第二章 随机数
1,随机数的定义及产生方法
2,伪随机数
3,产生伪随机数的乘同余方法
4,产生伪随机数的乘加同余方法
5,产生伪随机数的其他方法
6,伪随机数序列的均匀性和独立性
? 作 业
第二章 随机数
由具有已知分布的总体中抽取简单子样，在蒙特
卡罗方法中占有非常重要的地位。总体和子样的关系，
属于一般和个别的关系，或者说属于共性和个性的关
系。由具有已知分布的总体中产生简单子样，就是由
简单子样中若干个性近似地反映总体的共性。
随机数是实现由已知分布抽样的基本量，在由已
知分布的抽样过程中，将随机数作为已知量，用适当
的数学方法可以由它产生具有任意已知分布的简单子
样。
1,随机数的定义及产生方法
1) 随机数的定义及性质
2) 随机数表
3) 物理方法
1) 随机数的定义及性质
在连续型随机变量的分布中，最简单而且最基本
的分布是单位均匀分布。由该分布抽取的简单子样称，
随机数序列，其中每一个体称为随机数。
单位均匀分布也称为［ 0,1］上的均匀分布，其
分布密度函数为,
分布函数为,
??
? ???
其他,0
10,1)( xxf
?
?
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?
?
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1,1
10,
0,0
)(
x
xx
x
xF
由于随机数在蒙特卡罗方法中占有极其重要的位
置，我们用专门的符号 ξ表示。由随机数序列的定义可
知,ξ1,ξ2,… 是相互独立且具有相同单位均匀分布的
随机数序列。也就是说,独立性, 均匀性 是随机数必
备的两个特点。
随机数具有非常重要的性质：对于任意自然数 s，
由 s个随机数组成的 s维空间上的点 （ ξn+1,ξn+2,… ξn+s） 在 s
维空间的单位立方体 Gs上均匀分布，即对任意的 ai,
如下等式成立,
sia i,,2,110 ????,
?
?
? ???
s
i
iiin asiaP
1
),,1,( ??
其中 P(·)表示事件 ·发生的概率。反之，如果随机
变量序列 ξ1,ξ2… 对于任意自然数 s，由 s个元素所组成
的 s维空间上的点（ ξn+1,… ξn+s）在 Gs上均匀分布，则
它们是随机数序列。
由于随机数在蒙特卡罗方法中所处的特殊地位，
它们虽然也属于由具有已知分布的总体中产生简单子
样的问题，但就产生方法而言，却有着本质上的差别。
2) 随机数表
为了产生随机数，可以使用随机数表。随机数表
是由 0,1,…, 9十个数字组成，每个数字以 0.1的等概
率出现，数字之间相互独立。这些数字序列叫作随机
数字序列。如果要得到 n位有效数字的随机数，只需将
表中每 n个相邻的随机数字合并在一起，且在最高位的
前边加上小数点即可。例如，某随机数表的第一行数
字为 7634258910…,要想得到三位有效数字的随机数
依次为 0.763,0.425,0.891。
因为随机数表需在计算机中占有很大内存，而且
也难以满足蒙特卡罗方法对随机数需要量非常大的要
求，因此，该方法不适于在计算机上使用。
3) 物理方法
用物理方法产生随机数的基本原理是：利用某些
物理现象，在计算机上增加些特殊设备，可以在计算
机上直接产生随机数。这些特殊设备称为随机数发生
器。用来作为随机数发生器的物理源主要有两种：一
种是根据放射性物质的放射性，另一种是利用计算机
的固有噪声。
一般情况下，任意一个随机数在计算机内总是用
二进制的数表示的,
其中 εi（ i=1,2,…, m）或者为 0，或者为 1。
mm ??? ??????? 222 2211 ???? ?
