1
多因素试验
的方差分析
第十一章
2
例 研究三种饲料对猪的催肥效果，将 24头猪随机分
为三组，先考察三组猪的初始重量是否相同？
A饲料 B饲料 C饲料
1 15 17 22
2 13 16 24
3 11 18 20
4 12 18 23
5 12 21 25
6 16 22 27
7 14 19 30
8 17 18 32
三种饲料喂养猪的初始重量（单位,kg）
3
iX X?
2X?初始重量分 组 n
合计 24 19.25 462 9614
A 15 13 11 … 17 8 13.75 110 1544
B 17 16 18 … 18 8 18.63 149 2803
C 22 24 20 … 32 8 25.38 203 5267
三种饲料喂养猪的初始重量（单位,kg）
方差分析,初步整理
4
分析步骤：
1,检验假设 H0：三个组的总体均数相等,
即：
备择假设 H1：三个组的总体均数不全
相等 。
2,显著性水准,05.0??
1 2 3? ? ???
5
3,计算
9 6 1 4 8 8 9 3, 5 = 7 2 0, 5SS ??总
7 2 0, 5 5 4 5, 2 5 1 7 5, 2 5SS ? ? ?组内
2 2 2( 1 1 0 ) ( 1 4 9 ) ( 2 0 3 )
8 8 9 3, 5 5 4 5, 2 58 8 8SS ? ? ? ? ?组间
2( 4 6 2 ) / 2 4 8 8 9 3, 5C ??
6
4,列方差分析表
方差分析表
变异来源 自由度 SS MS F P
总变异 23 720.50
组间 2 545.25 272.63 32.67 ＜ 0.01
组内 21 175.25 8.35
7
5,查表作结论
查附表 3的 F界值表：
F0.01（ 2,21） =5.78,F = 32.67> F0.01（ 2,21）,
所以 P<0.01。
结论,按, 拒绝 H0,接受 H1,认
为 三 个组总体均数不全相等, 即三个组猪的初
始体重有差别 。
05.0??
8
（ 1） H0：, 被比较两组的总体均数相同；
H1：, 被比较两组的总体均数不同 。
BA ?? ?
BA ?? ?
（ 2）三组均数按大小排列
A组 B组 C组
13.750 18.625 25.375
三组均数两两比较 SNK-q 检验
9
（ 3）计算标准误：
（ 4）检验统计量 q：
8,35 1 1 1,02 16
2 8 8ijXX
S ? ??? ? ???
??
ij
ij
XX
XX
q
S ?
?
? ν=ν误差 = 21
10
（ 5）列计算表
多个均数两两比较表
（ 6） 结论：
三组猪的初始重量两两比较均有差别, A组
初始重量最低, C组最高 。
ijXX?
对比组 组数 a q q0.05 q0.01 P
C组与 B组 6.75 2 6.61 2.95 4.02 <0.01
C组与 A组 11.625 3 11.38 3.58 4.64 <0.01
B组与 A组 4.875 2 4.77 2.95 4.02 <0.01
11
比较 4种饲料对小鼠体重增加量的影
响, 处理因素是饲料, 有 4个水平 。
目的：比较 4种饲料的差别, 分析脂肪含量高
低, 蛋白含量高低对小鼠体重的影响 。
脂肪含量 高 低
蛋白含量 高 低 高 低
两因素试验
12
第一节 析因设计的
方差分析
一、两因素两水平的析因分析
13
缝合方法 外膜缝合 束膜缝合
缝合后时间 1月 2月 1月 2月
10 30 10 50
10 30 20 50
40 70 30 70
50 60 50 60
10 30 30 30
24 44 28 52
家兔神经缝合后的轴突通过率 (%)
x
比较不同缝合方法及缝合后时间对轴突通过率的影响。
14
1,单独效应 单独效应 (simple effect)是指其
他因素的水平固定时, 同一因素不同水平间
