机器人技术
陶建国
哈尔滨工业大学机电学院
2005,2.
2
? 第五章 机器人操作机工作空间
5.1 概述
5.1.1 基本概念
工作空间是从几何方面讨论操作机的工作性能 。 B,Roth
在 1975年提出了操作机工作空间的概念 。
?操作机的工作空间,机器人操作机正常运行时, 末端执
行器坐标系的原点能在空间活动的最大范围；或者说该原
点可达点占有的体积空间 。 这一空间又称可达空间或总工
作空间, 记作 W(P)。
?灵活工作空间, 在总工作空间内, 末端执行器可以任意
姿态达到的点所构成的工作空间 。 记作 Wp (P)。
?次工作空间, 总工作空间中去掉灵活工作生间所余下的
部分 。 记作 Ws (P)。
3
根据定义, 有,
一般说来, 工作空间都是一块或多块体积空间, 它们都具
有一定的边界曲面 (有时是边界线 )。 W(P) 边界面上的点所
对应的操作机的位置和姿态均为奇异位形 。 与奇异位形相应
的机器人的速度雅可比矩阵是奇异的, 所以操作机的工作空
间边界面又常称作雅可比曲面, 即雅可比矩阵的行列式等于
零所对应的曲面 。
灵活空间内点的灵活程度受到操作机结构的影响, 通常分
作两类：
I类 — 末端执行器以全方位到达的点所构成的灵活空间,
表示为 Wp1 (P) ；
II类 — 只能以有限个方位到达的点所构成的灵活空间,
表示为 Wp2 (P)。
( ) ( ) ( )psW p W p W p??
4
下面以平面 3R操作机为例, 说明上述基本概念 。
如图所示的 3R操作机，由三杆 L1,L2，和 H组成。后两杆的
长度之和小于 L1的长度。取手心点 P 为末端执行器的参考点，
令 l1,l2 分别为 l1,l2 杆的长度,h为手心点 P 到关节点 O8 的
长度 (即 H杆的长度 )，则：
1)圆 C1:半径为,
圆 C4:半径为,
分别是该操作机的总工作空
间的边界 。 它们之间的环形
而积即 W(P) 。
1 1 2R l l h? ? ?
4 1 2R l l h? ? ?
C1C4
C2
C3
2） 圆 C2:半径为,
圆 C3:半径为,
分别是灵活工作空间的边界 。
它们之间的环形面积即 Wp(P)。
1 1 2R l l h? ? ?
4 1 2R l l h? ? ?
5
C1
C4
C2
C3
3） 圆 C1到圆 C2之间；圆 C3到圆 C4之间两环形面积即为次工作
空间 。
由此可以看出：
1)在 Wp(P)中的任意点为全
方位可达点 。
2)在 C1和 C4圆上的任一点,
只可实现沿该圆的切线方
向的运动 。
3)末杆 H越长, 即 h越大, C1
越大, C4越小, 总工作空
间越大；但相应的灵活工
作空间则由于 C2的增大和
C3的减小而越小 。
4)工作空间同时受关节的转角限制 。
6
5.1.2 工作空间的两个基本问题
1)给出某一结构形式和结构参数的操作机以及关节变量的变
化范围, 求工作空间 。 称为 工作空间分析 或工作空间正问题 。
2)给出某一限定的工作空间, 求操作机的结构形式, 参数和
关节变量的变化范围 。 称 工作空间的综合 或工作空间逆问题 。
5.2 工作空间的形成及确定
5.2.1 工作空间的形成
Zn-1 Zn
Zn-2
Pn( 1 ) ( ) (,) ( )n j n n j n j n j nW P R o t Z W P?? ? ? ? ???? ??P
n — 末杆上的参考点；
W(*) — 参考点占据的工作空间 。
工作空间边界上的界限点构成界限
曲面 。 界限曲面可以用不同方法求出 。
7
1、解析法
5.2.2 工作空间的确定
由操作机工作空间的形成可以看出，其工作空间 的
界限曲面 可以看作是由末端参考点绕各关节运动形成
的曲线族或曲面族的包络。因此，多次 运用单参数曲面族的
包络公式能够顺序求得 工作空间的界限曲面 。
0()nWP
0()nWP?
