定量法习题和上机资料
习题一
在一批产品中连续抽取3个产品进行检验，记Ai={第i个抽到的是次品}，i=1,2,3。试用Ai间的运算关系表示以下事件：
(1)至少有一个正品; (2)全部是正品; (3)恰有一个次品;
(4)不多于2个次品; (5)不多于2个正品; (6)不多于1个次品。
一批产品有200件，其中有6件次品，从中任取3件，求
(1)恰有1件次品的概率; （2）全是正品的概率; (3)至少有2件正品的概率。
某厂生产产品的次品率是2%，每50件产品为1箱出厂。用户对该厂产品采用如下抽样检验方法：从一箱中任取10件进行检验，如果发现其中有次品，则判定该箱产品为不合格品并作退货处理。问该厂产品遭退货的概率是多少?
某地区的人口寿命统计资料表明，该地区人口死亡年龄不超过于50岁的占10%，死亡年龄不超过70岁的占75%，问：该地区现为50岁的人能活70岁的概率是多少?
用甲,乙两种防空导弹同时向一架入侵的敌机射击。已知甲导弹的命中率为0.6，乙导弹的命中率为0.7，求敌机被击中的概率。
设某种产品的原料由甲,乙,丙三家厂提供。已知甲,乙,丙三厂提供的原料分别占总数的60%,30%和10%，用甲,乙,丙厂原料生产的产品次品率分别为2%,3%和5%。现从该产品中任取一件，求：
抽到的是次品，且是用丙厂原料生产的概率；（2）该产品的次品率;
(3) 若抽到的是次品，求该次品用的是甲厂原料的概率。
设每门高炮击中敌机的概率是0.02，若要求对来犯的一架敌机至少有30%的概率将其击中，问一个高炮阵地至少应配备多少门高炮?
设某厂出厂的某种规格钻头的废品率为1%，现每盒中装100个钻头，求
(1)一盒中没有废品的概率; (2)一盒中多于2个废品的概率;
(2)若用户要求应有98%的概率有100个合格品，问厂方应在每盒中装入多少个钻头?(用泊松分布求近似值)，此时每盒中不少于100个合格品的概率实际达到多少?
设某台设备的无故障运行时间服从λ=1/1000(1/小时)的指数分布，求
该设备无故障运行时间不超过1000小时的概率;
该设备无故障运行时间超过2000小时的概率;
该设备无故障运行时间在500~1500小时内的概率;
某台加工缸套外径的机床，当将尺寸定位在μ时，所加上的缸套外径尺寸X~N(μ, σ2)，其中σ=0.01(mm)，缸套外径的允许公差为 0.02(mm)，求
该机床加工缸套的合格率;
当σ=0.007时，所加工缸套的合格率又为多少?
由本题的计算结果，可知正态分布中的参数σ反映了该机床的什么指标?
设某元件的寿命X~N(1000，5002)，
求该元件寿命大于1500小时的概率;
求一个已正常工作了800小时的元件至少还能再工作700小时的概率;
若一台设备中装有3个这种元件，它们独立工作，求1000小时内至少有一个元件损坏的概率。
设随机变量X的期望为E(X)，方差为D(X)，令 Y=， 求E(y)和D(y)。
习题二
以下是取自总体X的一组样本观察值，分别用计算器和Excel软件求样本均值和样本方差S2。
9.0，7.8，8.2，10.5，7.5，8.8，10.0，9.4，8.5，9.5，8.4，9.8
查表求下列分布第三100α百分位点的值：
(1) Z0。025 ，Z0.99 (2) t0.05(9)， t0.995(18) (3) ，，
(4) F0.05(5，10)， F0.95(10，5)， F0.01(1，9)， F0.99(9，1)
设总体X ~ N(μ,σ2)，X1,X2是总体X的一个样本。试验证参数μ的下述三个估计量都是μ的无偏估计，其中哪个估计的方差最小?
