第五章 一阶电路
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
线性定常一阶电路的零状态响应 Si KRCCv
零状态响应是电路在零初始
状态下，仅由电路的输入引
起的响应。
在 t=0时,vC(0)=0，仅由直流
电流源 is=I所引起的响应就是
零状态响应 。
若电路处零状态,is=Iu(t)为阶跃函数，所求的响
应就是阶跃响应。若 is=u(t)为单位阶跃函数，所
求的响应就是单位阶跃响应 s(t)。
SiRCCv
Si RCCv
0
()CvtRI0,6 3 2 RI
0,3 6 8 RI? RI?
CpvCv
Chvt稳态分量，强制分量
暂态分量，自由分量
电路方程
1 ( ) 0
(0 ) 0
C
CS
C
dvC v i t I t
d t R
v
? ? ? ? ??????
?
? ? ????????????????????????????????????
…
电路方程是一个非齐次线性微分方程。它的解为齐次
解与特解之和。
C h pv v v??
t
RChv ke?? pv RI?
t
RCCv k e R I???
由初始条件 ( 0 ) 0
Cv k R I? ? ? ?
得 k RI??
( ) (1 ) ( )tRCCv t R I e u t???
同样可得
()( ) (1 ) ( )tC RC
R
vti t I e u t
R
?? ? ?
( ) ( ) ( ) ( )tRCCRi t I u t i t I e u t?? ? ?
()SitI0t
由
可看成为两种波形的叠加。
就特解而言，是电路趋稳态后的
响应，称稳态分量；或认为是激
励源强迫其电压达到规定值，故
称强制分量。
() tRCCv t R I R Ie ???
就齐次解而言，当 t=4?~5?,可认为衰减结束, 所以称暂
态分量。暂态分量逐渐衰减的过程，就是电路逐渐趋于
稳定的过程；齐次解在随时间变化的规律上讲，只取决
于时间常数，而时间常数仅仅由网络的拓扑结构和元件
参数决定，与输入无关，因此也称自由分量。
0
()CvtRI0,6 3 2 RI
0,3 6 8 RI? RI?
CpvCv
Chv t稳态分量，强制分量
暂态分量，自由分量
线性定常一阶电路的零状态响应是输入的
线性函数。
对于任一确定时刻 t =T,
零状态响应算子
(1 )TRCRe ??? 常数A,所以,vC=Ais
0 ()tsZi
is：输入
t0：电路在时 t0处零状态；输入在 t0时加入
Z,零状态响应
0 0 0( ) ( ) ( )t s s t s t sZ i v Z i Z v? ? ? ?? ? ?
定常电路的延时特性 I0t()Sit
电源在 t=0时加入,()
si Iu t? ( ) (1 ) ( )
t
RCv t R I e u t???则
电源延迟到 t= t0时接入,
0()si Iu t t??
则 0
0( ) (1 ) ( )
tt
RCv t R I e u t t
??? ? ?Si CCv
Si RCCv t0()st()vt0
0t tI()Sit00t t()stRI()vt
线性定常一阶电路的正弦响应
t≥0+的电路方程为
11( ) c o s ( ) ( )si t A t u t????
11
( ) ( ) c o s( )d v t v tC A t
d t R ??? ? ?
齐次解 () t
RChv t ke??
特解 为一个强制分量，与输入同频率的正弦量
22( ) c o s ( )pv t A t????
特解应满足原方程
11
( ) ( ) c o s ( )ppd v t v tC A t
d t R ??? ? ?
可求得
1
2 22( ) (1 / )
AA
CR?
?
?
121 ta n RC? ? ????
Si RCv
所以
22( ) c o s ( )
t
RCv t k e A t???? ? ?
在零状态下
22( 0 ) c o s 0v k A ?? ? ? ?
即
22co skA ???
因此
2 2 2 2( ) [ c o s c o s( ) ] ( )
t
RCv t A e A t u t? ? ??? ? ? ?
暂态分量 稳态分量
在零状态下，电压的暂态分量初值
22( 0 ) c o stvA ?? ??
与稳态分量初值 22(0 ) c o ssvA ?? ? 大小相等，方向相反
当 2 90? ? 时，也即 11 9 0 ta n RC?? ???
暂态分量与稳态分量的值都为零，说明电压响应中没有
暂态分量，也就没有过渡过程，电路从换路一开始，就
直接进入稳态。这是一种特殊情况。
若换路时
2 0? ?,则
若电路的时间常数 RC 远大于输入电源的周期，则从
换路起，经过半个周期左右的时间，电压的暂态分量
衰减极为有限，暂态分量于稳态分量的叠加结果为
2 2 2c o s 1 8 0 22
Tv A A A?? ? ? ? ???