的差别 。
2,主效应 主效应 (main effect)指某一因素各
水平间的平均差别 。
15
B因素（ 2水平）
缝合后 1月 缝合后 2月
2因素 2水平析因试验示意图
A因素（ 2水平）
外膜缝合
束膜缝合
24 44
28 52
16
3．交互作用 当某因素的各个单独效应随另一因
素变化而变化时，则称这两个因素间存在交互作
用 (interaction)。
0
10
20
30
40
50
60
外膜缝合 束膜缝合
均
数
图 11-2 两因素交互作用示意图
缝合 1月
缝合 2月
17
表 11-1 家兔神经缝合后的轴突通过率 (%)
A(缝合方法 ) 外膜缝合 (a1) 束膜缝合 (a2)
B(缝合后时间 ) 1月 (b1) 2月 (b2) 1月 (b1) 2月 (b2) 合计
10 30 10 50
10 30 20 50
40 70 30 70
50 60 50 60
10 30 30 30
24 44 28 52
120 220 140 260 740
4400 11200 4800 14400 34800
x
?x
? 2x
4．方差分析
18
表 11-3 处理组均数比较的方差分解
变异来源 自由度 SS MS F P
总变异 19 7420
处理组间 3 2620
误差 16 4800 300
A因素合计
A1＝ 120＋ 220＝ 340,A2＝ 140＋ 260＝ 400
B因素合计
B1＝ 120＋ 140＝ 260,B2＝ 220＋ 260＝ 480
19
2 2 2 2
12
11( ) ( 3 4 0 4 0 0 ) 2 7 3 8 0 1 8 0
2 2 5AS S A A Cn? ? ? ? ? ? ??
2 2 2 2
12
11( ) ( 2 6 0 4 8 0 ) 2 7 3 8 0 2 4 2 0
2 2 5BS S B B Cn? ? ? ? ? ? ??
2 6 2 0 1 8 0 2 4 2 0 2 0A B A BS S S S S S S S? ? ? ? ? ? ?处理
处理组间离均差平方和的分解
20
表 11-5 析因试验结果方差分析表
变异来源 自由度 SS MS F P
总变异 19 7420
A 1 180 180 0.60 ＞ 0.05
B 1 2420 2420 8.07 ＜ 0.05
AB 1 20 20 0.07 ＞ 0.05
误 差 16 4800 300
结论,尚不能认为两种缝合方法对神经轴突通过率
有影响；可以认为缝合后 2月与 1月相比，神经轴突
通过率提高了。
21
二、完全随机分组两因素
析因设计与方差分析
22
例 11-2 观察 A,B两种镇痛药物联合运用在
产妇分娩时的镇痛 效果。 A药取 3个剂量,1.0m，
2.5mg,5.0mg； B药也取 3个剂量,5μ g,15μ g
,30μ g。共 9个处理组。将 27名产妇随机等分为 9
组，每组 3名产妇，记录每名产妇分娩时的镇痛时
间，结果见表 11-7。试分析 A,B两药联合运用的
镇痛效果。
23
表 11-7 A,B两药联合运用的镇痛时间（ min）
A药物剂量 B药物剂量5μg 15μg 30μg
1.0 mg 105 115 75
80 105 95
65 80 85
2.5 mg 75 125 135
115 130 120
80 90 150
5.0 mg 85 65 180
120 120 190
125 100 160
24
表 11-8 镇痛时间的合计值
A 药
(I =3)
B 药 (J=3) 合计
（ Ai）5μg 15μg 30μg
1.0mg 250 300 255 805
2.5mg 270 345 405 1020
5.0mg 330 285 530 1145
合计（ Bi） 850 930 1190 2970
全部数据的平方和：
2 355150X ??
