第十八章 机械系统的动力学分析
1．教学目标
1、掌握机械产生周期性速度波动的原因及调节；
2、理解飞轮调速的基本原理；
3、掌握回转构件的动平衡和静平衡原理
2．教学重点和难点
【重点、难点】 掌握周期性速度波动的原因及调节；飞轮调速的基本原理；回转构件的动平衡和静平衡原理
3．讲授方法：多媒体和演示柜教学
正 文
§18.1 机械系统速度波动及调节我们在前面对机构进行研究时，都是假定运动件的运动规律已知，并且假定原动件作等速运动。实际上，机构原动件的运动规律是由各构件的质量、转动惯量和作用在机械上的力等因素共同决定的。
在一般情况下，原动件的运动参数（位移、速度、加速度）往往是随时间而变化的，这时我们需要将机器作为一个整体来进行研究的。所以，研究在外力作用下机械的真实运动规律，对于设计机械，尤其是对于高速、重载、高自动化的机械是十分重要的。
同时，机械运动过程中出现的速度波动，也会导致运动副中产生附加动载荷、，引起机械的振动，从而会降低机械的寿命、效率和工作质量。所以，这就需要我们对机械的运转速度波动及调节方法进行研究。
为了研究这两个问题，我们必须首先了解机械运转过程中三个阶段的运动状态。
1．起动阶段如图所示，机械原动件的角速度随时间t变化的曲线。
在起动阶段，原动件由零逐渐上升，直至达到正常的运转平均角速度为止。
这一阶段，由于机械所受的驱动力所作的驱动功大于为克服生产阻力所需的功和克服有害阻力消耗的损耗功，所以系统内积蓄了动能。该阶段的功能关系为：
=++
2．稳定运行阶段起动阶段完成之后,机械进入稳定运行阶段。此时,机械原动件以平均角速度作稳定运转。此时=0，故有：
=+
一般情况下，在该阶段机械原动件的角速度会出现不大的周期性波动，即在一个周期T内，各个瞬时略有升降，但在同一个周期内的始末相等，机械动能也相等（即=0），也就是机械的总驱动功与总阻抗功相等。
3．停止（停车）阶段这一阶段=0，=0（有用功），故有：
+=0
起动和停车阶段，我们统称为机械运转的过渡阶段。
多数机械都是在稳定阶段进行工作的，但也有在过渡阶段工作的，如起重机等。就象在一般的情况下，我们要减小摩擦，有时又需要利用摩擦完成一定的工作一样。
一、产生周期性速度波动的原因作用在机械上的驱动力矩和阻抗力矩往往是原动件转角的周期性函数。其等效力矩Me与必然是等效构件转角的周期性函数。
如图所示为某一机构在稳定运转过程中其等效构件（一般取原动件）在一个周期转角中所受等效驱动力矩Md与等效阻抗力矩的变化曲线。
在等效构件任意回转角的位置，其驱动功与阻抗功分别为：
也就是等效构件从起始位置转过角时，等效力矩Me所作的功为：
称为盈亏功。当>0时，称为盈功；当<0时，称为亏功。是Md、、和的函数。机械动能的增量为：
由此可得到机械能的变化曲线如图b。
在盈功阶段，等效构件的角速度由于动能的增加而上升；反之，亏功阶段，等效构件的角速度由于动能减少而下降。
在等效力矩Me和等效转动惯量的公共变化周期内，即图中到的一段中，驱动功等于阻抗功，机械能的增量为零，即：
于是，经过一个公共周期，机械的动能又恢复到原来的值，因而等效构件的角速度又恢复到原来的值。
机械系统在外力（驱动力和各种阻力）的作用下运转时，如果每一瞬时都保证所作的驱动功与各种阻抗功相等，机械系统就能保持匀速运转。但是，多数机械系统在工作时并不能保证这一点，从而会导致机械在驱动功大于或小于阻抗功的情况工作，机械转速就会升高或降低，出现波动。
周期性速度波动是由于机械系统动能增减呈周期性变化，造成主轴角速度随之作周期性波动，如图所示。
二、周期性速度波动的调节
①平均角速度和速度不均匀系数
为了对机械稳定性运转过程中出现的周期性速度波动进行分析，首先我们要了解衡量速度波动程度的几个参数。
如图所示为在一个周期内等效构件角速度的变化曲线。其平均角速度为：
在工程的实际应用中，我们常近似地采用算术平均值来表示：
可查机械铭牌上的n(r/min)进行换算。
机械速度波动的程度不能仅用速度变化的幅度（）来表示。因为当（）一定时，对低速机械速度波动就显得十分明显（严重），而对高速机械就显得不十分明显。因此，平均角速度也是一个重要指标。
综合考虑这两方面的因素，我们用速度不均匀系数来表示机械速度波动的程度，其定义为：角速度波动的幅度（）与平均角速度之比，即：
不同类型的机械,对速度不均匀系数的要求是不同的。在教材和有关手册上都给出了一些常用机械参考的速度不均匀系数的[]。在设计机械时，应满足,
≤[]