??
这说明如果当电压的稳态分量经过极大值时换路，而电
路的时间常数又大，则换路后电压的最大瞬时绝对值接
近于稳态电压振幅的 2倍。
在工程中要注意电容器的耐压。
22()
t
RCv t A e A C o s t??? ? ?
线性定常一阶电路的冲激响应
当电路的输入 is(t)
= ?(t)时的零状态
响应,称单位冲激
响应。
Si RCCv
电路方程 1 ()dvC v t
d t R ???
由于 t=0时接入单位冲激电流, 为无限大电流，电容
电压将发生有限跳变。电容电压跳变是在 0-?0+瞬间
内完成的，所以可通过对电路方程两边从 0-?0+积分
求得电压的跳变值。
10t ()Sit??
可得
0 0 0
0 0 0
1 ()dvC d t v d t t d t
d t R ?
? ? ?
? ? ?
??? ? ?
0
0
1( 0 ) ( 0 ) 1C v C v v dt
R
?
???
? ? ?? 1(0 )v C? ?
当单位冲激电流经过电容时，在电容上产生 1/C伏的跳
变电压,或则说，一个并联于电容器 C的单位冲激电流
源 ?(t),将在电容上形成初始电压 1(0 )v
C? ?
根据对偶原理：一个串联于电感器 L的单位冲激电压源
?(t),将在电感上形成初始电流 1(0 )i
L? ?
单位冲激电流作用于 RC并联电路，相当于 1(0 )v
C? ?的零输入，单位冲激响应即为 t≥0
+的零输入响应。
1( ) ( ) ( )tRCh t v t e u t
C
???
线性定常一阶电路任意输入响应
前面所提到的信号都是一些规则信号，然而在实
际中，更多的是不规则信号获任意波形的信号。
这些信号进入电路后的响应可通过卷积积分的方
法来求取。
这方法的思路是：将任意波形看成是许多脉冲信
号所组成，根据零状态响应的线性性和时延性，
分别求出每个脉冲响应，然后进行叠加。
可以设想, 只要 △ 取得足够小, 各脉冲响应叠加后
就足够逼近真实响应。当 △ →0,所得就是所要求
的响应。
现将原输入信号 f(t)→ 蓝色曲
线，近似信号 fa(t)→ 红色台阶
曲线表示。设 t0为换路时间,t
为所求响应时间。将 [t0,t]
n等分，则步长 △ =(t-t0)/n。
现取 t0=0，则
第一个脉冲波形为
第二个脉冲波形为 ( ) ( )f P t
?? ? ? ?
?? ??
第 k+1个脉冲波形为 ( ) ( )f k P t k?? ? ? ?
所以 1
0
( ) ( ) ( )na
k
f t f k P t k? ?
?
? ? ? ? ??
各脉冲的脉宽相等，高度各异，位置不同。
( ) ( )( 0 ) [ ( ) ( ) ] ( 0 ) ( 0 ) ( )u t u tf u t u t f f P t??? ? ?
Δ
ΔΔ Δ =ΔΔ
()fk?(0)f
()f()af0?2?k?
tn?
()ft
要求出 0[ ( )]aZ f t,可求每个矩形脉冲的响应，再叠加
第一个脉冲响应
0 [ ( 0 ) ( ) ] ( 0 ) ( )Z f P t f h t??? ? ?
第二个脉冲响应 [ ( ) ( ) ] ( ) ( )Z f P t f h t
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
?? ??
第 k+1个脉冲响应 [ ( ) ( ) ] ( ) ( )
kZ f k P t k f k h t k? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
所以 11
0
00
[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) ( )nnak
kk
Z f t Z f k P t k f k h t k??? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
当 n→ ?,即 △ → 0 时,k△ 变成连续变量 t’,即 k△ → t’,
h△ (t-k△ )→ h(t-t’),求和变成积分 △ → dt’
任意输入 f(t)的零状态响应
00 00[ ( ) ] l i m [ ( ) ] ( ') ( ') '
t
aZ f t Z f t f t h t t d t??? ? ??
这个积分叫做卷积积分，其中 h(t-t’)是定义在 t≥t’时
的冲激响应。
卷积积分的物理意义：线性电路在任意时刻 t 对任
意输入的响应，等于在输入开始作用的时刻 (t’=0)
到指定时刻，即观察时刻 (t’=t)的区间内，无穷多
个幅度不同并依次连续出现的冲激响应的总和。
实际上是将任意信号看成是无穷多个幅度不同并
连续出现的冲激信号所组成,每个 t’＜ t时的冲激信
号都会在 t’=t时有一个响应，这些响应的总和即为
任意输入的零状态响应。
任意输入的零状态响应
0 0[ ( ) ] ( ') ( ') '
tZ f t f t h t t d t???
