第五章 一阶电路
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
线性定常一阶电路的完全响应 Si 0VCi Ri( 0 )Kt ?( 0 )Kt ?
电路在初始状态和输入共
同作用下所引起的响应称
全响应。
KCL iC+iR=iS
电路方程
换路定则 vC(0+)=vC(0-)=V0
0( 0 )
CC
S
C
d v vCi
d t R
vV?
? ??
?
?
? ? ??????
Si RCCv
齐次解
0( 0 )
CC
S
C
d v vCi
d t R
vV?
? ??
?
?
? ? ??????
t
RChv ke??
特解 pSv Ri?
全响应 tRCC p h Sv v v R i k e ?? ? ? ?
由初始条件求
待定常数 k 0( 0 )CSv R i k V? ? ? ?
0 Sk V Ri??
所以
0( ) ( ) 0
t
RC
C S Sv t R i V R i e t
?? ? ? ?? ?? ?
稳态响应 暂态响应
…
或表示成
0( ) ( 1 ) 0
tt
R C R C
CSv t V e R i e t
??? ? ? ?? ?? ?
零输入响应 零状态响应
…
将全响应看成暂态响应与稳态响应之和，这是由
线性电路的迭加性决定的。从式中可看出，暂态
响应是由输入信号、初始条件、电路参数共同决
定的按指数衰减的响应。这部分响应体现了电路
的过渡过程。稳态响应则与输入有关。
这种表示形式，是数学表达式与物理过程的结合，
强调电路响应与其工作状态之间的关系。
这种分析方法告诉我们，线性动态电路在换路后，
要经过一段过渡过程才进入稳态。
当电路的初态与稳态的初值相等时，暂态消失。
将全响应看作是零输入响应与零状态响应之和，
同样体现了线性电路的迭加性。这种观点着眼于
电路的因果关系。在线性电路及系统分析中得到
广泛的应用。
零输入响应是初始条件的线性函数，零状态响应
是输入的线性函数。在分析电路时，可分别算出
零输入响应和零状态响应，从而得出完全响应。
当电路只是初态或输入有变化时，只需重新计算
相应部分的响应。
全响应既不是输入的线性函数，也不是初始条件
的线性函数。
全响应 =零输入响应 +零状态响应
经典法
经典法是根据 KCL,KVL和支路关系建立电路
方程 (以 t 为自变量，以记忆量为因变量的
微分方程 ),并求稳态分量和暂态分量，再求
其他解。
选取因变量的原则,
微分方程的初始条件容易求得
由该变量求其他变量容易
满足这原则的电路参量是网络中的记忆量。
例
KCL i1(t)=i2(t)+iC(t)
KVL R1i1+vC=vS
支路方程
2
2
Cvi R?CC dviCdt?
得
1
2
CC
CS
v d vR C v v
R d t
??? ? ???
??
11
2
1C CSdv RR C v vd t R??? ? ?????
则 t≥0+时的方程 1 2 2
1 2 1 2
C CdvR R RC v ER R d t R R????
令
12
12
RRR
RR? ? 20 12
REE
RR? ?
电路方程为
0C C
dvRC v E
dt ??
()Cit()Cvt1R2R2 ()it1()it( 0 )Kt ?SvE?
0( 0 )CvV? ?
电路方程
0C C
dvRC v E
dt ??
特征根 1s RC?? 齐次解 tRChv ke??
特解取电路的稳态解 t =?时的解 (或
2 0
12
()pC Rv v E ERR? ? ? ??
0Cdvdt ? )
所以 1
0RCC h pv v v k e E
?? ? ? ?
根据换路定则 vC(0+)=vC(0-)=V0
确定常数 k+E0=V0 可得 k=V0-E0
得
0 0 0( ) ( ) 0
t
RCCv t V E e E t?? ? ?
由支路关系求其他网络变量
0 0 0
2
2 2 2 2
()( ) 0tC RCv t V E Ei t e t
R R R R
???? ? ? ???
