机器人运动学
第二章 数学基础 — 齐次坐标和齐次变换
杜志江、纪军红
? 科学园 C1栋机器人研究所
206室
? 86414462-12
? duzj01@hit.edu.cn
? junhong.ji@hit.edu.cn
参考教材
? 付京逊, 机器人学,
? 蔡自兴, 机器人学,
2.1 引言
机器人位置和姿态的描述
? 机器人可以用一个开环关节链来建模
? 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
? 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以
操纵物体
i?
n
o a
? 人们感兴趣的是操作机末端执行
器相对于固定参考坐标数的空间
几何描述，也就是机器人的运动
学问题
? 机器人的运动学即是研究机器人
手臂末端执行器位置和姿态与关
节变量空间之间的关系
动画示例
运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics
HERE!
How do I put my
hand here?
Inverse Kinematics,
Choose these angles!
运动学正问题
运动学逆问题
? 丹纳维特（ Denavit）和哈顿贝格（ Hartenberg）
于 1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人
的运动学问题 — D-H方法
? 具有直观的几何意义
? 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题
? 其数学基础即是齐次变换
2.2 点和面的齐次坐标
2.2.1 点的齐次坐标
? 一般来说,n维空间的齐次坐标表示是一个（ n+1）维空间
实体。有一个特定的投影附加于 n维空间，也可以把它看作
一个附加于每个矢量的特定坐标 — 比例系数。
kcjbiav ???? ???
? ? zy x Tw
w
z
y
x
V ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
式中 i,j,k为 x,y,z 轴上的单位矢量，
a=,b=,c=, w为比例系数
w
x
w
y
w
z
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
w值的不同而不同。在计算机图学中,w
作为通用比例因子，它可取任意正值，但
在机器人的运动分析中，总是取 w=1 。
列矩阵
[例 ]：
kjiV ???? 543 ???
可以表示为：
V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T
或 V=[-12 -16 -20 -4]T
齐次坐标与三维直角坐标的区别
? V点在 ΣOXYZ坐标系中表
示是唯一的（ x,y,z）
? 而在齐次坐标中表示可
以是多值的。不同的表
示方法代表的 V点在空间
位置上不变。
x
y
z
z
z
x
V
图 2 - 2
o
几个特定意义的齐次坐标：
? [0,0,0,n]T— 坐标原点矢量的齐次坐标,n
为任意非零比例系数
? [1 0 0 0]T— 指向无穷远处的 OX轴
? [0 1 0 0]T— 指向无穷远处的 OY轴
? [0 0 1 0]T— 指向无穷远处的 OZ轴
2个常用的公式：
zzyyxx babababa ????
kbabajbabaibaba
bbb
aaa
kji
ba xyyxzxxzyzzy
zyx
zyx
???
)()()( ????????
2.2.2 平面的齐次坐标
? 平面齐次坐标由行矩阵 P=[a b c d ]来表示
? 当点 v=[x y z w]T处于平面 P内时，矩阵乘积 PV=O，或记为
? ? 0?????
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
? dwczbyax
w
z
y
x
dcbaPV
如果定义一个常数 m=,则有：222 cba ??
m
d
m
c
w
z
m
b
w
y
m
a
w
x ???? )()( k
m
cj
m
bi
m
ak
w
zj
w
yi
w
x ?????? ?????=
可以把矢量 解释为某个平面的外法线，此
平面沿着法线方向与坐标原点的距离为。
)( kmcjmbima ??? ??
m
d?
[例 ]：
因此一个平行于 x,y轴, 且在 z轴上的坐标为单位距离的
平面 P可以表示为,或
有,PV=
? ?1100 ??P ? ?2200 ??P
??
?
?
?
?
?
?
v0
v0
v0
点在平面下方
点在平面上
点在平面上方
例如：点 V=[10 20 1 1]T必定处于此平面内, 而点 V=[0 0 2 1]T
处于平 P 的上方点 V=[0 0 0 1]T处于 P平面下方 。 因为：
? ? 0
1
1
20
10
101000 ?
?
?
?
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?
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? ? ? 0 1
1
2
0
0
1100 ??
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? ? ? 0 -1
1
0
0
0
1-100 ??
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与点矢 相仿，平面 也没有意义? ?T0000 ? ?0000
2.2 旋转矩阵及旋转齐次变换
2.2.1 旋转矩阵
设固定参考坐标系直角坐标为 ΣOxyz,动坐标系为 ΣO′uvw，
研究旋转变换情况 。
x
y
z
w
v
u
P
o
( O ' )
图 2 - 3
① 初始位置时，动静坐标系重合,O,O′重合，如图。各轴
对应重合，设 P点是动坐标系 ΣO′uvw中的一点，且固定不变。
则 P点在 ΣO′uvw中可表示为：
wwuvuuu v w kPjPiPP ???
、, 为坐标系 ΣO′uvw的单位矢
量, 则 P点在 Σoxyz中可表示为：
ui vj wk
zzyyxxxyz iPiPiPP ??? ?uvwP xyz
② 当动坐标系 ΣO′uvw绕 O点回转时，求 P点在固定坐标系
Σoxyz中的位置
y
z
x
o
( O ' )
u
v
w
P
Pw
Pv
Pu
图 2 - 4
已知：
P点在 ΣO′uvw中是不变的仍然
成立，由于 ΣO′uvw回转，则：
wwuvuuu v w kPjPiPP ???