若在空间有一条曲线 存在，它上面的每一个点都是与曲
线族 中的每一条曲线相切的切点，曲线中的不同的线与
相切于不同点，称 为该曲线族的包络。
?
?
?
???
若存在一曲面,与曲面族 中的任一曲面都沿一条曲
线 相切，这时 就称作该曲面族的包络。
? ???
tC ?
8
下面给出一种分组求解操作机工作空间 包络界限曲
面 的基本思想 。 0()nWP
0()nWP?
对于自由度 的机器人操作机,将操作机的前三杆 (或 前
三关 节 )划为一组，在第三杆上设置参考点 P3(相当于腕点 )，求
其绕各关节运动形成的曲面的包络，得到界限曲面 。
将后面各杆（ 4,5,6 杆）划为另一组，在末杆上取参考点
P6(可取手心点 )，求出其绕后面关节运动形成的曲面（线）的
包络，得到界限曲面 。
让 沿 运动，就形成了双参数曲面族，可用相应
的包络面公式求出末杆上参考点的工作空间界限曲面 。
6F?
03()WP?
3()nWP?
3()nWP? 03()WP?
0()nWP?
可见，求工作空间的问题，可以归结为求曲面（线）族的包
络问题。
9
分别用, ；, ；, 表示母线, 母面, 曲线族, 曲
面族以及它们的包络 。
? ? ??? ??? ? ?
曲线族的包络：
设有曲线 用向量方程表示：?
?,? ? ? ? ? ? ? ?? ?,,r r t x t y t z t??rr
式中 t是曲线 的几何参数。?
再设曲线 以 为参数运动，则在空间相应于不同的,就
形成了一系列的以 为母线的曲线族。记作,其方程为,
? ?
???
?
?
???, ? ? ? ? ? ? ? ?? ?,,,,,,r r t x t y t z t? ? ? ?????u ur u ur
式中 是曲线 的运动参数。 曲线族的包络方程为：??
：
? ? ?,
0t
r r t
rr?
????
??
uur uur
ur uur
式中,
t rr t??? ?
uurur
rr? ???? ?uur
10
曲面族的包络：
设有曲面 用向量方程表示：?
?,? ?,r r u v?rr
式中 u,v 是曲面 的几何参数。?
再设曲面 以 为参数运动，得到曲面族,其方程为,? ????
???, ? ?,,r r u v ????uur uur
：
? ? ?,,
( ) 0u v a
r r u v
r r r
???
? ? ?
?
? ? ?
uur uur
uuur uuur uuur
曲面族的包络 的方程为：?
式中,,
u rr u?? ?? ?
uuruuur
rr ? ??? ?? ?uuuruuurv rr v?? ?? ?uuuruuur
11
若 再以 为参数运动，得到曲面族,其包络（称为
二次包络） 的方程为,
? ? ???
?
：
?
? ?,,,
( ) 0
( ) 0
auv
uv
r r u v
r r r
r r r ?
???? ??
?? ?? ??
?? ?? ??
?
? ? ?
? ? ?
uuur uuur
uuur uuuur uuur
uuur uuuur uuur
式中,
u rr u???? ?? ?
uuuruuuur
v rr v???? ?? ?
uuuuruuuur
rr ? ????? ?? ?uuuuruuuur rr ? ????? ?? ?uuuuruuuur，
12
式中
若母线 和母面, 以及,, 都是参数方程形式给
出的, 则可从上三式导出更便于计算的形式, 如：
? ? ??? ??? ???
13
例 1 用解析法 考察 PUMA560型机器人在关节变量无结构限制
条件下 (即 0＜ ＜ 360。 。 )的工作空间界限曲面?
14
有了曲面族方程式, 利用包络公式 可 求出包络条件, 并与
上式 联立, 即得该球面方程
将 O4= O5= O6= P3定为手腕点, 6个关节分为两组：后三关
节 (4,5,6)为轴线交于 W的旋转关节；前三关节另一组 。
? ?666,0,ppP a d?
