1
2
平面汇交力系,
各力的作用线都在同一平面内且
汇交于一点的力系。
引 言
① 平面汇交力系
平面力系 ②平面平行力系 (平面力偶系是其中的特殊情况 )
③ 平面一般力系 (平面任意力系 )
研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
力系分为：平面力系、空间力系
平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平
行力系。
3
§ 2–1 平面汇交力系合成和平衡的几何法
§ 2–2 平面汇交力系合成和平衡的解析法
§ 2–3 力矩,力偶的概念及其性质
§ 2–4 平面力偶系的合成与平衡
§ 2–5 平面平行力系的合成与平衡
第二章 平面特殊力系
4
§ 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、合成的几何法
?c os2 212221 FFFFR ???
)180s i n (s i n 1 ?? ?? R
F
2,任意个共点力的合成
为力多边形
1.两个共点力的合成
合力方向由正弦定理：
由余弦定理：
?? c o s)1 8 0c o s ( ????由力的平行四边形法则作，
也可用力的三角形来作。
5
结论,即：
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用
线通过各力的汇交点。
二、平面汇交力系平衡的几何条件
?? FR4321 FFFFR ????
在上面几何法求力系的合力中，合力为
零意味着力多边形自行封闭。所以平面
汇交力系平衡的必要与充分的几何条件
是：
平面汇交力系平衡的充要条件是：
? ?? 0FR
力多边形自行封闭
或
力系中各力的矢量和等于零
6
[例 ]已知压路机碾子重 P=20kN,r=60cm,欲拉过 h=8cm的障碍
物。求：在中心作用的水平力 F的大小和碾子对障碍物的压力。
5 7 7.0)(tg 22 ?? ??? hr hrr?
又由几何关系：
① 选碾子为研究对象
② 取分离体画受力图
解：
∵ 当碾子刚离地面时 NA=0,拉力 F最大,这时
拉力 F和自重及支反力 NB构成一平衡力系。
由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
?tg?? PF ?co sPN B ?
7
由作用力和反作用力的关系,碾子对障碍物的压力等于 23.1kN。
此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
F=11.5kN,NB=23.1kN所以
几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图；
③作力多边形，选择适当的比例尺；
④求出未知数
几何法解题不足,①精度不够，误差大 ②作图要求精度高；
③不能表达各个量之间的函数关系。
下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：
解析法 。
8
F
F
F
X x???c os
F
F
F
Y y???c o s
22
yx FFF ??
§ 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在坐标轴上的投影
X=Fx=F·cos?,
Y=Fy=F·sin?=F ·cos?
9
二、合力投影定理 由图可看出，各分力在 x轴和在 y
轴投影的和分别为：
????? XXXXR x 421
??????? YYYYYR y 4321
?? YR y?? XR x
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一
轴上投影的代数和。
即：
10
合力的大小：
方向：
作用点：
2222 ?? ???? YXRRR
yx
x
y
R
R
??tg ?
??? ??
X
Y
R
R
x
y 11 tgtg?
∴
为该力系的汇交点
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即,00
22 ????
yx RRR
?
?
??
??
0
0
YR
XR
y
x 为平衡的充要条件，也叫平衡方程
11
解,①研究 AB杆
②画出受力图
③列平衡方程
④解平衡方程
0??X
0??Y
045co sco s 0 ???? CDA SR ?
045s i ns i n 0 ?????? CDA SRP ?
[例 ]已知 P=2kN 求 SCD,RA
由 EB=BC=0.4m，
3
1
2.1
4.0tg ???
AB
EB?解得：
kN 24.4tg45c o s45s in 00 ???? ?PS CD kN 16.3c o s45c o s 0 ??? ?CDA SR；
?
12
[例 ] 已知如图 P,Q,求平衡时 =？ 地面的反力 ND=？?
解,研究球受力如图，
选投影轴列方程为
PP-TN D 3Q60s i n2Qs i n-Q 02 ????? ?
由②得
060???
212c o s 21 ??? PPTT?
由①得
0?? X
0??Y
0c os 12 ??? TT ?
0Qs i n2 ???? DNT ?