)(P wwvvuuxxu v wx kPjPiPiiP ????
)(P wwvvuuyyu v wy kPjPiPjjP ????
)(P wwvvuuzzu v wz kPjPiPjjP ????
用矩阵表示为,
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w
v
wzvzz
wvyy
wxvxx
z
y
x
P
P
P
kkjkik
kjjjij
kijiii
P
P
P ?
?
?
?
y
（ 2-7）
uv wx y z
wzvzz
wvyy
wxvxx
PRp
kkjkik
kjjjij
kijiii
?
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?
?,R y 则旋转矩阵为：定义
?
?
?
反过来：
xyzu v w PRP 1?? RRR d et
*1 ??
T1 RR
Rde t
??
?
因此
是正交矩阵，的行列式，由于为的伴随矩阵，为 RRRR
2.2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式（ 2-7）
?
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11000
0
0
0
1
w
v
u
z
y
x
P
P
P
R
P
P
P
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11000
0
0
0
1
1
z
y
x
w
v
u
P
P
P
R
P
P
P
2.2.3 三个基本旋转矩阵和合成旋转矩阵
三个基本旋转矩阵
),( ?xR
即动坐标系 求 的旋转矩阵, 也就是
求出坐标系 中各轴单位矢量 在固定坐标系
中各轴的投影分量, 很容易得到在重合时, 有：
角，轴转动绕,?? XOvwO?
vwO ?'? wv kji,,? Oxyz?
),( ?xR
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
R
由图 2-5可知,在 y轴上的投影为, 在 z轴上的投影
为,在 y轴上的投影为, 在 z轴上的投影为
，所以有：
vj ?cosyj
?sinzk ?sinyj?wk
?coszk
vj
wk
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
?
wzvzz
wvyy
wxvxx
kkjkik
kjjjij
kijiii
?
?
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? y)R ( x,
x
y
z
o
u
v
w
U '
V '
W '
O '
图 2 - 5
?
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?
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?
?
??
??
??
co m
ii ux
s i n0
s i nc o s0
001
方向余弦阵
同理：
?
?
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?
?
??
??
?
c o s0s i n
010
s i n0c o s
)y,R （
?
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?
100
0c o ss i n
0s i n-c o s
)z,R ??
??
?（
?
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?
?
??
??
???
co ms i n0
s i nc o s0
001
)R ( x,
三个基本旋转矩阵,
x
y
z
o
u
v
w
U '
W '
O '
?
x
y
z
o
u
v
w
U '
W '
O '
v '
?
合成旋转矩阵,
例 1：在动坐标中有一固定点,相对固定参
考坐标系 做如下运动：① R（ x,90° ）；② R(z,
90° )；③ R(y,90° )。求点 在固定参考坐标系 下
的位置。
? ?Tu v wPo 1321' ?
Oxyz?
uvwPo' Oxyz?
解 1：用画图的简单方法
解 2：用分步计算的方法
① R（ x,90° ）
② R（ z,90° ）
③ R（ y,90° ）
?
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1
2
3
1
1
3
2
1
1000
0010
01-00
0001
'P
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1
2
1
3
1
2
3
1
1000
0100
0001
001-0
''P
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1
3
1
2
1
2
1
3
1000
0001-
0010
0100
'''P
（ 2-14）
（ 2-15）
（ 2-16）
上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述
结果。将式（ 2-14）（ 2-15）（ 2-16）联写为如下形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
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11
44
w
v
u
z
y
x
P
P
P
R
P
P
P
R4x4为二者之间的关系矩阵，我们令：
),(),(),RR 44 ??? xRzRy（??
定义 1：
当动坐标系 绕固定坐标系 各坐标轴顺序有限次
转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序 左乘 。
注意,旋转矩阵间不可以交换
uvwO'? Oxyz?
平移齐次变换矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1000
100
010
001
c) b (a T r an sH
c
b
a
注意,平移矩阵间可以交换，
平移和旋转矩阵间不可以交换
z
y
x
o
o′
w′
u ′
v′
a
b
c
2.2.4 相对变换
举例说明：
例 1,动坐标系 ∑0′起始位置与固定参考坐标系 ∑0重合,动坐标系
∑0′做如下运动：① R(Z,90o) ② R（ y,90o） ③ Trans(4,-3,7)
，求合成矩阵
解 1：用画图的方法：
o′
z
y
x
7
4
- 3
o
w ```
u ```
v ```
v ″
u ″
w ″
z
y
x
o
o ( o′ )
x
y
z
u
v
w
z
y
x
u ′
w′
o ( o′ )
v′
解 2：用计算的方法
根据定义 1,我们有：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000
7010
3001
4100
)R( Z,9 0 )90 R( y,7),3,T r an s ( 4T
??
以上均以固定坐标系多轴为变换基准, 因此矩阵左乘 。
如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：
例 2,① 先平移 Trans (4,-3,7)； ② 绕当前 轴转动 90o；
③ 绕当前 轴转动 90o；求合成旋转矩阵 。
v?
w?
（ 2-20）
解 1：用画图的方法
z
y
x
o ( o′ )
v
w
u
z
y
x
o
o′
w′
u ′
v′
o
z
y
x
o′
w ″
v ″
u ″
x
y
z
o
o′
w ```
u ```
v ```
解 2：用计算的方法
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
??
