴晶体中 o 光、 e 光波面 ? 晶体中的惠更斯作图法 ? 两个重要情形 ? 小结 birefringence, ordinary light, extraordinary light, uniaxial crystal, biaxial crystal, principal section of crystal, principal plane of crystal. 8.2 ? 晶体简介 外形有一定规则性或对称性， 内部 原子排列 有序、周期性， 规则有序结构 导致 物理性质的各向异性 ——热传导的各向异性， 电导、极化、磁化的各向异性， 光速的各向异性。 光在晶体中的传播 —— 光在各向异性介质中的传播。 *《固体物理》 、<晶格几何理论> 表明： 7 种晶系 —— 14 种晶格、32 种点群 ， ? 单轴晶体：三角晶系，四角晶系，六角晶系， 如 冰洲石 CaCO 3 —— 方解石之一种， 红宝石、石英、 K ? 双轴晶体：单斜晶系，三斜晶系，正交晶系， 如 蓝宝石、云母、 K ? 立方晶系——各向同性介质， 如 食盐 NaCl 晶粒。 8.3 ? 双折射现象 其自然解理面为平行六面体 图 8-1 图 8-2 冰洲石双折射现象的图片 8.4 * 光轴 单轴晶体，存在一个特殊方向 —— 光轴 ， 光沿光轴方向传播不发生双折射。 冰洲石 光轴方向 —— 平行于两个钝棱角的 对角线方向。 （ 102 0 ， 102 0 ， 102 0 ） ? o 光波面与 e 光波面 —— 惠更斯模型 。 体内一点源， 沿任意方向 r r 考察波 传播行为，应分别 o 振动、 e 振动而论。 o 振动， 光矢量 )(tE o r ⊥主平面 ）（rZ r r , ； e 振动，光矢量 )(tE e r ‖主平面 ）（rZ r r , 。 图 8-3 图 8-4 8.5 冰洲石（负晶体） 石英（正晶体） oe vv ≥)(ξ ， oe vv ≤)(ξ . 或 oe nn ≤)(ξ ， oe nn ≥)(ξ . ( v c n = ) (1) o 振动传播规律 —— 各向同性，o 光波面 ∑ o t)( 为球面， (2) e 振动传播规律 —— 各向异性，e 光波面 ∑ e t)( 为旋转椭球面， 转轴为光轴；两套波面相切于光轴方向。 图 8-5 8.6 * 主折射率 o n 与 e n ， 对于 e 光， 冰洲石 石英 oe nn =)0( ， 1.65836 1.54425 ee nn =) 2 ( π 1.48641 1.55336 ～ 10％， ～ 5‰， 对于 负晶体 eeo nnn ≥≥ )(ξ ， 对于 正晶体 eeo nnn ≤≤ )(ξ . 如何 由主折射率 ),( eo nn 导出 )(ξ e n ， 留待下节。 其实，主折射率有 3 个 ）（ zyx nnn ,, ， 对于单轴 eyx nnn == ， oz nn = . 8.7 如何由主折射率 o n 、 e n ，导出 e 光沿任意 方向 )(ξ e n 函数，正是下一节——单轴晶体的一 组光学公式，要解决的问题。 * 深化认识 晶体光学的 各向异性 表观认识： o n ， )(ξ e n ， e n 或 o v ， )(ξ e v ， e v )( )( ξ ξ e e n c v = . 进一步认识：着眼于横振动 o E r 、 e E r 的方向 —— 与光轴 Z r 的取向不同， 因而有不同的传 播速度 —— 更深入地反映了光波与晶体 的相互作用；传播速度的各向异性反映了这 种相互作用的各向异性。 8.8 ? 晶体中的惠更斯作图法. 微观上的次波面，它们的包络面 ——宏观波面。 这里是 主截面 ）（ s NZ rr , 与入射面 ),( 1 s Nr r r 重合， 于是 主平面 ),( o rZ r r 或 ),( e rZ r r 与前者均重合。 否则 人手工描绘困难；电脑绘制也许可为。 图 8-6 8.9 图 8-7 8.10 * 甚至，可能出现 总之， （1） o 光满足通常的折射定律（ Snell 形式） ， e 光的折射方向不具有 Snell 定律的形式。 （2）o 光线与其波面 o ∑ 正交，而 e 光 线 e r r 与其波面不正交，或者说，一般 情形下， e 光波的射线方向与其波 面法线方向并不一致。 * 例外的一种情况： （光轴 ⊥入射面） ，即 主截面 ⊥入射面. 有 0011 sinsin inin = ， 且 ee inin sinsin 11 = 成立. 图 8-8 图 8-9 8.11 ? 两个重要情形 —— 皆为厚度均匀晶片 (1) 光轴平行表面、光束正入射 ， 可见，o 光、e 光出射方向一致，表观上无 双折射，却内涵双折射，两者在体 内传播的光程不等 0 0 ≠?）（dndn e . 这将被应用于 产生或检验 圆偏光、 椭圆偏光。 (2) 光轴任意、光束正入射 ， 可见，体内 e ∑ 面法线方向 e N r 与射线方向 e r r 不一 致，两者分离角 α ；而 e ∑ 面依然 ‖ 晶片表面， 不论光轴如何取向——这有明显的实用意义。 