为了调节周期性波动,可以在机械中安装一个转动惯量很大的回转构件——飞轮，来调节周期性速度的波动。根据等效构件的方法原理和力学定律，我们可以得到式：
可知，在一定的条件下，加大可以使等效构件的角加速度减小，从而使机械的运转趋于平稳。
②飞轮的简易设计方法
a.基本原理由图可见，在b点处出现能量最小值，而在点C处出现能量最大值。如果机械的等效惯量=常数，则当时，；当时，，而在和之间出现最大盈亏功，可由下式计算：
为了调节机械的周期性速度波动，可在机械上安装飞轮。现设机械的等效转动惯量为，飞轮的等效转动惯量为，则由上式得：
=
所以，有,
由于对某一具体机械而言，、及都是确定的，故由上式可知，在机械上安装一具有足够大的转动惯量的飞轮后，可以使下降到许可的范围之内，满足工程的需要，达到调节机械波动的目的。
飞轮在机械中的作用，实质上相当于一个能量储存器。由于其转动惯量很大，当机械出现盈亏时，飞轮可以以动能的方式将多余的能量储存起来，以减小主轴转速上升的幅度；反之，飞轮又可以释放其储存的能量，使主轴角速度下降的幅度减小。
b,的近似计算由≤[]和 得出：
—
如果<<，则可以忽略不计，近似得到：
以n代替有,
由此可知,当与一定时，与的变化成一等边双曲线，如图所示。
可以看出：
1）当和一定，飞轮转动惯量与其转速n呈平方反比。为了减小飞轮尺寸，所以飞轮应该装在高速轴上。
2）当飞轮转动惯量与其转速n一定时，和成正比，即机械系统运转越不均匀Wmax越大。
3）加装飞轮只能使波动程度下降。当[]取值过小时，飞轮会过大。
过分追求机械运转的均匀性，会使飞轮笨重，成本增加，我们也不可能依靠加大飞轮的转动惯量使机械系统的运转绝对均匀。
三、非周期性速度波动及调节如果在机械得运转过程中，等效力矩=—得变化是非周期性的，则机械运动就出现非周期性的速度波动，从而破坏机械的稳定性运转状态。若在长时间内出现>，则机械运转的速度会不断升高，从而导致产生所谓的“飞车”现象，使机械破坏。反之，若出现<，则机械会逐渐停止运转。为了避免上述两种情况的发生，必须对非周期性的速度波动进行调节，使机械保持稳定的运转。
对于用电动机作为原动机的机械，可以利用电动机本身所具有的“自调性”来保证机械的稳定运转。
但是，对于用内燃机、气轮机等，我们就必须采用一种专门的调节装置——调速器来进行调节，如图所示。
图中离心球2的支架1与发动机轴相连，离心球铰接在支架1上，并通过连杆3与活塞杆4相连。在稳定运转工作状态下，发动机轴的平均角速度保持不变。由油箱供给的油，通过增压泵7增压后，一部分输送到发动机中去，另一部分则经过油路a及活塞4回油孔间的通道进入调节油缸6,再经油路b回到油泵进口处。当由于外界工作条件变化而引起工作阻力矩减小时，发动机的转速将增高，这时离心球2将由于离心力的增大而向外摆动，于是通过连杆3而推动活塞4向右移动，从而使活塞4部分封闭的回油孔与活塞4之间的通道增大，因而使回油量增大，输送给发动机的油量减小，故发动机的驱动力矩下降，使发动机重新归于稳定运行。
具体调速器的自动调速原理将会在有关课程中作专门介绍，在这里就不作深入的讨论了。
§18.2 机械平衡一,机械平衡的目的在机械的运转过程中，由于机械构件结构的不对称、内部材质的不均匀或者制造安装不精确等原因，都可能使其中心惯性主轴与回转轴线不重合而产生离心力。构件产生的不平衡惯性力，不仅会在运动副中引起附加的动载荷，增大运动副中的摩擦和构件的内应力，降低机械的效率和使用寿命，而且还会产生振动。这些惯性力都会传到及机器的基础上，特别是由于这些惯性力的大小及方向一般都是周期性变化的，所以必将引起机器及其基础产生强迫振动。如果这种振动的振幅较大，或者其频率接近于共振范围，将引起极其不良的后果，不仅会降低机器的工作精度及可靠性，甚至会产生大的事故及破坏。所以，除了少数利用振动来工作的机械外（例如振动夯实机、振动压路机等），都应设法消除或减小惯性力，使机械在惯性力得到平衡的状态下工作。这就是机械的平衡问题，也就是机械平衡的目的。
由上述可知，机械的平衡是现代机械工程中一个重要问题，尤其在高速机械及精密机械中，进行机械的平衡就显得尤为重要。
二,机械平衡的内容在机构中，由于构件的结构和运动形式不同，其所产生的惯性力的平衡原理与方法也不同。
对于绕固定轴线回转的构件，其惯性力可以通过在该构件上增加或取出质量的方法予以平衡。这类构件我们称作转子。
转子可以分为两大类：挠性转子和刚性转子。对于挠性转子的平衡属于专门学科研究的内容。所以，刚性转子的平衡问题使本章主要讨论的内容之一。