1000
7010
3001
4100
)R ( Z,9 0 )90 R ( y,7),3,T r a n s ( 4T oo
（ 2-21）
式 （ 2-20） 和式 （ 2-21） 无论在形式上, 还是在结果上都是
一致的 。 因此我们有如下的结论：
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有 2种情况：
定义 1,如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋
转或平移, 则依次左乘, 称为绝对变换 。
定义 2,如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或
平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。
结果均为为动坐标系在固定坐标中的位姿 （ 位置 +姿态 ） 。
相对于固定坐标系, 轴。轴相当于轴，轴相对于轴，轴相当于 ZYX wv?
也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换,要达到绕固
定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。
齐次变换矩阵 T 的意义：
? 机器人用到相对变换的
时候比较多
? 例如机械手抓一个杯子，
如右图所示，手爪需要
转动一个角度才抓的牢，
相对于固定坐标系表达
太麻烦，可以直接根据
手爪的坐标系表示
? 但也要知道在 ∑O中的位
姿，就用右乘的概念。
x
y
z
o
H
2.2.5 绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换
? 有时动坐标系 ∑ O′可能绕过原点 O的而分量分别为 rx、
ry,rz的任意单位矢量 r 转动 φ角。
? 研究这种转动的好处是可用 ∑ O′绕某轴 r 的一次转动代
替绕 ∑ O各坐标轴的数次转动
? 为推导此旋转矩阵，可作下述变换：
a,绕 X 轴转 α角，
使 r 轴处于 XZ平面内
a,绕 Y 轴转 -β角，使 r
轴与 OZ轴重合
a,绕 OZ轴转动 φ角
b,绕 Y 轴转 β角
c,绕 X 轴转 -α角
X
Y
Z
r x
r y
r z
A B
C
D
B '
O
α
β
5
1
2
43
r
A '
由上图容易求出：
2
z
2
y
y
rr
rs in
?
??
2
z
2
y
z
rr
rc o s
?
??
x
x r
r
r
r
OCs in ????
2
z
2
y
2
z
2
y rr
r
rr
OB
C'Bco s ??????
由定义 1和定义 2，上述 5次旋转的合成旋转矩阵为：
?
?
?
?
?
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??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??????
c o ss i n0
s i n-c o s0
001
c o s0s i n
010
s i n-0c o s
100
0c o ss i n
0s i n-c o s
c o s0s i n-
010
s i n0c o s
c o ss i n0
s i nc o s0
001
RRRRRR
,x,y,z,y,x,r
（ 2-25）
带入式 （ 2-25），得
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
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?
?
????
????
????
?
??
??
??
????
????
????
?
c o s)c o s(1r
s i nr)c o s(1rr
s i nr)c o s(1rr
s i nr)c o s(1rrs i nr)c o s(1rr
c o s)c o s(1rs i nr)c o s(1rr
s i nr)c o s(1rrc o s)c o s(1r
R
2
z
xzy
yzx
xzyyzx
2
yzyx
zyx
2
x
,r
2.2.6 齐次交换矩阵的几何意义
设 T=,有一个手爪，已知其在 ∑ O的位置，设一个
该坐标系 ∑ O′，已知，,那么 ∑ O′在 ∑ O中的齐次坐
标变换为,如果手爪转了一个角度，
则：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000
3
2
1
twzzz
twyyy
twxxx
??
??
??
? ?111' cbao
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000
100
010
001
T
1
1
1
1 c
b
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000
p
p
p
T
z
yyy
xxx
zzz
y
x
w
w
w
??
??
??
T反映了 ∑ O′在 ∑ O中的位置和姿态, 即表示了该坐标系原点
和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态 。
该矩阵可以由 4个子矩阵组成, 写成如下形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
比例系数透视矩阵
位置矢量旋转矩阵
1131
1333
wf
PR
T
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
zzz
yyy
xxx
w
w
w
??
??
??
33R
为姿态矩阵，表示动坐标系 ∑ O′在固定参考
坐标系 ∑ O中的姿态，即表示 ∑ O′各坐标轴单
位矢量在 ∑ O各轴上的投影
为位置矢量矩阵，代表动坐标系 ∑ O′坐标
原点在固定参考坐标系 ∑ O中的位置Tzyx ppp ][P 13 ??
为透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算，
一般置为 0 ]000[f 31 ??
为比例系数]1[
11 ??w
如果需要求解 ∑ O在 ∑ O′中的位置和姿态，此时的齐次变换矩
阵为,即求逆矩阵：1?T
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
1000
-
-R
-
T
T
T1-
33
T
1
pw
pv
p
??
??
??
）（
）（
）（ ?
kpjpipp zyx ???? ???
kji zyx ???? ???? ???
kvjvivv zyx ???? ???
kwjwiww zyx ???? ???
其中：
这些式子以后经常遇到，
在机器人计算中，所要
求的就是齐次变换矩阵
下
2.2.7 透镜成像的齐次变换
p
p
,
P [ x 1 ]
P P [ x 1 ]
1
()
1
pp
pp
T
T
yz
yz
y p zp zp f
y p zp zp y p f
y p f
zp x p y p f
zp x p y p y p f
y p f y p f y p
y p y p f y p y p f f
xp
xp
y
?
? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
???
