第二章 矩阵 一.?填空题? 1.?设a1, a2, a3, a, b均为?4?维向量,?A?=?[a1, a2, a3, a],?B?=?[a1, a2, a3, b],?且|A|?=?2,?|B|?=?3,?则?|A－3B|?=?______.?解. b a a a a? 3?2?2?2?|?3?|? 3?2?1 - - - - = -?B?A? = b a a a a? 3?8? 3?2?1 - ′ -?= a a a a? 3?2?1?(?8′ -? 56?|)?|?3?|?(|?8?)?3? 3?2?1 = - - = -? B?A b a a a?2.?若对任意n×1?矩阵?X,?均有?AX=?0,?则A?=?______.? 解.?假设 [ ]?m?A a a L?1 =? , ai?是?A?的列向量.?对于?j?=?1,?2,?…,?m,?令 ú ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ê ? é =?0?1?0?M M?j?X? ,?第?j?个元 素不为?0.?所以[ ]?m a a L?1? 0?0?1?0 = = ú ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ê ? é? j aM M? (j?=?1,?2,?…,m).?所以?A=?0.? 3.?设?A?为m?阶方阵,?存在非零的m×n?矩阵?B,?使AB=?0?的充分必要条件是______.?解.?由AB=?0,?而且B为非零矩阵,?所以存在B的某个列向量bj?为非零列向量,?满足Abj?=?0.?即方程组?AX?=?0有非零解.?所以|A|?=?0?? 反之:?若|A|?=?0,?则?AX=?0?有非零解.?则存在非零矩阵B,?满足?AB?=?0.?所以,?AB=?0?的充分必要条件是|A|?=?0.?4.?设?A?为?n阶矩阵,?存在两个不相等的?n?阶矩阵?B,?C,?使?AB?=AC?的充分条件是______.? 解.? 0?|?|?0?)?( = ? - = - ? = 1? A?C?B?C?B?A?AC?AB?C?B? 非零 且 且? 5. [ ]?4?2?1?2?1? bbba?aa n? L M ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é? =?______.? 解. [ ] ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é = ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é? n?n?n?n? n?n? n? bab?ab?a ba?b?a?b?a? ba?b?a?b?a?b?b?b?aa?a? L L L L L L L L M? 2?1? 2?2?2?1?2? 1?2?1?1?1?4?2?1?2?1? 6.?设矩阵? 1?2? ,?2?3?,?3?2?1?1 - + - = ú ? ù ê ? é - =? B?EA?A?B?A? 则? =?______. 解. =?2?A ú ? ù ê ? é -?3?2?1?1 ú ? ù ê ? é -?3?2?1?1?= ú ? ù ê ? é - -? 7?8?4?1? E?A?A?B? 2?3?2 + - =? = ú ? ù ê ? é - -? 7?8?4?1?－ ú ? ù ê ? é -?9?6?3?3? + ú ? ù ê ? é? 2?0?0?2?= ú ? ù ê ? é - -? 0?2?1?2? 2?1?|?|?*?1 = = -? B?B?B ú ? ù ê ? é - -? 2?2?1?0? = ú ú ? ù ê ê ? é - -? 1?1?2?1?0?7.?设?n?阶矩阵?A?满足? 1?2? ,?0?3?2 - = + +? A?E?A?A? 则? =?______.? 解.?由? ,?0?3?2?2 = + +? E?A?A? 得? E?E?A?A? 3?)?2?( - = +? .?所以? 0?|?3?|?|?2?||?| 1 - = +? E?E?A?A? ,?于是A可 逆.?由? ,?0?3?2?2 = + +? E?A?A? 得? )?2?(3?1?,?0?3?2? 1?1? E?A?A?A?E?A + - = = + + - -? 8.?设? )?9?(?)?3?(?,?1?0?0? 0?2?0? 1?0?1? 2?1? E?A?E?A?A - + ú ú ú ? ù ê ê ê ? é = - 则 =______.? 解. =?2?A ú ú ú ? ù ê ê ê ? é? 1?0?0? 0?2?0? 1?0?1 ú ú ú ? ù ê ê ê ? é? 1?0?0? 0?2?0? 1?0?1? = ú ú ú ? ù ê ê ê ? é? 1?0?0? 0?4?0? 2?0?1 = -?E?A? 9?2 ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - -? 8?0?0? 0?5?0? 2?0?8? , = +?E?A?3 ú ú ú ? ù ê ê ê ? é? 4?0?0? 