第二章 中低压容器设计
第一节 容器壳体的应力分析
第二节 圆平板中的应力
第三节 内压薄壁容器的设计计算
第四节 法兰
第一节 容器壳体的应力分析
一、压力容器的载荷与应力
二、回转薄壳的薄膜应力
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
四、压力容器的不连续应力分析
五、圆柱壳受边缘力和边缘力矩的弯
曲解
一、压力容器的载荷与应力
（ 1）压力容器所受载荷
a.压力载荷：均布于容器壳体 ;
b.机械载荷：重力、支座反力、管道的推力 等 ;
c.热载荷,
一、压力容器的载荷与应力
(2)压力容器应力分析方法
解析法或数值法,
即以弹性、塑性等板壳理论为基础的精确数学
界或有限元法等数值解。但是对于工程实用的容
器，解析解和由它的导出的设计公式，在部分结
构上不能直接采用。
一、压力容器的载荷与应力
(2)压力容器应力分析方法
实验应力分析法：
包括电测法和光弹性法。对于复杂几何形
或受载条件的实际容器，它是一种有效的
应力分析方法，也是验证解析解或
数值计算结果的重要途径。
一、压力容器的载荷与应力
容器设计核心问题,
研究容器在外载荷作用下，有效抵抗变形和破坏
的能力，处理强度、刚度和稳定性问题，保证容
器的安全性和经济性。
二、回转薄壳的薄膜应力
（ 1）回转薄壁壳体基本概念
b,回转壳体的几何特性：
ii.经线与第一主曲率半径
对于回转壳，母线即经线，
经线 OA'上任意一点 a的曲率
半径称为第一主曲率半径，
以 R1表示，在图上为线段 O1A。
回转壳中面的几何参数
图2 -2 回 转壳中面的几何参数
二、回转薄壳的薄膜应力
（ 1）回转薄壁壳体基本概念
a,薄壁壳体的特征,平面应力问题
b,回转壳体的几何特性,
i.轴对称
回转壳的中面是回转曲面，它是
由一根平面曲线绕一根在曲线平
面内的定轴旋转而成，这一根曲
线称为母线。
图2 -2 回 转壳中面的几何参数
二、回转薄壳的薄膜应力
（ 1）回转薄壁壳体基本概念
b,回转壳体的几何特性：
iii.纬线与第二主曲率半径
过点 a与经线垂直的平面切割中面也形成了一曲
线，此曲线在 a点的曲率半径称为第二主曲率半径，
以 R2表示，它等于该点法线上由中面到旋转轴的
距离,O2A。
二、回转薄壳的薄膜应力
（ 1）回转薄壁壳体基本概念
b,回转壳体的几何特性：
iv.平行圆与平行圆半径
垂直与回转轴的平面与中面的交线为相互平行的
圆，称为平行圆，该圆的半径称为平行圆半径，
以 r表示。
二、回转薄壳的薄膜应力
（ 1）回转薄壁壳体基本概念
c.轴对称问题：
i.几何轴对称
常见容器壳体的一个重要几何
特征就是其中面由一条平面曲线或
直线绕同平面内的轴线回转而成，
这种壳体称为“回转壳”。
ii.载荷轴对称
载荷轴对称就是指壳体任意横截面上的载荷对称于
回转轴，但是沿轴向方向的载荷可以按任意规化。
二、回转薄壳的薄膜应力
（ 1）回转薄壁壳体基本概念
d.无力矩理论与有力矩理论：
i.有力矩理论
在壳体理论中，如果考虑
横向剪力 Qφ和弯矩 Mφ,Mθ,
这种理论称为“有力矩理论”
二、回转薄壳的薄膜应力
图2-4 无力矩 理论
（ 1）回转薄壁壳体基本概念
d.无力矩理论与有力矩理论：
ii.无力矩理论
对于部分容器，在某些特定
的壳体形状，载荷和支撑条
件下，其弯曲内力与薄膜内
力相比很小可以忽略不计，
此时，壳体的应力状况仅由
法向力 Nφ Nθ决定，称为
“无力矩理论”。
二、回转薄壳的薄膜应力
（ 2）回转壳体的无力矩理论
a,壳体微元及其内力分量
对于微元 abcd，
经线弧长,ab＝ R1d
平行圆弧长,ac=rd
微元面积,dA= R1d × rd
微元法向受力,Pz× dA
ac边受力,N × rd
bd边受力,(N +dN /d )(r+dr/d )
ab,cd边受力,N × R1d
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
二、回转薄壳的薄膜应力
(2)回转壳 体的无力矩理论
b,力平衡 方程,∑ F x,y,z =0; (2-1)
∑ M x,y,z =0 (2-2)
由∑ F z =0,得：
(2-3)
整理得,
(2-4)
0
2
co ssin
2
sin2sin
11
??
?
?
?
?
? ?
?????
??
?
?
?
?
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???
?
?
?
?
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?
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d
rddRPdR
d
Nddd
d
dr
rd
d
dN
N
z
z
P
R
N
R
N
???
?
?
