1
工商管理中的定量分析方法
——数据, 模型和决策
同济大学经济与管理学院 孙昌言
2
项目投资决策案例
新 产品投资决策问题
1.某企业开发了一种新产品，生产该产品需要投入的
厂房、设备、工装等的固定投资为 2000万元，项目的建
设期为 1年，固定投资费用在建设期初一次投入，产品
投产时还需一次性投入流动资金 1000万元。通过市场调
研，估计该产品的市场寿命为 5年,5年末该项目的固定
资产残值为固定投资额的 20%，流动资金可在寿命期末
全部回收。根据调研估计，该产品上市后出现滞销、销
售一般、畅销的概率分别为 30%,30%和 40%。经财务部
门估算，在上述三种销售状况下该项目投产后的年净收
益分别为 100万,600万和 1000万元，考虑到资金的机会
成本，取贴现率为 6%。
总经理需要作出是否应投资生产该新产品的决策。
3
2.销售部经理的建议
为使对该项目的投资决策更具科学性，减少决策风险，
总经理召开了有销售、生产、财务、技术等部门负责人
参加的会议。会上销售部经理提出，为减少决策风险，
在决定是否投资生产该产品前先利用企业原有的厂房设
备进行少量试生产，并将试生产的产品免费赠送用户试
用以获得该产品的用户反馈信息的方案。用户试用后所
得反馈结果经汇总后可分为“不满意”、“尚可”和
“满意”三种。销售部经理还提供了采用该类方法所得
反馈结果与产品正式上市后销售状况间的统计资料，见
表 1。
4
表 1.销售状况与试用结果间的统计资料
销售状况
试用结果
滞销 一般 畅销
不满意 1 4 ( 0, 7 ) 6 ( 0, 3 ) 2 ( 0, 1 )
尚可 5 ( 0, 2 5 ) 8 ( 0, 4 ) 6 ( 0, 3 )
满意 1 ( 0, 0 5 ) 6 ( 0, 3 ) 1 2 ( 0, 6 )
合计 2 0 ( 1, 0 ) 2 0 ( 1, 0 ) 2 0 ( 1, 0 )
2 0 (
注：表中数据为各种调查结果的次数，
（）内为发生的频率，可视为 不同销售状况
下各种试验结果的条件概率 。
5
如何进行科学决策？
总经理要求财务部经理对销售部经理所提方
案的费用进行估算。
在下一次的会议上，财务部经理给出了试生
产、分发用户试用及收集用户反馈信息等项工
作的总费用估算结果为 100万元。
会上有人提出是否值得花 100万元进行试生产
并免费赠送用户试用，并展开了激烈的争论。
总经理要求对各种方案的风险及经济效益进
行科学的分析与评价。
6
第一章 概率基础
§ 1.1 随机试验与随机事件
一,随机试验 称满足以下条件的试验为随
机试验，简称试验，常用字母 E表示
1．可在相同条件下重复进行；
2．试验的结果不止一个，并能事先明确所有
可能出现的结果；
3．试验前不能确定将会出现哪一结果。
7
二,随机事件
1,基本事件 ——试验中每一可能出现的结果，称为该
试验的一个 基本事件 或 样本点 。
2,复合事件 ——由多个基本事件构成的集合。
基本事件和复合事件统称为 随机事件,常用字母 A，
B,C,… 表示。
3,样本空间 ——由试验 E所有基本事件组成的集合，
称为 E的 样本空间,常用字母 S表示。
4,必然事件 ——每次试验中必然发生的事件；样本空
间 S是必然事件。
5,不可能事件 ——试验中不可能发生的事件；不含任
何基本事件的空集是不可能事件；记为 φ 。
8
【 例 1】 掷一枚骰子，观察出现的点数,
记 A1为 {出现偶数点 }； A2为 {小于 4的点 },A3为 {不超过
6的点 },A4为 {大于 6的点 }。
则,S ={1,2,3,4,5,6}； A1={2,4,6}；
A2={1,2,3}； A3=S； A4=φ
【 例 2】 在一批产品中连续抽取二次，每次任取一件进
行检验，分别记 T,F为抽到正品和次品，并记 A1为
{第一次抽到的是正品 },A2为 {抽到一个正品 },A3为
{两次抽到的质量相同 }，则：
S = {(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)}；
A1={(T,T),(T,F)}；
A2={(T,F),(F,T)}；
A3={(T,T),(F,F)}
9
三,事件间的关系和运算
1,事件的包含与相等 若 A
发生必然导致 B发生, 则称 B包
含 A或 A包含于 B,记为 B?A或
A?B。 若同时有 A?B及 B?A,则
称 A与 B相等, 记为 A=B。
显然对于任意事件 A有：
S?A?Φ 。
2,事件的并 (和 ),A与 B至少
有一个发生, 的事件, 称为 A并
B(A与 B的和 ),记为 A∪B 。
显然有 A?A∪B, B?A∪B 。 A∪ B
A B
A? B
B A
S
S
10
3.事件的交 (积 )
“A与 B同时发生,, 称为 A
交 B,记为 A∩B 或 AB。
显然有 AB?A,AB?B。
4.互斥 (互不相容 )事件
若 A与 B不能同时发生, 即
AB=φ, 则称 A与 B互斥 。
显然, 基本事件都是互斥
的 。
AB
A
A与 B互 斥
BA
B
11
5.事件的差
“A发生而 B不发生, 的事件，称
为 A与 B的差,记为 A-B。
显然有 A-B?A； B(A-B)=φ 。
6.互逆 (对立 )事件
若试验中,A与 B必有且仅有一
个发生，即同时满足 A∪ B=S和
AB=φ，则称 A与 B互逆 (对立 )，
并称 A是 B的 逆事件,反之亦然，
记为
A= 或 B=
显然有 =S-A,A=φ,=A。
B
A
A
A A
A-B
BA
AA
互逆事件
12
7．事件运算的性质
(1)交换律, A∪B=B∪A ； AB=BA
(2)结合律, (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(AB)C=A(BC)
(3)分配律,
(A∪B)C=(AC)∪(BC)
(AB)∪C=(A∪C)(B∪C)
(4)对偶律,
BAAB ??
ABA ?? B
A B
C
(A∪ B)C
A B
C
(AB)∪ C
13
【 例 3】 如何表示复杂事件
在一批产品中连续抽检 3个产品，记 Ai={第 i个
是次品 },i=1,2,3,用 Ai间的关系表示以下事
件：
(1) 至少有一个次品,A1∪ A2∪ A3`；
(2) 3个都是次品,A1A2A3；
(3) 3个都是正品,；
(4) 至少有一个正品：
其中 (1)与 (3)是互逆事件,(2)与 (4)也是
互逆事件。
AAA 321
AAA 321
14
课堂练习 1：习题 1.1
在一批产品中连续抽取 3个产品进行检验,
记 Ai={第 i个抽到的是次品 },i=1,2,3。 试
用 Ai间的运算关系表示以下事件：
(1)至少有一个正品； (2)全部是正品；
(3)恰有一个次品； (4)不多于 2个次品；
(5)不多于 2个正品； (6)不多于 1个次品 。
15
§ 1.2 概 率
一．事件的概率
1,概率的统计定义 设 nA为在 n
次独立重复试验中事件 A发生的次数,
当 n很大时, 事件 A发生的频率 将
稳定在某一常数 P附件, 这一客观存
在的常数 P就称为事件 A的 概率, 记
为 P(A)。
nnA
16
2.概率的性质
(1)0≤P(A)≤1
(2)P(S)=1； P(φ )= 0
(3)P( )=1-P(A) (*)
(4)若 A?B，则 P(A)≤P(B)
(5)若 AB=φ,则 P(A∪B)= P(A)+P(B) (*)
(6)P(A∪B)= P(A)+P(B) -P(AB) (*)
以上性质 (5)称为 概率的加法定理,还可以
推广到多个事件的场合。
以上性质 (6)称为 概率的广义加法定理 。
A
17
课堂练习 2：广义加法定理的推广
设 A,B,C为任意三个事件,P(A)、
P(B),P(C),P(AB),P(AC),P(BC)、
P(ABC)都已知，求 P(A?B?C)
18
案例 1
某厂产品的次品率为 2%，以每箱 100件
出厂。用户对产品采用如下检验方法：从
一箱中任取 10件检验，若发现次品则判定
该箱产品不合格并作退货处理。
问：该厂产品遭退货的概率是多少？
19
3.等可能概型 (古典概型 )
称满足以下条件的试验为古典概型：
(1)试验的样本空间仅有有限个基本事件；
(2)试验中每一基本事件发生的概率相等。
古典概型中事件的概率计算公式：
(*)
基本事件总数
中包含的基本事件数AP ( A ) ?
20
【 例 4】 古典概型概率的计算
在 100件产品中有 5件是次品，从中任取
10件，求以下事件的概率：
(1)A ={全为正品 }，
(2)B ={恰有 1件次品 }，
(3)C ={至少有 3件次品 }，
(4)D ={至少有 1件次品 }。
21
解,将每一种可能的取法作为一个基本事件
(1) 取到的 10件正品只能从 95件正品中抽
取，共有 种不同取法；样本空间总
数为,故
P(A)= ／ =0.5838
(2)1件次品是从 5件次品中抽得的，另 9件
是从 95件正品中抽取的，共有
种不同取法，故
P(B)= ／ =0.3394
本例问题属于“超几何分布”，见本章第 3节。
C10100
C1095
C1095 C10100
C15 C995
C15 C995 C10100
22
古典概型概率的计算
(3) ∵ { 至少有 3件次品 }={恰有 3件次
品 }∪ { 恰有 4件次品 }∪{ 恰有 5件次品 }，
且以上等式右边三个事件是互斥的，故
=0.0066
(4) 显然,D =,故
P(D)= P( )= 1- P(A)
=1- 0.5838 = 0.4162
C/)CCCCC(CP ( C ) 101 0 0595556954579535 ???
A
A
23
案例 1解答
某厂产品的次品率为 2%，以每箱 100件
出厂。用户对产品采用如下检验方法：从
一箱中任取 10件检验，若发现次品则判定
该箱产品不合格并作退货处理。求：该厂
产品遭退货的概率。
解,即求 P{次品数 ?1}.