0?5?0? 1?0?4 ? ú ú ú ? ù ê ê ê ? é? 1?0?0? 0?1?0? 0?0?1?4?0?0? 0?5?0? 1?0?4? M M M ? ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é? 4?1?0?0? 0?1?0? 0?0?1?1?0?0? 0?5?0? 1?0?4? M M M ? ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é -?4?1?0?0? 0?1?0? 4?1?0?1?1?0?0? 0?5?0? 0?0?4? M M M ú ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ê ? é -? 4?1?0?0? 0?5?1?0? 16?1?0?4?1?1?0?0?0?1?0?0?0?1? M M M? , ú ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ê ? é - = + -? 4?1?0?0? 0?5?1?0? 16? 1?0?4?1?)?3?(? 1?E?A? )?9?(?)?3?(? 2?1? E?A?E?A - + -? = ú ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ê ? é -?4?1?0?0? 0?5?1?0? 16?1?0?4?1 ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - -? 8?0?0? 0?5?0? 2?0?8? = ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - -? 2?0?0? 0?1?0? 1?0?2 9.?设? .?___?]?)?2?[(?___,?)?(?____,?,?3?3?4? 2?1?2? 2?1?1? 1?*?1?*?1 = - = = ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - - - = - - -? A?A?A?A? 则 解.?|A|?=?－3－12?+?8?+?8?+?6－6?=?1 ? ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - - -? 1?0?0? 0?1?0? 0?0?1?3?3?4? 2?1?2? 2?1?1? M M M ? ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - - -? 1?0?4? 0?1?2? 0?0?1?5?7?0? 2?3?0? 2?1?1? M M M ? ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - - - - -? 1?0?4? 0?3?1?3?2? 0?0?1?5?7?0? 3?2?1?0? 2?1?1? M M M ? ú ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ê ? é - - - - -? 1?3?7?3?2? 0?3?1?3?2? 0?3?1?3?1?3?1?0?0? 3?2?1?0?3?4?0?1? M M M ? ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é - - - -? 1?3?7?3?2? 2?5?2? 4?9?3?3?1?0?0?0?1?0?0?0?1? M M M ? ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - - - - -? 3?7?2? 2?5?2? 4?9?3?1?0?0? 0?1?0? 0?0?1? M M M ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - - - - - = -? 3?7?2? 2?5?2? 4?9?3?1?A = = = = - - -? |?|?)?(?,?|?|?,?|?|? 1?*?1?*?*?1? A?A?A?A?A?A?A?A?A ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - - -? 3?3?4? 2?1?2? 2?1?1? 1?1?3?1?*? 4?)?2?(?|?|?)?2?(?)?2?(?|?2?|?)?2?( - - - = - - = - - = -? A?A?A?AA?A 4?1?4?)?4?(?]?)?2?[(? 1?1?1?* = = = - - - -? A?A?A ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - - -? 3?3?4? 2?1?2? 2?1?1? 10.?设矩阵 ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é - - =? 