对于刚性转子的平衡，如果只要求其惯性力达到平衡，称作静平衡；如果不仅要求其惯性力达到平衡，而且要求由惯性力引起的力偶矩也达到平衡，则称作动平衡。
至于作往复运动以及作平面复合运动的构件，因其重心是运动的，而又无法使其重心的加速度在任一瞬时都为零，其所产生的惯性力无法在构件本身上予以平衡，而必须就整个机构系统进行研究，努力使惯性力的合力和合力偶得到完全或部分的平衡。
所以，机械的平衡问题可以归纳为下述两方面内容：
1）绕固定轴回转构件的平衡，称作转子的平衡。
2）机构惯性力的合力冀合力偶的平衡，称作机构的平衡。
我们主要讨论刚性转子的平衡，对机构的平衡只作简要的介绍。
三,转子的平衡前面我们已经给出了转子的定义：绕固定轴回转的构件。
由于转子结构不对称或者是制造不精确、安装不准确、材质不均匀等原因，都会导致其质心偏离回转轴。
如图所示，若回转构件以等角速度回转，其偏心质量为m，矢径为，则将产生一个作用在轴承上的离心惯性力，即：
力的方向随转子的转动而发生周期性变化。
对于转子的平衡，我们首先在设计时就需要根据转子的结构和质量分布等情况进行平衡计算，使其在工作时的惯性力在理论上达到平衡。至于因制造不精确和材质不均匀等因素而导致的不平衡，则需要利用实验的方法加以平衡。
一） 转子的平衡计算
1．转子的静平衡计算如图所示，对于轴向尺寸较小的回转构件（），如齿轮、带轮、飞轮、盘形凸轮等，其质量可以近似地认为是分布在与其轴线垂直的同一平面内。
这类转子的质心若不在其回转轴线上，则当转子回转时将会产生离心惯性力，产生不平衡现象。但是，由于其质量是在同一平面内，所以其惯性力也在同一平面内，不会形成力偶矩。对这类转子的不平衡现象我们称作静不平衡。
如图所示，如果某一静不平衡转子有偏心质量m1、m2、m3，它们的回转半径分别为、和，则当转子以角速度等速回转时，各偏心质量所产生的离心惯性力分别为：
； ；
而、、为一平面汇交力系。为了平衡这些离心惯性力，可在转子上加平衡质量mb，使其所产生的离心惯性力与、、相平衡，即：
+++=0
也即：+++=0
或, +++=0
可以写成,+=0
如果有k个偏心质量，则有：+=0
所以静平衡的条件是：分布在该转子回转平面内的各个偏心质量的质径积的矢量和为零。
平衡质量的大小和方位，我们可以利用计算法或图解法予以确定。以下我们介绍图解法。
如上图所示，取质径积比例尺，按矢径的方向连续作出矢量分别代表，封闭矢量即代表平衡质径积，于是可以得到：
=
根据转子的结构情况选定值后，平衡质量的大小就随之而定，其方位则由确定。
为使转子平衡，我们可以在平衡矢径方向添加或在的反方向处去掉相应的一部分质量，只要保证矢量和为零即可。
静平衡只需要在一个平面内增加或去处一个平衡质量，即可使其得以静平衡，故又称单面平衡。
2．转子的动平衡对于轴向尺寸较大的回转件（），其偏心的质量可能分布在几个不同的额回转平面内，如图所示凸轮轴。
在这种情况下，即使转子的质心位于回转轴线上，满足了静平衡的条件，但由于各偏心质量所产生的离心惯性力不在同一回转平面内，因而将形成惯性力偶矩，仍会在支承中引起附加的动载荷和造成机械振动。这类转子的不平衡状态称为动不平衡，而对其平衡称为动平衡。
转子动平衡的力学条件是：各偏心质量所产生的离心惯性力之矢量和以及由这些惯性力所造成的惯性力偶矩之矢量和都为零，即：
=0 ； =0
如图所示,若有一转子的偏心质量m1、m2、m3分别位于三个平行的回转平面内,它们的矢径分别为、和。当转子以等角速度回转时，这些偏心质量所产生的离心惯性力、、将形成一个空间力系。
为了使该空间力系及由其各力构成的惯性力偶矩得以平衡，我们可以根据转子的结构情况，选定两个平衡基面Ⅰ和Ⅱ。根据理论力学中一个力可以分解为与其相平行的两个分力原理，将上述各个离心惯性力分别分解到平衡基面Ⅰ和Ⅱ上。这样，我们就把该空间力系的平衡问题转化为两个平衡基面内的汇交力系的平衡问题。然后再利用静平衡的办法分别确定出和的大小和方位即可。
由于动平衡是利用两个基面进行平衡，所以又称双面平衡。
结论：对于任何动不平衡的转子，不论在几个回转平面内，有多少个偏心质量，只要在选定的两个平衡基面上，分别适当地增加或去除一个平衡质量，即可使转子得到动平衡。
四,转子的平衡实验转子经过平衡计算，安装或去除了所需的平衡质量之后，只是在理论上解决了由于转子结构上有偏心而产生的不平衡问题。而由于制造、材料及安装等造成的不平衡，是我们在设计计算中无法解决的，这只能借助于平衡试验来解决。试验方法也有两类，即静平衡试验和动平衡试验。
