1
点和直线
第一节 点的投影
2
1
点和直线
投
影
方
向
点的投影依然是点。
空间点 A－－在投影面 H上有唯一的投影 a。
投影 a－－不能确定空间点 A的位置,
空间点 A,A1,A2的投影 a,a1,a2重合。
其中,A在最上面，是可见点。
A1,A2的投影被 A的投影所遮盖，其
投影不可见，用（）表示。
第一节 点的投影
空间点的一个投影不能确定其空间位置。
3
正投影面,V面
水平投影面,H面
侧立投影面,W面
一：点的三面投影
点和直线
空间两两垂直的投影面
三投影面
体系
X轴,H面和 V面的交线
Y轴,W面和 H面的交线
Z轴,V面和 W面的交线
投影轴
三个投影轴的交点
原点
4
空间点 A的投影,
a：空间点 A 在 H面上的投影
a’：空间点 A 在 V面上的投影
a”：空间点 A 在 W面上的投影
一：点的三面投影
点和直线
空间点：用大写字母表示；
投影：用小写字母表示；
5
空间点可用 A(X,Y,Z)来表示,
X：离 W面的距离 XA
Y：离 V面的距离 YA
Z：离 H面的距离 ZA
点和直线
一：点的三面投影
6
点和直线
一：点的三面投影
点的三面投影图
7
点和直线
一：点的三面投影
8
点和直线
二：点的直角坐标与三面投影的关系
空间点可用 A(X,Y,Z)来表示,
X：离 W面的距离 XA
Y：离 V面的距离 YA
Z：离 H面的距离 ZA
Aa”=aaY=a’aZ=OaX=XA
Aa’=aaX=a”aZ=OaY=YA
Aa=a’aX=a”aY=OaZ=ZA
9
点和直线
二：点的直角坐标与三面投影的关系
投影点 a：由 X,Y两坐标确定
投影点 a’：由 X,Z两坐标确定
投影点 a”：由 Y,Z两坐标确定
空间点 A(X,Y,Z) 投影 (a,a’,a”)
10
点和直线
二：点的直角坐标与三面投影的关系
任意两个投影 (a,a’,a”)已经包含了 X,Y,Z三个值
任意两个投影
? 确定空间点的位置
? 求作第三个投影
11
点和直线
三：三投影面体系中点的投影规律
1,点的正面投影和水平投影的连线（简称
投影连线）垂直于 OX轴（ aa’┴OX）。
这两个投影反映空间点的 X坐标。
2,点的正面投影和侧面投影的连线（简称
投影连线）垂直于 OZ轴（ a’a”┴OZ）。
这两个投影反映空间点的 Z坐标。
3,点的水平投影到 OX轴的距离等于侧面投
影到 OZ轴的距离（ aax=a”az）。
这两个投影反映空间点的 Y坐标。
4,点的一个投影到投影轴的距离，等于该
空间点到相邻投影面的距离。
12
点和直线
四：投影面和投影轴上的点的投影
13
点和直线
第二节 两点的相对位置
14
点和直线
一：两点相对位置的确定
O
相对坐标的定义
△ x
△ x
z △ z △
y △
△ y
15
点和直线
一：两点相对位置的确定
a? a?
a
X
Z
YW
YH
O
b?
b
b?
9
xA-xA=8
5
例题
已知 A点在 B点之右 8毫米，之
前 5毫米，之上 9毫米，求 A点
的投影。
16
点和直线 二：重影点的投影
c
d?(c?)
d
C
D
a(b)
a?
b?
A
B
重影点的投影
及可见性判断
17
点和直线
第三节 直线的投影
18
点和直线
一：直线的投影图
O
O
直线投影的确定
19
点和直线
二：各类直线的投影特性
一般位置直线
特殊位置直线 投影面平行线
投影面垂直线
投影面倾斜线
20
点和直线
1,投影面倾斜线
与三个投影面都成倾斜的直线
O X
Z
Y
A
B
b
b?
a?
b?
a
a?
?
? ?
α,直线 AB对 H面的倾角
β,直线 AB对 V面的倾角
γ,直线 AB对 W面的倾角
21
点和直线
1,投影面倾斜线
O X
Z
Y
A
B
b
b?
a?
b?
a
a?
?
? ?
Z
X
a? b?
a
O
Y
Y
a?
b
b?
