第九章
刚体的平面运动
§ 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解
刚体平面运动：行星齿轮
1、平面运动
刚体平面运动：车轮运动情况
平面图形
在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相
等的距离，这种运动称为平面运动。
2、运动方程
? ?
? ?
? ?
1
2
3
O
O
x f t
y f t
ft?
?
?
??
?
??
?
??
基点
O
?
??
? 转角
3、运动分析
= +
平面运动 = 随 的平移 +绕 点的转动O x y? ? ? O?
O x y? ? ?? 平移坐标系
平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中平移的
速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角
速度和角加速度与基点的选择无关。
§ 9-2 求平面图形内各点速度的基点法
1、基点法
动点,M
绝对运动,待求
牵连运动, 平移
M e r Ov v v v O M?? ?? ? ? ? ?rr r r r
动系, (平移坐标系 )O x y? ? ?
相对运动, 绕 点的圆周运动O?
任意 A,B两点
B A B Av v v??
r r r
其中
平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点
随图形绕基点转动速度的矢量和。
例 9-1 椭圆规尺的 A端以速度 vA沿 x 轴的负向运
动，如图所示,AB=l。
求,B端的速度以及尺 AB的角速度。
解,1,AB作平面运动 基点,A
A B A Bv A B l v?? ?
rr,已知：,, 。 求,。
?s in
A
BA
vv ?
?? s inl
v
l
v ABA
AB ??
2
B A B A
A
v v v
v
??
? ? ?
r r r
、
大小？
方向
?cotAB vv ?
例 9-2 如图所示平面机构中,AB=BD= DE=
l=300mm。在图示位置时,BD∥ AE，杆 AB的角速度为
ω=5rad/s。
求：此瞬时杆 DE的角速度和杆 BD中点 C的速度。
解,1, BD作平面运动 基点,B
3 0 0 m m,//,5 r a d sAB
DE C
A B B D D E l B D A E
v
??
?
? ? ? ? ? ?
。
已知,。
求：,
lvvv BDBD ????
5 r a d sDBDE vvD E l??? ? ? ?
5 r a d sD B BBD vvB D l??? ? ? ?
2
D B D Bv v v
l?
??
? ? ?
r r r
、
大小？
方向
3 0 0 m m,//,5 r a d sAB
DE C
A B B D D E l B D A E
v
??
?
? ? ? ? ? ?已知,。
求：,
22 1,29 9 m s
C B CBv v v
BD
? ? ?
方向沿 杆向右
3
2
C B C B
BD
v v v
ll??
??
??
r r r
、
大小？
方向
例 9-3 曲柄连杆机构如图所示,OA =r,AB= 。
如曲柄 OA以匀角速度 ω转动。
r3
0 6 0 9 0 B? ? o o o求：当,, 时点 的速度。
解,1,AB作平面运动 基点,A
3,,O A BO A A Br r v???? ? r已知,求,。。
?90??
0,??? BAAB vrvv ?
0Bv ?0? ? ?
?60??
33230c o s rvv AB ??? ?
2
B A B Av v v
r?
??
? ? ?
r r r
、
大小？
方向
例 9-4 如图所示的行星轮系中，大齿轮 Ⅰ 固定，半
径为 r1,行星齿轮 Ⅱ 沿轮 Ⅰ 只滚而不滑动，半径为 r2。
系杆 OA角速度为 。
O?
求：轮 Ⅱ 的角速度 ωⅡ 及其上 B,C 两点的速度。
解, 1、轮 Ⅱ 作平面运动 基点,A
? ?12D A A Ov v r r?? ? ?
1
22
1D A A Ov v r
D A r r
?? ??? ? ? ???
??
Ⅱ
20D A D Av v v? ? ?r r r、
12,,O A Orr ?? ?已知,。
ω Ⅱ 。,,
BCvv求：
? ?2122 2 rrvvv OBAAB ???? ?
? ?1 2 2
B A B A
O
v v v
r r r??
??
?
? ? ?
r r r
Ⅱ大小
方向
？
３、
? ?212 rrvvv OCAAC ???? ?
4 C A C Av v v??r r r、
12,,O A Orr ?? ?已知,。
ω Ⅱ 。,,
BCvv求：
2、速度投影定理
同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上
的投影相等。
沿 AB连线方向上投影
? ? ? ?BAA B A Bvv?rr
B A B Av v v??
r r r由
例 9-5 如图所示的平面机构中，曲柄 OA长
100mm，以角速度 ω=2rad/s转动。连杆 AB带动摇杆
CD，并拖动轮 E沿水平面纯滚动。已知,CD=3CB，
图示位置时 A,B,E三点恰在一水平线上，且
CD⊥ ED。
求：此瞬时点 E的速度。
解,1,AB作平面运动
? ?B A A BABvv?rr（）
OAv B ?? ??30c o s
sm2 3 0 9.030c o s ??? ?OAv B ?
1 0 0 m m,2 r a d s,3,OA
E
O A C D C B C D E D
v
??? ? ? ? ?已知,。
求,。
2,CD作定轴转动，转动轴,C
3 0,6 9 2 8 m sBDBvv C D vCB? ? ? ?
