第 5章 摩 擦
摩擦
?
滑动摩擦
滚动摩擦
?
静滑动摩擦
动滑动摩擦
?
静滚动摩擦
动滚动摩擦
摩擦
?
干摩擦
湿摩擦
,摩擦学,
§ 5-1 滑动摩擦
0?? xF 0TSFF?? STFF?
静滑动摩擦力的特点
方向,沿接触处的公切线，
与相对滑动趋势反向；
大小：
m a x0 FF s ??
NFfF s?m a x
（库仑摩擦定律）
大小,
NFfF dd ?
sd ff ?
（对多数材料，通常情况下）
动滑动摩擦的特点
方向, 沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；
1 摩擦角
RAF? ---全约束力
物体处于临界平衡状态时，全约束
力和法线间的夹角 ---摩擦角
摩擦角和自锁现象§ 5-2
f?tan s
f?
NF
Fm ax?
N
Ns
F
Ff?
全约束力和法线间的夹角的正切等
于静滑动摩擦因数．
摩擦锥 f0 ?? ??
2 自锁现象
3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件
sf f?? ?? t ant an
斜面自锁条件
f?? ?
螺纹自锁条件
f?? ?
仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前
面基本相同．
几个新特点
2 严格区分物体处于临界、非临界状态 ；
3 因,问题的解有时在一个范围内．
m axFF s ??0
1 画受力图时，必须考虑摩擦力；
考虑滑动摩擦时物体的平衡问题§ 5-3
静滚动摩阻（擦）
滚动摩阻（擦）的概念§ 5-4
0?? xF 0?? sFF
0?? AM 0?? FRM
m a x0 FF s ??
m a x0 MM ??
NFfF s?m a x NFM ??m a x
最大滚动摩阻（擦）力偶
滚动摩阻（擦）系数,长度量纲?
的物理意义?
使圆轮滚动比滑动省力的原因
处于临界滚动状态
1 0 015.3 3 5 07.0
1
2 ????
?
Rf
F
F s
处于临界滑动状态
NFRF
??
1
RFFM 1m a x ?? N?
2m a x FFfF s ?? N NFfF s?2
一般情况下，
sfR ?
? 或
sfR ??
?
混凝土路面 mm15.3?? 7.0?
sf
例：某型号车轮半径,mm450?R
21 FF ?
或
21 FF ??,
求,物块是否静止，摩擦力的大小和方向,
已知：,N1 5 0 0?P,2.0?
sf,18.0?df 400F ? N
例 5-1
物块处于非静止状态．
,N8.269?? Ndd FfF 向上,
Ns FfF ?m ax N8.2 9 9?而
N1499?NFN6.4 0 3??sF (向上 )
0 s i n 3 0 c o s 3 0 0yNF F P F? ? ? ? ? ?oo
0 c os 30 si n 30 0xsF F P F? ? ? ? ?oo
解,取物块，画受力图，设物块平衡
已知,.,,sfP ?
水平推力 的大小．求,使物块静止,F?
例 5-2
,0?yF? 0co ss in 11 ???? NFPF ??
,0?xF? 0s inc o s 11 ??? sFPF ??
画物块受力图
推力为使物块有上滑趋势时,1F?解：
11 NsS FfF ?
PffF
s
s
??
??
s i nc o s
c o ss i n
1 ?
??
设物块有下滑趋势时，推力为 2F?
画物块受力图
,0?? xF 0s i nco s 22 ??? sFPF ??
,0?? yF 0c o ss in 22 ???? NFPF ??
22 Nss FfF ?
PffF
s
s
??
??
s i nco s
co ss i n
2 ?
??
12 s i ncos
coss i n
s i ncos
coss i n FP
f
fFP
f
fF
s
s
s
s ?
?
???
?
??
??
??
??
??
解, 物块有向上滑动趋势时
用几何法求解
1 m a x ta n ( )FP ????
t a n ( ) t a n ( )P F P? ? ? ?? ? ? ?
利用三角公式与
,ta n sf??
??
??
??
??
s inco s
co ss in
s inco s
co ss in
s
s
s
s
f
fPF
f
fP
?