①
②
13
又：
?co sFN ?
)2(1)(co s
22
hRhRR hRR ??????
)2( hRh
RFN
??
???
[例 ]求当 F力达到多大时，球离开地面？已知 P,R,h
解,研究块,受力如图，
解力三角形：
14
再研究球，受力如图：
作力三角形
解力三角形：
?s in??? NP?
R hR ???s i n?又
NN ??
R hRhRh RFNP ???? ????? )2(s i n ? )2( )( hRh hRFP ????
hR
hRhPF
?
??? )2(
时球方能离开地面当 hR hRhPF ? ??? )2(
NB=0时为球
离开地面
15
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
解题技巧及说明：
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中
只有一个未知数。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或
特殊，都用解析法。
16
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，
一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压
力。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
17
① 是代数量。)(FM
O
当 F=0或 d=0时,=0。)(FM O
③ 是影响转动的独立因素。)(FM O
⑤ =2⊿ AOB=F?d,2倍 ⊿ 形面积。)(FM O
力对物体可以产生 移动效应 --取决于力的大小、方向
转动效应 --取决于力矩的大小、方向
§ 2-3 力矩、力偶的概念及其性质
-+dFFM
O ???)(
一、力对点的矩
说明：
② F↑,d↑ 转动效应明显。
④ 单位 N?m，工程单位 kgf?m。
18
定理,平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所
有各分力对同一点的矩的代数和
即：
二、合力矩定理
由合力投影定理有：
证毕现 )()()( 21 FmFmRm ooo ??
[证 ]
?
?
?
n
i
iOO FmRm
1
)()(
od=ob+oc
oboAo A BFM o ???? 2)( 1
ocoAo A CFM o ???? 2)( 2
odoAo A DRM o ??? ?2)(
又 ∵
19
[例 ]已知：如图 F,Q,l,求,和
解,①用力对点的矩法
②应用合力矩定理
)(FmO )(Qmo
? s in)(
lFdFFm
O ????
lQQm o ???)(
?c t g)( ????? lFlFFm yxO
lQQm o ???)(
20
① 两个同向平行力的合力 大小,R=Q+P
方向：平行于 Q,P且指向一致
作用点,C处
确定 C点，由合力距定理
)()( QmRm BB ? QPR ???又
ABQCBR ????
代入CBACAB ?? Q
P
CB
AC ?整理得
三、平面力偶及其性质
力偶,两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。
性质 1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
21
② 两个反向平行力的合力 大小,R=Q-P
方向：平行于 Q,P且与较大的相同
作用点,C处 （推导同上）
P
Q
CA
CB ?
性质 2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而
与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。
力偶 无合力 R=F'-F=0
1' ?? FFCACB? CACB ??
???? CBdCBCB 必有成立若,
处合力的作用点在无限远????? d
22
??? 0)( Rm O ????? 0)'()( FmFm OO
为有限量证明 ??? 0)( Rm O
xFdxFFmFm OO ?????? ')()'()(?
)( RmdF O????
说明：① m是代数量，有 +,-；
② F,d 都不独立，只有力偶矩 是独立 量；
③ m的值 m=± 2⊿ ABC；
④单位,N? m
dFm ???
由于 O点是任取的
dFm ???? —+
d
23
性质 3：平面力偶等效定理
作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，
转向相同，则该两个力偶彼此等效。
[证 ] 设物体的某一平面
上作用一力偶 (F,F')
现沿力偶臂 AB方向
加一对平衡力 (Q,Q'),
Q',F'合成 R'，
再将 Q,F合成 R，
得到新力偶 (R,R'),
将 R,R'移到 A',B'点，则 (R,R')，取 代了原力偶 (F,F' )
并与原力偶等效。
24
② 只要保持力偶矩大小和转向
不变，可以任意改变力偶中力
的大小和相应力偶臂的长短，
而不改变它对刚体的作用效应。
由上述证明可得下列 两个推论,
比较 (F,F')和 (R,R')可得
m(F,F')=2△ ABD=m(R,R')
=2 △ ABC
即△ ABD= △ ABC，
且它们转向相同。
① 力偶可以在其作用面内任
意移动，而不影响它对刚体
的作用效应。
25;111 dFm ??