3,DE作平面运动
? ?
c o s 3 0
0,8 m s
c o s 3 0
E D D EDE
ED
D
E
vv
vv
v
v
?
?
??
o
o
rr
（）
1 0 0 m m,2 r a d s,3,OA
E
O A C D C B C D E D
v
??? ? ? ? ?已知,。
求,。
§ 9-3 求平面图形内各点的瞬心法
一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一
个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。
1、定理
基点, A
M A M Av v v??
r r r
MAv v A M?? ? ?
0 AC vv A C
?
? ? ?
平面图形内任意点的速
度等于该点随图形绕瞬时速
度中心转动的速度。
基点, C
M M Cvv CM?? ? ?
r r r uuuur
2、平面图形内各点的速度分布
3、速度瞬心的确定方法
,A B A Bv v v vr r r r已知,的方向，且 不平行于 。
00
B A A B
B A A B
B A M
v v v
v
vvv
?
??
? ? ? ?
? ? ?
r r r
r
rrr
瞬时平移 (瞬心在无穷远处 )
/ /,ABv v A Brr 且不垂直于
纯滚动 (只滚不滑 )约束
运动方程 (例 6-6)
? ?
? ?
s in
1 c o s
x r t t
y r t
??
?
????
?
????
? ?1 c o s
s in
x
y
v r t
v r t
??
??
????
? ?
??
2|0kvC??? ? ? ?瞬心
例 9-6 椭圆规尺的 A端以速度 vA沿 x 轴的负向
运动，如图所示,AB=l。
求：用瞬心法求 B
端的速度以及尺 AB的
角速度。
解,AB作平面运动，速度瞬
心为点 C。
?? s inl
v
AC
v AA
AB ??
?? c o tAABB vBCv ???
A B A Bv A B l v?? ?
rr,已知：,, 。 求,。
例 9-7 矿石轧碎机的活动夹板长 600mm,由曲
柄 OE借连杆组带动，使它绕 A轴摆动，如图所示。曲
柄 OE长 100 mm，角速度为 10rad/s。连杆组由杆 BG，
GD和 GE组成，杆 BG和 GD各长 500mm。
求：当机构在图示位置时，夹板 AB的角速度。
解, 1、杆 GE作平面运动，瞬心为 C1 。
sr a d2968.0
11
???? EC OEECv EGE ??
sm0 6 6.11 ??? GCv GEG ?
mm359115s in 01 ?? OGGC
8 0 0m m 5 0 0m m s i n 1 5 9 2 9, 4m mOG ? ? ?o
11 3 3 6 9 m mE C O C O E? ? ?
6 0 0 m m,1 0 0 m m,1 0 r a d s,5 0 0 m m
,AB
A B O E B G G D?
?
? ? ? ? ?已知,。
求。
2、杆 BG作平面运动，瞬心 为 C。
G
BG
v
GC? ?
c os 60
B B G G
G
BC
v BC v
GC
v
?? ? ? ?
? o
sr a d8 8 8.060c o s ??? ABvABv GBAB
?
?
§ 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随
图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
tnB e r ra a a a? ? ?r r r r
tnB A B A B Aa a a a? ? ?r r r r
,
t
t BA
BA
a A Ba
AB
?
?
? ???
?
??
r 大小
方向垂直于 指向同
2n
n BA
BA
a A Ba
BA
?? ???
?
??
r 大小
方向由 指向
A,基点,平移坐标系''Ax y
例 9-8 如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系
杆以匀角速度 ω1绕 O1转动。大齿轮固定，行星轮半径
为 r，在大轮上只滚不滑。设 A和 B是行星轮缘 上的两
点，点 A在 O1O的延长线上，而点 B在垂直于 O1O的半
径上。
求：点 A和 B的加速度。
解, 1、轮 Ⅰ 作平面运动，瞬心为 C。
1
2
Ov l
rr
?? ??
2d 0
d t
?? ??
11 1 1,,,,O O A BO O l r r a a??? ? ?
rr已知,纯滚动。求,。
2、选基点为 Ｏ
√ √ √
22
12?0
tn
A O A O A Oa a a a
lr??
? ? ?
r r r r
大小
方向
2
22
11
2
1
( 1 )
n
A O AO
a a a
l
l
r
l
l
r
??
?
??
??
??
11 1 1,,,,O O A BO O l r r a a??? ? ?
rr已知,纯滚动。求,。
22
12
3
0
tn
B O B O B Oa a a a
lr??
? ? ?
r r r r
、
大小
方向 √ √ √
? ?
2
2
2
2
1
1
n
B O BO
a a a
l
l
r
?
??
??
?? ??
??
a r c ta n a r c ta nOn
BO
a r
al? ??
11 1 1,,,,O O A BO O l r r a a??? ? ?
rr已知,纯滚动。求,。
例 9-9 如图所示，在椭圆规机构中，曲柄 OD以
匀角速度 ω绕 O 轴转动。 OD＝ AD＝ BD＝ l。
求：当 时，尺 AB的角加速度和点 A的加速度。?? 60?