3?1?1?1? 5?2?2?1? 0?0?1?1? 0?0?1?2?A? ,?则?A?的逆矩阵? 1 -?A?=?______.? 解. ú ? ù ê ? é - - = ú ? ù ê ? é -? 2?1?1?1?1?1?1?2?1? , ú ? ù ê ? é - - = ú ? ù ê ? é -? 2?1?5?3?3?1?5?2?1 使用分块求逆公式 ú ? ù ê ? é - = ú ? ù ê ? é - - - - -? 1?1?1?1?1? 0?0? B?CA?B?A?B?C?A? － ú ? ù ê ? é - - ú ? ù ê ? é - -? 1?1?2?1?2?1?5?3 ú ? ù ê ? é - -?2?1?1?1? = ú ? ù ê ? é - -?11?7?30?19? 所以 ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é - - - - - - = -? 2?1?11?7? 5?3?30?19? 0?0?2?1? 0?0?1?1?1?A? 二.?单项选择题?1.?设?A、B?为同阶可逆矩阵,?则? (A)?AB?=BA? (B)?存在可逆矩阵?P,?使? B?AP?P = -1?(C)?存在可逆矩阵?C,?使? B?AC?C?T =? (D)?存在可逆矩阵?P和Q,?使? B?PAQ = 解.?因为?A可逆,?存在可逆? E?AQ?P?Q?P? A?A?A?A = 使?,? .?因为?B?可逆,?存在可逆? E?BQ?P?Q?P? B?B?B?B = 使?,? .?所以? A?A?AQ?P? =? B?B?BQ?P? .?于是? B?Q?AQ?P?P? B?A?A?B = - -? 1?1?令? A?B?P?P?P? 1 - =? ,? 1 - =? B?A?Q?Q?Q? .?(D)是答案.?2.?设?A、B?都是?n阶可逆矩阵,?则 ú ? ù ê ? é - -1?0?0?2? B?A?T? 等于?(A)? 1?2? |?||?|?)?2?( - -? B?A?n? (B)? 1?|?||?|?)?2?( - -? B?A?n? (C)? |?||?|?2? B?A?T -? (D)? 1?|?||?|?2 - -? B?A? 解.? 1?2?1? |?||?|?)?2?(?0?0?2 - - - = ú ? ù ê ? é -? B?A?B?A? n?T? .?(A)是答案.?3.?设?A、B?都是?n阶方阵,?下面结论正确的是? (A)?若?A、B?均可逆,?则?A+?B?可逆.??????(B)?若A、B?均可逆,?则?AB可逆.?(C)?若?A+?B?可逆,?则A－B?可逆.?????????(D)?若?A+?B?可逆,?则?A,B?均可逆.?解.?若?A、B?均可逆,?则? 1?1?1?)?( - - - =? A?B?AB? .?(B)是答案.?4.?设n维向量? ) 2?1,?0?,?,?0?,2?1(? L = a? ,?矩阵 a a?T?E?A - =? , a a?T?E?B? 2 + = 其中E为n阶单位 矩阵,?则?AB?=?(A)?0???????(B)?－E? (C)E? (D) a a? T?E + 解.?AB?=? )?( a a?T?E-? )?2?( a a?T?E +? = a a?T?E -? +?2 a a?T?－2 a a?T a a?T?=?E.? )2?1?( = a a?T? (C)是答案.? 5.?设 ú ú ú ? ù ê ê ê ? é =? 3?32?31? 23?2?21? 13?12?1? a?a?a? a?a?a? a?a?a?A? , ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - - =? 23?3?2?32?21?31? 13?12?1? 23?2?21? a?a?a?a?a?a? a?a?a? a?a?a?B? , ú ú ú ? ù ê ê ê ? é =? 1?0?0? 0?0?1? 0?1?0?1?P ,?设 有?P2P1A?=?B,?则?P2?=?(A) ú ú ú ? ù ê ê ê ? é? 1?0?1? 0?1?0? 0?0?1? (B) ú ú ú ? ù ê ê ê ? é -? 1?0?1? 0?1?0? 0?0?1? (C) ú ú ú ? ù ê ê ê ? é? 1?0?0? 0?1?0? 1?0?1? (D) ú ú ú ? ù ê ê ê ? é -?1?0?0? 0?1?0? 1?0?1?解.?P1A?表示互换?A?的第一、二行.B?表示A?先互换第一、二行,?然后将互换后的矩阵的第一 行乘以(－1)加到第三行.?所以?P2?= ú ú ú ? ù ê ê ê ? é -? 1?0?1? 0?1?0? 0?0?1? .(B)是答案.? 6.?设?A?为?n阶可逆矩阵,?则(－A)?*?等于?(A)?－A?*? (B)?A?*? (C)?(－1)?n?A?*? (D)?(－1)?n－1?A?*? 解.?(－A)?*?=? *?1?1?1? )?1?(?)?1?(?1?|?|?)?1?(?)?(?|?