??
0 0 0 0( ) 0
t t t
C R C R C R C
C
d v V E E Vi t C e e e t
d t R R R R
? ? ???? ? ? ? ? ???
??
0
1 2 0 0
2 2 2
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )tRC
C
Ei t i t i t E V e u t
R R R R R
?????? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?
????? ? ? ?? ? ? ?
????
三要素法
由上例解 0 0 0( ) ( ) 0tRCCv t V E e E t?? ? ?
一阶电路响应的一般表达式为
( ) ( ) [ ( 0 ) ( ) ] tf t f f f e ???? ? ? ? ?
其中 f(?),响应的稳态解 f(0+),响应的初始条件
?：电路的时间常数
例 右图中 E=10V，
R1=R2=30?，
R3=20?,L=1H，
求开关闭合后各支
路电流。
1i 2i 3i1R2R 3RLE ( 0 )Kt ?
原网络
开关 k 接通前电路处稳态，则电感
中电流 3(0 )i ?
3R1E
0t ??换 路 前 稳 态3 13( 0 ) 0, 2EiARR? ???根据换路定则 i
3(0+)=i3(0-)=0.2A
用等效电流源替代电感
用网孔法求得 i1(0+)=0.267A
根据换路后的稳态电路得
i1(∞) =0.238A，
i3(∞) =0.143A。
1(0 )?1(0 )i ?3 (0 )i ?3 (0 )i ?1R2R 3RE
0t ??换 路 后 初 态1()i ?2()i ?3i ?1RR 3RE
t ??换路后稳态
根据左图求得时间常数
3
1
35
L
RR? ???
于是
35
1 1 1 1( ) ( ) [ ( 0 ) ( ) ] 0, 2 3 8 0, 0 2 9 0
t ti t i i i e e t
?? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ?
353 ( ) 0, 1 4 3 0, 0 5 7 0ti t e t?? ? ???? ?
352 1 3( ) ( ) ( ) ( 0, 0 9 5 0, 0 2 8 ) ( )ti t i t i t e u t?? ? ? ?
3R
12//R R R?L
求等效电阻电路
例
求零状态响应 vo(t)
vC(0+)=vC(0-)=0
vC(?)=5 ?=2?10-4
vC(t)= vC(?)+[vC(0+)- vC(?)]e-t/?=5(1-e-5000t)u(t)
根据电压跟随器（缓冲器）关系,
vo(t)=v+(t)=103iC(t)=2.5e-5000tu(t)V
∞1k1k5 ( )ut
1k0.1? ()ovtv?Cv??
3 50 00()( ) 2,5 1 0 tC
C
d v ti t C e
dt
??? ? ?
例 求零状态响应 vo(t)
方法 1
根据虚地 vo(t)=-vC(t)
vo(0+)=-vC(0+)=-vC(0-)=0
vo(?)=-R2vS/R1=-10vS=-50
vo(t)=(-50+50e-0.1t)=50(e-0.1t-1)u(t)
∞
1R 2 10 MR ??5 ( )
Sv u t?1M?
1 F? ()
ovt
Cv??
?=R2C=10
运放输出口可视电阻为 ?，即为开路。运放输入
口，虚地，将 R1短路，故 ?=R2C
例 具有两个时间常数的电路
已知 vC(0-)=0,K1在 t=0时打开,K2在 t=T1=R1C
时闭合，求 t?0的电容电压 vC的波形 。
解 0+? t ? T1- v(t)=R1I(1-e-t/R1C)
T1? t <? v(T1-)=v(T1+)=R1I(1-e-1)
t=T1- v(T1-)= R1I(1-e-1)
t?T1+ 时间常数
1K 1R2KRvI
122
12
RRTC
RR? ?
v(?)=(R1//R2)I
1
211 2 1 211
1 2 1 2
( ) ( 1 )
tT
TR R R Rv t I R I e I e t T
R R R R
??
???? ? ? ? ? ???
