第 2 章
点、直线和平面
2.4 换面法
2.1 点的投影
2.2 直线的投影
2.3 平面的投影
●A
采用多面投影 。
过空间点 A作 H面的投射线
（垂线），与投影面 H的交点即
为点 A在 H面上的 投影 。
B●
B1●
B2●
点在一个投影面上
的投影不能确定点的空
间位置。
一、点在一个投影面上的投影
2·1 点的投影
解决办法？
● a
● b
H
W
V
二、点的三面投影
投影面
◆ 正面投影面（简称正
面或 V面）
◆ 水平投影面（简称水
平面或 H面）
◆ 侧面投影面（简称侧
面或 W面）
投影轴
oX
Z
OX轴
OZ轴
OY轴
Y
三个投影面
互相垂直
V面与 H面的交线
H面与 W面的交线
V面与 W面的交线
W
H
V
oX
空间点 A在三个投影面上的投影
a? 点 A的正面投影
a 点 A的水平投影
a? 点 A的侧面投影
空间点用大写字母
表示，点的投影用
小写字母表示。
a?●
a●
a?●
A●
Z
Y
向下翻
投影面展开
a
H
a?
W
YH
a?
V
X
Z
O
W
H
V
oX
a?●
a●
a?●
A●
Z
Y
不动
向右翻
Yw
Y
点的投影规律,
●
●
Z az a?
X ayw
O
a
ax
ayH
a?●
YH
Yw
● ●
●
●
X
Y
Z
O
V
H
W
A
a
a?
a??
xa
az
aywa
yH
① 点的水平投影与正面投影的连线垂直于 OX轴
即 a?a⊥ OX轴
② 点的正面投影与侧面投影的连线垂直于 OZ轴
即 a?a?⊥ OZ轴
③ 点的水平投影到 OX轴的距离等于点的侧面投
影到 OZ轴的距离，即 aax= a?az
a?ax= a?ayw=A到 H 面 的距离
aayH= a?az=A到 W 面 的距离
=A到 V 面 的距离
●
●
a?
a
ax
例：已知点的两个投影，求第三投影。
● a?●
●
a?
a
ax
az
az
解法一,
通过作 45° 线
使 a?az=aax
解法二,
用圆规直接量
取 a?az=aax
a?●
OX
Z
Y
三、两点的相对位置
Z
X
YH
YWO
a′ a″
a
b′ b″
b
▲ x 坐标大的在左
▲ y 坐标大的在前
▲ z 坐标大的在上
判断方法：
B点在 A点之 后
之左、之下。
两点的相对位置指两
点在空间的 上下、前后、
左右 位置关系。
a?
a?
a
b?
b?
b
B
A
重影点：
空间两点在某一投
影面上的 投影重合为一
点 时，则称此两点为 该
投影面 的重影点。
A,C为 H面的重影点
●
●
● ●
●
a? a?
c?c?
被挡住的投
影加 ( )
( )
A,C为哪个投
影面的重影点
呢？
a c
例 1, 已知点 A在点 B之前 5毫米，之上 9毫米，之右 8毫米
，求点 A的投影。
9
8
5
a? a?
a
Z
X Yw
YH
b? b?
b
o
一,直线的投影
直线上两端点在同面投影的连线。
2·2 直线 的投影
a
b
c(d)
A
B
C
D
直线的投影仍
为直线，特殊情况
下为一点。
投影面平行线 平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
正平线（平行于Ｖ面）
侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
正垂线（垂直于Ｖ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线
统称特殊位置直线
垂直于某一投影面
二、各种位置直线的投影特性
以正平线为例，讨论其投影特性,
OX
Z
Y
a?
b?
a b
a?
b?A
B
? ? X
a?
b?
a?
b?
ba
O
Z
YH
YW
同样，对于水平线和侧平线也可得到类似的特性 。
① 直线的正面投影 a′b′反映直线 AB 的实长,并且反映
直线 AB 对 H,W面的倾角 α,γ。
② 直线的水平投影 ab和侧面投影 a〞 b 〞 分别平行于
OX 轴和 OZ 轴。
? ?
投影特性：
1.正平线 —只平行于正面投影面的直线
表2-1 投 影面平行线
z
z
d
水平线
?
投
影
特
性
a b
Y H
?
d
c
立
体
图
投
影
图
名称
C
b
B
z
a '
x
?
o
b '
?
X
H
b
A
o
x
Y W
a"
b"
o
d '
c '
Y
a
W
X
H
D
a '
V
z
b '
正平线
c '
V
c '
e
Y H
f
Y H
e"
c
f
Y W
c" d"
f '
x
e '
Y
d
o
W
e
H
X
f '
f"
Y W
?
o
?
e"
z
f"
F
o
W
Y
侧平线
V
e '
E
z
1.a b =AB
2.ab//OX
a"b"//OZ
3.a b 反映AB的倾角 ?, ?
1.cd=CD
2.c d //OX
c"d"//OY W
3.cd反映CD的倾角 ?, ?
1.e"f"=EF
2.ef//OY H
e f //OZ
3.e"f"反映EF的倾角 ?, ?
b?
a
a?
b?
b
a?
投影面 平行线 的 投影特性：
① 直线在所平行的那个投影面上的投影反映实长
② 直线在另两个投影面上的投影 平行于 相应的
水平线 侧平线正平线
实长
实长
b
a?
a
a? b? b?
投影轴，并且小于该直线的实长。
X
Z
YH
YWO
并且反映直线对另外两个投影面的倾角。
b?
a?
ab
a?
b?
实长
OX
Z
Y
2.投影面的垂直线：
② 水平投影 ab⊥ OX,
侧面投影 a″b″⊥ OZ。
投影特性, ① 直线 AB的正面投影 a′b′积聚成一点 ;
只垂直于一个投影面的直线 。
以正垂线为例，讨论其投影特性,
同样，对于铅垂线、侧垂线也可得到类似的特性。
A
B
（ a?） b?
a?
b?
b
a
z
X
（ a?） b? b?
a
O
YH
YW
a?
b
立
体
图
投
影
图
投
影
特
性
名称 正垂线
铅垂线 侧垂线
X
Y
W
V
z
X
D
V
Y
W
E
f
X
Y
F
o
W
V
z
A
B
a '
b '
z
o
C
f
e
Y W
Y HY H
Y W
a
x
b
Y H
Y W
z
1.a ' b ' 积聚成一点;
2.ab、a"b"=AB
1.cd 积聚 成一点；
2.c＇d＇,c〃 d〃= CD
1.e〃f〃 积聚成一点;
2.ef,e＇ f＇= EF.
c(d)
a ' (b ' )
c '
d '
d"
c"
c(d)
b"
a"
e"
(f")
a ' (b ' )
a"b"
e ' f '
e ' f ' e" (f")
c '
d '
c"
d"
表2- 2 投影面垂直线
z z
x
x
且ab⊥O X,a "b" ⊥OZ 且cd⊥O X,c "d" ⊥OY W
且ef⊥O Y H,e f ⊥ OZ
投影面 垂直线 的 投影特性,
铅垂线正垂线 侧垂线
② 另外两个投影, 反映线段实长，且垂直于相
① 直线在其垂直投影面上的 投影，积聚为一点。
●
a?(b?)
a
b
b? a?
