第五章 一阶电路
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
由电源和电阻器构成的电阻性网络，是用代数方
程来描述的，求解过程不涉及微分方程。
具有储能元件的电路为动态电路。动态电路用微
分方程来描述 。
含储能元件的电路在发生换路后，会从换路前的
稳定状态转换到换路后的稳定状态。这个过程，
称为过渡过程。
过渡过程的时间是极为短暂的，也常称这一过程
为瞬态过程。由于这短暂的过程对控制系统、计
算机系统、通讯系统后关系重大，所以将是我们
分析、讨论的重点。
换路,电路的接通、切断、短路、电路参数的突
然改变、电路连接方式的突然改变、电源输出的
突然改变等，通称为换路。
换路定则,网络在 t0时换路，换路后的 t0+,
对 C：只要 |iC|≤M(有限量 ),vC不会跳变；
对 L：只要 |vL|≤M(有限量 ),iL不会跳变。
电路的初始条件,t = t0+ 时电路变量的值称为电
路的初始状态，这些初始状态也就是求解该电路
的微分方程所必需的初始条件。因此，确定电路
的初始条件是很重要的。
电路初始条件求取：电路在任一瞬
间都遵循 KCL,KVL、支路方程，
再借助置换定理，就能求得换路后
瞬间电路的初始条件。
C12SvV?4k 0t ?2kCv1i 2i
换路前电路视为稳态，直流输入时，
电容稳态为开路。 ? vC(0-)=12V。 C12SvV?
4k0t
?? (0 )Cv ?换路定则 vC(0+)= vC(0-)=12V
12SvV?4k 0t ?2k(0 )Cv ?1 (0 )i ? 2 (0 )i ?(0 )Ci ?1 32
3
12
( 0 )
( 0 ) 0
4
( 0 )
( 0 ) 6 10
2
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 6 10
SC
C
C
vv
i
k
v
iA
k
i i i A
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?
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?
?
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?
?
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?
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根据 KCL,KVL，置换定理
K闭合前电路处稳态，求 t=0
时 K闭合后的 vC(0+),iC(0+)、
iL(0+)和 vL(0+)
vC(0-)=4V=vC(0+),iL(0-)=0.2mA=iL(0+),运用替
代定理，有 t=0+时刻的电路 。
则有 vL(0+)=10-6-4=0,iC(0+)=0.2-0.3=-0.1mA
C10V30k20kLv 40kKCi??4V
10V30k20k40k0.2 mA
(0 ) 0Lv ? ?
( 0 ) ( 0 )CCd v i
d t C???
( 0 ) ( 0 )LLdi v
dt L???
在 t=0时换路的网络，换路前电路处
稳态，处在直流电源 VS的作用下，
t=0-时电容支路可视为开路，电感支
路用短路等效 。
12
(0 ) (0 ) SCL Vii RR??? ? ? ? ?
C1R2Li 0t?Civ CvSV1R2(0 )
Li ?(0 )Cv ?SV2R(0 )
Li ?(0Cv ?C
ivL 12( 0 ) SL Vi RR? ? ? 2
12
( 0 )CSRvVRR? ? ?
22
12
(0 )RSRvVRR? ? ?
仅由初始状态引起的响应称为零输入响应，
因为在这种情况下电路的输入为零；
仅由电路输入引起的响应称为零状态响应，
因为在这种情况下电路的初始状态为零；
由独立电源和电路的初始状态共同所引起
的响应，则称之为全响应。
线性定常一阶电路的零输入响应
v
c
( t )
t= 0 -
v
R
( t )
i
R
( t )
KK
V s = V 0
v
c
( t )v
c
( 0 ) = V
0
i
c
( t )
v
R
( t )
i
R
( t )
t > = 0
+
电路方程
0
00
( 0 )
C
C
C
dvR C v t
dt
vV
? ? ? ?? ???
?
? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??
…解 () st
Cv t ke?
特征方程 RCs+1=0 特征根 11s
RC ?? ? ? ?
电容器上的电压 ( ) 0tRC
Cv t k e t
?? ???? …
电容器上的电压
0 tT 2 T 3 T
v
c
( t )
V
0
0, 3 6 8 V
0
0 tT 2 T 3 T
i
R
( t )
V
0
/ R
0, 3 6 8 V
0
/ R
( ) 0tRCCv t k e t?? ???? …
式中 k是一个取决于初始条件的积分常数。应用 t＝ 0时
的初始条件 vC(0)=V0，有 k= V0, 求得,
0( ) 0
t
RCCv t V e t?? ???? … 0()( ) ( )tC RC
R
v t Vi t e u t
RR
???
