中央财经大学：数学复习指南（陈文灯）：第一章 随机事件和概率

第一章 随机事件和概率 一.?填空题? 1.?设?A,?B,?C?为三个事件,?且 = - = è è = è? )?(?,?97?.?0?)?(?,?9?.?0?)?(? C?AB?P?C?B?A?P?B?A?P? 则? ____.?解.? )?(?1?)?(?1?)?(?)?(?)?(?)?(? ABC?P?AB?P?ABC?P?AB?P?ABC?AB?P?C?AB?P + - - = - = - = -? =? )?(? C?B?A?P è è －? )?(? B?A?P è? =?0.97－0.9?=?0.07? 2.?设?10件产品中有?4件不合格品,?从中任取两件,?已知所取两件产品中有一件是不合格品,?另一件 也是不合格品的概率为_______.?解.? }?{? 合格品 二件产品中有一件是不 =?A? ,? }?{二件都是不合格品 =?B? 5?1?1?)?(?)?(?)?(?)?(?)?|?(? 2?10?2?6?2?10?2?4 = - = = =? c?c?c?c?AP?B?P?AP?AB?P?AB?P 注意:? }?{? 合格品 二件产品中有一件是不? =? }?{? 不合格品 二件产品中恰有一件是?+? }?{二件都是不合格品 所以? B?AB?B?A = é?, ?? }?{二件都是合格品 =?A?3.?随机地向半圆? a?x?ax?y? (?2?0? 2 - < < 为正常数)内掷一点,?点落在半圆内任何区域的概率与区域 的面积成正比,?则原点和该点的连线与x?轴的夹角小于?4 p 的概率为______.? 解.?假设落点(X,?Y)为二维随机变量,?D为半圆.?则?1?2?1?)?)?,?(? 2 = = ?? a?k?D?Y?X?P p? ,?k为比例系数.?所以? 2?2?a?k p = 假设?D 1?=?{D中落点和原点连线与?x?轴夹角小于?4 p 的区域} p p p? 1?2?1?)?2?1?4?1(?2?)?)?,?(? 2?2? 2?1?1 + = + = ′ = ?? a?a?a?Dk?D?Y?X?P? 的面积? .?4.?设随机事件A,?B及其和事件AèB的概率分别是0.4,?0.3,?0.6,?若B表示B的对立事件,?则积事件? B?A?的概率? )?(?B?A?P? =?______.?解. = + - + =? )?(?)?(?)?(?)?(? B?A?P?B?P?AP?AB?P? 0.4?+?0.3－0.6?=?0.1? 3?.?0?1?.?0?4?.?0?)?(?)?(?)?( = - = - =? AB?P?A?P?B?A?P? .?5.?某市有?50%住户订日报,?有?65%住户订晚报,?有?85%住户至少订这两种报纸中的一种,?则同时订 这两种报纸的住户的百分比是________.? 解.?假设?A?=?{订日报},?B?=?{订晚报},?C?=?A?+?B.?由已知?P(A)?=?0.5,??P(B)?=?0.65,??P(C)?=?0.85.?所以? P(AB)?=?P(A)?+?P(B)－P(A?+?B)?=?0.5?+?0.65－0.85?=?0.3.? 6.?三台机器相互独立运转,?设第一,?第二,?第三台机器不发生故障的概率依次为?0.9,?0.8,?0.7,?则这 三台机器中至少有一台发生故障的概率________.?解.?设?A i?事件表示第?i?台机器运转不发生故障(i?=?1,?2,?3). 则? P(A1)?=?0.9,??P(A2)?=?0.8,??P(A3)?=?0.7,? )?(?)?(?)?(?1?)?(?1?)?(?)?(? 3?2?1?3?2?1?3?2?1?3?2?1? A?P?A?P?A?P?A?A?A?P?A?A?A?P?A?A?A?P - = - = = + +? =1－0.9×0.8×0.7=0.496.?7.?电路由元件?A与两个并联元件?B,?C?串联而成,?若A,?B,?C?损坏与否相互独立,?且它们损坏的概率 依次为?0.3,?0.2,?0.1,?则电路断路的概率是________.?解.?假设事件?A,?B,?C?表示元件?A,?B,?C?完好.?P(A)?=?0.7,??P(B)?=?0.8,??P(C)?=?0.9.?事件线路完好?=?A(B?+?C)?=?AB?+?AC.? P(A(B?+?C)?)?=?P(AB?+?AC)?=?P(AB)+P(AC)－P(ABC)?=?P(A)P(B)?+?P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C)?=?0.7×0.8?+0.7×0.9－0.7×0.8×0.9?=?0.686.?所以? P(电路断路)?=?1－0.686?=?0.314.? 8.?甲乙两人投篮,?命中率分别为?0.7,?0.6,?每人投三次,?则甲比乙进球多的概率______.?解.?设?X表示甲进球数,?Y?表示乙进球数.?P(甲比乙进球多)?=?P(X?=?3,?Y?=?2)?+P(X?=?3,?Y?=?1)?+?P(X?=?3,?Y?=?0)? +?P(X?=?2,?Y?=?1)?+P(X?=?2,?Y?=?0)?+?P(X?=?1,?Y?=?0)?=?P(X?=?3)P(Y?