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§ 6.2 两 因素方差分析
两因素方差分析是讨论两因素试验的统计推断问题。本
文分非重复试验和重复试验两种情形进行讨论。
一, 两因素非重复试验的方差分析
设有两个因素 BA,,因素 A 有 r 个不同水平：
r
，A，，AA ?
21；因素 B 有 s 个不同水平：
s
，B，，BB ?
21
，
在 BA, 的每一种组合水平 ),( ji BA 下作一次试验，试验
结果为 ),,2,1,,,1( sjriX ij ?? ???,所有 ijX 相互独立，
这样共得
rs
个试验结果（表 6.8 ）。
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表 6.8
因素 B
因素 A
1
B
2
B
?
s
B,
i
X
1
A
11
X
12
X
?
s
X
1
.
1
X
2
A
21
X
22
X
?
s
X
2
.
2
X
?
?
?
?
?
?
r
A
1r
X
2r
X
?
rs
X
.
r
X
j
X,
1
.X
2
.X
?
s
X,
X
这种对每个组合水平 ),,2,1,,,2,1)(,( sjriBA ji ?? ?? 各
作一次试验的情形称为 两因素非重复试验 。
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假定总体
ij
X 服从正态分布 ),(
2
??
ij
N,其中
,,,2,1,,,2,1,sjri
jiij
?? ????? ???? （ 6.13 ）
而 ? ?
? ?
??
r
i
s
j
ji
a
1 1
0,0 ? 。
于是 ijX 可表示为
?
?
? ????
),,0(~
,
2??
????
N
X
ij
ijjiij,,,2,1;,,2,1 sjri ?? ?? （ 6, 14 ）
其中诸 ij? 相互独立,i? 称为因素 A 在水平 iA 引起的效应，
它表示水平 iA 在总体平均数上引起的偏差。
同样,j? 称为因素 B 在水平 jB 引起的效应，它表示水
平 jB 在总体平均数上引起的偏差。
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所以要推断因素 A 的影响是否显著，就 等价于要检验假设
112101
0, HH
r
???? ??? ? ;
至少有一个
ri
i
,,1,0 ???? 。
类似地，要推断因素 B 的影响是否显著，就等价于要检验
假设
122102
0, HH
r
????? ??? ? ;
至少有一个
sj
j
,,1,0 ???? 。
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当 01H 成立时，从式（ 6.13 ）可以看出，均值 ij? 与 i? 无关，
这表明因素 A 对试验结果无显著影响。
同理，当
02
H 成立时，从式（ 6,13 ）可以看出，均值
ij
? 与
j
?
无关，这表明因素 B 对试验结果无显著影响，当
01
H,
02
H 都
成立时,?? ?ij, ijX 的波动主要是由随机因素引起的。
导出检验假设 01H 与 02H 统计量的方式与单因素方差分析
相类似，可采用离差平方和分解的方法。
记
),,,2,1( 1.
1
riXsX
s
j
iji ??? ?
?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 6
),,2,1( 1.
1
sjXrX
r
i
ijj ??? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
???
r
i
s
j
r
i
s
j
jiij XsXrXrsX
1 1 1 1
.1.11
于是总离差平方和
? ?
? ?
??
r
i
s
j
ij XXQr
1 1
2)(
? ?
? ?
????????
r
i
s
j
jijiij XXXXXXXX
1 1
2)].().()..[(
? ?
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
??
??????
r
i
s
j
j
r
i
s
j
r
i
s
j
ijiij
XX
XXXXXX
1 1
2
1 1
2
1 1
2
).(
).()..(
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? ?
? ?
?????
r
i
s
j
ijiij XXXXXX
1 1
).)(..(2
? ?
? ?
?????
r
i
s
j
jjiij XXXXXX
1 1
).)(..(2
? ?
? ?
???
r
i
s
j
ji XXXX
1 1
).)(.(2
? ? ?
? ? ?
??????
s
j
s
i
s
j
jiijj XXXXXXr
1 1 1
22 )..().(
?
?
??
s
i
i XXs
1
2).(
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 8
令
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
? ?
?
?
? ?
?
?
r
i
s
j
jiijE
s
j
jB
r
i
iA
XXXXQ
XXrQ
XXsQ
1
2
1
1
2
1
2
,)..(
,).(
,).(
（ 6.15）
则可得
EBA QQQQ ???
上式称为 总离差平方和分解式 。其中
A
Q 为因素 A 引起
的离差平方和，
B
Q 为因素 B 引起的离差平方和，
E
Q 称
为 随机误差平方和 。
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为了更清楚地看出各离差平方和的意义，与 XXX ji,..,的
表达式相类似，引进 ji,.,?? 与 ?,
?
?
??
s
j
iji ris
1
,,,2,1,1,???
?
?
??
r
i
ijj sjr
1
,,,2,1,1,???
? ? ??
? ? ??
???
r
i
s
j
s
j
j
r
i
iij srrs
1 1 11
.1.11 ????
应用式（ 6.14）可把式（ 6.15）写成
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（ 6.16）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
???
???
? ?
?
?
? ?
?
?
r
i
s
j
jiijE
s
j
jjB
r
i
iiA
Q
rQ
sQ
1 1
2
2
1
1
2
,)..(
,).(
,).(
????
???
???
从上式看出 AQ 主要依赖于因素 A 的效应； BQ 主要依赖于
B 的效应； EQ 依赖于随机误差,ij? 由于
,,0~.,,0~.),,0(~
22
2 ?
?
??
?
??
?
??
?
?
rNsNN jiij
??????
?????? rsN
2
,0~ ?? ),,2,1;,,3,2,1( sjri ?? ??
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 13
从而
?????? ??? ??
r
i
iiA sEQE
1
2).()( ???
? ? ?
? ? ? ??
??
?
? ????? r
i
r
i
r
i
iiii EssEas
1 1 1
22 ).(2).( ?????
?
?
???
r
i
i rs
1
22 )1( ??
同理可得
2
1
2 )1()( ?? ??? ?