解,1,AB作平面运动，瞬心为 C。
??? ???? l lCDv DAB
0,,6 0
,
OD
A B A
O D A D B D l
a
?
?
?? ? ? ? ? ? ? 。已知,常数
求,。
2
2
D
D
al ??
、选 为基点
??分别沿 轴和 轴投影
? ? nADDA aaa ??? ??? 2c o sc o s
??? s i nc o ss i n0 nADtADD aaa ????
2 00 tt AD
A A D A B
aa l a
AD??? ? ? ? ?解得
0,,6 0
,
OD
A B A
O D A D B D l
a
?
?
?? ? ? ? ? ? ? 。已知,常数
求,。
22?
tn
A D A D A Da a a a
ll??
? ? ?
? ? ? ?
r r r r
大小？
方向
求：车轮上速度瞬心的加速度。
例 9-10 车轮沿直线滚动。已知车轮半径为 R，
中心 O的速度为,加速度为,车轮与地面接
触无相对滑动。
Ov
r
Oa
r
,,,O O CR a v a 。已知,求：
解,1,车轮作平面运动，瞬心 为 C。
2 OvR? ?、
dd1
dd
OOva
t R t R
?? ? ? ?
3、选 Ｏ 为基点
2
tn
C O C O C O
O
a a a a
a R R??
? ? ?
? ? ?
r r r r
大小？
方向？
2nC C Oa a R ???
§ 9-5 运动学综合应用举例
1、运动学综合应用, 机构运动学分析。
2、已知运动机构 未知运动机构连接点运动学分析
3、连接点运动学分析
?
?
?
?
?
平面运动铰链连接
合成运动接触滑动
求：该瞬时杆 OA的角速度与角加速度。
例 9-11 图示平面机构，滑块 B可沿杆 OA滑动。
杆 BE与 BD分别与滑块 B铰接,BD杆可沿水平轨道运
动。滑块 E以匀速 v沿铅直导轨向上运动，杆 BE长
为 。图示瞬时杆 OA铅直，且与杆 BE夹角为 。l2 ?45
解,1,杆 BE作平面运动，瞬心在 O点。
l
v
OE
v
BE ???
vOBv BEB ??? ?
,2,4 5,E
O A O A
v v B E l O B E O A O E
??
? ? ? ? ? ?o已知,常数 。
求：, 。
取 E为基点
2? 0?
B
tn
E B E B E
E
a a a a
BE?
? ? ?
?
? ? ? ?
r r r r
大小
方向
沿 BE方向投影
l
va
a
l
v
aa
n
BE
B
n
BEB
2
2
2
45c os
2
45c os
??
???
?
,2,4 5,E
O A O A
v v B E l O B E O A O E
??
? ? ? ? ? ?o已知,常数 。
求：, 。
绝对运动,直线运动 (BD)
相对运动,直线运动 (OA)
牵连运动,定轴转动 (轴 O)
2、动点,滑块 B 动系, OA杆
a e rv v v
v
??
r r r
大小
方向 √ √ √
沿 BD方向投影
l
v
OB
vv
vvv
e
OAr
ae
???
??
?0
,2,4 5,E
O A O A
v v B E l O B E O A O E
??
? ? ? ? ? ?o已知,常数 。
求：, 。
2
22
0
tn
a e e r C
OA
a a a a a
v
l
l
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
r r r r r
大小
方向
沿 BD方向投影
2
2
2
2
2
l
v
OB
a
l
v
aa
t
e
OA
a
t
e
??
??
?
,2,4 5,E
O A O A
v v B E l O B E O A O E
??
? ? ? ? ? ?o已知,常数 。
求：, 。
求：此瞬时杆 AB的角速度及角加速度。
例 9-12 在图所示平面机构中，杆 AC在导轨中以
匀速 v平移，通过铰链 A带动杆 AB沿导套 O运动，导套 O
与杆 AC距离为 l。图示瞬时杆 AB与杆 AC夹角为 。?60??
解,1,动点, 铰链 A 动系, 套筒 O
绝对运动, 直线运动 (AC )
相对运动, 直线运动 (AB )
牵连运动, 定轴转动 (轴 O )
,,6 0,A C A B A Bv v l ? ? ?? ? ? o已知,常数 。求,。
2
a e rv v v
v
??
? ? ?
r r r
、
大小
方向
2
60c o s
2
3
60s in
v
vv
vvv
ar
ae
??
??
?
?
l
v
AO
v e
AB 4
3???
,,6 0,A C A B A Bv v l ? ? ?? ? ? o已知,常数 。求,。
20 2
tn
a e e r C
A B e r
a a a a a
A O v??
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
r r r r r
大小
方向
tear沿 方向投影
2
0
3
4
t
eC
t
eC
aa
v
aa
l
??
??
2
2
8
33
l
v
AO
a te
AB ???
,,6 0,A C A B A Bv v l ? ? ?? ? ? o已知,常数 。求,。
另解,1、取坐标系 Oxy
2,A点的运动方程
?c o tlx A ?
3、速度、加速度
vlx A ???? ?? 2s in??
?? 2s inlv??
????? 2s ins in2s in 22
2
???? lvlv ???