(1) ，（2），（3）
某车床加工的缸套外径尺寸X ~ N(μ,σ2)，下面是随机测得的10个加工后的某种缸套外径尺寸(mm) ，分别用计算器和Excel软件求
90.01，90.01，90.02，90.03，89.99，89.98，89.97，90.00，90.01，89.99
求μ和σ2的无偏估计;
若已知σ2=0.022(mm2)， 求μ的置信度为95%的置信区间
若σ2未知，求μ的置信度为95%的置信区间;
求σ2的置信度为95%的置信区间;
总体均值置信区间的长度与总体方差、置信度和样本容量都有关。设总体X ~ N(μ,σ2) ，当σ2已知时，问至少需要多大的样本容量，才能使μ的置信度为1-α的置信区间的长度不大于给定值L？
设甲型号显象管的使用寿命X ~ N(μ,σ2)。现随机抽取16只作加速寿命试验，.测得数据如下：
17380，18820，14580，12475，15800，16428，11965，19268，
16390，13680，20248，15450，14740，24610，13975，9520
求
该显象管平均寿命的置信度为95%的置信上，下限（并用Excel软件求解）;
寿命方差σ2的置信度为95%的置信上，下限;
(继第6题)，已测得乙型号显象管10只的寿命数据如下：
13250，15438，17190，18570，19236，20480，22800，18450，16300，10520
求甲,乙两种型号显象管平均寿命之差的95%置信区间;
求两种显象管寿命方差比的90%置信区间。
分别用计算器和Excel软件求解求本章第6，7题中甲,乙两种型号显象管寿命的置信度为95%的置信下限。
一台自动包装奶粉的包装机，其额定标准为每袋净重0.5kg，设该包装机所包装奶粉的重量服从正态分布。该包装机包装的精度指标为方差σ2=0.0052。 某天开工时，随机抽取了10袋产品，称得其净重为：
0.497，0.506，0.509，0.508，0.497，0.510，0.506，0.495，0.502，0.507
在水平α=0.20下，检验该天包装机的重量设定是否正确?
在水平α=0.25下，检验该天包装机的包装精度是否符合原指标?
在水平α=0.05下检验第6题中甲型号显象管的期望寿命是否显著高于15000小时。
在水平α=0.05下检验本章第6，7题中甲，乙两种型号显象管的期望寿命是否存在显著差异(并用Excel或SPSS软件求解)。
在水平α=0.20下检验11题中两种型号显象管寿命是否是同方差的(并用Exce求解)。
为提高某种金属材料的抗拉强度，试验了新的热处理工艺。对新，旧工艺处理的各13批材料进行了抗拉强度试验，测得数据如下：
新工艺：31，34，30，27，33，35，38，34，30，36，31，32，35
原工艺：28，24，26，29，30，31，28，27，29，28，30，25，26
设两总体服从同方差正态分布。在给定显著性水平α=0.01下，问：
新,旧工艺处理材料的平均抗拉强度间是否有显著差异?
新工艺的材料抗拉强度是否比原工艺有显著提高?
在水平α=0.20下，关于两总体方差相等的假定是否成立?
并用Excel或SPSS软件求解。
为分析体育疗法对治疗高血压的效果，对10个高血压患者分别测定了他们在进行体育疗法前后的舒张压，测得数据如下：
患者编号： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
治疗前： 112 113 134 110 125 117 108 120 118 138
治疗后： 104 96 130 90 108 119 92 90 102 121
在水平α=0.01下，分别用计算器和Excel（或SPSS）软件中的成对样本T检验功能，检验体育疗法对高血压是否有显著疗效。
习题三
用Excel或SPSS软件求解下列问题：
某养猪场为分析市场上供应的4种猪饲料的喂养效果，用每种饲料分别喂养6头出生30天的幼猪作对比试验。饲养60天后猪的增重数据见表3.11
表3.11 猪饲料试验数据
饲料
增重 (kg)
甲饲料
45
42
37
49
50
45
乙饲料
38
39
50
41
38
49
丙饲料
38
33
40
34
36
47
丁饲料
40
38
41
42
48
43
问4种饲料的喂养效果是否存在显著差异。
为确定适合某地区的高产小麦品种，共选择了五个不同品种，每一品种各种了四块试验田，各试验田块的土壤肥水等条件基本相同。各品种的亩产量(kg)见表3.12
表3.12 小麦品种试验数据
品种
亩产量(kg)
A1
256
222
280
298
A2
244
300
290
275
A3
250
277
230
322
A4
288
280
315
259
A5
206
212
220
212
不同品种的平均亩产量问是否存在显著差异?