?
srQE
s
j
jB
2)1)(1()( ???? srQE E
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 14
令
EEBBAA QsrQQsQQrQ )1)(1(
1,
1
1,
1
1
???????
则有
? ?
? ?
???????
r
i
s
j
EjBiA QEs
rQE
r
sQE
1 1
22222 )(,
1)(,1)( ?????
当 01H 成立时,)()( EA QEQE ?,否则,)()( EA QEQE ?,
当 02H 成立时,)()( BB QEQE ?,否则,)()( EB QEQE ?,
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令
E
A
E
A
A Q
Q
srQ
rQF d e f
)1)(1/(
)1/(
??
??
E
B
E
B
B Q
Q
srQ
sQF d e f
)1)(1/(
)1/(
??
??
当 01H, 02H 不成立时,AF, BF 有偏大趋势，因此 AF, BF 可
作为检验假设 01H, 02H 的统计量。
下面导出检验
A
F 与
B
F 的概率分布。当
01
H 及
02
H 成立时，
0??
ji
?? ),,2,1,,,2,1( sjri ?? ??,
因而 ijijX ?? ??,各离差平方和可改写为
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 16
?
?
??
r
i
iA sQ
1
2).( ??
?
?
??
s
j
jB rQ
1
2).( ??
? ?
? ?
????
r
i
s
j
jiijEQ
1 1
2)..( ????
? ?
? ?
?????
r
i
s
j
EBAij QQQQ
1 1
2)( ??
由于 ? ?
? ?
??
r
i
s
j
ij rsQ
1 1
22 ??,于是有
? ? ? ?
? ? ? ?
???????
r
i
s
j
r
i
s
j
EBAijij rsQQQrs
1 1 1 1
2222 )( ?????
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为了利用柯赫伦因子分解定理，上式两边同除以
2
? 。
于是，等式左边 ? ?
? ?
r
i
s
j
ij
1 1
2
2
1
?
?
是自由度为 rs 的
2
? 的变量，
而等式右边四项及其自由度分别为,
AQ2
1
?
具有约束条件 ?
?
??
r
i
i
1
0).( ?? 它的自由度为 1?r ；
BQ2
1
?
具有约束条件 ?
?
??
s
j
j
1
0).( ?? 它的自由度为 1?s ；
E
Q
2
1
?
具有约束条件 ?
?
?????
r
i
jiij
sj
1
),,2,1(0)..( ????? 以
及 ?
?
????
s
j
jiij
1
0)..( ????, ri,,2,1 ??,
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其中最后一个等式可由前面的 1?? sr 个获得，独立的
约束条件有 1?? sr 个，故自由度为
2
2
1
),1)(1(1
?
?????? ?
?
rssrsrrs
的自由度为 1 。由于右边各项自由度之和等于
rs
。
因此，由柯赫伦因子分解定理知，
A
Q
2
1
?
服从自由度
为 1?r 的
2
? 分布，
B
Q
2
1
?
服从自由度为 1?s 的
2
? 分布，
E
Q
2
1
?
服从自由度为 )1)(1( ?? sr 的
2
? 分布。
且 AQ, BQ 和 EQ 相互独立。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 20
由 F分布的定义
))1)(1(,1(~)1)(1(/ )1(/2
2
?????? ?? srrFQQsrQ rQF
E
A
E
A
A ?
?
))1)(1(,1(~)1)(1(/ )1(/2
2
?????? ?? srsFQQsrQ sQF
E
B
E
B
B ?
?
还可以证明，当 01H 成立时,))1)(1(,1(~ ??? srrFF A ；
当 02H 成立时,))1)(1(,1(~ ??? srrFF B 。
为了检验假设
01
H,给定显著性水平 ?,查 F 分布表可得
))1)(1(,1( ??? srrF
?
的值，使得
?
?
????? ))}1)(1(,1({ srrFFP
A
。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 21
根据一次抽样后的样本值算得 AF,
若
))1)(1(,1( ???? srrFF
A ?
,
则拒绝
01
H,即认为因素 A 对试验结果有显著影响。
若
))1)(1(,1( ???? srrFF
A ?
,
则接受
01
H,即认为因素 A 对试验结果无显著影响。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 22
同样，为了检验假设
02
H,给定显著性水平 ?,查
F 分布表可得 ))1)(1(,1( ??? srsF
?
的值，使得
?
?
????? ))}1)(1(,1({ srsFFP
B
,
根据一次抽样后所得的样本值计算
B
F 的值，若
))1)(1(,1( ???? srsFF
B ?
,
则拒绝
02
H,即认为因素 B 对试验结果无显著影响。
将整个分析过程列为因素方差分析表（见表 6.9 ），表
中
T
Q 项的计算
A
F 和
B
F 值时并没时用到，它公起校核公
式
EBAT
QQQQ ??? 的作用。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 23
方差分析表中的离差平方和也可用下面一组公式来计算。令
,
1 1
? ?
? ?
?
r
i
s
j
ijXT
21 T
rsP ? ? ?? ? ??
??
?
?? r
i
s
j
ijI XsQ
1
2
1
1
? ?
? ?
???????
s
j
r
i
ijII XrQ
1
2
1
1 ?
? ?
?
r
i
s
j
ijXR
1 1
2
从而
?
?
?
?
?
?
?
??
????
??
??
.Q
,
,
T
III
II
I
PR
PQQRQ
PQQ
PQQ
E
B
A
（ 6.17）
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 24
表 6.9
方差
来源
离差平方和 自由度 均方误差 F 值 显著性
因素
A
?
?
??
r
i
iA
XXsQ
1
2
)(
1?r
1?
?
r
Q
Q
A
A
E
A
A
Q
Q
F ?
因素
B
?
?
??
s
j
jB
XXrQ
1
2
).(
1?s
1?
?
s
Q
Q
B
B
E
B
B
Q
Q
F ?
误差
? ?
? ?
????
r
i
s
j
jiijE
XXXXQ
1 1
2
)..(
)1)(1( ?? sr
)1)(1( ??
?
sr
Q
Q
E
E
总和
? ?
? ?