时间常数 ?=RC：放电时间的长短与 C和 R有关。
RC具有时间量纲：欧法 =欧库 /伏 =欧安秒 /伏 =秒
每经过时间常数 ?电容电压或电流，衰减到原值
的 36.8%
当 t=4?~5?时，电容电压或电流，衰减到最初值的
1.84%~0.68%,工程中认为此时放电基本结束，
电路又处稳态。
1 ()
10
1
0
() 3 6, 8 %
()
t
RC
RC
t
RC
Vevt ee
vt Ve
? ?
?
??
? ?
?
? ? ? ? ?
时间常数 ? 越小，放电过程进行得越快，反之，
则越慢。
用图解法求电路的时间常数, 由电路方程
0
00
( 0 )
C
C
C
dvR C v t
dt
vV
? ? ? ?? ???
?
? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??
…
CCCd v v vd t RC ?? ? ? ?
()
C
C
v
dv
dt
? ?
?
可见，时间常数 ?等于 vC(t)
曲线上任一点的次切距。
? 0() tCv t V e ???1t 2tp?()Cvt0 t
特征根 s=-1/?=-1/RC具有频率的量纲，称电路
变量 vC的固有频率。
从 RC电路的零输入响应 vC的表达式可知,vC
的瞬时值取决电容上的初始电压 V0和电路的时
间常数 ?=RC
线性电路的零输入响应是初始条件的线
性函数。
当初始条件为定值时，零输入响应是时间的指
数函数。
对每个时间定值 T,TRCe ? ? 常数A,有 vC=Av0
例 一组 40μF的电容器，从高压电网上切除，切除
瞬间，电容器两端的电压为 3.5kV。 切除后，电容经本
身漏电电阻 Rs放电。今测得 Rs＝ 100MΩ,试求电容器
电压下降到 1kV所需的时间。
解 电容从高压电网切除的等效
电路如右图，电容器经漏电电阻
器 Rs放电，其电压逐步降低
33,5 1 0 tCve ???? 其中 ? =RsC =100?10
6?40?10-6=4000s
如果在 t=t1时 vC下降到 1000V,则有 133, 5 1 0 1 0 0 0teV????
解得 t1= ln3.5× 4000=1.25× 4000=5000s
可见，电容虽与电源断开已逾 1小时，但还保持高达 1000V
电压。这样高的电压足以造成人身安全事故。
iKCSRSv
RL电路的零输入响应 iL,(根据对偶原理 ) i1
RK0V LvLiCiRv0t
??
RC电路,RL电路,
0
00
( 0 )
C
C
C
dvR C v t
dt
vV
? ? ? ?? ???
?
? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??
…
0( ) 0
t
RCCv t V e t?? ???? … 0( ) 0
R t
LLi t I e t?? ???? …
RC? ? LGL R? ??
亨 /欧 =韦 /欧安 =伏秒 /欧安 =秒
0
00
( 0 )
L
L
L
diG L i t
dt
iI
? ? ? ?? ???
?
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…
LCiRv0t ??
例 设图示电路中，开关在 t=0时打开，
此时流过电感器中的电流 i(0)=E/R1，试
求开关两端在打开瞬间的电压 vk(0)以及
R2上的电压 vR(t)。
解 t≥0的电路方程
特征根
用初始条件 i(0)=E/R1, 求得 k=E/R1, 有
解得
若 R2?R1，则开关打开瞬间，其两端间的电压会高于电
源电压 E许多倍，即有一个很高的冲击电压。
12( ) 0
diL R R idt ? ? ?
令 得特征方程 sti ke? 12 0RRs
L
??? 12RRs L???
1
t
TEieR ??
2
2
1
t
TR Rv R i E e
R
?? ? ? ? 2(1 )
1
t
TKR Rv E v E eR ?? ? ? ?
开关刚打开的瞬间 2
1
( 0 ) (1 )K RvE R??
KKvE122RRvi1L
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
由电源和电阻器构成的电阻性网络，是用代数方
程来描述的，求解过程不涉及微分方程。
具有储能元件的电路为动态电路。动态电路用微
分方程来描述 。
含储能元件的电路在发生换路后，会从换路前的
稳定状态转换到换路后的稳定状态。这个过程，
称为过渡过程。
过渡过程的时间是极为短暂的，也常称这一过程
为瞬态过程。由于这短暂的过程对控制系统、计
算机系统、通讯系统后关系重大，所以将是我们
分析、讨论的重点。
换路,电路的接通、切断、短路、电路参数的突
然改变、电路连接方式的突然改变、电源输出的
突然改变等，通称为换路。
换路定则,网络在 t0时换路，换路后的 t0+,
对 C：只要 |iC|≤M(有限量 ),vC不会跳变；
对 L：只要 |vL|≤M(有限量 ),iL不会跳变。
电路的初始条件,t = t0+ 时电路变量的值称为电
路的初始状态，这些初始状态也就是求解该电路
的微分方程所必需的初始条件。因此，确定电路
的初始条件是很重要的。
电路初始条件求取：电路在任一瞬
间都遵循 KCL,KVL、支路方程，
再借助置换定理，就能求得换路后
瞬间电路的初始条件。
C12SvV?4k 0t ?2kCv1i 2i
换路前电路视为稳态，直流输入时，
电容稳态为开路。 ? vC(0-)=12V。 C12SvV?
