1
平面
第一节 平面的投影
2
一, 平面的投影图
平面
a?
a
b?
c?
b
c
b?
a?
a
c?
b
c
b?
a?
a
c?
b
c
a?
a
b?
c?
b
c
a?
b? c?
a
b c
d?
d
不在同一直线上
的三个点
一直线和
直线外的一个点
相交二直线 任意 平面 图形
平行二直线
3
平面
二, 各类平面的投影特性
特殊位置平面
一般位置平面
投影面的垂直面
投影面的平行面
投影面的倾斜面
4
1,投影面的垂直面
平面
V
W
H
P
PH
A
B
C a
c
b
垂直于一个投影面，与其他两个投影面都成倾斜的平面。
5
1,投影面的垂直面 —— 铅垂面
平面
V
W
H
P
PH
投影特性,1,abc积聚为一条线
2, a?b?c?,a?b?c?为 ?ABC的类似形
3, abc与 OX,OY的夹角 反映 ?,?角的真实大小
A
B
C a
c
b
?
?
a?
b?
a?
b?
b
a
c
c? c?
6
1,投影面的垂直面 —— 正垂面
平面
V
W
H
Q
QV
投影特性,1,a?b?c? 积聚为一条线
2, abc,a?b?c?? ABC的类似形
3, a?b?c?与 OX,OZ的夹角 反映 α, ? 角的真实大小
?
α a?
b?
a?
b?
b
a
c? c?
c
A
c?
C
a?
b?
B
7
1,投影面的垂直面 —— 侧垂面
平面
V
W
H
SW S
投影特性,1,a?b?c?积聚为一条线
2, abc,a?b?c?为 ? ABC的类似形
3, a?b?c?与 OZ,OY的夹角 反映 α, β 角的真实大小
C
a?
b?
A
B
c?
a?
b? b?
b
a
a? α
β
c
c? c?
8
1,投影面的垂直面
平面
投影面垂直面的三面投影特点,
1,在所垂直的投影面上的投影 积聚 为一条不与投影面平行 (或垂直 )的
直线。
2,平面在不与它垂直的其他两投影面上的投影为原形的 类似形 。
垂直于一个投影面，与其他两个投影面都成倾斜的平面。
9
2,投影面的平行面
平面
平行于一个投影面 (即垂直于其他两个投影面 ) 的平面。
V
W
H
C
A B a? b?
c?
b
a
c
a? b?
c?
10
2,投影面的平行面 —— 水平面
平面
V
W
H
投影特性,
1,a?b?c?,a?b?c?积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性
2, 水平投影 abc反映 ? ABC实形
C
A B a? b?
c?
b
a
c
a? b?
c?
c
a? b? b?
b
a
a? c? c?
11
2,投影面的平行面 —— 正平面
平面
V
W
H
投影特性,
1,abc, a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性
2,正平面投影 a?b?c?反映 ? ABC实形
c?
a?
b? b?
a?
c?
b c a
b?
a?
c?
a?
b?
c?
b c a
C
B
A
12
2,投影面的平行面 —— 侧平面
平面
投影特性,
1,abc, a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性
2, 侧平面投影 a?b?c? 反映 ? ABC实形
V
W
H
a?
b? b?
b
a?
c? c?
c
a
b?
c?
b
a
c
a?
b?
c? C
A
B
a?
13
2,投影面的平行面
平面
投影面平行面的三面投影特点,
1,平面在所平行的投影面上的投影 反映实形 。
2,平行于一个投影面，必与其他两个投影面垂直；
其投影均 积聚 为一条直线，切分别平行于相应的投影轴。
平行于一个投影面 (即垂直于其他两个投影面 ) 的平面。
14
3,投影面的倾斜面（一般位置平面）
平面
与三个投影面都倾斜的平面。
a?
b?
c?
b
a c
a?
b?
C
A
B
15
3,投影面的倾斜面（一般位置平面）
平面
投影特性
1, abc, a?b?c?, a?b?c? 均为 ? ABC的类似形
2,不反映 ?,?,? 的真实角度
a?
b?
c?
b
a c
a?
b?
a?
b? b?
a?
c? c?
b
a
c
C
A
B
16
3,投影面的倾斜面（一般位置平面）
平面
与三个投影面都倾斜的平面。
投影面倾斜面的三面投影特点,
1,平面在三个投影面上的投影均不反映实形。
2,平面在三个投影面上的投影均不具有积聚性。
17
平面
第二节 平面上的点和直线
18
一, 平面上取直线和点
平面
1,平面上取直线
1,一直线经过平面上的两个点，则此直线一定在该平面上。
直线 DE过平面上的两个点 (D点和 E点 )
2,一直线经过平面上一个点，且平行于平面上另一直线，则此直线一定在该平面上。
直线 CF过平面上的点 (C点 )，且平行于直线 AB
A
B
C
E
D
a?
b?
c?
a
b
c
d?
d
e?
e
F
f
f?
