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§ 8.1 多元正态分布参数的估计与
假设检验
在多元统计分析中，多元正态分布占有相当重要
的地位。这是因为，许多随机向量服从正态分布，
或近似服从正态分布，而且目前对于多元正态分
布已有一整套统计推断方法，并且得到了许多满
意的结果。下面介绍多元正态总休参数的统计推
断问题。
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一、多元正态分布参数的估计 在工程实际中，多元正态分布 ),( ??N 的参数 ? 和
? 常常是未知的，需要通过样本来估计。
设随机向 量 X 服从 p 维正态分布 ),,( ?
p
N ),,,(
21 n
XXX ?
为来自 X 的样本 )( pn ?,在此每个
i
X 都为 p 维随机向量
),,2,1( ni ?? 。
令
?
?
?
n
i
i
X
n
X
1
1
,（ 8,1 ）
?
?
???
n
k
kk
XXXXS
1
))((, （ 8,2 ）
称 X 为 样本均值向量, S 为 样本离差阵 。
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若令
i
x 为样品
i
X 的观察值 ),,2,1( ni ??,则 X 与 S 的
观察值分别为
? ?
? ?
????
n
i
n
k
kki
xxxxsx
n
x
1 1
))((,
1
。
定理 8,1 若 ),,(
1 n
XX ? 为来自总体 X 的样本，
0),,(~ ????
p
NX,则 X 与
n
S
分别是 ? 和 ? 的最大似然
估计量，即
n
S
X ???
?
,?? 。而 ? 和 ? 的最大似然估计值分
别为 ?
?
?
n
i
i
x
n
x
1
1
与 ?
?
???
n
k
kk
xxxx
nn
s
1
))((
1
。
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定理 8.2 若 ),,,(
21 n
XXX ? 是来自 p 维正态
总体 ),( ??
p
N 的样本,0?? 则 X 与 )1/( ?nS 分别
是 ? 和 ? 的最小方差无偏估计量，而 x 与 )1/( ?nS
分别是 ? 和 ? 的最小方差无偏估计值。
以上两个定理的证明可参阅, 概论论, （复旦
大学，人民教育出版社,1983，第二册第二分
册）。
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定理 8.3 若 ),,(
1 n
XX ? 为取自 p 维正态总体 ),( ??
p
N 的
样本,X, S 分别由式（ 8.1 ）和式（ 8.2 ）给出，则
① X 服从正态分布 )
1
,( ?
n
N
p
? ；
②存在相互独立的
p
维正态量
1,,2,1),,0(~,,,
11
???
?
niNYYY
in
??,
使
S
可表为
?
?
?
?
1
1
n
i
T
ii
YYS ； （ 8.3 ）
③ X 与
S
相互独立。
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例 8,1 已知 ),( 21 XXX ? 服从正态分布 ),(2 ??N,今从
中抽取容量为 20 的一个样本，得样本值（见表 8,1 ）。
表 8.1 样本值表
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
x 63 63 70 6 65 9 10 12 20 30
2
x 971 892 1 125 82 931 1 12 162 321 315 375
序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1
x 33 27 21 5 14 27 17 53 62 65
2
x 462 352 305 34 229 332 185 703 872 740
试求 ? 和 ? 的最小方差无偏估计值。
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解 由定理 8, 2 和 ? 的最小方差无偏估计值 ?? 为
?
?
??
?
?
???
?????
7 4 08 9 29 7 1
656368
20
1?
?
?X?
?
?
??
?
??
50.477
85.33 ?
?
?
??
??
2
1
x
x
由于样本离差阵
?
?
???
20
1
))((
k
kk XXXXS
??
?
??
?
??
?
??
??
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
??
??
?
??
?? ?
? 2
1
20
1 2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
k
k
k k
k
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
??
??
??
??
20
1
2
2
20
1
12
20
1
21
20
1
2
1
)())((
))(()(
212
211
k
k
k
kk
k
kk
k
k
xxxxxx
xxxxxx
??