|? A?A?A?AA? n?n - - - - = - - = - -? .?(D)是答案.?7.?设?n?阶矩阵?A?非奇异(n 32),?A? *?是A?的伴随矩阵,?则?(A)? A?A?A? n?1?*?*? |?|?)?( - =? (B)? A?A?A? n?1?*?*? |?|?)?( + =? (C)? A?A?A? n?2?*?*? |?|?)?( - =? (D)? A?A?A? n?2?*?*? |?|?)?( + = 解.? 1?*? |?| - =? A?A?A? A?A?A?A?A?A?A?A?A?A?A?A?A? n?n? 2?1?1?1?1?1?*?1?*?*? |?|?|?|?|?|?|?|?)?|?(|?|?|?||?)?|?(|?)?( - - - - - - - = = = =?(C)是答案.?8.?设?A?为m×n?矩阵,?C?是?n?阶可逆矩阵,?矩阵A?的秩为?r 1,?矩阵?B?=AC?的秩为?r,?则?(A)?r?>?r1? (B)?r?<?r1? (C)?r=?r1? (D)?r与?r1?的关系依?C?而定 解.? n?C?r?C?A?B? n?n?n?m = = ′ ′? )?(?,? ,?所以? 1?)?(?)?(?)?(? rn?C?r?Ar?AC?r?r = - + 3 = 又因为? 1 - =?BC?A? ,?于是? r?n?C?r?B?r?BC?r?r = - + 3 = - -? )?(?)?(?)?(? 1?1?1?所以? r?r =? 1? .?(C)是答案. 9.?设?A、B?都是?n阶非零矩阵,?且?AB?=?0,?则?A?和B的秩?(A)?必有一个等于零? (B)?都小于?n? (C)?一个小于?n,?一个等于?n? (D)?都等于?n?解.?若? 0?,?0?.?,?)?(? 1 = = = -? B?AB?A?n?Ar? 得 由 存在 则? ,?矛盾.?所以? n?A?r <?)(? .?同理?n?B?r <?)?(? .?(B)是答案.? 三.?计算证明题?1.?设 ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - =? 2?4?3? 1?2?1? 0?1?3?A? , ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - =? 1?4?3? 5?2?2? 0?1?1?B? .?求:?i.?AB－BA??ii.?A?2?－B?2? iii.?B?T?A?T? 解. = -?BA?AB ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - - -? 16?18?9? 3?17?17? 6?4?1? , = -?2?2? B?A ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - - -? 13?26?3? 9?15?15? 6?4?9 =?T?T?A?B ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - -? 2?1?5? 3?1?5? 17?6?5? 2.?求下列矩阵的逆矩阵? i. ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é - - - - - -? 1?1?1?1? 1?1?1?1? 1?1?1?1? 1?1?1?1? ii. ú ú ú ? ù ê ê ê ? é -? 1?0?0? 0?cos?sin? 0?sin?cos a a a a? iii. ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é? 0?0?0?1? 0?0?1?0? 0?1?0?0? 1?0?0?0? iv. ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é -?1?1?0?0? 2?1?0?0? 0?0?1?2? 0?0?2?5? 解.?i. ? ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é - - - - - -? 1?0?0?0? 0?1?0?0? 0?0?1?0? 0?0?0?1?1?1?1?1? 1?1?1?1? 1?1?1?1? 1?1?1?1? M M M M ? ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é - - - - - - - - -? 1?0?0?1? 0?1?0?1? 0?0?1?1? 0?0?0?1?0?2?2?0? 2?0?2?0? 2?2?0?0? 1?1?1?1? M M M M ? ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é - - - - - - -? 1?0?0?1? 0?0?1?1? 0?2?1?0?2?1? 0?0?0?1?0?2?2?0? 2?2?0?0? 1?0?1?0? 1?1?1?1? M M M M ? ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ? é - - - - - -? 1?1?0?0? 0?0?1?1? 0?2?1?0?2?1? 0?2?1?0?2?1?2?2?0?0? 2?2?0?0? 1?0?1?0? 0?1?0?1? M M M M ? ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ? é - - - -? 1?1?0?0? 0?0?2?1?2?1? 0?2?1?0?2?1? 0?2?1?0?2?1?2?2?0?0? 1?1?0?0? 1?0?1?0? 0?1?0?1? M M M M ? ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ? é - - - - -? 1?1?1?1? 0?0?2?1?2?1? 0?2?1?0?2?1? 0?2?1?2?1?0?4?0?0?0? 1?1?0?0? 1?0?1?0? 1?0?0?1? M M M M ? ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ? é - - - - -? 4?1?4?1?4?1?4?1? 0?0?2?1?2?1? 0?2?1?0?2?1? 0?2?1?2?1?0?1?0?0?0? 1?1?0?0? 1?0?1?0? 1?0?0?1? M M M M ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ? é - - - - - -? 4?1?4?1?4?1?4?1? 4?1?4?1?4?1?4?1? 4?1?4?1?4?1?4?1? 4?1?4?1?4?1?4?1? 1?0?0?0? 0?1?0?0? 0?0?1?0? 0?0?0?1? M M M M? , ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ? é - - - - - - = -? 4?1?4?1?4?1?4?1? 4?1?4?1?4?1?4?1? 4?1?4?1?4?1?4?1? 4?1?4?1?4?1?4?1?1?A? ii. ú ? ù ê ? é - = ú ? ù ê ? é - - a a a a a a a a? cos?sin?sin?cos?cos?sin?sin?cos? 1? .?由矩阵分块求逆公式: ú ? ù ê ? é = ú ? ù ê ? é - - -? 1?1?1? 0?0?0?0? B?A?B?A? 得到: ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - = -? 1?0?0? 0?cos?sin? 0?sin?cos?1 a a a a?A? iii. ú ? ù ê ? é = ú ? ù ê ? é -? 0?1?1?0?0?1?1?0?1? .?由矩阵分块求逆公式: ú ? ù ê ? é = ú ? ù ê ? é - - -? 0?0?0?0? 1? 1?1? A? B?B?A 所以 ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é = -? 0?0?0?1? 0?0?1?0? 0?1?0?0? 1?0?0?0?1?A? iv.?由矩阵分块求逆公式: ú ? ù ê ? é = ú ? ù ê ? é - - -? 1?1?1? 0?0?0?0? B?A?B?A? 得到: ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ? é - - - = -? 3?1?3?1?0?0? 3?2?3?1?0?0? 0?0?5?2? 0?0?2?1?1?A? 3.?已知三阶矩阵?A满足? )?3?,?2?,?1?( = =? i?i?A? i?i a a? .?其中? T?)?2?,?2?,?1?(?1 = a? ,? T?)?1?,?2?,?2?(?2 - = a? ,?T?)?2,?1?,?2?(? 3 - - = a? .?试求矩阵A.? 解.?由本题的条件知: = ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - -?2?1?2? 1?2?2? 2?2?1?A ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - -?6?2?2? 3?4?2? 6?4?1 ? ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - -? 1?0?0? 0?1?0? 0?0?1?2?1?2? 1?2?2? 2?2?1? M M M ? ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - - - -? 1?0?2? 0?1?2? 0?0?1?6?3?0? 3?6?0? 2?2?1? M M M ? ú ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ê ? é - - - - -? 