第六章 蒙特卡罗方法在通量计算中的应用
1,通量的定义
2,通量的能谱和角分布
3,计算体通量的模拟方法
4,计算面通量的模拟方法
5,计算点通量的模拟方法
6,与通量有关的物理量的计算
? 作 业
第六章 蒙特卡罗方法在通量计算中的应用
通量计算在粒子输运问题中占有非常重要
的地位。很多问题，如碰撞率、反应率以及系
统逃脱几率等都可以通过通量来计算。通量计
算问题，包括点通量、面通量和体通量的计算
问题。相对来说，点通量的计算要困难一些。
1,通量的定义
设 分别表示粒子的位置, 能量和运
动方向 。 则通量 的定义为,
),,( Ωr E
),,( Ωr E?
?ΩΩr d V d E dE ),,(? 在 r 点的体积元 dV 内, 能量
E 和运动方向 Ω属于 dE dΩ的
粒子平均径迹长度 。
1) 点通量的定义
给定点 r0 的点通量为,
点通量的含义为,
??? ΩΩrr d E dE ),,()( 00 ??
?dV)( 0r? 在 r0点的体积元 dV内, 粒子的平均径迹长度 。
2) 面通量的定义
给定曲面 A0 上的面通量为,
面通量的含义为,
? ??? ??? 00 ),,()()( 0 AA dAd E dEdAA ΩΩrr ???
?dsA )( 0? 沿曲面 A0的法线方向增加厚度 ds 所组成的体积元的体积元 A
0ds中,粒子的平均径迹长度 。
3) 体通量的定义
给定体 V0 内的体通量为,
体通量的含义为,
?)( 0V? 在体 V0内, 粒子的平均径迹长度 。
? ??? ??? 00 ),,()()( 0 VV dVd E dEdVV ΩΩrr ???
4) 粒子各次散射对通量的贡献
通量 可用粒子各次散射对通量的贡献和
表示,
其中 为粒子 n 次散射后对通量的贡献，
其含义为,
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n EE ΩrΩr ??
),,( Ωr E?
),,( Ωr En?
?ΩΩr d V d E dEn ),,(? 粒子在第 n 次散射到第 n＋ 1 次散射之间, 在 r 点的体积元 dV 内,
能量 E 和运动方向 Ω属于 dE dΩ的
粒子平均径迹长度 。
2,通量的能谱与角分布
用蒙特卡罗方法计算通量的能谱与
角分布, 所采用的手段与计算其它物理
量一样, 即把能量和方向分成若干个区
间, 分别按粒子状态所处的区间累积记
录各自的贡献 。
现将能量分成 I 区,ΔE1,ΔE2,…, ΔEI；方向分
成 J 区,ΔΩ1,ΔΩ2,…, ΔΩI。
则有,
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3,计算体通量的模拟方法
在实际问题中, 经常遇到要计算某一区域
V0 的体通量 。
在通量的定义部分已经介绍过, 通量可以
表示为粒子各次散射对通量的贡献和 。 因此,
下面要介绍的各种估计方法, 只叙述各次散射
后的通量计算方法 。
计算体通量的方法主要有以下几种 。
1) 解析 (统计 )估计方法
粒子 n 次散射（ n＝ 0 时为源粒子）后的通量贡献
为,
其中,s1和 s2分别为粒子由点 rn出发，沿 Ωn方向到达
区 域 V0的近端和远端的交点的距离。如果点 rn在 V0内,
则 s1＝ 0。如果粒子沿 Ωn方向与 V0有多段相交，则
为每段相交线段的通量贡献之和。如果粒子沿
Ωn方向与 V0不相交，则 。
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0)( 0* ?Vn?
)( 0* Vn?