●
c?
d?
c (d)
c?
d?
●
e? f?
e f
e? (f? )
应的投影轴。
OX
Z
Y
三个 投影 都 小于实长, 而且 与三根投影轴都 倾斜 。
投影特性：
3,一般位置直线 与三个投影面 都倾斜 的直线。
a?
b?
b
a
b?
a?
Z
Xa? a?
a
O
YH
YW
b?
b
b?
三,直线与点的相对位置
点与直线的相对位置可以分为两种，即 点在
直线上 和 点不在直线上 。
（ 1）若点在直线上，则点的各个投影必在直线
的同名投影上，并将线段的各个投影分割成定比。
如图所示,C点在直
线 AB上，则 C点的正面投
影 c′ 在直线 AB 的正面投
影 a′b′上,C点的水平投影
c在直线 AB 的水平投影 ab
上，同样 c"在 a"b"上,而且
AC/CB= ac/cb
Bc '
a
a'
H
b"
c
A A
C
a"
C" W
V b'
= a′c′/c′b′=a″c″/c″b″，
（ 2）若点的投影有一
个不在直线的同名投影
上，则该点肯定不在该
直线上。
反之, 若点的各投
影分别属于直线的同名
投影, 且分割线段的投
影长度成定比, 则该点
肯定在该直线上 。
B
c '
a
a '
H
b"
c
A A
C
a"
C"
W
V
b '
c"
c '
a
Y H
c
X
a '
b
O
a"
W H
b '
Z
b"
Yw
其投影为：
Bc '
a
a'
H
b"
c
A A
C
a"
C" W
V b'
例 1：判断点 K是否在线段 AB上。
a?
b?
● k?
因 k?不在 a?b?上，
故点 K不在 AB 上。
应用定比定理
a
b
k
a?
b?
k?
●
●
另一判断法?
四、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：
平行, 相交, 交叉 。
⒈ 两直线平行 投影特性：
空间两直线平
行，则其各 同名投
影 必相互平行，反
之亦然。
a
V
H
c?
b
c
d
A
B
C D
b? d?
a?
a
b
c
d
c?a?
b? d?
例 2：判断图中两条直线是否平行
对于一般位置直
线，只要有两个同名
投影互相平行，空间
两直线就平行。
AB//CD
①
b? d?
c?
a?
c
b
ad
d?
b?
a?
c?
求出侧面投影后可知：
AB与 CD不平行。
例 2：判断图中两条直线是否平行。
②
求出侧面投影
如何判断？
H
V
A B
C
DK
a
bc
d
k
a?
b?c? k?
d?
a
bc
d
b?
a?
c?
d?
k
k?
⒉ 两直线相交
判别方法：
若空间两直线相交,则其同名投影
必相交，且交点的投影必符合空间一点
的投影规律 。
交点是两直
线的共有点
d?
b?
a?
a
b
c
d
c?
1?(2? )
3(4 )
⒊ 两直线交叉
投影特性,
★ 同名投影可能相交，
但,交点” 不符合空间
一个点的投影规律 。
★,交点” 是两直线上
的一 对 重影点的投影,
用其可帮助判断两直线
的空间位置。
●
●
Ⅰ, Ⅱ 是Ｖ面的重影点，
Ⅲ, Ⅳ 是 H面的重影点。
为什么？
1
2●
●
3?
4?●
● 两直线相交吗？
⒋ 两直线垂直相交（或垂直交叉）
直角的投影特性：
若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面
上的投影仍为直角。
设 直角边 BC//H面
因 BC⊥ AB,同时 BC⊥ Bb
所以 BC⊥ ABba平面
直线在 H面上的
投影互相垂直
即 ∠ abc 为直角
因此 bc⊥ ab
故 bc ⊥ ABba平面
又因 BC∥ bc
A
B
C
a
b
c
H
a? c?
b?
a
b
c
.
证明：
2.3 平 面
一、平面的投影表示法
b?
a?
a
c?
b
c
b?
a?
a
c?
b
c
a?
a
b?
c?
b
c
a?
b? c?
a
b c
d?
d
α ′
b′
c′
b
cα
1、几何元素表示法
2,平面的迹线表示法
PPV
PH
PV
PH
QV
QHQ
H
QV
Q
Q为侧垂面
一般位置平面
{ PH — 平面 P的水平面迹线PV — 平面 P的正面迹线
平面对于三投影面的位置可分为三类,
投影面垂直面
投影面平行面
一般位置平面
特殊位置平面
垂直于某一投影面，
倾斜于另两个投影面
平行于某一投影面，
垂直于另两个投影面
与三个投影面都倾斜
正垂面
侧垂面
铅垂面
正平面
侧平面
水平面
二,各种位置平面的投影特性
a
b
c
a?
c?
b?
c?
b?
a?
1,投影面垂直面
类似形 类似形
积聚性
铅垂面
投影特性：
在它垂直的投影面上的投影积聚成直
线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面
与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
为什么？
γ
β
是什么位置
的平面？
（ 1）铅垂面
OX
Z
Y
铅垂面迹线 表示法
?
?
PH
P
PH
OX
Z
Y
Q
QV
（ 2）正垂面
A
c?
C
a?
b?
B
b"
?