21
壳体微元及其内力分量
图2 -5 壳 体微元及其内力分量
二、回转薄壳的薄膜应力
2)回转壳体的无力矩理论
b,力平衡方程,∑Fx,y,z=0; (2-1)
∑Mx,y,z=0 (2-2)
由 ∑Fz =0,得：
整理得：
以上两式是回转薄壳无力矩理论的轴对称问题的两个基本方程。
0cos
2
s in2
cos
1
????
?
?
?
?
? ?
???????
?
?
??
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
dR
d
N
rdNddd
d
dr
rd
d
dN
N
? ? 0c o s1 ???? ?? RNrNdd
二、回转薄壳的薄膜应力
(2)回转壳体的无力矩理论
较为简便的方法是以 φ角,确定的
平行圆以上的有限壳体的平衡条件
代替原来的微圆平衡条件。
式 2-4变化为
截取壳体上部，求力平衡,
222
1
RpRRNN ??? ??
???????? ??? sin2cos20 1 rNdRrPF z
二、回转薄壳的薄膜应力
(2)回转壳体的无力矩理论
对于具体问题，可按下图所示
0～ φ截取的部分壳体。
i.由竖直方向的力平衡关系，直接求得 F.
ii.利用上式确定
iii.通过式 2-4确定
??
二、回转薄壳的薄膜应力
(3)薄壁容器的薄膜应力
对于薄壁容器，应力沿壳体壁厚方向均匀
分布：
所以：
用, 表示方程 2-5,2-7：
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
t
N
t
N
＝
(2 - 8)
为壳体的厚度
为周向薄膜应力
为径向薄膜应力
t
?
?
?
?
?? ??
s in2
21
????
??
?
??
trF
t
P
RR
z＝－＋ (2 - 9)
(2 - 1 0)
二、回转薄壳的薄膜应力
五 )无力矩理论的应用条件
实现无力矩应力状态，壳体的几何形状、加载方式
和边界条件必须满足以下三个条件：
（ 1）壳体的厚度、曲率与载荷没有突变，构成同一
壳体的材料物理性能（如 E,等）相同。对于
集中载荷区域附近无力矩理论不能适用；
（ 2）壳体的边界处不能有垂直于壳面法向力和力矩
的作用；
（ 3）壳体边界处只可有沿经线切线方向的约束，
边界处转角与挠度不应受到约束。
二、回转薄壳的薄膜应力
例 1、球形容器。
球形容器的壳体受均匀内压 p 作用，且因球壳
几何形状对称于球心,R1=R2=R，代入方程 2-9，
2-10得：
? 图 2-7
? 承受内压
? 的球壳
t
pR
2＝＝＝ ?? ??? (2 - 1 1)
二、回转薄壳的薄膜应力
例2、圆柱形容 器
对于圆柱形容器,R 1 =∞，R 2 =R，代入方程
2-9，2-10,得：
t
pR
t
pR
＝
＝
?
?
?
?
2
(2 - 12)
(2 - 13)
图2-8 承受内 压的圆柱壳
二、回转薄壳的薄膜应力
例3,圆锥形容器
对于圆锥形容器，R 1= ∞，R2 =xt gα,
α为板锥顶角，代入方程2 -9,2 -10 得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
c os
c os222
2
t
pr
x
t
ptg
t
pr
x
t
ptg
t
pR
＝
＝＝ (2 - 14)
(2 - 15)
图2- 9 承 受内压的圆锥壳
二、回转薄壳的薄膜应力
例4、椭 圆形容器
1,求 R 1,R 2
对于椭圆形容器，R 1 和R 2 沿经线
各点变化，由椭圆曲线方程：
ya
b
y
ya
xb
xaa
bx
y
xa
a
b
y
b
y
a
x
?????
??
?
?
???
??????
32
4
2
2
22
22
2
2
2
2
1
(2 - 16) 图2 -10 承受内压的椭球壳
二、回转薄壳的薄膜应力
例4、椭圆形容 器
? ?
? ?? ?
y
y
R
b
xbya
xlR
xa
b
a
y
x
l
l
x
ytg
??
??
?
?
???
???
?
??????
23
2
2
21
2424
222
22
1
1由微分知：
所以：
有图可知：
(2 - 17)
(2 - 18)
(2 - 19)
图2-10 承受 内压的椭球壳
二、回转薄壳的薄膜应力
例4,椭圆形容器
将 R 1,R 2 代入方程2- 9,2- 10
得：
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
1
2
2
21
2424
2
2
22
R
R
tb
xbyap
t
pR
＝
＝＝ (2 - 20)
(2 - 21)
图2 -1 0 承 受内压的椭球壳
二、回转薄壳的薄膜应力
例4、椭圆形容器
应力分析：
壳体应力：
在壳体赤道上：
壳体应力：
在壳体顶点,? ? ????
2
21
,0
b
a
RRbyx,
????
??
2
2 bt
pa
? ? ????
2
2
1
,,0,aR
a
b
Ryax
?
?
2 t
pa
＝
(2 - 22)
?
?
?
?
?
?
?
?
???
