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§ 2.3 抽样分布
尽管在一般情况下,要确定某个统计量的分布是非常困难
的,但在总体服从正态分布时,可以确定某些统计量的分布,
定理 3,1 设总体 X ～ ? ?
2
,??N,
n
XXX,,,
21
? 为其
样本,则样本均值 X 与样本方差
2
S 独立，且有
1 ）
X
n
?
?
?
～ N(0, 1) (3.1)
2 ）
2
2
1
1
()
n
i
i
X ?
?
?
?
?
～
)(
2
n?
（ 3.2 ）
3)
2
2
( 1 )nS
?
?
=
2
2
1
1
()
n
i
i
XX
?
?
?
?
～
)1(
2
?n?
(3.3)
4 ）
X
S
n
??
～ t(n - 1) (3.4)
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证明 因为 nXXX,,,21 ? 相互独立，且均服从 ? ?2,??N, 所以
1 ） X = n1
1
n
i
i
X
?
? 也服从正态分布，且 ? ? ? ?,,
2
nXDXE
?? ??
故
X ～ N (,?
n
2
?
),即有
X
n
?
?
?
～ N ( 0, 1 ),
2 ）
1,X ?
?
? 2
,
X ?
?
?
…,
nX ?
?
?
相互独立，且均服从 N (0,1),
由定义 2,1 知 ( 3,2 ) 成立,
样本均值 X 与样本方差 2S 独立性,( 3,3 ) 及 ( 3,4 )
的证明从略,
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请注意 (3.1)与 (3.4),(3.2)与 (3.3)的区别和联系,
现在我们讨论关于两个正态总体的统计量
的分布, 从正态总体 X 抽取容量为 n 样本，其样
本均值记为 X,样本方差记为
2
1
S ；从正态总体 Y
抽取容量为 m 样本，其样本均值记为 Y,样本
方差记为
2
2
S ；并假设所有的观察都是独立的，
即两个样本独立,
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定理 3.2 设总体 X ～ ? ?
2
1
,??N,总体 Y ～ ? ?
2
2
,??N,则有
1 ）
2
1
2
2
S
S ～ F ( n - 1,m - 1) ( 3.5 )
2)
12
( ) ( )
11
XY
S
nm
?
??? ? ?
? ～ t ( n+m - 2) ( 3.6 )
其中
2
S
? =
22
12
( 1 ) ( 1 )
2
n S m S
nm
? ? ?
??, ?
S
=
2
S
?
,
证明：略,
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定理 3,3 设总体
? ?
2
11
~,XN ??
,总体
? ?
2
22
~,YN ??
,
则有
1)
? ?
12
22
12
()
~ 0,1
xy
N
nm
??
??
? ? ?
?
( 3.7 )
2)
? ?
2
1
2
1
2
2
2
2
~ 1,1
s
F n m
s
?
?
??
(3,8)
以上定理统称为 抽样分布定理,这些定理在以后的区间
估计、假设检验中有非常重要的作用,
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例 3.1 设
1021,,xxx ?
为正态总体 ? ?22,0N 的样本,求常数
a,b,c,d,使
? ? ? ? ? ? 210987265423221 xxxxdxxxcxxbaxQ ??????????
服从 2? 分布,并求自由度 m,
解 由于 x i 2( 0,2 )N:,且 x i 之间相互独立,因此
21 ( 0,2 ),xN, 12 1 ( 0,1 ),xN,
故
22
1
1 ( 1 ) ;
4
x ?,
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同理
23 ( 0,8 ),:x x N?
故
22
23
1
( ) ( 1 ) ;
8
xx ??,
而
456 (0,1 2 ),x x x N??,
所以
22
456
1
( ) ( 1 ) ;
12
x x x ???,
7 8 9 1 0 (0,1 6 ),x x x x N? ? ?,
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故
22
7 8 9 1 0
1 ( ) ( 1 ) ;
16 x x x x ?? ? ?,
由 2? 分布的可加性可知,
2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( 4 ) ;
4 8 1 2 1 6x x x x x x x x x x ?? ? ? ? ? ? ? ? ?,因此当 1 1 1 1,,,
4 8 1 2 1 6
a b c d? ? ? ?时,Q 服从自由
度为 m =4 的 2? 分布,
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例 3,2 设总体 X 和 Y 相互独立且均服从正态分布
N(0,3 2 ),而
1 2 9,,,x x xL
和
1 2 9,,,y y yL
分别为总体 X 和
Y 的样本,试证明统计量
1 2 9
2 2 2
1 2 9
( 9 ),x x xTt
y y y
? ? ??
? ? ?
L,
L
证明 因为 ix 和 iy ( 1,2,,9)i ? L独立同分布,所以
2211 ( 0,1 ),( 1 ),
39iiy N y ?::
故
99
2
211 ( 0,1 ),( 9 )
99
ii
ii
xy
N ???
??
::
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令
99
2
211 ( 0,1 ),( 9 ),
99
ii
ii
xy
U N V ?????
??
::
则 U和 V相互独立,且由 t分布的定义可知,
( 9 ),9UTtV?,
于是
1 2 9
2 2 2
1 2 9
( 9 ),
9
U x x x
V y y y
? ? ???
? ? ?
L,
L
以上定理统称为 抽样分布定理,这些定理在以后的区间估
计、假设检验中有非常重要的作用,