1．转子的静平衡试验静平衡试验一般是在静平衡架上进行的，静平衡试验架其主要部分为水平安装的两条相互平行的钢制刀口形（或圆柱形）导轨，当被试转子的轴的两端放在导轨上时，如果转子质量不平衡，则其质心由于偏离轴线而产生一个重力矩使转子在导轨上滚动，直至质心落在轴线的铅垂下方时，转子才停止滚动，如图所示。
为使转子平衡，待转子停止转动后，可在转子轴线的正上方试加一个平衡质量，再重复试验，逐步调整，直至转子以不同的位置放置再导轨上都能保持静止时为止，这时转子就达到了静平衡。这种方法和设备都比较简单，也能达到较高的平衡精度，所以目前还广泛使用。
2．转子的动平衡试验转子的动平衡试验是在动平衡机上进行的。现代的动平衡机大多采用电子测量技术测定转子的不平衡量。如图所示为一电测动平衡机的原理示意图，它由驱动系统、试验支承系统和测量系统三个部分所组成。
驱动系统常采用变速电机(1)，经过一级皮带传动(2)，借助万向联轴器(3)来驱动转子(4)。
试验的支承系统是由支承座和弹簧(5)组成一个弹性系统。
试验开始后，转子旋转产生的不平衡惯性力使支承振动，支承系统能保证支承按一定方向振动，以便传感器（6，7）拾取信号。振动信号经传感器输入到测量装置的解算电路（8）。经处理后，把信号解算出的不平衡质径积的大小，再经放大器（9）显示在指示表头上（10）。而不平衡量引起振动的相位信号，则与光电头（11）采集的基准信号同时输入到鉴相器（12）中相比较、处理，得出质径积的相位，在表头（13）中输出。
五,转子的平衡精度在前面各章中，我们已经知道工程上的几乎所有计算、试验都不可能完全准确，都是一个相对的概念，都规定了许用值或安全系数等，平衡也是如此。所有我们的计算和试验平衡的转子，其平衡程度也是相对的。也就是说，还会有一些残存的不平衡，而要完全消除或进一步减小这些残存的不平衡，可能需要付出昂贵的代价，甚至是无法作到的。同时，从工程的实际出发，这些残存的不平衡可能不会影响转子的实际使用。所以，针对不同的工作要求，有不同的要求，规定了合适的平衡精度，以保证使用和节约费用。
转子的平衡精度有两种表示方法：许用质径积和许用偏心距。前者指出了许可的残存质径积[mr]的值，后者则指出转子质心的许用偏心距[r]的值。两者表示相同的平衡效果时，可得：
[r]=[mr]/m ()
由此可见：许用偏心距与转子总质量无关，而许用质径积则与转子总质量有关。通常，在对产品进行机械平衡时，平衡得精度多用许用质径积表示，因为它直观、方便，并便于平衡时进行操作，而在衡量转子平衡得优劣程度和衡量平衡机的检测精度时，则多用偏心距表示，便于直观比较。
由于转子不平衡产生得动力效应不仅与偏心距r有关，还与转子的工作速度有关。所以工程上常采用[r]值来表示转子的许用不平衡量，即：
A=[r]/1000 （mm/s）
其中：A——许用不平衡量（mm/s）
[r]——许用并不平衡偏心距 （）
——转子的角速度（rad/s）
教材和相关手册上都给出了常用各种转子的平衡品质和许用不平衡量。更详细的可以参考国家标准《刚性转子平衡品质》。
使用时要注意：所求得的许用不平衡质径积是对转子回转平面而言，也就是单面平衡值。对于双面平衡还要将求得的许用质径积分解到两个平衡基面上。
【例】如图所示，某叶轮得质量，工作转速，需进行动平衡试验，平衡基面Ⅰ、Ⅱ与叶轮质心的轴向距离为，。试求该叶轮应采用的平衡等级及平衡基面Ⅰ、Ⅱ的许用不平衡量。
解：由表查得平衡等级为G6.3级。
许用不平衡偏心距
=6.3=40
平衡基面Ⅰ的许用不平衡量
=40×30×200300=800（g.mm）
平衡基面Ⅱ的许用不平衡量
=40×30×100300=400（g.mm）
六,机构的平衡当机构运动时，各运动构件得惯性力可以合成一个通过质心得总惯性力和总惯性力偶矩，而这个总惯性力和总惯性力偶矩将全部由机座来承受。因此，为了消除机座上的动压力，就必须设法平衡这个总惯性力和总惯性力偶矩。由于总惯性力偶矩对机座的影响应与作用于该机构上的驱动力矩和阻抗力矩对机座的影响一并讨论，所以这里只讨论总惯性力的平衡。
机构平衡方法的基本思路是：
设机构的总质量为m，机构质心的加速度为，则机构的总惯性力。由于m≠0，故欲使=0，必须使=0。欲使=0，惟有使机构的质心静止不动，即设法使机构的质心落在机架上固定不动。具体的平衡方法有两种：
1）利用配重平衡；2）利用对称机构平衡。
我们不作进一步的讲解，需要时可以参考有关资料进行。