0 360
4AB
v
l? ? ?? ? ?&当 时有
2
2
33
8AB
v
l????&&
,,6 0,A C A B A Bv v l ? ? ?? ? ? o已知,常数 。求,。
求：此瞬时 AB杆的角速度及角加速度。
例 9-13 如图所示平面机构,AB长为 l，滑块 A可沿
摇杆 OC的长槽滑动。摇杆 OC以匀角速度 ω绕轴 O转动，
滑块 B以匀速 沿水平导轨滑动。图示瞬时 OC铅
直,AB与水平线 OB夹角为 。
?lv ?
?30
,,,O C B
A B A B
A B l v l O C O B? ? ?
??
? ? ? ? ?已知,常数 。
求：, 。
2、动点, 滑块 A
动系, OC杆
绝对运动,未知
相对运动,直线运动（ OC）
牵连运动,定轴转动（轴 O）
解,1,杆 AB作平面运动，基点 为 B。
A B A Bv v v??
r r r
tnA B A B A Ba a a a? ? ?r r r r
A e r B A Bv v v v v
O A l??
? ? ? ?
?
r r r r r
大小
方向 √ √ √ √
Bvr沿 方向投影
0sin 3 0
2B A B e
lv v v ?? ? ?
? ? ?lvvv eBAB ??? 2
?? ?? lv ABAB
?lvv ABr 2 330c o s 0 ??
沿 方向投影rv?
,,,O C B
A B A B
A B l v l O C O B? ? ?
??
? ? ? ? ?已知,常数 。
求：, 。
√ √ √ √ √ √ √
2
2
0? 2 0?
2
t n t n
A e e r C B A B A B
r A B
a a a a a a a a
l
vl
?
??
? ? ? ? ? ? ?
r r r r r r r r
大小
方向
Ca
r沿 方向投影
00 30c o s30s in nABtABC aaa ??
233 ?la tAB ?从而
233 ?? ??
AB
a tAB
AB
,,,O C B
A B A B
A B l v l O C O B? ? ?
??
? ? ? ? ?已知,常数 。
求：, 。
例 9-14 如图所示平面机构中，杆 AC铅直运动，
杆 BD水平运动,A为铰链，滑块 B可沿槽杆 AE中的直槽
滑动。图示瞬时
。22 m m / s10,m m / s50,m m / s310
,m m / s310,30,mm60
???
???
BBA
A
ava
vAB ??
求：该瞬时槽杆 AE的角速度,角加速度及滑块 B
相对 AE的加速度。
22
6 0 m m,3 0,1 0 3 m m s,
1 0 3 m m s,5 0 m m s,1 0 m m s
,,
A
A B B
A E A E B r
A B v
a v a
v
?
??
? ? ?
? ? ?
o
r
已知：
。
求,。
解,1、动点：滑块 B 动系：杆 AE
( a )
( b )
a e r
a e r C
v v v
a a a a
??
? ? ?
r r r L
r r r r L
绝对运动：直线运动（ BD）
相对运动：直线运动（ AE）
牵连运动：平面运动
( c)
( d )
e B A B A
tn
e B A B A B A
v v v v
a a a a a
??
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
r r r r L
r r r r r L
3、将（ c）代入（ a）
a A B A r
BA
v v v v
vv
?? ? ?
????
r r r r
大小
方向
2、杆 AE作平面运动 基点,A
22
6 0 m m,3 0,1 0 3 m m s,
1 0 3 m m s,5 0 m m s,1 0 m m s
,,
A
A B B
A E A E B r
A B v
a v a
v
?
??
? ? ?
? ? ?
o
r
已知：
。
求,。
ABAB vvv ?????? 60c os30c os
rAB vvv ???? 60s i n30s i n
沿 方向投影ABv??
沿 方向投影rv?
解得
1 0 m m s
3
r a d s
2
r
BA
AE
v
v
AB
? ?
?
??
22
6 0 m m,3 0,1 0 3 m m s,
1 0 3 m m s,5 0 m m s,1 0 m m s
,,
A
A B B
A E A E B r
A B v
a v a
v
?
??
? ? ?
? ? ?
o
r
已知：
。
求,。
4、将（ d）代入（ b）
2 2
tn
B A B A B A r C
B A AE AE r
a a a a a a
a a AB v??
??? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
r r r r r r
大小
方向
22
6 0 m m,3 0,1 0 3 m m s,
1 0 3 m m s,5 0 m m s,1 0 m m s
,,
A
A B B
A E A E B r
A B v
a v a
v
?
??
? ? ?
? ? ?
o
r
已知：
。
求,。
ooc os 30 si n 30 tB A B A Ca a a a?? ? ? ? ?
沿 方向投影tBAa ?r
2
2
65 m m s
3
r a d s
6
r
t
BA
AE
a
a
AB
? ?
??
??
沿 方向投影ra?
rn ABAB aaaa ?????? ?30c o s30s i n
解之
22
6 0 m m,3 0,1 0 3 m m s,
1 0 3 m m s,5 0 m m s,1 0 m m s
,,
A
A B B
A E A E B r
A B v
a v a
v
?
??
? ? ?
