第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用
1,蒙特卡罗方法求积分
2,重要抽样
3,俄国轮盘赌和分裂
4,半解析方法
5,系统抽样
6,分层抽样
第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用
计算多重积分是蒙特卡罗方法的重要应用
领域之一。本章着重介绍计算定积分的蒙特卡
罗方法的各种基本技巧，而这些技巧在粒子输
运问题中也是适用的。
1,蒙特卡罗方法求积分
蒙特卡罗方法求积分的一般规则如下：任何一个
积分, 都可看作某个随机变量的期望值, 因此, 可以
用这个随机变量的平均值来近似它 。
设欲求积分
其中, P＝ P(x1,x2,…, xs) 表示 s 维空间的点, Vs表
示积分区域 。 取 Vs上任一联合概率密度函数 f (P),令
则
即 θ是随机变量 g(P) 的数学期望, P的分布密度函数为
f (P) 。 现从 f (P) 中抽取随机向量 P 的 N 个样本：
Pi,i＝ 1,2,…, N,则
就是 θ的近似估计 。
?? sV dG PP )(?
)()()( PPP fGg ?
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sV
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N
i
iN gNg
1
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2,重要抽样
1) 偏倚抽样和权重因子
取 Vs上任一联合概率密度函数 f1(P),令
则有
现从 f1(P) 中抽样 N 个点,Pi,i＝ 1,2,…, N,则
就是 θ的又一个无偏估计 。
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PPP
PPP
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2) 重要抽样和零方差技巧
要使 最小, 就是使泛函 I[f1] 极小 。
利用变分原理, 可以得到最优的 f1(P) 为
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PPP
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1
特别地, 当 g(P)≥0 时, 有
这时
即 g1的方差为零 。 实际上, 这时有
不管那种情况, 我们称从最优分布 fl(P)的抽样为重要
抽样, 称函数 | g(P) | 为重要函数 。
021 ?g?
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1
PP
PPP
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3,俄国轮盘赌和分裂
1) 分裂
设整数 n≥1,令
则
于是计算 θ的问题, 可化为计算 n 个 θi 的和来得到, 而
每个 gi(P) 为原来 θ的估计 g(P) 的 1/ n, 这就是分裂技
巧 。
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PPP
PP
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2) 俄国轮盘赌
令 0 ＜ q＜ 1,
则
于是 θ变为一个两点分布的随机变量 ζ的期望值,
ζ的特性为,
这样就可以通过模拟这个概率模型来得到 θ,这就是
俄国轮盘赌 。
?? sVq dfgq PPP )()(1?
0)1( ????? qq q??
qP
qP q
???
??
1)0(
)(
?
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3) 重要区域和不重要区域
我们往往称对积分 θ贡献大的积分区域为重要区
域, 或感兴趣的区域；称对积分 θ贡献小的区域为不
重要区域, 或不感兴趣的区域 。
考虑二重积分
令 R是 V2上 x 的积分区域, 表为 R＝ R1+R2,其中 R1是
重要区域, R2是不重要区域, 两者互不相交 。 又命 Q
为 V2上相应于 y 的积分区域 。 则
???
2
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V
d x d yyxfyxg?
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R Q
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xfxyfyxf
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12
12
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通常蒙特卡罗方法, 由 f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是：
从 fl(x) 中抽取 xi,再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi,然后用
作为 θ的一个无偏估计 。
现在, 改变抽样方案如下,
(1) 当 x∈ R1时，定义一个整数 n(xi)≥1，对一个 xi，抽取
n(xi)个 yij,j＝ 1,2,…, n(xi)。以平均值
代替上述 θ估计式中的 g(yi,xi) 。
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N
i
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1
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1
1 ),()(
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j
iji
i
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(2) 当 x∈ R2时，定义一个函数 q(xi),0＜ q(xi) ＜ 1,
以抽样值
代替上述 θ估计式中的 g(yi,xi) 。这里 ξ是随机数。
显然，这种抽样估计技巧，就是对 x∈ R1时，利
用分裂技巧，而对 x∈ R2时，利用俄国轮盘赌，而使
估计的期望值不变。由于对重要区域多抽样，对不重
要区域少观察，因此能使估计的有效性增高。
??
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)(0
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2
i
iiii
i xq
xqxqyxgg
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4,半解析（数值）方法
考虑二重积分
令
则 θx为 θ的无偏估计 。
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R Q
V
dxxfdyxyfyxg
d x d yyxfyxg
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而由 f (x,y)抽样 (x,y),用 g (x,y)作为 θ的估计, 其方差
为
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1
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V
x
V
x
V
g
5,系统抽样
我们知道, 由 f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是,
从 fl(x) 中抽取 xi,
再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi,
现在改变 xi 的抽样方法如下,
i
y
i
i dyxyf
22 )( ??? ??
i
x i dxxf
11 )( ??? ??
Nidxxfix ?? ?? )(1
yi 的抽样方法不变 。
其方差为
与通常蒙特卡罗方法相比, 方差减少了约
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N
i
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6,分层抽样
考虑积分
在 （ 0,1） 间插入 J－ 1个点
0＝ α0＜ α1＜ … ＜ αJ-1＜ αJ＝ 1
令
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则有
现在, 用蒙特卡罗方法计算 θj, 对每个 θj 利用 fj(x)中
的 nj 个样本 xij, 那么有
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j
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c
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1,蒙特卡罗方法求积分
2,重要抽样
3,俄国轮盘赌和分裂
4,半解析方法
5,系统抽样
6,分层抽样
第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用
计算多重积分是蒙特卡罗方法的重要应用
领域之一。本章着重介绍计算定积分的蒙特卡
罗方法的各种基本技巧，而这些技巧在粒子输
运问题中也是适用的。
1,蒙特卡罗方法求积分
蒙特卡罗方法求积分的一般规则如下：任何一个
积分, 都可看作某个随机变量的期望值, 因此, 可以
用这个随机变量的平均值来近似它 。
设欲求积分
其中, P＝ P(x1,x2,…, xs) 表示 s 维空间的点, Vs表
示积分区域 。 取 Vs上任一联合概率密度函数 f (P),令
则
即 θ是随机变量 g(P) 的数学期望, P的分布密度函数为
f (P) 。 现从 f (P) 中抽取随机向量 P 的 N 个样本：
Pi,i＝ 1,2,…, N,则
就是 θ的近似估计 。
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1) 偏倚抽样和权重因子
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于是 θ变为一个两点分布的随机变量 ζ的期望值,
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这样就可以通过模拟这个概率模型来得到 θ,这就是
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3) 重要区域和不重要区域
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考虑二重积分
令 R是 V2上 x 的积分区域, 表为 R＝ R1+R2,其中 R1是
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现在, 改变抽样方案如下,
(1) 当 x∈ R1时，定义一个整数 n(xi)≥1，对一个 xi，抽取
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