普通测量学
单位：山东省农业管理干部学院农管系
作者：房元勋
电话,0531-8117779,13156110662
Email:Fangyuanxun@eyou.com
第
五
章
测
量
误
差
基
本
知
识
? 5.1 测量误差概述
? 5.2 衡量精度的标准
? 5.3 误差传播定律
? 5.4 算术平均值及其中误差
? 5.5 用观测值的改正数计算中误差
5.
1
测
量
误
差
概
述
测量工作中，尽管观测者按照
规定的操作要求认真进行观测，但
在同一量的各观测值之间，或在各
观测值与其理论值之间仍存在差异。
例如，对某一三角形的三个内角进
行观测，其和不等于 180° ；又如
所测闭合水准路线的高差闭合差不
等于零等，这说明观测值中包含有
观测误差。研究观测误差的来源及
其规律，采取各种措施消除或减小
其误差影响，是测量工作者的一项
主要任务。
? 5.1.1 测量误差产生的原因
? 5.1.2 测量误差的分类及特性
5.
1.
1
测
量
误
差
产
生
的
原
因
1
? 测量仪器
? 每种仪器有一定限度的精密程度，因
而观测值的精确度也必然受到一定的
限度。同时仪器本身在设计、制造、
安装、校正等方面也存在一定的误差，
如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。
? 观测者
? 由于观测者感觉器官鉴别能力有一定
的局限性，在仪器安置、照准、读数
等方面都产生误差。同时观测者的技
术水平、工作态度及状态都对测量成
果的质量有直接影响。
? 外界条件
? 观测时所处的外界条件，如温度、湿
度、大气折光等因素都会对观测结果
产生一定的影响。外界条件发生变化，
观测成果将随之变化。
5.
1.
1
测
量
误
差
产
生
的
原
因
2
? 仪器、观测者和外界环境统称为
观测条件
? 观测条件相同的称为等精度观测
? 观测条件不同的称为非等精度观测
5.
1.
2
测
量
误
差
的
分
类
及
特
性=
系
统
误
差
系统误差
? 在相同的观测条件下作一系列观测，
若误差的大小及符号表现出系统性，
或按一定的规律变化，那么这类误
差称为系统误差。
? 特性
? 等值性
? 累加性
? 同号性
? 消除或者减弱方法
? 计算改正
? 合适的观测方法
? 中间法
? 盘坐盘右取平均值
? 对仪器进行检验和校正
5.
1.
2
测
量
误
差
的
分
类
及
特
性=
偶
然
误
差
偶然误差
? 在相同的观测条件下，对某量进行多
次观测，若误差在数值和符号上均不
相同或从表面看没有规律性，即为偶
然误差。
?特性
? 有界性：在一定的观测条件下，多次观测
值产生的偶然误差不会超过一定的限值；
? 单峰性：绝对值较小的误差比绝对值较大
的误差出现的频率大；
? 对称性：绝对值相等的正负误差出现的频
率相等；
? 抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误
差的算术平均值取近于零。
? 消除或者减弱的方法,平差处理
5.
2
衡
量
精
度
的
标
准
观测值中所包含的偶然误差
的大小说明了观测精度的高低。
偶然误差又称为真误差，其值为
某量的观测值与其真值的差值，
即
Δi = li － X
? 5.2.1平均误差：
? 5.2.2中误差：
? 5.2.3允许误差：
? 5.2.4相对误差：
5.
2.
1
平
均
误
差
? 可以取真误差绝对值的平均值来衡
量观测值的精度。
? ?
nn
n ????????? ?21?
5.
2.
2
中
误
差
? 取真误差平方和的平均值的平方根
来衡量观测值的精度。
? 当真值未知时，用观测值的改正数
计算
? ?
n
m
??
??
? ?
1?
??
n
vv
m
5.
2.
3
允
许
误
差
? 取中误差的两倍或三倍作为允许
（极限）误差。
Δ允 = 2 m 或 Δ允 = 3 m
5.
2.
4
相
对
误
差
? 当误差大小与观测值本身有关时，
应用相对误差表示。其值是中误差
的绝对值与观测值的比值，以分子
为 1的分数形式表示
5.