25
表 11-9 两药联合运用的镇痛时间的方差分析表
变异来源 df SS MS F P
总变异 26 28450.000
A药主效应 2 6572.222 3286.111 8.47 ＜ 0.01
B药主效应 2 7022.222 3511.111 9.05 ＜ 0.01
A药 × B药 4 7872.222 1968.056 5.07 ＜ 0.01
误 差 18 6983.334 387.963
结论：① A药不同剂量的镇痛效果不同；② B药不同剂量
的镇痛效果不同；③ A,B两药有交互作用,A药 5.0mg和 B
药 30μ g时,镇痛时间持续最长。
26
协方差分析
第十三章
27
表 13-3 三种饲料喂养猪的初始重量与增重（单位,kg）
A饲料 B饲料 C饲料
X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3
1 15 85 17 97 22 89
2 13 83 16 90 24 91
3 11 65 18 100 20 83
4 12 76 18 95 23 95
5 12 80 21 103 25 100
6 16 91 22 106 27 102
7 14 84 19 99 30 105
8 17 90 18 94 32 110
13.750 81.750 18.625 98.000 25.375 96.875
编号
均值
28
方差分析表
变异来源 自由度 SS MS F P
总变异 23 2555.958
组间变异 2 1317.583 658.792 11.17 ＜ 0.01
组内变异 21 1238.375 58.970
完全随机设计类型的方差分析
29
10名正常孕妇妊娠时间与血清载脂蛋白含量
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
0 10 20 30 40
è? é? ê±?? ( ?ü )
?a
??
??
??
μ°
°×
o?
á?
(g/
L)
30
x
y
原则：各实测点至直线纵向距离的平方和为最小
求解回归直线
31
直线回归方程的计算
xx
xy
l
l
xx
yyxx
b ?
?
??
?
?
?
2)(
))((
xbya ??
32
10名正常孕妇妊娠时间 (周 )与血清载脂蛋白含量
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
0 10 20 30 40
è? é? ê±?? ( ?ü )
?a
??
??
??
μ°
°×
o?
á?
xy 0 0 9 4.08 9 4 7.0? ??
(g/
L)
33
P
应变量 y 离均差平方和划分示意图
y
x
)( yy ?
)?( yy ?
)?( yy ?
y
x
)?()?()( yyyyyy ?????
34
总离均差平方和的分解：
)?()?()( yyyyyy ?????
? ? 2)( yy ? ? 2)?( yy ? ? 2)?( yy+=
总回 SSSS /决定系数
2R ＝
回剩总 SSSSSS ??
即
对于所有观测点，都有：
35
第一节 协方差分析的
基本思想和步骤
36
建立应变量 Y随协变量 X变化的线性回
归关系, 并利用这种回归关系把 X值化为
相等后再进行各组 Y的修正均数间比较的
假设检验 。
一、基本思想
37
二、应用条件
1,理论上要求观察变量服从正态分布，各观察
变量相互独立，各样本方差齐性；
2,各总体客观存在线性回归关系且斜率相同。
38
第二节 完全随机设计
资料的协方差分析
39
例 13-1 为研究 A,B,C三种饲料对猪的催肥效
果，用每种饲料喂养 8头猪一段时间，测得每头
猪的初始重量（ X）和增重（ Y）数据见表 13-3
上半部。试分析三种饲料对猪的催肥效果是否
相同？
40
表 13-3 三种饲料喂养猪的初始重量与增重（单位,kg）
A饲料 B饲料 C饲料
X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3
1 15 85 17 97 22 89
2 13 83 16 90 24 91
3 11 65 18 100 20 83
4 12 76 18 95 23 95
5 12 80 21 103 25 100
6 16 91 22 106 27 102
7 14 84 19 99 30 105
8 17 90 18 94 32 110
13.750 81.750 18.625 98.000 25.375 96.875
编号
均值
41
1,H0：各总体增重的修正均数相等
H1：各总体增重的修正均数不全相等
α = 0.05
协方差分析步骤：
2．列表并计算初步结果
42
表 13-3 三种饲料喂养猪的初始重量与增重（单位,kg）
()XY??