??
r
i
s
j
ijT
XXQ
1 1
2
)(
1?rs
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 25
例 6.5 为提高某种合金钢的强度，需要同时考察
碳（ C ）及钛（ Ti ）的含量对强度的影响，以便
选取合理的成分组合使强度达到最大。在试验
中分别取因素 A （ C 含量 % ） 3 个水平，因素 B （ Ti
含量 % ） 4 个 水 平, 在 组 合 水 平
)4,3,2,1,3,2,1(),,( ?? jiBA
ji 条件下各炼一炉
钢，测得其强度数据见表 6.10 。
试问：碳与钛的含量对合金钢的强度是否有显著
影响 )01.0( ?? 。
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表 6.10
B 水平
A 水平
1
B
（ 3.3 ）
2
B
（ 3.4 ）
3
B
（ 3.5 ）
4
B
（ 3.6 ）
1
A （ 0.03 ） 63.1 63.9 65.6 66.8
2
A （ 0.04 ） 65.1 66.4 67.8 69.0
3
A
（ 0.05 ） 67.2 71.0 71.9 73.5
解 本例中 12,4,3 ??? rssr,令
ijX 为 A 与 B 的组合水平
),( ji BA 下的试验结果。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 27
? ?
? ?
???
3
1
4
1
2 29.113)(
i j
ijT XXQ
?
?
???
3
1
2 91.74).(4
i
iA XXQ
?
?
???
3
1
2 7.35).(3
j
jB XXQ
21.3???? BATE QQQQ
方差分析表见表 6.11
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 28
表 6.11 方差分析表
方差来源 离差平方和 自由度 均方误差 F 值 显著性
因素 A 74.91 2 37.46 70.02 * *
因素 B 35.17 3 11.72 21.91 * *
误 差 3.21 6 0.535
总 和 113.29 11
查 F分布表得：
由于
78.9)6,3(,9.10)6,2( 01.001.0 ?? FF
78.9)6,3(91.21,9.10)6,2(02.70 01.001.0 ?????? FFFF BA
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 29
二、两因素等重复试验的方差分析
在上的讨论中，由于只对 A, B 两个因素的每一种组
合水平进行了一次试验，所以不能分析 A, B 两因素
间是否存在交互作用的影响。 下面讨论在每一种组合
水平 ),( ji BA 下等重复试验情形的方差分析问题。
设有两个因素 A 和 B,因素 A 有 r 个不同水平
r
AAA,,,
21
?,
因素 B 有 s 个不同水平
s
BBB,,,
21
?,在每一种组合水平
),(
ji
BA 下重复试验 t 次，测得试验数据为
),,2,1,,,2,1,,,2,1( tksjriX
ijk
??? ??? 。
将它们列成表（表 6.12 ）。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 30
因素 B
因素 A
1
B
2
B
?
s
B
1
A t
XXX
111 1 21 1 1
,,,?
t
XXX
121 2 21 2 1
,,,?
?
stss
XXX
12111
,,,?
2
A t
XXX
21212211
,,,?
t
XXX
22222221
,,,?
?
stss
XXX
22212
,,,?
? ? ? ?
r
A
trrr
XXX
11211
,,,?
trrr
XXX
22221
,,,?
?
rstrsrs
XXX,,,
21
?
表 6.12假定 ijkX 服从正态分布
),,2,1,,,2,1,,,2,1)(,(
2
tksjriN
ij
??? ?????,
且所有 ijkX 相互独立,ij? 可以表示为
ijjiij
????? ????,,,,2,1 si ??
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 31
?? ?
?? ?
???
s
j
ij
r
i
s
j
iij srs
11 1
)(1,1 ?????
)(,)(1
1
jiijij
r
i
ijj r ???????? ?????? ?
?
?
?
?
r
i
i
1
0? ?
?
?
s
j
j
1
0?
?
?
?
r
i
ij
1
0? ?
?
?
s
j
ij
1
0? sjri,,2,1,,,2,1 ?? ??
其中
容易证明下列各式成立
从而得两因素等重复试验方差分析的数学模型为
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 32
（ 6.18）
,ijkijjiijkX ????? ????? ),0(~ 2?? Nijk
tksjri,,2,1,,,2,1,,,2,1 ??? ???
其中诸
ijk
? 相互独立，
i
? 称为因素 A 在水平
i
A 的效应，
j
?
称为 因素 B 在水平 jB 的效应, ij? 称为因素 A, B 在组合
水平 ),( ji BA 的 交互作用效应 。
因此，要判断因素 A, B 以及 A 与 B 交互作用 BA ? 的
影响是否显著，分别 等价于检验假设
rr
HH ?????,,:0,1112101 ?? ?????
中至少有一个不为 0 。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 33
中至少有一个不为 0。
ss HH ?????,,:0,1122102 ?? ?????
rsij HsjriH ???,,:.,,2,1,,,2,1,0,111303 ??? ????
中至少有一个不为 0的问题,
为了导出上述三个假设检验的统计量，仍采取离差平方
和分解的办法。
? ? ?
? ? ?
?
r
i
s
j
t
k
ijkXrstX
1 1 1
1 ?
?
?
t
k
ijkij XtX
1
1.
令
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 34
? ?
? ?
?
s
j
t
k
ijki XstX
1 1
1.,? ?
? ?
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r
i
t
k
ijkj XrtX
1 1
1..
于是有 ? ? ?
? ? ?
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r
i
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j
t
k
ijkT XXQ
1 1 1
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2
1 1 1
,) ]().....(
)..)..[(
ijijkjiij
r
i
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j
t
k
ji
XXXXXX
XXXX
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j
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k
j
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k
i
XXXX
XXXX
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2
1 1 1
2
1 1 1
2
).....(
)..()..(
（ 6.19）? ? ?
? ? ?
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r
i
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j
t
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ijjk i XX
1 1 1
2.)(
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 35
其中
?
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?