P{次品数 ?1}=1-P{0个次品 }
=
1 9 0 9.01 10
1 0 0
10
98 ??
C
C
24
案例 2
某地区死亡人口统计资料表明，该地区
人口死亡年龄不低于 60岁的占 80%，死亡
年龄不低于 80岁的占 20%。
问：该地区现年 60岁的人能活到 80岁的
概率是多少？
25
二,条件概率
1,定义 设 A,B是两个事件，且
P(A)>0，称在 A已发生的条件下 B发生的概
率为 B对 A的 条件概率,记为 P(B|A)。
26
【 例 5】 产品抽样检验问题
已知 10件产品中有 3件是次品，从中先
后抽取 2件，作不放回抽样，求第一次取
到次品后，第二次再取到次品的概率。
解,设 A={第一次取到的是次品 }，
B={第二次取到的是次品 }，
当 A发生后，还剩下 9件产品，其中有 2
件次品，故
P(B|A)=2/9
27
2,概率的乘法公式
设 A,B为两个事件，且 P(A)>0，则
P(AB)=P(A)P(B|A) (*)
由概率的乘法公式，可得求条件概率的
如下公式：
(*)
P ( A )
P ( A B )A)P ( B ?
28
【 例 6】 在例 5所给问题中，求抽到的二件
都是次品的概率。
解,由题意,即要求 P(AB)，
P(AB)= P(A)P(B|A)
= 3/10× 2/9=1/15
29
案例 2解答
某地区死亡人口统计资料表明，该地区人口
死亡年龄不低于 60岁的占 80%，死亡年龄不低于
80岁的占 20%。问：该地区现年 60岁的人能活到
80岁的概率是多少？
解,设 A={寿命 ?60},B={寿命 ?80}，
求 P(B|A)。
?B ? A,∴ P(AB)=P(B)
P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)
=0.2/0.8=0.25
A B
P(AB)=P(B)
30
案例 3
统计资料表明，某地癌症发病率为千
分之五，现该地区正进行癌症普查。普查
试验的结果为阴性或阳性。以往的临床资
料表明，癌症患者试验反应为阳性的概率
是 0.95，健康人试验反应呈阳性的概率是
0.04。问：
(1)当某人试验反应为阳性时他确患癌
症的概率；
(2)试验反应为阴性者患癌症的概率。
31
3,全概率公式
若 A1,A2,A3,…,An为样本空间 S的一个 完
备事件组,即满足条件：
(1) A1∪A 2∪A 3∪ …∪A n = S
(2) AiAj =φ, i≠j ； i,j=1,2,3,…,n
(3) P(Ai)>0,i=1,2,3,…,n
则对任一事件 B，都有 (*)
??
??
??
n
i
ii
n
i
i ABPAPBAPBP
11
)|()()()(
A1
A2
A3 A
5
A6
A4 A
n
B
32
4,贝叶斯 (Bayes)公式
若 A1,A2,A3,…,An 为样本空间 S的一个完
备事件组，则对任一事件 B,(P(B)>0),有
i=1,2,…,n (*)
贝叶斯公式在风险型决策中有非常重要的应
用，详见本章最后的案例。
)(
)|()(
)|()(
)|()(
)|(
1
BP
ABPAP
ABPAP
ABPAP
BAP
ii
n
i
ii
ii
i ??
?
?
33
【 例 7】 贝叶斯公式的简单应用
某产品由甲、乙、丙三个班组生产，甲、
乙、丙班的产量分别占全部产量的 50%、
30%和 20%；次品率分别为 2%,3%和 1%。现
任取 1件进行检验，求：
(1)抽到的是甲班生产，且是次品的概
率；
(2)抽到次品的概率；
(3)若抽到的是次品，求该次品是丙班
生产的概率。
34
解,记 A1,A2,A3，分别为抽到的产品是甲班、
乙班、丙班生产的,B={抽到的是次品 }。
(1) 由概率的乘法公式，
P(A1B)= P(A1)P(B|A1)=0.50× 0.02=0.01
(2) 由全概率公式
P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)
=0.5╳ 0.02+0.3╳ 0.03+0.2╳ 0.01= 0.021
(3) 由 Bayes公式
0 9 5 2.0021.0 01.02.0)( )|()()|( 333 ???? BP ABPAPBAP
35
关于 Bayes公式
Bayes公式更主要的应用是风险型决策分析。在通过
试验能获取追加信息的条件下，修正所研究问题的
概率分布，达到降低风险，获得更大效益的目的。
在 Bayes公式中各事件和概率都有特殊的意义，其中：
P(Ai)——称为事件 Ai的 先验概率,由过去的统计资料
或根据经验估计得到；
B ——为某一试验可能出现的结果之一；
P(B|Ai)——已知的 条件概率,由该类试验的统计资料
获得，反映了试验的精度 (所提供追加信息量的大
小 )。
P(Ai|B)——称为 后验概率,即当试验出现结果 B时，
对 Ai概率分布的修正。
36
案例 3解答
统计资料表明，某地癌症发病率为千
分之五，现该地区正进行癌症普查。普查
试验的结果为阴性或阳性。以往的临床资
料表明，癌症患者试验反应为阳性的概率
是 0.95，健康人试验反应呈阳性的概率是
0.04。问：
(1)当某人试验反应为阳性时他确患癌
症的概率；
(2)试验反应为阴性者患癌症的概率。
37
记,A1={癌症患者 },A2={健康人 }，
B1={反应阳性 },B2={反应阴性 }
由题意可知,P(A1)=0.005,P(A2)=0.995,(B1|A1)=0.95，
P(B2|A1)=0.05,P(B1|A2)=0.04,P(B2|A2)=0.96，
由全概率公式,P(B1)= P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)
= 0.005× 0.95+0.995× 0.004 = 0.04455
P(B2)=1- P(B1)=1- 0.04455=0.95545。
由 Bayes公式可得
即普查试验反应为阳性者确患癌症的概率是 10.66%，而
反应为阴性者患癌症的概率为万分之 2.6。
1 0 6 6.0045.0 95.0005.0)( )|()()|(
1
111
11 ???? BP ABPAPBAP
0 0 0 2 6.09 5 5 4 5.0 05.0005.0)( )|()()|(
2
121
21 ???? BP ABPAPBAP
38
三,事件的独立性
若事件 A发生的概率不受 B是否发生的
影响，反之亦然，则称事件 A与 B相互独
立 。即
P(B|A)=P(B) (*)
P(A|B)=P(A)
由 P(AB)=P(A)P(B|A)，可得 A,B独立
等价于
P(AB)=P(A)P(B) (*)
39
【 例 8】 不同抽样方法的差异
已知 10件产品中有二件次品，分别采用放回
抽样和不放回抽样方法，从中任取二件，求抽
到的都是次品的概率。
解：记 A={第一次抽到的是次品 },
B={第二次抽到的是次品 }。
(1)采用放回抽样,A,B独立，则
P(AB)=P(A)P(B)= 2/10× 2/10 = 0.04
(2)不放回抽样,A,B不独立，则
P(AB)= P(A)P(B|A)= 2/10× 1/9 = 0.022
40
课堂练习 3：习题 1.5
用甲,乙两种防空导弹同时向一架入侵
的敌机射击。已知甲导弹的命中率为 0.6，
乙导弹的命中率为 0.7，求敌机被击中的
概率。
41
§ 1.3 随机变量及其分布函数
一, 随机变量
任何随机试验的试验结果, 都可以定
量化并用随机变量表示 。
例如, 在灯泡寿命试验中, 令 X为, 灯
泡寿命, (小时 ),则 X为一随机变量 。
{X>500},{X≤1000},{800<X≤1200}
等表示了不同的随机事件。
42
1,分布函数
设 X是一随机变量,x是任意实数，称函数
(*)
为 X的 分布函数 。显然，对任意实数 x1< x2，有
P{ x１ <Ｘ ≤ x2 }= P{ X≤ x2 }-P{ X≤ x1 }
= F( x2 )- F( x1 ) (*)
2,分布函数的性质
(1)0≤F( x )≤1； x∈ (－ ∞,＋ ∞)
(2)对任意 x1< x2，有 F( x1 )≤F( x2 )
(3)
0)()( lim ????
???
xFF
x
1)()( lim ???? ??? xFF x
}{)( xXPxF ??
43
§ 1.4 离散型随机变量
一．离散型随机变量的概率分布
1,离散型随机变量的概率分布
设离散型随机变量 X的所有可能取值为 xk，记
P{X= xk}= Pk, k=1,2,…
称上式为 X的 概率分布 或 分布律,简称 分布 。
2,概率分布的性质
(1) 0 ≤Pk ≤1； k=1,2,…
(2) ? Pk = 1
(3)
?
?
?
xx
x
k
kP)F(
44
二, 二项分布
若试验 E仅有两个可能结果 A和,记
P(A) = p,P( )=1-p = q, (0 < P < 1)
将 E独立地重复进行 n次，令 X为“事件 A发生
的次数”，则
(*)
q=1-P,k=0,1,2,…,n
称 X服从 二项分布,记为 X～B (n,p)
由于上式中的第 k项恰好是二项式 (p+q)n 展开
式中的第 k+1项，故称之为二项分布。
knkk
n qpCkXP
??? }{
A
A
45
【 例 9】 设某台设备所加工产品的次品率
为 0.02，求 90件产品中次品数 ≥2的概率。
解, 将加工 90件产品视为 90重贝努利试
验，令 X为次品数，由题意,p=0.02，
q=0.98,则
P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1}
本例中，若将要求改为“求次品数 ≥10的概
率,,则计算将是极其繁琐的，当 n很大,P很
小时，二项分布可用下面介绍的 泊松分布 来近
似求解。
使用 Excel 求解二项分布
5396.098.002.098.002.01 891190900090 ???????? CC
46
三,泊松分布
设随机变量 X的所有可能取值为 0,1,2,…,若
k=0,1,2,…
其中 λ 为大于零的常数（即其数学期望），则
称 X服从参数为 λ 的 泊松分布,记为 X～?(λ )。
泊松分布在经济管理领域有很重要的应用，同
时它又是二项分布的极限分布，通常当
n≥50,p<0.1,np<5 时，就可以用 λ=np 的
泊松分布来近似二项分布。
!