? 2
2
2
1
b
a
t
pa
(2 - 23) 图2-10 承 受内压的椭球壳
二、回转薄壳的薄膜应力
例 4、椭圆形容器
结论：椭球壳承受均匀内压
时，在任何 a/b值下,恒为正
值，即为拉伸应力，且由顶点
处最大值,向赤道逐渐递减致
最小值，
应力将变号，即从拉应力变成
压应力。
图2-1 2 a/b =1,4的 椭球壳中的应力
二、回转薄壳的薄膜应力
例 4、椭圆形容器
结论 (续 )：赤道附近压缩应力
随 a/b值的增加而迅速增大，
应此对于 a/b>2.5的大直径薄壁
封头，因压缩应力过大，可能发
生弹性或塑性内压失稳（沿径向
出现周向皱纹）或塑性压溃。在
容器的液压试验中，要提防发生
这类失效。
`
图2 -1 3 a /b =3的 椭球壳中的应力
二、回转薄壳的薄膜应力
例 4、椭圆形容器
结论 (续 ),化工容器常用 a/b=2
的标准椭圆形封头，此时的 数值
在顶点和赤道处大小相等但符号相
反。即顶点处为 pa/t，赤道上为
-pa/t，而 一定是拉伸应力，在
顶点处到达最大值，为 pa/t。
图2-14 a/b=2 的椭球壳中的应力
二、回转薄壳的薄膜应力
例4,椭圆形容器
下图是三种不同的a / b 比值的 和 值 ? ???
图2-11 不同椭球度(m=a/b)时椭球 壳内的应力分 布
二、回转薄壳的薄膜应力
例5,圆筒形贮液罐
对 于液面下容器上的任一点，R 1 =∞,R 2 =R,
介 质压力：
壳 体上应力
2
???
? ?? ?hHPPz ?????
0
(2 - 24)
? ?? ?
t
RhHp
t
Rp
oz
???
???
?
2
＝ (2 - 25)
图2-15 圆 筒形储液槽
圆筒型储液罐
二、回转薄壳的薄膜应力
例5、圆 筒形贮液罐
求 时，按 下图所示从A- A处截开,
考察上半部壳体的平衡，则作用在这
部分壳体上载荷的垂直合力为
对于敞口的储液罐，则p 0 =0,
故 = 0，而
?
?
0
2
pRF ??
t
Rp
Rt
F
o
22
＝＝
?
?
?
?
?
t
RhH )( ??
??
?
(2 - 26)
图2 - 1 6 截开的圆筒形储液槽
二、回转薄壳的薄膜应力
例6,球形贮液罐
设 液体的重量为r,则 作用在角上壳体上任一点
液体静压力为
该压力作用在A-A以 上部分球壳上合力的竖直分量
F为
)]cos1([ ???? rRp
Z
)]cos
3
2
1(cos
2
1
6
1
[2
cos2
23
?????
?????
?
?
?
rR
dRrpF
Z
(2 - 27)
图2 -17 球形储液罐
球形储液罐
二、回转薄壳的薄膜应力
例6、球形贮液罐
)
co s1
co s2
co s65(
6
)
co s1
co s2
1(
6
22
22
??
?
?????
??
?
???
?
?
t
rR
t
rR
(2 - 28)
(2 - 29)
图2 -17 球 形储液罐
二、回转薄壳的薄膜应力
例6、球 形贮液罐
对于A-A以下 的部分壳体
图2 -17 球形储液罐
302)]cos
3
2
1(cos
2
1
6
1
[2
3
4
233
??????????? RRF
322)
co s1
co s2
co s61(
6
312)
co s1
co s2
5(
6
22
22
?
??
?
???
?
??
?
??
?
?
?
??
?
?
t
R
t
R
据此可得到：
二、回转薄壳的薄膜应力
例 6、球形贮液罐
比较两式：表明，在支承环处,和 不连续，而
在支承处的突变表明，在平行圆 A-A两边存在着
膨胀的突变。
可以预料，在支环附近有局部弯曲发生，以保持应
力与位移的连续性，因此不能用无力矩理论计算支
撑处应力，必须用有力矩理论。
二、回转薄壳的薄膜应力
（ 2）回转壳体的无力矩理论 (续 )
d.薄膜容器的薄膜变形
i.变形的几何描述
回转壳在均匀力作用下，将产生对称轴线
变形。在小变形的情况下，壳体中面上
的位移可分解为 u径向位移和 w法向位移两个分量。
线段 ab的长度的改变量为,
332)( ??????
?
??? dud
d
duul
二、回转薄壳的薄膜应力
（2）回 转壳体的无力矩理论(续)
d.薄 膜容器的薄膜变形
平行圆在a点的 半径增量为：
平行圆周向应变和径向应变分别为
图2 -18 回 转壳中面的变形(a )
?????? sincos wur
342)(
1
11
???
?
?
?
?
??
?
d
du
RdR
l
352)(
1
2
?????
?
wuctg
R
二、回转薄壳的薄膜应力
（2） 回转壳体的无力矩理论(续 )
d.薄 膜容器的薄膜变形
经线发生的转角
的 正负号规定如下:
平行圆半径增大,为 正，
反之为负，转角 以 回转轴左侧
的经线为准，逆时针转动为正，反之为负。
图2 -1 9 回转壳中面的变形(b ) (c )
362)(
1
2
?