222 dFm ??
dPm 11 ?又
dPm 22 ???
'21 PPR A ??
2'1 PPR B ??
21'21'21 )( mmdPdPdPPdRM A ????????? 合力矩
§ 2-4 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系,作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系
设有两个力偶
d d
26
平面力偶系平衡的充要条件是,所有各力偶矩的代数和
等于零。
?
?
????? n
i
in mmmmM
1
21 ?
即 0
1
??
?
n
i
im
结论,
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩
的代数和 。
27
[例 ] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为
求工件的总切削力偶矩和 A, B端水平反力?
mN154321 ????? mmmm
mN60)15(4
4321
??????
???? mmmmM
02.0 4321 ?????? mmmmN B
N3002.060 ??? BN N 300??? BA NN
解, 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有,
由力偶只能与力偶平衡的性质，
力 NA与力 NB组成一力偶。
28
§ 2-5 平面平行力系的合成和平衡
平面平行力系,各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫 ～
一、平面平行力系的合成
设在刚体上作用一平面平行力系,现求其
合成结果。
321 ?FFF,、
29
)()()()()()()( 4325121 FmFmFmFmFmRmRm ooooooo ??????
)(?? io Fm
,511 FFR ?? )()()( 511 FmFmRm ooo ??
根据两个平行力合成理论可知，力 与 合成一个合力
5 1 FF 1R
iFFFFFFRR ???????? )()( 4325121所以
,4322 FFFR ??? )()()()( 4322 FmFmFmRm oooo ???同理
30
⑴, 当 时，原力系的合成结果是一个合力
当力系平行于 y轴时：
21 RR ??
iFRRR ???? 21
ii YFR ?? ??
合力作用线的位置, 由
)()()()( 21 ioooo FmRmRmRm ????
??????? iiR xFxFxFxFxR 552211, ?即
?
?? ?????
i
iiii
R F
xF
R
xFx
⑵ 当 时 (即 时 )，原力系合成结果是一
合力偶
21 RR ?? 0?? iF
iiio xFFmm ??? ?? )(
31
由平面平行力系合成分析过程可知，平面平行力系总可以
与两个平行力 和 等效，由公理 1，二力 和 平衡的充要
条件是：等值、反向、共线，即 ( ) 和
平面平行力系平衡的充要条件为：
力系中各力的代数和等于零，同时，各力对平面内任一点
的矩的代数和也等于零 。即：
1R 2R 2R1R
21 RR ?? 0?? iF
)()(0)( 21 RmRmFm ooio ????
二、平面平行力系的平衡条件
同时满足。因此，
? ?
? ? ??
0)(
0
io
ii
Fm
YF
平面平行力系的平衡方程
32
平面平行力系的平衡方程也可用两矩式表示，即
? ? 0)( iA Fm
? ? 0)( iB Fm
其中,A,B两点的连线
必须不与各力线平行
[例 ]已知：塔式起重机 P=700kN,
W=200kN (最大起重量 )，尺寸如
图。求：①保证满载和空载时不
致翻倒，平衡块 Q=？ ②当
Q=180kN时，求满载时轨道 A,B
给起重机轮子的反力？
33
? ? 0)( Fm B
0)22()212(2)26( ???????? ANWPQ
0?AN
kN 75?Q
限制条件,
解得
解, ⑴ ①首先考虑满载时，起
重机不向右翻倒的最小 Q为：
② 空载时,W=0 由 ? ? 0)( Fm
A 0)22(2)26( ?????? BNPQ
限制条件 为,0?BN 解得 kN 350?Q
因此保证空、满载均不倒 Q应满足如下关系,
kN 3 5 0kN 75 ?? Q
34
04)212(2)26( ???????? BNWPQ? ? 0)( Fm A
,0? ?iF 0?????? BA NNWPQ
kN 870
,kN 210
?
?