19
一, 平面上取直线和点
平面
2,平面上取点
若点在平面上的任一直线上，则点一定在该平面上。
点 D在直线 DE上
点 E在直线 BC上
A
B
C D
E
a?
b?
c?
a
b
c
d?
d
e?
e
20
一, 平面上取直线和点
平面
例 1：已知 ? ABC给定一平面，试判断点 D是否属于该平面。
d?
d
a?
b?
c?
a
b
c
e
e?
21
一, 平面上取直线和点
平面
例 2：已知已知点 D在 ? ABC上，试求点 D的水平投影 。
d
d?
a?
b?
c?
a
b
c
e
e?
22
一, 平面上取直线和点
平面
例 3：已知点 E在 ? ABC上，试求点 E的正面投影 。
d
e?
d?
a?
b?
c?
a
b
c
e
23
一, 平面上取直线和点
平面
例 4：完成 L形平面的正面投影 (习题集,P10 2-2/(4)) 。
24
平面
1,平面上的直线对投影面的倾角最小
—— 平面上的投影面平行线
2,平面上的直线对投影面的倾角最大
—— 平面上的最大斜度线
二, 平面上的特殊直线
25
平面
二, 平面上的特殊直线
1.平面上的投影面平行线（对投影面的倾角为 0）
V
H
P
PV
PH
26
平面
二, 平面上的特殊直线
a?
b?
c?
b
a
c
m?
n?
n
m
例 5：已知 ?ABC给定一平面，试过点 C作属于该平面的正平线，过点 A
作属于该平面 的水平线。
27
平面
二, 平面上的特殊直线
例 6：已知点 E 在 ?ABC平面上，且点 E距离 H面 15，距离 V 面 10，试求点 E的投
影。
X
a?
b?
c?
b
a
c
m
n
m? n?
r s
r?
s?
10
15
e?
e
28
二, 平面上的特殊直线
2.平面上的最大斜度线（对投影面的倾角最大）
(1) 最大斜度线 对投影面的倾角最大，它反映该平面与投影面的倾角。
(2) 最大斜度线 与该平面上对某投影面的平行线相互垂直。
H
P
C
D
?
a
E1 ? S ?
A
E c
d
平面
29
二, 平面上的特殊直线
2.平面上的最大斜度线（对投影面的倾角最大）
(1) 平面对投影面的最大斜度线,
—— 必定垂直于平面上对该投影面的平行线 (AE⊥ DC)
—— 最大斜度线在该投影面上的投影必定垂直
于平面上该投影面平行线的同面投影。
(Ea ⊥ dc)
(2) 平面对投影面的倾角
平面上对该投影面最大斜度线对同一投
影面的倾角 ∠ AEa，即为平面对
投影面的倾角。
H
P
C
D
?
a
E1 ? S ?
A
E c
d
平面
30
二, 平面上的特殊直线
2.平面上的最大斜度线
平面
（ 1）平面上对水平投影面的最大斜度线 EF
AB平行于 H,EF垂直于 AB
V
H
W
P
B
A
E
F
31
二, 平面上的特殊直线
2.平面上的最大斜度线
平面
（ 2）平面上对正面投影面的最大斜度线 CD
AB平行于 V,CD垂直于 AB
V
H
W
P C
D
B
A
32
二, 平面上的特殊直线
2.平面上的最大斜度线
平面
（ 3） 平面上对侧面投影面的最大斜度线 MN
AB 平行于 W,MN垂直于 AB
V
H
W
P
B
A
M N
33
平面
二, 平面上的特殊直线
例 7：求作 ?ABC平面上对水平面
的最大斜度线 BE。
d?
d
e?
e
a?
b?
c?
a
b
c
34
平面
二, 平面上的特殊直线
例 8：求 ?ABC平面与水平投影面的夹角 α 。
be
α
BE
d?
d
e?
e
a?
b?
c?
a
b
c
35
平面
二, 平面上的特殊直线
例 9：求 ?ABC平面与水平投影面的夹角 β 。
d
d?
a
b
c
a?
b?
c? e?
b?e?
e
β
BE
36
平面
二, 平面上的特殊直线
例 10：已知直线 EF为某平面对 H面的最大斜度线，试作出该平面。
e
f
f?
e?
f
f?
e
e?
a
a?