?
?
???????
d
d
u
R
wu
?? 与r
? r
?
二、回转薄壳的薄膜应力
（2） 回转壳体的无力矩理论(续 )
d,薄膜容器的薄膜变形
ii.平 行圆径向位移和转角
图2-19 回 转壳中面的变形(b)(c )
)(
1
),(
1
382]
)(
)[(
1
372
2
21
1
??????
?
??
?
????????????
?
?
?
???????
?????
EE
d
Rd
c tgRR
R
r
式中
二、回转薄壳的薄膜应力
（2 ）回转壳体的无力矩理论( 续)
图2 -20 常 用容器壳体的薄膜应力与变形受力图
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
实际容器的壳体必须在特定的形状、受载和边界
条件下可能达到的无矩应力状态。一般而言，要
使壳体中只产生薄膜内力的边界条件更难实现。
如在壳体边缘附近，因壳体经线曲率急剧变化而
存在明显的弯曲变形，壳体中不仅有薄膜内力还
存在不可忽略的弯曲内力，因此在壳体的应力分
析中必须加以考虑。
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
(一 )圆柱壳轴对称弯曲问题的基本方程
1、内力分量
当圆柱壳受轴对称载荷
Pz=pz(x)，壳体中将产生
薄膜内力 Nx和 Nθ，因存
在弯曲变形，还存在弯曲内
力 Qx,Mx,Mθ。
Nx,Mx,Qx沿纵轴方向连
续分布，且与 θ无关,Mθ
Nθ沿圆周方向没有增量。
图 2-21 圆柱壳中微元的
内力分量
x
R
R
Z
?
N
?
N
z
p
x
N
x
M
y
x
Q
?d
dx
dx
dM
M
x
x
?
dx
dx
dN
N
x
x
?
dx
dx
dQ
Q
x
x
?
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
(一 )圆柱壳轴对称弯曲问题的基本方程
2、基本方程
（ 1）力平衡方程
在轴对称载荷下：
因此，只有三个平衡方程需要满足：
?
? ?
?
0;0
,,
,,
zyx
zyx
M
F 392 ?
402 ?
? ? ? ??? 0,0,0 zxy MMF
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
(一 )圆柱壳轴对称弯曲问题的基本方程
2、基本方程
0
2
22
si n2:0
0
2
si n2:0
0:0
??
?
?
?
?
?
????????
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
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???????
?????
?
?
?
?
? ?
??????
????
?
?
?
dx
d x R dPzdxRddx
dx
d Q x
Qx
dxd
dxNRddx
dx
d M x
M
d x R dPz
d
dxNRddx
dx
dQ
F
Rddx
dx
dN
F
y
x
z
x
x
412 ?
422 ?
432 ?
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
(一 )圆柱壳轴对称弯曲问题的基本方程
2、基本方程
（ 1）力平衡方程
略去高阶项，并化简：
0
0
0
??
??
?
x
x
z
xx
x
Q
dx
dM
P
R
N
dx
dQ
dx
dN
＋
442 ?
452 ?
462 ?
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
图2 - 2 2 圆柱壳变形的几何关系
?
? ?
?
0;0
,,
,,
zyx
zyx
M
F 392 ?
402 ?
? ? ? ??? 0,0,0 zxy MMF
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
（ 2）几何方程
圆柱壳中面的正应变：
微元在弯曲变形的情况下，离开中面距离为 z的点 a1
的位移 (u)z和 (w)z与中面上对应点 a的位移 u和 w有以
下关系：
R
w
dx
du
x
?
?
?
??
?
?
???
??
?
472 ?
? ?
? ? wzw
dx
dw
zuu z
??
?
?
?
?
??
482 ?
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
（ 2）几何方程
将（ b）式代入（ a）式，并将其中的 R变为 R＋ z，
得到 z处的应变与位移的关系：
进一步整理，得：
? ?
? ?
? ?
? ?
1
1
2
2
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
?
???
????
?
R
w
R
zR
w
zR
w
dx
wd
z
dx
du
dx
ud
z
z
z
zx
492 ?
? ?
? ?
dx
wd
z
z
xzx
?
?
?
?
?
???
????
??
2
2
502 ?
三,圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
（ 3）物理方程：
圆柱壳中距中面 z任一点的应力与应变为：
? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ?? ?
E
E
zxzz
zzxzx
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
????
??
??
??
?
1
1
512 ?
? ?
? ?
522
1
1
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?????
??
??
?
?
?
?
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?
???
??
??
?
dx
wzd
dx
du
R
wE
R
w
dx
wd
z
dx
duE
z
zx
解之得
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
图2 - 2 3 圆柱壳微元应力的合力
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? zdzM
zdzdz
R
z
zM
dzN
dzdz
R
z
N
t
t
z
t
t
t
t
zxzxx
t
t
z
t
t
t
t
zxzxx
?
?
?
?
?
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2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
532 ?