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jB
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i
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k
iA
XXQ
XXXX
XXXXQ
XXrtXXQ
XXstXXQ
1 1 1
2
1 1
2
1 1 1
2
1 1 1
2
1
2
1 1 1
2
1
2
.)(
,).....(
).....(
,)..()..(
,)..()..(
（ 6.20）
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 36
称
A
Q 为因素 A 引起的 离差平方和,
B
Q 为因素 B 引起
的离差平方和，
BA
Q
?
为因素 A 与 B 的交互作用 BA ? 引起的
离差平方和，
E
Q 为误差平方 和。
令
? ? ?
? ? ?
?
r
i
s
j
t
k
ijkrst
1 1 1
1 ?? ?
?
?
t
k
ijkij t
1
1,??
?
?
?
s
j
iji s
1
.1.,?? ?
?
?
r
i
ijj r
1
.1.,??
则可得
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 37
（ 6.21）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?????
???
???
? ? ?
? ?
?
?
? ? ?
? ?
?
?
?
r
i
s
j
t
k
ijijkE
r
i
s
j
jiijijBA
s
j
jjB
r
i
iiA
Q
tQ
rtQ
stQ
1 1 1
2
1 1
2
1
2
1
2
..)(
,).....(
,)..(
,)..(
??
?????
???
???
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 38
可算得它们的期望值分别为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
???
???
? ?
?
?
? ?
?
?
?
.)1()(
,)1)(1()(
,)1()(
,)1()(
2
1 1
22
1
22
1
22
?
??
??
??
trsQE
tsrQE
rtsQE
strQE
E
r
i
s
j
ijBA
s
j
jB
r
i
iA
（ 6.22）
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 39
令 1?? r QQ AA, AQ 称为因素 A 引起的平均离差平方和,
1?? s
QQ B
B, BQ 称为因素 B 引起的平均离差平方和,
)1)(1( ??
? ?
?
sr
Q
Q BA
BA
，
BA
Q
?
称为因素 A 与 B 的交互作用引起
的平均离差平方和,
)1( ?
?
trs
QQ E
E, EQ 称为 平均离差平方和 。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 40
于是,
1)( 1
22 ?
??
??
r
i
iA r
stQE ??
,1)(
1
22 ?
??
??
s
j
jB s
rtQE ??
,)1)(1()(
1 1
22 ? ?
? ?
? ????
r
i
s
j
ijBA sr
tQE ??
.)( 2??EQE
当 01H 成立时,)()( EA QEQE ?,否则,)()( EA QEQE ?,
当 02H 成立时,)()( EB QEQE ?,否则 )()( EB QEQE ? ；
当 03H 成立时,)()( EBA QEQE ??,否则有 )()( EBA QEQE ??,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 41
令
,
E
A
A Q
QF ?,
E
B
B Q
QF ?
.
E
BA
BA Q
QF ?
? ?
则当 01H, 02H, 03H 不成立时,AF, BF, BAF ? 都有偏大
的趋势,
因此 AF, BF, BAF ? 可分别作为检验假设 01H, 02H,
03H 的统计量，下面导出 AF, BF,及 BAF ? 的概率分布。 在 01H, 02H 和 03H 都成立的条件下，由离差平方
和分解公式（ 6.20 ）得
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 42
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
????
r
i
s
j
r
i
s
j
t
k
ijk
t
k
ijkT XXQ
1 1 1 1 1
2
1
2 )()( ??
? ? ?? ?
??
? ? ?? ?
??
??????
????
r
i
s
j
t
k
ijijk
r
i
s
j
jiij
s
j
j
r
i
i
t
rtst
1 1 1
2
1 1
2
1
2
1
2
,.)().....(
)..()..(
??????
????
上式两边同除以
2
? 后，左边
T
Q
2
1
?
是自由度为 1?rst
的
2
? 变量，而右边各项的自由度分别是：
A
Q
2
1
?
的自由
度为 1?r ；
B
Q
2
1
?
的自由度为 1?s ；
BA
Q
?2
1
?
的自由度 为
)1)(1( ?? sr ；
E
Q
2
1
?
的自由度为 )1( ?trs 。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 43
由于右边各项自由度之和等于左边
2
? 变量的自由度，
故由柯赫伦因子分解定理知,
)1(~
1
2
2
?rQ
A
?
?
,)1(~
1
2
2
?sQ
B
?
?
,
)1)(1(~
1
2
2
??
?
srQ
BA
?
?
,))1((~
1
2
2
?trsQ
E
?
?
,
且它们相互独立。
从而由 F 分布的定义知当
01
H,
02
H 和
03
H 成立时,
E
A
A
Q
Q
F ?
服从自由度为 ))1(,1( ?? trsr 的 F 分布；
E
B
B Q
QF ? 服从自由度为 ))1(,1( ?? trss 的 F 分布；
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 44
E
BA
BA Q
QF ?
? ? 服从自由度为 ))1(),1)(1(( ??? trssr 的 F 分布。
给定的显著性水平 ?,查 F 分布表可得
)]1(,1[ ?? trsrF
?
,)]1(,1[ ?? trssF
?
和
)]1(),1)(1[( ??? trssrF
?
的 值，由一次抽样后所得的样本值算得
A
F,
B
F 和
BA
F
?
的值。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 45
若
)]1(,1[ ??? trsrFF
A ?
,
则拒绝
01
H,即认为因素 A 对试验结果有显著影响，否
则，接受
01
H,即认为因素 A 对试验结果无显著影响。
若
)]1(,1[ ??? trssFF
B ?
则拒绝
02
H,即认为因素 B 对试验结果有显著影响，否则，
接受
02
H,即认为因素 B 对试验结果无显著影响。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 46
若
)]1(),1)(1[( ????
?
trssrFF
BA ?
,
则拒绝
03
H,即认为因素 A 与 B 的交互作用对试验结果有
显著影响。否则，接受
03
H,即认为因素 A 与 B 的交互作
用对试验结果无显著影响。
将整个分析过程列成双因素方差分析表如下（见表 6.13）,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 47
表 6.13
方差来源
离差
平方和
自由度 平均离差平方和 F 值 显著性
因素
A
A
Q 1?r
1?
?
r
Q
Q
A
A
E
A
A
Q
Q
F ?
