中央财经大学：数学复习指南（陈文灯）：第四章 微分中值定理与泰勒公式

第四章 微分中值定理与泰勒公式 一. 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1) 内, 且, 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x. 1)(' ≠xf 证明: 由条件知0 < f(x) < 1. 令F(x) = f (x)－x, 于是F(0) > 0, F(1) < 0, 所以存在ξ ∈ (0, 1), 使F(ξ ) = 0. 假设存在ξ 1 , ξ 2 ∈ (0, 1), 不妨假设ξ 2 < ξ 1 , 满足f(ξ 1 ) = ξ 1 , f(ξ 2 ) = ξ 2 . 于是 ξ 1 －ξ 2 = f(ξ 1 )－f(ξ 2 ) = ))((' 21 ξξη ?f . (ξ 2 < η < ξ 1 ). 所以1)(' =ηf , 矛盾. 二. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且)0()(3 1 3 2 fdxxf = ∫ . 证明: 在(0, 1)内存在一 个ξ, 使0)(' =ξf . 证明: )() 3 2 1)((3)(3)0( 11 1 3 2 ξξ ffdxxff =?== ∫ , 其中ξ 1 满足1 3 2 1 <<ξ . 由罗尔定理, 存在ξ , 满足0 < ξ < ξ 1 , 且 0)(' =ξf . 三．设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x－1) 2 f(x), 证明: 在(1, 2)内 至少存在一个ξ , 使 0)('' =ξF . 证明: 由于F(1) = F (2) = 0, 所以存在ξ 1 , 1 < ξ 1 < 2, 满足0)(' 1 =ξF . 所以 0)(')1(' 1 == ξFF .所以存在ξ , 满足1 < ξ < ξ 1 , 且 0)('' =ξF . 四. 设f(x)在[0, x](x > 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个ξ , 使 )(')1ln()1()( ξξ fxxf ++= . 证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在[0, x]上使用柯西定理 )(' )(' )0()( )0()( ξ ξ G F GxG FxF = ? ? , ξ ∈ (0, x) 所以 )(')1( )1ln( )( ξξ f x xf += + , 即)(')1ln()1()( ξξ fxxf ++= . 五. 设f(x)在[a, b]上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个ξ ∈ (a, b), 使 1 )](')([ )()( 1 ? += ? n nn fnf bfaf ab ab ξξξξ 证明: 不妨假设a > 0, b > 0. 令. 在[a, b]上使用拉格朗日定理 )()( xfxxF n = ))]((')([)()( 1 abffnafabfb nnnn ?+=? ? ξξξξ 六. 设函数f(x), g(x), h(x)在[ a, b]上连续, 在( a, b)内可导, 证明:存在一个ξ ∈ (a, b), 使 0 )(')(')(' )()()( )()()( = ξξξ hgf bhbgbf ahagaf 证明: 令 )()()( )()()( )()()( )( xhxgxf bhbgbf ahagaf xF = , 则F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个ξ ∈ (a, b), 使 0 )(')(')(' )()()( )()()( )(' == ξξξ ξ hgf bhbgbf ahagaf F 七. 设函数f(x)在[0, 1]上二阶可导, 且f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个ξ ∈ (0, 1), 使 ξ ξ ξ ? = 1 )('2 )('' f f 证明: ( x xf xf ? = 1 )('2 )('' , xxf xf ? = 1 2 )(' )('' 二边积分可得, 所以 ) cxxf =? 2 )1)(('ln c exxf =? 2 )1)((' 令 . 由f(0) = f(1) = 0知存在η ∈ (0, 1), 2 )1)((')( ?= xxfxF 0)(' =ηf . 所以F(η) = F(1) = 0, 所以存在 ξ ∈ (η, 1), 0)(' =ξF . 立即可得 ξ ξ ξ ? = 1 )('2 )('' f f 八. 设f (x)在[x 1 , x 2 ]上二阶可导, 且0 < x 1 < x 2 , 证明:在( x 1 , x 2 )内至少存在一个ξ , 使 )(')( )()( 1 21 21 21 ξξ ff xfxf ee ee xx xx ?= ? 证明: 令, 在[x xx exGxfexF ?? == )()()(， 1 , x 2 ]上使用柯西定理. 在( x 1 , x 2 )内至少存在一 个ξ , 满足 = ? ? )()( )()( 12 12 xGxG xFxF )(')( )()( 1 21 21 21 ξξ ff xfxf ee ee xx xx ?= ? . 九. 若x 1 x 2 > 0, 证明: 存在一个ξ ∈ (x 1 , x 2 )或( x 2 , x 1 ), 使 )()1( 2121 12 xxeexex xx ??=? ξ ξ 证明: 不妨假设0 < x 1 < x 2 . 令 x xG x e xF x 1 )()( ==，, 在[ x 1 , x 2 ]上使用柯西定理. 在( x 1 , x 2 ) 内至少存在一个ξ , 满足 2 2 12 12 12 12 111 )()( )()( 12 ξ ξ ξ ξξ ? ? = ? ? = ? ? ee xx x e x e xGxG xFxF xx 立即可得 . )()1( 2121 12 xxeexex xx ??=? ξ ξ 十. 设f(x), g(x)在[ a, b]上连续, 在( a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 0, g(x) ≠ 0, 试证: 至少存在一 个ξ ∈ (a, b), 使 )()(')()(' ξξξξ fggf = 证明: 令 )( )( )( xg xf xF = , 所以F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个ξ ∈ (a, b), 使 0)(' =ξF , 于是 )()(')()(' ξξξξ fggf = .