图 8-10 晶片厚度均匀、光轴平行 表面且光束正入射情形 图 8-11 8.12 注意 (1)射线 e r r 方向 即是 能流方向， 扰动传播方向， 相位传播方向。 (2)波面 e ∑ 法线 e N r 方向 在这里 仅具有几何意义。 图 8-12 8.13 ? 小结 综上所述，对应于单轴晶体表面的一个入 射点，计有 6 个方向、4 个面和 3 个角 ，值 得人们注意，参见图 8.8： 6 个方向：入射光线方向 1 r r ，表面法线方向 s N r ，晶体光轴方向 z r ，体内 o 光 射线方向 o r r ，体内 e 光射线方向 e r r ， 体内 e 光波面 e ∑ 法线方向 e N r ； 4 个面： 入射面 ),( 1 s Nr r r ， 晶体主截面 ),( zN s r r ， o 光主平面 ),( zr o rr ，e 光主平面 ),( zr e rr ； 3 个角： e r r 与光轴 z r 之夹角 ξ ， e N r 与光轴 z r 之夹角 θ ， e r r 与 e N r 之夹角 α . 图 8-13 8.14 8.2 单轴晶体光学公式 双轴晶体 ? 射线速度 r v r 和波法向速度 N v r ? 速度各向异性公式 ? 速度倒数面 —— 折射率椭球面 ? 来自电磁理论的补充内容 ? 双轴晶体简介 ? 例题4 —— 求斜入射光轴时e光折射角 8.15 ? r v r 、 N v r 定义与意义 考察波面 )(t e ∑ —— 随时间在空间的推移。 出发点 —— 惠更斯模型。 )(t e ∑ 为旋转椭球面，其主（轴）速度为 ),,(),,( oeezyx vvvvvv = ， 即 )(xz 面内，椭圆方程 1 2 2 2 2 =+ b z a x . 其中 tva e = ， tvb o = . 提取“速度”概念， )()( ttt ee ?+∑→∑ . (1)射线速度 dt rd v r r r ≡ ， 具有物理意义。 (2)法线速度 dt rd v N N r r ≡ , 具有几何意义。 图 8-14 8.16 * r v r 与 N v r 之关系 对场点 P 而言， αcos)()( ?= pvpv rN ， )( θξα ?= . ξθ tantan 2 2 o e n n = . 可见， （1） rN vv ≤ ， （2） ξ 从0 0 2 π ， 有 θ 0 0 2 π ， α 0 0 0 0 . 其间出现极大值 M α —— 最大分离角， 当 0 0 tan n n e =θ 时，出现 M α ，满足 eo eo M nn nn 2 tan 22 ? =α . 数字例题， 钠黄光，冰洲石. 65836.1= o n , 48641.1= e n , 有 0 0 42≈θ ， （41.87 0 ） 0 7≈ M α ， （6.95 0 ） 8.17 * 导出 θ — ξ 关系（备考） ： 1 2 2 2 2 =+ b z a x ， 02 1 2 1 22 =+ zdz b xdx a ， 于是，切线斜率： z x a b dx dz ??= 2 2 t n c tva e e == ξtan 2 2 ??= o e n n ， t n c tvb o o == 而其法线斜率，若以 θ 角表示，当为 dx dz ?=θtan ξtan 2 2 o e n n = . 证毕. 8.18 ? 速度各向异性 )(ξ r v 公式 由 222 zxr += ，以改写波面椭圆方程为 极坐标形式， ξξ ξ 2222 22 2 sincos )( ba ba r + = 2 2222 22 sincos t vv vv oe eo ? + = ξξ ， 于是，射线速度各向异性公式为 ξξ ξ ξ 2222 22 2 2 sincos )( )( oe eo r vv vv t r v + = ? ? ? ? ? ? = . 它符合椭圆方程。 速度各向异性 )(θ N v 公式 据 )(cos)()( 222 θξξθ ??= rN vv ξθ tantan 2 2 o e n n = ， 可以导出 θθθ 22222 sincos)( eoN vvv += . 它不符合椭圆方程。 8.19 * 导出 )(θ N v 公式（备考） 应用 αξθ cos)()( ?= rN vv 关系式，且 θξα ?= ， 有 )(cos cossin 1)( 2 2222 2 θξ ξξ θ ? + = ? ? ? ? ? ? oe N nnc v ， 再应用 θξ cotcot 2 2 o e n n = 关系式 ( ) 2 2 sinsincoscos)(cos θξθξθξ +=? ， 转化为 θ θθθ 2 2 4 2 2 2 2 2 cot sincoscot o e e o e N n n n n n c v + ? ? ? ? ? ? ? ? +? = ? ? ? ? ? ? θθ θθ 2 2 4 22 2 22 2 2 cossin sincos o e e o e n n n n n + ? ? ? ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? + = 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 cossin sincos oe e eo e nn n nn n θθ θθ ? ? ? ? ? ? ? ? += 2 2 2 2 sincos eo nn θθ . 证毕。 8.20 * 速度面 人们 为了形象地反映 )(ξ r v 、 )(θ N v 各向异性， 在 三维空间中 画出速度面 —— 2 个自由度用以标定方向， 1 个自由度反映速度数值。 正确理解 N v 面包围 r v 面， 勿误为 rN vv ≥ ， 依旧 rN vv ≤ . 射线速度面 法线速度面 N v r 面 r v r 面 图 8-15 8.21 * 值得注意 (1)在概念上应将 )(ξ r v 面、 )(θ N v 面与波面 )(t e ∑ 区别开来——前者冻结于空间，而后 者随时间在空间推移。 (2)法线面称为卵形面或双叶面。它不一定出 现“凹陷” 。具体界限为 负晶体 2> e o n n ，在 z 轴出现 dip ； 正晶体 2> o e n n ，在 x轴出现 dip . 对此 具体证明（备考） ： 虚设一个速度函数 θ θ cos )( o v v = 作为参考，它是“平头”的。 考察 ( ))()( 22 θθ vv N ? 在 1<<<θ 条件下 θ θθ 2 2 2222 cos sincos o eo v vv ?+= () θ θθθ 2 22242 cos cossin1cos eo vv +? = θ θθθθ 2 222422 cos cossin)sinsin2( eo vv ++? = ( ) 222 2 θ oe vv ?≈ . ( 1<<<θ . 微分量). 0> . 凹； 2> . 凹； 当 ( ) 22 2 oe vv ? 0= . 平；即 e o n n 2= . 平； 0< . 凸. 2< . 凸. 图 8-16 8.22 ? 速度面的倒数面 即是 折射率面。 射线折射率 法线折射率 r r v c n ≡ ， N N v c n ≡ (1) 由 )( 2 ξ r v 公式 得 ξξξ 22222 sincos)( eor nnn += ， 它倒变成卵形了。 这里 o o v c n = ， e e v c n = . (2) 由 )( 2 θ N v 公式 得 θθ θ 2222 22 2 sincos )( oe eo N nn nn n + = ， 它倒符合椭圆了。 负晶体 在三维空间中，法线折射率面便是 一个旋转椭球面。 不过，通常“转 90 0 ”画出。 图 8-17 8.23 4．来自晶体光学的电磁理论的某些结论 (1)各向异性介质中， D r ?E r ， 晶体主轴方向 )(XYZ ，有 xxx ED ε= ， yyy ED ε= ， zzz ED ε= . 或 x D x ε 0 0 x E y D ＝ 0 y ε 0 y E z D 0 0 z ε z E (3) 能流密度矢量 )( HES rrr ×= ‖ r r ， 而 )( HD rr × ‖ N r ， ),,,( rNED r rrr 共面 ),,( rNZ r rr 共面 图 8-18 8.24 * 法线折射率椭球面的实际画法， 与 N r 正交方向 表明 D r 方向；长 度取 )(θ N n 数值。 这样，便赋予该图更丰富的物理内容。 在三维空间中，折射率 )(θ N n 椭球面方程为 1 2 2 2 2 2 2 =++ eoo n z n y n x ， （单轴晶体） * 一般折射率椭球及其应用 1 2 2 2 2 2 2 =++ zyx n z n y n x D r ‖ ‖ 主平面 D r ⊥ ⊥主平面 ⊥ D 图 8-19 图 8-20 8.25 ? 双轴晶体简介（ 详见书 P . 390-392） ? 例题 4 —— 求斜入射、斜光轴时 e 光折射角 （ 详见书 P . 392－393 ） 图 8-21 图 8-22 图 8-23 8.26 8.3 晶体光学器件 ? 晶体棱镜 ? 波晶片 ? 波晶片的选材 ? 例题——剥离云母片的合适厚度 ? 晶体补偿器 ? 晶体棱镜 一般由两块按一定方式切割下来的 晶体三 棱镜 组合而成； 从空间上 分离 o 光、 e光； 利用 其中一束光 用于起偏或检偏。 (1) 尼科耳棱镜 （ Nicol prism） 改进型 黏合剂为加拿大树胶 55.1≈ B n o 光满足全反射，即 o B co n n ii 1 sin ? =≥ o e n n 1 sin ? = （钠黄光） ? ? ? ? ? ? = ? 65836.1 55.1 sin 1 0 69≈ 图 8-24 8.27 (2) 渥拉斯顿棱镜（ Wollaston prism ） 冰洲石（ eo nn > ） 在第一个棱镜 在第二个棱镜 ? 