???
?
?
1 m in ta n ( )FP ????
物块有向下滑动趋势时
求,挺杆不被卡住之 值,a
,,,sfdb已知,不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
例 5-3
0?? AM
( ) 02N B B NdF a F d F b? ? ? ?
BNsBANsA FfFFfF ??
解,取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置,
0?? xF 0?? BNAN FF
0?? yF 0???? FFF BA
sf
ba
2?
挺杆不被卡住时
sf
ba
2?
解：
?? t a n)2(t a n)2( dadab ???? 极限极限
?tan2 极限a? sfa 极限2?
sf
ba
2?极限
sf
ba
2?
用几何法求解
求,制动鼓轮所需铅直力 F.
已知：物块重 P,鼓轮重心位于 处,闸杆重量不
计，,各尺寸如图所示,
1O
sf
例 5-4
解,分别取闸杆与鼓轮
设鼓轮被制动处于平衡状态
对鼓轮,0
1 ?? OM 0?? sT RFrF
对闸杆,
0?? OM 0????? cFbFFa sN
且
Nss FfF ???
而
ssT FFPF ???,
解得 ()
s
s
rP b f cF
f Ra
??
（ 2）能保持木箱平衡的最大拉力,
（ 1）当 D处拉力 时，木箱是否平衡?求,Nk1?F
已知,均质木箱重,kN5?P,4.0?sf,m22 ?? ah ；o30??
例 5-5
解,（ 1）取木箱，设其处于平衡状态,
0?? xF 0c o s ?? ?FF s
0?? yF 0s in ??? ?FPF N
0?? AM 0
2c o s ???? dF
aPhF
N?
N866?sF
N4500?NF
m1 7 1.0?d
而 N1 8 0 0
m a x ?? Ns FfF
因,
m a xFFs ?
木箱不会滑动；
又,0?d 木箱无翻倒趋势,
木箱平衡
（ 2）设木箱将要滑动时拉力为
1F
0?? xF 0c o s1 ?? ?FF s
0?? yF 0s in1 ??? ?FPF N
又
Nss FfFF ?? m a x
1 1876c os si n
s
s
fPF
f????? N
设木箱有翻动趋势时拉力为 2F
0?? AM 02co s2 ????
aPhF ?
N1443c o s22 ?? ?h PaF 最大拉力为 N1443
求：作用于鼓轮上的制动力矩,
例 5-6
已知：,N200?F
,5.0?sf
2 2 0,5m,KL O L R? ? ? ?
,m75.01 ?BO
,m11 ?? DOAC,m25.0?ED 各构件自重不计；
1 2 1O O KD D C O A? ? ?
1 0OM??
011 ???? BOFAOF AC
N300?ACF
0?? DM
0c o s ???? CDFDEF CAEK ?
N6 0 0c o s ??EKF
0?? xF c os 0D x E KFF ???
6 0 0 NDxF ?
（ a）
(b) θ
解,分析 O1AB,画受力图
分析 DCE,画受力图
1 0OM??
1 1 1
1 0
2D x NF O D F O D??? ? ? ?
1 1 2 0 0 NNF ? ?
2 0OM??
2 2 2
1c o s 0
2K E NF K O F K O? ?? ? ? ? ?
2 1 2 0 0 NNF ? ?
(c)
(d)
分析 O2K，画受力图
分析 O1D,画受力图
mN3 0 0 ??M
22 Nss FfF ?
11 Nss FfF ?
RFRFM ssO 12 ???
分析鼓轮，画受力图
已知,抽屉尺寸 a,b,fs （抽屉与两壁间），不
计抽屉底部摩擦；
例 5-7
求,抽拉抽屉不被卡住之 e值。
解,取抽屉，画受力图，设抽屉刚好被卡住
0?? xF 0?? NCNA FF
0?? yF 0??? FFF sCsA
0?? AM
0)2( ?????? ebFaFbF NCsC
NAssA FfF ? NCssC FfF ?
sf
ae
2?
抽屉不被卡住,.
sf
ae
2?
求,保持系统平衡的力偶矩,
CM
已知：,mN40 ??