1．教学目标
1、掌握机械产生周期性速度波动的原因及调节；
2、理解飞轮调速的基本原理；
3、掌握回转构件的动平衡和静平衡原理
2．教学重点和难点
【重点、难点】 掌握周期性速度波动的原因及调节；飞轮调速的基本原理；回转构件的动平衡和静平衡原理
3．讲授方法：多媒体和演示柜教学
正 文
§18.1 机械系统速度波动及调节我们在前面对机构进行研究时，都是假定运动件的运动规律已知，并且假定原动件作等速运动。实际上，机构原动件的运动规律是由各构件的质量、转动惯量和作用在机械上的力等因素共同决定的。
在一般情况下，原动件的运动参数（位移、速度、加速度）往往是随时间而变化的，这时我们需要将机器作为一个整体来进行研究的。所以，研究在外力作用下机械的真实运动规律，对于设计机械，尤其是对于高速、重载、高自动化的机械是十分重要的。
同时，机械运动过程中出现的速度波动，也会导致运动副中产生附加动载荷、，引起机械的振动，从而会降低机械的寿命、效率和工作质量。所以，这就需要我们对机械的运转速度波动及调节方法进行研究。
为了研究这两个问题，我们必须首先了解机械运转过程中三个阶段的运动状态。
1．起动阶段如图所示，机械原动件的角速度随时间t变化的曲线。
在起动阶段，原动件由零逐渐上升，直至达到正常的运转平均角速度为止。
这一阶段，由于机械所受的驱动力所作的驱动功大于为克服生产阻力所需的功和克服有害阻力消耗的损耗功，所以系统内积蓄了动能。该阶段的功能关系为：
=++
2．稳定运行阶段起动阶段完成之后,机械进入稳定运行阶段。此时,机械原动件以平均角速度作稳定运转。此时=0，故有：
=+
一般情况下，在该阶段机械原动件的角速度会出现不大的周期性波动，即在一个周期T内，各个瞬时略有升降，但在同一个周期内的始末相等，机械动能也相等（即=0），也就是机械的总驱动功与总阻抗功相等。
3．停止（停车）阶段这一阶段=0，=0（有用功），故有：
+=0
起动和停车阶段，我们统称为机械运转的过渡阶段。
多数机械都是在稳定阶段进行工作的，但也有在过渡阶段工作的，如起重机等。就象在一般的情况下，我们要减小摩擦，有时又需要利用摩擦完成一定的工作一样。
一、产生周期性速度波动的原因作用在机械上的驱动力矩和阻抗力矩往往是原动件转角的周期性函数。其等效力矩Me与必然是等效构件转角的周期性函数。
如图所示为某一机构在稳定运转过程中其等效构件（一般取原动件）在一个周期转角中所受等效驱动力矩Md与等效阻抗力矩的变化曲线。
在等效构件任意回转角的位置，其驱动功与阻抗功分别为：
也就是等效构件从起始位置转过角时，等效力矩Me所作的功为：
称为盈亏功。当>0时，称为盈功；当<0时，称为亏功。是Md、、和的函数。机械动能的增量为：
由此可得到机械能的变化曲线如图b。
在盈功阶段，等效构件的角速度由于动能的增加而上升；反之，亏功阶段，等效构件的角速度由于动能减少而下降。
在等效力矩Me和等效转动惯量的公共变化周期内，即图中到的一段中，驱动功等于阻抗功，机械能的增量为零，即：
于是，经过一个公共周期，机械的动能又恢复到原来的值，因而等效构件的角速度又恢复到原来的值。
机械系统在外力（驱动力和各种阻力）的作用下运转时，如果每一瞬时都保证所作的驱动功与各种阻抗功相等，机械系统就能保持匀速运转。但是，多数机械系统在工作时并不能保证这一点，从而会导致机械在驱动功大于或小于阻抗功的情况工作，机械转速就会升高或降低，出现波动。
周期性速度波动是由于机械系统动能增减呈周期性变化，造成主轴角速度随之作周期性波动，如图所示。
二、周期性速度波动的调节
①平均角速度和速度不均匀系数
为了对机械稳定性运转过程中出现的周期性速度波动进行分析，首先我们要了解衡量速度波动程度的几个参数。
如图所示为在一个周期内等效构件角速度的变化曲线。其平均角速度为：
在工程的实际应用中，我们常近似地采用算术平均值来表示：
可查机械铭牌上的n(r/min)进行换算。
机械速度波动的程度不能仅用速度变化的幅度（）来表示。因为当（）一定时，对低速机械速度波动就显得十分明显（严重），而对高速机械就显得不十分明显。因此，平均角速度也是一个重要指标。
综合考虑这两方面的因素，我们用速度不均匀系数来表示机械速度波动的程度，其定义为：角速度波动的幅度（）与平均角速度之比，即：
不同类型的机械,对速度不均匀系数的要求是不同的。在教材和有关手册上都给出了一些常用机械参考的速度不均匀系数的[]。在设计机械时，应满足,
≤[]