因素
B
B
Q 1?s
1?
?
s
Q
Q
B
B
E
B
B
Q
Q
F ?
交互作用
BA ?
BA
Q
?
)1)(1( ?? sr
)1)(1( ??
?
?
?
sr
Q
Q
BA
BA
E
BA
BA
Q
Q
F
?
?
?
误 差
E
Q )1( ?trs
)1( ?
?
trs
Q
Q
E
E
总 知
T
Q
1?rst
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 48
表中离差平方和 AQ, BQ, BAQ ?, EQ, TQ 也可用如下公式
计算。令
? ? ?
? ? ?
?
r
i
s
j
t
k
ijk
XT
1 1 1
，
2
1
T
rst
P ?
2
1 1 1
1
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
r
i
s
j
t
k
ijk
X
st
U,
2
1 1 1
1
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
r
j
s
i
t
k
ijk
X
rt
V
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
r
i
s
j
t
k
ijk
X
t
R
1 1
2
1
1
,? ? ?
? ? ?
?
r
i
s
j
t
k
ijk
XW
1 1 1
2
,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 49
则可得
PUQ
A
??, PVQ
B
??,
PVURQ
BA
????
?
,
RWQ
E
??, PWQ
T
?? 。
（ 6.23）例 6.6 考察合成纤维中对纤维弹性有影响的两个
因素，收缩率 A 和总拉伸倍数 B 。 A 和 B 各取 4 种水
平，每种组合水平重复试验两次，得数据见表
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 50
表 6.14
因素 A
因素 B
460 )(
1
B 520 )(
2
B 580 )( 3B 640 )(
4
B
)(0
1
A 71,73 72,73 75,73 77,75
)(4
2
A 73,75 76,74 78,77 74,7 4
)(8
3
A
76,73 79,77 74,75 74,73
)(12
4
A 75,73 73,72 70,71 69,69
试问收缩率和总位伸倍数分别对纤维弹性有无显著影
响？收缩率与总拉伸倍数之间的交互作用是否影响显
著？ )05.0( ??
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 51
解 依题意有 2,4 ??? tsr 。 AF, BF 和 BAF ? 值的计算
按如下双因素方差分析表进行（表 6.15 ）。
由 05.0??,查 F 分布表
24.3)16,3(05.0 ?F, 54.2)16,9(05.0 ?F
比较知
)16,3(24.35.17
05.0
FF
A
???,
)16,3(24.31.2
05.0
FF
B
???,
)16,9(54.26.6
05.0
FF
BA
???
?
,
故合成纤维收缩率对弹性有显著影响，总拉伸倍数对弹
性无显著影响，而收缩率和总拉伸倍数的交互作用对弹
性有显著影响。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 52
表 6.15
方差来源 离差平方和 自由度 均方误差 F 值 显著性
收缩率 A 70.594 3
53 1.23
2
?
A
S
5.17?
A
F *
总拉伸倍数
B
8.594 3
865.2
2
?
B
S
1.2?
B
F
交互作用
BA ?
79.531 9
837.8
2
?
? BA
S
6.6?
? BA
F *
误 差 21.500 16
344.1
2
?
E
S
总 和 180.219 31
§ 6.2 两 因素方差分析
两因素方差分析是讨论两因素试验的统计推断问题。本
文分非重复试验和重复试验两种情形进行讨论。
一, 两因素非重复试验的方差分析
设有两个因素 BA,,因素 A 有 r 个不同水平：
r
，A，，AA ?
21；因素 B 有 s 个不同水平：
s
，B，，BB ?
21
，
在 BA, 的每一种组合水平 ),( ji BA 下作一次试验，试验
结果为 ),,2,1,,,1( sjriX ij ?? ???,所有 ijX 相互独立，
这样共得
rs
个试验结果（表 6.8 ）。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 2
表 6.8
因素 B
因素 A
1
B
2
B
?
s
B,
i
X
1
A
11
X
12
X
?
s
X
1
.
1
X
2
A
21
X
22
X
?
s
X
2
.
2
X
?
?
?
?
?
?
r
A
1r
X
2r
X
?
rs
X
.
r
X
j
X,
1
.X
2
.X
?
s
X,
X
这种对每个组合水平 ),,2,1,,,2,1)(,( sjriBA ji ?? ?? 各
作一次试验的情形称为 两因素非重复试验 。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 3
假定总体
ij
X 服从正态分布 ),(
2
??
ij
N,其中
,,,2,1,,,2,1,sjri
jiij
?? ????? ???? （ 6.13 ）
而 ? ?
? ?
??
r
i
s
j
ji
a
1 1
0,0 ? 。
于是 ijX 可表示为
?
?
? ????
),,0(~
,
2??
????
N
X
ij
ijjiij,,,2,1;,,2,1 sjri ?? ?? （ 6, 14 ）
其中诸 ij? 相互独立,i? 称为因素 A 在水平 iA 引起的效应，
它表示水平 iA 在总体平均数上引起的偏差。
同样,j? 称为因素 B 在水平 jB 引起的效应，它表示水
平 jB 在总体平均数上引起的偏差。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 4
所以要推断因素 A 的影响是否显著，就 等价于要检验假设
112101
0, HH
r
???? ??? ? ;
至少有一个
ri
i
,,1,0 ???? 。
类似地，要推断因素 B 的影响是否显著，就等价于要检验
假设
122102
0, HH
r
????? ??? ? ;
至少有一个
sj
j
,,1,0 ???? 。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 5
当 01H 成立时，从式（ 6.13 ）可以看出，均值 ij? 与 i? 无关，
这表明因素 A 对试验结果无显著影响。
同理，当
02
H 成立时，从式（ 6,13 ）可以看出，均值
ij
? 与
j
?
无关，这表明因素 B 对试验结果无显著影响，当
01
H,
02
H 都
成立时,?? ?ij, ijX 的波动主要是由随机因素引起的。
导出检验假设 01H 与 02H 统计量的方式与单因素方差分析
相类似，可采用离差平方和分解的方法。
记
),,,2,1( 1.