3
误
差
传
播
定
律
1
设有一般函数 Z=f (x1,x2,…,x n)。
其中,x1,x2,…,x n是相互独立的
观测值，其中误差分别为 m1,m2,
m3 …,m n。当 x1,x2,…,x n 的真误
差分别为 Δx1,Δx2,…,Δxn时，函
数 Z的真误差为 Δz。对函数求偏导，
并用 Δz代替 dz,用 Δx代替 dx 。即
得
对上式用误差传播定律得
n
n
xx zxx zxxzz ?????????????? ?2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
211 nxnxxz
m
x
zm
x
zm
x
zm
???
?
???
?
?
???
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
?? ?
5.
3
误
差
传
播
定
律
2
? 5.3.1 倍数函数
?函数形式,Z=k x
?误差传播公式,mZ=k mx
? 5.3.2 和差函数
?函数形式,Z=x1 ? x2 ? … ? xn
?误差传播公式：
?mZ= m1 +m2 + …+m n
? 5.3.3 一般线性函数
?函数形式,Z= k1x1 ? k2x2 ? … ? knxn
?误差传播公式：
?mZ2= (k1m1) 2+ ( k2m2 ) 2 + … ( + knmn ) 2
5.
4
算
术
平
均
值
? 算术平均值：对某量进行多次观测
后取算术平均值。
? 算术平均值中误差
? ?
n
l
n
lll
x n ?
???
?
?21
n
m
M ?
5.
5
用
观
测
值
改
正
数
计
算
中
误
差
? ?
1?
??
n
vv
m
5.
5
用
观
测
值
改
正
数
计
算
中
误
差=
实
例
次序 观测值 m v mm [vv] 计算
1 119.913 +5 25 L=119.918
2 119.918 0 0
3 119.925 -7 49
4 119.920 -2 4
5 119.912 +6 36
6 119.920 -2 4
Σ 0 118
mmm 9.416118 ?????
mmmm L 0.26 ???
主
要
参
考
资
料
? 书籍
?, 测量学,,合肥工业大学等合编,1993
?, 建筑工程测量,,李生平,2003
?, 工程测绘技术,,梁勇等,2000
? Internet资源
? 国土资源部 http://www.mlr.gov.cn/
? 国家测绘局 http://www.sbsm.gov.cn/
? 中国测绘科学研究院 http://www.casm.ac.cn/
? 武汉大学测绘学院 www.sgg.whu.edu.cn/
? 南方测绘 http://www.southsurvey.com/
? 山东大学，测量学课件
? 福州大学，测量学教学网站
? 集美大学，测量学与地图学课件
? 测量规范
单位：山东省农业管理干部学院农管系
作者：房元勋
电话,0531-8117779,13156110662
Email:Fangyuanxun@eyou.com
第
五
章
测
量
误
差
基
本
知
识
? 5.1 测量误差概述
? 5.2 衡量精度的标准
? 5.3 误差传播定律
? 5.4 算术平均值及其中误差
? 5.5 用观测值的改正数计算中误差
5.
1
测
量
误
差
概
述
测量工作中，尽管观测者按照
规定的操作要求认真进行观测，但
在同一量的各观测值之间，或在各
观测值与其理论值之间仍存在差异。
例如，对某一三角形的三个内角进
行观测，其和不等于 180° ；又如
所测闭合水准路线的高差闭合差不
等于零等，这说明观测值中包含有
观测误差。研究观测误差的来源及
其规律，采取各种措施消除或减小
其误差影响，是测量工作者的一项
主要任务。
? 5.1.1 测量误差产生的原因
? 5.1.2 测量误差的分类及特性
5.
1.
1
测
量
误
差
产
生
的
原
因
1
? 测量仪器
? 每种仪器有一定限度的精密程度，因
而观测值的精确度也必然受到一定的
限度。同时仪器本身在设计、制造、
安装、校正等方面也存在一定的误差，
如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。
? 观测者
? 由于观测者感觉器官鉴别能力有一定
的局限性，在仪器安置、照准、读数
等方面都产生误差。同时观测者的技
术水平、工作态度及状态都对测量成
果的质量有直接影响。
? 外界条件
? 观测时所处的外界条件，如温度、湿
度、大气折光等因素都会对观测结果
产生一定的影响。外界条件发生变化，
观测成果将随之变化。
5.
1.
1
测
量
误
差
产
生
的
原
因
2
? 仪器、观测者和外界环境统称为
观测条件
? 观测条件相同的称为等精度观测
? 观测条件不同的称为非等精度观测
5.
1.