解析估计方法就是把体通量的贡献表达式直接计
算出来。当系统为均匀介质时,
如果只是 V0为均匀介质，则
如果 V0由多层介质组成，则需分段计算积分。
在解析估计方法中，粒子每发生一次碰撞（包括
零次散射），都要记录通量的贡献值。
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2) 径迹长度方法
设粒子从第 n 次散射到第 n＋ 1 次散射之间走过
的径迹长度为 s,则 n 次散射的通量贡献为,
径迹长度方法就是把粒子在 V0内走过的径迹长度
记录下来。
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下面证明，径迹长度估计是无偏的。
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Ωr
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3) 碰撞密度方法
设粒子从第 n 次散射到第 n＋ 1 次散射之间走过
的径迹长度为 s,则 n 次散射的通量贡献为,
碰撞密度方法就是把粒子在 V0内发生的碰撞记录
下来。
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下面证明，碰撞密度估计是无偏的。
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4) 均匀径迹长度方法
确定一个定义在 [s1,s2] 上的概率密度函数 fn(s)，
从 fn(s)中抽样 s*，则 n 次散射通量贡献的估计为,
fn(s)的最简单形式是均匀分布
这时
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5) 点通量代替方法
设 为在 V0上定义的任一概率密度函数，则
体通量可表示为,
体通量的估计为,
其中,r*为从 中抽取的一个样本值。
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6) 几种方法的比较
(1) 解析估计方法：直接计算体通量的贡献表达式，因此
该方法的方差小，但计算时间长，需要计算指数函数
的积分。
(2) 径迹长度方法：记录贡献方法简单，可与输运过程同
时进行，只要粒子穿过记录区域就有贡献。但该方法
方差大些，对于较小的系统（如自由程个数小于 2），
该方法较好。
(3) 碰撞密度方法：由于只在记录区域内发生碰撞才有贡
献，因此方差较大，尤其在记录区域较小时更是如此。
但该方法省时间，适用于大的记录区域。
(4) 均匀径迹长度方法：在记录区域为多层介质时，较解
析估计方法容易实现。但在记录贡献时仍需计算指数
函数，也费时间。
(5) 点通量代替方法：可以较好地解决小区域的体通量计
算问题。尤其是记录区域与粒子的输运区域分开时，
更是如此。
4,计算面通量的模拟方法
计算面通量的方法主要有以下几种 。
1) 解析估计方法
设经过 n 次散射的粒子，由点 rn出发，沿 Ωn方向
到达曲面域 A0的距离为 s1，与曲面相交处曲面的法线
方向为 n，则 n 次散射粒子对该曲面的通量贡献为,
如果粒子沿 Ωn方向与 A0有多个交点，则 为每个
交点处的通量贡献之和。如果粒子沿 Ωn方向与 A0没有
交点，则 。
解析估计方法就是把面通量的贡献表达式直接计
算出来。粒子每发生一次碰撞（包括零次散射），都
要记录通量的贡献值。
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2) 加权（径迹长度）方法
设粒子从第 n 次散射到第 n＋ 1 次散射之间走过
的径迹长度为 s,则 n 次散射的通量贡献为,
加权方法只有在粒子穿过曲面 A0时，才对该曲面
有通量贡献。
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3) 点通量代替方法
设 为在 A0上定义的任一概率密度函数，则
面通量可表示为,
面通量的估计为,
其中,r*为从 中抽取的一个样本值。
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4) 体通量代替方法
沿曲面 A0的法线方向均匀地增加一个厚度 Δs，由
此构成的体积为 。 的体通量为,
A0的面通量为,
因此，如取得足够小，有如下近似,
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5,计算点通量的模拟方法
与体通量, 面通量的计算相比, 点通量的