投影特性,1,a b,a?b?,a? b?(各个投影 )均小于实长
2,a b,a?b?,a? b? (各个投影 )均倾斜于投影轴
3,与投影轴的夹角不反映 ?, ?, ? 实角
22
点和直线
1,投影面平行线
平行于一个投影面而与另外两个投影面成倾斜的直线
X
Z
Y
O
a
a?
b?
a?
b?
b
? ?
A
B
23
点和直线
(1),正平线 —— 平行于 V面
X
Z
Y
O
a
a?
b?
a?
b?
b
? ? X
a?
b?
a?
b?
b a
O
Z
YH
YW A
B ?
?
投影特性,1,ab ?? OX ; ab<AB; a? b??? OZ; a? b?<AB
2,a? b?=AB
3,V面投影 反映 ?,?角的真实大小
24
点和直线
(2),水平线 —— 平行于 H面
X
Z
Y
O
a
a? b?
a?
b
b?
X
a? b? a? b?
b
a
O
z
YH
YW ? ?
?
?
A
B
投影特性,1,a?b??? OX ; a?b?<AB; a?b??? OYW ;a?b?<AB
2,ab=AB
3,H面 反映 ?,? 角的真实大小
25
点和直线
(3),侧平线 —— 平行于 W面
X
Z
Y
O
X
Z a?
b? b?
b
a
O
YH
YW
a?
?
?
a
a?
b?
a?
b?
b
?
?
A
B
投影特性,1,a?b??? OZ ; a?b?<AB; ab ?? OYH ; ab<AB
2,a?b? =AB
3,W面 反映 ?,? 角的真实大小
26
点和直线
1,投影面垂直线
垂直于一个投影面而与另外两个投影面都平行的直线
O X
Z
Y
b?
a(b)
a?
a?
b?
A
B
27
点和直线
(1),正垂线 —— 垂直于 V面
O X
Z
Y b
a?b?
a?
b?
a
投影特性,1,a?b?积聚 成一点
2,ab ? OX ; a?b? ?OZ
3,ab = a?b? =AB
A
B
z
X
a?b? b?
a
O
YH
YW
a?
b
28
点和直线
(2),铅垂线 —— 垂直于 H面
O X
Z
Y
b?
a(b)
a?
a?
b?
Z
b?
X
a?
b?
a(b)
O
YH
YW
a?
投影特性,1,a b 积聚 成一点
2,a? b??OX ; a? b? ? OY
3,a? b? = a? b? = AB
A
B
29
点和直线
(3),侧垂线 —— 垂直于 W面
O X
Z
Y
A B
投影特性,1,a?b? 积聚 成一点
2,ab ? OYH ; a?b?? OZ
3,ab = a?b? =AB
b
a?
a?b?
a
b?
Z
X
a?b? b?
a
O
YH
YW
a?
b
30
点和直线
第四节 直线段的实长和
对投影面的倾角
31
点和直线
?
|zA-zB |
AB
A
B
b
b?
a
a?
C
X O
?
|zA-zB|
X
a?
a
b?
b
?
AB
ab
|zA-zB|
?
AB
|zA-zB|
ab
1,求直线的实长及对 H面的倾角 ?
32
点和直线
2,求直线的实长及对 V面倾角 ?
A
B
b
b?
a
a?
C
X O
|YA-YB|
a? X
a
b?
b a?b?
AB
?
AB
?
a?b?
|YA-YB|
|YA-YB|
AB ?
|YA-YB| ?
33
点和直线
3.求直线的实长及对 W面的倾角 ?
X
Z
Y
O
A
B
b
b?
a?
b?
a
a?
Z
X
a? b
a
O
YH
YW
a?
b
b?
?
|XA-XB|
34
点和直线
求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时
经常遇到的基本问题之一, 而用直角三角形法求解实长,
倾角又最为方便, 简捷 。
一, 直角三角形法的作图要领 用线段在某一投影面上的投影
长作为一条直角边, 再以线段的两端点相对于该投影面的
坐标差作为另一条直角边, 所作直角三角形的斜边即为线
段的实长, 斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的
夹角 。
二, 直角三角形的四个要素 直角三角形的四个要素即：实长
,投影长, 坐标差及直线对投影面的倾角 。 已知四要素中
的任意两个, 便可确定另外两个 。
三, 解题时, 直角三角形画在任何位置, 都不影响解题结果 。
但用哪个长度来作直角边不能搞错 。
35
点和直线
例题,已知 线段的实长 AB，求它的水平投影。
a
|zA-zB|
?
ab
?
a?b?
|yA-yB|
AB
AB
ab
|zA-zB|
b?