给题
37
平面
第三节 直线与平面,
平面与平面的相对位置
38
一, 平行问题
1.直线与平面平行
平面
几何条件,
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平
面平行。
这是解决直线与平面平行作图问题的依据。
有关线、面平行的作图问题有,
判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线
作平面与另一已知直线平行。
39
一, 平行问题
1.直线与平面平行
平面
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
P
C
D B
A
40
一, 平行问题
平面
例 11：试判断直线 AB是否平行于定平面 。
f
g?
f?
g
b?
a?
a
b
c?
e?
d?
e
d
c 结论：直线 AB不平行于定平面
41
一, 平行问题
平面
例 12：试过点 K作水平线 AB
平行于 ΔCDE平面 。
b? a?
a
f?
f
b
c?
e?
d?
e
d
k?
k
c
过 K点和 ΔCDE平面 平
行的直线有无数条，但
水平线却只有一条 。
42
一, 平行问题
2.两平面平行
平面
几何条件,
1,若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对
应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。
2,两个平面垂直于某一投影面，在所垂直的投影面上的投影平
行，则此两平面平行。
这是两平面平行的作图依据。
两平面平行的作图问题有,
判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面
平行；已知两平面平行，完成其中一平面的投影平行。
43
一, 平行问题
2.两平面平行
平面
P S
E
F
D
A
C
B
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，
则此两平面平行
44
一, 平行问题
平面
例 13：试判断两平面是否平行。 f?
e?
d?
e
d
f
c?
a?
a
c
b?
b
m?
n?
m
n
r?
r
s
s?
结论：两平面平行
45
一, 平行问题
平面
例 14：已知定平面由平行两直线 AB和 CD给定。试过点 K作一平面平行于已知平
面 。 (习题集,P12 2-4/(4))
e
m? n?
m
n
f? e?
f s
r?
s?
r
d?
d
c?
a?
a
c
b?
b
k?
k
用两条相交的直线来表示一个平面
46
一, 平行问题
平面
例 15：试判断两平面是否平行。
结论：两平面平行
e
f? e?
f
s
r?
s?
d?
d
c?
a?
a
c
b?
b r P
H
SH
47
二, 相交问题
平面
直线与平面不平行 一定相交于一点（交点为共有点）
平面与平面不平行 一定相交于一条直线（交线为共有线）
48
二, 相交问题
平面
1.重影性法
应用范围：两相交几何元素 (直线或平面 )之一在投影面上的投影具
有重影性。
(1) 直线与特殊位置平面相交
(2) 一般位置平面与特殊位置平面相交
49
二, 相交问题
平面
1.重影性法 —— (1)直线与特殊位置平面相交 b?
b
a?
a
c
c?
m?
m
n
n?
V
H
PH
P
A
B
C a
c
b k
N
K
M
k
k?
50
二, 相交问题
平面
1.重影性法 —— (1)直线与特殊位置平面相交,判断直线的可见性
V
H
PH
P
A
B
C a
c
b k
N
K
M
b?
b
a?
a
c
c?
m?
m
n?
k
k?
n
51
二, 相交问题
平面
1.重影性法 —— (2)一般位置平面与特殊位置平面相交
n
l
m
m?
l?
n?
b a
c
c?
a?
b?
f
k
f?
k? V
H
M
m
n
l
P
B
C
a
c
b
PH
k
f
F
K
N
L
52
二, 相交问题
平面
1.重影性法 —— (2)一般位置平面与特殊位置平面相交,
判断平面的可见性
V
H
M
m
n
l
B
C
a
c
k
f
F
K
N
L
b?
b a
c
n
l
m
c?
m?
a?
l?
n?
f
k
f?
k?
53
二, 相交问题
平面
2.辅助平面法
应用范围：两相交几何元素 (直线或平面 )都不垂直于投影面。
（不具有重影性，利用辅助平面）
(1) 直线与一般位置平面相交
(2) 两一般位置平面相交
54
二, 相交问题
平面
2.辅助平面法 —— (1) 直线与一般位置平面相交 f?
e?
e
f
b
a?
a
c
b?
c?
1?
2?
QV
2
1
k
k?
步骤,
1,过 EF作正
垂平面 Q。
2、求 Q平面与
ΔABC的交线
ⅠⅡ 。
3、求交线
ⅠⅡ 与 EF的交
点 K。
55
二, 相交问题
平面
2.辅助平面法 —— (1) 直线与一般位置平面相交
A
B
C
过 MN作平面 Q垂直于 V投影面
M
N
以正垂面为辅助平面求线面交点
示意图
56
二, 相交问题
平面
2.辅助平面法 —— (1) 直线与一般位置平面相交
直线 EF与平面 ABC
相交，判别可见性 。 利
用
重
影
点。
判
别
可
见
性
( )
f?
e?
e
f
b
a?
a
c
b?
c?
1
2
4?
3?
2? 1?
3 4 （ ）
k
k?