因此，利用物理方法在计算机上产生随机数，就
是要产生只取 0或 1的随机数字序列，数字之间相互独
立，每个数字取 0或 1的概率均为 0.5。
用物理方法产生的随机数序列无法重复实现，不
能进行程序复算，给验证结果带来很大困难。而且，
需要增加随机数发生器和电路联系等附加设备，费用
昂贵。因此，该方法也不适合在计算机上使用。
2,伪随机数
1) 伪随机数
2) 伪随机数存在的两个问题
3) 伪随机数的周期和最大容量
1) 伪 随机数
在计算机上产生随机数最实用、最常见的方法是
数学方法，即用如下递推公式,
产生随机数序列。对于给定的初始值 ξ1,ξ2…,ξk，确定
ξn+k,ｎ =1,2,… 。经常使用的是 k=1的情况，其递推
公式为,
对于给定的初始值 ξ1，确定 ξn+1,ｎ =１,２ …
)( nkn T ?? ??
??,2,1),,,,( 11 ?? ???? nT knnnkn ????
2) 伪随机数存在的两个问题
用数学方法产生的随机数，存在两个问题,
a) 递推公式和初始值 ξ1,ξ2…,ξk确定后，整个随机数序
列便被唯一确定。不满足随机数相互独立的要求。
b) 由于随机数序列是由递推公式确定的，而在计算机上
所能表示的 [0,1]上的数又是有限的，因此，这种方
法产生的随机数序列就不可能不出现无限重复。一旦
出现这样的 n＇,n″ (n＇ < n″ )，使得下面等式成立,
随机数序列便出现了周期性的循环现象 。 对于 k=1的
情况, 只要有一个随机数重复, 其后面的随机数全部
重复, 这与随机数的要求是不相符的 。
kiinin,,2,1 ??? ????? ??
由于这两个问题的存在，常称用数学方法产生的
随机数为伪随机数。对于以上存在的两个问题，作如
下具体分析。
关于第一个问题，不能从本质上加以改变，但只
要递推公式选得比较好，随机数间的相互独立性是可
以近似满足的。至于第二个问题，则不是本质的。因
为用蒙特卡罗方法解任何具体问题时，所使用的随机
数的个数总是有限的，只要所用随机数的个数不超过
伪随机数序列出现循环现象时的长度就可以了。
用数学方法产生的伪随机数容易在计算机上得到，
可以进行复算，而且不受计算机型号的限制。因此，
这种方法虽然存在着一些问题，但仍然被广泛地在计
算机上使用，是在计算机上产生伪随机数的主要方法。
3) 伪随机数的周期和最大容量
发生周期性循环现象的伪随机数的个数称为伪随
机数的周期 。 对于前面介绍的情况, 伪随机数的周期
为 n″－ n＇ 。
从伪随机数序列的初始值开始, 到出现循环现象
为止, 所产生的伪随机数的个数称为伪随机数的最大
容量 。 前面的例子中, 伪随机数的最大容量为 n″ 。
3,产生伪随机数的乘同余方法
乘同余方法是由 Lehmer在 1951年提出来的, 它的
一般形式是：对于任一初始值 x1,伪随机数序列由下面
递推公式确定,
其中 a为常数 。
)( m o d,1 Mxax ii ???
?,2,1,11 ?? ?? iMx ii?
1) 乘同余方法的最大容量的上界
对于任意正整数 M，根据数论中的标准分解定理，
总可以分解成如下形式,
其中 P0=2,P1,… Pr表示不同的奇素数,α0表示非负
整数,α1,…, αr表示正整数。 a无论取什么值，乘同
余方法的最大容量的上界为,
的最小公倍数 。 其中,
rrPPPM ??? ?10 10?
)}()(),({)( 10 10 rrPPPM ??? ???? ??
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当
当
或当
P
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2) 关于 a与 x1的取值
如果 a与 x1满足如下条件,
对于,
x1与 M互素, 则乘同余方法产生的伪随机数序列的最大
容量达到最大可能值 λ(M)。
?