在末杆上取参考点 P6(可取手心点 )，对于后三关节一组
446 6 6TP? ? ?
66
2 2 2 2 2 24 4 4 4PPx y z a d R? ? ? ? ?
? ?446 4 4 6(,)R o t z ?? ? ? ?
15
对于前三关节一组，腕点 P3 = O4
? ?3 3 4,,0P a d?
113 3 3TP? ? ?
? ?013 1 1 3(,)Rot z ?? ? ? ?
利用包络公式 可 求出包络条件, 并与 上式 联立, 即得该
曲面方程 。
16腕点工作空间
17
PUMA560型机器人无结构限制时的工作空间轴剖面
18
用图解法求工作空间，得到的往往是工作空间的各类别
截面 (或削截线 )。它直观性强，便于和计算机结合，以显
示在可达点操作机的构形特征。
在应用图解法时．也将关节分为两组，即前三关节和后
三关节 (有时为两关节或一关节 )，前三关节称位置结构，
主要确定工作空间大小，后三关节称定向结构，主要决定
手部姿势。首先分别求出该两组关节所形成的腕点空间和
参考点在腕坐标系中的工作空间，再进行包络整合。
2、图解法
下面取两旋转关节进行图解讨论。
19
Zn
Zn-1
1 0n? ? ?
若
ZnZn-1
Zn-1 Zn
20
1 90n? ? ??若
Zn-1
Zn-1
21
例 2 用 图解法 考察 Motorman型机器人操作机的工作空间。
22
23
5.3 工作空间中的空洞和空腔
一、定义
空洞 ——在转轴 zi 周围，沿 z的全长参考点 Pn均不能达到
的空间。
空腔 ——参考点不能达到的被完全封闭在工作空间之内的
空间。
1——空腔； 2——空洞
24
二、空洞及空腔约形成条件
1、空洞的形成条件及其判别
工作空间 与其后级旋
转轴 若不相交，则在该旋
转轴的周围形成空洞。
空洞存在与否可根据前级空
间 和后级旋转轴 之
间的最小距离来判断。
若 。 则不存在空
洞；
若 则存在空洞。
()nnWP
1nz?
()nnWP 1nz?
m in 0Rx ?
min 0Rx ?
25
2．空腔的形成条件及其判别
在 空间中形成空腔的必要条件是在 工作
空间中存在空洞，但这还不是形成空腔的充分条件。
1 ()nnWP? ()nnWP
26
Zn-1
27
? 第六章 机器人静力学和动力学
静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分
析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、
动态仿真的基础。
机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器
人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节
力（矩）与接触力的关系。
机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动
态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由
于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此
很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的
控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机
器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器
人动力学研究者追求的目标。
28
6.1 机器人静力学
一、杆件之间的静力传递
在操作机中，任取两连杆 LJ，
lfl，，如图 7—1。设在杆 Lf*，上
作用在点 o‘t，有力矩肋 lh和力扩
ft：；在杆 』 f上作用有自屋 C
〔 道质
心 c刀,rf和 rcf分别为山 o。到
o‘t*和 cl的向径 rl(或记为 rj“l)和
r‘,(或记为 rf．。 l)。
iL
29
5,平面关节型 (SCARA)
仅平面运动有耦合性, 控制较通用关节型简单 。 但运动
灵活性更好, 铅垂平面刚性好 。
SCARA型装配机器人
30
仿生型
自由度一般较多, 具有更强的适应性和灵活性, 但控制
更复杂, 成本更高, 刚性较差 。
类人型机器人 仿狗机器人蛇形机器人
二, 特种机器人
31
六轮漫游机器人
仿鱼机器人 仿鸟机器人
六足漫游机器人
32
1.3.3 机器人的性能要素
?自由度数 衡量机器人适应性和灵活性的重要指标, 一般
等于机器人的关节数 。 机器人所需要的自由度数决定与其
作业任务 。
?负荷能力 机器人在满足其它性能要求的前提下, 能够承
载的负荷重量 。
?运动范围 机器人在其工作区域内可以达到的最大距离 。
它是机器人关节长度和其构型的函数 。
?精度 指机器人到达指定点的精确程度 。 它与机器人驱动
器的分辨率及反馈装置有关 。
33
?控制模式 引导或点到点示教模式；连续轨迹示教模式；软
件编程模式；自主模式 。
?运动速度 单关节速度；合成速度 。
?其它动态特性 如稳定性, 柔顺性等 。
?重复精度 指机器人重复到达同样位置的精确程度 。 它不仅
与机器人驱动器的分辨率及反馈装置有关, 还与传动机构的
精度及机器人的动态性能有关 。
陶建国
哈尔滨工业大学机电学院
2005,2.