振动 o n e n (密 疏) 振动 e n o n (疏 密) 一道习题 0 15＝α ， 65836.1= o n ， 48641.1= e n , 算得 ),( 21 rr rr 夹角 815 0 ′ ≈?θ 注意 o 振动与 e 振动的命名仅在晶体中才有 意义。一旦离开晶体，进入各向同性介 质，就无所谓了。 —— 两束光 该分就分 该合就合。 图 8-25 8.28 ? 波晶片 (1) 一般描述 切割方式：厚度均匀，光轴平行界面。 使用条件：平行光正入射。 实际应用：旨在改变两个正交光扰动之间的相 位差 —— 光学相移器 (2) 说明： 相位变化 o 振动 dnAB ooo λ π ?? 2 )()( ?= . e 振动 dnAB eee λ π ?? 2 )()( ?= . 于是，出射点相位差 []dnnAABB oeeoeo )( 2 )()()()( ?+?=? λ π ???? 即 δδδ λ ′+＝ 出 ， 其中，体内附加相位差 dnn oe )( 2 ?=′ λ π δ 注意 约定 eo ??δ ?= ， xy ?? ? . 且 按物理上直接判定 ±号 —— 沿传播方向，相位逐点落后 。 图 8-26 波晶片 8.29 (3)几种常用的波晶片 4 λ 片、 2 λ 片、 λ片 (3.1)当 2 π δ ?=′ 、 π 2 3 ? 、 π 2 5 ? 、 K 负晶体如 此， 或 2 π += 、 2 3π + 、 2 5π + 、 K 正晶体如此， 写成 2 )12( π δ +±=′ k ， K,2,1,0=k 即 4 )12( λ +±=?? kdn ， “ 4 π 片” 总之，对于 4 π 片，其有效附加相位差为 2 π δ ±=′ eff ， 这里 ±号，并不对应“正负”晶体。 (3.2)当 2 )12( λ +±=?? kdn 时， “ 2 λ 片” 有 πδ )12( +±=′ k ， K,2,1,0=k 总之，对于 2 λ 片， πδ =′ eff . 8.30 (3.3)λ 片（全波片） ，其厚度满足 λkdn ±=?? ， K,3,2,1=k 即 πδ k2±= ′ ， 于是 0= ′ eff δ * 说明 4 π 片， 2 λ 片 用于产生圆偏光、椭圆偏光，或者用于改变光 的偏振结构， 或者用作偏振系统中的鉴测元件。 而 λ片，具有理论分析意义。 ? 晶体补偿器 —— 可调相位延迟器 图 8-27 8.31 8.4 圆偏振光、椭圆偏振光的产生和检验 ? 通过波晶片后的偏振态分析 ? 圆偏振光的产生 ? 区分圆偏振光与自然光 ? 椭圆偏振光的产生 ? 区分椭圆偏振光与部分偏振光 ? 回顾 & 复习 (1) 五种宏观偏振态，分三组 线偏光；自然光&圆偏光； 部分偏振光&椭圆偏光 (2) 两个正交振动的合成 )()()( tEtEtE yx rrr =+ tAtE xx ωcos)( = )cos()( δω += tAtE yy 合成矢量端点的轨迹方程为 δ 2 2 2 2 2 sin2 =?+ yx yx y y x x AA EE A E A E 其长短轴方位与数值为 δ2cos2 2 1 )( 2 1 222 yxyxyxMax IIIIIIA ++++= , δ2cos2 2 1 )( 2 1 222 yxyxyxMin IIIIIIA ++?+= , δθ cos 2 2tan 22 0 yx yx AA AA ? = ( yxmM IIII +=+ ,显然成立 ) 图 8-28 8.32 (3) 相位差 δ 决定椭圆形态 不过， 当振幅之一为 0 值， 0= x A ，或 0= y A ， 则相位差 δ 因素不起作用。 图 8-29 8.33 ? 通过波晶片后的偏振态分析 oeoeoe AB δδδ ′ += )()( 而 dnn oe o oe )( 2 ?= ′ λ π δ 图 8-30 图 8-31 8.34 *两个正交偏振片之间，波晶片取向的 两个特例 ： (1)晶片光轴 ‖ 1 P r （透振方向） ，最终依然消光； (2)晶片光轴 ⊥ 1 P r （透振方向） ，最终依然消光。 实验： )( 2 0 e dn ?? λ π δ ?=???′＝ 当 1 P r ⊥ 2 P r ，正交， 且无波晶片。 尔后，插入 波晶片 一般 不消光； 旋转 波晶片 一周内 出现四次消光。 推断 ，依然消光时， 只有(1) e r ‖ 1 P r 或 (2) e r ⊥ 1 P r ， 两种可能。 解决了： 实际上元件不标明 e r 方向、 P r 方向， 人们却能确定两者的相对空间取向。 图 8-32 图 8-33 8.35 ? 圆偏振光的产生 基于此，再旋转波片 4 π 角度（顺时针或逆时 针） ，可获得 oe AA = ，等振幅； 只要再初选用 4 π 片插入，以获得 2 π δ ±=′ ，两 者合成 )()( tEtE oe rr + ，便成为一个 圆偏振光 * 若选用 4 π 片，而避开“ 4 π 转角” ，便可产生 一个 正椭圆偏振光 相对于 ),( eo rv 坐标架。 * 圆偏振光发生器 图 8-34 8.36 ? 