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2)8( m o d53
2)4( m o d3
1)2( m o d1
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0
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当或
当
当
a
)(0 iiPn ????
)( m o d1 iin Pa ??
3) 乘同余方法在计算机上的使用
为了便于在计算机上使用，通常取,
Ｍ =2s
其中 s为计算机中二进制数的最大可能有效位数
x1= 奇数
a = 52k+1
其中 k为使 52k+1在计算机上所能容纳的最大整数,
即 a为计算机上所能容纳的 5的最大奇次幂 。 一般地,
s=32时, a=513； s=48,a=515等 。 伪随机数序列的最大
容量 λ(M)=2s-2 。
乘同余方法是使用的最多, 最广的方法, 在计算机
上被广泛地使用 。
4,产生伪随机数的乘加同余方法
产生伪随机数的乘加同余方法是由 Rotenberg于
1960年提出来的, 由于这个方法有很多优点, 已成为
仅次于乘同余方法产生伪随机数的另一主要方法 。
乘加同余方法的一般形式是, 对任意初始值 x1,伪
随机数序列由下面递推公式确定,
其中 a和 c为常数 。
)( m o d,1 Mcxax ii ????
?,2,1,11 ?? ?? iMx ii?
1) 乘加同余方法的最大容量
关于乘加同余方法的最大容量问题, 有如下结论：
如果对于正整数 M的所有素数因子 P,下式均成立,
当 M为 4的倍数时, 还有下式成立,
c与 M互素, 则乘加同余方法所产生的伪随机数序列的
最大容量达到最大可能值 M。
)( m o d1 Pa ?
)4( m o d1?a
2) M,x1,a,c的取值
为了便于在计算机上使用, 通常取
M = 2s
其中 s为计算机中二进制数的最大可能有效位数 。
a = 2b + 1 (b≥2)
c = 1
这样在计算中可以使用移位和指令加法, 提高计算
速度 。
5,产生伪随机数的其他方法
1) 取中方法
2) 加同余方法
6,伪随机数序列的均匀性和独立性
判断伪随机数序列是否满足均匀和相互独立的要
求，要靠统计检验的方法实现。对于伪随机数的统计
检验，一般包括两大类：均匀性检验和独立性检验。
六十年代初，人们开始用定性的方法研究伪随机
数序列的均匀性和独立性问题，简要叙述如下。
1) 伪随机数的均匀性
这里只考虑伪随机数序列 ξ1,ξ2…,ξn全体作为子样
时的均匀性问题 。 其中 n为伪随机数序列的最大容量 。
对于任意的 0≤x≤1,令 Nn(x)表示伪随机数序列 ξ1,ξ2…，
ξn中适合不等式
ξi< x i=1,2,…, n
的个数, 则
标志伪随机数序列 ξ1,ξ2…,ξn的均匀程度, 称为均
匀偏度 。
|)(|)( s u p
10
xn xNn n
x
??
??
?
将伪随机数序列 ξ1,ξ2…,ξn从小至大重新排列
并令,则由 δ(n)的定义，容易证明
很明显，对于固定的 ｎ, δ(n)的值越小越好。它是
描述伪随机数序列均匀程度的基本量。对于任意随机
数序列，均有如下不等式成立,
当 时，所对应的伪随机数序列为最佳分布。
n??? ?????? ?21
1,0 10 ???? ?n??
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10
m a x ninin ii
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nn 2
1)( ??
nn 2
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可以证明，伪随机数序列为最佳分布的充要条件是
它取遍序列
的所有值 。
对于计算机上使用的乘同余方法，按照前面介绍的
方法选取 a,x1时，所产生的伪随机数序列的均匀偏度
对于乘加同余方法
对于部分伪随机数的均匀性问题通常用统计检验方
法检验。
nini,,2,12 12 ???
nn 4
3)( ??
nn
1)( ??