? ? ?
o
r
已知：
。
求,。
刚体的平面运动
§ 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解
刚体平面运动：行星齿轮
1、平面运动
刚体平面运动：车轮运动情况
平面图形
在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相
等的距离，这种运动称为平面运动。
2、运动方程
? ?
? ?
? ?
1
2
3
O
O
x f t
y f t
ft?
?
?
??
?
??
?
??
基点
O
?
??
? 转角
3、运动分析
= +
平面运动 = 随 的平移 +绕 点的转动O x y? ? ? O?
O x y? ? ?? 平移坐标系
平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中平移的
速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角
速度和角加速度与基点的选择无关。
§ 9-2 求平面图形内各点速度的基点法
1、基点法
动点,M
绝对运动,待求
牵连运动, 平移
M e r Ov v v v O M?? ?? ? ? ? ?rr r r r
动系, (平移坐标系 )O x y? ? ?
相对运动, 绕 点的圆周运动O?
任意 A,B两点
B A B Av v v??
r r r
其中
平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点
随图形绕基点转动速度的矢量和。
例 9-1 椭圆规尺的 A端以速度 vA沿 x 轴的负向运
动，如图所示,AB=l。
求,B端的速度以及尺 AB的角速度。
解,1,AB作平面运动 基点,A
A B A Bv A B l v?? ?
rr,已知：,, 。 求,。
?s in
A
BA
vv ?
?? s inl
v
l
v ABA
AB ??
2
B A B A
A
v v v
v
??
? ? ?
r r r
、
大小？
方向
?cotAB vv ?
例 9-2 如图所示平面机构中,AB=BD= DE=
l=300mm。在图示位置时,BD∥ AE，杆 AB的角速度为
ω=5rad/s。
求：此瞬时杆 DE的角速度和杆 BD中点 C的速度。
解,1, BD作平面运动 基点,B
3 0 0 m m,//,5 r a d sAB
DE C
A B B D D E l B D A E
v
??
?
? ? ? ? ? ?
。
已知,。
求：,
lvvv BDBD ????
5 r a d sDBDE vvD E l??? ? ? ?
5 r a d sD B BBD vvB D l??? ? ? ?
2
D B D Bv v v
l?
??
? ? ?
r r r
、
大小？
方向
3 0 0 m m,//,5 r a d sAB
DE C
A B B D D E l B D A E
v
??
?
? ? ? ? ? ?已知,。
求：,
22 1,29 9 m s
C B CBv v v
BD
? ? ?
方向沿 杆向右
3
2
C B C B
BD
v v v
ll??
??
??
r r r
、
大小？
方向
例 9-3 曲柄连杆机构如图所示,OA =r,AB= 。
如曲柄 OA以匀角速度 ω转动。
r3
0 6 0 9 0 B? ? o o o求：当,, 时点 的速度。
解,1,AB作平面运动 基点,A
3,,O A BO A A Br r v???? ? r已知,求,。。
?90??
0,??? BAAB vrvv ?
0Bv ?0? ? ?
?60??
33230c o s rvv AB ??? ?
2
B A B Av v v
r?
??
? ? ?
r r r
、
大小？
方向
例 9-4 如图所示的行星轮系中，大齿轮 Ⅰ 固定，半
径为 r1,行星齿轮 Ⅱ 沿轮 Ⅰ 只滚而不滑动，半径为 r2。
系杆 OA角速度为 。
O?
求：轮 Ⅱ 的角速度 ωⅡ 及其上 B,C 两点的速度。
解, 1、轮 Ⅱ 作平面运动 基点,A
? ?12D A A Ov v r r?? ? ?
1
22
1D A A Ov v r
D A r r
?? ??? ? ? ???
??
Ⅱ
20D A D Av v v? ? ?r r r、
12,,O A Orr ?? ?已知,。
ω Ⅱ 。,,
BCvv求：
? ?2122 2 rrvvv OBAAB ???? ?
? ?1 2 2
B A B A
O
v v v
r r r??
??
?
? ? ?
r r r
Ⅱ大小
方向
？
３、
? ?212 rrvvv OCAAC ???? ?
4 C A C Av v v??r r r、
12,,O A Orr ?? ?已知,。
ω Ⅱ 。,,
BCvv求：
2、速度投影定理
同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上
的投影相等。
沿 AB连线方向上投影
? ? ? ?BAA B A Bvv?rr
B A B Av v v??
r r r由
例 9-5 如图所示的平面机构中，曲柄 OA长
100mm，以角速度 ω=2rad/s转动。连杆 AB带动摇杆
CD，并拖动轮 E沿水平面纯滚动。已知,CD=3CB，
图示位置时 A,B,E三点恰在一水平线上，且
CD⊥ ED。
求：此瞬时点 E的速度。
解,1,AB作平面运动
? ?B A A BABvv?rr（）
OAv B ?? ??30c o s
sm2 3 0 9.030c o s ??? ?OAv B ?
1 0 0 m m,2 r a d s,3,OA
E
O A C D C B C D E D
v
??? ? ? ? ?已知,。
求,。
2,CD作定轴转动，转动轴,C
3 0,6 9 2 8 m sBDBvv C D vCB? ? ? ?
