第二章
平面汇交力系与平面力偶系
一,多个汇交力的合成 力多边形规则
§ 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
211 FFF R
??? ??
?
?
???
3
1
312
i
iRRR FFFF
????
1
n
R i i
i
F F F
?
????
r r r
力多边形
力多边形规则
平衡条件 0
iF??
r
二,平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：
该力系的力多边形自行封闭,
一,力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
§ 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
θFF x c o s??
βFF y co s??
yx FFF
??? ??
由合矢量投影定理，得合力投影定理
?? ixRx FF ?? iyRy FF
合力的大小为,22
RyRxR FFF ??
方向为,? ?c o s,ix
R
R
FFi
F?
?r r
作用点为力的汇交点,
? ?c o s,iyR
R
FFj
F?
?r r
二,平面汇交力系合成的解析法
iR FF ?? ??
三,平面汇交力系的平衡方程
平衡条件 0?RF?
平衡方程 ? ? 0xF
? ? 0yF
§ 2-3 平面力对点之矩的概念和计算
一、平面力对点之矩（力矩）
力矩作用面,O称为 矩心,
O到力的作用线的垂直距
离 h称为 力臂
1.大小：力 F与力臂的乘积
2.方向：转动方向
两个要素：
力对点之矩 是一个代数量，它的绝对值等于力的
大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时
针转向时为正，反之为负,常用单位 N·m或 kN·m
? ?OM F F h? ? ?r
二、合力矩定理
平面汇交力系
? ? ? ?O R O iM F M F? ?rr
该结论适用于任何合力存在的力系
三、力矩与合力矩的解析表达式
? ? ? ? ? ?
sin c os
O O y O x
yx
M F M F M F
x F y F
x F y F
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
r r r
? ? ? ?? ???? ixiiyiRO FyFxFM ?
? ? ? ??? iORO FMFM ??
§ 2-4 平面力偶理论
一,力偶和力偶矩
1.力偶
? ?FF ???,
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组
成的力系称为 力偶,记作
两个要素
a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：转动方向
力偶矩
2M F d A B C? ? ? ? ? ?
力偶中两力所在平面称为力偶作用面
力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂
2.力偶矩
二, 力偶与力偶矩的性质
1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零,
? ? ? ? ? ?? ?
FdxFxdF
FMFMFFM OOO
??????
????
11
111,
????
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩,不因矩心的
改变而改变,
? ? ? ?
FddF
xFxdFFFM O
??
???????
' 22
,2 ??
力偶矩的符号
M
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面
内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与
力臂的长短，对刚体的作用效果不变,
=
= =
ABDABC ???
ABDABC ??？
? ?' 1 2R R RM F F F d A B D? ? ?rr，
? ?',2M F F F d A B C? ? ?rr
= =
= =
4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡,
=
已知,;,,21 nMMM ?
任选一段距离 d 11 FdM ? dFM 11 ?
22 Fd
M ?
dFM nn ??nn FdM ?
dFM 22 ?
三,平面力偶系的合成和平衡条件
=
nR FFFF ???? ?21
nR FFFF ???????? ?21
=
= =
dFM R? dFdFdF n???? ?21 nMMM ???? 21
i
n
i
i MMM ??? ?
? 1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0,有如下平衡方程
0?? iM
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力
偶矩的代数和等于零,
例 2-1
已知：
求,
1.水平拉力 F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 F至少多大？
3.力 F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力 F多大？？
P=20kN,R=0.6m,h=0.08m
解,1.取碾子，画受力图, 用几何法，按比例画封闭力四边形
?30arcco s ???
R
hRθ
1 1,4k NAF ?
1 0k NBF ?
s in
c o s
B
AB
F θF
FF θP
?
??
2.碾子拉过障碍物，
用几何法解得
0?AF应有
FP?? t a n θ= 1 1, 5 5 k N
解得 kN10s inm in ??? θPF3.
已知,AC=CB,F=10kN,各杆自重不计；
求,CD 杆及铰链 A的受力,
例 2-2
解,CD为二力杆，取 AB杆，画受力图,
用几何法，画封闭力三角形,
或
按比例量得 kN4.22,kN3.28 ?? AC FF
求：此力系的合力,
解：用解析法
N3.12945c o s45c o s60c o s30c o s 4321 ?????? ? ???? FFFFFF ixRx
N3.11245s i n45s i n60s i n30s i n 4321 ?????? ? ???? FFFFFF iyRy
N3.1 7 122 ??? RyRxR FFF
7548.0co s ??
R
Rx
F
Fθ
6556.0c o s ??
R
Ry
F
Fβ
?? 01.49,99.40 ?? βθ
例 2-3
已知：图示平面共点力系；
已知,系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，
P=20kN；
求：系统平衡时，杆 AB,BC受力,
例 2-4
解,AB,BC杆为二力杆，
取滑轮 B（或点 B），画受力图,
建图示坐标系
060c o s30c o s 21 ??? ?? FFF BC0
yF ??
kN32.27?BCF
PFF ?? 21
kN321.7??BAF
0xF ?? 12c o s 6 0 c o s 3 0 0BAF F F? ? ? ?oo
例 2-5
求：平衡时，压块 C对工件与地面的压力,AB杆受力,
已知,F=3kN,l=1500mm,h=200mm，忽略自重；
解,AB,BC杆为二力杆,
取销钉 B.