为了调节周期性波动,可以在机械中安装一个转动惯量很大的回转构件——飞轮，来调节周期性速度的波动。根据等效构件的方法原理和力学定律，我们可以得到式：
可知，在一定的条件下，加大可以使等效构件的角加速度减小，从而使机械的运转趋于平稳。
②飞轮的简易设计方法
a.基本原理由图可见，在b点处出现能量最小值，而在点C处出现能量最大值。如果机械的等效惯量=常数，则当时，；当时，，而在和之间出现最大盈亏功，可由下式计算：
为了调节机械的周期性速度波动，可在机械上安装飞轮。现设机械的等效转动惯量为，飞轮的等效转动惯量为，则由上式得：
=
所以，有,
由于对某一具体机械而言，、及都是确定的，故由上式可知，在机械上安装一具有足够大的转动惯量的飞轮后，可以使下降到许可的范围之内，满足工程的需要，达到调节机械波动的目的。
飞轮在机械中的作用，实质上相当于一个能量储存器。由于其转动惯量很大，当机械出现盈亏时，飞轮可以以动能的方式将多余的能量储存起来，以减小主轴转速上升的幅度；反之，飞轮又可以释放其储存的能量，使主轴角速度下降的幅度减小。
b,的近似计算由≤[]和 得出：
—
如果<<，则可以忽略不计，近似得到：
以n代替有,
由此可知,当与一定时，与的变化成一等边双曲线，如图所示。
可以看出：
1）当和一定，飞轮转动惯量与其转速n呈平方反比。为了减小飞轮尺寸，所以飞轮应该装在高速轴上。
2）当飞轮转动惯量与其转速n一定时，和成正比，即机械系统运转越不均匀Wmax越大。
3）加装飞轮只能使波动程度下降。当[]取值过小时，飞轮会过大。
过分追求机械运转的均匀性，会使飞轮笨重，成本增加，我们也不可能依靠加大飞轮的转动惯量使机械系统的运转绝对均匀。
三、非周期性速度波动及调节如果在机械得运转过程中，等效力矩=—得变化是非周期性的，则机械运动就出现非周期性的速度波动，从而破坏机械的稳定性运转状态。若在长时间内出现>，则机械运转的速度会不断升高，从而导致产生所谓的“飞车”现象，使机械破坏。反之，若出现<，则机械会逐渐停止运转。为了避免上述两种情况的发生，必须对非周期性的速度波动进行调节，使机械保持稳定的运转。
对于用电动机作为原动机的机械，可以利用电动机本身所具有的“自调性”来保证机械的稳定运转。
但是，对于用内燃机、气轮机等，我们就必须采用一种专门的调节装置——调速器来进行调节，如图所示。
图中离心球2的支架1与发动机轴相连，离心球铰接在支架1上，并通过连杆3与活塞杆4相连。在稳定运转工作状态下，发动机轴的平均角速度保持不变。由油箱供给的油，通过增压泵7增压后，一部分输送到发动机中去，另一部分则经过油路a及活塞4回油孔间的通道进入调节油缸6,再经油路b回到油泵进口处。当由于外界工作条件变化而引起工作阻力矩减小时，发动机的转速将增高，这时离心球2将由于离心力的增大而向外摆动，于是通过连杆3而推动活塞4向右移动，从而使活塞4部分封闭的回油孔与活塞4之间的通道增大，因而使回油量增大，输送给发动机的油量减小，故发动机的驱动力矩下降，使发动机重新归于稳定运行。
具体调速器的自动调速原理将会在有关课程中作专门介绍，在这里就不作深入的讨论了。
§18.2 机械平衡一,机械平衡的目的在机械的运转过程中，由于机械构件结构的不对称、内部材质的不均匀或者制造安装不精确等原因，都可能使其中心惯性主轴与回转轴线不重合而产生离心力。构件产生的不平衡惯性力，不仅会在运动副中引起附加的动载荷，增大运动副中的摩擦和构件的内应力，降低机械的效率和使用寿命，而且还会产生振动。这些惯性力都会传到及机器的基础上，特别是由于这些惯性力的大小及方向一般都是周期性变化的，所以必将引起机器及其基础产生强迫振动。如果这种振动的振幅较大，或者其频率接近于共振范围，将引起极其不良的后果，不仅会降低机器的工作精度及可靠性，甚至会产生大的事故及破坏。所以，除了少数利用振动来工作的机械外（例如振动夯实机、振动压路机等），都应设法消除或减小惯性力，使机械在惯性力得到平衡的状态下工作。这就是机械的平衡问题，也就是机械平衡的目的。
由上述可知，机械的平衡是现代机械工程中一个重要问题，尤其在高速机械及精密机械中，进行机械的平衡就显得尤为重要。
二,机械平衡的内容在机构中，由于构件的结构和运动形式不同，其所产生的惯性力的平衡原理与方法也不同。
对于绕固定轴线回转的构件，其惯性力可以通过在该构件上增加或取出质量的方法予以平衡。这类构件我们称作转子。
转子可以分为两大类：挠性转子和刚性转子。对于挠性转子的平衡属于专门学科研究的内容。所以，刚性转子的平衡问题使本章主要讨论的内容之一。
