三, 状态空间模型（ 数学模型 ）
? （数学）模型建模概论
– 机理法建模 （人口预测模型）
– 拟合法建模
两类系统及其相应状态空间系统方程
– 离散系统
– 连续系统
? 状态空间方程实例
– 连续系统：宏观经济模型
– 离散系统,1 人才系统； 2 宏观经济模型； 3 人口迁移
模型
（一）数学模型建模方法概述
? 1数学模型定义
– 数学模型是案照某种数学语言（数学关系式、
拓扑结构、计算机语言等）对研究对象系统的
某些属性抽象描述和定量表达的结果。
? 2 利用数学模型建模的程序
– 例 1 全球人口总数预测
– 例 2 城镇人口迁移
数学模型建模程序
界定问题
（要素及
关系）
变量类型
模型结构
数据
建模
计算
分析检验
变量类型
? 领域 类型 1 类型 2
经济 外生变量 内生变量
控制 输入变量
决策变量（可控）
干扰变量（不可控）
输出变量
数学 自变量 /参数 因变量
? 3 建模方法
– 图解法：定性为主，变量不超过 2~3个。
– 机理法：定性 +定量
– 拟合法：定量为主，以历史数据为依据建模
及量化，建模根据某种假设，选择一种理论
模型和模式，用以解释所观察行为。如果所
收集到的数据说明建模者的假设基本合理，
则进一步按照某种法则去选择模型参数。
（拟合法建模实例：人口预测 ）
（二） 状态空间系统方程
? 两类系统
– 连续系统,工程系统（微分方程描述）
– 离散系统,如银行存款本利和（差分方程描
述）。社会经济系统大多为离散系统。
? 例 1 宏观经济系统模型
? 例 2 银行储蓄
例 1 宏观经济模型
变量说明, Z(t)为总需； C(t)为总消费； I(t)为
总投资； G(t)为政府支出； Y(t)为总供给； K(t)
为总资本存量； vy(t)为期望资本存量。
例 2某人存入银行一定数量的钱，假定在 t=KT时
有 u(k)元,T为计息周期（例如月），利率为
B，求第 K 个周期的本利和 y(k)。
系统方程
? 连续系统系统方程
( t) = f( X(t),u (t),t) 状态方程
Y(t) =g(X(t),u(t),t) 输出方程
? 离散系统系统方程
X(k+1) = F X(k)+ GU(k) 状态方程
Y(k) = CX(k) + DU(k) 输出方程
X?
离散系统建模实例
? 例 1 某企业人才系统
例 2 城市人口迁移
例 3 宏观经济系统建模
? 例 1 考虑企业人才系统。某企业基年有
技术员 600人，助工 800人，工程师 200
人，高工 20人。各类人员每年平均脱离
率（包括退休、调离、自然死亡等）分
别为 0.05,0.06,0.1,和 0.09。晋升率分别
为技术员每年晋升助工 30%，助工晋升
工程师 20%，工程师晋升高工 5%。请建
立该系统动态人力资源模型（假定每年
新分配来的大学生直接转入技术员）。
? 例 2 预测城市人口流动状况及结果。 5个
节点分别代表 5个城市，节点 i到节点 j的
权重为 Pij（代表一年内 i镇居民流向 j镇的
概率）。任何城镇居民 不是继续留在本
镇就是流向其他城镇。
5
2
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1/8
1/4
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3/8
1/16
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1/2
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1/10
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3/4
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? （数学）模型建模概论
– 机理法建模 （人口预测模型）
– 拟合法建模
两类系统及其相应状态空间系统方程
– 离散系统
– 连续系统
? 状态空间方程实例
– 连续系统：宏观经济模型
– 离散系统,1 人才系统； 2 宏观经济模型； 3 人口迁移
模型
（一）数学模型建模方法概述
? 1数学模型定义
– 数学模型是案照某种数学语言（数学关系式、
拓扑结构、计算机语言等）对研究对象系统的
某些属性抽象描述和定量表达的结果。
? 2 利用数学模型建模的程序
– 例 1 全球人口总数预测
– 例 2 城镇人口迁移
数学模型建模程序
界定问题
（要素及
关系）
变量类型
模型结构
数据
建模
计算
分析检验
变量类型
? 领域 类型 1 类型 2
经济 外生变量 内生变量
控制 输入变量
决策变量（可控）
干扰变量（不可控）
输出变量
数学 自变量 /参数 因变量
? 3 建模方法
– 图解法：定性为主，变量不超过 2~3个。
– 机理法：定性 +定量
– 拟合法：定量为主，以历史数据为依据建模
及量化，建模根据某种假设，选择一种理论
模型和模式，用以解释所观察行为。如果所
收集到的数据说明建模者的假设基本合理，
则进一步按照某种法则去选择模型参数。
（拟合法建模实例：人口预测 ）
（二） 状态空间系统方程
? 两类系统
– 连续系统,工程系统（微分方程描述）
– 离散系统,如银行存款本利和（差分方程描
述）。社会经济系统大多为离散系统。
? 例 1 宏观经济系统模型
? 例 2 银行储蓄
例 1 宏观经济模型
变量说明, Z(t)为总需； C(t)为总消费； I(t)为
总投资； G(t)为政府支出； Y(t)为总供给； K(t)
为总资本存量； vy(t)为期望资本存量。
例 2某人存入银行一定数量的钱，假定在 t=KT时
有 u(k)元,T为计息周期（例如月），利率为
B，求第 K 个周期的本利和 y(k)。
系统方程
? 连续系统系统方程
( t) = f( X(t),u (t),t) 状态方程
Y(t) =g(X(t),u(t),t) 输出方程
? 离散系统系统方程
X(k+1) = F X(k)+ GU(k) 状态方程
Y(k) = CX(k) + DU(k) 输出方程
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离散系统建模实例
? 例 1 某企业人才系统
例 2 城市人口迁移
例 3 宏观经济系统建模
? 例 1 考虑企业人才系统。某企业基年有
技术员 600人，助工 800人，工程师 200
人，高工 20人。各类人员每年平均脱离
率（包括退休、调离、自然死亡等）分
别为 0.05,0.06,0.1,和 0.09。晋升率分别
为技术员每年晋升助工 30%，助工晋升
工程师 20%，工程师晋升高工 5%。请建
立该系统动态人力资源模型（假定每年
新分配来的大学生直接转入技术员）。
? 例 2 预测城市人口流动状况及结果。 5个
节点分别代表 5个城市，节点 i到节点 j的
权重为 Pij（代表一年内 i镇居民流向 j镇的
概率）。任何城镇居民 不是继续留在本
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