}{
k
ekXP k ?? ???
47
【 例 10】 在例 9中，用泊松分布近似求次品数 ≥ 10
的概率。
解, λ= np = 90× 0.02 = 1.8
查泊松分布表 (λ=1.8,x =10) 得
P{X≥10}= 0.000019
说明：通常泊松分布表给出的是 累积概率
的值 。
用 Excel 求解 泊松分布问题
?
?
?
??????
9
0
8.1
!
8.11}10{1}10{
k
k
k
eXPXP
0 0 0 0 1 9.0!8.1
10
8.1
?? ?
?
?
?
k
k
k
e
???
?
?
?
xk
k
k
exXP
!}{
??
48
四,超几何分布
在 N件产品中有 M件次品，采用不放回抽样，
随机抽取 n件,设 X为抽到的次品数，则 X服从
如下的 超几何分布； k=0,1,2,…, min{n,M}
本章例 4的概率计算就是利用了超几何分布。
可以证明，二项分布是超几何分布的极限分布。当 N
很大而抽取的样本数 n 相对较小时 (n/N<0.1)，就可用二
项分布来近似超几何分布 (即将不放回抽样用放回抽样
来近似 )。
用 Excel 求解例 4问题
C
CC
n
N
kn
MN
k
MkXP
?
??? }{
49
§ 1.5 连续型随机变量
一,连续型随机变量的概率密度
1,定义 对连续型随机变量 X，如果存在非负
可积函数 ?( x )，使得对任意实数 x，有
则称 ?( x )为 X的 概率密度函数,简称 概率密度 或
密度 。
? ??? x dttfxF )()(
50
2,概率密度的性质
(1)
(2) ；
(3) ；
(4)若 ?( x )在点 x 处连续,则：
由 (3)式可知,X的分布函数 F( x )的值，以及
X落在区间 ( x1,x2 ] 上的概率，就是相应区间
上概率密度曲线下的面积，见下图所示。
1)( ?????? dxxf
???? ba dxxfbXaP )(}{
)()(' xfxF ?
0)( ?xf
51
f (x)
xx0
f (x)
xb0 a
分布函数和密度函数的关系
(*)? ??? x dttfxF )()(
???? ba dxxfbXaP )(}{
52
二．几种重要的连续型分布
1,指数分布 若随机变量 X的概率密度为； x?0； x<0
其中 λ >0为常数，则称 X服从参数为 λ 的 指数分
布 。
不难求得指数分布的分布函数为：； x?0； x<0
?
?
?
?
?
0
)(
xe
xf
??
?
?
? ?
?
?
0
1
)(
xe
xF
?
53
指数分布的应用
通常产品的无故障工作时 间 服从指数分
布，其参数 ?就是 失效率, 1/? 则是 平均
无故障工作时间 。
【 例 11】 设某品牌彩电无故障工作时间
服从 λ =1/2000 的指数分布。求该种彩电
无故障工作时间不少于 1000小时的概率。
解, P{X≥1000}=1-P{X≤1000}=1-F(1000)
=1-(1-e-1000/2000)= e-0.5 = 0.6065
用 Excel 求解连续型分布问题
54
2．正态分布
设随机变量 X的概率密度为
其中 ?,?为常数，且 ?>0，则称 X服从
参数为 ?,?的 正态分布,记为 X～N(?,?2)。
正态分布密度函数的图形见下图所示。
e
x
xf 2
2
2
)(
2
1)(
?
?
??
??
?
55
正态分布密度函数的图形
0
x
f (x)
0
?=0.5
?=1
?=2
?
f (x)
x?
1 ?2
56
(1)正态分布密度函数的性质
① ?( x ) 在 x =μ处达到最大值,x 离 μ
越远,f ( x ) 的值越小，且以 x 轴为渐近
线；
② 曲线关于 x =μ对称；
③ ?越小，曲线越陡峭,?反映了 X取
值的离散程度；
④ 对相同的 ?，改变 μ值相当于曲线的
平移 。
57
(2)标准正态分布
称 ? = 0,? =1 的正态分布为 标准正态分布,
记为 N(0,1),其密度函数和分布函数分别记为
? ( x ) 和 ? ( x ) 。
(3) 正态分布表的使用
查正态分布表时常要用到以下关系 (*)
① P{ X≤a } = ? ( a )
② P{ X > a } =1-? ( a )
③ P{a<X≤b}=?(b)-?(a)
④ ? ( -a ) = 1-? ( a )
0 a-a
?(x)
?(-a) ?(a)
x
58
【 例 12】 设 X～N(0,1),求 ① P{X≤1.89}，
② P{X>-2.13}，③ P{-0.97<X≤2.35}
解, 查表可得：
① P{X≤1.89}= ?(1.89)=0.9706
② P{X>-2.13}=1- ?(-2.13)
= ?(2.13)=0.9834
③ P{-0.97<X≤2.35}
= ?(2.35)- ?(-0.97)
= ?(2.35)-(1- ?(0.97))
= 0.9906-1+0.8340=0.8246
59
案例 4 保用年限应定为几年？
设某厂生产的某种电子产品的寿命服从 μ =8
年,?=2年的正态分布，问
(1)该产品寿命小于 5年的概率是多少？
(2)寿命大于 10年的概率是多少？
(3)厂方要对外承诺，若该产品在保用期内失
效可免费更换，厂方希望将产品的免费更换率
控制在 1%以内，问保用年限最长可定为几年？
60
(5)非标准正态分布的标准化变换
设 X～N(?,?2)，则
～N(0,1) (*)
上式就称为正态分布的 标准化变换 。
?
??? XZ
61
(6)非标准正态分布的查表
设 X～N(?,?2)，则计算时可运用以下关系 (*)：
① P{X≤a}=
② P{X>a}=1-
③ P{a<X≤b}= -
④ F(-a)=1-
)(}{ ? ?? ?? ? ?????? aaXP
)( ? ??? a
)( ? ??? b )( ? ??? a
)( ? ??? a
62
案例 4 解答
设某厂生产的某种电子产品的寿命服从 μ =8年，
?=2年的正态分布，问
(1)该产品寿命小于 5年的概率是多少？
(2)寿命大于 10年的概率是多少？
(3)厂方要对外承诺，若该产品在保用期内失效
可免费更换，厂方希望将产品的免费更换率
控制在 1%以内，问保用年限最长可定为几年？
63
设 X为该产品的使用寿命，则 X～N(8,22)
(1)
(2)
(3)设保用年限最长可定为 n 年,则由题意
即
查表得,(8-n) /2 ? 2.33，得 n ? 3.34，
取 n =3，故保用年限最长可定为 3年。
0 6 6 8.0)5.1(1)5.1()2 85(}5{ ???????????XP
1 57 8.0)1(1)2 810(1}10{ ?????????XP
01.0)2 8(}{ ????? nnXP
99.0)28()2 8(1 ??????? nn
用 Excel求解
64
3?法则
【 例 13】 设 X～N(?,?2),求,(1)P{?-?<X<?+?}，
(2)P{?-2?<X<?+2?},(3)P{?-3?<X<?+3?}
解, P{?-?<X<?+?}=?(1)-?(-1)
=2?(1)-1=0.6826
同理可得：
P{?-2?<X<?+2?}=2?(2)-1=0.9544
P{?-3?<X<?+3?}=2?(3)-1=0.9974
X落在 (?-3?,?+3?)内的概率为 99.74%，落在该区间
外的概率仅为 0.26%，几乎是不可能事件。正态分布的
这一性质称为, 3?法则,，在质量管理中常运用这一
法则判断生产过程是否出现异常。
0.9974
-3 ? 3 ?
0.9974
?
65
课堂练习 4：习题 1.10
某台加工缸套外径的机床，当将尺寸定位在 μ
时，所加工的缸套外径尺寸 X~N(μ,σ 2)，其中
σ =0.01(mm)，缸套外径的允许公差为 0.02
(mm)，求
(1)该机床加工缸套的合格率；
(2)当 σ = 0.007时,所加工缸套的合格率又为
多少?
由本题的计算结果，可知正态分布中的参数
σ 反映了该机床的什么指标?
66
(7)正态分布的性质
① 若,,且 X
与 Y独立，则
② 设,且相互独立，
i = 1,2,…,n,则
)σ,μN(~X 211 )σ,μN(~Y 222
)σ,σμN( μ~YXZ 222121 ????
),σN( μ~X 2iii
)σ,μN(~XY
i
2
ii ii i ????
)σk,μkN(~XkY
i
2
i
2
ii iii ii ????
67
§ 1.6 随机变量的数字特征
一．数学期望
1,离散型随机变量的数学期
设离散型随机变量 X的分布律为 P{X=xk}=Pk，
k=1,2,…，称级数
为 X的 数学期望,简称 均值 。
由定义可知，离散型随机变量的数学期望，
就是以概率 Pk为权数，对 X的所有可能取值的加
权平均值,故期望也称为均值。
?
?
?
?
1
)(
k
kk pxXE
68
2,连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望为：
若 X～N(μ,σ2)，则 E(X) =μ
3,数学期望的性质
设 c,k,b为常数,X,Y 为随机变量
(1) E(C)= C；
(2) E(kX)=kE(X)；
(3) E(kX＋ b)=kE(X)+b；
(4) E(X± Y)=E(X)± E(Y)；
(5) 若 X,Y独立，则 E(XY)= E(X)E(Y)
? ????? dxxxfXE )()(
69
二, 方差
方差是反映随机变量取值离散程度的数字特征。
1,定义 对随机变量 X，若
E{[X- E(X)]2} 存在，则称它为 X的 方差,
记为 D(X)或 Var(X),即
D(X)= E{[X–E(X)]2}
并称
为 X的 标准差 。标准差与 X具有相同的量纲。
)()( XDX ??