X
a?
b
AB
36
点和直线
第五节 点与直线的相对位置
直线与直线的相对位置
37
点和直线
一, 直线上的点
1,直线上点的投影
直线上的点具有两个特性,
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这
一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
2 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
A C,C B = a c, c b= a?c?, c?b? = a?c?, c? b?
A
B
b
b?
a
a? X O
c
c?
C
c
38
点和直线
1,直线上点的投影
b?
X
a?
a
b
c
c?
例题, 已知线段 AB的投影图，试将 AB分成 2, 1 两段，求分点 C
的投影。
39
点和直线
1,直线上点的投影
例题,已知点 C在线段 AB上，求点 C的正面投影。
b?
X a?
b
a
c
c? ac
cb
X O A
B
b
b?
a
a?
c?
C
c
H
V
40
点和直线
1,直线上点的投影
b
b?
X
a?
a
BC
例题,已知线段 AB的投影，试定出属于线段 AB的点 C的投影,使 BC 的
实长等于已知长度 L。
c
L
AB
zA-zB
c?
ab
41
点和直线
二, 两直线的相对位置
异面 直线
同面 直线 两直线平行
两直线垂直
两直线交叉
42
1,平行两直线
1,两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若两直线在同一投影
面上的投影相互平行，则该两直线平行。
2,平行两线段之比等于其投影之比。
X
b?
a
a?
d?
b b
c
c?
X
b?
a?
a
b d
c?
d?
c
A
B
C
D
43
2,相交两直线
两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线。 (即交点的投影
必须符合投影规律 )
反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点属于两直线，则该两直线
相交。
b?
X
a?
a
b
k?
c?
d?
d
c
k
X
B
D
A
C
K
b
b?
a
a?
c?
c
d
d?
k?
k
44
3,交叉两直线
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
b?
X
a?
a
b
c?
d?
d
c
1
1?(2?)
2
X O
B
D
A
C
b
b?
a
a?
c?
c d
d?
2
1
1?(2?)
2
1
45
3,交叉两直线
X O
B
D
A
C
b
b?
a
a?
c?
c
d
d?
(3?)4?
1(2) 4
3
3
4
1?
2?
1
2
判断重影点的可见性
时，需要看重影点在
另一投影面上的投影，
坐标值大的点投影可
见，反之不可见，不
可见点的投影加括号
表示。
交叉两直线重影点的可见性
46
例题：判断两直线的相对位置
d?
a?
c?
b?
o Y
W
YH
z
X
a?
a
c?
d?
d
c
b
b?
47
例题：判断两直线的相对位置
b
a?
a
c?
d?
d
c
b?
X
1?
1?d? 1?c?
1
48
三, 垂直两直线的投影
1,垂直相交的两直线的投影
直角投影定理,垂直相交的两直线，且其中一条直线平行于投影面时，则
两直线在该投影面上的投影必定垂直 (仍反映直角 ) 。
推论,相交两直线在同一投影面上的投影互相垂直 (即反映直角 )，且有一
条直线平行于该投影面，则空间两直线必定相互垂直 (夹角必是直角 )。
2,交叉垂直的两直线的投影
定理三,相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线
在该投影面上的投影仍反映直角。
定理四,两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该
投影面，则空间两直线的夹角必是直角。
49
垂直相交的两直线的投影
A
H
B
C a
c b
c
X
b? a?
c?
b
a
AB垂直于 AC,且 AB平行于 H面,则有 ab ? ac
50
交叉垂直的两直线的投影
B
H
A
C
c b
a
M
N
n
m
X
b? a?
b
a
m
n
n?
m?
AB垂直于 AC,且 AB平行于 H面,则有 ab ? ac
51
例题, 过点 A 作 EF 线段的垂线 AB，且 AB为正平线。
b
b?
a?
a
O
f
e?
e
f?
X
52
例题, 过点 E 作线段 AB,CD 的公垂线 EF。
f
f?
O
c
b?
a?
a b X
c? d?
d
e?
e
53
例题, 作三角形 ABC,ABC为直角，使 BC在 MN上，且 BC:AB =2:3。
b?
b c
AB
a?b?
|yA-yB|
b?c?=BC
c?
n
m?
a?
a
X
m
n?