给出了对任何的 t＞ 0，在时间 t是由于 t=0时加上的输入
f(t’)所引起的零状态响应。
卷积积分可表示成
0 [ ( )] ( ) * ( )Z f t f t h t?
对称性
0 00[ ( ) ] ( ') ( ') ' ( ') ( ') '
ttZ f t f t h t t d t h t f t t d t? ? ? ???
以上公式只适用于线性定常电路。
卷积积分不能积分到 t 时刻以外，因为 t 以后的输入并
不影响 t 时刻的响应。
从卷积积分表达式可看出,卷积积分实质上是某个函数的
定积分，只不过被积函数还与积分上限有关。
由此可见，要求零状态响应 y(t),可先求出其冲激响应
h(t),再用卷积求 y(t)。
卷积积分可用图解法来计算，或用图解法帮助分析 101234( )(V)Svt(S)t
求卷积积分 y(t)
例
1 0 4()
04S
tvt
t
?? ?
?
剟
01
1
( ) 1 ( 1 ) 1 3
2
03
tt
h t t t
t
?
??
? ? ??
?
??
剟
剟
0( ) ( ) * ( ) ( ') ( ') '
t
SSy t h t v t h t v t t d t? ? ??
现将 vS和 h分段表示。卷积积分也将分段进行。在
分段处理时，要特别注意积分上下限的确定。
024( ) V)ht(S)t
0≤t≤1时,h(t)=t,vS(t)=1,
101( 4)t? 234t t?()Sv t t??()ht?
1≤t≤3时,vS(t)=1,
1( ) ( 3 )
2h t t? ? ?
1 2
01
1 3 1 3( ) ' ' ( ' 3 ) '
2 4 4 2
ty t t d t t d t t t? ? ? ? ? ? ? ???
,积分的上 2
0
1( ) ' 1 '
2
ty t t d t t? ? ??
下限取两图的交集的坐标。
3≤t≤4时,vS(t)=1,h(t)=0,
13
01
13( ) ' ' ( 3 ') '
22y t t d t t d t? ? ? ???
101( 4)t?23tt?01
( 4)t?23tt?
4≤t≤5时,h(t)=0,vS(t)=1,101( 4)t?235tt?
5≤t≤7时,h(t)=0,vS(t)=1,
t≥7时,y(t)=0
13 2
41
1 1 1 3( ) ' ' ( 3 ') ' 4
2 2 2ty t t d t t d t t t?? ? ? ? ? ? ???
3 2
4
1 1 7 4 9( ) ( 3 ') '
2 4 2 4ty t t d t t t?? ? ? ? ?? 0( )t?35tt?
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
线性定常一阶电路的零状态响应 Si KRCCv
零状态响应是电路在零初始
状态下，仅由电路的输入引
起的响应。
在 t=0时,vC(0)=0，仅由直流
电流源 is=I所引起的响应就是
零状态响应 。
若电路处零状态,is=Iu(t)为阶跃函数，所求的响
应就是阶跃响应。若 is=u(t)为单位阶跃函数，所
求的响应就是单位阶跃响应 s(t)。
SiRCCv
Si RCCv
0
()CvtRI0,6 3 2 RI
0,3 6 8 RI? RI?
CpvCv
Chvt稳态分量，强制分量
暂态分量，自由分量
电路方程
1 ( ) 0
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C
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C
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…
电路方程是一个非齐次线性微分方程。它的解为齐次
解与特解之和。
C h pv v v??
t
RChv ke?? pv RI?
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由初始条件 ( 0 ) 0
Cv k R I? ? ? ?
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同样可得
()( ) (1 ) ( )tC RC
R
vti t I e u t
R
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( ) ( ) ( ) ( )tRCCRi t I u t i t I e u t?? ? ?
()SitI0t
由
可看成为两种波形的叠加。
就特解而言，是电路趋稳态后的
响应，称稳态分量；或认为是激
励源强迫其电压达到规定值，故
称强制分量。
() tRCCv t R I R Ie ???
就齐次解而言，当 t=4?~5?,可认为衰减结束, 所以称暂
态分量。暂态分量逐渐衰减的过程，就是电路逐渐趋于
稳定的过程；齐次解在随时间变化的规律上讲，只取决
于时间常数，而时间常数仅仅由网络的拓扑结构和元件
参数决定，与输入无关，因此也称自由分量。
0
()CvtRI0,6 3 2 RI
0,3 6 8 RI? RI?