A饲料 B饲料 C饲料
X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X Y
15 85 17 97 22 89
13 83 16 90 24 91
11 65 18 100 20 83
12 76 18 95 23 95
12 80 21 103 25 100
16 91 22 106 27 102
14 84 19 99 30 105
17 90 18 94 32 110
8 8 8 24
110 654 149 784 203 775 462 2213
1544 53952 2803 77016 5267 75645 9614 206613
9103 14667 19911 43681
22()XY??
XY?
n
合计
43
变异来源 ν 离均差平方和及积和 估计误差
总变异
组间变异
组内变异
修正均数
协方差分析计算表模式
2()YY???XXl XYl YYl ν MS
F
44
3,计算相应的校正数、总的、组间及组内的
离均差平方和、积和及自由度
（ 1）校正数
22
12
3
46 2 22 13
88 93,5 20 40 57,0 4
24 24
46 2 22 13
42600.25
24
CC
C
? ? ? ?
?
??
45
（ 2）总的离均差平方和、积和及自由度
9614 8893.5 720.5
206613 204057.04 2555.96
43681 42600.25 1080.75
24 1 23
XX
YY
XY
l
l
l
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
46
（ 3）组间离均差平方和、积和及自由度
2 2 2
2 2 2
11 0 14 9 20 3
88 93,5 54 5,25
8
65 4 78 4 77 5
204057.04 1317.58
8
11 0 65 4 14 9 78 4 20 3 77 5
42600.25 659.88
8
3 1 2
XX
YY
XY
l
l
l
?
??
? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
47
（ 4）组内离均差平方和、积和及自由度
72 0.5 54 5.2 5 17 5.2 5
25 55,96 13 17,58 12 38,38
10 80,75 65 9.8 8 42 0.8 7
24 3 21
XX
YY
XY
l
l
l
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
48
4．计算总的、组内及修正均数的估计误差平
方和、自由度
2
2 1 0 8 0, 7 5( ) 2 5 5 5, 9 6 9 3 4, 8 4
7 2 0, 5
2 3 1 2 2
YY
?
?
? ? ? ?
? ? ?
?总的
2
2 4 2 0, 8 7( ) 1 2 3 8, 3 8 2 2 7, 6 4
1 7 5, 2 5
2 1 1 2 0
YY
?
?
? ? ? ?
? ? ?
?组内
2( ) 9 3 4, 8 4 2 2 7, 6 4 7 0 7, 2 0
3 1 2
YY
?
?
? ? ? ?
? ? ?
?修正均数
49
5．列协方差分析表，查 F界值表,P＜ 0.01,拒
绝 H0，接受 H1，可以认为在扣除初始体重因素的
影响后，三组猪的总体增重均数有差别。
变异来源 ν 离均差平方和及积和 估计误差
总变异 23 720.50 1080.75 2555.96 22 934.84
组间变异 2 545.25 659.88 1317.58
组内变异 21 175.25 420.87 1238.38 20 227.64 11.38
修正均数 2 707.20 353.60 31.07
协方差分析表
2()YY???XXl XYl YYl ν MS
F
50
6．计算公共回归系数 bc及各组修正均数
XX
XY
c l
lb
组内
组内? )(* XXbYY
jcjj ???
*
1
*
2
*
3
420.88
2.4
175.25
81,75 2.4 ( 13,75 19,25 ) 94,95
98 2.4 ( 18,625 19,25 ) 99,50
96,875 2.4 ( 25,375 19,25 ) 82,175
c
b
AY
BY
CY
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
饲料
饲料
饲料
51
7．修正均数间差别进行两两比较 – q 检验
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
XX
XXXY
BA
la
l
n
S
YY
q
组内
组间
)1(
1
0
2
**
结果,A饲料与 B饲料修正均数间无差别 (P﹥0.05),
但都高于 C饲料 (P﹤0.01),可以认为在扣除初始体重影
响后,A饲料和 B饲料喂养的平均增重均比 C饲料多。
多因素试验
的方差分析
第十一章
2
例 研究三种饲料对猪的催肥效果，将 24头猪随机分
为三组，先考察三组猪的初始重量是否相同？
A饲料 B饲料 C饲料
1 15 17 22
2 13 16 24
3 11 18 20
4 12 18 23
5 12 21 25
6 16 22 27
7 14 19 30
8 17 18 32
三种饲料喂养猪的初始重量（单位,kg）
3
iX X?
