高级微观经济学（均衡理论）讲稿整理二
（ 05 年 11 月 28 日上课内容 ）
授课：Prof. Gene Chang （张欣 教授）
复旦大学 和 University of Toledo, USA.
genechang@buckeye-express.com
内容：一般均衡理论，一般非均衡理论，一般均衡的应用
参考教材：Hal Varian 《Microeconomic Analysis》
Jehle and Reny “Advanced Microeonomic Theory ”
Mas-Colell, Whinston and Green, “Microeconomic Theory ”
记录整理：韩丽妙， email：052015041@fudan.edu.cn
帮助整理：苗瑞卿， email： miaoruiqing@126.com
1
在 1.3 我们讨论了为保证一般均衡的存在，消费方面必须满足的一些条件，在
1.4中我们将继续讨论为保证一般均衡的存在，在生产集方面必须满足的条件。
这些条件主要是Debreu建立的。
1.4 生产理论
我们研究的经济共有 1,...,j n= 个商品和市场。厂商 k 在可行的条件下有不同生产
计划选择。每个生产计划记为
1
( ,..., )
n
kk
y y=
k
y 。若
j
k
y 0< ， 为生产中的纯投入
品。或 >0，则 k 为生产中的纯产出品。
k
k
j
y
下面为了记号简洁，我们假设一个厂商生产一种商品,所以共有 1,...,j n= 个厂商
和商品。厂商 k 的所有可供选择的生产计划为他的生产可能性集，或生产集。即：
j
Y ：表示厂商 j的生产集，
j
Y =
j
yU ；
Y ：表示整个经济的生产集，
n
j
j
YY=
∑
；
二, 基本假设
对任何一个厂商而言，为了保证一般均衡的存在，其生产集应该满足以下条件。
(1)
n
j
RY ∈∈}0{
生产集在实数空间。原点 属于生产集，表示所有的投入与产出都为 0。这意
味着工厂可以无所作为，既不生产，也不投入。
}0{
(2) ，即生产集和正空间的唯一交集是 ； }0{=
+
n
j
RY I }0{
正空间（ 除外）不属于生产集。正空间}0{ 0
k
j
y? ≥ （ 除外）为只有产出，没
有投入的情况，不存在。“没有免费的午餐”。
}0{
(3) 是闭集。也就是说， 和 Y 都是连续的。
j
YY U=
j
Y
闭集意味着连续性。闭集的特性是，所有收敛的序列 {}
i
j
Y
j
∈y 的极限
j
y 也 。
这也是连续性的描述。
j
Y∈
(4) 和 Y 都是凸的；
j
Y
2
含义： 都有],1,0[,,
"'
∈?∈? tY
jjj
yy
"'
)1(
jj
tt yy ?+
j
Y∈ 。这里意味着生产函数是收
益恒等或收益递减的。
(5) }0{=?
jj
YY I
表示生产是不可逆的(irreversibility)。除了原点 ,若 }0{
j
Y∈
j
y ，那么 。
j
Y??
j
y
例如：若 ，那么
j
Y∈? )1,2(
j
Y?? )1,2( 。
显然，若 是严格凸的，那么必满足不可逆性；若 是非严格凸的(weakly
convex)，当它在二维空间生产边界是一条过原点的直线时，为满足不可逆性，
该直线关于原点对称的两段不能同时属于生产集 。如下图所示：
j
Y
j
Y
j
Y
图一, (阴影部分)为严格凸的，必满足不可逆性；
j
Y
2
j
y
1
j
y
o
图二, (阴影部分)为非严格凸的，关于原点对称的生产边界上的生产点不能同
时属于 ；
j
Y
j
Y
3
2
j
y
1
j
y
o
或者：
2
j
y
1
j
y
o
(6)
j
n
YR ∈?
+
生产集包括负数空间。这意味着可以“免费扔弃 (free disposal)”。厂商
可以只有投入，没有产出，如下图二维空间的情况所示的第三象限。厂商也可以
不开足生产能力生产，如下图S1和S2的区间。
第三象限的所有点（阴影部分S2）在生产集内，此时所有的 ，即只有
投入，没有产出。
k
j
y 0<
4
S1
S3
2
j
y
1
j
y
o
S2
由于 是严格凸的，结合(4)不难证明S1,S2区域（如上图所示）也在生产集内；
j
Y
简要图示证明如下：
'
j
y
?
"
j
y
?
S1
S3
2
j
y
1
j
y
o
S2
如上图所示， ，则由于 是凸集，所以 与 连线上的点都
在 内，依此类推，可知S1内的点都在生产集内；同理可证S2内的点也都在生
产集内。
1,2
"'
SySy
jj
∈?∈?
??
j
Y
'
j
y
?