计算最困难 。 这是因为, 在大量的模拟粒子中,
只能有很少的粒子穿过该点所包含的一个小区
域, 因此无法使用通常的通量计算方法 。
1) 指向概率方法
设 n 次散射后粒子的状态为,
进入 n 次碰撞的粒子的状态为,
表示粒子的碰撞核，其定
义为,
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),,,( 111 ??? nnnn WE Ωr
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能量由 E'变为 E的 dE内，方向
由 Ω'变为 Ω的 dΩ内的粒子平均
数。
则 n 次散射的粒子对点 r* 的通量贡献为,
其中
当 n＝ 0时，用源分布密度函数 代替碰撞
核 。
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(1) 光子问题的指向概率方法
光子问题的碰撞核为,
其中光子能量 E以电子静止能量 mec2≈0.511 MeV为单
位； K(E'→ E/r) 为 Klein－ Nishina公式，由下式确定
N(r) 表示在 r 处单位立方体内的原子数,z (r) 表示在
r 处元素的原子序数,r0表示电子的经典半径。
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(2) 中子问题的指向概率方法
中子问题的碰撞核为,
其中下标 A和 i 分别表示不同的原子核和不同的反应；
和 分别表示能量为 E'的中子与第 A种
原子核发生第 i 种反应后产生的平均次级中子数和微
观截面； NA(r) 表示在 r 处第 A种原子核的核密度；
表示能量为 E'和方向为 Ω'的中子与
第 A种原子核发生第 i 种反应后的能量 E和方向 Ω的分
布。
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2) 关于估计量无界问题
当 r*点附近不含散射物质时（如真空），也就是
说，粒子的输运区域与记录点分开时，指向概率方法
的估计量是有界的，因此是一种比较好的计算点通量
的方法。不含散射物质的区域越大，指向概率方法的
优点越明显。
然而，当 r*点附近含有散射物质时，由于在指向
概率方法的估计量中含有无界因子
因此，指向概率方法的估计量一般来说是无界的。
2* ||
1
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6,与通量有关的物理量的计算
一些物理量可以通过通量来计算 。
1) 系统逃脱概率
状态为 的粒子的系统逃脱概率为,
系统逃脱概率为,
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2) 各种反应率
(1) 碰撞密度
(2) 裂变中子密度
(3) 吸收率
(4) 反应率
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1)
1,通量的定义
2,通量的能谱和角分布
3,计算体通量的模拟方法
4,计算面通量的模拟方法
5,计算点通量的模拟方法
6,与通量有关的物理量的计算
? 作 业
第六章 蒙特卡罗方法在通量计算中的应用
通量计算在粒子输运问题中占有非常重要
的地位。很多问题，如碰撞率、反应率以及系
统逃脱几率等都可以通过通量来计算。通量计
算问题，包括点通量、面通量和体通量的计算
问题。相对来说，点通量的计算要困难一些。
1,通量的定义
设 分别表示粒子的位置, 能量和运
动方向 。 则通量 的定义为,
),,( Ωr E
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1) 点通量的定义
给定点 r0 的点通量为,
点通量的含义为,
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?dV)( 0r? 在 r0点的体积元 dV内, 粒子的平均径迹长度 。
2) 面通量的定义
给定曲面 A0 上的面通量为,
面通量的含义为,
? ??? ??? 00 ),,()()( 0 AA dAd E dEdAA ΩΩrr ???
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0ds中,粒子的平均径迹长度 。
3) 体通量的定义
给定体 V0 内的体通量为,
体通量的含义为,
?)( 0V? 在体 V0内, 粒子的平均径迹长度 。
? ??? ??? 00 ),,()()( 0 VV dVd E dEdVV ΩΩrr ???