?
a'
b'
a"
b
a
c"c'
c
投影特性, 1) a?b?c? 积聚为一条线
2) ? abc,? a?b?c?为 ? ABC的类似形
3) a?b?c?与 OX,OZ的夹角 反映 α,? 角的
真实大小
OX
Z
Y
正垂面的迹线 表示法
Q
QV
α
γQV
OX
Z
Y
SWS
（ 3）侧垂面
C
a"
b"
A
B
c"
b"
β
?a'
b'
a"
b
a
c" c'
c
投影特性 1) a?b?c?积聚为一条线
2) ? abc,? a?b?c?为 ? ABC的类似形
3) a?b?c?与 OZ,OY的夹角 反映 α, β 角
的真实大小
OX
Z
Y
侧垂面的迹线 表示法
V
W
SwS
Z
X O
Y
Sw
Yα
β
OX
Z
Y
2、投影面的平行面,（ 1）水平面
C
A B a"b"
c'
b
a
c
a' b'
c"
c
a? b' b"
b
a
a"c? c"
投影特性：
1) a?b?c?,a?b?c?积聚为一条线，具有积聚性
2) 水平投影 ? abc反映 ? ABC实形
OX
Z
Y
（ 2）正平面
投影特性：
1) abc, a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性
2) 正平面投影 ? a?b?c?反映 ? ABC实形
c"
a"
b"b'
a'
c'
bc a
b'
a'
c' a"
b"
c"
bc a
C
B
A
OX
Z
Y
（ 3）侧平面
a'
b' b"
b
a"
c' c"
c
a
投影特性：
1) abc, a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性
2) 侧平面投影 ? a?b?c? 反映 ? ABC实形
b"
b'
b
a
c
a'
c'
c"C
A
B
a"
OX
Z
Y
3、一般位置平面
a"
b"
c"
c
a'
b'
b
a
a"a'
b' b"
c' c"
b
a
c
A
B
C
投影特性：
(1) ? abc, ? a?b?c?, ? a?b?c? 均为 ? ABC
的类似形
(2) 不反映 ?,?,? 的真实角度
三、平面上的直线和点
判断直线在平面
内的方法
定 理 一
若一直线过平面
上的两点，则此
直线必在该平面
内。
定 理 二
若一直线过平面上的
一点，且平行于该平
面上的另一直线，则
此直线在该平面内。
⒈ 平面上取任意直线
a
b
c
c?
a?
a
b
c
b?
c?
a?
m
n
n?m?
例 1：已知平面由直线 AB,AC所确定，试
在平面内任作一条直线。
解法一 解法二
根据定理二根据定理一
有无数解。
d?
d
有多少解？
b ?
例 2：在平面 ABC内作一条水平线，使其到
H面的距离为 10mm。
n?m?
nm
10 c?
a?
b?
c
a
b
唯一解！
有多少解？
⒉ 平面上取点
先找出过此点而又在平面内的一条直线作
为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例 3：已知 K点在平面 ABC上，求 K点的水平投影。
b
①
a
c
c?
a?
k?
b?
●
k●
面上取点的方法：
首先面上取线
②
●
a
b
c
a?
b?
k?
c?
d?
k● d
利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解
c
ka
d
a?
d?
b?
c?
a
d
a?
d?
b?
c?k?
c
例 4,已知 AC为正平线,补全平行四边形
ABCD的水平投影。
解法一 解法二
bb
3、属于平面的投影面平行线
属于平面的水平线和正平线
参看,例题 5 例题 6
平面上投影面的平行线 — 是既在平面上又 //于投影
面的直线。因此，它既具有投影面平行线的投影特性，
又与 所属平面保持从属关系。
在一个平面上对 V,H,W投影面分别有三组投影
面平行线。
P
属于平面的水平线和正平线
PV
PH
[例题 5]已知 ?ABC 给定一平面，试过点 C 作属于该平
面的正平线，过点 A作属于该平面 的水平线。
m?
n'
n
m
[例题 6]已知点 E 在 ?ABC平面上，且点 E 距离
H 面 15，距离 V 面 10，试求点 E的投影。
m
n
m' n'
r s
r'
s'
10
15
e'
e
小 结
一、点的投影规律
① a?a⊥ OX 轴
② aax= a?az=A到 V 面的距离
a?ax= a?ayw=A到 H 面的距离
aayH= a?az=A到 W 面的距离
● ●
●
●
X
Y
Z
O
V
H
W
A
a
a?
a??
xa
az
a y●
●
Y
Z az a?
X
Y
aywO
a
ax
ayH
a?●
a?a?⊥ OZ 轴
二、各种位置直线的投影特性
b?
a
a?
b?
b
a?
1,投影面 平行线 的 投影特性：
② 直线在另两个投影面上的投影 平行于 相应的
水平线 侧平线正平线
实长
实长
b
a?
a
a? b? b?
X
Z
YH
YWO
并且反映直线对另外两个投影面的倾角。
b?
a?
ab
a?
b?
实长
① 直线在所平行的那个投影面上的投影反映实长
投影轴，并且小于该直线的实长。
2,投影面 垂直线 的 投影特性,
铅垂线正垂线 侧垂线
② 另外两个投影, 反映线段实长，且垂直于相
① 直线在其垂直投影面上的 投影，积聚为一点。
●
a?(b?)
a
b
b? a?
●
c?
d?
c(d)
c?
d?
●e?
f?
e f
e?(f?)
应的投影轴。
OX
Z
Y
三个 投影 都 小于实长, 而且 与三根投影轴都 倾斜 。
A
B
b
b?
a?
b?
a
a?
Z
Xa? a?
a
O
YH
YW
b?
b
b?
3,一般位置 直线 的 投影特性,
一、平面的投影特性,尤其是特殊位置平面的
投影特性。
二、平面上的点与直线
⒈ 平面上的点
一定位于平面内的某条直线上
⒉ 平面上的直线
⑴ 过平面上的两个点。
⑵ 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。
小 结
3,属于平面的投影面平行线
应非常熟练作出属于 平面中的水平线和正平线
重 点 掌 握
一、问题的提出
★ 如何求一般位置直线的实长？
★ 如何求一般位置平面的真实大小？
换 面 法：
物体本身在空间的位置不动，而用某
一新投影面（辅助投影面）代替原有投影
面，使 物体相对新的投影面处于解题所需
要的有利位置,然后将物体向新投影面进
行投射。
解决方法：更换投影面。
2·4 换面法
V
H
A
B
a?
b?
a
b
二、新投影面的选择原则
1,新投影面必须对空间物体处于 最有利的解
题位置,一次只能更换一个投影面 。
?平行于空间物体
?垂直于空间物体
2,新投影面必须 垂直于 不变投影面，以构成
一个相互垂直的两投影面的新体系。
V1
a?1
b?1
新
投
影
面
旧
投
影
面
旧轴 X
V
H
Aa?
a
?
?
?
ax
X
??
⒈ 更换一次投影面
?旧投影体系 X —VH ?新投影体系 V1HX1 —
A点的两个投影,a,a? A点的两个投影,a?,a?1
⑴ 新投影体系的建立
三、点的投影变换规律
X1
V1
a?1
ax1
?
?
?
V1H
X1
a?1?
?
?
V
HX
a?
a
ax
ax1.
ax1
?
?
?V
HX
V1H
X1
a?
a
a?1A
a
?
?
?
ax
X
X1
V1
a?1
ax1
?
⑵ 新旧投影之间的关系
?aa?1 ? X1
?a?1ax1 = a?ax
?点的新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。
axa?
??
?
?
一般规律：
?点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。
.新投
影
面
旧
投
影
面
旧轴
不变投影
旧投影
新投影
?
?