1
riXsX
s
j
iji ??? ?
?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 6
),,2,1( 1.
1
sjXrX
r
i
ijj ??? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
???
r
i
s
j
r
i
s
j
jiij XsXrXrsX
1 1 1 1
.1.11
于是总离差平方和
? ?
? ?
??
r
i
s
j
ij XXQr
1 1
2)(
? ?
? ?
????????
r
i
s
j
jijiij XXXXXXXX
1 1
2)].().()..[(
? ?
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
??
??????
r
i
s
j
j
r
i
s
j
r
i
s
j
ijiij
XX
XXXXXX
1 1
2
1 1
2
1 1
2
).(
).()..(
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 7
? ?
? ?
?????
r
i
s
j
ijiij XXXXXX
1 1
).)(..(2
? ?
? ?
?????
r
i
s
j
jjiij XXXXXX
1 1
).)(..(2
? ?
? ?
???
r
i
s
j
ji XXXX
1 1
).)(.(2
? ? ?
? ? ?
??????
s
j
s
i
s
j
jiijj XXXXXXr
1 1 1
22 )..().(
?
?
??
s
i
i XXs
1
2).(
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 8
令
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
? ?
?
?
? ?
?
?
r
i
s
j
jiijE
s
j
jB
r
i
iA
XXXXQ
XXrQ
XXsQ
1
2
1
1
2
1
2
,)..(
,).(
,).(
（ 6.15）
则可得
EBA QQQQ ???
上式称为 总离差平方和分解式 。其中
A
Q 为因素 A 引起
的离差平方和，
B
Q 为因素 B 引起的离差平方和，
E
Q 称
为 随机误差平方和 。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 9
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 10
为了更清楚地看出各离差平方和的意义，与 XXX ji,..,的
表达式相类似，引进 ji,.,?? 与 ?,
?
?
??
s
j
iji ris
1
,,,2,1,1,???
?
?
??
r
i
ijj sjr
1
,,,2,1,1,???
? ? ??
? ? ??
???
r
i
s
j
s
j
j
r
i
iij srrs
1 1 11
.1.11 ????
应用式（ 6.14）可把式（ 6.15）写成
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 11
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 12
（ 6.16）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
???
???
? ?
?
?
? ?
?
?
r
i
s
j
jiijE
s
j
jjB
r
i
iiA
Q
rQ
sQ
1 1
2
2
1
1
2
,)..(
,).(
,).(
????
???
???
从上式看出 AQ 主要依赖于因素 A 的效应； BQ 主要依赖于
B 的效应； EQ 依赖于随机误差,ij? 由于
,,0~.,,0~.),,0(~
22
2 ?
?
??
?
??
?
??
?
?
rNsNN jiij
??????
?????? rsN
2
,0~ ?? ),,2,1;,,3,2,1( sjri ?? ??
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 13
从而
?????? ??? ??
r
i
iiA sEQE
1
2).()( ???
? ? ?
? ? ? ??
??
?
? ????? r
i
r
i
r
i
iiii EssEas
1 1 1
22 ).(2).( ?????
?
?
???
r
i
i rs
1
22 )1( ??
同理可得
2
1
2 )1()( ?? ??? ?
?
srQE
s
j
jB
2)1)(1()( ???? srQE E
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 14
令
EEBBAA QsrQQsQQrQ )1)(1(
1,
1
1,
1
1
???????
则有
? ?
? ?
???????
r
i
s
j
EjBiA QEs
rQE
r
sQE
1 1
22222 )(,
1)(,1)( ?????
当 01H 成立时,)()( EA QEQE ?,否则,)()( EA QEQE ?,
当 02H 成立时,)()( BB QEQE ?,否则,)()( EB QEQE ?,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 15
令
E
A
E
A
A Q
Q
srQ
rQF d e f
)1)(1/(
)1/(
??
??
E
B
E
B
B Q
Q
srQ
sQF d e f
)1)(1/(
)1/(
??
??
当 01H, 02H 不成立时,AF, BF 有偏大趋势，因此 AF, BF 可
作为检验假设 01H, 02H 的统计量。
下面导出检验
A
F 与
B
F 的概率分布。当
01
H 及
02
H 成立时，
0??
ji
?? ),,2,1,,,2,1( sjri ?? ??,
因而 ijijX ?? ??,各离差平方和可改写为
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 16
?
?
??
r
i
iA sQ
1
2).( ??
?
?
??
s
j
jB rQ
1
2).( ??
? ?
? ?
????
r
i
s
j
jiijEQ
1 1
2)..( ????
? ?
? ?
?????
r
i
s
j
EBAij QQQQ
1 1
2)( ??
由于 ? ?
? ?
??
r
i
s
j
ij rsQ
1 1
22 ??,于是有
? ? ? ?
? ? ? ?
???????
r
i
s
j
r
i
s
j
EBAijij rsQQQrs
1 1 1 1
2222 )( ?????
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 17
为了利用柯赫伦因子分解定理，上式两边同除以
2
? 。
于是，等式左边 ? ?
? ?
r
i
s
j
ij
1 1
2
2
1
?
?
是自由度为 rs 的
2
? 的变量，
而等式右边四项及其自由度分别为,
AQ2
1
?
具有约束条件 ?
?
??
r
i
i
1
0).( ?? 它的自由度为 1?r ；
BQ2
1
?
具有约束条件 ?
?
??
s
j
j
1
0).( ?? 它的自由度为 1?s ；
E
Q
2
1
?
具有约束条件 ?
?
?????
r
i
jiij
sj
1
),,2,1(0)..( ????? 以
及 ?
?
????
s
j
jiij
1
0)..( ????, ri,,2,1 ??,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 18
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 19
其中最后一个等式可由前面的 1?? sr 个获得，独立的
约束条件有 1?? sr 个，故自由度为
2
2
1
),1)(1(1
?
?????? ?
?
rssrsrrs
的自由度为 1 。由于右边各项自由度之和等于
rs
。
因此，由柯赫伦因子分解定理知，
A
Q
2
1
?