70
(1)对离散型随机变量
(２ )对连续型随机变 量 X
若 X～N(μ,σ 2),则 D(X)=σ 2
2,方差的性质
设 c,k,b为常数,X,Y为随机变量
(1) D(c)= 0；
(2) D(kX)=k2D(X)； D(kX＋ b)=k2D(X)
(3) 若 X,Y独立，则,D(X± Y)=D(X)＋ D(Y)
? ???? ?? dxxfXExXD )()]([)( 2
? ??
k
kk PXExXD
2)]([)(
71
§ 1.7 大数定律和中心极限定理
一．大数定律
1.切比雪夫定理 设 Xi,i=1,2,…,n相互
独立,且有相同的期望和方差，即
E(Xi)= μ,D(Xi)=σ2, i =1,2,…, n，
则对任意给定的 ε >0，有
本定理提供了算术平均数法则的理论依据，
即样本均值 依概率收敛 于总体均值。
1}|1{|
1
lim ????
???
??
n
i
i
n
XnP
72
2.贝努利定律
设 nA是 n次独立试验中事件 A发生的次数，
P是每次试验中事件 A发生的概率，则对任
意给定的 ε >0,有
本定理证明了事件的频率 依概率收敛 于
其概率。因此，在实际应用中可以用事件
的频率作为其概率的估计。
1}|{|lim ???
??
?pnnP A
n
73
二,中心极限定理 （描述性）
设随机变量 Xi(i =1,2,…,n)相互独立，且具
有有限的数学期望和方差：
E(Xi)=μi,D(Xi)= σi2,(i =1,2,…,n),
若每个 Xi对总和 ?Xi 的影响不大，则随机变量
Y=?Xi 就近似服从 N(Σμ i,Σσ i2)分布
在自然界和社会经济领域中，大量的随机现
象都是由许多独立的随机因素的共同影响所造
成的。中心极限定理说明了大量随机现象都服
从或近似服从正态分布的原因。这也是在统计
学中通常都假定总体服从正态分布的理论依据。
74
项目投资决策案例
一,新 产品投资决策问题
1.某企业开发了一种新产品，生产该产品需要投入的厂
房、设备、工装等的固定投资为 2000万元，项目的建
设期为 1年，固定投资费用在建设期初一次投入，产
品投产时还需一次性投入流动资金 1000万元。通过市
场调研，估计该产品的市场寿命为 5年,5年末该项目
的固定资产残值为固定投资额的 20%，流动资金可在
寿命期末全部回收。根据调研估计，该产品上市后出
现滞销、销售一般、畅销的概率分别为 30%,30%和
40%。经财务部门估算，在上述三种销售状况下该项
目投产后的年净收益分别为 100万,600万和 1000万元，
考虑到资金的机会成本，取贴现率为 i=6%。
总经理需要作出是否应投资生产该新产品的决策。
75
2.销售部经理的建议
为使对该项目的投资决策更具科学性，减少决策风险，
总经理召开了有销售、生产、财务、技术等部门负责人
参加的会议。会上销售部经理提出，为减少决策风险，
在决定是否投资生产该产品前先利用企业原有的厂房设
备进行少量试生产，并将试生产的产品免费赠送用户试
用以获得该产品的用户反馈信息的方案。用户试用后所
得反馈结果经汇总后可分为“不满意”、“尚可”和
“满意”三种。销售部经理还提供了采用该类方法所得
反馈结果与产品正式上市后销售状况间的统计资料，见
表 1。
76
表 1.销售状况与试用结果间的统计资料
销售状况
试用结果
滞销 一般 畅销
不满意 1 4 ( 0, 7 ) 6 ( 0, 3 ) 2 ( 0, 1 )
尚可 5 ( 0, 2 5 ) 8 ( 0, 4 ) 6 ( 0, 3 )
满意 1 ( 0, 0 5 ) 6 ( 0, 3 ) 1 2 ( 0, 6 )
合计 2 0 ( 1, 0 ) 2 0 ( 1, 0 ) 2 0 ( 1, 0 )
2 0 (
注：表中数据为各种调查结果的次数，
（）内为发生的频率，可视为不同 销售状况
下各种试验结果的条件概率 。
77
如何进行科学决策？
总经理要求财务部经理对销售部经理所提方案
的费用进行估算。
在下一次的会议上，财务部经理给出了试生产、
分发用户试用及收集用户反馈信息等项工作的总
费用估算结果为 100万元。
会上有人提出是否值得花 100万元进行试生产
并免费赠送用户试用，并展开了激烈的争论。
总经理要求对各种方案的风险及经济效益进行
科学的分析与评价。
78
二,案例分析
1.投产后各种销售状况下的项目净现值
记 PWj(i),j=1,2,3 分别为滞销,一般和畅销时的项目净现值。
滞销时的项目现金流量图
PW1(6)=-2000-1000× 1.06-1+100× 1.06-2+100× 1.06-3
+100× 1.06-4+100× 1.06-5+1500× 1.06-6=-1559
PW2(6)=-2000-1000× 1.06-1+600× 1.06-2+600× 1.06-3
+600× 1.06-4+600× 1.06-5+2000× 1.06-6=428
同理可得 PW3(6)=2018
2000
1000
100 100 100 100
1500
0 1 2 3 4 5 6
79
2.不考虑试生产方案
记 X为该产品的未来销售状况,X1,X2,X3分别代表
滞销、一般和畅销。并记 V1(X),V2(X)分别为投产和不
投产两种决策方案的项目净现值，则
E[V1(X)]=0.3× (-1559)+0.3× 428+0.4× 2018=468
E[V2(X)]=0
故最优决策是投产，投产该产品 6年中可为企业带来
468万元的期望净收益 (按净现值计 )。
但该产品投产后有 30%的可能性会滞销。一旦滞销将
使企业在 6年中总计亏损 1559万元 (净现值 )。投产该产
品存在极大的风险。
80
3.考虑试生产方案
记 Y1,Y2,Y3分别代表试用结果为不满意、尚可
和满意。
表 2.求 P(Yi)和后验概率 P(Xj|Yi)的计算表
X1 X2 X3 后验概率
0, 3 0,3 0, 4
P ( Y i)
P ( X 1 | Y i ) P ( X 2 | Y i ) P ( X 3 | Y i )
不满意 Y1 0, 7 0 0, 3 0, 1 0, 3 4 0 0, 6 1 7 6 0, 2 6 4 7 0, 1 1 7 7
尚可 Y2 0, 2 5 0, 4 0, 3 0, 3 1 5 0, 2 3 8 0 0, 3 8 1 0 0, 3 8 1 0
满意 Y3 0, 0 5 0, 3 0, 6 0, 3 4 5 0, 0 4 3 5 0, 2 6 0 9 0, 6 9 5 6
P( Yi | Xj )
81
滞销（ 0.3）
滞销（ 0.6176）
一般（ 0.2647）
畅销（ 0.1177）
滞销（ 0.2380）
一般（ 0.3810）
畅销（ 0.3810）
滞销（ 0.0435）
一般（ 0.2609）
畅销（ 0.6956）
尚可
一般（ 0.3）
畅销（ 0.4）
（ 0.315）
-1659
328
-1659
-1659
-1559
20180
328
328
1918
1918
1918
428
-100
-100
-100
-712
461
1348
468
-100
461
1348
468
576
576
1
2
9
3
4
5
6
7
8
10
|
|
|
|
|
决策树
82
结果分析
该问题的最优决策为：
应先进行少量试生产供用户免费试用，以获得用户反
馈信息。 若用户反馈为不满意，则不投资生产；否则，
都投资生产该产品 。此最优决策的期望净现值为 576万
元，比直接投产的期望净现值多 108万元。
更为重要的是，采用试生产方案可大大降低决策的风
险程度。 当用户反馈结果为“满意”时,投产后滞销的
概率仅为 4.35%，比直接投产后的滞销概率 30%要小得多。
此时投产后的期望净现值更高达 1348万元。而 当用户反
馈结果为“不满意”时,投产后产品滞销的概率则高达
61.76%，由于此时的决策是不投产，故规避了巨大的投
资风险。
83
进一步的分析
最后分析 当反馈结果为“尚可”时,由
期望值标准来看是应当投资生产的，但投
产后滞销的概率为 23.8%，仍存在很大风
险。此时还需作进一步分析，或根据用户
的反馈意见对产品进行改进，使产品能更
好满足用户要求。改进后滞销的概率会大
大降低。
84
4.追加信息的价值
追加信息的价值
=有追加信息时的最优决策的期望收益
(不考虑信息的成本 )
-无追加信息时的最优决策的期望收益
故该项试生产免费试用所获反馈信息的价值为
(576+100)-468=208万元
由于该项信息的价值 208万元大于该项信息的
获取成本 100万元，故值得购买。
实际上，该信息更主要的价值在于能使企业
规避巨大的投资风险 。
85
下课
86
课堂练习 1：习题 1.1解答
(1) 或：
(2)
(3)
(4) 或：
(5)
(6)
321 AAA ??
321 AAA
321321321 AAAAAAAAA ??
321 AAA
321 AAA
321321321321 AAAAAAAAAAAA ???
321 AAA
321 AAA ??
87
课堂练习 2解答
由概率的广义加法定理，
P(A?B?C)=P((A?B)?C))
=P(A?B)+P(C)-P((A?B)C)
=P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P(AC?BC)
=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)
+P(ABC)
A B
C
88
课堂练习 3：习题 1.5解答
设,A={甲导弹命中 },B={乙导弹命中 }，
则 A,B相互独立。
解法一：由题意，求,P(A?B)。
P(A?B)=P(A)+P(B)- P(AB)
=P(A)+P(B)- P(A)P(B)
=0.6 +0.7-0.6× 0.7 =0.88
解法二,P{命中 }=1-P( )
=1-P( )P( )=1-0.4× 0.3=0.88
B A
A B
89
课堂练习 4：习题 1.10解答
(1)P{?-0.02<X<?+0.02}
= ?(2)-?(-2)=?(2)-(1-?(2))
= 2?(2)-1=2× 0.9722-1=0.9544
(2)P{?-0.02<X<?+0.02}
= ?(2.86)-?(-2.86)=2?(2.86)-1
= 2× 0.9979-1=0.9958
)0, 0 1 μ0, 0 2μ()0, 0 1 μ0, 0 2μ( ????????
)0, 0 0 7 μ0, 0 2μ()0, 0 0 7 μ0, 0 2μ( ????????