AM
,3.0?sf 各构件自重不计，
尺寸如图；
例 5-8
(a) (b)
设 时，系统即将逆时针方向转动
1CC MM ?
解：
画两杆受力图,
0?? AM
01 ??? AN MABF
0?? CM
060co s60s in o1o11 ??????? lFlFM sNC
又
1111 NsNsss FfFfFF ?????
设 时，系统有顺时针方向转动趋势
2CC MM ?
画两杆受力图,
02 ??? AN MABF
0?? AM
1 7 0,3 9 N mCM ??
又
2222 NsNsss FfFfFF ?????
mN61.492 ??CM
系统平衡时
mN39.70mN61.49 ???? CM
0?? CM 060co s60s in o2o22 ??????? lFlFM sNC
(d)
求,使系统保持平衡的力 的值,F
已知,力,角,不计自重的 块间的
其它接触处光滑；
P ? BA,
静摩擦系数为,
sf
例 5-9
解,取整体分析，画受力图
0?? yF 0?? PF NA
PFNA ?
楔块 向右运动A
设力 小于 时，1FF
1 t a n ( )
t a n ( )
NAFF
P
??
??
??
??
取楔块 分析,画受力图A
解,取整体分析，画受力图
0?? yF 0?? PF NA
PFNA ?
楔块 向右运动A
设力 小于 时，1FF
1 t a n ( )
t a n ( )
NAFF
P
??
??
??
??
取楔块 分析,画受力图A
)t a n ()t a n (2 ???? ???? PFF NA
)t a n ()t a n ( ???? ???? PFP
设力 大于 时，
2F
F 楔块 向左运动A
取楔块 分析，画受力图A
求,若要维持系统平衡
轮心 处水平推力
minF（ 1） (轮，地面间）,O3.0?Df
,N50?BF 4.0?Cf （杆，轮间）
已知：均质轮重,N100?P 杆无重，,,lr o60?? 时，;2lCBAC ??
例 5-10
（ 2） （轮，地面间）,轮心 处水平推力,15.0?Df
minFO
解,小于某值，轮将向右滚动,F
DC,两处有一处摩擦力达最大值，系统即将运动,
先设 处摩擦力达最大值，取杆与轮,(1) C
0?? AM 0
2 ???? lF
lF
BNC
N100?NCF
m a x 4 0 NC C C NCF F f F? ? ?
0?? xF m insi n 60 c os 60 0N C C DF F F F?? ? ? ? ?oo
0?? OM 0????? rFrF DC
0?? yF 060s in60c o s oo ??????? CNCND FFPF
N40??? CD FF m in 2 6,6F ? N
N6.184?NDF
m a x
m a x
0, 3 5 5, 3 9
0, 1 5 2 7, 5 9
s D s N D
s D s N D
f F f F
f F f F
? ? ?
? ? ?
N
N
当 时，
当 时，
m a x0, 3 4 0 N,s D Df F F? ? ?当 时,D
处无滑动
N6.26m in ?F
m a x0,1 5 4 0 N >,s D Df F F??当 时,D
处有滑动
处摩擦力达最大值，取杆与轮,(2) D
0?? AM 0
2 ???? lF
lF
BNC
N100?NCF 不变
NCCCC FfFF ?? m a x
但
对轮 0??
OM 0????? rFrF DC
0?? xF m insi n 60 c os 60 0N C C DF F F F?? ? ? ? ?oo
0?? yF c os 60 si n 60 0N D N C CF P F F??? ? ? ?oo
NDDD FfF ?
当 时，15.0?
Df
解得 N4.172?
NDF
N86.25??? NDDCD FfFF
.N81.47m in ?F处无滑动C
求,（ 1）使系统平衡时，力偶矩 ；BM
（ 2）圆柱 匀速纯滚动时，静滑动摩擦系数的
最小值,
O
已知,；??,,,RP
例 5-11
0?? AM
0s in m a x1m i n ?????? MRFRP T?
0?? yF 0co s1 ?? ?PF N
又
1m a x1 NFM ??
联立解得
)c o s( s inm in ??? RPF T ???