如何区分 自然光与圆偏振光 ？ 要借助 一个偏振片、一个 4 π 波晶片 插入 4 π 片 后 ， 转 P，有消光现象。 插入 4 π 片后，转 P， 依然 “等强度” 。 说明( b)：入射态( A) 出射态( B) 线偏振集合 微观上 椭圆光集合 属于同一宏观态 自然光 图 8-35 图 8-36 图 8-37 8.37 ? 如何区分 部分偏振光与椭圆偏振光 ？ （ 详见书 ? P 402－403 ） 需要借助 两个偏振片 和 一个 4 π 片 。 该实验方法之关键： 如何使入射的椭圆偏振光成为一个正椭圆 偏振光（在波晶片的 ),( oe rr 坐标架看来） 。 8.38 8.5 偏振光干涉 ?偏振光干涉装置和现象 ?偏振光干涉概念和方法 ?例题 1——计算偏振光干涉系统输出光强 ?显色偏振和偏振滤光器 ?例题 2 ——利奥滤光器晶片厚度的选择 ?偏振光干涉条纹——楔形晶片 ?光测弹性 ?会聚偏振光干涉 ? 基本装置 典型现象 (1) 转动 2 P ，一般情形， 2 I 随之变化。 (2) 白光入射， 出现色彩； 2 P 转动， 色彩变化， (3) 非均匀的各向异性样品置于其间， 则出现 干涉花样、彩色图样、图样色变。 两组问题 可见，难点分明。 我们 正是选择 偏振光干涉法 求 2 I . 图 8-38 8.39 ? 偏振光干涉 概念与方法 (1) 扰动 1 A r ‖ 1 P r ，一次分解为 e A r ， o A r ；再一次 分解（投影）为 ),( 22 oe AA rr ‖ 2 P r . (2) 两个扰动满足相干条件： “同方向”条件，由第二个偏振片 2 P 给以保证； “ 稳定的相位关系 ” ，由第一个偏振片 1 P 得以保证，如果自然光入射。 须知，自然光 其两个正交振动是无稳定相位差的。 “同频”——来自同一光源同一谱线。 图 8-39 8.40 (3) 输出光强 2 I ——相干强度 222 2 2 2 2 2 22 cos2 δ oeoe AAAAAI ?++== ， (3.1)振幅关系 βα coscos 12 ?= AA e βα sinsin 12 ?= AA o . 注意： o IIA 2 1 1 2 1 == (3.2)相位差分析 δδδδ ′′+′+= A2 其中 A δ 入射面 A. o 振动与 e 振动 相位差. 若线偏振入射， πδ或0= A ； 若别的偏振态入射， )(具体分析= A δ ； dn??′ λ π δ 2 ＝ ，各向异性 体内附加相位差； δ ′′ 是正交轴 ),( eo rr 向 2 P 方向投影引起的， 它 只有两种可能（取值） 0， eo rr 、投影方向一致； π ， eo rr 、投影方向相反。 =′′δ 8.41 于是 ( ) 2 2222 12 cossinsincoscos2sinsincoscos δβαβαβαβα ?+?+?= II 可见 () 22 ,, δβαI ? 例题 4 π βα == ， 有 () 122 cos1 2 1 II δ+= ， 这有两种情况： 图 8-40 8.42 α 0 θ m I M I y A x A y * 偏振光干涉法被用以确定 斜椭圆的长短轴取向，及其光强 M I 与 m I . tAE xx ωcos= , )cos( δω += tAE yy 已知： x I 、 y I 、 δ ，求： o θ 、 M I 、 m I , 解：用偏振光干涉方法求 )(αI ， 令 α α d dI )( ＝0， 结果 δθ cos 2 2tan 0 yx yx II II ? = δ2cos2 2 1 )( 2 1 22 yxyxyxM IIIIIII ++++= ， δ2cos2 2 1 )( 2 1 22 yxyxyxm IIIIIII ++?+= 具体计算： δαααα cos2sinsincos)( 22 ??++= yxyx IIIII δααα cos2sin)2cos1( 2 1 )2cos1( 2 1 yxyx IIII +?++= αδα 2sincos2cos)( 2 1 )( 2 1 ?+?++= 43421 43421 b yx a yxyx IIIIII )2cos()( 2 1 22 ?α ??+++= baII yx ， a b 1 tan ? =? . 于是，当 2 ? α = 时，有 M I ，上述结果； 22 π ? α ±= 时，有 m I ，上述结果。 x 图 8-41 8.43 上述例题的典型意义 ： 它是分析随后出现的各种偏振光干涉现象的基 础，为理解那些问题提供一个基本的物理图像。 ? 显色偏振（ chromatic polarization） 突出 2 δ 变量， ),,( 22 δβαI ， 其中， δδδδ ′′+′+= A2 ， 其中， dn??=′ λ π δ 2 几何厚度 d （与波长无关） 折射率之差 )( oe nnn ?=? ，随波长变化甚 小，忽略这一影响。 