3,DE作平面运动
? ?
c o s 3 0
0,8 m s
c o s 3 0
E D D EDE
ED
D
E
vv
vv
v
v
?
?
??
o
o
rr
（）
1 0 0 m m,2 r a d s,3,OA
E
O A C D C B C D E D
v
??? ? ? ? ?已知,。
求,。
§ 9-3 求平面图形内各点的瞬心法
一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一
个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。
1、定理
基点, A
M A M Av v v??
r r r
MAv v A M?? ? ?
0 AC vv A C
?
? ? ?
平面图形内任意点的速
度等于该点随图形绕瞬时速
度中心转动的速度。
基点, C
M M Cvv CM?? ? ?
r r r uuuur
2、平面图形内各点的速度分布
3、速度瞬心的确定方法
,A B A Bv v v vr r r r已知,的方向，且 不平行于 。
00
B A A B
B A A B
B A M
v v v
v
vvv
?
??
? ? ? ?
? ? ?
r r r
r
rrr
瞬时平移 (瞬心在无穷远处 )
/ /,ABv v A Brr 且不垂直于
纯滚动 (只滚不滑 )约束
运动方程 (例 6-6)
? ?
? ?
s in
1 c o s
x r t t
y r t
??
?
????
?
????
? ?1 c o s
s in
x
y
v r t
v r t
??
??
????
? ?
??
2|0kvC??? ? ? ?瞬心
例 9-6 椭圆规尺的 A端以速度 vA沿 x 轴的负向
运动，如图所示,AB=l。
求：用瞬心法求 B
端的速度以及尺 AB的
角速度。
解,AB作平面运动，速度瞬
心为点 C。
?? s inl
v
AC
v AA
AB ??
?? c o tAABB vBCv ???
A B A Bv A B l v?? ?
rr,已知：,, 。 求,。
例 9-7 矿石轧碎机的活动夹板长 600mm,由曲
柄 OE借连杆组带动，使它绕 A轴摆动，如图所示。曲
柄 OE长 100 mm，角速度为 10rad/s。连杆组由杆 BG，
GD和 GE组成，杆 BG和 GD各长 500mm。
求：当机构在图示位置时，夹板 AB的角速度。
解, 1、杆 GE作平面运动，瞬心为 C1 。
sr a d2968.0
11
???? EC OEECv EGE ??
sm0 6 6.11 ??? GCv GEG ?
mm359115s in 01 ?? OGGC
8 0 0m m 5 0 0m m s i n 1 5 9 2 9, 4m mOG ? ? ?o
11 3 3 6 9 m mE C O C O E? ? ?
6 0 0 m m,1 0 0 m m,1 0 r a d s,5 0 0 m m
,AB
A B O E B G G D?
?
? ? ? ? ?已知,。
求。
2、杆 BG作平面运动，瞬心 为 C。
G
BG
v
GC? ?
c os 60
B B G G
G
BC
v BC v
GC
v
?? ? ? ?
? o
sr a d8 8 8.060c o s ??? ABvABv GBAB
?
?
§ 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随
图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
tnB e r ra a a a? ? ?r r r r
tnB A B A B Aa a a a? ? ?r r r r
,
t
t BA
BA
a A Ba
AB
?
?
? ???
?
??
r 大小
方向垂直于 指向同
2n
n BA
BA
a A Ba
BA
?? ???
?
??
r 大小
方向由 指向
A,基点,平移坐标系''Ax y
例 9-8 如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系
杆以匀角速度 ω1绕 O1转动。大齿轮固定，行星轮半径
为 r，在大轮上只滚不滑。设 A和 B是行星轮缘 上的两
点，点 A在 O1O的延长线上，而点 B在垂直于 O1O的半
径上。
求：点 A和 B的加速度。
解, 1、轮 Ⅰ 作平面运动，瞬心为 C。
1
2
Ov l
rr
?? ??
2d 0
d t
?? ??
11 1 1,,,,O O A BO O l r r a a??? ? ?
rr已知,纯滚动。求,。
2、选基点为 Ｏ
√ √ √
22
12?0
tn
A O A O A Oa a a a
lr??
? ? ?
r r r r
大小
方向
2
22
11
2
1
( 1 )
n
A O AO
a a a
l
l
r
l
l
r
??
?
??
??
??
11 1 1,,,,O O A BO O l r r a a??? ? ?
rr已知,纯滚动。求,。
22
12
3
0
tn
B O B O B Oa a a a
lr??
? ? ?
r r r r
、
大小
方向 √ √ √
? ?
2
2
2
2
1
1
n
B O BO
a a a
l
l
r
?
??
??
?? ??
??
a r c ta n a r c ta nOn
BO
a r
al? ??
11 1 1,,,,O O A BO O l r r a a??? ? ?
rr已知,纯滚动。求,。
例 9-9 如图所示，在椭圆规机构中，曲柄 OD以
匀角速度 ω绕 O 轴转动。 OD＝ AD＝ BD＝ l。
求：当 时，尺 AB的角加速度和点 A的加速度。?? 60?