B
A
N
N
⑵ 求当 Q=180kN，满载 W=200kN时,NA,NB为多少
由平面平行力系的平衡方程可得：
解得：
35
2
平面汇交力系,
各力的作用线都在同一平面内且
汇交于一点的力系。
引 言
① 平面汇交力系
平面力系 ②平面平行力系 (平面力偶系是其中的特殊情况 )
③ 平面一般力系 (平面任意力系 )
研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
力系分为：平面力系、空间力系
平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平
行力系。
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§ 2–1 平面汇交力系合成和平衡的几何法
§ 2–2 平面汇交力系合成和平衡的解析法
§ 2–3 力矩,力偶的概念及其性质
§ 2–4 平面力偶系的合成与平衡
§ 2–5 平面平行力系的合成与平衡
第二章 平面特殊力系
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§ 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、合成的几何法
?c os2 212221 FFFFR ???
)180s i n (s i n 1 ?? ?? R
F
2,任意个共点力的合成
为力多边形
1.两个共点力的合成
合力方向由正弦定理：
由余弦定理：
?? c o s)1 8 0c o s ( ????由力的平行四边形法则作，
也可用力的三角形来作。
5
结论,即：
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用
线通过各力的汇交点。
二、平面汇交力系平衡的几何条件
?? FR4321 FFFFR ????
在上面几何法求力系的合力中，合力为
零意味着力多边形自行封闭。所以平面
汇交力系平衡的必要与充分的几何条件
是：
平面汇交力系平衡的充要条件是：
? ?? 0FR
力多边形自行封闭
或
力系中各力的矢量和等于零
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[例 ]已知压路机碾子重 P=20kN,r=60cm,欲拉过 h=8cm的障碍
物。求：在中心作用的水平力 F的大小和碾子对障碍物的压力。
5 7 7.0)(tg 22 ?? ??? hr hrr?
又由几何关系：
① 选碾子为研究对象
② 取分离体画受力图
解：
∵ 当碾子刚离地面时 NA=0,拉力 F最大,这时
拉力 F和自重及支反力 NB构成一平衡力系。
由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
?tg?? PF ?co sPN B ?
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由作用力和反作用力的关系,碾子对障碍物的压力等于 23.1kN。
此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
F=11.5kN,NB=23.1kN所以
几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图；
③作力多边形，选择适当的比例尺；
④求出未知数
几何法解题不足,①精度不够，误差大 ②作图要求精度高；
③不能表达各个量之间的函数关系。
下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：
解析法 。
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F
F
F
X x???c os
F
F
F
Y y???c o s
22
yx FFF ??
§ 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在坐标轴上的投影
X=Fx=F·cos?,
Y=Fy=F·sin?=F ·cos?
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二、合力投影定理 由图可看出，各分力在 x轴和在 y
轴投影的和分别为：
????? XXXXR x 421
??????? YYYYYR y 4321
?? YR y?? XR x
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一
轴上投影的代数和。
即：
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合力的大小：
方向：
作用点：
2222 ?? ???? YXRRR
yx
x
y
R
R
??tg ?
??? ??
X
Y
R
R
x
y 11 tgtg?
∴
为该力系的汇交点
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即,00
22 ????
yx RRR
?
?
??
??
0
0
YR
XR
y
x 为平衡的充要条件，也叫平衡方程
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解,①研究 AB杆
②画出受力图
③列平衡方程
④解平衡方程
0??X
0??Y
045co sco s 0 ???? CDA SR ?
045s i ns i n 0 ?????? CDA SRP ?
[例 ]已知 P=2kN 求 SCD,RA
由 EB=BC=0.4m，
3
1
2.1
4.0tg ???
AB
EB?解得：
kN 24.4tg45c o s45s in 00 ???? ?PS CD kN 16.3c o s45c o s 0 ??? ?CDA SR；
?
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[例 ] 已知如图 P,Q,求平衡时 =？ 地面的反力 ND=？?
解,研究球受力如图，
选投影轴列方程为
PP-TN D 3Q60s i n2Qs i n-Q 02 ????? ?
由②得
060???
212c o s 21 ??? PPTT?
由①得
0?? X
0??Y
0c os 12 ??? TT ?
0Qs i n2 ???? DNT ?