?? ??
1T1RI0 tCv1212RR IRR?
例 脉冲序列作用
于电路
脉冲周期为 2T，脉冲宽度为 T
当 T大于时间常数 ?，如 T=4?，前半周期，电容充
电完成，后半周期，电容放电完成。
CSvRCvR??T2T34Tt00VSv
CvRv( 1 ) 0() 2tSC tTSV e t Tvt V e T t T?? ???? ? ? ??? ?? ??? 0() 2tSR tTSV e t Tvt V e T t T? ?? ??? ???? ?? ? ? ??
若 T与 ?差不多，问题就较复杂。
在最初几个周期,vC充电上升的值总比放电下降的值要
大些，即每次充电时的初值总在不断提高，每次放电时
的初值也总在升高。经过若干周期后，这两个初值会稳
定，电路进入动态平衡阶段。
若把进入稳态后的时刻定位
时间的起点，则
1
2
0 ( ) ( )
2 ( )
t
C S a S
tT
Cb
t T v t V V V e
T t T v t V e
?
?
?
??
? ? ? ? ?
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1
2
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2 ( 2 )
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T
C a b
t T T V V V V e
t T T V V e
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时v
时v
2
2
(1 )
1
1
1
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aS T
T
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VV
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VV
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?
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?
?
?
?
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T0avbsv 3T4Tt
解得,
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
线性定常一阶电路的完全响应 Si 0VCi Ri( 0 )Kt ?( 0 )Kt ?
电路在初始状态和输入共
同作用下所引起的响应称
全响应。
KCL iC+iR=iS
电路方程
换路定则 vC(0+)=vC(0-)=V0
0( 0 )
CC
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齐次解
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特解 pSv Ri?
全响应 tRCC p h Sv v v R i k e ?? ? ? ?
由初始条件求
待定常数 k 0( 0 )CSv R i k V? ? ? ?
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所以
0( ) ( ) 0
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稳态响应 暂态响应
…
或表示成
0( ) ( 1 ) 0
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R C R C
CSv t V e R i e t
??? ? ? ?? ?? ?
零输入响应 零状态响应
…
将全响应看成暂态响应与稳态响应之和，这是由
线性电路的迭加性决定的。从式中可看出，暂态
响应是由输入信号、初始条件、电路参数共同决
定的按指数衰减的响应。这部分响应体现了电路
的过渡过程。稳态响应则与输入有关。
这种表示形式，是数学表达式与物理过程的结合，
强调电路响应与其工作状态之间的关系。
这种分析方法告诉我们，线性动态电路在换路后，
要经过一段过渡过程才进入稳态。
当电路的初态与稳态的初值相等时，暂态消失。
将全响应看作是零输入响应与零状态响应之和，
同样体现了线性电路的迭加性。这种观点着眼于
电路的因果关系。在线性电路及系统分析中得到
广泛的应用。
零输入响应是初始条件的线性函数，零状态响应
是输入的线性函数。在分析电路时，可分别算出
零输入响应和零状态响应，从而得出完全响应。
当电路只是初态或输入有变化时，只需重新计算
相应部分的响应。
全响应既不是输入的线性函数，也不是初始条件
的线性函数。
全响应 =零输入响应 +零状态响应
经典法
经典法是根据 KCL,KVL和支路关系建立电路
方程 (以 t 为自变量，以记忆量为因变量的
微分方程 ),并求稳态分量和暂态分量，再求
其他解。
选取因变量的原则,
微分方程的初始条件容易求得
由该变量求其他变量容易
满足这原则的电路参量是网络中的记忆量。
例
KCL i1(t)=i2(t)+iC(t)
KVL R1i1+vC=vS
支路方程
2
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Cvi R?CC dviCdt?