"
j
y
?
j
Y
三, 生产函数的凹凸性
以前在学厂商理论的时候，多用生产函数的方式来讨论生产技术的特性。现
在我们回顾一下生产函数，然后讨论生产函数和生产集和一般均衡的关系。
1，生产函数的凹凸性与一般均衡的存在
5
首先注意，函数的凹凸性和集合的凸性是不同的概念，虽然它们有关联。生产函
数一般写成 ()y f= x 。x 为投入,是个向量。 ()f x 为产出，是个单值。在生产集
内， 是给定投入能达到的最大产出。数学表达为 ( ) max{ : ( , ) }f zz Y= ?∈xx。
我们先看生产函数的特性。我们下面用单个投入的简单生产函数图示。
(1)生产函数是严格凹的(strictly concave)
*
x
*
y
'( )
x
y
p
fx
p
=
x
y
0
)( xfy =
此时厂商为实现成本最小化，会在生产函数 )(xfy = 的斜率等于
y
x
p
p
处生产，投
入为 ，产量为 。我们可以确定一个单一的产出点。
*
x
*
y
(2)生产函数是非严格凹的(weakly concave)
x
y
o
)(xfy =
除了前面讨论过的生产函数严格凹的情况，这里允许规模报酬恒等的情况存在，
如上图所示。在规模报酬恒等的情况下，函数的斜率 '( )f x 是个常量。产出由价
格和斜率的关系决定。有下列三种情况。
6
当价格
y
x
p
p
等于斜率 '( )f x 时， )(xfy = 上的任何点都满足成本最小化的条
件，产出可以是从0到无穷大。所以不能确定特定的产量。如果一般均衡存在，
它的均衡价格必须等于斜率 '( )f x 。
当价格
y
x
p
p
小于斜率 '( )f x 时，即x的边际产出恒大于
y
x
p
p
，生产越多利润越
大，此时产出趋向 。这种情况下一般均衡不存在。 ∞+
当
y
x
p
p
大于斜率 '( )f x 时，生产会造成亏损，此时厂商产量为0；
(3)生产函数是凸的(convex)
x
y
o
)(xfy =
这是规模报酬递增，生产越多利润越高，所以产出会趋于 ∞+ ；
总结(1)(2)(3)可知，只有当生产函数 ()y f= x 是严格凹的时候，才可能保证有
单一的最优生产点，继而保证一般均衡的存在。在非严格凹的情况下也可能，但
有更多的限制条件。 接下来我们从生产集的凹凸性入手来讨论一般均衡的存在
条件。
2，生产集的凹凸性与一般均衡的存在
经济学文献中经常讲到， “技术是凸性的” 。 这里有两种定义。比较广泛使用的
定义是指生产集 Y 是凸集。这也是我们用的定义。也有人将“凸性技术”定义为
“投入要素集是凸集”。其中投入要素集 V , {: () }Vfy= ≥xx 。这这两种定义实
际是不同的。
通过图一，图二可比较这两种定义的区别。
图一： Y 是凸集，投入要素集 V 也是凸集。这里意味着生产函数是凹的，例如规
模报酬递减的情况。
7
0
1
x?
y
V
2
x?
图二： Y 不是凸集，投入要素集 V 是凸集。这时的生产函数是拟凹的，例如规模
报酬递增的情况。
1
x?
y
V
2
x?
0
所以定义一比定义二的要求更严格。
推论(Proposition):
若厂商 j的生产集 是严格凸的，那么 对应的生产函数是严格凹的；
j
Y
j
Y
若厂商 j的生产集 是凸的，那么 对应的生产函数是凹的；
j
Y
j
Y
在给出该推论的证明之前，我们先定义生产函数(Production function) ()f x :
定义： 生产函数 ( ) max{ : ( , ) }f zz Y=?x ∈x，其中， (, )zY= ?∈yx， z ， x 为
投入。
R∈
8
证明（用反证法）：
假设 ()f x 不是一个凹函数，那么 上必可找到不同的两点 与 ，
， ；
)(
?
xf
'
j
y
"
j
y
''
'(, ) zY=?∈yx
"""'
(, )zY=?∈yx
其中某个 ，有 ， ]1,0[∈t
'" '
(1 ) [ ( ) (1 )( ) ]tz t z f t t+? > ?+??xx
"
"
1),()(1)()]tz t z t t+? ?+??xx
'"
(1 )
jj
t+?