2
? 第五章 机器人操作机工作空间
5.1 概述
5.1.1 基本概念
工作空间是从几何方面讨论操作机的工作性能 。 B,Roth
在 1975年提出了操作机工作空间的概念 。
?操作机的工作空间,机器人操作机正常运行时, 末端执
行器坐标系的原点能在空间活动的最大范围；或者说该原
点可达点占有的体积空间 。 这一空间又称可达空间或总工
作空间, 记作 W(P)。
?灵活工作空间, 在总工作空间内, 末端执行器可以任意
姿态达到的点所构成的工作空间 。 记作 Wp (P)。
?次工作空间, 总工作空间中去掉灵活工作生间所余下的
部分 。 记作 Ws (P)。
3
根据定义, 有,
一般说来, 工作空间都是一块或多块体积空间, 它们都具
有一定的边界曲面 (有时是边界线 )。 W(P) 边界面上的点所
对应的操作机的位置和姿态均为奇异位形 。 与奇异位形相应
的机器人的速度雅可比矩阵是奇异的, 所以操作机的工作空
间边界面又常称作雅可比曲面, 即雅可比矩阵的行列式等于
零所对应的曲面 。
灵活空间内点的灵活程度受到操作机结构的影响, 通常分
作两类：
I类 — 末端执行器以全方位到达的点所构成的灵活空间,
表示为 Wp1 (P) ；
II类 — 只能以有限个方位到达的点所构成的灵活空间,
表示为 Wp2 (P)。
( ) ( ) ( )psW p W p W p??
4
下面以平面 3R操作机为例, 说明上述基本概念 。
如图所示的 3R操作机，由三杆 L1,L2，和 H组成。后两杆的
长度之和小于 L1的长度。取手心点 P 为末端执行器的参考点，
令 l1,l2 分别为 l1,l2 杆的长度,h为手心点 P 到关节点 O8 的
长度 (即 H杆的长度 )，则：
1)圆 C1:半径为,
圆 C4:半径为,
分别是该操作机的总工作空
间的边界 。 它们之间的环形
而积即 W(P) 。
1 1 2R l l h? ? ?
4 1 2R l l h? ? ?
C1C4
C2
C3
2） 圆 C2:半径为,
圆 C3:半径为,
分别是灵活工作空间的边界 。
它们之间的环形面积即 Wp(P)。
1 1 2R l l h? ? ?
4 1 2R l l h? ? ?
5
C1
C4
C2
C3
3） 圆 C1到圆 C2之间；圆 C3到圆 C4之间两环形面积即为次工作
空间 。
由此可以看出：
1)在 Wp(P)中的任意点为全
方位可达点 。
2)在 C1和 C4圆上的任一点,
只可实现沿该圆的切线方
向的运动 。
3)末杆 H越长, 即 h越大, C1
越大, C4越小, 总工作空
间越大；但相应的灵活工
作空间则由于 C2的增大和
C3的减小而越小 。
4)工作空间同时受关节的转角限制 。
6
5.1.2 工作空间的两个基本问题
1)给出某一结构形式和结构参数的操作机以及关节变量的变
化范围, 求工作空间 。 称为 工作空间分析 或工作空间正问题 。
2)给出某一限定的工作空间, 求操作机的结构形式, 参数和
关节变量的变化范围 。 称 工作空间的综合 或工作空间逆问题 。
5.2 工作空间的形成及确定
5.2.1 工作空间的形成
Zn-1 Zn
Zn-2
Pn( 1 ) ( ) (,) ( )n j n n j n j n j nW P R o t Z W P?? ? ? ? ???? ??P
n — 末杆上的参考点；
W(*) — 参考点占据的工作空间 。
工作空间边界上的界限点构成界限
曲面 。 界限曲面可以用不同方法求出 。
7
1、解析法
5.2.2 工作空间的确定
由操作机工作空间的形成可以看出，其工作空间 的
界限曲面 可以看作是由末端参考点绕各关节运动形成
的曲线族或曲面族的包络。因此，多次 运用单参数曲面族的
包络公式能够顺序求得 工作空间的界限曲面 。
0()nWP
0()nWP?