于是 λ δ 1 ∝′ . (说到底，是相位差决定干涉项) 白光入射： 转动 1 P ⊥ 2 P 1 P‖ 2 P 紫 nm400=λ 若 πδ 2=′ ～λ片 紫消 紫强 黄 nm600=λ 有 3 4π δ =′ ～ 3 2λ 片 黄中 ＋ 黄中 － 红 nm800=λ 有 πδ =′ ～ 2 λ 片 红强 红消 色调变化 8.44 * 偏振滤光器 —— 利奥滤色器（ Lyot filter） [ ] 76622111 pcpcpcpA ??????→ K 2 cos 2 cos 2 cos 621 17 δδδ K?=→ AA 1 5 2 4 3 3 4 2 56 22222 δδδδδδ ===== , 111 2 1 2 β λ πδ =?= nd , λ πβ 1 11 nd ?= . 这输出光振幅 7 A 之连乘积可并和为 β β sin sin1 17 N N AA ?= ， 6 2=N . 于是，在谱空间——以波数 λ 1 为横坐标，显现 若干离散的尖脉冲—— 选频效应 。 图 8-42 8.45 ? 偏振光干涉条纹 产生于 既“各向异性”又“非均匀”情形， —— ( )),( 22 yxI δ 楔形晶片 水晶 且 转动 2 P ⊥ 1 P 2 P ‖ 1 P （ eo nn < ） 有 亮纹 暗纹 暗纹 亮纹 理解：楔形 厚度连续变化 )(xd ， 于是 )( 2 )( xdnx ???=′ λ π δ 这相当于有些厚度 ～ 4 λ 片， ～ 2 λ 片， ～λ片， K 条纹间距 x? 满足 πδ 2= ′? 即 π λ π 2)( 2 =???? xdn ， 又， 几何关系 xd ??=? α ， 得 n x ? =? α λ ， 测量 x? ， 定出 n? . 图 8-43 8.46 ? 进一步理解： 如果，无 2 P ，则无条纹。 在楔形晶片 偏振片 2 P 之空间中 出现什么场景（光场）？ 存在 两束平行光， 不同传播方向， θ? 小角； 不同线偏振方向，几乎正交； 故非相干，如果没有 2 P . 有偏振片 2 P ，实现了两束平行光的干涉， 回忆“条纹间距”公式， 21 sinsin θθ λ + =?x ， 小角近似 θ λ ? ≈?x . 目前 αααθθθ )()1()1( oeoeoe nnnn ?=???=?=? ， 即 α λ ?? =? )( oe nn x o e P 1 图 8-44 8.47 ? 光测弹性（ photoelasticity） 用偏振光干涉花样 测试 各向异性的非均匀性 ),( yxn? —— 体现了透明模板内部应力分布 ),(),(),( 2 2 yxIyxdyxn ?′=?? δ λ π 应用工程结构 ? 模型 ? 模拟实验 * 偏振干涉仪 也被用于显示 各向同性介质（样品）的非均匀性： 火焰气流、风洞气流。 * 偏光显微镜 ? 会聚偏振光干涉（ 详见书 ? P 411－413 ） 图 8-45 8.48 8.6 旋光性 ? 旋光现象和规律 ? 旋光晶体中的波面 ? 旋光性的说明 ? 菲涅耳复合棱镜和科纽棱镜 ? 法拉第效应——磁致旋光 ? 磁致旋光的经典解释 ? 旋光性与生物活性 ? 石英的旋光现象 1 P ⊥ 2 P ， 0 2 ≠I ，不消光， 转 2 P ， ψ 角度，却再现消光， 0 2 =I . 这说明：从石英晶片出射的依然是线偏振光， 其偏振面却有了旋转。 图 8-46 图 8-47 8.49 * 实验规律 (1) d∝ψ ， 固体 dαψ = ， 旋光率 α （ mm/度 ） ； 液体 Nd][αψ = ， 糖溶液 “ 量糖术 ” 比旋光率 ][α ( )/( 3 dmcmg ?? ? 度 ). (2) 旋光色散 重量浓度 )( 3 cm g N 2 1 λ α ∝ . (3) 自然旋光性与光的传播方向无关 —— 可逆性， “往返复原” 。 于是 AA EE rr =′ ，照样通过偏振片 P. 图 8-48 图 8-49 图 8-50 8.50 ? 旋光晶体中的波面（ LR ∑∑、） 球坐标架上局部 外波面（快波面） 正交矢 其椭圆偏光的 )( rvu rrr 、、 长轴 ⊥主平面； u r ： 子午面切线方向， 内波面 （慢波面） ， v r ：纬度面切线方向。 其椭圆偏光的 )( ruz rrr 、、 共面 长轴 ‖主平面. —— 主平面. 图 8-51 8.51 ? 旋光性的说明 (1) 对于旋光晶体，沿其光轴方向的两个特征 振动是 左旋、 右旋圆偏振光， )(tE L r 、 )(tE R r ； 于是 入射的线偏振光，应当被分解为 )(tE L r 与 )(tE R r . 即 tEtE ωcos)( rr = )()( tEtE RL rr += ， 2 E EE LR == ， ωωω == LR . 任何时刻 )(tE R r 与 L E r 之夹角的平分线方向， 即为 合矢量 )(tE r 的偏振方向。 图 8-52 8.52 (2) 它俩 在晶体中传播速度各不相同， LR vv ≠ ， 或 L L R R v c n v c n =≠= ， 于是，光程不等， dndn LR ?≠? 相位落后值不同， dnAB RRR λ π ?? 