CpvCv
Chv t稳态分量，强制分量
暂态分量，自由分量
线性定常一阶电路的零状态响应是输入的
线性函数。
对于任一确定时刻 t =T,
零状态响应算子
(1 )TRCRe ??? 常数A,所以,vC=Ais
0 ()tsZi
is：输入
t0：电路在时 t0处零状态；输入在 t0时加入
Z,零状态响应
0 0 0( ) ( ) ( )t s s t s t sZ i v Z i Z v? ? ? ?? ? ?
定常电路的延时特性 I0t()Sit
电源在 t=0时加入,()
si Iu t? ( ) (1 ) ( )
t
RCv t R I e u t???则
电源延迟到 t= t0时接入,
0()si Iu t t??
则 0
0( ) (1 ) ( )
tt
RCv t R I e u t t
??? ? ?Si CCv
Si RCCv t0()st()vt0
0t tI()Sit00t t()stRI()vt
线性定常一阶电路的正弦响应
t≥0+的电路方程为
11( ) c o s ( ) ( )si t A t u t????
11
( ) ( ) c o s( )d v t v tC A t
d t R ??? ? ?
齐次解 () t
RChv t ke??
特解 为一个强制分量，与输入同频率的正弦量
22( ) c o s ( )pv t A t????
特解应满足原方程
11
( ) ( ) c o s ( )ppd v t v tC A t
d t R ??? ? ?
可求得
1
2 22( ) (1 / )
AA
CR?
?
?
121 ta n RC? ? ????
Si RCv
所以
22( ) c o s ( )
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在零状态下
22( 0 ) c o s 0v k A ?? ? ? ?
即
22co skA ???
因此
2 2 2 2( ) [ c o s c o s( ) ] ( )
t
RCv t A e A t u t? ? ??? ? ? ?
暂态分量 稳态分量
在零状态下，电压的暂态分量初值
22( 0 ) c o stvA ?? ??
与稳态分量初值 22(0 ) c o ssvA ?? ? 大小相等，方向相反
当 2 90? ? 时，也即 11 9 0 ta n RC?? ???
暂态分量与稳态分量的值都为零，说明电压响应中没有
暂态分量，也就没有过渡过程，电路从换路一开始，就
直接进入稳态。这是一种特殊情况。
若换路时
2 0? ?,则
若电路的时间常数 RC 远大于输入电源的周期，则从
换路起，经过半个周期左右的时间，电压的暂态分量
衰减极为有限，暂态分量于稳态分量的叠加结果为
2 2 2c o s 1 8 0 22
Tv A A A?? ? ? ? ???
??
这说明如果当电压的稳态分量经过极大值时换路，而电
路的时间常数又大，则换路后电压的最大瞬时绝对值接
近于稳态电压振幅的 2倍。
在工程中要注意电容器的耐压。
22()
t
RCv t A e A C o s t??? ? ?
线性定常一阶电路的冲激响应
当电路的输入 is(t)
= ?(t)时的零状态
响应,称单位冲激
响应。
Si RCCv
电路方程 1 ()dvC v t
d t R ???
由于 t=0时接入单位冲激电流, 为无限大电流，电容
电压将发生有限跳变。电容电压跳变是在 0-?0+瞬间
内完成的，所以可通过对电路方程两边从 0-?0+积分
求得电压的跳变值。
10t ()Sit??
可得
0 0 0
0 0 0
1 ()dvC d t v d t t d t
d t R ?
? ? ?
? ? ?
??? ? ?
0
0
1( 0 ) ( 0 ) 1C v C v v dt
R
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???
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当单位冲激电流经过电容时，在电容上产生 1/C伏的跳
变电压,或则说，一个并联于电容器 C的单位冲激电流
源 ?(t),将在电容上形成初始电压 1(0 )v
C? ?
根据对偶原理：一个串联于电感器 L的单位冲激电压源
?(t),将在电感上形成初始电流 1(0 )i
L? ?
单位冲激电流作用于 RC并联电路，相当于 1(0 )v
C? ?的零输入，单位冲激响应即为 t≥0
+的零输入响应。
1( ) ( ) ( )tRCh t v t e u t
C
???