57
二, 相交问题
平面
2.辅助平面法 —— (1) 直线与一般位置平面相交
H
V
a?
b?
c?
c e
a
A B
b
C
F
E
f?
f
k?
K
k
e?
直线 EF与平面 Δ ABC相交，判别
可见性示意图
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
1? (2?)
(4)
3
58
二, 相交问题
平面
2.辅助平面法 —— (2)两一般位置平面相交
两一般位置
平面相交，
求交线步骤,
1、用直线与
平面求交点
的方法求出
两平面的两
个共有点 K、
E。
b
a
c
c?
b?
a?
l
l?
n
m
m?
n? PV
QV
1?
2?
2
1
k?
k
e
e
2、连接两个
共有点，画
出交线 KE。
59
二, 相交问题
平面
2.辅助平面法 —— (2)两一般位置平面相交
两一般位置平面相交求交线
的方法 M
B
C
A
F
K
N
L
60
二, 相交问题
平面
2.辅助平面法 —— (2)两一般位置平面相交
两平面相交，判别可见性
b
a
c
c?
b?
a?
l
l?
n
m
m?
n?
k
e
e?
k?
3?
4?
( ) 3
4
2
1
( ) 1?
2?
61
二, 相交问题
平面
例 16：试过 K点作一直线平行于已知平面 ΔABC，并与直线 EF相交
a
c?
b
a?
c
b?
f?
e?
e
f
k?
k
62
二, 相交问题
平面
例 16：试过 K点作一直线平行于已知平面 ΔABC，并与直线 EF相交
分析,
F
C
A
B
E
K
H
过已知点 K作平面 P
平行 于 ? ABC；
直线 EF与平面 P交
于 H；
连接 KH,KH即为所
求。
63
二, 相交问题
平面
作图步骤
m?
n? h?
h
n
m
f
f?
a
c?
b
a?
c
b?
e?
e
k?
k
PV
1?
1
2?
2
1、过点 K作平面
KMN//? ABC平面。
2、过直线 EF作正垂
平面 P。
3、求平面 P与平面
KMN的交线 ⅠⅡ 。
4、求交线 ⅠⅡ 与
EF的交点 H。
5、连接 KH,KH即
为所求。
64
三, 垂直问题
平面
1.直线与平面垂直
直线与平面垂直的几何
条件, 若一直线垂直于
一平面，则必垂直于属
于该平面的一切直线。
V
A
D
C
B
E
65
三, 垂直问题
平面
1.直线与平面垂直
定理 1,若一直线垂直于一平面、则直线的水平投
影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直
线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正
面投影。
V
A
D
C
B
E
a?
a
d?
c?
b?
d
c
b
e?
e k
n
k?
n?
直角投影定理
66
三, 垂直问题
平面
1.直线与平面垂直
定理 2（逆）,若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；
直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线
必垂直于该平面。
a?
c a
c?
n?
n
k
f?
d?
b?
d
b
f
k?
V
A
D
C
B
E
直角投影定理
67
三, 垂直问题
平面
例 17：平面由 ΔBDF给定,
试过定点 K作平面的法线。
a?
c a
c?
n
n?
k
f?
d?
b?
d
b
f
k?
68
三, 垂直问题
平面
例 18,平面由两平行线 AB,CD给定，试判断直线 MN是否垂直于定平面 。
e? f?
e
m?
n
m
n?
c? a?
a
d? b?
c d
b
f
69
三, 垂直问题
平面
2.两平面垂直
Ⅱ
几何条件,若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于
该平面 。
A
D
70
三, 垂直问题
平面
2.两平面垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作
的垂线必属于第一个平面。
A
D
Ⅰ
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
Ⅱ
Ⅰ
A
D
71
三, 垂直问题
平面
例 19,平面由 ΔBDF给定,
试过定点 K作已知平面的垂面 。
g?
h
a?
c
a
c?
h?
k
k?
f?
d?
b?
d
b
f
g
72
三, 垂直问题
平面
例 20：试判断 Δ ABC与相交两直线
KG和 KH所给定的平面是否垂直。
g?
h?
a?
c
c?
k
k? b?
b
g
f?
f
d?
d
结论：因为 AD直线不在 ? ABC平面上，所以两平面不垂直。
73
三, 垂直问题
平面
例 20：试过定点 A作直线与已知直线 EF正交。
a?
e
f
a
f?
e?
74
三, 垂直问题
平面
E
分析,
过已知点 A作平面与已知直线 EF垂直交于点 K，连接 AK,AK即为所求。
F
A
K
75
三, 垂直问题
平面
2?
1
a?
e
f
a
f?
e?
1?
2
2?
1
PV
a?
e
f
a
f?
e?
1?