4k0t
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12SvV?4k 0t ?2k(0 )Cv ?1 (0 )i ? 2 (0 )i ?(0 )Ci ?1 32
3
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根据 KCL,KVL，置换定理
K闭合前电路处稳态，求 t=0
时 K闭合后的 vC(0+),iC(0+)、
iL(0+)和 vL(0+)
vC(0-)=4V=vC(0+),iL(0-)=0.2mA=iL(0+),运用替
代定理，有 t=0+时刻的电路 。
则有 vL(0+)=10-6-4=0,iC(0+)=0.2-0.3=-0.1mA
C10V30k20kLv 40kKCi??4V
10V30k20k40k0.2 mA
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在 t=0时换路的网络，换路前电路处
稳态，处在直流电源 VS的作用下，
t=0-时电容支路可视为开路，电感支
路用短路等效 。
12
(0 ) (0 ) SCL Vii RR??? ? ? ? ?
C1R2Li 0t?Civ CvSV1R2(0 )
Li ?(0 )Cv ?SV2R(0 )
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22
12
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仅由初始状态引起的响应称为零输入响应，
因为在这种情况下电路的输入为零；
仅由电路输入引起的响应称为零状态响应，
因为在这种情况下电路的初始状态为零；
由独立电源和电路的初始状态共同所引起
的响应，则称之为全响应。
线性定常一阶电路的零输入响应
v
c
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t= 0 -
v
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特征方程 RCs+1=0 特征根 11s
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式中 k是一个取决于初始条件的积分常数。应用 t＝ 0时
的初始条件 vC(0)=V0，有 k= V0, 求得,
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R
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时间常数 ?=RC：放电时间的长短与 C和 R有关。
RC具有时间量纲：欧法 =欧库 /伏 =欧安秒 /伏 =秒
每经过时间常数 ?电容电压或电流，衰减到原值
的 36.8%
当 t=4?~5?时，电容电压或电流，衰减到最初值的
1.84%~0.68%,工程中认为此时放电基本结束，
电路又处稳态。
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特征根 s=-1/?=-1/RC具有频率的量纲，称电路
变量 vC的固有频率。
从 RC电路的零输入响应 vC的表达式可知,vC
的瞬时值取决电容上的初始电压 V0和电路的时
间常数 ?=RC
线性电路的零输入响应是初始条件的线
性函数。
当初始条件为定值时，零输入响应是时间的指
数函数。
对每个时间定值 T,TRCe ? ? 常数A,有 vC=Av0
例 一组 40μF的电容器，从高压电网上切除，切除
瞬间，电容器两端的电压为 3.5kV。 切除后，电容经本
身漏电电阻 Rs放电。今测得 Rs＝ 100MΩ,试求电容器
电压下降到 1kV所需的时间。
解 电容从高压电网切除的等效
电路如右图，电容器经漏电电阻
器 Rs放电，其电压逐步降低
33,5 1 0 tCve ???? 其中 ? =RsC =100?10
6?40?10-6=4000s
如果在 t=t1时 vC下降到 1000V,则有 133, 5 1 0 1 0 0 0teV????
解得 t1= ln3.5× 4000=1.25× 4000=5000s
可见，电容虽与电源断开已逾 1小时，但还保持高达 1000V
电压。这样高的电压足以造成人身安全事故。
iKCSRSv
RL电路的零输入响应 iL,(根据对偶原理 ) i1
RK0V LvLiCiRv0t
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RC电路,RL电路,
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亨 /欧 =韦 /欧安 =伏秒 /欧安 =秒
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例 设图示电路中，开关在 t=0时打开，
此时流过电感器中的电流 i(0)=E/R1，试
求开关两端在打开瞬间的电压 vk(0)以及
R2上的电压 vR(t)。
解 t≥0的电路方程
特征根
用初始条件 i(0)=E/R1, 求得 k=E/R1, 有
解得
若 R2?R1，则开关打开瞬间，其两端间的电压会高于电
源电压 E许多倍，即有一个很高的冲击电压。
12( ) 0
diL R R idt ? ? ?
令 得特征方程 sti ke? 12 0RRs
L
??? 12RRs L???
1
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