8.1 基本运算电路
8.2 对数和反对数运算电路
8.3 有源滤波电路
第八章 信号的运算与处理电路
教学内容：
本章介绍了集成电路的基本应用电
路，重点讨论了模拟信号运算电路。对
于信号处理电路这里只重点介绍了有源
滤波电路。
教学要求：
本章的重点是在掌握几种运算放大器基
本应用电路的基础上，找出应用电路的共同
规律、分析问题的方法与思路，以便能举一
反三，为掌握其它应用电路奠定基础。对于
滤波器特性的分析是本章的难点。
第七章在讨论在深度负反馈条件下对负反
馈电路进行近似计算时，有两个重要概念：
1.集成运放两个输入端之间的电压通常接
近于零，即 V? =VN –VP ? 0,若把它理想化，则
有 V?=0，但不是短路，故称为虚短。
2.集成运放两个输入端几乎不取用电流，
即 i? ?0,如把它理想化，则有 i? =0，但不是断
开，故称为虚断。
8.1 基本运算电路
基本信号运算电路是集成运放应用的基本单
元电路，通常简称为基本运算电路。通过基本运
算电路可以组成不同功能的电路。基本运算电路
主要有加法、减法、积分、微分、对数、反对数
等电路。加法、减法电路的输入与输出呈线性关
系；积分、微分、对数、反对数电路的输入与输
出呈非线性关系，但运算放大器本身工作在线性
区。
8.1.1加法电路
如果要将两个电压 VS1、
VS2相加，可用如图所示电
路来实现。这个电路接成
反相放大器，由于电路存
在虚短 V? = 0，在 P端接地
时 VN = 0，故 N点为虚地。
显然，它属于多端输入的
电压并联负反馈电路。
R f
R 1
R 2V s1
V s2
V O
在下图的输出端在
接一级反相电路,则
可实现完全符合常
规的算术加法,
利用 V?=0,i?=0和 VN=0,的概念，对反相输
入节点可写出下面的方程式：
这就是加法运算的表达式，负号是因反相
输入所引起的。若 R1= R2= Rf,则
- V0 = VS1+ VS2 (见例题 )
f
SS
R
VV
R
VV
R
VV 0
2
2
1
1 ????? ???
f
SS
R
V
R
V
R
V 0
2
2
1
1 ???
2
2
1
1
1
0 SS
f V
R
RV
R
R
V ???
8.1.2 减法电路
1.利用反相信号求和以实现减法运算
A 1 A 2
R 1
R R 2f1 f2R
R
V s2
V s1
V OO1V
2
用加法电路构成减法电路
如图所示，第一级为反相比例放大电路，
若 Rf1= R1，则 VO1= -VS1；第二级为反相加法
电路，则可导出
若 R2 = Rf2,则 VO = VS1 – VS2
此电路由于出现虚地，放大电路没有共模
信号，故允许 VS1,VS2的共模电压范围较大，
且输入阻抗较低。
)()( 21
2
2
201
2
2
0 SS
f
S
f VV
R
R
VV
R
R
V ?????
2.利用差分式电路以实现减法运算
如图所示，从电路结
构上来看，它是反相输入
和同相输入相结合的放大
电路。在理想运放下，有
VP = VN,就是说电路存
在虚短现象。同时运放两
输入端存在共模电压。 (见例题 )
R 2 R 3
R 1 R fV
V -
s2
s1 V s2 V
I
V O
减法器
伴随 V? = 0,也有 i? = 0,由此可得下列方程式：
注意 VN = VP,
f
ONNS
R
VV
R
VV ???
1
1
32
2
R
V
R
VV PPS ??
1
1
2
32
3
1
1 ))((
S
f
S
f
O VR
R
V
RR
R
R
RR
V ?
?
?
?
在上式中，如果选取电阻值满足 Rf/R1=R3/R2
的关系，输出电压可简化为,
即输出电压 VO与两输入电压之差 (VS1- VS2)
成比例，所以上图的减法电路实际上是一个差
分式放大电路。
)( 12
1
SS
f
O VVR
R
V ??