?
v
以光心为原点O，光轴与y轴重合，P为物点，
用齐次坐标表示
求 的齐次坐标，即求
根据三角形相似原理：
注意 是负值,是正值，所以实际上为相减关系
又有
设
11
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
11 1 0 0 0 1
y p zp
y p zp
p y p zp
f f f
xp
x p x p
yp
y p y p
Tfzp
zp zp
yp
f
????
??
??
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用矩阵表示：
z
y
P
y p
f
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z p
f
p
z ?
'
P
p
y ?
p
p
,
P [ x 1 ]
P P [ x 1 ]
1
()
1
pp
pp
T
T
yz
yz
y p zp zp f
y p zp zp y p f
y p f
zp x p y p f
zp x p y p y p f
y p f y p f y p
y p y p f y p y p f f
xp
xp
y
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???
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v
以 光 心 为 原 点 O, 光 轴 与 y 轴 重 合, P 为 物 点,
用 齐 次 坐 标 表 示
求 的 齐 次 坐 标, 即 求
根 据 三 角 形 相 似 原 理,
注 意 是 负 值, 是 正 值, 所 以 实 际 上 为 相 减 关 系
又 有
设
11
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
11 1 0 0 0 1
y p zp
y p zp
p y p y p
f f f
xp
x p x p
yp
y p y p
Tfzp
zp zp
yp
f
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??
? ? ? ? ? ???
?
? ? ? ? ? ?? ? ? ???
?? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ???
?? ? ? ? ? ?
????
用 矩 阵 表 示,
? 因此，进行机器人运行学计算时，不能省略透视矩阵，有
摄像头时，透视矩阵为
[0 - 0]，没有摄像头时为 [0 0 0 ] 。
f
1
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1
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f
Tf
f
y
z
y
x
z
y
x
z
y
x
p
p
p
p
p
p
p
p
p
用矩阵表示：
知识点：
? 点和面的齐次坐标和齐次变换
? 三个基本旋转矩阵
? 绝对变换,如果所有的变换都是 相对于固定坐标系 中各坐
标轴旋转或平移, 则依次 左乘, 称为 绝对变换 。
? 相对变换,如果动坐标系 相对于自身坐标系 的当前坐标轴
旋转或平移，则齐次变换为依次 右乘,称为 相对变换 。
? 绕任意轴选转,5步顺序
? 透视变换
习题 1：
∑ O′与 ∑ O初始重合,∑ O′作如下运动：①绕 Z轴转动 30o；
②绕 X轴转动 60o；③绕 Y轴转动 90o。求 T。
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0030c o s30s i n
0030s i n30c o s
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060c o s60s i n0
060s i n60c o s0
0001
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R
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090c o s090s i n
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090s i n090c o s
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R
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1000
002/12/3
02/34/34/1
02/14/34/3
123 RRRT
习题 2：
∑ O′与 ∑ O初始重合,∑ O′作如下运动：①绕 X轴转动 90o；②绕
w轴转动 90o；③绕 Y轴转动 90o。求① T；②改变旋转顺序，如
何旋转才能获得相同的结果。
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1000
090c o s90s i n0
090s i n-09c o s0
0001
R 1 ??
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1000
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0090c o s90s i n
0090s i n90c o s
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R
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R
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1000
0010
0100
0001
213 RRRT
解①：
解 ②,
①绕 Z（ w）轴转动 90o；
②绕 X轴转动 90o；
③绕 Y轴转动 90o。
习题 3：
矢量 在 ∑ O′中表示为, ∑ O′相对于 ∑ O的
奇次变换为：
P? kjip ??? ??????? 2230
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??
1000
1100
20001
10010
T oo
中的矢量在求此时
，轴转动的绕②轴转的①绕当
中的矢量在求
的位置和姿态在画出：求
0
20X0 90Y0 0)3
00 2)
00 1)
'O
0
?
????
???
???
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p
pp
??
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解,1）
z
x
y
u
w
v
o
o′
解,2）
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1
3
23
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T 00 pp o?
解,3）
，
，
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090c o s090s i n
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T
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1
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23
23
1
2
2
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1000
10010
20001
21101
00 pTp
习题 4：
如图所示,1）写出,,, ； 2）求
1T? 21T 32T 43T 40 T
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11-00
301-0
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1000
101-0
3001-
0100
T 21
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0
5
4
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3
0
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1000
01-00
0010
3, 5001-
T 43
解,1）
o
0
x 0
y
0
z
4
3
3, 5
1
1
o
1
x
1
y
1
z
2
o
2
x
2
y
2
z
3
o
3
x
3
y
3
z
4
o
4
x
4
y
4
z
解 2）,根据定义 2,绕自身旋转, 右乘
?
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?
1000
50, 6-0, 8-0
00, 8-0, 60
0001-
T T T TT 433221140 ??
习题 1：
∑ O′与 ∑ O初始重合,∑ O′作如下运动：①绕 z轴转动 90o；②绕
v轴转动 90o；③绕 x轴转动 90o。求① T；②改变旋转顺序，如
何旋转才能获得相同的结果。
习题 2：
已知齐次变换矩阵
要求 R（ f,θ),求 f和 θ 值
?