2X?初始重量分 组 n
合计 24 19.25 462 9614
A 15 13 11 … 17 8 13.75 110 1544
B 17 16 18 … 18 8 18.63 149 2803
C 22 24 20 … 32 8 25.38 203 5267
三种饲料喂养猪的初始重量（单位,kg）
方差分析,初步整理
4
分析步骤：
1,检验假设 H0：三个组的总体均数相等,
即：
备择假设 H1：三个组的总体均数不全
相等 。
2,显著性水准,05.0??
1 2 3? ? ???
5
3,计算
9 6 1 4 8 8 9 3, 5 = 7 2 0, 5SS ??总
7 2 0, 5 5 4 5, 2 5 1 7 5, 2 5SS ? ? ?组内
2 2 2( 1 1 0 ) ( 1 4 9 ) ( 2 0 3 )
8 8 9 3, 5 5 4 5, 2 58 8 8SS ? ? ? ? ?组间
2( 4 6 2 ) / 2 4 8 8 9 3, 5C ??
6
4,列方差分析表
方差分析表
变异来源 自由度 SS MS F P
总变异 23 720.50
组间 2 545.25 272.63 32.67 ＜ 0.01
组内 21 175.25 8.35
7
5,查表作结论
查附表 3的 F界值表：
F0.01（ 2,21） =5.78,F = 32.67> F0.01（ 2,21）,
所以 P<0.01。
结论,按, 拒绝 H0,接受 H1,认
为 三 个组总体均数不全相等, 即三个组猪的初
始体重有差别 。
05.0??
8
（ 1） H0：, 被比较两组的总体均数相同；
H1：, 被比较两组的总体均数不同 。
BA ?? ?
BA ?? ?
（ 2）三组均数按大小排列
A组 B组 C组
13.750 18.625 25.375
三组均数两两比较 SNK-q 检验
9
（ 3）计算标准误：
（ 4）检验统计量 q：
8,35 1 1 1,02 16
2 8 8ijXX
S ? ??? ? ???
??
ij
ij
XX
XX
q
S ?
?
? ν=ν误差 = 21
10
（ 5）列计算表
多个均数两两比较表
（ 6） 结论：
三组猪的初始重量两两比较均有差别, A组
初始重量最低, C组最高 。
ijXX?
对比组 组数 a q q0.05 q0.01 P
C组与 B组 6.75 2 6.61 2.95 4.02 <0.01
C组与 A组 11.625 3 11.38 3.58 4.64 <0.01
B组与 A组 4.875 2 4.77 2.95 4.02 <0.01
11
比较 4种饲料对小鼠体重增加量的影
响, 处理因素是饲料, 有 4个水平 。
目的：比较 4种饲料的差别, 分析脂肪含量高
低, 蛋白含量高低对小鼠体重的影响 。
脂肪含量 高 低
蛋白含量 高 低 高 低
两因素试验
12
第一节 析因设计的
方差分析
一、两因素两水平的析因分析
13
缝合方法 外膜缝合 束膜缝合
缝合后时间 1月 2月 1月 2月
10 30 10 50
10 30 20 50
40 70 30 70
50 60 50 60
10 30 30 30
24 44 28 52
家兔神经缝合后的轴突通过率 (%)
x
比较不同缝合方法及缝合后时间对轴突通过率的影响。
14
1,单独效应 单独效应 (simple effect)是指其
他因素的水平固定时, 同一因素不同水平间
的差别 。
2,主效应 主效应 (main effect)指某一因素各
水平间的平均差别 。
15
B因素（ 2水平）
缝合后 1月 缝合后 2月
2因素 2水平析因试验示意图