工商管理中的定量分析方法
——数据, 模型和决策
同济大学经济与管理学院 孙昌言
2
项目投资决策案例
新 产品投资决策问题
1.某企业开发了一种新产品，生产该产品需要投入的
厂房、设备、工装等的固定投资为 2000万元，项目的建
设期为 1年，固定投资费用在建设期初一次投入，产品
投产时还需一次性投入流动资金 1000万元。通过市场调
研，估计该产品的市场寿命为 5年,5年末该项目的固定
资产残值为固定投资额的 20%，流动资金可在寿命期末
全部回收。根据调研估计，该产品上市后出现滞销、销
售一般、畅销的概率分别为 30%,30%和 40%。经财务部
门估算，在上述三种销售状况下该项目投产后的年净收
益分别为 100万,600万和 1000万元，考虑到资金的机会
成本，取贴现率为 6%。
总经理需要作出是否应投资生产该新产品的决策。
3
2.销售部经理的建议
为使对该项目的投资决策更具科学性，减少决策风险，
总经理召开了有销售、生产、财务、技术等部门负责人
参加的会议。会上销售部经理提出，为减少决策风险，
在决定是否投资生产该产品前先利用企业原有的厂房设
备进行少量试生产，并将试生产的产品免费赠送用户试
用以获得该产品的用户反馈信息的方案。用户试用后所
得反馈结果经汇总后可分为“不满意”、“尚可”和
“满意”三种。销售部经理还提供了采用该类方法所得
反馈结果与产品正式上市后销售状况间的统计资料，见
表 1。
4
表 1.销售状况与试用结果间的统计资料
销售状况
试用结果
滞销 一般 畅销
不满意 1 4 ( 0, 7 ) 6 ( 0, 3 ) 2 ( 0, 1 )
尚可 5 ( 0, 2 5 ) 8 ( 0, 4 ) 6 ( 0, 3 )
满意 1 ( 0, 0 5 ) 6 ( 0, 3 ) 1 2 ( 0, 6 )
合计 2 0 ( 1, 0 ) 2 0 ( 1, 0 ) 2 0 ( 1, 0 )
2 0 (
注：表中数据为各种调查结果的次数，
（）内为发生的频率，可视为 不同销售状况
下各种试验结果的条件概率 。
5
如何进行科学决策？
总经理要求财务部经理对销售部经理所提方
案的费用进行估算。
在下一次的会议上，财务部经理给出了试生
产、分发用户试用及收集用户反馈信息等项工
作的总费用估算结果为 100万元。
会上有人提出是否值得花 100万元进行试生产
并免费赠送用户试用，并展开了激烈的争论。
总经理要求对各种方案的风险及经济效益进
行科学的分析与评价。
6
第一章 概率基础
§ 1.1 随机试验与随机事件
一,随机试验 称满足以下条件的试验为随
机试验，简称试验，常用字母 E表示
1．可在相同条件下重复进行；
2．试验的结果不止一个，并能事先明确所有
可能出现的结果；
3．试验前不能确定将会出现哪一结果。
7
二,随机事件
1,基本事件 ——试验中每一可能出现的结果，称为该
试验的一个 基本事件 或 样本点 。
2,复合事件 ——由多个基本事件构成的集合。
基本事件和复合事件统称为 随机事件,常用字母 A，
B,C,… 表示。
3,样本空间 ——由试验 E所有基本事件组成的集合，
称为 E的 样本空间,常用字母 S表示。
4,必然事件 ——每次试验中必然发生的事件；样本空
间 S是必然事件。
5,不可能事件 ——试验中不可能发生的事件；不含任
何基本事件的空集是不可能事件；记为 φ 。
8
【 例 1】 掷一枚骰子，观察出现的点数,
记 A1为 {出现偶数点 }； A2为 {小于 4的点 },A3为 {不超过
6的点 },A4为 {大于 6的点 }。
则,S ={1,2,3,4,5,6}； A1={2,4,6}；
A2={1,2,3}； A3=S； A4=φ
【 例 2】 在一批产品中连续抽取二次，每次任取一件进
行检验，分别记 T,F为抽到正品和次品，并记 A1为
{第一次抽到的是正品 },A2为 {抽到一个正品 },A3为
{两次抽到的质量相同 }，则：
S = {(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)}；
A1={(T,T),(T,F)}；
A2={(T,F),(F,T)}；
A3={(T,T),(F,F)}
9
三,事件间的关系和运算
1,事件的包含与相等 若 A
发生必然导致 B发生, 则称 B包
含 A或 A包含于 B,记为 B?A或
A?B。 若同时有 A?B及 B?A,则
称 A与 B相等, 记为 A=B。
显然对于任意事件 A有：
S?A?Φ 。
2,事件的并 (和 ),A与 B至少
有一个发生, 的事件, 称为 A并
B(A与 B的和 ),记为 A∪B 。
显然有 A?A∪B, B?A∪B 。 A∪ B
A B
A? B
B A
S
S
10
3.事件的交 (积 )
“A与 B同时发生,, 称为 A
交 B,记为 A∩B 或 AB。
显然有 AB?A,AB?B。
4.互斥 (互不相容 )事件
若 A与 B不能同时发生, 即
AB=φ, 则称 A与 B互斥 。
显然, 基本事件都是互斥
的 。
AB
A
A与 B互 斥
BA
B
11
5.事件的差
“A发生而 B不发生, 的事件，称
为 A与 B的差,记为 A-B。
显然有 A-B?A； B(A-B)=φ 。
6.互逆 (对立 )事件
若试验中,A与 B必有且仅有一
个发生，即同时满足 A∪ B=S和
AB=φ，则称 A与 B互逆 (对立 )，
并称 A是 B的 逆事件,反之亦然，
记为
A= 或 B=
显然有 =S-A,A=φ,=A。
B
A
A
A A
A-B
BA
AA
互逆事件
12
7．事件运算的性质
(1)交换律, A∪B=B∪A ； AB=BA
(2)结合律, (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(AB)C=A(BC)
(3)分配律,
(A∪B)C=(AC)∪(BC)
(AB)∪C=(A∪C)(B∪C)
(4)对偶律,
BAAB ??
ABA ?? B
A B
C
(A∪ B)C
A B
C
(AB)∪ C
13
【 例 3】 如何表示复杂事件
在一批产品中连续抽检 3个产品，记 Ai={第 i个
是次品 },i=1,2,3,用 Ai间的关系表示以下事
件：
(1) 至少有一个次品,A1∪ A2∪ A3`；
(2) 3个都是次品,A1A2A3；
(3) 3个都是正品,；
(4) 至少有一个正品：
其中 (1)与 (3)是互逆事件,(2)与 (4)也是
互逆事件。
AAA 321
AAA 321
14
课堂练习 1：习题 1.1
在一批产品中连续抽取 3个产品进行检验,
记 Ai={第 i个抽到的是次品 },i=1,2,3。 试
用 Ai间的运算关系表示以下事件：
(1)至少有一个正品； (2)全部是正品；
(3)恰有一个次品； (4)不多于 2个次品；
(5)不多于 2个正品； (6)不多于 1个次品 。
15
§ 1.2 概 率
一．事件的概率
1,概率的统计定义 设 nA为在 n
次独立重复试验中事件 A发生的次数,
当 n很大时, 事件 A发生的频率 将
稳定在某一常数 P附件, 这一客观存
在的常数 P就称为事件 A的 概率, 记
为 P(A)。
nnA
16
2.概率的性质
(1)0≤P(A)≤1
(2)P(S)=1； P(φ )= 0
(3)P( )=1-P(A) (*)
(4)若 A?B，则 P(A)≤P(B)
(5)若 AB=φ,则 P(A∪B)= P(A)+P(B) (*)
(6)P(A∪B)= P(A)+P(B) -P(AB) (*)
以上性质 (5)称为 概率的加法定理,还可以
推广到多个事件的场合。
以上性质 (6)称为 概率的广义加法定理 。
A
17
课堂练习 2：广义加法定理的推广
设 A,B,C为任意三个事件,P(A)、
P(B),P(C),P(AB),P(AC),P(BC)、
P(ABC)都已知，求 P(A?B?C)
18
案例 1
某厂产品的次品率为 2%，以每箱 100件
出厂。用户对产品采用如下检验方法：从
一箱中任取 10件检验，若发现次品则判定
该箱产品不合格并作退货处理。
问：该厂产品遭退货的概率是多少？
19
3.等可能概型 (古典概型 )
称满足以下条件的试验为古典概型：
(1)试验的样本空间仅有有限个基本事件；
(2)试验中每一基本事件发生的概率相等。
古典概型中事件的概率计算公式：
(*)
基本事件总数
中包含的基本事件数AP ( A ) ?
20
【 例 4】 古典概型概率的计算
在 100件产品中有 5件是次品，从中任取
10件，求以下事件的概率：
(1)A ={全为正品 }，
(2)B ={恰有 1件次品 }，
(3)C ={至少有 3件次品 }，
(4)D ={至少有 1件次品 }。
21
解,将每一种可能的取法作为一个基本事件
(1) 取到的 10件正品只能从 95件正品中抽
取，共有 种不同取法；样本空间总
数为,故
P(A)= ／ =0.5838
(2)1件次品是从 5件次品中抽得的，另 9件
是从 95件正品中抽取的，共有
种不同取法，故
P(B)= ／ =0.3394
本例问题属于“超几何分布”，见本章第 3节。
C10100
C1095
C1095 C10100
C15 C995
C15 C995 C10100
22
古典概型概率的计算
(3) ∵ { 至少有 3件次品 }={恰有 3件次
品 }∪ { 恰有 4件次品 }∪{ 恰有 5件次品 }，
且以上等式右边三个事件是互斥的，故
=0.0066
(4) 显然,D =,故
P(D)= P( )= 1- P(A)
=1- 0.5838 = 0.4162
C/)CCCCC(CP ( C ) 101 0 0595556954579535 ???
A
A
23
案例 1解答
某厂产品的次品率为 2%，以每箱 100件
出厂。用户对产品采用如下检验方法：从
一箱中任取 10件检验，若发现次品则判定
该箱产品不合格并作退货处理。求：该厂
产品遭退货的概率。
解,即求 P{次品数 ?1}.