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1000
0001
0100
0010
H
习题 4：
如图所示,1）写出,,, 4T5； 2）求 oT5
1T? 21T 32T 43T
第二章 数学基础 — 齐次坐标和齐次变换
杜志江、纪军红
? 科学园 C1栋机器人研究所
206室
? 86414462-12
? duzj01@hit.edu.cn
? junhong.ji@hit.edu.cn
参考教材
? 付京逊, 机器人学,
? 蔡自兴, 机器人学,
2.1 引言
机器人位置和姿态的描述
? 机器人可以用一个开环关节链来建模
? 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
? 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以
操纵物体
i?
n
o a
? 人们感兴趣的是操作机末端执行
器相对于固定参考坐标数的空间
几何描述，也就是机器人的运动
学问题
? 机器人的运动学即是研究机器人
手臂末端执行器位置和姿态与关
节变量空间之间的关系
动画示例
运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics
HERE!
How do I put my
hand here?
Inverse Kinematics,
Choose these angles!
运动学正问题
运动学逆问题
? 丹纳维特（ Denavit）和哈顿贝格（ Hartenberg）
于 1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人
的运动学问题 — D-H方法
? 具有直观的几何意义
? 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题
? 其数学基础即是齐次变换
2.2 点和面的齐次坐标
2.2.1 点的齐次坐标
? 一般来说,n维空间的齐次坐标表示是一个（ n+1）维空间
实体。有一个特定的投影附加于 n维空间，也可以把它看作
一个附加于每个矢量的特定坐标 — 比例系数。
kcjbiav ???? ???
? ? zy x Tw
w
z
y
x
V ?
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?
?
?
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?
?
式中 i,j,k为 x,y,z 轴上的单位矢量，
a=,b=,c=, w为比例系数
w
x
w
y
w
z
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
w值的不同而不同。在计算机图学中,w
作为通用比例因子，它可取任意正值，但
在机器人的运动分析中，总是取 w=1 。
列矩阵
[例 ]：
kjiV ???? 543 ???
可以表示为：
V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T
或 V=[-12 -16 -20 -4]T
齐次坐标与三维直角坐标的区别
? V点在 ΣOXYZ坐标系中表
示是唯一的（ x,y,z）
? 而在齐次坐标中表示可
以是多值的。不同的表
示方法代表的 V点在空间
位置上不变。
x
y
z
z
z
x
V
图 2 - 2
o
几个特定意义的齐次坐标：
? [0,0,0,n]T— 坐标原点矢量的齐次坐标,n
为任意非零比例系数
? [1 0 0 0]T— 指向无穷远处的 OX轴
? [0 1 0 0]T— 指向无穷远处的 OY轴
? [0 0 1 0]T— 指向无穷远处的 OZ轴
2个常用的公式：
zzyyxx babababa ????
kbabajbabaibaba
bbb
aaa
kji
ba xyyxzxxzyzzy
zyx
zyx
???
)()()( ????????
2.2.2 平面的齐次坐标
? 平面齐次坐标由行矩阵 P=[a b c d ]来表示
? 当点 v=[x y z w]T处于平面 P内时，矩阵乘积 PV=O，或记为
? ? 0?????
?
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? dwczbyax
w
z
y
x
dcbaPV
如果定义一个常数 m=,则有：222 cba ??
m
d
m
c
w
z
m
b
w
y
m
a
w
x ???? )()( k
m
cj
m
bi
m
ak
w
zj
w
yi
w
x ?????? ?????=
可以把矢量 解释为某个平面的外法线，此
平面沿着法线方向与坐标原点的距离为。
)( kmcjmbima ??? ??
m
d?
[例 ]：
因此一个平行于 x,y轴, 且在 z轴上的坐标为单位距离的
平面 P可以表示为,或
有,PV=
? ?1100 ??P ? ?2200 ??P
??
?
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?
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v0
v0
v0
点在平面下方
点在平面上
点在平面上方
例如：点 V=[10 20 1 1]T必定处于此平面内, 而点 V=[0 0 2 1]T
处于平 P 的上方点 V=[0 0 0 1]T处于 P平面下方 。 因为：
? ? 0
1
1
20
10
101000 ?
?
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1
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0
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1
0
0
0
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与点矢 相仿，平面 也没有意义? ?T0000 ? ?0000
2.2 旋转矩阵及旋转齐次变换
2.2.1 旋转矩阵
设固定参考坐标系直角坐标为 ΣOxyz,动坐标系为 ΣO′uvw，
研究旋转变换情况 。
x
y
z
w
v
u
P
o
( O ' )
图 2 - 3
① 初始位置时，动静坐标系重合,O,O′重合，如图。各轴
对应重合，设 P点是动坐标系 ΣO′uvw中的一点，且固定不变。
则 P点在 ΣO′uvw中可表示为：
wwuvuuu v w kPjPiPP ???
、, 为坐标系 ΣO′uvw的单位矢
量, 则 P点在 Σoxyz中可表示为：
ui vj wk
zzyyxxxyz iPiPiPP ??? ?uvwP xyz
② 当动坐标系 ΣO′uvw绕 O点回转时，求 P点在固定坐标系
Σoxyz中的位置
y
z
x
o
( O ' )
u
v
w
P
Pw
Pv
Pu
图 2 - 4
已知：
P点在 ΣO′uvw中是不变的仍然
成立，由于 ΣO′uvw回转，则：
wwuvuuu v w kPjPiPP ???
)(P wwvvuuxxu v wx kPjPiPiiP ????