XVH
a
a?
ax
更换 H面
⑶ 求新投影的作图方法
?
?
V
HX
V1H
X1
由点的不变投影向新投影轴作垂线，
并在垂线上量取一段距离，使这段距离等
于旧投影到旧轴的距离。
a
a?
X1H1
V ?a1
ax ax1
ax1
更换 V面
● a?1
作图规律：
?
?
.
.
⒉ 更换两次投影面
先把 V面换成平面 V1,V1?H，得到中间新投影体系, V1HX1 —
再把 H面换成平面 H2,H2? V1，得到新投影体系, X2 —V1H
2
⑴ 新投影体系的建立
按次序更换
A
a
V
H
a?
ax
X
X1
V1
a′1
ax1
?
H2
X2
?
?
?
ax2a2
?
?
??
?
?
?
注意：第二次换面时：旧轴为 X1；新轴为 X2；旧投影为
a ;不变投影为 a ′1 ;新投影为 a 2。 与原 X轴及 V投影
已无关了,在量取新投影到新轴的距离时应注意。
ax2
?
a?
a
X VH
?
⑵ 求新投影的作图方法
?a2
X1
H
V1 X2V1
H2
作图规律
a2a′1 ? X2 轴
a2ax2 = aax1
a′1?
ax
ax1
?
.
.
变换路径,V1
H
? V1
H2
V
H ?
V
H
A
B
a?
b?
a
b
四、换面法的四个基本问题
1,把一般位置直线变换成投影面平行线
用 V1面代替 V面，在 V1/H投影体系中,AB//V1。
X1 HV
1
V1a′
1
b′1
空间分析,
换 H面行吗？ 不行！
作图：
例：求直线 AB的实长及与 H面的夹角。
a?
b?
a
b
X V
H
新投影轴的位置？
a ? 1● b ? 1
●
与 ab平行。
?
.
因为求 α 角 H面不能变
a′1● b′
1
●
V
H
a?
aX
B
b?
b
A
2,把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析：
a?
b?
a
b
XVH
X1
H1
V1
作图：
X1
V1
a′1
b′1
X2
H2
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线 。
X2轴的位置？
?
a2?b2 ax2
a2?b2?
.
与 a′1b′1垂直
一次换面把直线变成投影面平行线；
为什么一般位置直线不能一次
变换成新投影面的垂直线？
一般位置直线变换
成投影面垂直线，需经
几次变换？
a? b?
c?
a b
c
d
V
H
A
B
C
D
X
d?
3,把一般位置平面变换成投影面垂直面
如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂
直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
V1
X1
c?1
b?1
a′1?d′1
空间分析：
在平面内 取一条
投影面平行线,经一
次换面后变换成新投
影面的垂直线，则该
平面变成新投影面的
垂直面。
作图方法：
两平面垂直需满足什么条件？
能否只进行一次变换？
思考：
若变换 H面，需在面
内取什么位置直线？
正平线！
不能
α
a?
b?
c?
a
c
b
X VH
例：把 三角形 ABC变 换 成投影面垂直面。
H
V1X1
作 图 过 程：
★ 在平面内取一条水平
线 AD。
d?
d
★ 将 AD变换成新投影
面的垂直线。
d?1●a?1?d?1●c?1● 反映平面对哪个投影面的夹角？
.
a?1?b?1
●
需经几次变换？一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；
二次换面，再变换成新投影面的平行面。
4,把一般位置平面变换成投影面平行面
a
b
a?
c?
b?
X VH
c
作 图,AB是水平线
空间分析：
a2
●
c2●
b2●
c?1●
X2轴 的位置？
平面的实形
.
X1
H V
1
.
与其平行
b?1?
距离
d
d?1
X1
H
V1
X2
V1 H2 c2
?
d?
例 1：求点 C到直线 AB的距离，并求垂足 D。
c
c? b?
a?
a
b
X V
H
?
?
五、换面法的应用
如下图：当直线 AB
垂直于投影面时,CD平
行于投影面，其投影反映
实长。 A
H 2
B
D
C
c
a?b?d
作图,
求 C点到直线 AB的距离，
就是求垂线 CD的实长。
空间及投影分析：
c?1?
a?1? a2?b2?d2?
过 c1作线平行于 x2轴。
.
..
如何确定
d?1点的位
置？
b?a?
a
b
c
d
●c?
例 2：已知两交叉直线 AB和 CD的公垂线的长度 为 MN，
且 AB为水平线，求 CD及 MN的投影。 M N
● m?
● d?
●a?1≡b?1≡m?1
● n?1
●c?
1
●
d?1
● n
空间及投影分析：
V
HX
H V1
X1
圆半径 =MN
●n?
● m
作图：
请注意各点的投
影如何返回？
求 m点是难点。
.
.
当直线 AB垂直于投影
面时,MN平行于投影面，
这时它的投影 m?1n?1=MN,
且 m?1n?1⊥ c?1d?1。
V1
A
C
D
N M
c?1 d?
1
a?1m?1b?1
n?1
B
空间及投影分析, AB与 CD都平行于投影面时，其投影
的夹角才反映实大（ 60° ），因此需将 AB与 C点所确定的
平面变换成投影面平行面。
例 3,过 C点作直线 CD与 AB相交成 60o角。
d?
X1
H V1 X
1
V1
H2
a
b
a?
c?
b?
X VH
c
作 图：
c2●
●
●
c?1●
a?1?b?1●
a2●
d2
●d
●
b2●
几个解？
两个解！
已知点 C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线 AB上，
求等边三角形的投影。
思考：
如何解？
解法相同！
60°
D点的投影
如何返回？
.
.
? 小 结 ?