2) 伪随机数的独立性
对于任意, 令 表示 (ξ1,ξ2),
(ξ2,ξ3),…, (ξn,ξn+1)中适合不等式
的个数, 根据随机变量间相互独立的定义和频率近似概
率的方法, 令
则 ε(n)标志伪随机数序列 ξ1,ξ2…, ξn的独立程度, 简称为
独立偏度 。 对于固定的 n,ε(n)的值越接近于零, 伪随机
数序列的独立性越好 。
1,0 ?? yx ),( yxN n
yx ii ?? ? 1,??
|)()(),(|)( s u p
1,0 n
yN
n
xN
n
yxNn nnn
yx
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??
?
对于乘同余方法,
对于乘加同余方法,
因此, 这两种方法的独立性都是很好的 。
同伪随机数的均匀性问题一样，伪随机数序列的独
立性问题也是对它的全体讨论的。若只考虑伪随机数的
一部分，在通常情况下给出 ε(i)是相当因难的。因此，伪
随机数序列的独立性问题的统计检验方法同样是非常重
要的。
nnn
31)( ???
nnn
41)( ???
? 作 业
1) 证明 1— ξ是随机数 。
2) 证明 与 同分布 。
),m a x ( 21 ?? ?
1,随机数的定义及产生方法
2,伪随机数
3,产生伪随机数的乘同余方法
4,产生伪随机数的乘加同余方法
5,产生伪随机数的其他方法
6,伪随机数序列的均匀性和独立性
? 作 业
第二章 随机数
由具有已知分布的总体中抽取简单子样，在蒙特
卡罗方法中占有非常重要的地位。总体和子样的关系，
属于一般和个别的关系，或者说属于共性和个性的关
系。由具有已知分布的总体中产生简单子样，就是由
简单子样中若干个性近似地反映总体的共性。
随机数是实现由已知分布抽样的基本量，在由已
知分布的抽样过程中，将随机数作为已知量，用适当
的数学方法可以由它产生具有任意已知分布的简单子
样。
1,随机数的定义及产生方法
1) 随机数的定义及性质
2) 随机数表
3) 物理方法
1) 随机数的定义及性质
在连续型随机变量的分布中，最简单而且最基本
的分布是单位均匀分布。由该分布抽取的简单子样称，
随机数序列，其中每一个体称为随机数。
单位均匀分布也称为［ 0,1］上的均匀分布，其
分布密度函数为,
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由于随机数在蒙特卡罗方法中占有极其重要的位
置，我们用专门的符号 ξ表示。由随机数序列的定义可
知,ξ1,ξ2,… 是相互独立且具有相同单位均匀分布的
随机数序列。也就是说,独立性, 均匀性 是随机数必
备的两个特点。
随机数具有非常重要的性质：对于任意自然数 s，
由 s个随机数组成的 s维空间上的点 （ ξn+1,ξn+2,… ξn+s） 在 s
维空间的单位立方体 Gs上均匀分布，即对任意的 ai,
如下等式成立,
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其中 P(·)表示事件 ·发生的概率。反之，如果随机
变量序列 ξ1,ξ2… 对于任意自然数 s，由 s个元素所组成
的 s维空间上的点（ ξn+1,… ξn+s）在 Gs上均匀分布，则
它们是随机数序列。
由于随机数在蒙特卡罗方法中所处的特殊地位，
它们虽然也属于由具有已知分布的总体中产生简单子
样的问题，但就产生方法而言，却有着本质上的差别。
2) 随机数表
为了产生随机数，可以使用随机数表。随机数表
是由 0,1,…, 9十个数字组成，每个数字以 0.1的等概
率出现，数字之间相互独立。这些数字序列叫作随机
数字序列。如果要得到 n位有效数字的随机数，只需将
表中每 n个相邻的随机数字合并在一起，且在最高位的
前边加上小数点即可。例如，某随机数表的第一行数
字为 7634258910…,要想得到三位有效数字的随机数
依次为 0.763,0.425,0.891。
因为随机数表需在计算机中占有很大内存，而且
也难以满足蒙特卡罗方法对随机数需要量非常大的要
求，因此，该方法不适于在计算机上使用。
3) 物理方法
用物理方法产生随机数的基本原理是：利用某些
物理现象，在计算机上增加些特殊设备，可以在计算
机上直接产生随机数。这些特殊设备称为随机数发生
器。用来作为随机数发生器的物理源主要有两种：一
种是根据放射性物质的放射性，另一种是利用计算机
的固有噪声。