对于刚性转子的平衡，如果只要求其惯性力达到平衡，称作静平衡；如果不仅要求其惯性力达到平衡，而且要求由惯性力引起的力偶矩也达到平衡，则称作动平衡。
至于作往复运动以及作平面复合运动的构件，因其重心是运动的，而又无法使其重心的加速度在任一瞬时都为零，其所产生的惯性力无法在构件本身上予以平衡，而必须就整个机构系统进行研究，努力使惯性力的合力和合力偶得到完全或部分的平衡。
所以，机械的平衡问题可以归纳为下述两方面内容：
1）绕固定轴回转构件的平衡，称作转子的平衡。
2）机构惯性力的合力冀合力偶的平衡，称作机构的平衡。
我们主要讨论刚性转子的平衡，对机构的平衡只作简要的介绍。
三,转子的平衡前面我们已经给出了转子的定义：绕固定轴回转的构件。
由于转子结构不对称或者是制造不精确、安装不准确、材质不均匀等原因，都会导致其质心偏离回转轴。
如图所示，若回转构件以等角速度回转，其偏心质量为m，矢径为，则将产生一个作用在轴承上的离心惯性力，即：
力的方向随转子的转动而发生周期性变化。
对于转子的平衡，我们首先在设计时就需要根据转子的结构和质量分布等情况进行平衡计算，使其在工作时的惯性力在理论上达到平衡。至于因制造不精确和材质不均匀等因素而导致的不平衡，则需要利用实验的方法加以平衡。
一） 转子的平衡计算
1．转子的静平衡计算如图所示，对于轴向尺寸较小的回转构件（），如齿轮、带轮、飞轮、盘形凸轮等，其质量可以近似地认为是分布在与其轴线垂直的同一平面内。
这类转子的质心若不在其回转轴线上，则当转子回转时将会产生离心惯性力，产生不平衡现象。但是，由于其质量是在同一平面内，所以其惯性力也在同一平面内，不会形成力偶矩。对这类转子的不平衡现象我们称作静不平衡。
如图所示，如果某一静不平衡转子有偏心质量m1、m2、m3，它们的回转半径分别为、和，则当转子以角速度等速回转时，各偏心质量所产生的离心惯性力分别为：
； ；
而、、为一平面汇交力系。为了平衡这些离心惯性力，可在转子上加平衡质量mb，使其所产生的离心惯性力与、、相平衡，即：
+++=0
也即：+++=0
或, +++=0
可以写成,+=0
如果有k个偏心质量，则有：+=0
所以静平衡的条件是：分布在该转子回转平面内的各个偏心质量的质径积的矢量和为零。
平衡质量的大小和方位，我们可以利用计算法或图解法予以确定。以下我们介绍图解法。
如上图所示，取质径积比例尺，按矢径的方向连续作出矢量分别代表，封闭矢量即代表平衡质径积，于是可以得到：
=
根据转子的结构情况选定值后，平衡质量的大小就随之而定，其方位则由确定。
为使转子平衡，我们可以在平衡矢径方向添加或在的反方向处去掉相应的一部分质量，只要保证矢量和为零即可。
静平衡只需要在一个平面内增加或去处一个平衡质量，即可使其得以静平衡，故又称单面平衡。
2．转子的动平衡对于轴向尺寸较大的回转件（），其偏心的质量可能分布在几个不同的额回转平面内，如图所示凸轮轴。
在这种情况下，即使转子的质心位于回转轴线上，满足了静平衡的条件，但由于各偏心质量所产生的离心惯性力不在同一回转平面内，因而将形成惯性力偶矩，仍会在支承中引起附加的动载荷和造成机械振动。这类转子的不平衡状态称为动不平衡，而对其平衡称为动平衡。
转子动平衡的力学条件是：各偏心质量所产生的离心惯性力之矢量和以及由这些惯性力所造成的惯性力偶矩之矢量和都为零，即：
=0 ； =0
如图所示,若有一转子的偏心质量m1、m2、m3分别位于三个平行的回转平面内,它们的矢径分别为、和。当转子以等角速度回转时，这些偏心质量所产生的离心惯性力、、将形成一个空间力系。
为了使该空间力系及由其各力构成的惯性力偶矩得以平衡，我们可以根据转子的结构情况，选定两个平衡基面Ⅰ和Ⅱ。根据理论力学中一个力可以分解为与其相平行的两个分力原理，将上述各个离心惯性力分别分解到平衡基面Ⅰ和Ⅱ上。这样，我们就把该空间力系的平衡问题转化为两个平衡基面内的汇交力系的平衡问题。然后再利用静平衡的办法分别确定出和的大小和方位即可。
由于动平衡是利用两个基面进行平衡，所以又称双面平衡。
结论：对于任何动不平衡的转子，不论在几个回转平面内，有多少个偏心质量，只要在选定的两个平衡基面上，分别适当地增加或去除一个平衡质量，即可使转子得到动平衡。
四,转子的平衡实验转子经过平衡计算，安装或去除了所需的平衡质量之后，只是在理论上解决了由于转子结构上有偏心而产生的不平衡问题。而由于制造、材料及安装等造成的不平衡，是我们在设计计算中无法解决的，这只能借助于平衡试验来解决。试验方法也有两类，即静平衡试验和动平衡试验。