①
②
13
又：
?co sFN ?
)2(1)(co s
22
hRhRR hRR ??????
)2( hRh
RFN
??
???
[例 ]求当 F力达到多大时，球离开地面？已知 P,R,h
解,研究块,受力如图，
解力三角形：
14
再研究球，受力如图：
作力三角形
解力三角形：
?s in??? NP?
R hR ???s i n?又
NN ??
R hRhRh RFNP ???? ????? )2(s i n ? )2( )( hRh hRFP ????
hR
hRhPF
?
??? )2(
时球方能离开地面当 hR hRhPF ? ??? )2(
NB=0时为球
离开地面
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1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
解题技巧及说明：
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中
只有一个未知数。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或
特殊，都用解析法。
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5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，
一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压
力。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
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① 是代数量。)(FM
O
当 F=0或 d=0时,=0。)(FM O
③ 是影响转动的独立因素。)(FM O
⑤ =2⊿ AOB=F?d,2倍 ⊿ 形面积。)(FM O
力对物体可以产生 移动效应 --取决于力的大小、方向
转动效应 --取决于力矩的大小、方向
§ 2-3 力矩、力偶的概念及其性质
-+dFFM
O ???)(
一、力对点的矩
说明：
② F↑,d↑ 转动效应明显。
④ 单位 N?m，工程单位 kgf?m。
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定理,平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所
有各分力对同一点的矩的代数和
即：
二、合力矩定理
由合力投影定理有：
证毕现 )()()( 21 FmFmRm ooo ??
[证 ]
?
?
?
n
i
iOO FmRm
1
)()(
od=ob+oc
oboAo A BFM o ???? 2)( 1
ocoAo A CFM o ???? 2)( 2
odoAo A DRM o ??? ?2)(
又 ∵
19
[例 ]已知：如图 F,Q,l,求,和
解,①用力对点的矩法
②应用合力矩定理
)(FmO )(Qmo
? s in)(
lFdFFm
O ????
lQQm o ???)(
?c t g)( ????? lFlFFm yxO
lQQm o ???)(
20
① 两个同向平行力的合力 大小,R=Q+P
方向：平行于 Q,P且指向一致
作用点,C处
确定 C点，由合力距定理
)()( QmRm BB ? QPR ???又
ABQCBR ????
代入CBACAB ?? Q
P
CB
AC ?整理得
三、平面力偶及其性质
力偶,两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。
性质 1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
21
② 两个反向平行力的合力 大小,R=Q-P
方向：平行于 Q,P且与较大的相同
作用点,C处 （推导同上）
P
Q
CA
CB ?
性质 2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而
与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。
力偶 无合力 R=F'-F=0
1' ?? FFCACB? CACB ??
???? CBdCBCB 必有成立若,
处合力的作用点在无限远????? d
22
??? 0)( Rm O ????? 0)'()( FmFm OO
为有限量证明 ??? 0)( Rm O
xFdxFFmFm OO ?????? ')()'()(?
)( RmdF O????
说明：① m是代数量，有 +,-；
② F,d 都不独立，只有力偶矩 是独立 量；
③ m的值 m=± 2⊿ ABC；
④单位,N? m
dFm ???
由于 O点是任取的
dFm ???? —+
d
23
性质 3：平面力偶等效定理
作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，
转向相同，则该两个力偶彼此等效。
[证 ] 设物体的某一平面
上作用一力偶 (F,F')
现沿力偶臂 AB方向
加一对平衡力 (Q,Q'),
Q',F'合成 R'，
再将 Q,F合成 R，
得到新力偶 (R,R'),
将 R,R'移到 A',B'点，则 (R,R')，取 代了原力偶 (F,F' )
并与原力偶等效。
24
② 只要保持力偶矩大小和转向
不变，可以任意改变力偶中力
的大小和相应力偶臂的长短，
而不改变它对刚体的作用效应。
由上述证明可得下列 两个推论,
比较 (F,F')和 (R,R')可得
m(F,F')=2△ ABD=m(R,R')
=2 △ ABC
即△ ABD= △ ABC，
且它们转向相同。
① 力偶可以在其作用面内任
意移动，而不影响它对刚体
的作用效应。
25;111 dFm ??