2
k?
k
平面
第一节 平面的投影
2
一, 平面的投影图
平面
a?
a
b?
c?
b
c
b?
a?
a
c?
b
c
b?
a?
a
c?
b
c
a?
a
b?
c?
b
c
a?
b? c?
a
b c
d?
d
不在同一直线上
的三个点
一直线和
直线外的一个点
相交二直线 任意 平面 图形
平行二直线
3
平面
二, 各类平面的投影特性
特殊位置平面
一般位置平面
投影面的垂直面
投影面的平行面
投影面的倾斜面
4
1,投影面的垂直面
平面
V
W
H
P
PH
A
B
C a
c
b
垂直于一个投影面，与其他两个投影面都成倾斜的平面。
5
1,投影面的垂直面 —— 铅垂面
平面
V
W
H
P
PH
投影特性,1,abc积聚为一条线
2, a?b?c?,a?b?c?为 ?ABC的类似形
3, abc与 OX,OY的夹角 反映 ?,?角的真实大小
A
B
C a
c
b
?
?
a?
b?
a?
b?
b
a
c
c? c?
6
1,投影面的垂直面 —— 正垂面
平面
V
W
H
Q
QV
投影特性,1,a?b?c? 积聚为一条线
2, abc,a?b?c?? ABC的类似形
3, a?b?c?与 OX,OZ的夹角 反映 α, ? 角的真实大小
?
α a?
b?
a?
b?
b
a
c? c?
c
A
c?
C
a?
b?
B
7
1,投影面的垂直面 —— 侧垂面
平面
V
W
H
SW S
投影特性,1,a?b?c?积聚为一条线
2, abc,a?b?c?为 ? ABC的类似形
3, a?b?c?与 OZ,OY的夹角 反映 α, β 角的真实大小
C
a?
b?
A
B
c?
a?
b? b?
b
a
a? α
β
c
c? c?
8
1,投影面的垂直面
平面
投影面垂直面的三面投影特点,
1,在所垂直的投影面上的投影 积聚 为一条不与投影面平行 (或垂直 )的
直线。
2,平面在不与它垂直的其他两投影面上的投影为原形的 类似形 。
垂直于一个投影面，与其他两个投影面都成倾斜的平面。
9
2,投影面的平行面
平面
平行于一个投影面 (即垂直于其他两个投影面 ) 的平面。
V
W
H
C
A B a? b?
c?
b
a
c
a? b?
c?
10
2,投影面的平行面 —— 水平面
平面
V
W
H
投影特性,
1,a?b?c?,a?b?c?积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性
2, 水平投影 abc反映 ? ABC实形
C
A B a? b?
c?
b
a
c
a? b?
c?
c
a? b? b?
b
a
a? c? c?
11
2,投影面的平行面 —— 正平面
平面
V
W
H
投影特性,
1,abc, a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性
2,正平面投影 a?b?c?反映 ? ABC实形
c?
a?
b? b?
a?
c?
b c a
b?
a?
c?
a?
b?
c?
b c a
C
B
A
12
2,投影面的平行面 —— 侧平面
平面
投影特性,
1,abc, a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性
2, 侧平面投影 a?b?c? 反映 ? ABC实形
V
W
H
a?
b? b?
b
a?
c? c?
c
a
b?
c?
b
a
c
a?
b?
c? C
A
B
a?
13
2,投影面的平行面
平面
投影面平行面的三面投影特点,
1,平面在所平行的投影面上的投影 反映实形 。
2,平行于一个投影面，必与其他两个投影面垂直；
其投影均 积聚 为一条直线，切分别平行于相应的投影轴。
平行于一个投影面 (即垂直于其他两个投影面 ) 的平面。
14
3,投影面的倾斜面（一般位置平面）
平面
与三个投影面都倾斜的平面。
a?
b?
c?
b
a c
a?
b?
C
A
B
15
3,投影面的倾斜面（一般位置平面）
平面
投影特性
1, abc, a?b?c?, a?b?c? 均为 ? ABC的类似形
2,不反映 ?,?,? 的真实角度
a?
b?
c?
b
a c
a?
b?
a?
b? b?
a?
c? c?
b
a
c
C
A
B
16
3,投影面的倾斜面（一般位置平面）
平面
与三个投影面都倾斜的平面。
投影面倾斜面的三面投影特点,
1,平面在三个投影面上的投影均不反映实形。
2,平面在三个投影面上的投影均不具有积聚性。
17
平面
第二节 平面上的点和直线
18
一, 平面上取直线和点
平面
1,平面上取直线
1,一直线经过平面上的两个点，则此直线一定在该平面上。
直线 DE过平面上的两个点 (D点和 E点 )
2,一直线经过平面上一个点，且平行于平面上另一直线，则此直线一定在该平面上。
直线 CF过平面上的点 (C点 )，且平行于直线 AB
A
B
C
E
D
a?
b?
c?
a
b
c
d?
d
e?
e
F
f
f?