2
测
量
误
差
的
分
类
及
特
性=
系
统
误
差
系统误差
? 在相同的观测条件下作一系列观测，
若误差的大小及符号表现出系统性，
或按一定的规律变化，那么这类误
差称为系统误差。
? 特性
? 等值性
? 累加性
? 同号性
? 消除或者减弱方法
? 计算改正
? 合适的观测方法
? 中间法
? 盘坐盘右取平均值
? 对仪器进行检验和校正
5.
1.
2
测
量
误
差
的
分
类
及
特
性=
偶
然
误
差
偶然误差
? 在相同的观测条件下，对某量进行多
次观测，若误差在数值和符号上均不
相同或从表面看没有规律性，即为偶
然误差。
?特性
? 有界性：在一定的观测条件下，多次观测
值产生的偶然误差不会超过一定的限值；
? 单峰性：绝对值较小的误差比绝对值较大
的误差出现的频率大；
? 对称性：绝对值相等的正负误差出现的频
率相等；
? 抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误
差的算术平均值取近于零。
? 消除或者减弱的方法,平差处理
5.
2
衡
量
精
度
的
标
准
观测值中所包含的偶然误差
的大小说明了观测精度的高低。
偶然误差又称为真误差，其值为
某量的观测值与其真值的差值，
即
Δi = li － X
? 5.2.1平均误差：
? 5.2.2中误差：
? 5.2.3允许误差：
? 5.2.4相对误差：
5.
2.
1
平
均
误
差
? 可以取真误差绝对值的平均值来衡
量观测值的精度。
? ?
nn
n ????????? ?21?
5.
2.
2
中
误
差
? 取真误差平方和的平均值的平方根
来衡量观测值的精度。
? 当真值未知时，用观测值的改正数
计算
? ?
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??
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? ?
1?
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n
vv
m
5.
2.
3
允
许
误
差
? 取中误差的两倍或三倍作为允许
（极限）误差。
Δ允 = 2 m 或 Δ允 = 3 m
5.
2.
4
相
对
误
差
? 当误差大小与观测值本身有关时，
应用相对误差表示。其值是中误差
的绝对值与观测值的比值，以分子
为 1的分数形式表示
5.
3
误
差
传
播
定
律
1
设有一般函数 Z=f (x1,x2,…,x n)。
其中,x1,x2,…,x n是相互独立的
观测值，其中误差分别为 m1,m2,
m3 …,m n。当 x1,x2,…,x n 的真误
差分别为 Δx1,Δx2,…,Δxn时，函
数 Z的真误差为 Δz。对函数求偏导，
并用 Δz代替 dz,用 Δx代替 dx 。即
得
对上式用误差传播定律得
n
n
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2
1
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3
误
差
传
播
定
律
2
? 5.3.1 倍数函数
?函数形式,Z=k x
?误差传播公式,mZ=k mx
? 5.3.2 和差函数
?函数形式,Z=x1 ? x2 ? … ? xn
?误差传播公式：
?mZ= m1 +m2 + …+m n
? 5.3.3 一般线性函数
?函数形式,Z= k1x1 ? k2x2 ? … ? knxn
?误差传播公式：
?mZ2= (k1m1) 2+ ( k2m2 ) 2 + … ( + knmn ) 2
5.
4
算
术
平
均
值
? 算术平均值：对某量进行多次观测
后取算术平均值。
? 算术平均值中误差
? ?
n
l
n
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?21
n
m
M ?
5.
5
用
观
测
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计
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中
误
差
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m
5.
5
用
观
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值
改
正
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中
误
差=
实
例
次序 观测值 m v mm [vv] 计算
1 119.913 +5 25 L=119.918
2 119.918 0 0
3 119.925 -7 49
4 119.920 -2 4
5 119.912 +6 36
6 119.920 -2 4
Σ 0 118
mmm 9.416118 ?????
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主
要
参
考
资
料
? 书籍
?, 测量学,,合肥工业大学等合编,1993
?, 建筑工程测量,,李生平,2003
?, 工程测绘技术,,梁勇等,2000
? Internet资源
? 国土资源部 http://www.mlr.gov.cn/
? 国家测绘局 http://www.sbsm.gov.cn/
? 中国测绘科学研究院 http://www.casm.ac.cn/
? 武汉大学测绘学院 www.sgg.whu.edu.cn/
? 南方测绘 http://www.southsurvey.com/
? 山东大学，测量学课件
? 福州大学，测量学教学网站
? 集美大学，测量学与地图学课件
? 测量规范