0xF ??
0c o sc o s ?? θFθF BCBA
得 BCBA FF ?
解得 kN35.11?? BCBA FF
选压块 C
0xF ?? 0c o s ?? CxCB FθF
kN25.112co t2 ??? hFlθFF Cx解得
0yF ??
0s in ??? CyCB FF ?
解得 1,5 k N
CyF ?
0s ins in ??? FθFθF BCBA0yF ??
例 2-6
求, ? ?.FMO ?
解,直接按定义
? ? c o s
7 8,9 3 N m
OM F F h F r θ? ? ? ? ?
??
r
按合力矩定理
? ? ? ? ? ?
c o s 7 8,9 3 N m
O O t O rM F M F M F
F θr
??
? ? ? ? ?
r r r
,20 ??θ 6 0 m mr ?已知, F=1400N,
例 2-7
求：
解：
由杠杆平衡条件
0s inc o s ?????? lFxFyF CDBB ??
解得
l
xFyFF BB
CD
???? ?? s inc o s;,,,,lyxF BB?已知：
平衡时,CD杆的拉力,
CD为二力杆，取踏板
例 2-8
求：
解：
qlxq ???
qlxqlxP l 21d
0
???? ?
由合力矩定理 xq
l
xxxqhP ll dd
0
2
0
?? ???????
得 lh
3
2?
已知,q,l；
合力及合力作用线位置,
取微元如图
例 2-9;200,20,10 321 mmmNmN ?????? lMMM
求,光滑螺柱 AB所受水平力,
已知：
? ? 0M
0321 ???? MMMlF A
解得 N2 0 0321 ?????
l
MMMFF
BA
解：由力偶只能由力偶平衡的性
质，其受力图为
例 2-10
求：平衡时的 及铰链 O,B处的约束力,
2M
解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图,
0?? M 0s in
1 ??? ?rFM A
取杆 BC，画受力图,
解得 8kNOAFF??;30,m5.0,mkN21 ?????? θrOAM已知
0?? M 0
s in 2
' ??? MrF
A ?
解得 2 8 k N mM ??
8kNBAFF??
平面汇交力系与平面力偶系
一,多个汇交力的合成 力多边形规则
§ 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
211 FFF R
??? ??
?
?
???
3
1
312
i
iRRR FFFF
????
1
n
R i i
i
F F F
?
????
r r r
力多边形
力多边形规则
平衡条件 0
iF??
r
二,平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：
该力系的力多边形自行封闭,
一,力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
§ 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
θFF x c o s??
βFF y co s??
yx FFF
??? ??
由合矢量投影定理，得合力投影定理
?? ixRx FF ?? iyRy FF
合力的大小为,22
RyRxR FFF ??
方向为,? ?c o s,ix
R
R
FFi
F?
?r r
作用点为力的汇交点,
? ?c o s,iyR
R
FFj
F?
?r r
二,平面汇交力系合成的解析法
iR FF ?? ??
三,平面汇交力系的平衡方程
平衡条件 0?RF?
平衡方程 ? ? 0xF
? ? 0yF
§ 2-3 平面力对点之矩的概念和计算
一、平面力对点之矩（力矩）
力矩作用面,O称为 矩心,
O到力的作用线的垂直距
离 h称为 力臂
1.大小：力 F与力臂的乘积
2.方向：转动方向
两个要素：
力对点之矩 是一个代数量，它的绝对值等于力的
大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时
针转向时为正，反之为负,常用单位 N·m或 kN·m
? ?OM F F h? ? ?r
二、合力矩定理
平面汇交力系
? ? ? ?O R O iM F M F? ?rr
该结论适用于任何合力存在的力系
三、力矩与合力矩的解析表达式
? ? ? ? ? ?
sin c os
O O y O x
yx
M F M F M F
x F y F
x F y F
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
r r r
? ? ? ?? ???? ixiiyiRO FyFxFM ?
? ? ? ??? iORO FMFM ??
§ 2-4 平面力偶理论
一,力偶和力偶矩
1.力偶
? ?FF ???,
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组
成的力系称为 力偶,记作
两个要素
a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：转动方向
力偶矩
2M F d A B C? ? ? ? ? ?
力偶中两力所在平面称为力偶作用面
力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂
2.力偶矩
二, 力偶与力偶矩的性质
1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零,
? ? ? ? ? ?? ?
FdxFxdF
FMFMFFM OOO
??????
????
11
111,
????
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩,不因矩心的
改变而改变,
? ? ? ?
FddF
xFxdFFFM O
??
???????
' 22
,2 ??