若在空间有一条曲线 存在，它上面的每一个点都是与曲
线族 中的每一条曲线相切的切点，曲线中的不同的线与
相切于不同点，称 为该曲线族的包络。
?
?
?
???
若存在一曲面,与曲面族 中的任一曲面都沿一条曲
线 相切，这时 就称作该曲面族的包络。
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tC ?
8
下面给出一种分组求解操作机工作空间 包络界限曲
面 的基本思想 。 0()nWP
0()nWP?
对于自由度 的机器人操作机,将操作机的前三杆 (或 前
三关 节 )划为一组，在第三杆上设置参考点 P3(相当于腕点 )，求
其绕各关节运动形成的曲面的包络，得到界限曲面 。
将后面各杆（ 4,5,6 杆）划为另一组，在末杆上取参考点
P6(可取手心点 )，求出其绕后面关节运动形成的曲面（线）的
包络，得到界限曲面 。
让 沿 运动，就形成了双参数曲面族，可用相应
的包络面公式求出末杆上参考点的工作空间界限曲面 。
6F?
03()WP?
3()nWP?
3()nWP? 03()WP?
0()nWP?
可见，求工作空间的问题，可以归结为求曲面（线）族的包
络问题。
9
分别用, ；, ；, 表示母线, 母面, 曲线族, 曲
面族以及它们的包络 。
? ? ??? ??? ? ?
曲线族的包络：
设有曲线 用向量方程表示：?
?,? ? ? ? ? ? ? ?? ?,,r r t x t y t z t??rr
式中 t是曲线 的几何参数。?
再设曲线 以 为参数运动，则在空间相应于不同的,就
形成了一系列的以 为母线的曲线族。记作,其方程为,
? ?
???
?
?
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式中 是曲线 的运动参数。 曲线族的包络方程为：??
：
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式中,
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10
曲面族的包络：
设有曲面 用向量方程表示：?
?,? ?,r r u v?rr
式中 u,v 是曲面 的几何参数。?
再设曲面 以 为参数运动，得到曲面族,其方程为,? ????
???, ? ?,,r r u v ????uur uur
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曲面族的包络 的方程为：?
式中,,
u rr u?? ?? ?
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11
若 再以 为参数运动，得到曲面族,其包络（称为
二次包络） 的方程为,
? ? ???
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式中,
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12
式中
若母线 和母面, 以及,, 都是参数方程形式给
出的, 则可从上三式导出更便于计算的形式, 如：
? ? ??? ??? ???
13
例 1 用解析法 考察 PUMA560型机器人在关节变量无结构限制
条件下 (即 0＜ ＜ 360。 。 )的工作空间界限曲面?
14
有了曲面族方程式, 利用包络公式 可 求出包络条件, 并与
上式 联立, 即得该球面方程
将 O4= O5= O6= P3定为手腕点, 6个关节分为两组：后三关
节 (4,5,6)为轴线交于 W的旋转关节；前三关节另一组 。
? ?666,0,ppP a d?
在末杆上取参考点 P6(可取手心点 )，对于后三关节一组
446 6 6TP? ? ?
66
2 2 2 2 2 24 4 4 4PPx y z a d R? ? ? ? ?
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15
对于前三关节一组，腕点 P3 = O4
? ?3 3 4,,0P a d?
113 3 3TP? ? ?
? ?013 1 1 3(,)Rot z ?? ? ? ?