A因素（ 2水平）
外膜缝合
束膜缝合
24 44
28 52
16
3．交互作用 当某因素的各个单独效应随另一因
素变化而变化时，则称这两个因素间存在交互作
用 (interaction)。
0
10
20
30
40
50
60
外膜缝合 束膜缝合
均
数
图 11-2 两因素交互作用示意图
缝合 1月
缝合 2月
17
表 11-1 家兔神经缝合后的轴突通过率 (%)
A(缝合方法 ) 外膜缝合 (a1) 束膜缝合 (a2)
B(缝合后时间 ) 1月 (b1) 2月 (b2) 1月 (b1) 2月 (b2) 合计
10 30 10 50
10 30 20 50
40 70 30 70
50 60 50 60
10 30 30 30
24 44 28 52
120 220 140 260 740
4400 11200 4800 14400 34800
x
?x
? 2x
4．方差分析
18
表 11-3 处理组均数比较的方差分解
变异来源 自由度 SS MS F P
总变异 19 7420
处理组间 3 2620
误差 16 4800 300
A因素合计
A1＝ 120＋ 220＝ 340,A2＝ 140＋ 260＝ 400
B因素合计
B1＝ 120＋ 140＝ 260,B2＝ 220＋ 260＝ 480
19
2 2 2 2
12
11( ) ( 3 4 0 4 0 0 ) 2 7 3 8 0 1 8 0
2 2 5AS S A A Cn? ? ? ? ? ? ??
2 2 2 2
12
11( ) ( 2 6 0 4 8 0 ) 2 7 3 8 0 2 4 2 0
2 2 5BS S B B Cn? ? ? ? ? ? ??
2 6 2 0 1 8 0 2 4 2 0 2 0A B A BS S S S S S S S? ? ? ? ? ? ?处理
处理组间离均差平方和的分解
20
表 11-5 析因试验结果方差分析表
变异来源 自由度 SS MS F P
总变异 19 7420
A 1 180 180 0.60 ＞ 0.05
B 1 2420 2420 8.07 ＜ 0.05
AB 1 20 20 0.07 ＞ 0.05
误 差 16 4800 300
结论,尚不能认为两种缝合方法对神经轴突通过率
有影响；可以认为缝合后 2月与 1月相比，神经轴突
通过率提高了。
21
二、完全随机分组两因素
析因设计与方差分析
22
例 11-2 观察 A,B两种镇痛药物联合运用在
产妇分娩时的镇痛 效果。 A药取 3个剂量,1.0m，
2.5mg,5.0mg； B药也取 3个剂量,5μ g,15μ g
,30μ g。共 9个处理组。将 27名产妇随机等分为 9
组，每组 3名产妇，记录每名产妇分娩时的镇痛时
间，结果见表 11-7。试分析 A,B两药联合运用的
镇痛效果。
23
表 11-7 A,B两药联合运用的镇痛时间（ min）
A药物剂量 B药物剂量5μg 15μg 30μg
1.0 mg 105 115 75
80 105 95
65 80 85
2.5 mg 75 125 135
115 130 120
80 90 150
5.0 mg 85 65 180
120 120 190
125 100 160
24
表 11-8 镇痛时间的合计值
A 药
(I =3)
B 药 (J=3) 合计
（ Ai）5μg 15μg 30μg
1.0mg 250 300 255 805
2.5mg 270 345 405 1020
5.0mg 330 285 530 1145
合计（ Bi） 850 930 1190 2970
全部数据的平方和：
2 355150X ??