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
（ 4）位移微分方程：
圆柱壳中面的正应变：
? ? ? ?
? ?
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? ? zdzM
zdzdz
R
z
zM
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dzdz
R
z
N
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t
z
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t
t
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zxzxx
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t
z
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t
t
t
zxzxx
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532 ?
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
3、应力分析结果
4 44
4
x
z N
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Pw
dx
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542 ?
3
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x
x
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552 ?
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
3、应力分析结果
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wd ?
?
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
4、应力计算
圆柱壳轴对称弯曲的应力计算公式：
4
6
0
12
12
2
2
3
3
3
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z
t
t
Qx
z
t
M
t
N
z
t
M
t
N
x
z
y
xx
x
562 ?
第一节 容器壳体的应力分析
第二节 圆平板中的应力
第三节 内压薄壁容器的设计计算
第四节 法兰
第一节 容器壳体的应力分析
一、压力容器的载荷与应力
二、回转薄壳的薄膜应力
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
四、压力容器的不连续应力分析
五、圆柱壳受边缘力和边缘力矩的弯
曲解
一、压力容器的载荷与应力
（ 1）压力容器所受载荷
a.压力载荷：均布于容器壳体 ;
b.机械载荷：重力、支座反力、管道的推力 等 ;
c.热载荷,
一、压力容器的载荷与应力
(2)压力容器应力分析方法
解析法或数值法,
即以弹性、塑性等板壳理论为基础的精确数学
界或有限元法等数值解。但是对于工程实用的容
器，解析解和由它的导出的设计公式，在部分结
构上不能直接采用。
一、压力容器的载荷与应力
(2)压力容器应力分析方法
实验应力分析法：
包括电测法和光弹性法。对于复杂几何形
或受载条件的实际容器，它是一种有效的
应力分析方法，也是验证解析解或
数值计算结果的重要途径。
一、压力容器的载荷与应力
容器设计核心问题,
研究容器在外载荷作用下，有效抵抗变形和破坏
的能力，处理强度、刚度和稳定性问题，保证容
器的安全性和经济性。
二、回转薄壳的薄膜应力
（ 1）回转薄壁壳体基本概念
b,回转壳体的几何特性：
ii.经线与第一主曲率半径
对于回转壳，母线即经线，
经线 OA'上任意一点 a的曲率
半径称为第一主曲率半径，
以 R1表示，在图上为线段 O1A。
回转壳中面的几何参数
图2 -2 回 转壳中面的几何参数
二、回转薄壳的薄膜应力
（ 1）回转薄壁壳体基本概念
a,薄壁壳体的特征,平面应力问题
b,回转壳体的几何特性,
i.轴对称
回转壳的中面是回转曲面，它是
由一根平面曲线绕一根在曲线平
面内的定轴旋转而成，这一根曲
线称为母线。
图2 -2 回 转壳中面的几何参数
二、回转薄壳的薄膜应力
（ 1）回转薄壁壳体基本概念
b,回转壳体的几何特性：
iii.纬线与第二主曲率半径
过点 a与经线垂直的平面切割中面也形成了一曲
线，此曲线在 a点的曲率半径称为第二主曲率半径，
以 R2表示，它等于该点法线上由中面到旋转轴的
距离,O2A。
二、回转薄壳的薄膜应力
（ 1）回转薄壁壳体基本概念
b,回转壳体的几何特性：
iv.平行圆与平行圆半径
垂直与回转轴的平面与中面的交线为相互平行的
圆，称为平行圆，该圆的半径称为平行圆半径，
以 r表示。
二、回转薄壳的薄膜应力
（ 1）回转薄壁壳体基本概念
c.轴对称问题：
i.几何轴对称
常见容器壳体的一个重要几何
特征就是其中面由一条平面曲线或
直线绕同平面内的轴线回转而成，
这种壳体称为“回转壳”。
ii.载荷轴对称
载荷轴对称就是指壳体任意横截面上的载荷对称于
回转轴，但是沿轴向方向的载荷可以按任意规化。
二、回转薄壳的薄膜应力
（ 1）回转薄壁壳体基本概念
d.无力矩理论与有力矩理论：
i.有力矩理论
在壳体理论中，如果考虑
横向剪力 Qφ和弯矩 Mφ,Mθ,
这种理论称为“有力矩理论”
二、回转薄壳的薄膜应力
图2-4 无力矩 理论
（ 1）回转薄壁壳体基本概念
d.无力矩理论与有力矩理论：
ii.无力矩理论
对于部分容器，在某些特定
的壳体形状，载荷和支撑条
件下，其弯曲内力与薄膜内
力相比很小可以忽略不计，
此时，壳体的应力状况仅由
法向力 Nφ Nθ决定，称为
“无力矩理论”。
二、回转薄壳的薄膜应力
（ 2）回转壳体的无力矩理论
a,壳体微元及其内力分量
对于微元 abcd，
经线弧长,ab＝ R1d
平行圆弧长,ac=rd
微元面积,dA= R1d × rd
微元法向受力,Pz× dA
ac边受力,N × rd
bd边受力,(N +dN /d )(r+dr/d )
ab,cd边受力,N × R1d
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
二、回转薄壳的薄膜应力
(2)回转壳 体的无力矩理论
b,力平衡 方程,∑ F x,y,z =0; (2-1)
∑ M x,y,z =0 (2-2)
由∑ F z =0,得：
(2-3)
整理得,
(2-4)
0
2
co ssin
2
sin2sin
11
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?