4) 粒子各次散射对通量的贡献
通量 可用粒子各次散射对通量的贡献和
表示,
其中 为粒子 n 次散射后对通量的贡献，
其含义为,
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能量 E 和运动方向 Ω属于 dE dΩ的
粒子平均径迹长度 。
2,通量的能谱与角分布
用蒙特卡罗方法计算通量的能谱与
角分布, 所采用的手段与计算其它物理
量一样, 即把能量和方向分成若干个区
间, 分别按粒子状态所处的区间累积记
录各自的贡献 。
现将能量分成 I 区,ΔE1,ΔE2,…, ΔEI；方向分
成 J 区,ΔΩ1,ΔΩ2,…, ΔΩI。
则有,
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3,计算体通量的模拟方法
在实际问题中, 经常遇到要计算某一区域
V0 的体通量 。
在通量的定义部分已经介绍过, 通量可以
表示为粒子各次散射对通量的贡献和 。 因此,
下面要介绍的各种估计方法, 只叙述各次散射
后的通量计算方法 。
计算体通量的方法主要有以下几种 。
1) 解析 (统计 )估计方法
粒子 n 次散射（ n＝ 0 时为源粒子）后的通量贡献
为,
其中,s1和 s2分别为粒子由点 rn出发，沿 Ωn方向到达
区 域 V0的近端和远端的交点的距离。如果点 rn在 V0内,
则 s1＝ 0。如果粒子沿 Ωn方向与 V0有多段相交，则
为每段相交线段的通量贡献之和。如果粒子沿
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算出来。当系统为均匀介质时,
如果只是 V0为均匀介质，则
如果 V0由多层介质组成，则需分段计算积分。
在解析估计方法中，粒子每发生一次碰撞（包括
零次散射），都要记录通量的贡献值。
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2) 径迹长度方法
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的径迹长度为 s,则 n 次散射的通量贡献为,
径迹长度方法就是把粒子在 V0内走过的径迹长度
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3) 碰撞密度方法
设粒子从第 n 次散射到第 n＋ 1 次散射之间走过
的径迹长度为 s,则 n 次散射的通量贡献为,
碰撞密度方法就是把粒子在 V0内发生的碰撞记录
下来。
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下面证明，碰撞密度估计是无偏的。
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Ωrr
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Ωrr??
4) 均匀径迹长度方法
确定一个定义在 [s1,s2] 上的概率密度函数 fn(s)，
从 fn(s)中抽样 s*，则 n 次散射通量贡献的估计为,
fn(s)的最简单形式是均匀分布
这时
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nnntnn dlElssWV Ωr?
21
12
* 1)( sss
sssf n ????
5) 点通量代替方法
设 为在 V0上定义的任一概率密度函数，则
体通量可表示为,
体通量的估计为,
其中,r*为从 中抽取的一个样本值。
)(
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?? ??? 0 0
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dVffdVV rrrr ???
)(0 rVf
)(0 rVf
6) 几种方法的比较
(1) 解析估计方法：直接计算体通量的贡献表达式，因此
该方法的方差小，但计算时间长，需要计算指数函数
的积分。
(2) 径迹长度方法：记录贡献方法简单，可与输运过程同
时进行，只要粒子穿过记录区域就有贡献。但该方法
方差大些，对于较小的系统（如自由程个数小于 2），
该方法较好。
(3) 碰撞密度方法：由于只在记录区域内发生碰撞才有贡
献，因此方差较大，尤其在记录区域较小时更是如此。
但该方法省时间，适用于大的记录区域。
(4) 均匀径迹长度方法：在记录区域为多层介质时，较解
析估计方法容易实现。但在记录贡献时仍需计算指数
函数，也费时间。
(5) 点通量代替方法：可以较好地解决小区域的体通量计
算问题。尤其是记录区域与粒子的输运区域分开时，
更是如此。
4,计算面通量的模拟方法
计算面通量的方法主要有以下几种 。
1) 解析估计方法
设经过 n 次散射的粒子，由点 rn出发，沿 Ωn方向
到达曲面域 A0的距离为 s1，与曲面相交处曲面的法线
方向为 n，则 n 次散射粒子对该曲面的通量贡献为,
如果粒子沿 Ωn方向与 A0有多个交点，则 为每个
交点处的通量贡献之和。如果粒子沿 Ωn方向与 A0没有
交点，则 。
解析估计方法就是把面通量的贡献表达式直接计
算出来。粒子每发生一次碰撞（包括零次散射），都
要记录通量的贡献值。
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00
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n
n
n dlEl
WA Ωr
Ωn?
0)( 0* ?An?
)( 0* An?