利用包络公式 可 求出包络条件, 并与 上式 联立, 即得该
曲面方程 。
16腕点工作空间
17
PUMA560型机器人无结构限制时的工作空间轴剖面
18
用图解法求工作空间，得到的往往是工作空间的各类别
截面 (或削截线 )。它直观性强，便于和计算机结合，以显
示在可达点操作机的构形特征。
在应用图解法时．也将关节分为两组，即前三关节和后
三关节 (有时为两关节或一关节 )，前三关节称位置结构，
主要确定工作空间大小，后三关节称定向结构，主要决定
手部姿势。首先分别求出该两组关节所形成的腕点空间和
参考点在腕坐标系中的工作空间，再进行包络整合。
2、图解法
下面取两旋转关节进行图解讨论。
19
Zn
Zn-1
1 0n? ? ?
若
ZnZn-1
Zn-1 Zn
20
1 90n? ? ??若
Zn-1
Zn-1
21
例 2 用 图解法 考察 Motorman型机器人操作机的工作空间。
22
23
5.3 工作空间中的空洞和空腔
一、定义
空洞 ——在转轴 zi 周围，沿 z的全长参考点 Pn均不能达到
的空间。
空腔 ——参考点不能达到的被完全封闭在工作空间之内的
空间。
1——空腔； 2——空洞
24
二、空洞及空腔约形成条件
1、空洞的形成条件及其判别
工作空间 与其后级旋
转轴 若不相交，则在该旋
转轴的周围形成空洞。
空洞存在与否可根据前级空
间 和后级旋转轴 之
间的最小距离来判断。
若 。 则不存在空
洞；
若 则存在空洞。
()nnWP
1nz?
()nnWP 1nz?
m in 0Rx ?
min 0Rx ?
25
2．空腔的形成条件及其判别
在 空间中形成空腔的必要条件是在 工作
空间中存在空洞，但这还不是形成空腔的充分条件。
1 ()nnWP? ()nnWP
26
Zn-1
27
? 第六章 机器人静力学和动力学
静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分
析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、
动态仿真的基础。
机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器
人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节
力（矩）与接触力的关系。
机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动
态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由
于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此
很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的
控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机
器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器
人动力学研究者追求的目标。
28
6.1 机器人静力学
一、杆件之间的静力传递
在操作机中，任取两连杆 LJ，
lfl，，如图 7—1。设在杆 Lf*，上
作用在点 o‘t，有力矩肋 lh和力扩
ft：；在杆 』 f上作用有自屋 C
〔 道质
心 c刀,rf和 rcf分别为山 o。到
o‘t*和 cl的向径 rl(或记为 rj“l)和
r‘,(或记为 rf．。 l)。
iL
29
5,平面关节型 (SCARA)
仅平面运动有耦合性, 控制较通用关节型简单 。 但运动
灵活性更好, 铅垂平面刚性好 。
SCARA型装配机器人
30
仿生型
自由度一般较多, 具有更强的适应性和灵活性, 但控制
更复杂, 成本更高, 刚性较差 。
类人型机器人 仿狗机器人蛇形机器人
二, 特种机器人
31
六轮漫游机器人
仿鱼机器人 仿鸟机器人
六足漫游机器人
32
1.3.3 机器人的性能要素
?自由度数 衡量机器人适应性和灵活性的重要指标, 一般
等于机器人的关节数 。 机器人所需要的自由度数决定与其
作业任务 。
?负荷能力 机器人在满足其它性能要求的前提下, 能够承
载的负荷重量 。
?运动范围 机器人在其工作区域内可以达到的最大距离 。
它是机器人关节长度和其构型的函数 。
?精度 指机器人到达指定点的精确程度 。 它与机器人驱动
器的分辨率及反馈装置有关 。
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?控制模式 引导或点到点示教模式；连续轨迹示教模式；软
件编程模式；自主模式 。
?运动速度 单关节速度；合成速度 。
?其它动态特性 如稳定性, 柔顺性等 。
?重复精度 指机器人重复到达同样位置的精确程度 。 它不仅
与机器人驱动器的分辨率及反馈装置有关, 还与传动机构的
精度及机器人的动态性能有关 。