?
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d
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d
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rd
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N
z
z
P
R
N
R
N
???
?
?
21
壳体微元及其内力分量
图2 -5 壳 体微元及其内力分量
二、回转薄壳的薄膜应力
2)回转壳体的无力矩理论
b,力平衡方程,∑Fx,y,z=0; (2-1)
∑Mx,y,z=0 (2-2)
由 ∑Fz =0,得：
整理得：
以上两式是回转薄壳无力矩理论的轴对称问题的两个基本方程。
0cos
2
s in2
cos
1
????
?
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d
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rdNddd
d
dr
rd
d
dN
N
? ? 0c o s1 ???? ?? RNrNdd
二、回转薄壳的薄膜应力
(2)回转壳体的无力矩理论
较为简便的方法是以 φ角,确定的
平行圆以上的有限壳体的平衡条件
代替原来的微圆平衡条件。
式 2-4变化为
截取壳体上部，求力平衡,
222
1
RpRRNN ??? ??
???????? ??? sin2cos20 1 rNdRrPF z
二、回转薄壳的薄膜应力
(2)回转壳体的无力矩理论
对于具体问题，可按下图所示
0～ φ截取的部分壳体。
i.由竖直方向的力平衡关系，直接求得 F.
ii.利用上式确定
iii.通过式 2-4确定
??
二、回转薄壳的薄膜应力
(3)薄壁容器的薄膜应力
对于薄壁容器，应力沿壳体壁厚方向均匀
分布：
所以：
用, 表示方程 2-5,2-7：
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
t
N
t
N
＝
(2 - 8)
为壳体的厚度
为周向薄膜应力
为径向薄膜应力
t
?
?
?
?
?? ??
s in2
21
????
??
?
??
trF
t
P
RR
z＝－＋ (2 - 9)
(2 - 1 0)
二、回转薄壳的薄膜应力
五 )无力矩理论的应用条件
实现无力矩应力状态，壳体的几何形状、加载方式
和边界条件必须满足以下三个条件：
（ 1）壳体的厚度、曲率与载荷没有突变，构成同一
壳体的材料物理性能（如 E,等）相同。对于
集中载荷区域附近无力矩理论不能适用；
（ 2）壳体的边界处不能有垂直于壳面法向力和力矩
的作用；
（ 3）壳体边界处只可有沿经线切线方向的约束，
边界处转角与挠度不应受到约束。
二、回转薄壳的薄膜应力
例 1、球形容器。
球形容器的壳体受均匀内压 p 作用，且因球壳
几何形状对称于球心,R1=R2=R，代入方程 2-9，
2-10得：
? 图 2-7
? 承受内压
? 的球壳
t
pR
2＝＝＝ ?? ??? (2 - 1 1)
二、回转薄壳的薄膜应力
例2、圆柱形容 器
对于圆柱形容器,R 1 =∞，R 2 =R，代入方程
2-9，2-10,得：
t
pR
t
pR
＝
＝
?
?
?
?
2
(2 - 12)
(2 - 13)
图2-8 承受内 压的圆柱壳
二、回转薄壳的薄膜应力
例3,圆锥形容器
对于圆锥形容器，R 1= ∞，R2 =xt gα,
α为板锥顶角，代入方程2 -9,2 -10 得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
c os
c os222
2
t
pr
x
t
ptg
t
pr
x
t
ptg
t
pR
＝
＝＝ (2 - 14)
(2 - 15)
图2- 9 承 受内压的圆锥壳
二、回转薄壳的薄膜应力
例4、椭 圆形容器
1,求 R 1,R 2
对于椭圆形容器，R 1 和R 2 沿经线
各点变化，由椭圆曲线方程：
ya
b
y
ya
xb
xaa
bx
y
xa
a
b
y
b
y
a
x
?????
??
?
?
???
??????
32
4
2
2
22
22
2
2
2
2
1
(2 - 16) 图2 -10 承受内压的椭球壳
二、回转薄壳的薄膜应力
例4、椭圆形容 器
? ?
? ?? ?
y
y
R
b
xbya
xlR
xa
b
a
y
x
l
l
x
ytg
??
??
?
?
???
???
?
??????
23
2
2
21
2424
222
22
1
1由微分知：
所以：
有图可知：
(2 - 17)
(2 - 18)
(2 - 19)
图2-10 承受 内压的椭球壳
二、回转薄壳的薄膜应力
例4,椭圆形容器
将 R 1,R 2 代入方程2- 9,2- 10
得：
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
1
2
2
21
2424
2
2
22
R
R
tb
xbyap
t
pR
＝
＝＝ (2 - 20)
(2 - 21)
图2 -1 0 承 受内压的椭球壳
二、回转薄壳的薄膜应力
例4、椭圆形容器
应力分析：
壳体应力：
在壳体赤道上：
壳体应力：
在壳体顶点,? ? ????