8.1.3 积分电路
如图所示，利用虚地
得概念,V? = 0,i? = 0,
因
此有 i1= i2=i,电容 C就以
电流 i = VS /R进行充电。
假设电容器 C初始电压为
零，则
dtRVCdtiCid tCVV SO ??? ????? 111 1
R
C
V 0
V s
i 1
i I
i 2
上式表明，输出电压 Vo为输入电压 VS对
时间的积分，负号表示它们在相位上是相反
的。当输入信号为阶跃电压时，电容将以近
似恒流方式进行充电，输出电压 Vo与时间 t
成近似线性关系。 (见例题 1)(见例题 2)
式中 ? = RC为积分时间常数 。
??? dtVRCV SO 1
tVt
RC
VV SS
O ?????
8.1.4 微分电路
将积分电路中的电阻
和电容元件对换位置，并
选取较小的时间常数 RC，
便得如图所示电路。
设 t = 0时，电容器 C的初
始电压 VC =0,当信号电压
VS接入后，有
dt
dVCi S?
i
R
I
C
i 1
i 2
V 0
V s
从而得
上式表明，输出电压正比于输入电压对时
间的微商。
dt
dVRCiRVV S
O ????
dt
dVRCV S
O ??
8.2 对数和反对数运算电路
对数和反对数运算电路与加、减、比
例等运算电路的组合，能实现乘、除和不
同阶次的幂 (非线性 )等函数的运算，因此
对数、反对数运算电路得到了广泛的应用。
8.2.1对数运算电路
在反相运算放大电路
中，若 Z1 = R,Zf 为 BJT，
便得如图所示电路。利用
虚地的概念，有
R
Vii S
C ??
BECEO VVV ????
RV S
T
i
V O
故由以上几式可得，
由上式可知，输出电压和输入电压成对数
关系，输出电压的幅值不能超过 0.7V。
ES
C
TBEO
iVVV
?
???? ln
EST
S
T VR
VV ???? lnln
8.2.2 反对数运算电路
如将对数运算电路图中的 R与 BJT的位置互
换，便得到如图所示电路。考虑到 VBE ? VS，
同样利用 BJT的 iC--VBE的关系，可得
由此可见，输出电压与输入电压成反对数
指数关系。此时,VS必须为正值。
T
S
V
V
ESEF eii ???
R
V O
V S
T
S
V
V
ESFO RiV Re?????
8.3 有源滤波电路
有源滤波器是一种能使有用频率信号
通过而同时抑制无用频率信号的电子装置，
它实际上是一种有源选频电路。其种类主
要有：低频滤波器、高通滤波器、带通滤
波器、带阻滤波器等。
8.3.1基本概念及初步定义
滤波电路的一般结构如图所示。图中 V?(t)
表示输入信号,Vo(t)表示输出信号。假设滤波
电路是一个线性时不变网络，则在复频域内有
式中 A(s)是滤波电路的电压传递函数，一
般为复数。 (见例题 )
)(
)(
)(
sV
sV
sA
i
O?V ( t )I V ( t )O滤波电路
对于实际频率来说 (s=j?)则有
这里 |A(j?)|为传递函数的模,?(?)为其
相位角。此外，滤波电路的时延 ? (?)定义为
)(|)(|)( ???? jejAjA ?
)()()( s
d
d
?
???? ??
通常用幅频响应来表征一个滤波电路的
特性，欲使信号通过滤波器的失真很小，则
相位和时延应亦需考虑。当相位响应 ?(?)