0?3?1?3?2? 3?1?0?3?2? 0?0?1?1?2?0? 2?1?0? 2?2?1? M M M ? ú ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ê ? é - - - - -? 3?2?3?1?3?2? 3?1?0?3?2? 3?2?0?3?1?3?0?0? 2?1?0?2?0?1? M M M ? ú ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ê ? é - - - - -? 9?2?9?1?9?2? 3?1?0?3?2? 3?2?0?3?1?1?0?0? 2?1?0?2?0?1? M M M ? ú ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ê ? é - - -? 9?2?9?1?9?2? 9?1?9?2?9?2? 9?2?9?2?9?1?1?0?0?0?1?0?0?0?1? M M M ú ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ê ? é - - - - = ú ú ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ê ê ? é - - - ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - - - =? 2?3?2?3?2? 3?2?3?5?0? 3?2?0?3?7? 9?2?9?1?9?2? 9?1?9?2?9?2? 9?2?9?2?9?1?6?2?2? 3?4?2? 6?4?1?A 4.?k?取什么值时, ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - =? 1?1?1? 0?0? 0?0?1? k?A? 可逆,?并求其逆.? 解.? 0?1?1?1? 0?0? 0?0?1?|?| 1 = - =? k?k?A ? ú ú ú ? ù ê ê ê ? é -? 1?0?0?1?1?1? 0?1?0?0?0? 0?0?1?0?0?1? M M M?k ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - -? 1?0?1?1?1?0? 0?1?0?0?1?0? 0?0?1?0?0?1? M M M? k ? ú ú ú ? ù ê ê ê ? é -? 1?1?1?1?0?0? 0?1?0?0?1?0? 0?0?1?0?0?1? k?k?M M M 所以 ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - = -? 1?1?1? 0?1?0? 0?0?1?1? k?k?A? 5.?设?A?是?n阶方阵,?且有自然数?m,?使(E+?A)?m?=?0,?则?A?可逆.?解.?因为? 0?)?(? 1?0 = + = = + ? ? = =? mi? i?i?m?m?i? i?i?m?m? A?c?E?A?c?AE?所以 ? = - = -?mi? i?i?m? E?A?c?A? 1? 1?)?( .?所以?A可逆.?6.?设?B?为可逆矩阵,A?是与B?同阶方阵,?且满足?A?2?+AB?+?B?2?=?0,?证明?A和?A?+B?都是可逆 矩阵.? 解.?因为? 0?2?2 = + +? B?AB?A? ,?所以? 2?)?(? B?B?A?A - = +? .?因为?B?可逆,?所以? 0?|?|?)?1?(?|?|? 2?2 1 - = -? B?B? n? 所以? 0?|?|?|?)?(?|? 2 1 - = +? B?B?A?A .?所以? B?A?A +?,? 都可逆.?7.?若?A,?B都是?n?阶方阵,?且E?+?AB?可逆,?则?E+?BA也可逆,?且? A?AB?E?B?E?BA?E? 1?1? )?(?)( - - + - = + 解.? A?AB?E?B?BA?E?BA?E?A?AB?E?B?E?BA?E? 1?1? )?(?)(?))?(?)(?( - - + + - + = + - +?=? A?AB?E?AB?E?B?BA?E?A?AB?E?BAB?B?BA?E? 1?1? )?)(?(?)?)(?( - - + + - + = + + - +? =? E?BA?BA?E = - + 所以? A?AB?E?B?E?BA?E? 1?1? )?(?)( - - + - = +? .? 8.?设?A,?B都是?n?阶方阵,?已知|B|1?0,?A－E?可逆,?且(A－E)?－1?=?(B－E)?T?,?求证A?可逆.?解.?因为(A－E)?－1?=?(B－E)?T?,?所以(A－E)(B－E)?T?=E?所以? E?E?B?E?B?A? T?T = + - -?)?( ,? T?T? B?E?B?A = -?)?(?由?|B|1?0?知? 1?1? )?( - -? T?B?B?， 存在.?所以? E?B?E?B?A? T?T = - -1?)?)(?( .?所以?A?可逆.?9.?