1．转子的静平衡试验静平衡试验一般是在静平衡架上进行的，静平衡试验架其主要部分为水平安装的两条相互平行的钢制刀口形（或圆柱形）导轨，当被试转子的轴的两端放在导轨上时，如果转子质量不平衡，则其质心由于偏离轴线而产生一个重力矩使转子在导轨上滚动，直至质心落在轴线的铅垂下方时，转子才停止滚动，如图所示。
为使转子平衡，待转子停止转动后，可在转子轴线的正上方试加一个平衡质量，再重复试验，逐步调整，直至转子以不同的位置放置再导轨上都能保持静止时为止，这时转子就达到了静平衡。这种方法和设备都比较简单，也能达到较高的平衡精度，所以目前还广泛使用。
2．转子的动平衡试验转子的动平衡试验是在动平衡机上进行的。现代的动平衡机大多采用电子测量技术测定转子的不平衡量。如图所示为一电测动平衡机的原理示意图，它由驱动系统、试验支承系统和测量系统三个部分所组成。
驱动系统常采用变速电机(1)，经过一级皮带传动(2)，借助万向联轴器(3)来驱动转子(4)。
试验的支承系统是由支承座和弹簧(5)组成一个弹性系统。
试验开始后，转子旋转产生的不平衡惯性力使支承振动，支承系统能保证支承按一定方向振动，以便传感器（6，7）拾取信号。振动信号经传感器输入到测量装置的解算电路（8）。经处理后，把信号解算出的不平衡质径积的大小，再经放大器（9）显示在指示表头上（10）。而不平衡量引起振动的相位信号，则与光电头（11）采集的基准信号同时输入到鉴相器（12）中相比较、处理，得出质径积的相位，在表头（13）中输出。
五,转子的平衡精度在前面各章中，我们已经知道工程上的几乎所有计算、试验都不可能完全准确，都是一个相对的概念，都规定了许用值或安全系数等，平衡也是如此。所有我们的计算和试验平衡的转子，其平衡程度也是相对的。也就是说，还会有一些残存的不平衡，而要完全消除或进一步减小这些残存的不平衡，可能需要付出昂贵的代价，甚至是无法作到的。同时，从工程的实际出发，这些残存的不平衡可能不会影响转子的实际使用。所以，针对不同的工作要求，有不同的要求，规定了合适的平衡精度，以保证使用和节约费用。
转子的平衡精度有两种表示方法：许用质径积和许用偏心距。前者指出了许可的残存质径积[mr]的值，后者则指出转子质心的许用偏心距[r]的值。两者表示相同的平衡效果时，可得：
[r]=[mr]/m ()
由此可见：许用偏心距与转子总质量无关，而许用质径积则与转子总质量有关。通常，在对产品进行机械平衡时，平衡得精度多用许用质径积表示，因为它直观、方便，并便于平衡时进行操作，而在衡量转子平衡得优劣程度和衡量平衡机的检测精度时，则多用偏心距表示，便于直观比较。
由于转子不平衡产生得动力效应不仅与偏心距r有关，还与转子的工作速度有关。所以工程上常采用[r]值来表示转子的许用不平衡量，即：
A=[r]/1000 （mm/s）
其中：A——许用不平衡量（mm/s）
[r]——许用并不平衡偏心距 （）
——转子的角速度（rad/s）
教材和相关手册上都给出了常用各种转子的平衡品质和许用不平衡量。更详细的可以参考国家标准《刚性转子平衡品质》。
使用时要注意：所求得的许用不平衡质径积是对转子回转平面而言，也就是单面平衡值。对于双面平衡还要将求得的许用质径积分解到两个平衡基面上。
【例】如图所示，某叶轮得质量，工作转速，需进行动平衡试验，平衡基面Ⅰ、Ⅱ与叶轮质心的轴向距离为，。试求该叶轮应采用的平衡等级及平衡基面Ⅰ、Ⅱ的许用不平衡量。
解：由表查得平衡等级为G6.3级。
许用不平衡偏心距
=6.3=40
平衡基面Ⅰ的许用不平衡量
=40×30×200300=800（g.mm）
平衡基面Ⅱ的许用不平衡量
=40×30×100300=400（g.mm）
六,机构的平衡当机构运动时，各运动构件得惯性力可以合成一个通过质心得总惯性力和总惯性力偶矩，而这个总惯性力和总惯性力偶矩将全部由机座来承受。因此，为了消除机座上的动压力，就必须设法平衡这个总惯性力和总惯性力偶矩。由于总惯性力偶矩对机座的影响应与作用于该机构上的驱动力矩和阻抗力矩对机座的影响一并讨论，所以这里只讨论总惯性力的平衡。
机构平衡方法的基本思路是：
设机构的总质量为m，机构质心的加速度为，则机构的总惯性力。由于m≠0，故欲使=0，必须使=0。欲使=0，惟有使机构的质心静止不动，即设法使机构的质心落在机架上固定不动。具体的平衡方法有两种：
1）利用配重平衡；2）利用对称机构平衡。
我们不作进一步的讲解，需要时可以参考有关资料进行。