?
??
??
00.2 1 3 5 6 8 150.1 4 9 0 5 6
50.1 4 9 0 5 655.1 0 8 3 8
所以 ? 的最小方差无偏估计值 ?? 为
??
?
??
??
??? 26.1 1 2 4 0 408.7 8 4 5
08.7 8 4 545.5 7 0
120
1? S
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二、正态总体均值向量的假设检验
在第五章中，我们曾讨论了单体与两个正态总
体均值的有关检验，现在讨论单个和两个 p 维正态
总体均值向量的有关检验。类似于一维情形,在此
分别对协差阵已知与未知两种情况进行讨论。
1,协差阵 ? 已知时，均值向量 ? 的检验
设 nXXX ?,,21 为最正态总体 ),( ??pN 的样本，
其中 ? 已知。
要检验假设
0100
:,???? ??? HH,
其中
0
? 为已知的 p 维列向量。
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为了检验设 0H,引入统计量,
)()( 010 ??? ???? ? XXn
由定理 8, 3 知 X 服从正态分布 ?
?
??
?
? ?
nN
1,?,
所以当 0H 成立时，即 0?? ? 时,? 服从自由度为
p 的 2? 分布。
而当
0
H 不成立时，即
0
?? ? 时,? 有
偏大的趋势。因此，对于给定的检验水平 ?,查
2
?
分布表，可得 )(
2
p
?
? 的值使
???
?
?? )}({
2
pP 。
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根据样本值可计算出 ? 的值 *?, 若 )(
2* p
??? ?,则拒绝 0H,即认为总体均值向量
与 0? 有显著差异,若 )(2* p
??? ?,则接受 0H,即认为总体均值向量
与 0? 无显著差异。
在实际计算 ? 时，不需要直接求出 1??,而是由样
本值先求出样本均值向量 X,再计算出 0??X,
又令
)(
0
1
????
?
Xb, （ 8.4 ）
其中 b 为待求向量。
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用 ? 左乘式（ 8.4 ）两端得
0
???? Xb, （ 8.5 ）
式（ 8.5 ）是 b 满足的线性方程组,
由于 ? 已知，从而解方程组（ 8, 5 ）可求出 b,于
是就可求得 bXn )( 0?? ?? 的值。
这种方法避免了求逆阵 1?? 的繁琐计算。
2,当协差阵 ? 未知时，均值向量 ? 的检验 设
nXXX ?,,21 为取自正态总体 ),( ??pN 的样本，协
差阵 ? 已知。
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要检验假设
0100
:,???? ??? HH,
基中
0
? 为已知的 p 维列向量。
由于 ? 未知，从而不能使用统计量 ?,但由定理 8,2
知 )1/( ?nS 是 ? 的最小方差无偏估计，从而可用
1
)1(
?
? Sn 代替
1?
?,这里
1?
S 为样本离差阵 S 的逆矩
阵，
1?
? 为 ? 的逆矩阵。
引入统计量
2
)1(
)(
T
pn
pn
F
?
?
?,
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其中
)())(1(
0
1
0
2
?? ????
?
XSXnnT,
称
2
T 为 霍太林统计量, 可以证明，当
0
H 成立时，即
0
?? ? 时,),(~ pnpFF ? 。
而当 1H 成立时，统计量 F 有偏大的趋势。
因此 F 可作为检验假设 0H 的统计量。
当给定检验水平 ? 时，查 F 分布表可求出
),( pnpF ?
?
的值，使
?
?
??? )},({ pnpFFP 。
根据样本值求出 F 的值
*
F,
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当 ),(* pnpFF ?? ? 时，则拒绝 0H,即认为
总体均值向量与 0? 有显著差异 ;
当 ),(* pnpFF ??
?