设?A,?B,A?+B?为?n?阶正交矩阵,?试证:?(A?+?B)? －1?=?A?－1?+?B?－1?.?解.?因为?A,B,?A+?B?为正交矩阵,?所以? 1?1?1? ,?,?)?(?)?( - - - = = + = +? B?B?A?A?B?A?B?A? T?T?T? 所以? 1?1?1? )?(?)?( - - - + = + = + = +? B?A?B?A?B?A?B?A? T?T?T?10.?设?A,B?都是?n阶方阵,?试证明:? |?|? E?AB? B?E?E?A - = .?解.?因为 ú ? ù ê ? é - = ú ? ù ê ? é ú ? ù ê ? é - ú ? ù ê ? é? AB?E?B?E?B?E?E?A?E?A?E?E?E? 0?0?0?0?所以? AB?E?B?E?B?E?E?A?E?A?E?E?E - = -? 0?0?0?0? |?|?)?1?(?0?1?)?1?(? 2? E?AB?AB?E?B?E?B?E?E?A? n?n - - = - = × × - 因为? n?n? )?1(?)?1(? 2 - = -? ,?所以? |?|? E?AB?B?E?E?A - =11.?设?A?为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵,?E?为四阶单位矩阵? )?0?,?0?(?0?0?0? 0?0?0? 0?0?0?0? 0?0?0?0 > > ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é =? l?k?l?k?B? i.?试计算|E?+AB|,?并指出?A?中元素满足什么条件时,?E+?AB?可逆??ii.?当?E?+?AB?可逆时,?试证明(E?+AB)?－1?A?为对称矩阵. 解.?i. ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é =? 4?34?24?14? 34?23?13? 24?23?12? 14?13?12? 0?0?0? a?a?a?a? a?a?a? a?a?a? a?a?a?A? , ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é =? l?k?a?a?a?a? a?a?a? a?a?a? a?a?a?AB? 0?0?0? 0?0?0? 0?0?0?0? 0?0?0?0?0?0?0? 4?34?24?14? 34?23?13? 24?23?12? 14?13?12 ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é =? 0?0?0? 0?0?0?0?0?0?0? 34? 34? 24?23? 14?13?ka? la?la?ka? la?ka? AB?E + ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é =? 1?0?0? 1?0?0?1?0?0?1? 34? 34? 24?23? 14?13?ka? la?la?ka? la?ka? ,? 2?34?1?|?|? kla?AB?E - = + 所以当? 2?34?1? a?kl 1 时,?E?+?AB?可逆.?ii.? 1?1?1?1?1? )?(?)]?(?[?)?( - - - - - + = + = +? B?A?AB?E?A?A?AB?E?因为?A,?B为实对称矩阵,?所以? B?A + -1? 为实对称矩阵,?所以(E+?AB)?－1?A?为对称矩阵.? 12.?设 ú ú ú ? ù ê ê ê ? é = l l l?1?0? 0?1? 0?0?A? ,?求?A?n?.? 解.?使用数学归纳法. ú ú ú ? ù ê ê ê ? é = ú ú ú ? ù ê ê ê ? é ú ú ú ? ù ê ê ê ? é =? 2?2?2?2? 2?1? 0?2? 0?0?1?0?0?1?0?0?1?0?0?1?0?0 l l l l l l l l l l l?A = ú ú ú ? ù ê ê ê ? é ú ú ú ? ù ê ê ê ? é = l l l l l l l l? 1?0?0?1?0?0?2?1? 0?2? 0?0?2?2?2?3?A ú ú ú ? ù ê ê ê ? é +? 3?2?3?2?3? 3?)?2?1?(? 0?3? 0?0 l l l l l l 假设? k?A?= ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - + + - - -? k?k?k? k?k?k? k?k?k l l l l l l? 1?2?1?)?1?1?(? 0?0?0?L 则? 1 +?k?A?= ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - + + - - -? k?k?k? k?k?k? k?k?k l l l l l l? 1?2?1?)?1?1?(? 0?0?0?L ú ú ú ? ù ê ê ê ? é l l l?1?0? 0?1? 