2) 加权（径迹长度）方法
设粒子从第 n 次散射到第 n＋ 1 次散射之间走过
的径迹长度为 s,则 n 次散射的通量贡献为,
加权方法只有在粒子穿过曲面 A0时，才对该曲面
有通量贡献。
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其它0
|c o s|||)( 10*
ssWW
A n
n
n
n
n ?? Ωn
3) 点通量代替方法
设 为在 A0上定义的任一概率密度函数，则
面通量可表示为,
面通量的估计为,
其中,r*为从 中抽取的一个样本值。
)(
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*
0
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r
r
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0
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A AAA
dAffdAA rrrr ???
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)(0 rAf
4) 体通量代替方法
沿曲面 A0的法线方向均匀地增加一个厚度 Δs，由
此构成的体积为 。 的体通量为,
A0的面通量为,
因此，如取得足够小，有如下近似,
)(1lim)( 000* As VsA ?? ??? ??
?? 00 )()( AVA dVV r??
0AV 0AV
)(1)( 00* AVsA ?? ???
5,计算点通量的模拟方法
与体通量, 面通量的计算相比, 点通量的
计算最困难 。 这是因为, 在大量的模拟粒子中,
只能有很少的粒子穿过该点所包含的一个小区
域, 因此无法使用通常的通量计算方法 。
1) 指向概率方法
设 n 次散射后粒子的状态为,
进入 n 次碰撞的粒子的状态为,
表示粒子的碰撞核，其定
义为,
),,,( nnnn WE Ωr
),,,( 111 ??? nnnn WE Ωr
),( 11 nnnnn EEC rΩΩ ?? ??
????? ),( rΩΩEEC 一个粒子在点 r 发生碰撞后，
能量由 E'变为 E的 dE内，方向
由 Ω'变为 Ω的 dΩ内的粒子平均
数。
则 n 次散射的粒子对点 r* 的通量贡献为,
其中
当 n＝ 0时，用源分布密度函数 代替碰撞
核 。
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n
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),( 11 nnnnn EEC rΩΩ ?? ??
),,( 000 Ωr ES
(1) 光子问题的指向概率方法
光子问题的碰撞核为,
其中光子能量 E以电子静止能量 mec2≈0.511 MeV为单
位； K(E'→ E/r) 为 Klein－ Nishina公式，由下式确定
N(r) 表示在 r 处单位立方体内的原子数,z (r) 表示在
r 处元素的原子序数,r0表示电子的经典半径。
? ?ΩΩr rrΩΩ ????????? ??????? EEE EEKEEC
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(2) 中子问题的指向概率方法
中子问题的碰撞核为,
其中下标 A和 i 分别表示不同的原子核和不同的反应；
和 分别表示能量为 E'的中子与第 A种
原子核发生第 i 种反应后产生的平均次级中子数和微
观截面； NA(r) 表示在 r 处第 A种原子核的核密度；
表示能量为 E'和方向为 Ω'的中子与
第 A种原子核发生第 i 种反应后的能量 E和方向 Ω的分
布。
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则有中子的通量贡献为,
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2) 关于估计量无界问题
当 r*点附近不含散射物质时（如真空），也就是
说，粒子的输运区域与记录点分开时，指向概率方法
的估计量是有界的，因此是一种比较好的计算点通量
的方法。不含散射物质的区域越大，指向概率方法的
优点越明显。
然而，当 r*点附近含有散射物质时，由于在指向
概率方法的估计量中含有无界因子
因此，指向概率方法的估计量一般来说是无界的。
2* ||
1
nrr ?
6,与通量有关的物理量的计算
一些物理量可以通过通量来计算 。
1) 系统逃脱概率
状态为 的粒子的系统逃脱概率为,
系统逃脱概率为,
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||),,(),,( ΩnΩrΩr ??? EEP ?
? ??
? ??
????
??
A
A
dAd E dE
dAd E dEPP
ΩΩnΩr
ΩΩr
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),,(
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2) 各种反应率
(1) 碰撞密度
(2) 裂变中子密度
(3) 吸收率
(4) 反应率
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),,(),(),(),,( ΩrrrΩr EEEE fff ?? ???
),,(),(),,( ΩrrΩr EEE aa ????
),,(),(),,( ΩrrΩr EEE rr ????
? 作 业
1)