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法
——换面法 。
一,换面法就是 改变投影面的位置,使它与所给物
体或其几何元素处于 解题所需的特殊位置 。
二,换面法的关键是要注意 新投影面的选择条件,
即必须使 新投影面与不变投影面保持垂直关系,
同时 又有利于解题需要,这样才能使正投影规
律继续有效。
三,点的变换规律是换面法的作图基础,四个基本
问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
换面法的四个基本问题：
2,把一般位置直线变成投影面垂直线
1,把一般位置直线变成投影面平行线
3,把一般位置平面变成投影面垂直面
4,把一般位置平面变成投影面平行面
变换一次投影面
变换一次投影面。条件,需先在
平面内作一条投影面的平行线
变换两次投影面
变换两次投影面
四、解题时一般要注意下面几个问题：
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中
物体与原投影面的相对位置,并把这些条件
抽象成几何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元
素 对新投影面应处于什么样的特殊位置 （垂
直或平行），据此选择正确的解题思路与方
法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影
在变换前后的关系,既要在新投影体系中正
确无误地求得结果，又能将结果 返回到原投
影体系中去。
点、直线和平面
2.4 换面法
2.1 点的投影
2.2 直线的投影
2.3 平面的投影
●A
采用多面投影 。
过空间点 A作 H面的投射线
（垂线），与投影面 H的交点即
为点 A在 H面上的 投影 。
B●
B1●
B2●
点在一个投影面上
的投影不能确定点的空
间位置。
一、点在一个投影面上的投影
2·1 点的投影
解决办法？
● a
● b
H
W
V
二、点的三面投影
投影面
◆ 正面投影面（简称正
面或 V面）
◆ 水平投影面（简称水
平面或 H面）
◆ 侧面投影面（简称侧
面或 W面）
投影轴
oX
Z
OX轴
OZ轴
OY轴
Y
三个投影面
互相垂直
V面与 H面的交线
H面与 W面的交线
V面与 W面的交线
W
H
V
oX
空间点 A在三个投影面上的投影
a? 点 A的正面投影
a 点 A的水平投影
a? 点 A的侧面投影
空间点用大写字母
表示，点的投影用
小写字母表示。
a?●
a●
a?●
A●
Z
Y
向下翻
投影面展开
a
H
a?
W
YH
a?
V
X
Z
O
W
H
V
oX
a?●
a●
a?●
A●
Z
Y
不动
向右翻
Yw
Y
点的投影规律,
●
●
Z az a?
X ayw
O
a
ax
ayH
a?●
YH
Yw
● ●
●
●
X
Y
Z
O
V
H
W
A
a
a?
a??
xa
az
aywa
yH
① 点的水平投影与正面投影的连线垂直于 OX轴
即 a?a⊥ OX轴
② 点的正面投影与侧面投影的连线垂直于 OZ轴
即 a?a?⊥ OZ轴
③ 点的水平投影到 OX轴的距离等于点的侧面投
影到 OZ轴的距离，即 aax= a?az
a?ax= a?ayw=A到 H 面 的距离
aayH= a?az=A到 W 面 的距离
=A到 V 面 的距离
●
●
a?
a
ax
例：已知点的两个投影，求第三投影。
● a?●
●
a?
a
ax
az
az
解法一,
通过作 45° 线
使 a?az=aax
解法二,
用圆规直接量
取 a?az=aax
a?●
OX
Z
Y
三、两点的相对位置
Z
X
YH
YWO
a′ a″
a
b′ b″
b
▲ x 坐标大的在左
▲ y 坐标大的在前
▲ z 坐标大的在上
判断方法：
B点在 A点之 后
之左、之下。
两点的相对位置指两
点在空间的 上下、前后、
左右 位置关系。
a?
a?
a
b?
b?
b
B
A
重影点：
空间两点在某一投
影面上的 投影重合为一
点 时，则称此两点为 该
投影面 的重影点。
A,C为 H面的重影点
●
●
● ●
●
a? a?
c?c?
被挡住的投
影加 ( )
( )
A,C为哪个投
影面的重影点
呢？
a c
例 1, 已知点 A在点 B之前 5毫米，之上 9毫米，之右 8毫米
，求点 A的投影。
9
8
5
a? a?
a
Z
X Yw
YH
b? b?
b
o
一,直线的投影
直线上两端点在同面投影的连线。
2·2 直线 的投影
a
b
c(d)
A
B
C
D
直线的投影仍
为直线，特殊情况
下为一点。
投影面平行线 平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
正平线（平行于Ｖ面）
侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
正垂线（垂直于Ｖ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线
统称特殊位置直线
垂直于某一投影面
二、各种位置直线的投影特性
以正平线为例，讨论其投影特性,
OX
Z
Y
a?
b?
a b
a?
b?A
B
? ? X
a?
b?
a?
b?
ba
O
Z
YH
YW
同样，对于水平线和侧平线也可得到类似的特性 。
① 直线的正面投影 a′b′反映直线 AB 的实长,并且反映
直线 AB 对 H,W面的倾角 α,γ。
② 直线的水平投影 ab和侧面投影 a〞 b 〞 分别平行于
OX 轴和 OZ 轴。
? ?
投影特性：
1.正平线 —只平行于正面投影面的直线
表2-1 投 影面平行线
z
z
d
水平线
?
投
影
特
性
a b
Y H
?
d
c
立
体
图
投
影
图
名称
C
b
B
z
a '
x
?
o
b '
?
X
H
b
A
o
x
Y W
a"
b"
o
d '
c '
Y
a
W
X
H
D
a '
V
z
b '
正平线
c '
V
c '
e
Y H
f
Y H
e"
c
f
Y W
c" d"
f '
x
e '
Y
d
o
W
e
H
X
f '
f"
Y W
?
o
?
e"
z
f"
F
o
W
Y
侧平线
V
e '
E
z
1.a b =AB
2.ab//OX
a"b"//OZ
3.a b 反映AB的倾角 ?, ?
1.cd=CD
2.c d //OX
c"d"//OY W
3.cd反映CD的倾角 ?, ?
1.e"f"=EF
2.ef//OY H
e f //OZ
3.e"f"反映EF的倾角 ?, ?
b?
a
a?
b?
b
a?
投影面 平行线 的 投影特性：
① 直线在所平行的那个投影面上的投影反映实长
② 直线在另两个投影面上的投影 平行于 相应的
水平线 侧平线正平线
实长
实长
b
a?
a
a? b? b?
投影轴，并且小于该直线的实长。
X
Z
YH
YWO
并且反映直线对另外两个投影面的倾角。
b?
a?
ab
a?
b?
实长
OX
Z
Y
2.投影面的垂直线：
② 水平投影 ab⊥ OX,
侧面投影 a″b″⊥ OZ。
投影特性, ① 直线 AB的正面投影 a′b′积聚成一点 ;
只垂直于一个投影面的直线 。
以正垂线为例，讨论其投影特性,
同样，对于铅垂线、侧垂线也可得到类似的特性。
A
B
（ a?） b?
a?
b?
b
a
z
X
（ a?） b? b?
a
O
YH
YW
a?
b
立
体
图
投
影
图
投
影
特
性
名称 正垂线
铅垂线 侧垂线
X
Y
W
V
z
X
D
V
Y
W
E
f
X
Y
F
o
W
V
z
A
B
a '
b '
z
o
C
f
e
Y W
Y HY H
Y W
a
x
b
Y H
Y W
z
1.a ' b ' 积聚成一点;
2.ab、a"b"=AB
1.cd 积聚 成一点；
2.c＇d＇,c〃 d〃= CD
1.e〃f〃 积聚成一点;
2.ef,e＇ f＇= EF.
c(d)
a ' (b ' )
c '
d '
d"
c"
c(d)
b"
a"
e"
(f")
a ' (b ' )
a"b"
e ' f '
e ' f ' e" (f")
c '
d '
c"
d"
表2- 2 投影面垂直线
z z
x
x
且ab⊥O X,a "b" ⊥OZ 且cd⊥O X,c "d" ⊥OY W
且ef⊥O Y H,e f ⊥ OZ
投影面 垂直线 的 投影特性,
铅垂线正垂线 侧垂线
② 另外两个投影, 反映线段实长，且垂直于相
① 直线在其垂直投影面上的 投影，积聚为一点。
●
a?(b?)
a
b
b? a?