解,1,AB作平面运动，瞬心为 C。
??? ???? l lCDv DAB
0,,6 0
,
OD
A B A
O D A D B D l
a
?
?
?? ? ? ? ? ? ? 。已知,常数
求,。
2
2
D
D
al ??
、选 为基点
??分别沿 轴和 轴投影
? ? nADDA aaa ??? ??? 2c o sc o s
??? s i nc o ss i n0 nADtADD aaa ????
2 00 tt AD
A A D A B
aa l a
AD??? ? ? ? ?解得
0,,6 0
,
OD
A B A
O D A D B D l
a
?
?
?? ? ? ? ? ? ? 。已知,常数
求,。
22?
tn
A D A D A Da a a a
ll??
? ? ?
? ? ? ?
r r r r
大小？
方向
求：车轮上速度瞬心的加速度。
例 9-10 车轮沿直线滚动。已知车轮半径为 R，
中心 O的速度为,加速度为,车轮与地面接
触无相对滑动。
Ov
r
Oa
r
,,,O O CR a v a 。已知,求：
解,1,车轮作平面运动，瞬心 为 C。
2 OvR? ?、
dd1
dd
OOva
t R t R
?? ? ? ?
3、选 Ｏ 为基点
2
tn
C O C O C O
O
a a a a
a R R??
? ? ?
? ? ?
r r r r
大小？
方向？
2nC C Oa a R ???
§ 9-5 运动学综合应用举例
1、运动学综合应用, 机构运动学分析。
2、已知运动机构 未知运动机构连接点运动学分析
3、连接点运动学分析
?
?
?
?
?
平面运动铰链连接
合成运动接触滑动
求：该瞬时杆 OA的角速度与角加速度。
例 9-11 图示平面机构，滑块 B可沿杆 OA滑动。
杆 BE与 BD分别与滑块 B铰接,BD杆可沿水平轨道运
动。滑块 E以匀速 v沿铅直导轨向上运动，杆 BE长
为 。图示瞬时杆 OA铅直，且与杆 BE夹角为 。l2 ?45
解,1,杆 BE作平面运动，瞬心在 O点。
l
v
OE
v
BE ???
vOBv BEB ??? ?
,2,4 5,E
O A O A
v v B E l O B E O A O E
??
? ? ? ? ? ?o已知,常数 。
求：, 。
取 E为基点
2? 0?
B
tn
E B E B E
E
a a a a
BE?
? ? ?
?
? ? ? ?
r r r r
大小
方向
沿 BE方向投影
l
va
a
l
v
aa
n
BE
B
n
BEB
2
2
2
45c os
2
45c os
??
???
?
,2,4 5,E
O A O A
v v B E l O B E O A O E
??
? ? ? ? ? ?o已知,常数 。
求：, 。
绝对运动,直线运动 (BD)
相对运动,直线运动 (OA)
牵连运动,定轴转动 (轴 O)
2、动点,滑块 B 动系, OA杆
a e rv v v
v
??
r r r
大小
方向 √ √ √
沿 BD方向投影
l
v
OB
vv
vvv
e
OAr
ae
???
??
?0
,2,4 5,E
O A O A
v v B E l O B E O A O E
??
? ? ? ? ? ?o已知,常数 。
求：, 。
2
22
0
tn
a e e r C
OA
a a a a a
v
l
l
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
r r r r r
大小
方向
沿 BD方向投影
2
2
2
2
2
l
v
OB
a
l
v
aa
t
e
OA
a
t
e
??
??
?
,2,4 5,E
O A O A
v v B E l O B E O A O E
??
? ? ? ? ? ?o已知,常数 。
求：, 。
求：此瞬时杆 AB的角速度及角加速度。
例 9-12 在图所示平面机构中，杆 AC在导轨中以
匀速 v平移，通过铰链 A带动杆 AB沿导套 O运动，导套 O
与杆 AC距离为 l。图示瞬时杆 AB与杆 AC夹角为 。?60??
解,1,动点, 铰链 A 动系, 套筒 O
绝对运动, 直线运动 (AC )
相对运动, 直线运动 (AB )
牵连运动, 定轴转动 (轴 O )
,,6 0,A C A B A Bv v l ? ? ?? ? ? o已知,常数 。求,。
2
a e rv v v
v
??
? ? ?
r r r
、
大小
方向
2
60c o s
2
3
60s in
v
vv
vvv
ar
ae
??
??
?
?
l
v
AO
v e
AB 4
3???
,,6 0,A C A B A Bv v l ? ? ?? ? ? o已知,常数 。求,。
20 2
tn
a e e r C
A B e r
a a a a a
A O v??
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
r r r r r
大小
方向
tear沿 方向投影
2
0
3
4
t
eC
t
eC
aa
v
aa
l
??
??
2
2
8
33
l
v
AO
a te
AB ???
,,6 0,A C A B A Bv v l ? ? ?? ? ? o已知,常数 。求,。
另解,1、取坐标系 Oxy
2,A点的运动方程
?c o tlx A ?
3、速度、加速度
vlx A ???? ?? 2s in??
?? 2s inlv??
????? 2s ins in2s in 22
2
???? lvlv ???