=?2)?+P(X?=?3)P(Y?=?1)?+?P(X?=?3)P(Y?=?0)?+?P(X?=?2)P(Y?=?1)?+P(X?=?2)P(Y?=?0)?+?P(X?=?1)P(Y?=?0)? = + × × ×? 2?1?3?3? 6?.?0?4?.?0?7?.?0? c + × × ×? 6?.?0?4?.?0?7?.?0? 2?2?3?3?c 3?3? 4?.?0?7?.?0 ×?+ + × × × × ×? 2?1? 3?2?1?3? 4?.?0?6?.?0?7?.?0?3?.?0? c?c + × × ×? 3?2?1?3? 4?.?0?7?.?0?3?.?0?c 3?2?1?3? 4?.?0?3?.?0?7?.?0 × × ×?c=?0.148176?+?0.098784?+0.021952?+?0.127008?+?0.028224?+?0.012096?=?0.43624.? 9.?三人独立破译一密码,?他们能单独译出的概率分别为? 4?1,3?1,5?1? ,?则此密码被译出的概率_____.?解.?设?A,?B,?C?表示事件甲,?乙,?丙单独译出密码.,?则? 4?1?)?(?,?3?1?)?(?,5?1?)?( = = =? C?P?B?P?A?P? .? P(A?+?B?+?C)?=?P(A)?+?P(B)?+?P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)?+?P(ABC)?=?P(A)?+?P(B)?+?P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C)?+?P(A)P(B)P(C)?=? 5?3?4?1?3?1?5?1?4?1?3?1?4?1?5?1?3?1?5?1?4?1?3?1?5?1 = × × + × - × - × - + +? .?二．单项选择题.? 1.?以?A表示“甲种产品畅销,?乙种产品滞销”,?则对立事件A为?(A)?“甲种产品滞销,?乙种产品畅销”? (B)?“甲、乙产品均畅销”?(C)?“甲种产品滞销”? (D)?“甲产品滞销或乙产品畅销” 解.?(D)是答案.?2.?设?A,?B,?C?是三个事件,?与事件?A互斥的事件是? (A)? C?A?B?A +? (B)? )?(? C?B?A +? (C)?ABC? (D)? C?B?A + + 解. = = + +? C?B?A??)?CB?A?A( f,?所以(D)是答案.? 3.?设?A,?B?是任意二个事件,?则?(A)?P(AèB)P(AB)3P(A)P(B)???????????(B)?P(AèB)P(AB)￡P(A)P(B)?(C)?P(A－B)P(B－A)￡P(A)P(B)－P(AB)??(D)? 4?1?)?(?)?( 3 - -? A?B?P?B?A?P? .?解.?P(A?+?B)P(AB)－P(A)P(B)?=?(P(A)?+?P(B)－P(AB)P(AB)－P(A)P(B)?=－P(A)(P(B)－P(AB)?+?P(AB)(P(B)－P(AB)? =－(P(B)－P(AB)(P(A)－P(AB)?=－P(B－A)P(A－B) ￡?0?所以(B)是答案?.? 4.?事件?A与?B?相互独立的充要条件为 (A)?A?+?B?=W? (B)?P(AB)?=?P(A)P(B)???(C)?AB?= f? (D)?P(A?+?B)?=?P(A)?+?P(B)?解.?(B)是答案.?5.?设?A,?B?为二个事件,?且?P(AB)?=?0,?则? (A)?A,?B?互斥?(B)?AB?是不可能事件?(C)?AB?未必是不可能事件?(D)?P(A)?=?0或?P(B)?=?0.?解.?概率理论中?P(A)?=?0不能推出?A为不可能事件(证明超出大纲要求).?所以(C)是答案.?6.?设?A,?B?为任意二个事件,?且?AìB,?P(B)?>?0,?则下列选项必然成立的是? (A)?P(A)?<?P(A|B)???(B)?P(A) ￡?P(A|B)???(C)?P(A)?>?P(A|B)???(C)?P(A) 3?P(A|B)?解.? )?(?)?(?)?(?)?(?)?(?)?|?(? AP?B?P?AP?B?P?AB?P?B?A?P 3 = =? (当?B?= W时等式成立).?(B)是答案.? 7.?已知?0?<?P(B)?<?1,?且?P[(A1?+?A2)|B]?=?P(A1|B)?+?P(A2|B),?则下列选项必然成立的是?(A)? )?B|?P(A?)?B|?P(A?]?B|?)?A?P[(A? 2?1?2?1 + = +?(B)?P(A1B?+A2B)?=?P(A1B)?+P(A2B)?(C)?P(A 1?+A2)?=?P(A1|B)?+P(A2|B)?(D)?P(B)?=?P(A1)P(B|A1)?+?P(A2)P(B|A2)?解.?由?P[(A 1?+?A2)|B]?=?P(A1|B)?+?P(A2|B)得到)?(?)?(?)?(?)?(?)?(? ]?)?[(? 2?1?2?1? B?P?B?AP?B?P?B?AP?B?P? B?AAP + = +? ,?所以?P(A 1B?+A2B)?=?P(A1B)?+P(A2B).?(B)是答案.? 三.?计算题?1.?