一般情况下，任意一个随机数在计算机内总是用
二进制的数表示的,
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因此，利用物理方法在计算机上产生随机数，就
是要产生只取 0或 1的随机数字序列，数字之间相互独
立，每个数字取 0或 1的概率均为 0.5。
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能进行程序复算，给验证结果带来很大困难。而且，
需要增加随机数发生器和电路联系等附加设备，费用
昂贵。因此，该方法也不适合在计算机上使用。
2,伪随机数
1) 伪随机数
2) 伪随机数存在的两个问题
3) 伪随机数的周期和最大容量
1) 伪 随机数
在计算机上产生随机数最实用、最常见的方法是
数学方法，即用如下递推公式,
产生随机数序列。对于给定的初始值 ξ1,ξ2…,ξk，确定
ξn+k,ｎ =1,2,… 。经常使用的是 k=1的情况，其递推
公式为,
对于给定的初始值 ξ1，确定 ξn+1,ｎ =１,２ …
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2) 伪随机数存在的两个问题
用数学方法产生的随机数，存在两个问题,
a) 递推公式和初始值 ξ1,ξ2…,ξk确定后，整个随机数序
列便被唯一确定。不满足随机数相互独立的要求。
b) 由于随机数序列是由递推公式确定的，而在计算机上
所能表示的 [0,1]上的数又是有限的，因此，这种方
法产生的随机数序列就不可能不出现无限重复。一旦
出现这样的 n＇,n″ (n＇ < n″ )，使得下面等式成立,
随机数序列便出现了周期性的循环现象 。 对于 k=1的
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随机数为伪随机数。对于以上存在的两个问题，作如
下具体分析。
关于第一个问题，不能从本质上加以改变，但只
要递推公式选得比较好，随机数间的相互独立性是可
以近似满足的。至于第二个问题，则不是本质的。因
为用蒙特卡罗方法解任何具体问题时，所使用的随机
数的个数总是有限的，只要所用随机数的个数不超过
伪随机数序列出现循环现象时的长度就可以了。
用数学方法产生的伪随机数容易在计算机上得到，
可以进行复算，而且不受计算机型号的限制。因此，
这种方法虽然存在着一些问题，但仍然被广泛地在计
算机上使用，是在计算机上产生伪随机数的主要方法。
3) 伪随机数的周期和最大容量
发生周期性循环现象的伪随机数的个数称为伪随
机数的周期 。 对于前面介绍的情况, 伪随机数的周期
为 n″－ n＇ 。
从伪随机数序列的初始值开始, 到出现循环现象
为止, 所产生的伪随机数的个数称为伪随机数的最大
容量 。 前面的例子中, 伪随机数的最大容量为 n″ 。
3,产生伪随机数的乘同余方法
乘同余方法是由 Lehmer在 1951年提出来的, 它的
一般形式是：对于任一初始值 x1,伪随机数序列由下面
递推公式确定,
其中 a为常数 。
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1) 乘同余方法的最大容量的上界
对于任意正整数 M，根据数论中的标准分解定理，
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其中 P0=2,P1,… Pr表示不同的奇素数,α0表示非负
整数,α1,…, αr表示正整数。 a无论取什么值，乘同
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2) 关于 a与 x1的取值
如果 a与 x1满足如下条件,
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容量达到最大可能值 λ(M)。
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3) 乘同余方法在计算机上的使用
为了便于在计算机上使用，通常取,
Ｍ =2s
其中 s为计算机中二进制数的最大可能有效位数
x1= 奇数
a = 52k+1
其中 k为使 52k+1在计算机上所能容纳的最大整数,
即 a为计算机上所能容纳的 5的最大奇次幂 。 一般地,
s=32时, a=513； s=48,a=515等 。 伪随机数序列的最大