)(P wwvvuuyyu v wy kPjPiPjjP ????
)(P wwvvuuzzu v wz kPjPiPjjP ????
用矩阵表示为,
?
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w
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wzvzz
wvyy
wxvxx
z
y
x
P
P
P
kkjkik
kjjjij
kijiii
P
P
P ?
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y
（ 2-7）
uv wx y z
wzvzz
wvyy
wxvxx
PRp
kkjkik
kjjjij
kijiii
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?,R y 则旋转矩阵为：定义
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反过来：
xyzu v w PRP 1?? RRR d et
*1 ??
T1 RR
Rde t
??
?
因此
是正交矩阵，的行列式，由于为的伴随矩阵，为 RRRR
2.2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式（ 2-7）
?
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0
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v
u
z
y
x
P
P
P
R
P
P
P
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0
0
0
1
1
z
y
x
w
v
u
P
P
P
R
P
P
P
2.2.3 三个基本旋转矩阵和合成旋转矩阵
三个基本旋转矩阵
),( ?xR
即动坐标系 求 的旋转矩阵, 也就是
求出坐标系 中各轴单位矢量 在固定坐标系
中各轴的投影分量, 很容易得到在重合时, 有：
角，轴转动绕,?? XOvwO?
vwO ?'? wv kji,,? Oxyz?
),( ?xR
?
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100
010
001
R
由图 2-5可知,在 y轴上的投影为, 在 z轴上的投影
为,在 y轴上的投影为, 在 z轴上的投影为
，所以有：
vj ?cosyj
?sinzk ?sinyj?wk
?coszk
vj
wk
?
?
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wzvzz
wvyy
wxvxx
kkjkik
kjjjij
kijiii
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? y)R ( x,
x
y
z
o
u
v
w
U '
V '
W '
O '
图 2 - 5
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??
??
??
co m
ii ux
s i n0
s i nc o s0
001
方向余弦阵
同理：
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??
??
?
c o s0s i n
010
s i n0c o s
)y,R （
?
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100
0c o ss i n
0s i n-c o s
)z,R ??
??
?（
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??
??
???
co ms i n0
s i nc o s0
001
)R ( x,
三个基本旋转矩阵,
x
y
z
o
u
v
w
U '
W '
O '
?
x
y
z
o
u
v
w
U '
W '
O '
v '
?
合成旋转矩阵,
例 1：在动坐标中有一固定点,相对固定参
考坐标系 做如下运动：① R（ x,90° ）；② R(z,
90° )；③ R(y,90° )。求点 在固定参考坐标系 下
的位置。
? ?Tu v wPo 1321' ?
Oxyz?
uvwPo' Oxyz?
解 1：用画图的简单方法
解 2：用分步计算的方法
① R（ x,90° ）
② R（ z,90° ）
③ R（ y,90° ）
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3
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'P
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3
1
2
1
2
1
3
1000
0001-
0010
0100
'''P
（ 2-14）
（ 2-15）
（ 2-16）
上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述
结果。将式（ 2-14）（ 2-15）（ 2-16）联写为如下形式：
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11
44
w
v
u
z
y
x
P
P
P
R
P
P
P
R4x4为二者之间的关系矩阵，我们令：
),(),(),RR 44 ??? xRzRy（??
定义 1：
当动坐标系 绕固定坐标系 各坐标轴顺序有限次
转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序 左乘 。
注意,旋转矩阵间不可以交换
uvwO'? Oxyz?
平移齐次变换矩阵
?
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??
1000
100
010
001
c) b (a T r an sH
c
b
a
注意,平移矩阵间可以交换，
平移和旋转矩阵间不可以交换
z
y
x
o
o′
w′
u ′
v′
a
b
c
2.2.4 相对变换
举例说明：
例 1,动坐标系 ∑0′起始位置与固定参考坐标系 ∑0重合,动坐标系
∑0′做如下运动：① R(Z,90o) ② R（ y,90o） ③ Trans(4,-3,7)
，求合成矩阵
解 1：用画图的方法：
o′
z
y
x
7
4
- 3
o
w ```
u ```
v ```
v ″
u ″
w ″
z
y
x
o
o ( o′ )
x
y
z
u
v
w
z
y
x
u ′
w′
o ( o′ )
v′
解 2：用计算的方法
根据定义 1,我们有：
?
?
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?
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?
?
1000
7010
3001
4100
)R( Z,9 0 )90 R( y,7),3,T r an s ( 4T
??
以上均以固定坐标系多轴为变换基准, 因此矩阵左乘 。
如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：
例 2,① 先平移 Trans (4,-3,7)； ② 绕当前 轴转动 90o；
③ 绕当前 轴转动 90o；求合成旋转矩阵 。
v?
w?
（ 2-20）
解 1：用画图的方法
z
y
x
o ( o′ )
v
w
u
z
y
x
o
o′
w′
u ′
v′
o
z
y
x
o′
w ″
v ″
u ″
x
y
z
o
o′
w ```
u ```
v ```
解 2：用计算的方法
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1000
7010
3001
4100
)R ( Z,9 0 )90 R ( y,7),3,T r a n s ( 4T oo
（ 2-21）
式 （ 2-20） 和式 （ 2-21） 无论在形式上, 还是在结果上都是
一致的 。 因此我们有如下的结论：
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有 2种情况：
定义 1,如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋
转或平移, 则依次左乘, 称为绝对变换 。
定义 2,如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或
平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。
结果均为为动坐标系在固定坐标中的位姿 （ 位置 +姿态 ） 。
相对于固定坐标系, 轴。轴相当于轴，轴相对于轴，轴相当于 ZYX wv?