19
一, 平面上取直线和点
平面
2,平面上取点
若点在平面上的任一直线上，则点一定在该平面上。
点 D在直线 DE上
点 E在直线 BC上
A
B
C D
E
a?
b?
c?
a
b
c
d?
d
e?
e
20
一, 平面上取直线和点
平面
例 1：已知 ? ABC给定一平面，试判断点 D是否属于该平面。
d?
d
a?
b?
c?
a
b
c
e
e?
21
一, 平面上取直线和点
平面
例 2：已知已知点 D在 ? ABC上，试求点 D的水平投影 。
d
d?
a?
b?
c?
a
b
c
e
e?
22
一, 平面上取直线和点
平面
例 3：已知点 E在 ? ABC上，试求点 E的正面投影 。
d
e?
d?
a?
b?
c?
a
b
c
e
23
一, 平面上取直线和点
平面
例 4：完成 L形平面的正面投影 (习题集,P10 2-2/(4)) 。
24
平面
1,平面上的直线对投影面的倾角最小
—— 平面上的投影面平行线
2,平面上的直线对投影面的倾角最大
—— 平面上的最大斜度线
二, 平面上的特殊直线
25
平面
二, 平面上的特殊直线
1.平面上的投影面平行线（对投影面的倾角为 0）
V
H
P
PV
PH
26
平面
二, 平面上的特殊直线
a?
b?
c?
b
a
c
m?
n?
n
m
例 5：已知 ?ABC给定一平面，试过点 C作属于该平面的正平线，过点 A
作属于该平面 的水平线。
27
平面
二, 平面上的特殊直线
例 6：已知点 E 在 ?ABC平面上，且点 E距离 H面 15，距离 V 面 10，试求点 E的投
影。
X
a?
b?
c?
b
a
c
m
n
m? n?
r s
r?
s?
10
15
e?
e
28
二, 平面上的特殊直线
2.平面上的最大斜度线（对投影面的倾角最大）
(1) 最大斜度线 对投影面的倾角最大，它反映该平面与投影面的倾角。
(2) 最大斜度线 与该平面上对某投影面的平行线相互垂直。
H
P
C
D
?
a
E1 ? S ?
A
E c
d
平面
29
二, 平面上的特殊直线
2.平面上的最大斜度线（对投影面的倾角最大）
(1) 平面对投影面的最大斜度线,
—— 必定垂直于平面上对该投影面的平行线 (AE⊥ DC)
—— 最大斜度线在该投影面上的投影必定垂直
于平面上该投影面平行线的同面投影。
(Ea ⊥ dc)
(2) 平面对投影面的倾角
平面上对该投影面最大斜度线对同一投
影面的倾角 ∠ AEa，即为平面对
投影面的倾角。
H
P
C
D
?
a
E1 ? S ?
A
E c
d
平面
30
二, 平面上的特殊直线
2.平面上的最大斜度线
平面
（ 1）平面上对水平投影面的最大斜度线 EF
AB平行于 H,EF垂直于 AB
V
H
W
P
B
A
E
F
31
二, 平面上的特殊直线
2.平面上的最大斜度线
平面
（ 2）平面上对正面投影面的最大斜度线 CD
AB平行于 V,CD垂直于 AB
V
H
W
P C
D
B
A
32
二, 平面上的特殊直线
2.平面上的最大斜度线
平面
（ 3） 平面上对侧面投影面的最大斜度线 MN
AB 平行于 W,MN垂直于 AB
V
H
W
P
B
A
M N
33
平面
二, 平面上的特殊直线
例 7：求作 ?ABC平面上对水平面
的最大斜度线 BE。
d?
d
e?
e
a?
b?
c?
a
b
c
34
平面
二, 平面上的特殊直线
例 8：求 ?ABC平面与水平投影面的夹角 α 。
be
α
BE
d?
d
e?
e
a?
b?
c?
a
b
c
35
平面
二, 平面上的特殊直线
例 9：求 ?ABC平面与水平投影面的夹角 β 。
d
d?
a
b
c
a?
b?
c? e?
b?e?
e
β
BE
36
平面
二, 平面上的特殊直线
例 10：已知直线 EF为某平面对 H面的最大斜度线，试作出该平面。
e
f
f?
e?
f
f?
e
e?
a
a?