容量 λ(M)=2s-2 。
乘同余方法是使用的最多, 最广的方法, 在计算机
上被广泛地使用 。
4,产生伪随机数的乘加同余方法
产生伪随机数的乘加同余方法是由 Rotenberg于
1960年提出来的, 由于这个方法有很多优点, 已成为
仅次于乘同余方法产生伪随机数的另一主要方法 。
乘加同余方法的一般形式是, 对任意初始值 x1,伪
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其中 a和 c为常数 。
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1) 乘加同余方法的最大容量
关于乘加同余方法的最大容量问题, 有如下结论：
如果对于正整数 M的所有素数因子 P,下式均成立,
当 M为 4的倍数时, 还有下式成立,
c与 M互素, 则乘加同余方法所产生的伪随机数序列的
最大容量达到最大可能值 M。
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2) M,x1,a,c的取值
为了便于在计算机上使用, 通常取
M = 2s
其中 s为计算机中二进制数的最大可能有效位数 。
a = 2b + 1 (b≥2)
c = 1
这样在计算中可以使用移位和指令加法, 提高计算
速度 。
5,产生伪随机数的其他方法
1) 取中方法
2) 加同余方法
6,伪随机数序列的均匀性和独立性
判断伪随机数序列是否满足均匀和相互独立的要
求，要靠统计检验的方法实现。对于伪随机数的统计
检验，一般包括两大类：均匀性检验和独立性检验。
六十年代初，人们开始用定性的方法研究伪随机
数序列的均匀性和独立性问题，简要叙述如下。
1) 伪随机数的均匀性
这里只考虑伪随机数序列 ξ1,ξ2…,ξn全体作为子样
时的均匀性问题 。 其中 n为伪随机数序列的最大容量 。
对于任意的 0≤x≤1,令 Nn(x)表示伪随机数序列 ξ1,ξ2…，
ξn中适合不等式
ξi< x i=1,2,…, n
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匀偏度 。
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很明显，对于固定的 ｎ, δ(n)的值越小越好。它是
描述伪随机数序列均匀程度的基本量。对于任意随机
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当 时，所对应的伪随机数序列为最佳分布。
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可以证明，伪随机数序列为最佳分布的充要条件是
它取遍序列
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对于计算机上使用的乘同余方法，按照前面介绍的
方法选取 a,x1时，所产生的伪随机数序列的均匀偏度
对于乘加同余方法
对于部分伪随机数的均匀性问题通常用统计检验方
法检验。
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2) 伪随机数的独立性
对于任意, 令 表示 (ξ1,ξ2),
(ξ2,ξ3),…, (ξn,ξn+1)中适合不等式
的个数, 根据随机变量间相互独立的定义和频率近似概
率的方法, 令
则 ε(n)标志伪随机数序列 ξ1,ξ2…, ξn的独立程度, 简称为
独立偏度 。 对于固定的 n,ε(n)的值越接近于零, 伪随机
数序列的独立性越好 。
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对于乘同余方法,
对于乘加同余方法,
因此, 这两种方法的独立性都是很好的 。
同伪随机数的均匀性问题一样，伪随机数序列的独
立性问题也是对它的全体讨论的。若只考虑伪随机数的
一部分，在通常情况下给出 ε(i)是相当因难的。因此，伪
随机数序列的独立性问题的统计检验方法同样是非常重
要的。
nnn
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1) 证明 1— ξ是随机数 。
2) 证明 与 同分布 。
),m a x ( 21 ?? ?