0?? AM
0s in m a x2m a x ?????? MRFRP T?
0?? yF 0co s2 ?? ?PF N
又
2m a x2 NFM ??
解,（ 1）设圆柱 有向下滚动趋势，取圆柱O O
设圆柱 有向上滚动趋势，取圆柱O O
(b)
系统平衡时 ( s in c o s ) ( s in c o s )
BP R M P R? ? ? ? ? ?? ? ? ?
（ 2）设圆柱 有向下滚动趋势,图 bO
0?? OM 1 m a x 0sF R M? ? ?
0?? yF 0co s1 ?? ?PF N
又
1m a x1 NFM ??
解得
c o ssFPR? ??
联立解得
)c o s( s inm a x ??? RPF T ???
同理，圆柱 有向上滚动趋势时，图 cO
Rfs
??只滚不滑时,?c o s
1 PfFfF sNss ??
则应有
得
Rfs
?? 圆柱匀速纯滚时,.Rfs ??
(b)
拉动拖车最小牵引力 （ 平行于斜坡）,F? F?求：
已知,其他尺寸如图；拖车总重 P,车轮半径,??,,R
例 5-12
解,取整体
0?? xF 0s in ???? ?PFFF BsAs （ 1）
0?? yF 0co s ??? ?PFF BNAN （ 2）
0?? BM
( ) c o s sin 0A N A BF a b F h P b P H M M??? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 3）
ANA FM ??
（ 4）
BNB FM ??
（ 5）
能否用,
ANsAs FfF ?
BNsBs FfF ?
作为补充方程?
取前、后轮
01 ?? OM 0?? RFM AsA
（ 6）
02 ?? OM 0?? RFM BsB （ 7）
七个方程联立解得
)c o s( s inm in ??? RPF ??
意味什么？若,
o90?? 则,PF ?m in
意味什么？若,o0?? 则,
PRF ??m in
车轮半径,若拖车总重量,kN40?P mm440?R
在水平路上行驶（ ）,mm4.4??0??
kN4.04 4 0404.4m i n ???? PRF ?
牵引力为总重的 1％ 。
摩擦
?
滑动摩擦
滚动摩擦
?
静滑动摩擦
动滑动摩擦
?
静滚动摩擦
动滚动摩擦
摩擦
?
干摩擦
湿摩擦
,摩擦学,
§ 5-1 滑动摩擦
0?? xF 0TSFF?? STFF?
静滑动摩擦力的特点
方向,沿接触处的公切线，
与相对滑动趋势反向；
大小：
m a x0 FF s ??
NFfF s?m a x
（库仑摩擦定律）
大小,
NFfF dd ?
sd ff ?
（对多数材料，通常情况下）
动滑动摩擦的特点
方向, 沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；
1 摩擦角
RAF? ---全约束力
物体处于临界平衡状态时，全约束
力和法线间的夹角 ---摩擦角
摩擦角和自锁现象§ 5-2
f?tan s
f?
NF
Fm ax?
N
Ns
F
Ff?
全约束力和法线间的夹角的正切等
于静滑动摩擦因数．
摩擦锥 f0 ?? ??
2 自锁现象
3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件
sf f?? ?? t ant an
斜面自锁条件
f?? ?
螺纹自锁条件
f?? ?
仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前
面基本相同．
几个新特点
2 严格区分物体处于临界、非临界状态 ；
3 因,问题的解有时在一个范围内．
m axFF s ??0
1 画受力图时，必须考虑摩擦力；
考虑滑动摩擦时物体的平衡问题§ 5-3
静滚动摩阻（擦）
滚动摩阻（擦）的概念§ 5-4
0?? xF 0?? sFF
0?? AM 0?? FRM
m a x0 FF s ??
m a x0 MM ??
NFfF s?m a x NFM ??m a x
最大滚动摩阻（擦）力偶
滚动摩阻（擦）系数,长度量纲?
的物理意义?
使圆轮滚动比滑动省力的原因
处于临界滚动状态
1 0 015.3 3 5 07.0
1
2 ????
?
Rf
F
F s
处于临界滑动状态
NFRF
??
1
RFFM 1m a x ?? N?