给题
37
平面
第三节 直线与平面,
平面与平面的相对位置
38
一, 平行问题
1.直线与平面平行
平面
几何条件,
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平
面平行。
这是解决直线与平面平行作图问题的依据。
有关线、面平行的作图问题有,
判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线
作平面与另一已知直线平行。
39
一, 平行问题
1.直线与平面平行
平面
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
P
C
D B
A
40
一, 平行问题
平面
例 11：试判断直线 AB是否平行于定平面 。
f
g?
f?
g
b?
a?
a
b
c?
e?
d?
e
d
c 结论：直线 AB不平行于定平面
41
一, 平行问题
平面
例 12：试过点 K作水平线 AB
平行于 ΔCDE平面 。
b? a?
a
f?
f
b
c?
e?
d?
e
d
k?
k
c
过 K点和 ΔCDE平面 平
行的直线有无数条，但
水平线却只有一条 。
42
一, 平行问题
2.两平面平行
平面
几何条件,
1,若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对
应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。
2,两个平面垂直于某一投影面，在所垂直的投影面上的投影平
行，则此两平面平行。
这是两平面平行的作图依据。
两平面平行的作图问题有,
判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面
平行；已知两平面平行，完成其中一平面的投影平行。
43
一, 平行问题
2.两平面平行
平面
P S
E
F
D
A
C
B
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，
则此两平面平行
44
一, 平行问题
平面
例 13：试判断两平面是否平行。 f?
e?
d?
e
d
f
c?
a?
a
c
b?
b
m?
n?
m
n
r?
r
s
s?
结论：两平面平行
45
一, 平行问题
平面
例 14：已知定平面由平行两直线 AB和 CD给定。试过点 K作一平面平行于已知平
面 。 (习题集,P12 2-4/(4))
e
m? n?
m
n
f? e?
f s
r?
s?
r
d?
d
c?
a?
a
c
b?
b
k?
k
用两条相交的直线来表示一个平面
46
一, 平行问题
平面
例 15：试判断两平面是否平行。
结论：两平面平行
e
f? e?
f
s
r?
s?
d?
d
c?
a?
a
c
b?
b r P
H
SH
47
二, 相交问题
平面
直线与平面不平行 一定相交于一点（交点为共有点）
平面与平面不平行 一定相交于一条直线（交线为共有线）
48
二, 相交问题
平面
1.重影性法
应用范围：两相交几何元素 (直线或平面 )之一在投影面上的投影具
有重影性。
(1) 直线与特殊位置平面相交
(2) 一般位置平面与特殊位置平面相交
49
二, 相交问题
平面
1.重影性法 —— (1)直线与特殊位置平面相交 b?
b
a?
a
c
c?
m?
m
n
n?
V
H
PH
P
A
B
C a
c
b k
N
K
M
k
k?
50
二, 相交问题
平面
1.重影性法 —— (1)直线与特殊位置平面相交,判断直线的可见性
V
H
PH
P
A
B
C a
c
b k
N
K
M
b?
b
a?
a
c
c?
m?
m
n?
k
k?
n
51
二, 相交问题
平面
1.重影性法 —— (2)一般位置平面与特殊位置平面相交
n
l
m
m?
l?
n?
b a
c
c?
a?
b?
f
k
f?
k? V
H
M
m
n
l
P
B
C
a
c
b
PH
k
f
F
K
N
L
52
二, 相交问题
平面
1.重影性法 —— (2)一般位置平面与特殊位置平面相交,
判断平面的可见性
V
H
M
m
n
l
B
C
a
c
k
f
F
K
N
L
b?
b a
c
n
l
m
c?
m?
a?
l?
n?
f
k
f?
k?
53
二, 相交问题
平面
2.辅助平面法
应用范围：两相交几何元素 (直线或平面 )都不垂直于投影面。
（不具有重影性，利用辅助平面）
(1) 直线与一般位置平面相交
(2) 两一般位置平面相交
54
二, 相交问题
平面
2.辅助平面法 —— (1) 直线与一般位置平面相交 f?
e?
e
f
b
a?
a
c
b?
c?
1?
2?
QV
2
1
k
k?
步骤,
1,过 EF作正
垂平面 Q。
2、求 Q平面与
ΔABC的交线
ⅠⅡ 。
3、求交线
ⅠⅡ 与 EF的交
点 K。
55
二, 相交问题
平面
2.辅助平面法 —— (1) 直线与一般位置平面相交
A
B
C
过 MN作平面 Q垂直于 V投影面
M
N
以正垂面为辅助平面求线面交点
示意图
56
二, 相交问题
平面
2.辅助平面法 —— (1) 直线与一般位置平面相交
直线 EF与平面 ABC
相交，判别可见性 。 利
用
重
影
点。
判
别
可
见
性
( )
f?
e?
e
f
b
a?
a
c
b?
c?
1
2
4?
3?
2? 1?
3 4 （ ）
k
k?