某厂生产的产品次品率为?0.05,?每?100?个产品为一批,?抽查产品质量时,?在每批中任取一半来检 查,?如果发现次品不多于?1?个,?则这批产品可以认为合格的,?求一批产品被认为是合格的概率.? 解.????P(该批产品合格)?=?P(全部正品)?+?P(恰有?1个次品)?=? 2794?.?0? 50?10?1?5?49?95?50?10?5095 = +?c?c?c?c?c?2.?书架上按任意次序摆着?15?本教科书,?其中有?5?本是数学书,?从中随机地抽取3?本,?至少有一本是 数学书的概率.?解.?假设?A={至少有一本数学书}.?A={没有数学书}? P(A)?=?91?24?3?15?3?10 =?c?c? ,????P(A)?=?1－P(A)?=?91?67?3.?全年级?100?名学生中有男生?80?名,?来自北京的?20?名中有男生?12?名.?免修英语的?40?名学生中有 男生?32?名,?求出下列概率:?i.?碰到男生情况不是北京男生的概率??ii.?碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率?? iii.?碰到北京男生的概率??iv.?碰到非北京学生情况下是一名女生的概率??v.?碰到免修英语的男生的概率.? 解.? 学生情况:? 男生 女生 北京? 12??????????????8?免修英语? 32? 8? 总数? 80?????????????20?i.? P(不是北京|男生)?=?20?17?80?68 =? ii.??????P(男生|北京学生)?=?5?3?20?12 =?iii.??????P(北京男生)?=?10?12 iv.??????P(女生|非北京学生)?=?80?12?v.???????P(免修英语男生)?=?10?32? 4.三个箱子,?第一个箱子中有4?个黑球?1?个白球,?第二个箱子中有3?个黑球?3?个白球,?第三个箱子中 有?3?个黑球5?个白球,?现随机地取一个箱子,?再从这个箱子中取出?1?个球,?问?i.?这个球是白球的概率?? ii.?已知取出的球为白球,?此球属于第二箱子的概率.?解.?球的情况:? 黑 白 总数 第一箱? 4????????????1??????????????5? 第二箱? 3????????????3??????????????6?第三箱? 3????????????5??????????????8?i.?P(白球)?=?P(白球|第一箱)P(第一箱)?+?P(白球|第二箱)P(第二箱)?+?P(白球|第三箱)P(第三箱)? =? 120?53?3?1?8?5?3?1?6?3?3?1?5?1 = × + × + ×? ii.?P(第二箱|白球)?=? 53?20?100?53?3?1?6?3?)?P(? )?)P(?|?P( = × = 白球 第二箱 第二箱 白球? 5． 袋中有?12?个球,?其中?9?个是新的,?第一次比赛时从中取?3?个,?比赛后任放回袋中,?第二次比赛 再从袋中任取?3?个球,?求:?i.?第二次取出的球都是新球的概率?? ii.?又已知第二次取出的球都是新球,?第一次取到的都是新球的概率.?解.?i.?设?Bi?表示第一次比赛抽到?i?个新球(i?=?0,?1,?2,?3).?A表示第二次比赛都是新球.?于是? 3?12?3?3?9?)?(? c?c?c?B?P? i?i?i - =? ,? 3?12?3?9?)?|?(? c?c?B?A?P? i?i - =? )?(? )?(?1?)?(?)?|?(?)?(?)?(? 3?6?0?3?3?9?3?7?1?3?2?9?3?8?2?3?1?9?3?9?3?3?0?9?2?3?12?3?0? 2?3?12?3?9?3?3?9?3?0? c?c?c?c?c?c?c?c?c?c?c?c?c?c?c?c?c?B?A?P?B?P?AP? i? i?i?i?i? i?i + + + = = = ? ? = - - =? 146?.?0? 48400?7056?)?20?1?84?35?3?36?56?3?9?84?1?1?(?)?220?(?1?2 = = ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ =? ii.? 21?5?48400?7056?)?220?(? 20?1?84?)?(? )?(?)?|?(?)?|?(? 2?3?3?3 = ′ ′ = =? AP? BP?BA?P?AB?P? 6.?设甲、乙两袋,?甲袋中有?n个白球,?m个红球,?乙袋中有?N?个白球,?M?个红球,?今从甲袋中任取一 只放入乙袋,?再从乙袋中任取一球,?问取到白球的概率.?解.?球的情况:? 白球 红球 甲袋? n????????????????m?乙袋? N????????????????M?假设?A?=?{先从甲袋中任取一球为白球}???B?=?{先从甲袋中任取一球为红球}? C?=?{再从乙袋中任取一球为白球}?P(C)?=?P(C|A)P(A)?+?P(C|B)P(B)? n?m?m?M?N?N?m?n?n?M?N?N + × + + + + × + + + =? 1?1?1? )?)(?1?(? )?1?(? n?m?M?N? Nm?N?n + + + + + =