●
c?
d?
c (d)
c?
d?
●
e? f?
e f
e? (f? )
应的投影轴。
OX
Z
Y
三个 投影 都 小于实长, 而且 与三根投影轴都 倾斜 。
投影特性：
3,一般位置直线 与三个投影面 都倾斜 的直线。
a?
b?
b
a
b?
a?
Z
Xa? a?
a
O
YH
YW
b?
b
b?
三,直线与点的相对位置
点与直线的相对位置可以分为两种，即 点在
直线上 和 点不在直线上 。
（ 1）若点在直线上，则点的各个投影必在直线
的同名投影上，并将线段的各个投影分割成定比。
如图所示,C点在直
线 AB上，则 C点的正面投
影 c′ 在直线 AB 的正面投
影 a′b′上,C点的水平投影
c在直线 AB 的水平投影 ab
上，同样 c"在 a"b"上,而且
AC/CB= ac/cb
Bc '
a
a'
H
b"
c
A A
C
a"
C" W
V b'
= a′c′/c′b′=a″c″/c″b″，
（ 2）若点的投影有一
个不在直线的同名投影
上，则该点肯定不在该
直线上。
反之, 若点的各投
影分别属于直线的同名
投影, 且分割线段的投
影长度成定比, 则该点
肯定在该直线上 。
B
c '
a
a '
H
b"
c
A A
C
a"
C"
W
V
b '
c"
c '
a
Y H
c
X
a '
b
O
a"
W H
b '
Z
b"
Yw
其投影为：
Bc '
a
a'
H
b"
c
A A
C
a"
C" W
V b'
例 1：判断点 K是否在线段 AB上。
a?
b?
● k?
因 k?不在 a?b?上，
故点 K不在 AB 上。
应用定比定理
a
b
k
a?
b?
k?
●
●
另一判断法?
四、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：
平行, 相交, 交叉 。
⒈ 两直线平行 投影特性：
空间两直线平
行，则其各 同名投
影 必相互平行，反
之亦然。
a
V
H
c?
b
c
d
A
B
C D
b? d?
a?
a
b
c
d
c?a?
b? d?
例 2：判断图中两条直线是否平行
对于一般位置直
线，只要有两个同名
投影互相平行，空间
两直线就平行。
AB//CD
①
b? d?
c?
a?
c
b
ad
d?
b?
a?
c?
求出侧面投影后可知：
AB与 CD不平行。
例 2：判断图中两条直线是否平行。
②
求出侧面投影
如何判断？
H
V
A B
C
DK
a
bc
d
k
a?
b?c? k?
d?
a
bc
d
b?
a?
c?
d?
k
k?
⒉ 两直线相交
判别方法：
若空间两直线相交,则其同名投影
必相交，且交点的投影必符合空间一点
的投影规律 。
交点是两直
线的共有点
d?
b?
a?
a
b
c
d
c?
1?(2? )
3(4 )
⒊ 两直线交叉
投影特性,
★ 同名投影可能相交，
但,交点” 不符合空间
一个点的投影规律 。
★,交点” 是两直线上
的一 对 重影点的投影,
用其可帮助判断两直线
的空间位置。
●
●
Ⅰ, Ⅱ 是Ｖ面的重影点，
Ⅲ, Ⅳ 是 H面的重影点。
为什么？
1
2●
●
3?
4?●
● 两直线相交吗？
⒋ 两直线垂直相交（或垂直交叉）
直角的投影特性：
若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面
上的投影仍为直角。
设 直角边 BC//H面
因 BC⊥ AB,同时 BC⊥ Bb
所以 BC⊥ ABba平面
直线在 H面上的
投影互相垂直
即 ∠ abc 为直角
因此 bc⊥ ab
故 bc ⊥ ABba平面
又因 BC∥ bc
A
B
C
a
b
c
H
a? c?
b?
a
b
c
.
证明：
2.3 平 面
一、平面的投影表示法
b?
a?
a
c?
b
c
b?
a?
a
c?
b
c
a?
a
b?
c?
b
c
a?
b? c?
a
b c
d?
d
α ′
b′
c′
b
cα
1、几何元素表示法
2,平面的迹线表示法
PPV
PH
PV
PH
QV
QHQ
H
QV
Q
Q为侧垂面
一般位置平面
{ PH — 平面 P的水平面迹线PV — 平面 P的正面迹线
平面对于三投影面的位置可分为三类,
投影面垂直面
投影面平行面
一般位置平面
特殊位置平面
垂直于某一投影面，
倾斜于另两个投影面
平行于某一投影面，
垂直于另两个投影面
与三个投影面都倾斜
正垂面
侧垂面
铅垂面
正平面
侧平面
水平面
二,各种位置平面的投影特性
a
b
c
a?
c?
b?
c?
b?
a?
1,投影面垂直面
类似形 类似形
积聚性
铅垂面
投影特性：
在它垂直的投影面上的投影积聚成直
线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面
与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
为什么？
γ
β
是什么位置
的平面？
（ 1）铅垂面
OX
Z
Y
铅垂面迹线 表示法
?
?
PH
P
PH
OX
Z
Y
Q
QV
（ 2）正垂面
A
c?
C
a?
b?
B
b"
?