任意两个品种的平均亩产量是否都存在显著差异？并确定适合该地区的高产小麦品种。
某钢模厂对钢锭模进行选材试验，共选择了四种不同材质的生铁做成试样作热疲劳测定，方法是将试样加热到700oC后投入20oC的水中急冷，如此反复直到试样出现断裂为止。断裂前经受的次数越多，则抗热疲劳性越好。表3.13给出了各试样的试验结果。
表3.13 抗热疲劳试验数据(次数)
试样号
材质
1
2
3
4
5
6
7
8
A1
160
161
165
168
170
172
180
A2
158
164
164
170
175
A3
146
155
160
162
164
166
174
182
A4
151
152
153
157
160
168
问：不同材质生铁的抗热疲劳性能间是否存在显著差异?
为研究蒸馏水的PH值和硫酸铜溶液浓度对化验血清中白蛋白与球蛋白的影响，对上述两个因素分别取了四个和三个不同水平，在每一水平组合下用取自同一血样的血清各做了一次试验，测得白蛋白与球蛋白之比见表3.14。问蒸馏水的PH值和硫酸铜浓度对血清化验结果是否有显著影响。
表 3.14 血清化验试验数据
浓度
PH值
B1
B2
B3
A1
3.5
2.3
2.0
A2
2.6
2.0
1.9
A3
2.0
1.5
1.2
A4
1.4
0.8
0.3
为研究燃料和推进器以及它们的组合对火箭射程的影响，对某种型号的火箭在四种燃料和三种推进器的不同组合下各做了两次试验，测得射程数据见表3.15
表 3.15 火箭射程试验数据 单位：海里
推进器
燃料
B1
B2
B3
A1
58.2，52.6
56.2，41.2
65.3，60.8
A2
49.1，42.8
54.1，50.5
51.6，48.4
A3
60.1，58.3
70.9，73.2
39.2，40.7
A4
75.8，71.5
58.2，51.0
48.7，41.4
燃料,推进器及它们的不同组合对火箭射程是否有显著影响?
确定使射程最远的燃料与推进器的组合。
习题四
用Excel或SPSS软件求解下列问题：
1．为了给今后编制管理费用的预算提供依据，某企业分析了近10年来企业管理费用与产值间的关系，见表4.8。
表 4.8 管理费用与产值数据
年份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
管理费用(百万)
5.9
6.3
6.5
7.3
6.9
7.8
8.5
8.1
9.2
9.4
产值(千万)
5.2
5.8
6.3
6.8
7.5
8.3
9.1
10.0
10.9
11.8
建立该企业管理费用与产值间的线性回归模型，求出回归方程并进行检验。
设下一年该企业的产值预计为1.5亿元，求管理费用的置信度为95%的预测区间。
2．某电子工业公司为分析企业的劳动生产率和企业在研究与开发(R&D)投入之间的关系，调查了下属14个企业199X年的劳动生产率与R&D投入占销售额的比例数据如下：
R&D投入占销售额比例(%)
1.4 1.4 1.5 1.4 1.7 2.0 2.0 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.1 3.5
劳动生产率
(万元/人）
6.7 6.9 7.2 7.3 8.4 8.8 9.1 9.8 10.6 10.7 11.1 11.8 12.1 13
劳动生产率与R&D投入比例间是否呈线性相关关系?若是，求它们间的回归方程;
该公司另一企业R&D投入率为4.6%，求该企业劳动生产率的置信度为90%的预测区间。
3．某电视机厂分析本厂电视机单位成本与月产量之间的关系，表4.9给出了该厂从1996年1月起连续16个月的月产量与单位成本的数据。
表4.9 电视机单位成本与月产量
月产量(台)
4300 4004 4300 5016 5511 5648 5876 6651
单位成本(元)
1730 1715 1637 1566 1554 1538 1573 1529
月产量(台)
6024 6194 7558 7381 6590 6471 6354 8000
单位成本(元)
1554 1534 1526 1504 1534 1517 1490 1481
分别使用线性，”Inverse”(逆)（即 Y=a+b/X）和”Power”(幂)函数为单位成本与月产量间的关系配曲线。比较三个回归方程检验结果的下比值，你认为哪个回归方程较为合适?