线性定常一阶电路任意输入响应
前面所提到的信号都是一些规则信号，然而在实
际中，更多的是不规则信号获任意波形的信号。
这些信号进入电路后的响应可通过卷积积分的方
法来求取。
这方法的思路是：将任意波形看成是许多脉冲信
号所组成，根据零状态响应的线性性和时延性，
分别求出每个脉冲响应，然后进行叠加。
可以设想, 只要 △ 取得足够小, 各脉冲响应叠加后
就足够逼近真实响应。当 △ →0,所得就是所要求
的响应。
现将原输入信号 f(t)→ 蓝色曲
线，近似信号 fa(t)→ 红色台阶
曲线表示。设 t0为换路时间,t
为所求响应时间。将 [t0,t]
n等分，则步长 △ =(t-t0)/n。
现取 t0=0，则
第一个脉冲波形为
第二个脉冲波形为 ( ) ( )f P t
?? ? ? ?
?? ??
第 k+1个脉冲波形为 ( ) ( )f k P t k?? ? ? ?
所以 1
0
( ) ( ) ( )na
k
f t f k P t k? ?
?
? ? ? ? ??
各脉冲的脉宽相等，高度各异，位置不同。
( ) ( )( 0 ) [ ( ) ( ) ] ( 0 ) ( 0 ) ( )u t u tf u t u t f f P t??? ? ?
Δ
ΔΔ Δ =ΔΔ
()fk?(0)f
()f()af0?2?k?
tn?
()ft
要求出 0[ ( )]aZ f t,可求每个矩形脉冲的响应，再叠加
第一个脉冲响应
0 [ ( 0 ) ( ) ] ( 0 ) ( )Z f P t f h t??? ? ?
第二个脉冲响应 [ ( ) ( ) ] ( ) ( )Z f P t f h t
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
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第 k+1个脉冲响应 [ ( ) ( ) ] ( ) ( )
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所以 11
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当 n→ ?,即 △ → 0 时,k△ 变成连续变量 t’,即 k△ → t’,
h△ (t-k△ )→ h(t-t’),求和变成积分 △ → dt’
任意输入 f(t)的零状态响应
00 00[ ( ) ] l i m [ ( ) ] ( ') ( ') '
t
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这个积分叫做卷积积分，其中 h(t-t’)是定义在 t≥t’时
的冲激响应。
卷积积分的物理意义：线性电路在任意时刻 t 对任
意输入的响应，等于在输入开始作用的时刻 (t’=0)
到指定时刻，即观察时刻 (t’=t)的区间内，无穷多
个幅度不同并依次连续出现的冲激响应的总和。
实际上是将任意信号看成是无穷多个幅度不同并
连续出现的冲激信号所组成,每个 t’＜ t时的冲激信
号都会在 t’=t时有一个响应，这些响应的总和即为
任意输入的零状态响应。
任意输入的零状态响应
0 0[ ( ) ] ( ') ( ') '
tZ f t f t h t t d t???
给出了对任何的 t＞ 0，在时间 t是由于 t=0时加上的输入
f(t’)所引起的零状态响应。
卷积积分可表示成
0 [ ( )] ( ) * ( )Z f t f t h t?
对称性
0 00[ ( ) ] ( ') ( ') ' ( ') ( ') '
ttZ f t f t h t t d t h t f t t d t? ? ? ???
以上公式只适用于线性定常电路。
卷积积分不能积分到 t 时刻以外，因为 t 以后的输入并
不影响 t 时刻的响应。
从卷积积分表达式可看出,卷积积分实质上是某个函数的
定积分，只不过被积函数还与积分上限有关。
由此可见，要求零状态响应 y(t),可先求出其冲激响应
h(t),再用卷积求 y(t)。
卷积积分可用图解法来计算，或用图解法帮助分析 101234( )(V)Svt(S)t
求卷积积分 y(t)
例
1 0 4()
04S
tvt
t
?? ?
?
剟
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2
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0( ) ( ) * ( ) ( ') ( ') '
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现将 vS和 h分段表示。卷积积分也将分段进行。在
分段处理时，要特别注意积分上下限的确定。
024( ) V)ht(S)t
0≤t≤1时,h(t)=t,vS(t)=1,
101( 4)t? 234t t?()Sv t t??()ht?
1≤t≤3时,vS(t)=1,
1( ) ( 3 )
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1 2
01
1 3 1 3( ) ' ' ( ' 3 ) '
2 4 4 2
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0
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2
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下限取两图的交集的坐标。
3≤t≤4时,vS(t)=1,h(t)=0,
13
01
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22y t t d t t d t? ? ? ???
101( 4)t?23tt?01
( 4)t?23tt?
4≤t≤5时,h(t)=0,vS(t)=1,101( 4)t?235tt?
5≤t≤7时,h(t)=0,vS(t)=1,
t≥7时,y(t)=0
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41
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