57
二, 相交问题
平面
2.辅助平面法 —— (1) 直线与一般位置平面相交
H
V
a?
b?
c?
c e
a
A B
b
C
F
E
f?
f
k?
K
k
e?
直线 EF与平面 Δ ABC相交，判别
可见性示意图
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
1? (2?)
(4)
3
58
二, 相交问题
平面
2.辅助平面法 —— (2)两一般位置平面相交
两一般位置
平面相交，
求交线步骤,
1、用直线与
平面求交点
的方法求出
两平面的两
个共有点 K、
E。
b
a
c
c?
b?
a?
l
l?
n
m
m?
n? PV
QV
1?
2?
2
1
k?
k
e
e
2、连接两个
共有点，画
出交线 KE。
59
二, 相交问题
平面
2.辅助平面法 —— (2)两一般位置平面相交
两一般位置平面相交求交线
的方法 M
B
C
A
F
K
N
L
60
二, 相交问题
平面
2.辅助平面法 —— (2)两一般位置平面相交
两平面相交，判别可见性
b
a
c
c?
b?
a?
l
l?
n
m
m?
n?
k
e
e?
k?
3?
4?
( ) 3
4
2
1
( ) 1?
2?
61
二, 相交问题
平面
例 16：试过 K点作一直线平行于已知平面 ΔABC，并与直线 EF相交
a
c?
b
a?
c
b?
f?
e?
e
f
k?
k
62
二, 相交问题
平面
例 16：试过 K点作一直线平行于已知平面 ΔABC，并与直线 EF相交
分析,
F
C
A
B
E
K
H
过已知点 K作平面 P
平行 于 ? ABC；
直线 EF与平面 P交
于 H；
连接 KH,KH即为所
求。
63
二, 相交问题
平面
作图步骤
m?
n? h?
h
n
m
f
f?
a
c?
b
a?
c
b?
e?
e
k?
k
PV
1?
1
2?
2
1、过点 K作平面
KMN//? ABC平面。
2、过直线 EF作正垂
平面 P。
3、求平面 P与平面
KMN的交线 ⅠⅡ 。
4、求交线 ⅠⅡ 与
EF的交点 H。
5、连接 KH,KH即
为所求。
64
三, 垂直问题
平面
1.直线与平面垂直
直线与平面垂直的几何
条件, 若一直线垂直于
一平面，则必垂直于属
于该平面的一切直线。
V
A
D
C
B
E
65
三, 垂直问题
平面
1.直线与平面垂直
定理 1,若一直线垂直于一平面、则直线的水平投
影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直
线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正
面投影。
V
A
D
C
B
E
a?
a
d?
c?
b?
d
c
b
e?
e k
n
k?
n?
直角投影定理
66
三, 垂直问题
平面
1.直线与平面垂直
定理 2（逆）,若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；
直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线
必垂直于该平面。
a?
c a
c?
n?
n
k
f?
d?
b?
d
b
f
k?
V
A
D
C
B
E
直角投影定理
67
三, 垂直问题
平面
例 17：平面由 ΔBDF给定,
试过定点 K作平面的法线。
a?
c a
c?
n
n?
k
f?
d?
b?
d
b
f
k?
68
三, 垂直问题
平面
例 18,平面由两平行线 AB,CD给定，试判断直线 MN是否垂直于定平面 。
e? f?
e
m?
n
m
n?
c? a?
a
d? b?
c d
b
f
69
三, 垂直问题
平面
2.两平面垂直
Ⅱ
几何条件,若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于
该平面 。
A
D
70
三, 垂直问题
平面
2.两平面垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作
的垂线必属于第一个平面。
A
D
Ⅰ
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
Ⅱ
Ⅰ
A
D
71
三, 垂直问题
平面
例 19,平面由 ΔBDF给定,
试过定点 K作已知平面的垂面 。
g?
h
a?
c
a
c?
h?
k
k?
f?
d?
b?
d
b
f
g
72
三, 垂直问题
平面
例 20：试判断 Δ ABC与相交两直线
KG和 KH所给定的平面是否垂直。
g?
h?
a?
c
c?
k
k? b?
b
g
f?
f
d?
d
结论：因为 AD直线不在 ? ABC平面上，所以两平面不垂直。
73
三, 垂直问题
平面
例 20：试过定点 A作直线与已知直线 EF正交。
a?
e
f
a
f?
e?
74
三, 垂直问题
平面
E
分析,
过已知点 A作平面与已知直线 EF垂直交于点 K，连接 AK,AK即为所求。
F
A
K
75
三, 垂直问题
平面
2?
1
a?
e
f
a
f?
e?
1?
2
2?
1
PV
a?
e
f
a
f?
e?
1?
2
k?
k