服从自由度
为 1?r 的
2
? 分布，
B
Q
2
1
?
服从自由度为 1?s 的
2
? 分布，
E
Q
2
1
?
服从自由度为 )1)(1( ?? sr 的
2
? 分布。
且 AQ, BQ 和 EQ 相互独立。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 20
由 F分布的定义
))1)(1(,1(~)1)(1(/ )1(/2
2
?????? ?? srrFQQsrQ rQF
E
A
E
A
A ?
?
))1)(1(,1(~)1)(1(/ )1(/2
2
?????? ?? srsFQQsrQ sQF
E
B
E
B
B ?
?
还可以证明，当 01H 成立时,))1)(1(,1(~ ??? srrFF A ；
当 02H 成立时,))1)(1(,1(~ ??? srrFF B 。
为了检验假设
01
H,给定显著性水平 ?,查 F 分布表可得
))1)(1(,1( ??? srrF
?
的值，使得
?
?
????? ))}1)(1(,1({ srrFFP
A
。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 21
根据一次抽样后的样本值算得 AF,
若
))1)(1(,1( ???? srrFF
A ?
,
则拒绝
01
H,即认为因素 A 对试验结果有显著影响。
若
))1)(1(,1( ???? srrFF
A ?
,
则接受
01
H,即认为因素 A 对试验结果无显著影响。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 22
同样，为了检验假设
02
H,给定显著性水平 ?,查
F 分布表可得 ))1)(1(,1( ??? srsF
?
的值，使得
?
?
????? ))}1)(1(,1({ srsFFP
B
,
根据一次抽样后所得的样本值计算
B
F 的值，若
))1)(1(,1( ???? srsFF
B ?
,
则拒绝
02
H,即认为因素 B 对试验结果无显著影响。
将整个分析过程列为因素方差分析表（见表 6.9 ），表
中
T
Q 项的计算
A
F 和
B
F 值时并没时用到，它公起校核公
式
EBAT
QQQQ ??? 的作用。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 23
方差分析表中的离差平方和也可用下面一组公式来计算。令
,
1 1
? ?
? ?
?
r
i
s
j
ijXT
21 T
rsP ? ? ?? ? ??
??
?
?? r
i
s
j
ijI XsQ
1
2
1
1
? ?
? ?
???????
s
j
r
i
ijII XrQ
1
2
1
1 ?
? ?
?
r
i
s
j
ijXR
1 1
2
从而
?
?
?
?
?
?
?
??
????
??
??
.Q
,
,
T
III
II
I
PR
PQQRQ
PQQ
PQQ
E
B
A
（ 6.17）
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 24
表 6.9
方差
来源
离差平方和 自由度 均方误差 F 值 显著性
因素
A
?
?
??
r
i
iA
XXsQ
1
2
)(
1?r
1?
?
r
Q
Q
A
A
E
A
A
Q
Q
F ?
因素
B
?
?
??
s
j
jB
XXrQ
1
2
).(
1?s
1?
?
s
Q
Q
B
B
E
B
B
Q
Q
F ?
误差
? ?
? ?
????
r
i
s
j
jiijE
XXXXQ
1 1
2
)..(
)1)(1( ?? sr
)1)(1( ??
?
sr
Q
Q
E
E
总和
? ?
? ?
??
r
i
s
j
ijT
XXQ
1 1
2
)(
1?rs
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 25
例 6.5 为提高某种合金钢的强度，需要同时考察
碳（ C ）及钛（ Ti ）的含量对强度的影响，以便
选取合理的成分组合使强度达到最大。在试验
中分别取因素 A （ C 含量 % ） 3 个水平，因素 B （ Ti
含量 % ） 4 个 水 平, 在 组 合 水 平
)4,3,2,1,3,2,1(),,( ?? jiBA
ji 条件下各炼一炉
钢，测得其强度数据见表 6.10 。
试问：碳与钛的含量对合金钢的强度是否有显著
影响 )01.0( ?? 。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 26
表 6.10
B 水平
A 水平
1
B
（ 3.3 ）
2
B
（ 3.4 ）
3
B
（ 3.5 ）
4
B
（ 3.6 ）
1
A （ 0.03 ） 63.1 63.9 65.6 66.8
2
A （ 0.04 ） 65.1 66.4 67.8 69.0
3
A
（ 0.05 ） 67.2 71.0 71.9 73.5
解 本例中 12,4,3 ??? rssr,令
ijX 为 A 与 B 的组合水平
),( ji BA 下的试验结果。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 27
? ?
? ?
???
3
1
4
1
2 29.113)(
i j
ijT XXQ
?
?
???
3
1
2 91.74).(4
i
iA XXQ
?
?
???
3
1
2 7.35).(3
j
jB XXQ
21.3???? BATE QQQQ
方差分析表见表 6.11
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 28
表 6.11 方差分析表
方差来源 离差平方和 自由度 均方误差 F 值 显著性
因素 A 74.91 2 37.46 70.02 * *
因素 B 35.17 3 11.72 21.91 * *
误 差 3.21 6 0.535
总 和 113.29 11
查 F分布表得：
由于
78.9)6,3(,9.10)6,2( 01.001.0 ?? FF
78.9)6,3(91.21,9.10)6,2(02.70 01.001.0 ?????? FFFF BA
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 29
二、两因素等重复试验的方差分析
在上的讨论中，由于只对 A, B 两个因素的每一种组
合水平进行了一次试验，所以不能分析 A, B 两因素
间是否存在交互作用的影响。 下面讨论在每一种组合
水平 ),( ji BA 下等重复试验情形的方差分析问题。
设有两个因素 A 和 B,因素 A 有 r 个不同水平
r
AAA,,,
21
?,
因素 B 有 s 个不同水平
s
BBB,,,
21
?,在每一种组合水平
),(
ji
BA 下重复试验 t 次，测得试验数据为
),,2,1,,,2,1,,,2,1( tksjriX
ijk
??? ??? 。
将它们列成表（表 6.12 ）。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 30
因素 B
因素 A
1
B
2
B
?
s
B
1
A t
XXX
111 1 21 1 1
,,,?
t
XXX
121 2 21 2 1
,,,?