0?0 = ú ú ú ? ù ê ê ê ? é + + + + + - + +? 1?1? 1?1? )?1?(?)?1?(? 0?)?1?(? 0?0? k?k?k? k?k?k? k?k?k l l l l l l L 所以? n?A?= ú ú ú ? ù ê ê ê ? é - + + - - -? n?n?n? n?n?n? n?n?n l l l l l l? 1?2?1?)?1?1?(? 0?0?0?L? = ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é - - - -? n?n?n? n?n?n? n?n?n?n l l l l l l? 1?2?1?2?)?1( 0?0?0? 13.?A是n阶方阵,?满足A?m?=?E,?其中m是正整数,?E为n阶单位矩阵.?今将A中n?2?个元素aij?用其代数余子式?Aij?代替,?得到的矩阵记为?A0.?证明? E?A?m =? 0? .?解.?因为?A?m?=?E,?所以? 1?|?| =?m?A? ,?所以?A?可逆.? 1?1?*?0? )?(?|?|?]?|?[|?)?( - - = = =? T?T?T? A?A?A?A?A?A所以? E?E?A?A?A?A?A?A? m?T?m?m?m?T?m = = = = - - -? 1?1?1?0? |?|?]?)?[(?|?|?]?)?(?|?[|? 14.?设矩阵 ú ú ú ? ù ê ê ê ? é =? 0?1?0? 1?0?1? 0?0?1?A? i.?证明:?n 3?3?时,? E?A?A?A? n?n - + = -? 2?2? (E?为三阶单位矩阵)?ii.?求?A?10?.? 解.?i. ú ú ú ? ù ê ê ê ? é =? 0?1?0? 1?0?1? 0?0?1?2?A ú ú ú ? ù ê ê ê ? é? 0?1?0? 1?0?1? 0?0?1 ú ú ú ? ù ê ê ê ? é =? 1?0?1? 0?1?1? 0?0?1 ú ú ú ? ù ê ê ê ? é =? 1?0?1? 0?1?1? 0?0?1?3?A ú ú ú ? ù ê ê ê ? é? 0?1?0? 1?0?1? 0?0?1 ú ú ú ? ù ê ê ê ? é =? 0?1?1? 1?0?2? 0?0?1 + ú ú ú ? ù ê ê ê ? é = - +? 0?1?0? 1?0?1? 0?0?1?2? E?A?A - ú ú ú ? ù ê ê ê ? é? 1?0?1? 0?1?1? 0?0?1 ú ú ú ? ù ê ê ê ? é? 1?0?0? 0?1?0? 0?0?1 ú ú ú ? ù ê ê ê ? é =? 0?1?1? 1?0?2? 0?0?1? 3?A = 所以? E?A?A?A - + = -? 2?2?3?3?假设? E?A?A?A? k?k - + = -? 2?2? 则 = - + = - +? A?A?A?A? k?k? 3?1?1? A?E?A?A?A?k - - + + -? 2?1? =? E?A?A?k - + - +? 2?2?1） （ 所以? E?A?A?A? n?n - + = -? 2?2?ii. = - + =? E?A?A?A? 2?98?10? E?A?E?A?A? 49?50?2?2? 2?2?96 - = = - + L - ú ú ú ? ù ê ê ê ? é =? 50?0?50? 0?50?50? 0?0?50 ú ú ú ? ù ê ê ê ? é? 49?0?0? 0?49?0? 0?0?49 ú ú ú ? ù ê ê ê ? é =? 1?0?50? 0?1?50? 0?0?1? 15.?当 ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é - =? 2?1?2?3?2?3?2?1?A? 时,?A?6?=?E.?求?A?1?.? 解.? 1?2?1?2?3?2?3?2?1?|?| = - =?A? ,?所以 = = -? |?|?*?1? A?A?A ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é -? 2?1?2?3?2?3?2?1? 因为? 1?1?12?1?6 - - = = =? EA?A?A?A?E?A? ， ú ú ú ú ? ù ê ê ê ê ? é - =? 2?1?2?3?2?3?2?1? 16.?已知?A,B?是?n阶方阵,?且满足?A?2?=A,?B?2?=?B,?与(A－B)?2?=?A+?B,?试证:?AB=?BA=?0.?解.?因为(A－B)?2?=?A?+B,?所以? )?)(?(?)?)(?(?)?(? 3? B?A?B?A?B?A?B?A?B?A - + = + - = - 于是? 2?2?2?2? B?AB?BA?A?B?AB?BA?A - - + = - + -? ,?所以? BA?AB =?B?A?B?BA?AB?A?B?A?B?A + = + - - + = -? 2?2?2? ,)?(? 因为?A?2?=?A,B?2?=?B,?所以?2AB?=?0,?所以? 0 = =?BA?AB