4．在某种钢材的试验中，研究了延伸率Y(%)与含碳量X1(0.01%)及回火温度X2之间的关系，表4.10给出了15批生产试验数据。求Y和X1, X2之间的线性回归方程，并分析软件运行输出结果。
表 4.10 钢材延伸率与含碳量及回火温度试验
Yi (%)
19.25 17.50 18.25 16.25 17.00 16.75 17.00 16.75
Xi1 (0.01%)
57 64 69 58 58 58 58 58
Xi2 (oC)
535 535 535 460 460 460 490 490
Yi (%)
17.25 16.75 14.75 12.00 17.75 15.50 15.50
Xi1 (0.01%)
58 57 64 69 59 64 69
Xi2 (oC)
490 460 435 460 490 467 490
5．一般认为，一个地区的农业总产值与该地区的农业劳动力、灌溉面积、化肥用量、农户固定资产、农业机械化水平等因素有关。下表给出了1985年我国北方地区12个省市农业总产值与农业劳动力、灌溉面积、化肥用量、农户固定资产、农机动力的数据。
我国北方地区农业投入和产出数据
地区
农业总产值(亿元)
农业劳动力(万人)
灌溉面积(万公顷)
化肥用量(万吨)
户均固定资产(元)
农机动力(万马力)
北京
19.61
90.1
33.84
7.5
394.30
435.3
天津
14.40
95.2
34.95
3.9
567.50
450.7
河北
149.90
1639.0
357.26
92.4
706.89
2712.6
山西
55.07
562.6
107.90
31.4
856.37
1118.5
内蒙
60.85
462.9
96.49
15.4
1282.81
641.7
辽宁
87.48
588.9
72.40
61.6
844.74
1129.6
吉林
73.81
399.7
69.63
36.9
2576.81
647.6
黑龙江
104.51
425.3
67.95
25.8
1237.16
1305.8
山东
276.55
2365.6
456.55
152.3
5812.02
3127.9
河南
200.02
2557.5
318.99
127.9
754.78
2134.5
陕西
68.18
884.2
117.90
36.1
607.41
764.0
新疆
49.12
256.1
260.46
15.1
1143.67
523.3
试建立我国北方地区的农业产出线性回归模型。
用Excel求解线性回归方程并剔除不显著的变量。(2)用SPSS软件的逐步回归功能求解最优回归方程。(3) 软件运行输出结果能说明什么问题？
习题五
1．某企业生产A、B、C三种产品，各产品的材料、机时消耗、资源限量、单位利润及需求量数据见表5.1。
表 5.1
产品
材料单耗
机时单耗
单位利润
已定货量
最大需求
A
1.0
2.0
10
200
300
B
1.5
1.2
14
250
280
C
4.0
1.0
12
100
130
资源限量
2000
1000
应如何安排生产，可使总利润为最大？试建立此问题的LP模型。
2．某厂需冶炼一种含铅30%、锌20%、锡50%的合金5000公斤，市场上现有5种含铅、锌、锡百分比各不相同的合金供应，这5种合金的铅、锌、锡含量及价格如下表。
表 5.2
合金 成分
含 量（%）
1 2 3 4 5
铅
30 10 50 10 50
锌
60 20 20 10 10
锡
10 70 30 80 40
价格（元/公斤）
80 55 85 52 70
问应购入上述合金各多少进行混合冶炼，可使总材料费用为最少？试建立此问题的LP模型。
3．一家快餐店在一天中需要的服务员数如下：
时 段： 2~6 6~10 10~14 14~18 18~22 22~2
需要人数： 4 8 10 7 12 4
每个服务员连续工作8小时，应如何安排各时间的上班人数，可使所需的服务员数最少？试建立此问题的LP模型。
4．某工程需要一批直径为16mm的钢筋，其中长度为2.5米的1200根，长度为3米的900根，长度为3.5米的750根，长度为4米的600根，现有的钢筋长度为10米。问应如何下料，可使总的钢筋消耗最少？试建立此问题的LP模型。