作线性变化，即时延响应 ? (?)为常数时，
输出信号才可能僻免失真。显然，这和第三
章讨论线性失真时所得结论是一致的。
对于幅频响应，把能够通过信号的频率范
围定义为通带，把受阻或衰减的信号频率范围
称为阻带，通带和阻带的界限频率叫做截止频
率。
理想滤波电路在通带内具有零衰减的幅频
响应和现行的相位响应，而在阻带内应具有无
限大的幅度衰减。按照通带和阻带的相互位置
不同，滤波电路通常可分为以下几类：
a.低通滤波电路
其幅频响应如图所示,
图中 A0 表示低频增益 |A|
为增益的幅值。由图可知
它的功能是通过从零到某
一截止频率 ?H的低频信号,
而对于大于 ?H的所有频率
则完全衰减，因此其带宽
宽 BW = ?H 。 (见 EWB仿真 )
|A|
Ao
0
通带 阻带
?H ?
理想
实际
b.高通滤波电路
其幅频响应特性如图
所示，由图可知 0<?<?H
范围内的频率为阻带，高
于 ?H的频率为通带。从理
论上说，它的带宽 BW=?,
但实际上，由于受有源器
件带宽的限制，高通滤波
电路的带宽也是有限的。
|A|
Ao
0
阻带 通带
?L ?
理想
实际
c.带通滤波电路
其幅频响应如图所
示。图中 ?L为低边截止
角频率,?H为高边截止
角频率,?o为中心角频
率。由图可知，它有两
个阻带, 0 < ? < ?L,
及 ? > ?H，因此带宽
BW = ?H - ?L。
|A|
Ao
0 ?L ?H?o ?
理想
实际
d.带阻滤波电路
其幅频响应如图所示，
由图可知，它有两个通带：
0<?<?H 及 ?>?L,和一个
阻带,?H <? < ?L。因此
它的功能是衰减 ?L 到 ?H
间的信号。通高频滤波电
路相似，由于受有源器件
带宽的限制，通带 ? > ?L
也是有限的。 (见 EWB仿真 )
|A|
Ao
0 ?H ?L?0
理想
实际
8.3.2 一阶有源滤波电路
如果在一级 RC 低通电路的输出端在加上一
个电压跟随器，使之与负载很好地隔离开来，就
构成了简单的一阶有源低通滤波电路，如图所示
由于电压跟随器的输入
阻抗很高，输出阻抗很
低，其带负载能力很强。
R f
R
Cv i
R Lv o
pv
1.传递函数
对于如图所示电路而言，通带电压增益 A
等于同相比例放大电路的电压增益 AVF,即
根据对 RC低通电路的
分析结果，由图可知：
1
0 1 R
RAA f
VF ???
R f
R
Cv i
R Lv o
pv
R 1
)(1 1)( sVs R CsV iP ??
因此传递函数为：
式中 ?n=1/(RC),?n 称为特征角频率。
)(
1
1)( sV
s R C
sV iP
?
?
nn
VF
i
s
A
s
A
sV
sV
sA
??
?
?
?
??
11
1
)(
)(
)( 00
2.幅频响应
对于实际频率来说，
s = j?，由此可得
显然，这里的 ?n就
是 -3dB截止角频率 ?H。
)(1)(
)(
)( 00
n
i j
A
jV
jV
jA
?
??
?
?
?
??
2
00
)(1
|)(|
|)(|
|)(|
n
i
A
jV
jV
jA
?
??
?
?
?
??
-3
-20 1 ?/?n
dBAjA /|)(|lg20
0
?
0
10
-20dB/十倍频程
理想的
实际
的
例, (北京大学 2000年研究生入学试题 )用理
想运放实现以下运算电路，要求画出电路原理图，
必要时，给出元件数值。
dtVVV
RC
V
VVV
VV
i
)(
1
)3(
105)2(
)1(
3210
210
0
????
??
?
?
解：应用理想运放实现要求运算功能的电
路很多，基本电路为
(1) 可用跟随器实现，
电路图如图所示。
(2) 可用典型减法电
路实现，如图所示。
2
1
1
32
3
1
1
0 ))(( VR
RV
RR
R
R
RRV ff ?
?
??
V i
V O
R 2 R 3
R 1 R f
V 1
V 2
V O
即可得到
(3)可综合加法电路和
积分电路的设计思想实现，
其电路图如图所示。
,
5
6,10
3
2
1
??