力偶矩的符号
M
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面
内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与
力臂的长短，对刚体的作用效果不变,
=
= =
ABDABC ???
ABDABC ??？
? ?' 1 2R R RM F F F d A B D? ? ?rr，
? ?',2M F F F d A B C? ? ?rr
= =
= =
4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡,
=
已知,;,,21 nMMM ?
任选一段距离 d 11 FdM ? dFM 11 ?
22 Fd
M ?
dFM nn ??nn FdM ?
dFM 22 ?
三,平面力偶系的合成和平衡条件
=
nR FFFF ???? ?21
nR FFFF ???????? ?21
=
= =
dFM R? dFdFdF n???? ?21 nMMM ???? 21
i
n
i
i MMM ??? ?
? 1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0,有如下平衡方程
0?? iM
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力
偶矩的代数和等于零,
例 2-1
已知：
求,
1.水平拉力 F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 F至少多大？
3.力 F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力 F多大？？
P=20kN,R=0.6m,h=0.08m
解,1.取碾子，画受力图, 用几何法，按比例画封闭力四边形
?30arcco s ???
R
hRθ
1 1,4k NAF ?
1 0k NBF ?
s in
c o s
B
AB
F θF
FF θP
?
??
2.碾子拉过障碍物，
用几何法解得
0?AF应有
FP?? t a n θ= 1 1, 5 5 k N
解得 kN10s inm in ??? θPF3.
已知,AC=CB,F=10kN,各杆自重不计；
求,CD 杆及铰链 A的受力,
例 2-2
解,CD为二力杆，取 AB杆，画受力图,
用几何法，画封闭力三角形,
或
按比例量得 kN4.22,kN3.28 ?? AC FF
求：此力系的合力,
解：用解析法
N3.12945c o s45c o s60c o s30c o s 4321 ?????? ? ???? FFFFFF ixRx
N3.11245s i n45s i n60s i n30s i n 4321 ?????? ? ???? FFFFFF iyRy
N3.1 7 122 ??? RyRxR FFF
7548.0co s ??
R
Rx
F
Fθ
6556.0c o s ??
R
Ry
F
Fβ
?? 01.49,99.40 ?? βθ
例 2-3
已知：图示平面共点力系；
已知,系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，
P=20kN；
求：系统平衡时，杆 AB,BC受力,
例 2-4
解,AB,BC杆为二力杆，
取滑轮 B（或点 B），画受力图,
建图示坐标系
060c o s30c o s 21 ??? ?? FFF BC0
yF ??
kN32.27?BCF
PFF ?? 21
kN321.7??BAF
0xF ?? 12c o s 6 0 c o s 3 0 0BAF F F? ? ? ?oo
例 2-5
求：平衡时，压块 C对工件与地面的压力,AB杆受力,
已知,F=3kN,l=1500mm,h=200mm，忽略自重；
解,AB,BC杆为二力杆,
取销钉 B.
0xF ??
0c o sc o s ?? θFθF BCBA
得 BCBA FF ?
解得 kN35.11?? BCBA FF
选压块 C
0xF ?? 0c o s ?? CxCB FθF
kN25.112co t2 ??? hFlθFF Cx解得
0yF ??
0s in ??? CyCB FF ?
解得 1,5 k N
CyF ?
0s ins in ??? FθFθF BCBA0yF ??
例 2-6
求, ? ?.FMO ?
解,直接按定义
? ? c o s
7 8,9 3 N m
OM F F h F r θ? ? ? ? ?
??
r
按合力矩定理
? ? ? ? ? ?
c o s 7 8,9 3 N m
O O t O rM F M F M F
F θr
??
? ? ? ? ?
r r r
,20 ??θ 6 0 m mr ?已知, F=1400N,
例 2-7
求：
解：
由杠杆平衡条件
0s inc o s ?????? lFxFyF CDBB ??
解得
l
xFyFF BB
CD
???? ?? s inc o s;,,,,lyxF BB?已知：
平衡时,CD杆的拉力,
CD为二力杆，取踏板
例 2-8
求：
解：
qlxq ???
qlxqlxP l 21d
0
???? ?
由合力矩定理 xq
l
xxxqhP ll dd
0
2
0
?? ???????
得 lh
3
2?
已知,q,l；
合力及合力作用线位置,
取微元如图
例 2-9;200,20,10 321 mmmNmN ?????? lMMM
求,光滑螺柱 AB所受水平力,
已知：
? ? 0M
0321 ???? MMMlF A
解得 N2 0 0321 ?????
l
MMMFF
BA
解：由力偶只能由力偶平衡的性
质，其受力图为
例 2-10
求：平衡时的 及铰链 O,B处的约束力,
2M
解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图,
0?? M 0s in
1 ??? ?rFM A
取杆 BC，画受力图,
解得 8kNOAFF??;30,m5.0,mkN21 ?????? θrOAM已知
0?? M 0
s in 2
' ??? MrF
A ?
解得 2 8 k N mM ??
8kNBAFF??