25
表 11-9 两药联合运用的镇痛时间的方差分析表
变异来源 df SS MS F P
总变异 26 28450.000
A药主效应 2 6572.222 3286.111 8.47 ＜ 0.01
B药主效应 2 7022.222 3511.111 9.05 ＜ 0.01
A药 × B药 4 7872.222 1968.056 5.07 ＜ 0.01
误 差 18 6983.334 387.963
结论：① A药不同剂量的镇痛效果不同；② B药不同剂量
的镇痛效果不同；③ A,B两药有交互作用,A药 5.0mg和 B
药 30μ g时,镇痛时间持续最长。
26
协方差分析
第十三章
27
表 13-3 三种饲料喂养猪的初始重量与增重（单位,kg）
A饲料 B饲料 C饲料
X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3
1 15 85 17 97 22 89
2 13 83 16 90 24 91
3 11 65 18 100 20 83
4 12 76 18 95 23 95
5 12 80 21 103 25 100
6 16 91 22 106 27 102
7 14 84 19 99 30 105
8 17 90 18 94 32 110
13.750 81.750 18.625 98.000 25.375 96.875
编号
均值
28
方差分析表
变异来源 自由度 SS MS F P
总变异 23 2555.958
组间变异 2 1317.583 658.792 11.17 ＜ 0.01
组内变异 21 1238.375 58.970
完全随机设计类型的方差分析
29
10名正常孕妇妊娠时间与血清载脂蛋白含量
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
0 10 20 30 40
è? é? ê±?? ( ?ü )
?a
??
??
??
μ°
°×
o?
á?
(g/
L)
30
x
y
原则：各实测点至直线纵向距离的平方和为最小
求解回归直线
31
直线回归方程的计算
xx
xy
l
l
xx
yyxx
b ?
?
??
?
?
?
2)(
))((
xbya ??
32
10名正常孕妇妊娠时间 (周 )与血清载脂蛋白含量
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
0 10 20 30 40
è? é? ê±?? ( ?ü )
?a
??
??
??
μ°
°×
o?
á?
xy 0 0 9 4.08 9 4 7.0? ??
(g/
L)
33
P
应变量 y 离均差平方和划分示意图
y
x
)( yy ?
)?( yy ?
)?( yy ?
y
x
)?()?()( yyyyyy ?????
34
总离均差平方和的分解：
)?()?()( yyyyyy ?????
? ? 2)( yy ? ? 2)?( yy ? ? 2)?( yy+=
总回 SSSS /决定系数
2R ＝
回剩总 SSSSSS ??
即
对于所有观测点，都有：
35
第一节 协方差分析的
基本思想和步骤
36
建立应变量 Y随协变量 X变化的线性回
归关系, 并利用这种回归关系把 X值化为
相等后再进行各组 Y的修正均数间比较的
假设检验 。
一、基本思想
37
二、应用条件
1,理论上要求观察变量服从正态分布，各观察
变量相互独立，各样本方差齐性；
2,各总体客观存在线性回归关系且斜率相同。
38
第二节 完全随机设计
资料的协方差分析
39
例 13-1 为研究 A,B,C三种饲料对猪的催肥效
果，用每种饲料喂养 8头猪一段时间，测得每头
猪的初始重量（ X）和增重（ Y）数据见表 13-3
上半部。试分析三种饲料对猪的催肥效果是否
相同？
40
表 13-3 三种饲料喂养猪的初始重量与增重（单位,kg）
A饲料 B饲料 C饲料
X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3
1 15 85 17 97 22 89
2 13 83 16 90 24 91
3 11 65 18 100 20 83
4 12 76 18 95 23 95
5 12 80 21 103 25 100
6 16 91 22 106 27 102
7 14 84 19 99 30 105
8 17 90 18 94 32 110
13.750 81.750 18.625 98.000 25.375 96.875
编号
均值
41
1,H0：各总体增重的修正均数相等
H1：各总体增重的修正均数不全相等
α = 0.05
协方差分析步骤：
2．列表并计算初步结果
42
表 13-3 三种饲料喂养猪的初始重量与增重（单位,kg）
()XY??