P{次品数 ?1}=1-P{0个次品 }
=
1 9 0 9.01 10
1 0 0
10
98 ??
C
C
24
案例 2
某地区死亡人口统计资料表明，该地区
人口死亡年龄不低于 60岁的占 80%，死亡
年龄不低于 80岁的占 20%。
问：该地区现年 60岁的人能活到 80岁的
概率是多少？
25
二,条件概率
1,定义 设 A,B是两个事件，且
P(A)>0，称在 A已发生的条件下 B发生的概
率为 B对 A的 条件概率,记为 P(B|A)。
26
【 例 5】 产品抽样检验问题
已知 10件产品中有 3件是次品，从中先
后抽取 2件，作不放回抽样，求第一次取
到次品后，第二次再取到次品的概率。
解,设 A={第一次取到的是次品 }，
B={第二次取到的是次品 }，
当 A发生后，还剩下 9件产品，其中有 2
件次品，故
P(B|A)=2/9
27
2,概率的乘法公式
设 A,B为两个事件，且 P(A)>0，则
P(AB)=P(A)P(B|A) (*)
由概率的乘法公式，可得求条件概率的
如下公式：
(*)
P ( A )
P ( A B )A)P ( B ?
28
【 例 6】 在例 5所给问题中，求抽到的二件
都是次品的概率。
解,由题意,即要求 P(AB)，
P(AB)= P(A)P(B|A)
= 3/10× 2/9=1/15
29
案例 2解答
某地区死亡人口统计资料表明，该地区人口
死亡年龄不低于 60岁的占 80%，死亡年龄不低于
80岁的占 20%。问：该地区现年 60岁的人能活到
80岁的概率是多少？
解,设 A={寿命 ?60},B={寿命 ?80}，
求 P(B|A)。
?B ? A,∴ P(AB)=P(B)
P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)
=0.2/0.8=0.25
A B
P(AB)=P(B)
30
案例 3
统计资料表明，某地癌症发病率为千
分之五，现该地区正进行癌症普查。普查
试验的结果为阴性或阳性。以往的临床资
料表明，癌症患者试验反应为阳性的概率
是 0.95，健康人试验反应呈阳性的概率是
0.04。问：
(1)当某人试验反应为阳性时他确患癌
症的概率；
(2)试验反应为阴性者患癌症的概率。
31
3,全概率公式
若 A1,A2,A3,…,An为样本空间 S的一个 完
备事件组,即满足条件：
(1) A1∪A 2∪A 3∪ …∪A n = S
(2) AiAj =φ, i≠j ； i,j=1,2,3,…,n
(3) P(Ai)>0,i=1,2,3,…,n
则对任一事件 B，都有 (*)
??
??
??
n
i
ii
n
i
i ABPAPBAPBP
11
)|()()()(
A1
A2
A3 A
5
A6
A4 A
n
B
32
4,贝叶斯 (Bayes)公式
若 A1,A2,A3,…,An 为样本空间 S的一个完
备事件组，则对任一事件 B,(P(B)>0),有
i=1,2,…,n (*)
贝叶斯公式在风险型决策中有非常重要的应
用，详见本章最后的案例。
)(
)|()(
)|()(
)|()(
)|(
1
BP
ABPAP
ABPAP
ABPAP
BAP
ii
n
i
ii
ii
i ??
?
?
33
【 例 7】 贝叶斯公式的简单应用
某产品由甲、乙、丙三个班组生产，甲、
乙、丙班的产量分别占全部产量的 50%、
30%和 20%；次品率分别为 2%,3%和 1%。现
任取 1件进行检验，求：
(1)抽到的是甲班生产，且是次品的概
率；
(2)抽到次品的概率；
(3)若抽到的是次品，求该次品是丙班
生产的概率。
34
解,记 A1,A2,A3，分别为抽到的产品是甲班、
乙班、丙班生产的,B={抽到的是次品 }。
(1) 由概率的乘法公式，
P(A1B)= P(A1)P(B|A1)=0.50× 0.02=0.01
(2) 由全概率公式
P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)
=0.5╳ 0.02+0.3╳ 0.03+0.2╳ 0.01= 0.021
(3) 由 Bayes公式
0 9 5 2.0021.0 01.02.0)( )|()()|( 333 ???? BP ABPAPBAP
35
关于 Bayes公式
Bayes公式更主要的应用是风险型决策分析。在通过
试验能获取追加信息的条件下，修正所研究问题的
概率分布，达到降低风险，获得更大效益的目的。
在 Bayes公式中各事件和概率都有特殊的意义，其中：
P(Ai)——称为事件 Ai的 先验概率,由过去的统计资料
或根据经验估计得到；
B ——为某一试验可能出现的结果之一；
P(B|Ai)——已知的 条件概率,由该类试验的统计资料
获得，反映了试验的精度 (所提供追加信息量的大
小 )。
P(Ai|B)——称为 后验概率,即当试验出现结果 B时，
对 Ai概率分布的修正。
36
案例 3解答
统计资料表明，某地癌症发病率为千
分之五，现该地区正进行癌症普查。普查
试验的结果为阴性或阳性。以往的临床资
料表明，癌症患者试验反应为阳性的概率
是 0.95，健康人试验反应呈阳性的概率是
0.04。问：
(1)当某人试验反应为阳性时他确患癌
症的概率；
(2)试验反应为阴性者患癌症的概率。
37
记,A1={癌症患者 },A2={健康人 }，
B1={反应阳性 },B2={反应阴性 }
由题意可知,P(A1)=0.005,P(A2)=0.995,(B1|A1)=0.95，
P(B2|A1)=0.05,P(B1|A2)=0.04,P(B2|A2)=0.96，
由全概率公式,P(B1)= P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)
= 0.005× 0.95+0.995× 0.004 = 0.04455
P(B2)=1- P(B1)=1- 0.04455=0.95545。
由 Bayes公式可得
即普查试验反应为阳性者确患癌症的概率是 10.66%，而
反应为阴性者患癌症的概率为万分之 2.6。
1 0 6 6.0045.0 95.0005.0)( )|()()|(
1
111
11 ???? BP ABPAPBAP
0 0 0 2 6.09 5 5 4 5.0 05.0005.0)( )|()()|(
2
121
21 ???? BP ABPAPBAP
38
三,事件的独立性
若事件 A发生的概率不受 B是否发生的
影响，反之亦然，则称事件 A与 B相互独
立 。即
P(B|A)=P(B) (*)
P(A|B)=P(A)
由 P(AB)=P(A)P(B|A)，可得 A,B独立
等价于
P(AB)=P(A)P(B) (*)
39
【 例 8】 不同抽样方法的差异
已知 10件产品中有二件次品，分别采用放回
抽样和不放回抽样方法，从中任取二件，求抽
到的都是次品的概率。
解：记 A={第一次抽到的是次品 },
B={第二次抽到的是次品 }。
(1)采用放回抽样,A,B独立，则
P(AB)=P(A)P(B)= 2/10× 2/10 = 0.04
(2)不放回抽样,A,B不独立，则
P(AB)= P(A)P(B|A)= 2/10× 1/9 = 0.022
40
课堂练习 3：习题 1.5
用甲,乙两种防空导弹同时向一架入侵
的敌机射击。已知甲导弹的命中率为 0.6，
乙导弹的命中率为 0.7，求敌机被击中的
概率。
41
§ 1.3 随机变量及其分布函数
一, 随机变量
任何随机试验的试验结果, 都可以定
量化并用随机变量表示 。
例如, 在灯泡寿命试验中, 令 X为, 灯
泡寿命, (小时 ),则 X为一随机变量 。
{X>500},{X≤1000},{800<X≤1200}
等表示了不同的随机事件。
42
1,分布函数
设 X是一随机变量,x是任意实数，称函数
(*)
为 X的 分布函数 。显然，对任意实数 x1< x2，有
P{ x１ <Ｘ ≤ x2 }= P{ X≤ x2 }-P{ X≤ x1 }
= F( x2 )- F( x1 ) (*)
2,分布函数的性质
(1)0≤F( x )≤1； x∈ (－ ∞,＋ ∞)
(2)对任意 x1< x2，有 F( x1 )≤F( x2 )
(3)
0)()( lim ????
???
xFF
x
1)()( lim ???? ??? xFF x
}{)( xXPxF ??
43
§ 1.4 离散型随机变量
一．离散型随机变量的概率分布
1,离散型随机变量的概率分布
设离散型随机变量 X的所有可能取值为 xk，记
P{X= xk}= Pk, k=1,2,…
称上式为 X的 概率分布 或 分布律,简称 分布 。
2,概率分布的性质
(1) 0 ≤Pk ≤1； k=1,2,…
(2) ? Pk = 1
(3)
?
?
?
xx
x
k
kP)F(
44
二, 二项分布
若试验 E仅有两个可能结果 A和,记
P(A) = p,P( )=1-p = q, (0 < P < 1)
将 E独立地重复进行 n次，令 X为“事件 A发生
的次数”，则
(*)
q=1-P,k=0,1,2,…,n
称 X服从 二项分布,记为 X～B (n,p)
由于上式中的第 k项恰好是二项式 (p+q)n 展开
式中的第 k+1项，故称之为二项分布。
knkk
n qpCkXP
??? }{
A
A
45
【 例 9】 设某台设备所加工产品的次品率
为 0.02，求 90件产品中次品数 ≥2的概率。
解, 将加工 90件产品视为 90重贝努利试
验，令 X为次品数，由题意,p=0.02，
q=0.98,则
P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1}
本例中，若将要求改为“求次品数 ≥10的概
率,,则计算将是极其繁琐的，当 n很大,P很
小时，二项分布可用下面介绍的 泊松分布 来近
似求解。
使用 Excel 求解二项分布
5396.098.002.098.002.01 891190900090 ???????? CC
46
三,泊松分布
设随机变量 X的所有可能取值为 0,1,2,…,若
k=0,1,2,…
其中 λ 为大于零的常数（即其数学期望），则
称 X服从参数为 λ 的 泊松分布,记为 X～?(λ )。
泊松分布在经济管理领域有很重要的应用，同
时它又是二项分布的极限分布，通常当
n≥50,p<0.1,np<5 时，就可以用 λ=np 的
泊松分布来近似二项分布。
!