也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换,要达到绕固
定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。
齐次变换矩阵 T 的意义：
? 机器人用到相对变换的
时候比较多
? 例如机械手抓一个杯子，
如右图所示，手爪需要
转动一个角度才抓的牢，
相对于固定坐标系表达
太麻烦，可以直接根据
手爪的坐标系表示
? 但也要知道在 ∑O中的位
姿，就用右乘的概念。
x
y
z
o
H
2.2.5 绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换
? 有时动坐标系 ∑ O′可能绕过原点 O的而分量分别为 rx、
ry,rz的任意单位矢量 r 转动 φ角。
? 研究这种转动的好处是可用 ∑ O′绕某轴 r 的一次转动代
替绕 ∑ O各坐标轴的数次转动
? 为推导此旋转矩阵，可作下述变换：
a,绕 X 轴转 α角，
使 r 轴处于 XZ平面内
a,绕 Y 轴转 -β角，使 r
轴与 OZ轴重合
a,绕 OZ轴转动 φ角
b,绕 Y 轴转 β角
c,绕 X 轴转 -α角
X
Y
Z
r x
r y
r z
A B
C
D
B '
O
α
β
5
1
2
43
r
A '
由上图容易求出：
2
z
2
y
y
rr
rs in
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??
2
z
2
y
z
rr
rc o s
?
??
x
x r
r
r
r
OCs in ????
2
z
2
y
2
z
2
y rr
r
rr
OB
C'Bco s ??????
由定义 1和定义 2，上述 5次旋转的合成旋转矩阵为：
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c o ss i n0
s i n-c o s0
001
c o s0s i n
010
s i n-0c o s
100
0c o ss i n
0s i n-c o s
c o s0s i n-
010
s i n0c o s
c o ss i n0
s i nc o s0
001
RRRRRR
,x,y,z,y,x,r
（ 2-25）
带入式 （ 2-25），得
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????
????
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c o s)c o s(1r
s i nr)c o s(1rr
s i nr)c o s(1rr
s i nr)c o s(1rrs i nr)c o s(1rr
c o s)c o s(1rs i nr)c o s(1rr
s i nr)c o s(1rrc o s)c o s(1r
R
2
z
xzy
yzx
xzyyzx
2
yzyx
zyx
2
x
,r
2.2.6 齐次交换矩阵的几何意义
设 T=,有一个手爪，已知其在 ∑ O的位置，设一个
该坐标系 ∑ O′，已知，,那么 ∑ O′在 ∑ O中的齐次坐
标变换为,如果手爪转了一个角度，
则：
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1000
3
2
1
twzzz
twyyy
twxxx
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??
??
? ?111' cbao
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1000
100
010
001
T
1
1
1
1 c
b
a
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1000
p
p
p
T
z
yyy
xxx
zzz
y
x
w
w
w
??
??
??
T反映了 ∑ O′在 ∑ O中的位置和姿态, 即表示了该坐标系原点
和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态 。
该矩阵可以由 4个子矩阵组成, 写成如下形式：
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比例系数透视矩阵
位置矢量旋转矩阵
1131
1333
wf
PR
T
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zzz
yyy
xxx
w
w
w
??
??
??
33R
为姿态矩阵，表示动坐标系 ∑ O′在固定参考
坐标系 ∑ O中的姿态，即表示 ∑ O′各坐标轴单
位矢量在 ∑ O各轴上的投影
为位置矢量矩阵，代表动坐标系 ∑ O′坐标
原点在固定参考坐标系 ∑ O中的位置Tzyx ppp ][P 13 ??
为透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算，
一般置为 0 ]000[f 31 ??
为比例系数]1[
11 ??w
如果需要求解 ∑ O在 ∑ O′中的位置和姿态，此时的齐次变换矩
阵为,即求逆矩阵：1?T
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1000
-
-R
-
T
T
T1-
33
T
1
pw
pv
p
??
??
??
）（
）（
）（ ?
kpjpipp zyx ???? ???
kji zyx ???? ???? ???
kvjvivv zyx ???? ???
kwjwiww zyx ???? ???
其中：
这些式子以后经常遇到，
在机器人计算中，所要
求的就是齐次变换矩阵
下
2.2.7 透镜成像的齐次变换
p
p
,
P [ x 1 ]
P P [ x 1 ]
1
()
1
pp
pp
T
T
yz
yz
y p zp zp f
y p zp zp y p f
y p f
zp x p y p f
zp x p y p y p f
y p f y p f y p
y p y p f y p y p f f
xp
xp
y
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? ? ? ?? ? ?
???
?
v
以光心为原点O，光轴与y轴重合，P为物点，
用齐次坐标表示
求 的齐次坐标，即求
根据三角形相似原理：
注意 是负值,是正值，所以实际上为相减关系
又有
设
11
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
11 1 0 0 0 1
y p zp
y p zp
p y p zp
f f f
xp
x p x p
yp
y p y p
Tfzp
zp zp
yp
f
????
??
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? ? ? ? ? ?
???