2
21
,0
b
a
RRbyx,
????
??
2
2 bt
pa
? ? ????
2
2
1
,,0,aR
a
b
Ryax
?
?
2 t
pa
＝
(2 - 22)
?
?
?
?
?
?
?
?
???
? 2
2
2
1
b
a
t
pa
(2 - 23) 图2-10 承 受内压的椭球壳
二、回转薄壳的薄膜应力
例 4、椭圆形容器
结论：椭球壳承受均匀内压
时，在任何 a/b值下,恒为正
值，即为拉伸应力，且由顶点
处最大值,向赤道逐渐递减致
最小值，
应力将变号，即从拉应力变成
压应力。
图2-1 2 a/b =1,4的 椭球壳中的应力
二、回转薄壳的薄膜应力
例 4、椭圆形容器
结论 (续 )：赤道附近压缩应力
随 a/b值的增加而迅速增大，
应此对于 a/b>2.5的大直径薄壁
封头，因压缩应力过大，可能发
生弹性或塑性内压失稳（沿径向
出现周向皱纹）或塑性压溃。在
容器的液压试验中，要提防发生
这类失效。
`
图2 -1 3 a /b =3的 椭球壳中的应力
二、回转薄壳的薄膜应力
例 4、椭圆形容器
结论 (续 ),化工容器常用 a/b=2
的标准椭圆形封头，此时的 数值
在顶点和赤道处大小相等但符号相
反。即顶点处为 pa/t，赤道上为
-pa/t，而 一定是拉伸应力，在
顶点处到达最大值，为 pa/t。
图2-14 a/b=2 的椭球壳中的应力
二、回转薄壳的薄膜应力
例4,椭圆形容器
下图是三种不同的a / b 比值的 和 值 ? ???
图2-11 不同椭球度(m=a/b)时椭球 壳内的应力分 布
二、回转薄壳的薄膜应力
例5,圆筒形贮液罐
对 于液面下容器上的任一点，R 1 =∞,R 2 =R,
介 质压力：
壳 体上应力
2
???
? ?? ?hHPPz ?????
0
(2 - 24)
? ?? ?
t
RhHp
t
Rp
oz
???
???
?
2
＝ (2 - 25)
图2-15 圆 筒形储液槽
圆筒型储液罐
二、回转薄壳的薄膜应力
例5、圆 筒形贮液罐
求 时，按 下图所示从A- A处截开,
考察上半部壳体的平衡，则作用在这
部分壳体上载荷的垂直合力为
对于敞口的储液罐，则p 0 =0,
故 = 0，而
?
?
0
2
pRF ??
t
Rp
Rt
F
o
22
＝＝
?
?
?
?
?
t
RhH )( ??
??
?
(2 - 26)
图2 - 1 6 截开的圆筒形储液槽
二、回转薄壳的薄膜应力
例6,球形贮液罐
设 液体的重量为r,则 作用在角上壳体上任一点
液体静压力为
该压力作用在A-A以 上部分球壳上合力的竖直分量
F为
)]cos1([ ???? rRp
Z
)]cos
3
2
1(cos
2
1
6
1
[2
cos2
23
?????
?????
?
?
?
rR
dRrpF
Z
(2 - 27)
图2 -17 球形储液罐
球形储液罐
二、回转薄壳的薄膜应力
例6、球形贮液罐
)
co s1
co s2
co s65(
6
)
co s1
co s2
1(
6
22
22
??
?
?????
??
?
???
?
?
t
rR
t
rR
(2 - 28)
(2 - 29)
图2 -17 球 形储液罐
二、回转薄壳的薄膜应力
例6、球 形贮液罐
对于A-A以下 的部分壳体
图2 -17 球形储液罐
302)]cos
3
2
1(cos
2
1
6
1
[2
3
4
233
??????????? RRF
322)
co s1
co s2
co s61(
6
312)
co s1
co s2
5(
6
22
22
?
??
?
???
?
??
?
??
?
?
?
??
?
?
t
R
t
R
据此可得到：
二、回转薄壳的薄膜应力
例 6、球形贮液罐
比较两式：表明，在支承环处,和 不连续，而
在支承处的突变表明，在平行圆 A-A两边存在着
膨胀的突变。
可以预料，在支环附近有局部弯曲发生，以保持应
力与位移的连续性，因此不能用无力矩理论计算支
撑处应力，必须用有力矩理论。
二、回转薄壳的薄膜应力
（ 2）回转壳体的无力矩理论 (续 )
d.薄膜容器的薄膜变形
i.变形的几何描述
回转壳在均匀力作用下，将产生对称轴线
变形。在小变形的情况下，壳体中面上
的位移可分解为 u径向位移和 w法向位移两个分量。
线段 ab的长度的改变量为,
332)( ??????
?
??? dud
d
duul
二、回转薄壳的薄膜应力
（2）回 转壳体的无力矩理论(续)
d.薄 膜容器的薄膜变形
平行圆在a点的 半径增量为：
平行圆周向应变和径向应变分别为
图2 -18 回 转壳中面的变形(a )
?????? sincos wur
342)(
1
11
???