所以， ，
'" '
(1 ) max{ : [ , ( ) (1 )( ) ]}tz t z z z t t+? > ?+??xx
所以 [( =
'"' "
tyyY? ，
这与 Y 是凸集矛盾，
所以假设不成立；得证 是凹函数。 )(xf
第二章，一般均衡理论(Theory of General Equilibrium)
一般均衡涉及的部门和变量和他们之间的关系如下图所示：
消费者
商品
市场
厂商
要素
市场
d
x
s
x
d
F
d
F
利润 ( π )
家庭在预算约束下实现效用最大化，即
9
u( )
s.t
Max
I π== +
x
px wF
厂商实现利润最大化，即
)( wFpx ?Max
其中， p：商品的价格向量；
x：商品的消费向量；
I ：家庭的总收入；
w ：要素价格向量；
F：要素向量；
π ：厂商转移给家庭的转移利润；
2.1 单纯交换经济的一般均衡条件
为了方便分析，我们先研究单纯交换经济。在单纯交换经济中，消费者将自己所
有的商品和其他消费者交换。他们同时是供应方和需求方。由于各部门和变量之
间的依赖，
我们可将一般均衡简化如下：
d
x
s
x
商品市场 消费者
一， 一般均衡的定义
i：消费者 ，i=1,2……n; i
i
e ：消费者 i的禀赋；
()
i
u x ：消费者 i的偏好 { ; }
inull
f
),(
i
d
i
pepx :消费者 i在价格向量 和禀赋 约束下的需求； p
i
e
10
显然 可由 ),(
i
d
i
pepx }:)({
iii
IuMax pepxx =≤ 求得。
定义：
一般均衡(General Equilibrium )是指能使所有市场同时出清(Market clear)
或超额总需求(Excess Demand ) ≤0 的这样一组价格向量和商品向量的组合
。 ),(
**
xp
上述定义也称为瓦尔拉斯一般均衡 （或瓦尔拉斯均衡 ） ，或 瓦尔拉斯竞争均
衡 （竞争均衡）。
其中，超额总需求（excess demand） ()
dsd
= ?=?zp x x x e；
,,
ssdd
ii
===
∑∑∑
xxxxe ,
i
e
当 ＝0时，需求相等，市场出清； ()zp
当 < 0时，存在超额供给，如下图所示： )(pZ
Excess supply
e
1
x
2
x
o
预算线，此时
1
p ＝0
IC
二， 埃奇沃斯框图（Edgeworth Box）的分析一般均衡
埃奇沃斯框图是一个分析一般均衡均衡的非常有用的直观工具。
假设只有两个消费者A,B,两种商品1，2。
A，B的无差异曲线如下图图一，图二所示。
图一： 表示A的禀赋；
A
e
11
A
e
1
x
2
x
o
IC
图二： 表示B的禀赋；
B
e
B
e
1
x
2
x
o
IC
用Edgeworth Box描述：
2
x
1
xA
B
A
A
B
B
预算线
商品1,2 的相对价格
12
三， 瓦拉斯法则(Walras Law)
1，瓦拉斯法则的描述及证明
Walras Law: 对 ,()0? =ppzp 。
其中 ； ()
dsd
=?=?zp x x x e
证明：
() ( ) ( ) 0
dd
iiii
ii i
=?=?
∑∑∑
pz p p x e px pe
i
=
这是因为每个消费者的i预算制约 0
d
ii
? =px pe 。
2，瓦拉斯法则的推论
【1】假如n-1个市场都达到了市场出清，那么第n个市场也会自动达到出清。
【2】免费商品（Free good）推论:若 00)( =?<
kk
pz p ，
即某种商品若存在超额供给（超额需求小于0），那么这种商品一定是免费商
品（价格为0）。
证明：
根据定义，
00)(
;0,
0, Law
00
0,0
k
=<
=?
=
<=
≥≤
∑
kk
kk
kk
kkkk
kk
pz
pzk
pzWalras
pzpz
pz
，一定有所以，当
所以
由
或所以，
p
当消费者的偏好单调时，那么一定有 0=
k
z ，即市场出清；
当消费者偏好只满足局部非饱和性而不满足单调性时，可能存在超额供给，即
0<
k
z
四， 一般均衡的存在性(Existence of G.E)
1，不动点定理(Fixed Point Theory)
为了使用不动点定理，我们先要使定义域成为紧集。这里，紧集定义为在实数空
间里有界的闭集(closed and bounded)。 这里我们用Simplex,一种特殊的紧集。
定义为：
?
?
?
?
?
?
=∈=
∑+
?
n
t
t
n
n
n
xRxxS 1:),,(
1
1
K
13
利用 是零次齐次的特性，即 ()zp () ()t =zp zp，将绝对价格变为如下的相对价格。
t
p? 表示商品的绝对价格(Absolute price of good), t=1,2……，n;
则相对价格
∑
=
n
j
j
t
t
p
p
p
?
?
,
因而得到
∑
,即相对对价格之和为零。 =
n
t
t
p 1
如当n=2时，有 ，如图所示： 1
21
=+ pp
2
p
1
p
1
21
=+ pp
1
1
o
当n=3时，有 1
321
=++ ppp ，如图所示：
1
2
p
1
p
o
3
p
1
14