时，则接受
0
H,即认为总
体均值向量与 0? 无显著差异。
3、两个正态总体均值向量是否相等的检验
设
m
XXX ?,,
21
为取自正态总体 ),(
1
??
p
N 的样本，
n
YYY,,,
21
? 是取自正态总体 ),(
2
??
p
N 的样本，
pnpm ??,且两个样本相互独立,? 是两个正态总
体共同的协方差阵 )0( ?? 。
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要检验假设
211210,,???? ??? HH
当 ? 已知时,在 此 引 入统计量
)()(
12
YXYX
nm
mn
mn
???
?
?
?
?,
其中 X, Y 分 别 是 两 个 正 态 总 体 ),( 1 ??pN 与
),(
2
??
p
N 的样本均值，
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利用定理 8,3 及
2
? 分布的性质可以证明,当
0
H 成立
时，
2
mn
? 服从自由度为 p 的
2
? 的分布；当
1
H 成立时
)(
21
?? ?,
2
mn
? 的值有偏大的趋势，因此
2
mn
? 可作为检
验假设
0
H 的统计量。
对于给定的检验水平 ?,查
2
? 分布表可得 )(
2
p
?
?
的值，使
???
?
?? )}({
22
pP
mn
由样本值计算 2mn? 的值 2? mn?,当 )(? 22 pmn ??? ? 时，拒绝
0H,即认为两正态总体的均值向量有显著差异；
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当 )(? 22 pmn ??? ? 时，接受 0H,即认为两正态总体
的均值向量无显著差异。
当 ? 未知时，检验的统计量为
)()(
)2)((
)1(
1
YXSYX
nmnmp
pnmmn
F ??
???
???
?
?
,
其中
??
??
??
n
i
i
m
i
i YnYXmX
11
1,1
1211 ))(2( ?? ???? SSnmS
?
?
???
m
k
kk XXXXS
1
1 ))(( ??
???
m
k
kk YYYYS
1
2 ))((
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这里 S 是协差阵 ? 的估计量,21,SS 分别是两个总
体 ),( 1 ??pN 与 ),( 2 ??pN 的样本离差阵。
可以证明，当
210
,?? ?H 成立时
)1,(~ ??? pnmpFF 。
而当
1
H 成立时,F 有偏大的趋势,
因此，对给定的检验水平 ?,查 F 分布表，可
得 )1,( ??? pnmpF
?
的值，再由样本值求出统计量
的观察
*
F,若 )1,(* ???? pnmpFF
?
就拒绝
0
H,即
认为两个正态总体的均值向量无显著差异。
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例 8.2 设 YX,为两个正态总体,),(~
12
??NX,
),(~
22
??NX, ? 未知 )0( ??,今从两上总体中随机
抽取两个相互的样本（每个总体抽取一个，样本容量
为 4 ），得样本值如下（见表 8.2 （ 1 ）～（ 2 ））。
表 8, 2 （ 1 ）
样本
分量
1
X
2
X 3X
4
X
1
k
x
1 3 1, 5 145 141 150
2
k
x
9 12 30 36
表 8, 2 （ 2 ）
样本
分量
1
Y
2
Y 3Y
4
Y
1
k
y
4 0, 5 80 50 90
2
k
y
54 7 4, 5 6 4, 5 6 0, 5
试在检验水平 01.0?? 下检验假设 210, ?? ?H 。
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解 本例中 2,4 ??? pnm 。经计算知
?
?
??
?
??
??
?
??
??
75.21
8 7 5.1 4 1
2
1
x
xX ?
?
??
?
??
??
?
??
??
3 7 5.63
1 2 5.65
2
1
y
yY
?
?
??
?
?????
??? 99.1 2 436.86
36.8690.3 0 9)(
6
1)(
2
1
2121 SSSSnmS
7.116)()(d e f 12 ???? ? YXSYXnm mnT
6 2 5.487.1 1 626 5)2( 1 2 ?????? ???? Tpnm pnmF查 F 分布表得 27.13)5,2(
01.0 ?F,因为 )5,2(6 2 5.48 01.0F?,从
而拒绝 0H 可认为两个正态总体均值向量的差异高度显著。