2 )()( ?= ， dnAB LLL λ π ?? 2 )()( ?= (3) 对于圆偏振光 相位滞后 意味着什么？ 这涉及 圆偏振光传播的空间图像。 图 8-53 8.53 总之， 相位落后 角度倒退 (指 同一时刻 圆偏振光的空间图像) (4) 解释了 旋光现象 设 R光为快光， 有 dn LL λ π α 2 = (右转)； dn RR λ π α 2 = (左转)； RL nn > ， 合成结果，电矢量空间转角为 右旋 dnn RLRLR )()( 2 1 ?=?= λ π ααψ ， 反之，左旋 dnn LRLRL )()( 2 1 ?=?= λ π ααψ . 总之， 右(左)旋晶体中，右(左)旋光传播速度快。 图 8-54 8.54 从而， ▲论证了实验结果 d∝ψ ； ▲推断出 旋光率 LR nn ?= λ π α 注意 在旋光晶体内部 —— 处处依然是 线偏振光， 只不过，线偏振方向逐点偏转； 同时，线偏振之间有相位差。对此 仔细理论计算表明（沿 z 方向传播） ， znz o o ??= λ π ?? 2 )( ， )( 2 1 RL nnn += . 8.55 ? 费涅耳复合棱镜 —— 费氏旋光理论的直接证实 左、右旋 石英 棱镜 交替串接 理解（要点） 对于 R棱镜， R旋光为快光， LR nn < ； 对于 L棱镜， L旋光为快光， RL nn ′<′ ； 而旋光异构体，数值上 RL nn =′ ， LR nn =′ ， 于是， R旋光， 从 R L R R nn ′?→? ， 从光疏 光密； 再从 R R L R nn ?→?′ ， 从光密 光疏； 结果， R旋光越来越偏向下方， L旋光（照此分析） 结果， L旋光越来越偏向上方。 图 8-55 8.56 ? 磁致旋光（ Faraday on magneto-optics effect） 首先， 1845 年， 发现 强磁场/玻璃 有这种效应。 实验规律 —— (1)转角 lB?∝Ψ , VBl=Ψ 其中 维尔德常数 V ( cmGs?/度 ) (2)一般为左旋，当 B r ‖ r r ，个别为右旋。 (3)法拉第磁致旋光的“不可逆性” ： 若 r r ‖ B r ，产生左旋， 则 r r ‖ (-B r )，反平行时，便是右旋。 这一性质与自然旋光不同。 图 8-56 表 8.1 8.57 ▲磁光隔离器（应用<3>性质） 若 ba → ，左旋； ab→ ，则 右旋。 于是 来回往返、偏振面偏转角度 1 2ψ=Ψ . 调整 B（高斯数） ， l（螺线管长度） ， 使 0 1 45=ψ ， 则 0 90=Ψ . 与透振方向正交，无法通过 P，起了“ 光学 隔离器 ”的作用。比如，应用于 激光打靶核聚变 —— 多级光放大， 为避免 因介质棒端面反射，引起的后级对前级的反 馈，在系统中间加若干个 法拉第圆筒，使系 统单向畅通放大，以保护用于光放大的晶体 棒（ YAG 钇钕石榴石） 。 图 8-57 8.58 ? 磁致旋光的微观解释 （经典电子论的粗略说明） 在 B r 导致的洛仑兹力 Bvef r r r ×?= )( 作用下，电子 的左旋、右旋角速度将有微小变化， ωωω ?+= L ， ωωω ??= R ， 分别激发左旋、右旋光波（次波） ， 由于色散效应， )(ωn ，有两条色散曲线 )()( ωω RL nn ≠ RL nn < （一般如此） 即 传播速度 RL vv > ， 从而 造成 偏振面旋转 lnn LRL ??=Ψ )( λ π 法拉第效应与塞曼效应 有密切关系。 ? 旋光性与生物活性（详见书 423－424 页） 图 8-58 8.59 8.7 电光效应（ electro-optic effect） ? 克尔效应——平方电光效应 ? 例题——克尔效应的半波电压 ? 泡克耳斯效应——线性电光效应 某些物质 外来电场作用 各向同性 各向异性 或 单轴晶体 双轴晶体 ? Kerr 效应 —— 平方电光效应 图 8-59 8.60 实验上发现 电压 0=U ， 有 0=I ， 液体各向同性。 若 0≠U ， 直流高压， 有 0≠I ， 液体各向异性。 其等效光轴方向 z r ‖ 外 E r ， 且 2 En∝? ， 2 BEn =? . 于是 2 2 BlE λ π δ =′ 引入 Kerr 系数 λ B K = ， 改写 2 2 klEπδ = ′ ， 数值 12 10 ? ≈K （ 2 V m ） ， 例如 cml 5= ， cmd 1= ， VU 4 10= ， 有 πδ 1.0= ′ . 8.61 ? 半波电压 half U 满足 πδ = ′ ， 即 kl d U half 2 ≈ ， 上例 VU half 4 103×≈ 应用于（1）光闸、高速开关， 迟豫时间极短 τ ～10 －9 秒. 0=U 0=I (关) half U M II = (开) （2）电光调制 )(tU )(tE )(tδ′ )(tI 即 输出光强 ( ))(tUI ，根据需要设定 )(tU 。 