? ? ? ? ? ?
? ? ? ???
?? ? ? ? ? ?
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? ? ? ? ? ?
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?
? ? ? ? ? ?
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??
用矩阵表示：
z
y
P
y p
f
o
z p
f
p
z ?
'
P
p
y ?
p
p
,
P [ x 1 ]
P P [ x 1 ]
1
()
1
pp
pp
T
T
yz
yz
y p zp zp f
y p zp zp y p f
y p f
zp x p y p f
zp x p y p y p f
y p f y p f y p
y p y p f y p y p f f
xp
xp
y
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??
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???
?
v
以 光 心 为 原 点 O, 光 轴 与 y 轴 重 合, P 为 物 点,
用 齐 次 坐 标 表 示
求 的 齐 次 坐 标, 即 求
根 据 三 角 形 相 似 原 理,
注 意 是 负 值, 是 正 值, 所 以 实 际 上 为 相 减 关 系
又 有
设
11
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
11 1 0 0 0 1
y p zp
y p zp
p y p y p
f f f
xp
x p x p
yp
y p y p
Tfzp
zp zp
yp
f
????
??
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? ? ? ? ? ???
?
? ? ? ? ? ?? ? ? ???
?? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ???
?? ? ? ? ? ?
????
用 矩 阵 表 示,
? 因此，进行机器人运行学计算时，不能省略透视矩阵，有
摄像头时，透视矩阵为
[0 - 0]，没有摄像头时为 [0 0 0 ] 。
f
1
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10
f
1
0
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0010
0001
11
T
1
p
f
Tf
f
y
z
y
x
z
y
x
z
y
x
p
p
p
p
p
p
p
p
p
用矩阵表示：
知识点：
? 点和面的齐次坐标和齐次变换
? 三个基本旋转矩阵
? 绝对变换,如果所有的变换都是 相对于固定坐标系 中各坐
标轴旋转或平移, 则依次 左乘, 称为 绝对变换 。
? 相对变换,如果动坐标系 相对于自身坐标系 的当前坐标轴
旋转或平移，则齐次变换为依次 右乘,称为 相对变换 。
? 绕任意轴选转,5步顺序
? 透视变换
习题 1：
∑ O′与 ∑ O初始重合,∑ O′作如下运动：①绕 Z轴转动 30o；
②绕 X轴转动 60o；③绕 Y轴转动 90o。求 T。
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0100
0030c o s30s i n
0030s i n30c o s
R 1
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060c o s60s i n0
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0001
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R
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1000
002/12/3
02/34/34/1
02/14/34/3
123 RRRT
习题 2：
∑ O′与 ∑ O初始重合,∑ O′作如下运动：①绕 X轴转动 90o；②绕
w轴转动 90o；③绕 Y轴转动 90o。求① T；②改变旋转顺序，如
何旋转才能获得相同的结果。
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1000
090c o s90s i n0
090s i n-09c o s0
0001
R 1 ??
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1000
0100
0090c o s90s i n
0090s i n90c o s
2
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R
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090c o s090s i n
0010
090s i n090c o s
3 ??
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R
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1000
0010
0100
0001
213 RRRT
解①：
解 ②,
①绕 Z（ w）轴转动 90o；
②绕 X轴转动 90o；
③绕 Y轴转动 90o。
习题 3：
矢量 在 ∑ O′中表示为, ∑ O′相对于 ∑ O的
奇次变换为：
P? kjip ??? ??????? 2230
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??
1000
1100
20001
10010
T oo
中的矢量在求此时
，轴转动的绕②轴转的①绕当
中的矢量在求
的位置和姿态在画出：求
0
20X0 90Y0 0)3
00 2)
00 1)
'O
0
?
????
???
???
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p
pp
??
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解,1）
z
x
y
u
w
v
o
o′
解,2）
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1
3
23
8
T 00 pp o?
解,3）
，
，
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090c o s090s i n
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090s i n090c o s
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0100
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1000
10010
20001
21100
TRT 1
1 or
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1
8
23
23
1
2
2
3
1000
10010
20001
21101
00 pTp
习题 4：
如图所示,1）写出,,, ； 2）求
1T? 21T 32T 43T 40 T
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1000
11-00
301-0
3, 5-001
T 1?
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1000
101-0
3001-
0100
T 21
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1000
0001
5
5
3
5
4
-0
0
5
4
5
3
0
T 32
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1000
01-00
0010
3, 5001-
T 43
解,1）
o
0
x 0
y
0
z
4
3
3, 5
1
1
o
1
x
1
y
1
z
2
o
2
x
2
y
2
z
3
o
3
x
3
y
3
z
4
o
4
x
4
y
4
z
解 2）,根据定义 2,绕自身旋转, 右乘
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1000
50, 6-0, 8-0
00, 8-0, 60
0001-
T T T TT 433221140 ??
习题 1：
∑ O′与 ∑ O初始重合,∑ O′作如下运动：①绕 z轴转动 90o；②绕
v轴转动 90o；③绕 x轴转动 90o。求① T；②改变旋转顺序，如
何旋转才能获得相同的结果。
习题 2：
已知齐次变换矩阵
要求 R（ f,θ),求 f和 θ 值
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1000
0001
0100
0010
H
习题 4：
如图所示,1）写出,,, 4T5； 2）求 oT5
1T? 21T 32T 43T