2m a x FFfF s ?? N NFfF s?2
一般情况下，
sfR ?
? 或
sfR ??
?
混凝土路面 mm15.3?? 7.0?
sf
例：某型号车轮半径,mm450?R
21 FF ?
或
21 FF ??,
求,物块是否静止，摩擦力的大小和方向,
已知：,N1 5 0 0?P,2.0?
sf,18.0?df 400F ? N
例 5-1
物块处于非静止状态．
,N8.269?? Ndd FfF 向上,
Ns FfF ?m ax N8.2 9 9?而
N1499?NFN6.4 0 3??sF (向上 )
0 s i n 3 0 c o s 3 0 0yNF F P F? ? ? ? ? ?oo
0 c os 30 si n 30 0xsF F P F? ? ? ? ?oo
解,取物块，画受力图，设物块平衡
已知,.,,sfP ?
水平推力 的大小．求,使物块静止,F?
例 5-2
,0?yF? 0co ss in 11 ???? NFPF ??
,0?xF? 0s inc o s 11 ??? sFPF ??
画物块受力图
推力为使物块有上滑趋势时,1F?解：
11 NsS FfF ?
PffF
s
s
??
??
s i nc o s
c o ss i n
1 ?
??
设物块有下滑趋势时，推力为 2F?
画物块受力图
,0?? xF 0s i nco s 22 ??? sFPF ??
,0?? yF 0c o ss in 22 ???? NFPF ??
22 Nss FfF ?
PffF
s
s
??
??
s i nco s
co ss i n
2 ?
??
12 s i ncos
coss i n
s i ncos
coss i n FP
f
fFP
f
fF
s
s
s
s ?
?
???
?
??
??
??
??
??
解, 物块有向上滑动趋势时
用几何法求解
1 m a x ta n ( )FP ????
t a n ( ) t a n ( )P F P? ? ? ?? ? ? ?
利用三角公式与
,ta n sf??
??
??
??
??
s inco s
co ss in
s inco s
co ss in
s
s
s
s
f
fPF
f
fP
?
???
?
?
1 m in ta n ( )FP ????
物块有向下滑动趋势时
求,挺杆不被卡住之 值,a
,,,sfdb已知,不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
例 5-3
0?? AM
( ) 02N B B NdF a F d F b? ? ? ?
BNsBANsA FfFFfF ??
解,取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置,
0?? xF 0?? BNAN FF
0?? yF 0???? FFF BA
sf
ba
2?
挺杆不被卡住时
sf
ba
2?
解：
?? t a n)2(t a n)2( dadab ???? 极限极限
?tan2 极限a? sfa 极限2?
sf
ba
2?极限
sf
ba
2?
用几何法求解
求,制动鼓轮所需铅直力 F.
已知：物块重 P,鼓轮重心位于 处,闸杆重量不
计，,各尺寸如图所示,
1O
sf
例 5-4
解,分别取闸杆与鼓轮
设鼓轮被制动处于平衡状态
对鼓轮,0
1 ?? OM 0?? sT RFrF
对闸杆,
0?? OM 0????? cFbFFa sN
且
Nss FfF ???
而
ssT FFPF ???,
解得 ()
s
s
rP b f cF
f Ra
??
（ 2）能保持木箱平衡的最大拉力,
（ 1）当 D处拉力 时，木箱是否平衡?求,Nk1?F
已知,均质木箱重,kN5?P,4.0?sf,m22 ?? ah ；o30??
例 5-5
解,（ 1）取木箱，设其处于平衡状态,
0?? xF 0c o s ?? ?FF s
0?? yF 0s in ??? ?FPF N
0?? AM 0
2c o s ???? dF
aPhF
N?
N866?sF
N4500?NF
m1 7 1.0?d
而 N1 8 0 0
m a x ?? Ns FfF
因,
m a xFFs ?
木箱不会滑动；
又,0?d 木箱无翻倒趋势,
木箱平衡
（ 2）设木箱将要滑动时拉力为
1F
0?? xF 0c o s1 ?? ?FF s
0?? yF 0s in1 ??? ?FPF N
又
Nss FfFF ?? m a x
1 1876c os si n
s
s
fPF
f????? N
设木箱有翻动趋势时拉力为 2F
0?? AM 02co s2 ????
aPhF ?