8.62 ? Pockels 效应 —— 线性电光效应 KDP 晶体 磷酸二氢钾 KH 2 PO 4 ADP 晶体 磷酸二氢铵， 1 P ⊥ 2 P 条件 0=U 时， 0 2 =I ， 仍为单轴晶体， 0≠U 时， 0 2 ≠I ， 变为双轴晶体， 表现为 x E r 、 y E r 光扰动，有不同的传播速度 yx nn ≠ ， yx nnn ?=? ， 实验发现 En∝? （线性，电极倒向， n? 变 ±号） 于是 dn??=′ λ π δ 2 UE ∝∝ 也可被应用于电光调制 ())()cos1( 2 1 212 tEIII E ?→?′?= r δ 图 8-60 8.63 8.8 偏振的矩阵表示 ? 偏振态的矩阵表示——琼斯矢量 ? 偏振器的矩阵表示—— 琼斯矩阵 ? 例题——检验琼斯矩阵 ? 结语 ? 偏振态的矩阵表示 —— 琼斯矢量 光 是一种横波，其光矢量 E r 在横平面上有 两个自由度，相应地有两个正交分量 )(tE x 和 )(tE y ，它俩之间某种确定的振幅关系和相位关 系对应着一种相干的偏振态 P ，它可用一个二 元矩阵表示之， P ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = + )( )( )( δω ω ti y ti x y x eA eA tE tE B A ， 略去公因子 ti e ?ω ，偏振态被简明地表示为 P ? ? ? ? ? ? = δi y x eA A ， 它亦称作琼斯矢量（ Jones vectors） ，其 中 δ 表示 扰动 )(tE y 超前 )(tE x 的相位差。表 8.8 列出若干 典型偏振态的琼斯矢量。 8.64 表 8.2 8.65 ? 偏振器的矩阵表示 —— 琼斯矩阵 凡改变光偏振态的器件统称为偏振器，它 将入射光的偏振态 P 1 改变为出射光的偏振态 P 2 ，即 P 1 ? ? ? ? ? ? = 1 1 B A P 2 ? ? ? ? ? ? = 2 2 B A ， 这一线性变换或操作可通过一个 )22( × 矩阵 J 来完成，即 P 2 j= P 1 ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? 1 1 2221 1211 2 2 B A aa aa B A ， ? ? ? ? ? ? = 2221 1211 aa aa J . 矩阵 J 常称作琼斯矩阵（ Jones matrix） 。此矩阵 方程的展开式为一个二元线性联立方程 1121112 BaAaA += ， 1221212 BaAaB += . 8.66 (1) 线偏振器其透振方向沿 x 轴水平， (2) 线偏振器其透振方向沿 y 轴垂直， (3) 线偏振器其透振方向分别沿 0 45± 方向， (4) 4 λ 波晶片其快轴沿 x 轴水平， (5) 4 λ 波晶片其快轴沿 y 轴垂直， 这里说， 4 λ 波晶片的快轴沿 x 轴，指称 )(tE x 振 动超前 )(tE y 振动 2 π ；若快轴沿 y 轴方向，指称 )(tE y 振动超前 )(tE x 振动 2 π . 8.67 (6) 圆偏振发生器。 在光学技术中，常将线偏振片与 4 λ 晶片叠 在一起而形成一个圆偏振光发生器，只要组装 时保证偏振方向与晶片光轴之夹角为45 0 。 当然， 在使用这圆偏振器时应将其偏振片面对入射 光，这时的出射光必定是圆偏振光，不论入射 光是何种偏振态，现在让我们导出圆偏振器的 琼斯矩阵 R J 和 L J 。设圆偏振器中的偏振片为 0 45 J ，而 4 λ 晶片的快轴在 y 轴方向，即其琼斯 矩阵为 qy J ，则它为右旋圆偏振器，表示为 ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =?= iii JJJ qyR 11 2 1 11 11 2 1 0 01 0 45 . 同理，得左旋圆偏振器的琼斯矩阵为 ? ? ? ? ? ? ?? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =?= iii JJJ qxL 11 2 1 11 11 2 1 0 01 0 45 . 以上两式的结果是按矩阵乘法规则而得来的。 两个矩阵乘法规则是 ? ? ? ? ? ? ++ ++ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )()( )()( 2222122121221121 2212121121121111 2221 1211 2221 1211 babababa babababa bb bb aa aa 8.68 ? 结语 以上例题旨在体现矩阵表示在分析偏振问 题中的运用，它们并未充分表现出偏振矩阵表 示的优越性。如果一偏振光 P 1 先后通过 4 个偏 振器，则出射光的偏振态表示为 P ?= 1234 JJJJ P 1 即通过一次次的矩阵乘积运算而最终求得出射 光的琼斯矢量，这可以由一个合适的计算元件 在电脑中快速完成。这也许是偏振的琼斯矩阵 表示法的一个主要优越性。