}{
k
ekXP k ?? ???
47
【 例 10】 在例 9中，用泊松分布近似求次品数 ≥ 10
的概率。
解, λ= np = 90× 0.02 = 1.8
查泊松分布表 (λ=1.8,x =10) 得
P{X≥10}= 0.000019
说明：通常泊松分布表给出的是 累积概率
的值 。
用 Excel 求解 泊松分布问题
?
?
?
??????
9
0
8.1
!
8.11}10{1}10{
k
k
k
eXPXP
0 0 0 0 1 9.0!8.1
10
8.1
?? ?
?
?
?
k
k
k
e
???
?
?
?
xk
k
k
exXP
!}{
??
48
四,超几何分布
在 N件产品中有 M件次品，采用不放回抽样，
随机抽取 n件,设 X为抽到的次品数，则 X服从
如下的 超几何分布； k=0,1,2,…, min{n,M}
本章例 4的概率计算就是利用了超几何分布。
可以证明，二项分布是超几何分布的极限分布。当 N
很大而抽取的样本数 n 相对较小时 (n/N<0.1)，就可用二
项分布来近似超几何分布 (即将不放回抽样用放回抽样
来近似 )。
用 Excel 求解例 4问题
C
CC
n
N
kn
MN
k
MkXP
?
??? }{
49
§ 1.5 连续型随机变量
一,连续型随机变量的概率密度
1,定义 对连续型随机变量 X，如果存在非负
可积函数 ?( x )，使得对任意实数 x，有
则称 ?( x )为 X的 概率密度函数,简称 概率密度 或
密度 。
? ??? x dttfxF )()(
50
2,概率密度的性质
(1)
(2) ；
(3) ；
(4)若 ?( x )在点 x 处连续,则：
由 (3)式可知,X的分布函数 F( x )的值，以及
X落在区间 ( x1,x2 ] 上的概率，就是相应区间
上概率密度曲线下的面积，见下图所示。
1)( ?????? dxxf
???? ba dxxfbXaP )(}{
)()(' xfxF ?
0)( ?xf
51
f (x)
xx0
f (x)
xb0 a
分布函数和密度函数的关系
(*)? ??? x dttfxF )()(
???? ba dxxfbXaP )(}{
52
二．几种重要的连续型分布
1,指数分布 若随机变量 X的概率密度为； x?0； x<0
其中 λ >0为常数，则称 X服从参数为 λ 的 指数分
布 。
不难求得指数分布的分布函数为：； x?0； x<0
?
?
?
?
?
0
)(
xe
xf
??
?
?
? ?
?
?
0
1
)(
xe
xF
?
53
指数分布的应用
通常产品的无故障工作时 间 服从指数分
布，其参数 ?就是 失效率, 1/? 则是 平均
无故障工作时间 。
【 例 11】 设某品牌彩电无故障工作时间
服从 λ =1/2000 的指数分布。求该种彩电
无故障工作时间不少于 1000小时的概率。
解, P{X≥1000}=1-P{X≤1000}=1-F(1000)
=1-(1-e-1000/2000)= e-0.5 = 0.6065
用 Excel 求解连续型分布问题
54
2．正态分布
设随机变量 X的概率密度为
其中 ?,?为常数，且 ?>0，则称 X服从
参数为 ?,?的 正态分布,记为 X～N(?,?2)。
正态分布密度函数的图形见下图所示。
e
x
xf 2
2
2
)(
2
1)(
?
?
??
??
?
55
正态分布密度函数的图形
0
x
f (x)
0
?=0.5
?=1
?=2
?
f (x)
x?
1 ?2
56
(1)正态分布密度函数的性质
① ?( x ) 在 x =μ处达到最大值,x 离 μ
越远,f ( x ) 的值越小，且以 x 轴为渐近
线；
② 曲线关于 x =μ对称；
③ ?越小，曲线越陡峭,?反映了 X取
值的离散程度；
④ 对相同的 ?，改变 μ值相当于曲线的
平移 。
57
(2)标准正态分布
称 ? = 0,? =1 的正态分布为 标准正态分布,
记为 N(0,1),其密度函数和分布函数分别记为
? ( x ) 和 ? ( x ) 。
(3) 正态分布表的使用
查正态分布表时常要用到以下关系 (*)
① P{ X≤a } = ? ( a )
② P{ X > a } =1-? ( a )
③ P{a<X≤b}=?(b)-?(a)
④ ? ( -a ) = 1-? ( a )
0 a-a
?(x)
?(-a) ?(a)
x
58
【 例 12】 设 X～N(0,1),求 ① P{X≤1.89}，
② P{X>-2.13}，③ P{-0.97<X≤2.35}
解, 查表可得：
① P{X≤1.89}= ?(1.89)=0.9706
② P{X>-2.13}=1- ?(-2.13)
= ?(2.13)=0.9834
③ P{-0.97<X≤2.35}
= ?(2.35)- ?(-0.97)
= ?(2.35)-(1- ?(0.97))
= 0.9906-1+0.8340=0.8246
59
案例 4 保用年限应定为几年？
设某厂生产的某种电子产品的寿命服从 μ =8
年,?=2年的正态分布，问
(1)该产品寿命小于 5年的概率是多少？
(2)寿命大于 10年的概率是多少？
(3)厂方要对外承诺，若该产品在保用期内失
效可免费更换，厂方希望将产品的免费更换率
控制在 1%以内，问保用年限最长可定为几年？
60
(5)非标准正态分布的标准化变换
设 X～N(?,?2)，则
～N(0,1) (*)
上式就称为正态分布的 标准化变换 。
?
??? XZ
61
(6)非标准正态分布的查表
设 X～N(?,?2)，则计算时可运用以下关系 (*)：
① P{X≤a}=
② P{X>a}=1-
③ P{a<X≤b}= -
④ F(-a)=1-
)(}{ ? ?? ?? ? ?????? aaXP
)( ? ??? a
)( ? ??? b )( ? ??? a
)( ? ??? a
62
案例 4 解答
设某厂生产的某种电子产品的寿命服从 μ =8年，
?=2年的正态分布，问
(1)该产品寿命小于 5年的概率是多少？
(2)寿命大于 10年的概率是多少？
(3)厂方要对外承诺，若该产品在保用期内失效
可免费更换，厂方希望将产品的免费更换率
控制在 1%以内，问保用年限最长可定为几年？
63
设 X为该产品的使用寿命，则 X～N(8,22)
(1)
(2)
(3)设保用年限最长可定为 n 年,则由题意
即
查表得,(8-n) /2 ? 2.33，得 n ? 3.34，
取 n =3，故保用年限最长可定为 3年。
0 6 6 8.0)5.1(1)5.1()2 85(}5{ ???????????XP
1 57 8.0)1(1)2 810(1}10{ ?????????XP
01.0)2 8(}{ ????? nnXP
99.0)28()2 8(1 ??????? nn
用 Excel求解
64
3?法则
【 例 13】 设 X～N(?,?2),求,(1)P{?-?<X<?+?}，
(2)P{?-2?<X<?+2?},(3)P{?-3?<X<?+3?}
解, P{?-?<X<?+?}=?(1)-?(-1)
=2?(1)-1=0.6826
同理可得：
P{?-2?<X<?+2?}=2?(2)-1=0.9544
P{?-3?<X<?+3?}=2?(3)-1=0.9974
X落在 (?-3?,?+3?)内的概率为 99.74%，落在该区间
外的概率仅为 0.26%，几乎是不可能事件。正态分布的
这一性质称为, 3?法则,，在质量管理中常运用这一
法则判断生产过程是否出现异常。
0.9974
-3 ? 3 ?
0.9974
?
65
课堂练习 4：习题 1.10
某台加工缸套外径的机床，当将尺寸定位在 μ
时，所加工的缸套外径尺寸 X~N(μ,σ 2)，其中
σ =0.01(mm)，缸套外径的允许公差为 0.02
(mm)，求
(1)该机床加工缸套的合格率；
(2)当 σ = 0.007时,所加工缸套的合格率又为
多少?
由本题的计算结果，可知正态分布中的参数
σ 反映了该机床的什么指标?
66
(7)正态分布的性质
① 若,,且 X
与 Y独立，则
② 设,且相互独立，
i = 1,2,…,n,则
)σ,μN(~X 211 )σ,μN(~Y 222
)σ,σμN( μ~YXZ 222121 ????
),σN( μ~X 2iii
)σ,μN(~XY
i
2
ii ii i ????
)σk,μkN(~XkY
i
2
i
2
ii iii ii ????
67
§ 1.6 随机变量的数字特征
一．数学期望
1,离散型随机变量的数学期
设离散型随机变量 X的分布律为 P{X=xk}=Pk，
k=1,2,…，称级数
为 X的 数学期望,简称 均值 。
由定义可知，离散型随机变量的数学期望，
就是以概率 Pk为权数，对 X的所有可能取值的加
权平均值,故期望也称为均值。
?
?
?
?
1
)(
k
kk pxXE
68
2,连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望为：
若 X～N(μ,σ2)，则 E(X) =μ
3,数学期望的性质
设 c,k,b为常数,X,Y 为随机变量
(1) E(C)= C；
(2) E(kX)=kE(X)；
(3) E(kX＋ b)=kE(X)+b；
(4) E(X± Y)=E(X)± E(Y)；
(5) 若 X,Y独立，则 E(XY)= E(X)E(Y)
? ????? dxxxfXE )()(
69
二, 方差
方差是反映随机变量取值离散程度的数字特征。
1,定义 对随机变量 X，若
E{[X- E(X)]2} 存在，则称它为 X的 方差,
记为 D(X)或 Var(X),即
D(X)= E{[X–E(X)]2}
并称
为 X的 标准差 。标准差与 X具有相同的量纲。
)()( XDX ??