0 360
4AB
v
l? ? ?? ? ?&当 时有
2
2
33
8AB
v
l????&&
,,6 0,A C A B A Bv v l ? ? ?? ? ? o已知,常数 。求,。
求：此瞬时 AB杆的角速度及角加速度。
例 9-13 如图所示平面机构,AB长为 l，滑块 A可沿
摇杆 OC的长槽滑动。摇杆 OC以匀角速度 ω绕轴 O转动，
滑块 B以匀速 沿水平导轨滑动。图示瞬时 OC铅
直,AB与水平线 OB夹角为 。
?lv ?
?30
,,,O C B
A B A B
A B l v l O C O B? ? ?
??
? ? ? ? ?已知,常数 。
求：, 。
2、动点, 滑块 A
动系, OC杆
绝对运动,未知
相对运动,直线运动（ OC）
牵连运动,定轴转动（轴 O）
解,1,杆 AB作平面运动，基点 为 B。
A B A Bv v v??
r r r
tnA B A B A Ba a a a? ? ?r r r r
A e r B A Bv v v v v
O A l??
? ? ? ?
?
r r r r r
大小
方向 √ √ √ √
Bvr沿 方向投影
0sin 3 0
2B A B e
lv v v ?? ? ?
? ? ?lvvv eBAB ??? 2
?? ?? lv ABAB
?lvv ABr 2 330c o s 0 ??
沿 方向投影rv?
,,,O C B
A B A B
A B l v l O C O B? ? ?
??
? ? ? ? ?已知,常数 。
求：, 。
√ √ √ √ √ √ √
2
2
0? 2 0?
2
t n t n
A e e r C B A B A B
r A B
a a a a a a a a
l
vl
?
??
? ? ? ? ? ? ?
r r r r r r r r
大小
方向
Ca
r沿 方向投影
00 30c o s30s in nABtABC aaa ??
233 ?la tAB ?从而
233 ?? ??
AB
a tAB
AB
,,,O C B
A B A B
A B l v l O C O B? ? ?
??
? ? ? ? ?已知,常数 。
求：, 。
例 9-14 如图所示平面机构中，杆 AC铅直运动，
杆 BD水平运动,A为铰链，滑块 B可沿槽杆 AE中的直槽
滑动。图示瞬时
。22 m m / s10,m m / s50,m m / s310
,m m / s310,30,mm60
???
???
BBA
A
ava
vAB ??
求：该瞬时槽杆 AE的角速度,角加速度及滑块 B
相对 AE的加速度。
22
6 0 m m,3 0,1 0 3 m m s,
1 0 3 m m s,5 0 m m s,1 0 m m s
,,
A
A B B
A E A E B r
A B v
a v a
v
?
??
? ? ?
? ? ?
o
r
已知：
。
求,。
解,1、动点：滑块 B 动系：杆 AE
( a )
( b )
a e r
a e r C
v v v
a a a a
??
? ? ?
r r r L
r r r r L
绝对运动：直线运动（ BD）
相对运动：直线运动（ AE）
牵连运动：平面运动
( c)
( d )
e B A B A
tn
e B A B A B A
v v v v
a a a a a
??
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
r r r r L
r r r r r L
3、将（ c）代入（ a）
a A B A r
BA
v v v v
vv
?? ? ?
????
r r r r
大小
方向
2、杆 AE作平面运动 基点,A
22
6 0 m m,3 0,1 0 3 m m s,
1 0 3 m m s,5 0 m m s,1 0 m m s
,,
A
A B B
A E A E B r
A B v
a v a
v
?
??
? ? ?
? ? ?
o
r
已知：
。
求,。
ABAB vvv ?????? 60c os30c os
rAB vvv ???? 60s i n30s i n
沿 方向投影ABv??
沿 方向投影rv?
解得
1 0 m m s
3
r a d s
2
r
BA
AE
v
v
AB
? ?
?
??
22
6 0 m m,3 0,1 0 3 m m s,
1 0 3 m m s,5 0 m m s,1 0 m m s
,,
A
A B B
A E A E B r
A B v
a v a
v
?
??
? ? ?
? ? ?
o
r
已知：
。
求,。
4、将（ d）代入（ b）
2 2
tn
B A B A B A r C
B A AE AE r
a a a a a a
a a AB v??
??? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
r r r r r r
大小
方向
22
6 0 m m,3 0,1 0 3 m m s,
1 0 3 m m s,5 0 m m s,1 0 m m s
,,
A
A B B
A E A E B r
A B v
a v a
v
?
??
? ? ?
? ? ?
o
r
已知：
。
求,。
ooc os 30 si n 30 tB A B A Ca a a a?? ? ? ? ?
沿 方向投影tBAa ?r
2
2
65 m m s
3
r a d s
6
r
t
BA
AE
a
a
AB
? ?
??
??
沿 方向投影ra?
rn ABAB aaaa ?????? ?30c o s30s i n
解之
22
6 0 m m,3 0,1 0 3 m m s,
1 0 3 m m s,5 0 m m s,1 0 m m s
,,
A
A B B
A E A E B r
A B v
a v a
v
?
??
? ? ?
? ? ?
o
r
已知：
。
求,。