?
a'
b'
a"
b
a
c"c'
c
投影特性, 1) a?b?c? 积聚为一条线
2) ? abc,? a?b?c?为 ? ABC的类似形
3) a?b?c?与 OX,OZ的夹角 反映 α,? 角的
真实大小
OX
Z
Y
正垂面的迹线 表示法
Q
QV
α
γQV
OX
Z
Y
SWS
（ 3）侧垂面
C
a"
b"
A
B
c"
b"
β
?a'
b'
a"
b
a
c" c'
c
投影特性 1) a?b?c?积聚为一条线
2) ? abc,? a?b?c?为 ? ABC的类似形
3) a?b?c?与 OZ,OY的夹角 反映 α, β 角
的真实大小
OX
Z
Y
侧垂面的迹线 表示法
V
W
SwS
Z
X O
Y
Sw
Yα
β
OX
Z
Y
2、投影面的平行面,（ 1）水平面
C
A B a"b"
c'
b
a
c
a' b'
c"
c
a? b' b"
b
a
a"c? c"
投影特性：
1) a?b?c?,a?b?c?积聚为一条线，具有积聚性
2) 水平投影 ? abc反映 ? ABC实形
OX
Z
Y
（ 2）正平面
投影特性：
1) abc, a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性
2) 正平面投影 ? a?b?c?反映 ? ABC实形
c"
a"
b"b'
a'
c'
bc a
b'
a'
c' a"
b"
c"
bc a
C
B
A
OX
Z
Y
（ 3）侧平面
a'
b' b"
b
a"
c' c"
c
a
投影特性：
1) abc, a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性
2) 侧平面投影 ? a?b?c? 反映 ? ABC实形
b"
b'
b
a
c
a'
c'
c"C
A
B
a"
OX
Z
Y
3、一般位置平面
a"
b"
c"
c
a'
b'
b
a
a"a'
b' b"
c' c"
b
a
c
A
B
C
投影特性：
(1) ? abc, ? a?b?c?, ? a?b?c? 均为 ? ABC
的类似形
(2) 不反映 ?,?,? 的真实角度
三、平面上的直线和点
判断直线在平面
内的方法
定 理 一
若一直线过平面
上的两点，则此
直线必在该平面
内。
定 理 二
若一直线过平面上的
一点，且平行于该平
面上的另一直线，则
此直线在该平面内。
⒈ 平面上取任意直线
a
b
c
c?
a?
a
b
c
b?
c?
a?
m
n
n?m?
例 1：已知平面由直线 AB,AC所确定，试
在平面内任作一条直线。
解法一 解法二
根据定理二根据定理一
有无数解。
d?
d
有多少解？
b ?
例 2：在平面 ABC内作一条水平线，使其到
H面的距离为 10mm。
n?m?
nm
10 c?
a?
b?
c
a
b
唯一解！
有多少解？
⒉ 平面上取点
先找出过此点而又在平面内的一条直线作
为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例 3：已知 K点在平面 ABC上，求 K点的水平投影。
b
①
a
c
c?
a?
k?
b?
●
k●
面上取点的方法：
首先面上取线
②
●
a
b
c
a?
b?
k?
c?
d?
k● d
利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解
c
ka
d
a?
d?
b?
c?
a
d
a?
d?
b?
c?k?
c
例 4,已知 AC为正平线,补全平行四边形
ABCD的水平投影。
解法一 解法二
bb
3、属于平面的投影面平行线
属于平面的水平线和正平线
参看,例题 5 例题 6
平面上投影面的平行线 — 是既在平面上又 //于投影
面的直线。因此，它既具有投影面平行线的投影特性，
又与 所属平面保持从属关系。
在一个平面上对 V,H,W投影面分别有三组投影
面平行线。
P
属于平面的水平线和正平线
PV
PH
[例题 5]已知 ?ABC 给定一平面，试过点 C 作属于该平
面的正平线，过点 A作属于该平面 的水平线。
m?
n'
n
m
[例题 6]已知点 E 在 ?ABC平面上，且点 E 距离
H 面 15，距离 V 面 10，试求点 E的投影。
m
n
m' n'
r s
r'
s'
10
15
e'
e
小 结
一、点的投影规律
① a?a⊥ OX 轴
② aax= a?az=A到 V 面的距离
a?ax= a?ayw=A到 H 面的距离
aayH= a?az=A到 W 面的距离
● ●
●
●
X
Y
Z
O
V
H
W
A
a
a?
a??
xa
az
a y●
●
Y
Z az a?
X
Y
aywO
a
ax
ayH
a?●
a?a?⊥ OZ 轴
二、各种位置直线的投影特性
b?
a
a?
b?
b
a?
1,投影面 平行线 的 投影特性：
② 直线在另两个投影面上的投影 平行于 相应的
水平线 侧平线正平线
实长
实长
b
a?
a
a? b? b?
X
Z
YH
YWO
并且反映直线对另外两个投影面的倾角。
b?
a?
ab
a?
b?
实长
① 直线在所平行的那个投影面上的投影反映实长
投影轴，并且小于该直线的实长。
2,投影面 垂直线 的 投影特性,
铅垂线正垂线 侧垂线
② 另外两个投影, 反映线段实长，且垂直于相
① 直线在其垂直投影面上的 投影，积聚为一点。
●
a?(b?)
a
b
b? a?
●
c?
d?
c(d)
c?
d?
●e?
f?
e f
e?(f?)
应的投影轴。
OX
Z
Y
三个 投影 都 小于实长, 而且 与三根投影轴都 倾斜 。
A
B
b
b?
a?
b?
a
a?
Z
Xa? a?
a
O
YH
YW
b?
b
b?
3,一般位置 直线 的 投影特性,
一、平面的投影特性,尤其是特殊位置平面的
投影特性。
二、平面上的点与直线
⒈ 平面上的点
一定位于平面内的某条直线上
⒉ 平面上的直线
⑴ 过平面上的两个点。
⑵ 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。
小 结
3,属于平面的投影面平行线
应非常熟练作出属于 平面中的水平线和正平线
重 点 掌 握
一、问题的提出
★ 如何求一般位置直线的实长？
★ 如何求一般位置平面的真实大小？
换 面 法：
物体本身在空间的位置不动，而用某
一新投影面（辅助投影面）代替原有投影
面，使 物体相对新的投影面处于解题所需
要的有利位置,然后将物体向新投影面进
行投射。
解决方法：更换投影面。
2·4 换面法
V
H
A
B
a?
b?
a
b
二、新投影面的选择原则
1,新投影面必须对空间物体处于 最有利的解
题位置,一次只能更换一个投影面 。
?平行于空间物体
?垂直于空间物体
2,新投影面必须 垂直于 不变投影面，以构成
一个相互垂直的两投影面的新体系。
V1
a?1
b?1
新
投
影
面
旧
投
影
面
旧轴 X
V
H
Aa?
a
?
?
?
ax
X
??
⒈ 更换一次投影面
?旧投影体系 X —VH ?新投影体系 V1HX1 —
A点的两个投影,a,a? A点的两个投影,a?,a?1
⑴ 新投影体系的建立
三、点的投影变换规律
X1
V1
a?1
ax1
?
?
?
V1H
X1
a?1?
?
?
V
HX
a?
a
ax
ax1.
ax1
?
?
?V
HX
V1H
X1
a?
a
a?1A
a
?
?
?
ax
X
X1
V1
a?1
ax1
?
⑵ 新旧投影之间的关系
?aa?1 ? X1
?a?1ax1 = a?ax
?点的新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。
axa?
??
?
?
一般规律：
?点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。
.新投
影
面
旧
投
影
面
旧轴
不变投影
旧投影
新投影
?
?