70
(1)对离散型随机变量
(２ )对连续型随机变 量 X
若 X～N(μ,σ 2),则 D(X)=σ 2
2,方差的性质
设 c,k,b为常数,X,Y为随机变量
(1) D(c)= 0；
(2) D(kX)=k2D(X)； D(kX＋ b)=k2D(X)
(3) 若 X,Y独立，则,D(X± Y)=D(X)＋ D(Y)
? ???? ?? dxxfXExXD )()]([)( 2
? ??
k
kk PXExXD
2)]([)(
71
§ 1.7 大数定律和中心极限定理
一．大数定律
1.切比雪夫定理 设 Xi,i=1,2,…,n相互
独立,且有相同的期望和方差，即
E(Xi)= μ,D(Xi)=σ2, i =1,2,…, n，
则对任意给定的 ε >0，有
本定理提供了算术平均数法则的理论依据，
即样本均值 依概率收敛 于总体均值。
1}|1{|
1
lim ????
???
??
n
i
i
n
XnP
72
2.贝努利定律
设 nA是 n次独立试验中事件 A发生的次数，
P是每次试验中事件 A发生的概率，则对任
意给定的 ε >0,有
本定理证明了事件的频率 依概率收敛 于
其概率。因此，在实际应用中可以用事件
的频率作为其概率的估计。
1}|{|lim ???
??
?pnnP A
n
73
二,中心极限定理 （描述性）
设随机变量 Xi(i =1,2,…,n)相互独立，且具
有有限的数学期望和方差：
E(Xi)=μi,D(Xi)= σi2,(i =1,2,…,n),
若每个 Xi对总和 ?Xi 的影响不大，则随机变量
Y=?Xi 就近似服从 N(Σμ i,Σσ i2)分布
在自然界和社会经济领域中，大量的随机现
象都是由许多独立的随机因素的共同影响所造
成的。中心极限定理说明了大量随机现象都服
从或近似服从正态分布的原因。这也是在统计
学中通常都假定总体服从正态分布的理论依据。
74
项目投资决策案例
一,新 产品投资决策问题
1.某企业开发了一种新产品，生产该产品需要投入的厂
房、设备、工装等的固定投资为 2000万元，项目的建
设期为 1年，固定投资费用在建设期初一次投入，产
品投产时还需一次性投入流动资金 1000万元。通过市
场调研，估计该产品的市场寿命为 5年,5年末该项目
的固定资产残值为固定投资额的 20%，流动资金可在
寿命期末全部回收。根据调研估计，该产品上市后出
现滞销、销售一般、畅销的概率分别为 30%,30%和
40%。经财务部门估算，在上述三种销售状况下该项
目投产后的年净收益分别为 100万,600万和 1000万元，
考虑到资金的机会成本，取贴现率为 i=6%。
总经理需要作出是否应投资生产该新产品的决策。
75
2.销售部经理的建议
为使对该项目的投资决策更具科学性，减少决策风险，
总经理召开了有销售、生产、财务、技术等部门负责人
参加的会议。会上销售部经理提出，为减少决策风险，
在决定是否投资生产该产品前先利用企业原有的厂房设
备进行少量试生产，并将试生产的产品免费赠送用户试
用以获得该产品的用户反馈信息的方案。用户试用后所
得反馈结果经汇总后可分为“不满意”、“尚可”和
“满意”三种。销售部经理还提供了采用该类方法所得
反馈结果与产品正式上市后销售状况间的统计资料，见
表 1。
76
表 1.销售状况与试用结果间的统计资料
销售状况
试用结果
滞销 一般 畅销
不满意 1 4 ( 0, 7 ) 6 ( 0, 3 ) 2 ( 0, 1 )
尚可 5 ( 0, 2 5 ) 8 ( 0, 4 ) 6 ( 0, 3 )
满意 1 ( 0, 0 5 ) 6 ( 0, 3 ) 1 2 ( 0, 6 )
合计 2 0 ( 1, 0 ) 2 0 ( 1, 0 ) 2 0 ( 1, 0 )
2 0 (
注：表中数据为各种调查结果的次数，
（）内为发生的频率，可视为不同 销售状况
下各种试验结果的条件概率 。
77
如何进行科学决策？
总经理要求财务部经理对销售部经理所提方案
的费用进行估算。
在下一次的会议上，财务部经理给出了试生产、
分发用户试用及收集用户反馈信息等项工作的总
费用估算结果为 100万元。
会上有人提出是否值得花 100万元进行试生产
并免费赠送用户试用，并展开了激烈的争论。
总经理要求对各种方案的风险及经济效益进行
科学的分析与评价。
78
二,案例分析
1.投产后各种销售状况下的项目净现值
记 PWj(i),j=1,2,3 分别为滞销,一般和畅销时的项目净现值。
滞销时的项目现金流量图
PW1(6)=-2000-1000× 1.06-1+100× 1.06-2+100× 1.06-3
+100× 1.06-4+100× 1.06-5+1500× 1.06-6=-1559
PW2(6)=-2000-1000× 1.06-1+600× 1.06-2+600× 1.06-3
+600× 1.06-4+600× 1.06-5+2000× 1.06-6=428
同理可得 PW3(6)=2018
2000
1000
100 100 100 100
1500
0 1 2 3 4 5 6
79
2.不考虑试生产方案
记 X为该产品的未来销售状况,X1,X2,X3分别代表
滞销、一般和畅销。并记 V1(X),V2(X)分别为投产和不
投产两种决策方案的项目净现值，则
E[V1(X)]=0.3× (-1559)+0.3× 428+0.4× 2018=468
E[V2(X)]=0
故最优决策是投产，投产该产品 6年中可为企业带来
468万元的期望净收益 (按净现值计 )。
但该产品投产后有 30%的可能性会滞销。一旦滞销将
使企业在 6年中总计亏损 1559万元 (净现值 )。投产该产
品存在极大的风险。
80
3.考虑试生产方案
记 Y1,Y2,Y3分别代表试用结果为不满意、尚可
和满意。
表 2.求 P(Yi)和后验概率 P(Xj|Yi)的计算表
X1 X2 X3 后验概率
0, 3 0,3 0, 4
P ( Y i)
P ( X 1 | Y i ) P ( X 2 | Y i ) P ( X 3 | Y i )
不满意 Y1 0, 7 0 0, 3 0, 1 0, 3 4 0 0, 6 1 7 6 0, 2 6 4 7 0, 1 1 7 7
尚可 Y2 0, 2 5 0, 4 0, 3 0, 3 1 5 0, 2 3 8 0 0, 3 8 1 0 0, 3 8 1 0
满意 Y3 0, 0 5 0, 3 0, 6 0, 3 4 5 0, 0 4 3 5 0, 2 6 0 9 0, 6 9 5 6
P( Yi | Xj )
81
滞销（ 0.3）
滞销（ 0.6176）
一般（ 0.2647）
畅销（ 0.1177）
滞销（ 0.2380）
一般（ 0.3810）
畅销（ 0.3810）
滞销（ 0.0435）
一般（ 0.2609）
畅销（ 0.6956）
尚可
一般（ 0.3）
畅销（ 0.4）
（ 0.315）
-1659
328
-1659
-1659
-1559
20180
328
328
1918
1918
1918
428
-100
-100
-100
-712
461
1348
468
-100
461
1348
468
576
576
1
2
9
3
4
5
6
7
8
10
|
|
|
|
|
决策树
82
结果分析
该问题的最优决策为：
应先进行少量试生产供用户免费试用，以获得用户反
馈信息。 若用户反馈为不满意，则不投资生产；否则，
都投资生产该产品 。此最优决策的期望净现值为 576万
元，比直接投产的期望净现值多 108万元。
更为重要的是，采用试生产方案可大大降低决策的风
险程度。 当用户反馈结果为“满意”时,投产后滞销的
概率仅为 4.35%，比直接投产后的滞销概率 30%要小得多。
此时投产后的期望净现值更高达 1348万元。而 当用户反
馈结果为“不满意”时,投产后产品滞销的概率则高达
61.76%，由于此时的决策是不投产，故规避了巨大的投
资风险。
83
进一步的分析
最后分析 当反馈结果为“尚可”时,由
期望值标准来看是应当投资生产的，但投
产后滞销的概率为 23.8%，仍存在很大风
险。此时还需作进一步分析，或根据用户
的反馈意见对产品进行改进，使产品能更
好满足用户要求。改进后滞销的概率会大
大降低。
84
4.追加信息的价值
追加信息的价值
=有追加信息时的最优决策的期望收益
(不考虑信息的成本 )
-无追加信息时的最优决策的期望收益
故该项试生产免费试用所获反馈信息的价值为
(576+100)-468=208万元
由于该项信息的价值 208万元大于该项信息的
获取成本 100万元，故值得购买。
实际上，该信息更主要的价值在于能使企业
规避巨大的投资风险 。
85
下课
86
课堂练习 1：习题 1.1解答
(1) 或：
(2)
(3)
(4) 或：
(5)
(6)
321 AAA ??
321 AAA
321321321 AAAAAAAAA ??
321 AAA
321 AAA
321321321321 AAAAAAAAAAAA ???
321 AAA
321 AAA ??
87
课堂练习 2解答
由概率的广义加法定理，
P(A?B?C)=P((A?B)?C))
=P(A?B)+P(C)-P((A?B)C)
=P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P(AC?BC)
=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)
+P(ABC)
A B
C
88
课堂练习 3：习题 1.5解答
设,A={甲导弹命中 },B={乙导弹命中 }，
则 A,B相互独立。
解法一：由题意，求,P(A?B)。
P(A?B)=P(A)+P(B)- P(AB)
=P(A)+P(B)- P(A)P(B)
=0.6 +0.7-0.6× 0.7 =0.88
解法二,P{命中 }=1-P( )
=1-P( )P( )=1-0.4× 0.3=0.88
B A
A B
89
课堂练习 4：习题 1.10解答
(1)P{?-0.02<X<?+0.02}
= ?(2)-?(-2)=?(2)-(1-?(2))
= 2?(2)-1=2× 0.9722-1=0.9544
(2)P{?-0.02<X<?+0.02}
= ?(2.86)-?(-2.86)=2?(2.86)-1
= 2× 0.9979-1=0.9958
)0, 0 1 μ0, 0 2μ()0, 0 1 μ0, 0 2μ( ????????
)0, 0 0 7 μ0, 0 2μ()0, 0 0 7 μ0, 0 2μ( ????????