?
?
?
?
??
?
d
du
RdR
l
352)(
1
2
?????
?
wuctg
R
二、回转薄壳的薄膜应力
（2） 回转壳体的无力矩理论(续 )
d.薄 膜容器的薄膜变形
经线发生的转角
的 正负号规定如下:
平行圆半径增大,为 正，
反之为负，转角 以 回转轴左侧
的经线为准，逆时针转动为正，反之为负。
图2 -1 9 回转壳中面的变形(b ) (c )
362)(
1
2
?
?
?
???????
d
d
u
R
wu
?? 与r
? r
?
二、回转薄壳的薄膜应力
（2） 回转壳体的无力矩理论(续 )
d,薄膜容器的薄膜变形
ii.平 行圆径向位移和转角
图2-19 回 转壳中面的变形(b)(c )
)(
1
),(
1
382]
)(
)[(
1
372
2
21
1
??????
?
??
?
????????????
?
?
?
???????
?????
EE
d
Rd
c tgRR
R
r
式中
二、回转薄壳的薄膜应力
（2 ）回转壳体的无力矩理论( 续)
图2 -20 常 用容器壳体的薄膜应力与变形受力图
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
实际容器的壳体必须在特定的形状、受载和边界
条件下可能达到的无矩应力状态。一般而言，要
使壳体中只产生薄膜内力的边界条件更难实现。
如在壳体边缘附近，因壳体经线曲率急剧变化而
存在明显的弯曲变形，壳体中不仅有薄膜内力还
存在不可忽略的弯曲内力，因此在壳体的应力分
析中必须加以考虑。
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
(一 )圆柱壳轴对称弯曲问题的基本方程
1、内力分量
当圆柱壳受轴对称载荷
Pz=pz(x)，壳体中将产生
薄膜内力 Nx和 Nθ，因存
在弯曲变形，还存在弯曲内
力 Qx,Mx,Mθ。
Nx,Mx,Qx沿纵轴方向连
续分布，且与 θ无关,Mθ
Nθ沿圆周方向没有增量。
图 2-21 圆柱壳中微元的
内力分量
x
R
R
Z
?
N
?
N
z
p
x
N
x
M
y
x
Q
?d
dx
dx
dM
M
x
x
?
dx
dx
dN
N
x
x
?
dx
dx
dQ
Q
x
x
?
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
(一 )圆柱壳轴对称弯曲问题的基本方程
2、基本方程
（ 1）力平衡方程
在轴对称载荷下：
因此，只有三个平衡方程需要满足：
?
? ?
?
0;0
,,
,,
zyx
zyx
M
F 392 ?
402 ?
? ? ? ??? 0,0,0 zxy MMF
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
(一 )圆柱壳轴对称弯曲问题的基本方程
2、基本方程
0
2
22
si n2:0
0
2
si n2:0
0:0
??
?
?
?
?
?
????????
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
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??
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?
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dx
d x R dPzdxRddx
dx
d Q x
Qx
dxd
dxNRddx
dx
d M x
M
d x R dPz
d
dxNRddx
dx
dQ
F
Rddx
dx
dN
F
y
x
z
x
x
412 ?
422 ?
432 ?
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
(一 )圆柱壳轴对称弯曲问题的基本方程
2、基本方程
（ 1）力平衡方程
略去高阶项，并化简：
0
0
0
??
??
?
x
x
z
xx
x
Q
dx
dM
P
R
N
dx
dQ
dx
dN
＋
442 ?
452 ?
462 ?
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
图2 - 2 2 圆柱壳变形的几何关系
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,,
zyx
zyx
M
F 392 ?
402 ?
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三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
（ 2）几何方程
圆柱壳中面的正应变：
微元在弯曲变形的情况下，离开中面距离为 z的点 a1
的位移 (u)z和 (w)z与中面上对应点 a的位移 u和 w有以
下关系：
R
w
dx
du
x
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dx
dw
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482 ?
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
（ 2）几何方程
将（ b）式代入（ a）式，并将其中的 R变为 R＋ z，
得到 z处的应变与位移的关系：
进一步整理，得：
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1
1
2
2
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R
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z
z
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2
2
502 ?
三,圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
（ 3）物理方程：
圆柱壳中距中面 z任一点的应力与应变为：
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E
E
zxzz
zzxzx
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R
w
dx
wd
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dx
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z
zx
解之得
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
图2 - 2 3 圆柱壳微元应力的合力
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zdzdz
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2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
532 ?
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
（ 4）位移微分方程：
圆柱壳中面的正应变：
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zdzdz
R
z
zM
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2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
532 ?
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
3、应力分析结果
4 44
4
x
z N
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542 ?
3
3
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2
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x
x
x
552 ?
三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
3、应力分析结果
4 44
4
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三、圆柱壳轴对称问题的有力矩理论
4、应力计算
圆柱壳轴对称弯曲的应力计算公式：
4
6
0
12
12
2
2
3
3
3
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562 ?