得
1
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2
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则 t≥0+时的方程 1 2 2
1 2 1 2
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12
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电路方程为
0C C
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特解取电路的稳态解 t =?时的解 (或
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12
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所以 1
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根据换路定则 vC(0+)=vC(0-)=V0
确定常数 k+E0=V0 可得 k=V0-E0
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三要素法
由上例解 0 0 0( ) ( ) 0tRCCv t V E e E t?? ? ?
一阶电路响应的一般表达式为
( ) ( ) [ ( 0 ) ( ) ] tf t f f f e ???? ? ? ? ?
其中 f(?),响应的稳态解 f(0+),响应的初始条件
?：电路的时间常数
例 右图中 E=10V，
R1=R2=30?，
R3=20?,L=1H，
求开关闭合后各支
路电流。
1i 2i 3i1R2R 3RLE ( 0 )Kt ?
原网络
开关 k 接通前电路处稳态，则电感
中电流 3(0 )i ?
3R1E
0t ??换 路 前 稳 态3 13( 0 ) 0, 2EiARR? ???根据换路定则 i
3(0+)=i3(0-)=0.2A
用等效电流源替代电感
用网孔法求得 i1(0+)=0.267A
根据换路后的稳态电路得
i1(∞) =0.238A，
i3(∞) =0.143A。
1(0 )?1(0 )i ?3 (0 )i ?3 (0 )i ?1R2R 3RE
0t ??换 路 后 初 态1()i ?2()i ?3i ?1RR 3RE
t ??换路后稳态
根据左图求得时间常数
3
1
35
L
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于是
35
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353 ( ) 0, 1 4 3 0, 0 5 7 0ti t e t?? ? ???? ?
352 1 3( ) ( ) ( ) ( 0, 0 9 5 0, 0 2 8 ) ( )ti t i t i t e u t?? ? ? ?
3R
12//R R R?L
求等效电阻电路
例
求零状态响应 vo(t)
vC(0+)=vC(0-)=0
vC(?)=5 ?=2?10-4
vC(t)= vC(?)+[vC(0+)- vC(?)]e-t/?=5(1-e-5000t)u(t)
根据电压跟随器（缓冲器）关系,
vo(t)=v+(t)=103iC(t)=2.5e-5000tu(t)V
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例 求零状态响应 vo(t)
方法 1
根据虚地 vo(t)=-vC(t)
vo(0+)=-vC(0+)=-vC(0-)=0
vo(?)=-R2vS/R1=-10vS=-50
vo(t)=(-50+50e-0.1t)=50(e-0.1t-1)u(t)
∞
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运放输出口可视电阻为 ?，即为开路。运放输入
口，虚地，将 R1短路，故 ?=R2C
例 具有两个时间常数的电路
已知 vC(0-)=0,K1在 t=0时打开,K2在 t=T1=R1C
时闭合，求 t?0的电容电压 vC的波形 。
解 0+? t ? T1- v(t)=R1I(1-e-t/R1C)
T1? t <? v(T1-)=v(T1+)=R1I(1-e-1)
t=T1- v(T1-)= R1I(1-e-1)
t?T1+ 时间常数
1K 1R2KRvI
122
12
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RR? ?
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1
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1 2 1 2
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1T1RI0 tCv1212RR IRR?
例 脉冲序列作用
于电路
脉冲周期为 2T，脉冲宽度为 T
当 T大于时间常数 ?，如 T=4?，前半周期，电容充
电完成，后半周期，电容放电完成。
CSvRCvR??T2T34Tt00VSv
CvRv( 1 ) 0() 2tSC tTSV e t Tvt V e T t T?? ???? ? ? ??? ?? ??? 0() 2tSR tTSV e t Tvt V e T t T? ?? ??? ???? ?? ? ? ??
若 T与 ?差不多，问题就较复杂。
在最初几个周期,vC充电上升的值总比放电下降的值要
大些，即每次充电时的初值总在不断提高，每次放电时
的初值也总在升高。经过若干周期后，这两个初值会稳
定，电路进入动态平衡阶段。
若把进入稳态后的时刻定位
时间的起点，则
1
2
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