5．某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日，春夏季4000人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和蛋鸡。种作物不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资400元，每只蛋鸡投资2元。养奶牛时每头需拔出1.5公顷土地种饲草，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入4000元/头。养鸡不占土地，每只蛋鸡秋冬季需需人工0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入为20元/只。农场现有鸡舍允许最多养3000只鸡，牛栏允许最多养32头奶牛。三种作物每年需要的人工及收入情况见表5.3。
表 5.3
大 豆
玉 米
小 麦
秋冬季需人日数
春夏季需人日数
年净收入（元/公顷）
20
50
1750
35
75
3000
10
40
1200
问如何制定该农场的经营方案，可使年净收入为最大？试建立此问题的LP模型。
6．有一艘货轮，分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量见表5.4所示。
表 5.4
前舱
中舱
后舱
最大允许载重量（吨）
容 积（立方米）
8000
4000
12000
5400
4000
1500
现有三种货物待运，有关数据列于表5.5。
表 5.5
商品
数量（件）
体积（立方米/件）
重量（吨/件）
运价（元/件）
A
B
C
1000
1500
2000
5
2
3
8
8
5
1000
750
500
为了航运安全，要求前、中、后三个舱位在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。具体要求为：前、后舱分别与中舱之间载重量比例偏差不超过15%；前、后舱之间不超过10%。问该货舱应装载A，B，C各多少件，可使运费收入为最大？试建立此问题的LP模型。
7．某厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，每种产品都要经过A、B两道工序加工。设该厂有两种设备能完成A工序，分别以A1、A2表示；有三种设备能完成B工序，分别以B1、B2、B3表示。产品Ⅰ的两道工序分别可在A、B的任何一种设备上加工；产品Ⅱ的A工序可在任何A设备上加工，但B工序只能在B1设备上加工；产品Ⅲ只能在A2 与B2设备上加工。已知三种产品的原材料费、销售价格、各道工序的单件工时，各种设备的可用台时以及各设备的加工费用如表5.6所示。
表 5.6
设备
产品单位台时
可用台时
加工费用
（元/小时）
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
A1
A2
B1
B2
B3
5 10
7 9 12
6 8
4 11
7
6000
10000
4000
7000
4000
5.0
3.2
6.5
1.2
4.0
原料费（元/件）
单 价（元/件）
25 35 50
125 200 280
应如何制定生产计划，可使该厂利润最大？试建立这个问题的LP模型。
8．将下列线性规划问题化为标准型
（1）min X0=-3X1+4X2-2X3+5X4
4X1–X2 +2X3-X4=-2
s.t. X1+X2+3X3-X4≤14
-2X1+3X2-X3+2X4≥ 2
X1，X2，X3≥ 0，X4无限制
（2）min X0＝2X1-X2+2X3
-X1＋X2＋X3＝4
s.t. –X1＋X2- X3≤6
X1≤0，X2≥0，X3无限制
9．用图解法求解下列线性规划问题
（1）max X0=10X1＋5X2
3X1＋4X2≤9
s.t. 5X1＋2X2≤8
X1，X2≥0
(2)max X0＝2X1＋X2
5X2≤15
s.t. 6X1＋2X2≤24
X1＋X2≤5
X1，X2≥0
10．用Excel软件求解习题1的线性规划问题，并分析运行输出结果。
12．用Excel软件求解本章习题2的线性规划问题，并分析运行输出结果。
13．用Excel软件求解本章习题3的线性规划问题，并分析运行输出结果。