222 dFm ??
dPm 11 ?又
dPm 22 ???
'21 PPR A ??
2'1 PPR B ??
21'21'21 )( mmdPdPdPPdRM A ????????? 合力矩
§ 2-4 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系,作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系
设有两个力偶
d d
26
平面力偶系平衡的充要条件是,所有各力偶矩的代数和
等于零。
?
?
????? n
i
in mmmmM
1
21 ?
即 0
1
??
?
n
i
im
结论,
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩
的代数和 。
27
[例 ] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为
求工件的总切削力偶矩和 A, B端水平反力?
mN154321 ????? mmmm
mN60)15(4
4321
??????
???? mmmmM
02.0 4321 ?????? mmmmN B
N3002.060 ??? BN N 300??? BA NN
解, 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有,
由力偶只能与力偶平衡的性质，
力 NA与力 NB组成一力偶。
28
§ 2-5 平面平行力系的合成和平衡
平面平行力系,各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫 ～
一、平面平行力系的合成
设在刚体上作用一平面平行力系,现求其
合成结果。
321 ?FFF,、
29
)()()()()()()( 4325121 FmFmFmFmFmRmRm ooooooo ??????
)(?? io Fm
,511 FFR ?? )()()( 511 FmFmRm ooo ??
根据两个平行力合成理论可知，力 与 合成一个合力
5 1 FF 1R
iFFFFFFRR ???????? )()( 4325121所以
,4322 FFFR ??? )()()()( 4322 FmFmFmRm oooo ???同理
30
⑴, 当 时，原力系的合成结果是一个合力
当力系平行于 y轴时：
21 RR ??
iFRRR ???? 21
ii YFR ?? ??
合力作用线的位置, 由
)()()()( 21 ioooo FmRmRmRm ????
??????? iiR xFxFxFxFxR 552211, ?即
?
?? ?????
i
iiii
R F
xF
R
xFx
⑵ 当 时 (即 时 )，原力系合成结果是一
合力偶
21 RR ?? 0?? iF
iiio xFFmm ??? ?? )(
31
由平面平行力系合成分析过程可知，平面平行力系总可以
与两个平行力 和 等效，由公理 1，二力 和 平衡的充要
条件是：等值、反向、共线，即 ( ) 和
平面平行力系平衡的充要条件为：
力系中各力的代数和等于零，同时，各力对平面内任一点
的矩的代数和也等于零 。即：
1R 2R 2R1R
21 RR ?? 0?? iF
)()(0)( 21 RmRmFm ooio ????
二、平面平行力系的平衡条件
同时满足。因此，
? ?
? ? ??
0)(
0
io
ii
Fm
YF
平面平行力系的平衡方程
32
平面平行力系的平衡方程也可用两矩式表示，即
? ? 0)( iA Fm
? ? 0)( iB Fm
其中,A,B两点的连线
必须不与各力线平行
[例 ]已知：塔式起重机 P=700kN,
W=200kN (最大起重量 )，尺寸如
图。求：①保证满载和空载时不
致翻倒，平衡块 Q=？ ②当
Q=180kN时，求满载时轨道 A,B
给起重机轮子的反力？
33
? ? 0)( Fm B
0)22()212(2)26( ???????? ANWPQ
0?AN
kN 75?Q
限制条件,
解得
解, ⑴ ①首先考虑满载时，起
重机不向右翻倒的最小 Q为：
② 空载时,W=0 由 ? ? 0)( Fm
A 0)22(2)26( ?????? BNPQ
限制条件 为,0?BN 解得 kN 350?Q
因此保证空、满载均不倒 Q应满足如下关系,
kN 3 5 0kN 75 ?? Q
34
04)212(2)26( ???????? BNWPQ? ? 0)( Fm A
,0? ?iF 0?????? BA NNWPQ
kN 870
,kN 210
?
?
B
A
N
N
⑵ 求当 Q=180kN，满载 W=200kN时,NA,NB为多少
由平面平行力系的平衡方程可得：
解得：
35