N1443c o s22 ?? ?h PaF 最大拉力为 N1443
求：作用于鼓轮上的制动力矩,
例 5-6
已知：,N200?F
,5.0?sf
2 2 0,5m,KL O L R? ? ? ?
,m75.01 ?BO
,m11 ?? DOAC,m25.0?ED 各构件自重不计；
1 2 1O O KD D C O A? ? ?
1 0OM??
011 ???? BOFAOF AC
N300?ACF
0?? DM
0c o s ???? CDFDEF CAEK ?
N6 0 0c o s ??EKF
0?? xF c os 0D x E KFF ???
6 0 0 NDxF ?
（ a）
(b) θ
解,分析 O1AB,画受力图
分析 DCE,画受力图
1 0OM??
1 1 1
1 0
2D x NF O D F O D??? ? ? ?
1 1 2 0 0 NNF ? ?
2 0OM??
2 2 2
1c o s 0
2K E NF K O F K O? ?? ? ? ? ?
2 1 2 0 0 NNF ? ?
(c)
(d)
分析 O2K，画受力图
分析 O1D,画受力图
mN3 0 0 ??M
22 Nss FfF ?
11 Nss FfF ?
RFRFM ssO 12 ???
分析鼓轮，画受力图
已知,抽屉尺寸 a,b,fs （抽屉与两壁间），不
计抽屉底部摩擦；
例 5-7
求,抽拉抽屉不被卡住之 e值。
解,取抽屉，画受力图，设抽屉刚好被卡住
0?? xF 0?? NCNA FF
0?? yF 0??? FFF sCsA
0?? AM
0)2( ?????? ebFaFbF NCsC
NAssA FfF ? NCssC FfF ?
sf
ae
2?
抽屉不被卡住,.
sf
ae
2?
求,保持系统平衡的力偶矩,
CM
已知：,mN40 ??
AM
,3.0?sf 各构件自重不计，
尺寸如图；
例 5-8
(a) (b)
设 时，系统即将逆时针方向转动
1CC MM ?
解：
画两杆受力图,
0?? AM
01 ??? AN MABF
0?? CM
060co s60s in o1o11 ??????? lFlFM sNC
又
1111 NsNsss FfFfFF ?????
设 时，系统有顺时针方向转动趋势
2CC MM ?
画两杆受力图,
02 ??? AN MABF
0?? AM
1 7 0,3 9 N mCM ??
又
2222 NsNsss FfFfFF ?????
mN61.492 ??CM
系统平衡时
mN39.70mN61.49 ???? CM
0?? CM 060co s60s in o2o22 ??????? lFlFM sNC
(d)
求,使系统保持平衡的力 的值,F
已知,力,角,不计自重的 块间的
其它接触处光滑；
P ? BA,
静摩擦系数为,
sf
例 5-9
解,取整体分析，画受力图
0?? yF 0?? PF NA
PFNA ?
楔块 向右运动A
设力 小于 时，1FF
1 t a n ( )
t a n ( )
NAFF
P
??
??
??
??
取楔块 分析,画受力图A
解,取整体分析，画受力图
0?? yF 0?? PF NA
PFNA ?
楔块 向右运动A
设力 小于 时，1FF
1 t a n ( )
t a n ( )
NAFF
P
??
??
??
??
取楔块 分析,画受力图A
)t a n ()t a n (2 ???? ???? PFF NA
)t a n ()t a n ( ???? ???? PFP
设力 大于 时，
2F
F 楔块 向左运动A
取楔块 分析，画受力图A
求,若要维持系统平衡
轮心 处水平推力
minF（ 1） (轮，地面间）,O3.0?Df
,N50?BF 4.0?Cf （杆，轮间）
已知：均质轮重,N100?P 杆无重，,,lr o60?? 时，;2lCBAC ??