A饲料 B饲料 C饲料
X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X Y
15 85 17 97 22 89
13 83 16 90 24 91
11 65 18 100 20 83
12 76 18 95 23 95
12 80 21 103 25 100
16 91 22 106 27 102
14 84 19 99 30 105
17 90 18 94 32 110
8 8 8 24
110 654 149 784 203 775 462 2213
1544 53952 2803 77016 5267 75645 9614 206613
9103 14667 19911 43681
22()XY??
XY?
n
合计
43
变异来源 ν 离均差平方和及积和 估计误差
总变异
组间变异
组内变异
修正均数
协方差分析计算表模式
2()YY???XXl XYl YYl ν MS
F
44
3,计算相应的校正数、总的、组间及组内的
离均差平方和、积和及自由度
（ 1）校正数
22
12
3
46 2 22 13
88 93,5 20 40 57,0 4
24 24
46 2 22 13
42600.25
24
CC
C
? ? ? ?
?
??
45
（ 2）总的离均差平方和、积和及自由度
9614 8893.5 720.5
206613 204057.04 2555.96
43681 42600.25 1080.75
24 1 23
XX
YY
XY
l
l
l
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
46
（ 3）组间离均差平方和、积和及自由度
2 2 2
2 2 2
11 0 14 9 20 3
88 93,5 54 5,25
8
65 4 78 4 77 5
204057.04 1317.58
8
11 0 65 4 14 9 78 4 20 3 77 5
42600.25 659.88
8
3 1 2
XX
YY
XY
l
l
l
?
??
? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
47
（ 4）组内离均差平方和、积和及自由度
72 0.5 54 5.2 5 17 5.2 5
25 55,96 13 17,58 12 38,38
10 80,75 65 9.8 8 42 0.8 7
24 3 21
XX
YY
XY
l
l
l
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
48
4．计算总的、组内及修正均数的估计误差平
方和、自由度
2
2 1 0 8 0, 7 5( ) 2 5 5 5, 9 6 9 3 4, 8 4
7 2 0, 5
2 3 1 2 2
YY
?
?
? ? ? ?
? ? ?
?总的
2
2 4 2 0, 8 7( ) 1 2 3 8, 3 8 2 2 7, 6 4
1 7 5, 2 5
2 1 1 2 0
YY
?
?
? ? ? ?
? ? ?
?组内
2( ) 9 3 4, 8 4 2 2 7, 6 4 7 0 7, 2 0
3 1 2
YY
?
?
? ? ? ?
? ? ?
?修正均数
49
5．列协方差分析表，查 F界值表,P＜ 0.01,拒
绝 H0，接受 H1，可以认为在扣除初始体重因素的
影响后，三组猪的总体增重均数有差别。
变异来源 ν 离均差平方和及积和 估计误差
总变异 23 720.50 1080.75 2555.96 22 934.84
组间变异 2 545.25 659.88 1317.58
组内变异 21 175.25 420.87 1238.38 20 227.64 11.38
修正均数 2 707.20 353.60 31.07
协方差分析表
2()YY???XXl XYl YYl ν MS
F
50
6．计算公共回归系数 bc及各组修正均数
XX
XY
c l
lb
组内
组内? )(* XXbYY
jcjj ???
*
1
*
2
*
3
420.88
2.4
175.25
81,75 2.4 ( 13,75 19,25 ) 94,95
98 2.4 ( 18,625 19,25 ) 99,50
96,875 2.4 ( 25,375 19,25 ) 82,175
c
b
AY
BY
CY
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
饲料
饲料
饲料
51
7．修正均数间差别进行两两比较 – q 检验
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
XX
XXXY
BA
la
l
n
S
YY
q
组内
组间
)1(
1
0
2
**
结果,A饲料与 B饲料修正均数间无差别 (P﹥0.05),
但都高于 C饲料 (P﹤0.01),可以认为在扣除初始体重影
响后,A饲料和 B饲料喂养的平均增重均比 C饲料多。
