基础知识
1．1 多维随机变量及其分布
一 随机向量的概念
多维随机变量也就是多个随机取值的变量，也称为随机向量。
定义 如果随机变量定义在同一概率空间上，则称
X=()
构成一个n维随机向量，称之为n维随机变量。
定义 设为实数，称n元函数
为随机向量X=()的联合分布函数。
n元分布函数具有以下性质：
对任一是单调不减的；
对任一是右连续的；
对 n元离散随机变量还有其联合概率分布而对n元连续随机变量则存在非负可积函数，使得
这里的称为联合密度函数，满足条件：
多项分布
做n 次重复独立试验，每次试验的结果为且
若记表示在n?次试验中出现的次数，则m维随机变量的概率分布为
这里
设为n阶正定对称矩阵，表示的行列式的值，为任意向量，则有密度函数
定义的分布称为n元正态分布，简记为
二 边缘分布
设为n元分布函数，任意保留k个例如，而令其它的都趋向于，即
。
显然，是一k元分布函数，称为的k元边缘分布函数。
如果是连续型的，即有密度函数，则也是连续型的，其密度函数为
。
如果是离散型的，则也是离散型的，其边缘概率分布为
注：边缘分布函数由联合分布函数惟一确定；反之不然，即不同的分布函数可能有相同的边缘分布函数。
例 设有两个二元分布函数F(x,y)和G(x,y)，密度函数分别为
显然，F(x,y)和G(x,y)不恒等。但它们的边缘密度函数分别为
所以 同理可知
三 随机变量的独立性
定义 设为 n个随机变量，如果对任意实数成立
则称是相互独立的。
如果的分布函数为它们的联合分布函数为，则相互独立性等价于对一切，成立
在独立条件下，由随机变量的边缘分布可惟一确定其联合分布函数。
对离散型随机变量，其相互独立性等价于对任何一组可能取的值（），成立
对连续随机变量相互独立的充要条件是
即联合分布密度函数等于边缘分布密度函数之积。
随机变量两两独立的充要条件是
对任意的和都是独立的，即对任意的都有
其中为（，）的分布函数。
显然，相互独立性可推得两两独立性，反之不然。
四 条件分布与条件数学期望
设已给二维随机变量(X,Y),对任意给定,如果可考虑有的函数
显然, 是一维分布函数,我们称为条件下,Y的条件分布函数。
设(X,Y)为离散的，其联合概率分布为
则
设(X,Y)为连续随机变量，联合密度函数为f(x,y),如果在定点x，X的边缘密度
定义
为给定条件下，Y的条件分布函数，一般记为称y的函数
为给定条件下，Y的条件密度函数.
显然有
同理可得
.
也可写成
由上式可得
这就是Bayes公式的密度函数形式。
定义 条件分布的数学期望称为条件数学期望，它可用条件分布计算得
条件数学期望与E(X)的区别：E(X)只有一个，而有许多个，当Y取不同值时，的值一般也是不同的，也就是说是y的函数，此函数刻画的是X的条件数学期望随Y的取值y的变化规律。而则为一随机变量,取值为的概率为
例 X表示中国成年人的身高，则E(X)表示中国成年人的平均身高，如果Y表示中国成年人的足长，则表示足长为y的中国成年人的平均身高，我国公安部研究得
=6.876y.
条件数学期望是条件分布的数学期望,故具有数学期望的一切性质,如
(1)(线性性)
(2)对任意函数g(X),有
(3)
证明 仅对连续场合证明(3),设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),则
例 设走进某百货商店的顾客是均值为35000的随机变量，顾客在商店消费的钱数是相互独立、均值为52元的随机变量，并且任一顾客所消费的钱数与进入该商店的总人数也相互独立，问该商店一天的平均营业额为多少？
解 令N表示进入该商店的总人数，表示第i个顾客的消费额，则该商店一天的营业额为。由于
其中，
上式第二个等号成立是因为各与N 独立，从而条件期望就是无条件期望。所以
从而
现已知 所以该商店一天的平均营业额为
五 多维随机变量的数字特征
设已给n维随机变量如果都存在，称n 维向量为X的数学期望，并记为
如果
存在，则称为的协方差，而n 阶矩阵
则称为X的协方差阵，其行列式记为注意
矩阵具有以下性质：
对称性：（对一切）；
非负定性：对任意实数，有
对其中任意两个随机变量和，设称
为与的相关系数，而n 阶矩阵
称为X的相关系数阵。由柯西不等式得
相关系数的性质有：
1
2 如果与独立，则即与不相关。
3 的充要条件是：与以概率1线性相关，即存在常数使得
对于服从二维正态分布的随机变量它们的独立性与不相关性等价。
1．2 随机变量的特征函数及其性质
一 定义
定义 如果X和Y是实值随机变量，则为复随机变量。定义复随机变量Z的数学期望为
定义 如果随机变量X的分布函数为F(x),则称
为X的特征函数。
特征函数是实变量的一个复值函数，由于所以特征函数对一切t都有定义。
显然，特征函数只与分布函数有关，因此也称某一分布函数的特征函数。
对离散随机变量，若X的概率分布为则其特征函数为
对连续随机变量，若X的密度函数为f(x),则其特征函数为
此时，特征函数即为密度函数的Fourier变换。
例。二项分布B(n,p)的特征函数为
Poisson分布的特征函数为
正态分布的特征函数为
标准正态分布的特征函数为
二 特征函数g(t)的性质
性质1
性质2 g(t)在上一致连续。
性质3 对任意的正整数n及任意实数及复数成立
性质4 相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积。
性质5 设随机变量X有n阶矩存在，则它的特征函数可微分n次，且当时：
性质6 设Y=aX+b,这里a,b为常数，则
定理 (逆转公式) 设分布函数F(x)的特征函数为g(t),是F(x)的连续点,则
定理 (惟一性定理)分布函数由其特征函数惟一决定.
定理 如果则相应的分布函数F(x)的导数存在并连续,而且