例 5-10
（ 2） （轮，地面间）,轮心 处水平推力,15.0?Df
minFO
解,小于某值，轮将向右滚动,F
DC,两处有一处摩擦力达最大值，系统即将运动,
先设 处摩擦力达最大值，取杆与轮,(1) C
0?? AM 0
2 ???? lF
lF
BNC
N100?NCF
m a x 4 0 NC C C NCF F f F? ? ?
0?? xF m insi n 60 c os 60 0N C C DF F F F?? ? ? ? ?oo
0?? OM 0????? rFrF DC
0?? yF 060s in60c o s oo ??????? CNCND FFPF
N40??? CD FF m in 2 6,6F ? N
N6.184?NDF
m a x
m a x
0, 3 5 5, 3 9
0, 1 5 2 7, 5 9
s D s N D
s D s N D
f F f F
f F f F
? ? ?
? ? ?
N
N
当 时，
当 时，
m a x0, 3 4 0 N,s D Df F F? ? ?当 时,D
处无滑动
N6.26m in ?F
m a x0,1 5 4 0 N >,s D Df F F??当 时,D
处有滑动
处摩擦力达最大值，取杆与轮,(2) D
0?? AM 0
2 ???? lF
lF
BNC
N100?NCF 不变
NCCCC FfFF ?? m a x
但
对轮 0??
OM 0????? rFrF DC
0?? xF m insi n 60 c os 60 0N C C DF F F F?? ? ? ? ?oo
0?? yF c os 60 si n 60 0N D N C CF P F F??? ? ? ?oo
NDDD FfF ?
当 时，15.0?
Df
解得 N4.172?
NDF
N86.25??? NDDCD FfFF
.N81.47m in ?F处无滑动C
求,（ 1）使系统平衡时，力偶矩 ；BM
（ 2）圆柱 匀速纯滚动时，静滑动摩擦系数的
最小值,
O
已知,；??,,,RP
例 5-11
0?? AM
0s in m a x1m i n ?????? MRFRP T?
0?? yF 0co s1 ?? ?PF N
又
1m a x1 NFM ??
联立解得
)c o s( s inm in ??? RPF T ???
0?? AM
0s in m a x2m a x ?????? MRFRP T?
0?? yF 0co s2 ?? ?PF N
又
2m a x2 NFM ??
解,（ 1）设圆柱 有向下滚动趋势，取圆柱O O
设圆柱 有向上滚动趋势，取圆柱O O
(b)
系统平衡时 ( s in c o s ) ( s in c o s )
BP R M P R? ? ? ? ? ?? ? ? ?
（ 2）设圆柱 有向下滚动趋势,图 bO
0?? OM 1 m a x 0sF R M? ? ?
0?? yF 0co s1 ?? ?PF N
又
1m a x1 NFM ??
解得
c o ssFPR? ??
联立解得
)c o s( s inm a x ??? RPF T ???
同理，圆柱 有向上滚动趋势时，图 cO
Rfs
??只滚不滑时,?c o s
1 PfFfF sNss ??
则应有
得
Rfs
?? 圆柱匀速纯滚时,.Rfs ??
(b)
拉动拖车最小牵引力 （ 平行于斜坡）,F? F?求：
已知,其他尺寸如图；拖车总重 P,车轮半径,??,,R
例 5-12
解,取整体
0?? xF 0s in ???? ?PFFF BsAs （ 1）
0?? yF 0co s ??? ?PFF BNAN （ 2）
0?? BM
( ) c o s sin 0A N A BF a b F h P b P H M M??? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 3）
ANA FM ??
（ 4）
BNB FM ??
（ 5）
能否用,
ANsAs FfF ?
BNsBs FfF ?
作为补充方程?
取前、后轮
01 ?? OM 0?? RFM AsA
（ 6）
02 ?? OM 0?? RFM BsB （ 7）
七个方程联立解得
)c o s( s inm in ??? RPF ??
意味什么？若,
o90?? 则,PF ?m in
意味什么？若,o0?? 则,
PRF ??m in
车轮半径,若拖车总重量,kN40?P mm440?R
在水平路上行驶（ ）,mm4.4??0??
kN4.04 4 0404.4m i n ???? PRF ?
牵引力为总重的 1％ 。