14．用Excel软件求解本章习题4的线性规划问题，并分析运行输出结果。
15．用Excel软件求解本章习题5的线性规划问题，并分析运行输出结果。
15．用Excel软件求解本章习题6的线性规划问题，并分析运行输出结果。
15．用Excel软件求解本章习题7的线性规划问题，并分析运行输出结果。
16．用Excel软件求解本章讲稿中案例1、2、3、4、6的线性规划问题，并分析运行输出结果。
LP建模案例分析讨论题
东南航空公司经营4条航线的客运业务，现考虑将3种不同型号的飞机分配到4条航线上的问题。具体数据如下：
表 7.1
型号
可载客数
飞机数
在各航线每天可飞行次数
各航线每航次运行成本
1
2
3
4
1
2
3
4
1
150
5
3
2
2
1
2000
2200
2400
3000
2
90
8
4
3
3
2
1600
1800
2000
2000
3
60
10
5
5
4
2
1200
1600
1600
1800
每天乘客数(双向总数)
少载一个乘客的损失
1000
2000
800
1500
80
100
90
140
如何确定各航线分配的各型号飞机架数，可使总成本最小？试建立此问题的LP模型。
2．某人打算进行期货投资，有4种不同的品种可供选择投资。未来有三种可能的结果，出现各结果时购买的各品种期货的盈亏如下：
表 7.2
结果
购买的各品种期货每一元的盈亏
1
2
3
4
1
-0.5
0.6
-0.3
1.2
2
0.5
-0.3
-0.4
-0.6
3
0.3
-0.4
1.0
-0.2
该投资者共有500,000元，问应如何投资，可使他的最小收益达到最大？试建立此问题的LP模型。并用Excel软件求本问题的最优解
3．W机床公司年初有经过培训的合格技工120名，在今后三个月内，公司需要经过培训合格的从事机加工的技工人数如下：
1月份 2月份 3月份
100人 150人 200人
此外4月份公司需要的经过培训的合格技工数共250名。为满足对合格技工的需求，公司准备举办技工培训班，由经过培训的合格技工担任培训教师，每名教师负责培训10名学员，培训班一个月一期。根据以往经验，每10名学员中有7名能在培训期满后成为合格技工（不合格的不予雇佣）。公司的费用标准如下：
每名学员的培训费用（不含教师工资） 400美圆
从事生产或任教的合格技工的月工资 700美圆
无工作可做的合格技工月工资（工会合同禁止解雇合格技工） 500美圆
问应如何制定培训计划，可使公司在第一季度的总支出为最少？试试建立此问题的LP模型，并用Excel软件求最优解。
4．ABC公司是一家从事玉米贸易的商行，公司有一个库容为5000包玉米的仓库。年初时公司有期初玉米库存1000包，并有现款10万元。估计第一季度玉米的购销价格如下：
购入价（元/包） 销售价（元/包）
一月 28.5 31.0
二月 30.5 32.5
三月 29.0 29.5
购入的玉米当月到货，但最早要到下月才能卖出。玉米购销都采用现款交易。公司要求在一季度末仍有1000包玉米的库存。问应如何制定公司的玉米购销计划，可使公司在第一季度的总利润为最大？试建立此问题的LP模型，并用Excel软件求最优解。
5．某公司生产A、B、C三种产品，每单位产品A需要1小时设备工时、10小时直接劳动和30元流动资金；每单位产品B需要2小时设备工时、4小时直接劳动和20元流动资金；每单位产品C需要1小时设备工时、5小时直接劳动和10元流动资金。G公司可利用的设备工时为100小时，劳动力为700小时，流动资金为4000元。生产的产品必须全部售出，因而各产品的单位销售利润与产量有关，具体数据如下表所示：
表 7.3
产 品 A
产 品 B
产 品 C
产量
单位利润
产量
单位利润
产量
单位利润
0-40部分
10
0-50
5
0-100
5
41-100部分
9
51-100
4
100以上
4
101-150部分
8
100以上
3
150以上部分
7
如何确定各产品的生产计划，可使公司的总利润为最大？试建立此问题的LP模型，并用Excel软件求最优解。
以上各案例分组完成，每组都要完成全部案例分析报告。讨论时采用抽签办法临时决定各组的主讲案例题。希望各组将各案例分析做成PowerPoint幻灯片以便讨论交流。