XVH
a
a?
ax
更换 H面
⑶ 求新投影的作图方法
?
?
V
HX
V1H
X1
由点的不变投影向新投影轴作垂线，
并在垂线上量取一段距离，使这段距离等
于旧投影到旧轴的距离。
a
a?
X1H1
V ?a1
ax ax1
ax1
更换 V面
● a?1
作图规律：
?
?
.
.
⒉ 更换两次投影面
先把 V面换成平面 V1,V1?H，得到中间新投影体系, V1HX1 —
再把 H面换成平面 H2,H2? V1，得到新投影体系, X2 —V1H
2
⑴ 新投影体系的建立
按次序更换
A
a
V
H
a?
ax
X
X1
V1
a′1
ax1
?
H2
X2
?
?
?
ax2a2
?
?
??
?
?
?
注意：第二次换面时：旧轴为 X1；新轴为 X2；旧投影为
a ;不变投影为 a ′1 ;新投影为 a 2。 与原 X轴及 V投影
已无关了,在量取新投影到新轴的距离时应注意。
ax2
?
a?
a
X VH
?
⑵ 求新投影的作图方法
?a2
X1
H
V1 X2V1
H2
作图规律
a2a′1 ? X2 轴
a2ax2 = aax1
a′1?
ax
ax1
?
.
.
变换路径,V1
H
? V1
H2
V
H ?
V
H
A
B
a?
b?
a
b
四、换面法的四个基本问题
1,把一般位置直线变换成投影面平行线
用 V1面代替 V面，在 V1/H投影体系中,AB//V1。
X1 HV
1
V1a′
1
b′1
空间分析,
换 H面行吗？ 不行！
作图：
例：求直线 AB的实长及与 H面的夹角。
a?
b?
a
b
X V
H
新投影轴的位置？
a ? 1● b ? 1
●
与 ab平行。
?
.
因为求 α 角 H面不能变
a′1● b′
1
●
V
H
a?
aX
B
b?
b
A
2,把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析：
a?
b?
a
b
XVH
X1
H1
V1
作图：
X1
V1
a′1
b′1
X2
H2
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线 。
X2轴的位置？
?
a2?b2 ax2
a2?b2?
.
与 a′1b′1垂直
一次换面把直线变成投影面平行线；
为什么一般位置直线不能一次
变换成新投影面的垂直线？
一般位置直线变换
成投影面垂直线，需经
几次变换？
a? b?
c?
a b
c
d
V
H
A
B
C
D
X
d?
3,把一般位置平面变换成投影面垂直面
如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂
直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
V1
X1
c?1
b?1
a′1?d′1
空间分析：
在平面内 取一条
投影面平行线,经一
次换面后变换成新投
影面的垂直线，则该
平面变成新投影面的
垂直面。
作图方法：
两平面垂直需满足什么条件？
能否只进行一次变换？
思考：
若变换 H面，需在面
内取什么位置直线？
正平线！
不能
α
a?
b?
c?
a
c
b
X VH
例：把 三角形 ABC变 换 成投影面垂直面。
H
V1X1
作 图 过 程：
★ 在平面内取一条水平
线 AD。
d?
d
★ 将 AD变换成新投影
面的垂直线。
d?1●a?1?d?1●c?1● 反映平面对哪个投影面的夹角？
.
a?1?b?1
●
需经几次变换？一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；
二次换面，再变换成新投影面的平行面。
4,把一般位置平面变换成投影面平行面
a
b
a?
c?
b?
X VH
c
作 图,AB是水平线
空间分析：
a2
●
c2●
b2●
c?1●
X2轴 的位置？
平面的实形
.
X1
H V
1
.
与其平行
b?1?
距离
d
d?1
X1
H
V1
X2
V1 H2 c2
?
d?
例 1：求点 C到直线 AB的距离，并求垂足 D。
c
c? b?
a?
a
b
X V
H
?
?
五、换面法的应用
如下图：当直线 AB
垂直于投影面时,CD平
行于投影面，其投影反映
实长。 A
H 2
B
D
C
c
a?b?d
作图,
求 C点到直线 AB的距离，
就是求垂线 CD的实长。
空间及投影分析：
c?1?
a?1? a2?b2?d2?
过 c1作线平行于 x2轴。
.
..
如何确定
d?1点的位
置？
b?a?
a
b
c
d
●c?
例 2：已知两交叉直线 AB和 CD的公垂线的长度 为 MN，
且 AB为水平线，求 CD及 MN的投影。 M N
● m?
● d?
●a?1≡b?1≡m?1
● n?1
●c?
1
●
d?1
● n
空间及投影分析：
V
HX
H V1
X1
圆半径 =MN
●n?
● m
作图：
请注意各点的投
影如何返回？
求 m点是难点。
.
.
当直线 AB垂直于投影
面时,MN平行于投影面，
这时它的投影 m?1n?1=MN,
且 m?1n?1⊥ c?1d?1。
V1
A
C
D
N M
c?1 d?
1
a?1m?1b?1
n?1
B
空间及投影分析, AB与 CD都平行于投影面时，其投影
的夹角才反映实大（ 60° ），因此需将 AB与 C点所确定的
平面变换成投影面平行面。
例 3,过 C点作直线 CD与 AB相交成 60o角。
d?
X1
H V1 X
1
V1
H2
a
b
a?
c?
b?
X VH
c
作 图：
c2●
●
●
c?1●
a?1?b?1●
a2●
d2
●d
●
b2●
几个解？
两个解！
已知点 C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线 AB上，
求等边三角形的投影。
思考：
如何解？
解法相同！
60°
D点的投影
如何返回？
.
.
? 小 结 ?
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法
——换面法 。
一,换面法就是 改变投影面的位置,使它与所给物
体或其几何元素处于 解题所需的特殊位置 。
二,换面法的关键是要注意 新投影面的选择条件,
即必须使 新投影面与不变投影面保持垂直关系,
同时 又有利于解题需要,这样才能使正投影规
律继续有效。
三,点的变换规律是换面法的作图基础,四个基本
问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
换面法的四个基本问题：
2,把一般位置直线变成投影面垂直线
1,把一般位置直线变成投影面平行线
3,把一般位置平面变成投影面垂直面
4,把一般位置平面变成投影面平行面
变换一次投影面
变换一次投影面。条件,需先在
平面内作一条投影面的平行线
变换两次投影面
变换两次投影面
四、解题时一般要注意下面几个问题：
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中
物体与原投影面的相对位置,并把这些条件
抽象成几何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元
素 对新投影面应处于什么样的特殊位置 （垂
直或平行），据此选择正确的解题思路与方
法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影
在变换前后的关系,既要在新投影体系中正
确无误地求得结果，又能将结果 返回到原投
影体系中去。