R
R
R
R f
210 105 VVV ??
R
R
R
V 1
2
V 3
V
C
R 1
V O
讨论：
依题意设计电路原理图，实现方法是多
种多样的，一般情况下可以利用基本运算单
元电路组合实现或综合运用基本单元电路的
设计思想实现。实现时要注意电路元件参数
的选择应合理。
例, (北京大学 2000年研究生入学试题 )
已知 A为理想运放，推导出如图所示电路的
增益。
R 1
R 2 R 4
R 3
V i
解：题中理想运算放大器 V- =V+ =0，则 P点
的节点电流方程为：
理想运算放大器电路满足虚短条件，有
VP/R2 = -Vi/R1 代入上述结点电流方程，可以
得到：
31
3243420
RR
RRRRRR
V
VA
i
v
?????
0
4
0
32
???? R VVRVRV PPP
分析：
电路为反相输入高阻抗比例运算电路，电
路中运算放大器具有理想特性。运放工作于线
性状态时，利用虚短和虚断条件，采用基本电
路分析方法，即可求解电路。
例, (东南大学 1997年研究生入学试题 )
电路如图所示，设 A1,A2为理想运放，试
求输出电压与输入电压之间的函数关系。
R 1
R 2 2R
R 3
R 1
V i1 V i2
V O
解：电路中 A1,A2为理想运放，满足条
件
各电流值为：
222
111
iPN
iNP
VVV
VVV
??
??
3
12
3 R
VV ii ???
1
1
1 R
Vi??
21432150
435
)( ii VRVRV ????????
?????
))(21( 12
3
1
2
1
ii VVR
R
R
R ????
2
1222
4
3
12
1
1
312
)(
R
VRV
R
VV
R
V
ii
iii
???
??
?
???????
分析：
电路中理想运算放大器工作于线性状态
时，利用虚断和虚短条件下及相关电路分析
方法进行分析推导，是求解电路输出电压与
输入电压检函数关系的基本途径。
例, (北京理工大学 1999年研究生入学试题 )如
图所示电路,运算放大器都是理想器件,电容 C
上的初始电压为零。
(1)求 V0(t)与 Vi(t)的关
系表达式；
(2)若 R =3k?,C=10?F,
Vi(t) =t2(V),求 V0从 0起
变到 -240mV时所需要的
时间。
R
RR
R
R
C
V i
V O
V' O
解,(1)积分电路
因理想运算放大器满足 VN=VP，于是有
???? dtVRCV 00 1
ii VRR
RVVV
RR
RVV ?
?
????
?
?? )()(
0000
iVV ?
??
0
iVdtVRC ?? ? 0
1
dt
dVRCV i???
0
(2)根据输入输出关系
输出电压从 0变到 -240mV时所需的时间 t=4s。
)(600 mVtV ???
dt
dVRCV i??
0
分析：
由多个运算放大器组成的线性电路，可根
据单个电路的输入输出关系，求出总电路的运
算关系。本例首先确定积分电路关系，再根据
理想运算放大器的分析方法，确定输入输出电
压关系。
例, (国防科技大学
1999年研究生入学试题 )
电路如图所示,A 为理
想运放。
(1)推导出 V0与 V?的关
系 A(s);
(2)该电路为何种滤
波电路。
A
R 1
R
R f
V I
V O
C
解,(1)根据理想运算放大器特性,同时
可得 V0与 Vi的关系式为：
(2)该电路是低通滤波电路。
0
1
1
11
1
V
RR
R
V
CS
R
CS
f?
??
?
R C SR
R
sV
sVsA f
?
????
? 1
1)1(
)(
)()(
1
0
分析：
对运算放大器组成的信号处理电路，电
容与电感的阻抗分别用 1/SC与 SL代替。由
此，根据理想运算放大器的运算规则，确定
电路的关系式。判断滤波电路的类型，可通
过电路的关系式或电路的 Bode图判断。