?
stss
XXX
12111
,,,?
2
A t
XXX
21212211
,,,?
t
XXX
22222221
,,,?
?
stss
XXX
22212
,,,?
? ? ? ?
r
A
trrr
XXX
11211
,,,?
trrr
XXX
22221
,,,?
?
rstrsrs
XXX,,,
21
?
表 6.12假定 ijkX 服从正态分布
),,2,1,,,2,1,,,2,1)(,(
2
tksjriN
ij
??? ?????,
且所有 ijkX 相互独立,ij? 可以表示为
ijjiij
????? ????,,,,2,1 si ??
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 31
?? ?
?? ?
???
s
j
ij
r
i
s
j
iij srs
11 1
)(1,1 ?????
)(,)(1
1
jiijij
r
i
ijj r ???????? ?????? ?
?
?
?
?
r
i
i
1
0? ?
?
?
s
j
j
1
0?
?
?
?
r
i
ij
1
0? ?
?
?
s
j
ij
1
0? sjri,,2,1,,,2,1 ?? ??
其中
容易证明下列各式成立
从而得两因素等重复试验方差分析的数学模型为
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 32
（ 6.18）
,ijkijjiijkX ????? ????? ),0(~ 2?? Nijk
tksjri,,2,1,,,2,1,,,2,1 ??? ???
其中诸
ijk
? 相互独立，
i
? 称为因素 A 在水平
i
A 的效应，
j
?
称为 因素 B 在水平 jB 的效应, ij? 称为因素 A, B 在组合
水平 ),( ji BA 的 交互作用效应 。
因此，要判断因素 A, B 以及 A 与 B 交互作用 BA ? 的
影响是否显著，分别 等价于检验假设
rr
HH ?????,,:0,1112101 ?? ?????
中至少有一个不为 0 。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 33
中至少有一个不为 0。
ss HH ?????,,:0,1122102 ?? ?????
rsij HsjriH ???,,:.,,2,1,,,2,1,0,111303 ??? ????
中至少有一个不为 0的问题,
为了导出上述三个假设检验的统计量，仍采取离差平方
和分解的办法。
? ? ?
? ? ?
?
r
i
s
j
t
k
ijkXrstX
1 1 1
1 ?
?
?
t
k
ijkij XtX
1
1.
令
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 34
? ?
? ?
?
s
j
t
k
ijki XstX
1 1
1.,? ?
? ?
?
r
i
t
k
ijkj XrtX
1 1
1..
于是有 ? ? ?
? ? ?
??
r
i
s
j
t
k
ijkT XXQ
1 1 1
2)(
2
1 1 1
,) ]().....(
)..)..[(
ijijkjiij
r
i
s
j
t
k
ji
XXXXXX
XXXX
??????
???? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?? ? ?
? ? ?
? ? ?? ? ?
????
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j
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k
jiij
r
i
s
j
t
k
j
r
i
s
j
t
k
i
XXXX
XXXX
1 1 1
2
1 1 1
2
1 1 1
2
).....(
)..()..(
（ 6.19）? ? ?
? ? ?
??
r
i
s
j
t
k
ijjk i XX
1 1 1
2.)(
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 35
其中
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
????
????
????
? ? ?
? ?
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j
t
k
ijijkE
r
i
s
j
jiij
r
i
s
j
t
k
jiijBA
r
i
s
j
s
j
j
t
k
jB
r
i
s
j
r
i
i
t
k
iA
XXQ
XXXX
XXXXQ
XXrtXXQ
XXstXXQ
1 1 1
2
1 1
2
1 1 1
2
1 1 1
2
1
2
1 1 1
2
1
2
.)(
,).....(
).....(
,)..()..(
,)..()..(
（ 6.20）
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 36
称
A
Q 为因素 A 引起的 离差平方和,
B
Q 为因素 B 引起
的离差平方和，
BA
Q
?
为因素 A 与 B 的交互作用 BA ? 引起的
离差平方和，
E
Q 为误差平方 和。
令
? ? ?
? ? ?
?
r
i
s
j
t
k
ijkrst
1 1 1
1 ?? ?
?
?
t
k
ijkij t
1
1,??
?
?
?
s
j
iji s
1
.1.,?? ?
?
?
r
i
ijj r
1
.1.,??
则可得
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 37
（ 6.21）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?????
???
???
? ? ?
? ?
?
?
? ? ?
? ?
?
?
?
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i
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j
t
k
ijijkE
r
i
s
j
jiijijBA
s
j
jjB
r
i
iiA
Q
tQ
rtQ
stQ
1 1 1
2
1 1
2
1
2
1
2
..)(
,).....(
,)..(
,)..(
??
?????
???
???
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 38
可算得它们的期望值分别为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
???
???
? ?
?
?
? ?
?
?
?
.)1()(
,)1)(1()(
,)1()(
,)1()(
2
1 1
22
1
22
1
22
?
??
??
??
trsQE
tsrQE
rtsQE
strQE
E
r
i
s
j
ijBA
s
j
jB
r
i
iA
（ 6.22）
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 39
令 1?? r QQ AA, AQ 称为因素 A 引起的平均离差平方和,
1?? s
QQ B
B, BQ 称为因素 B 引起的平均离差平方和,
)1)(1( ??
? ?
?
sr
Q
Q BA
BA
，
BA
Q
?
称为因素 A 与 B 的交互作用引起
的平均离差平方和,
)1( ?
?
trs
QQ E
E, EQ 称为 平均离差平方和 。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 40
于是,
1)( 1
22 ?
??
??
r
i
iA r
stQE ??
,1)(
1
22 ?
??
??
s
j
jB s
rtQE ??
,)1)(1()(
1 1
22 ? ?
? ?
? ????
r
i
s
j
ijBA sr
tQE ??
.)( 2??EQE
当 01H 成立时,)()( EA QEQE ?,否则,)()( EA QEQE ?,
当 02H 成立时,)()( EB QEQE ?,否则 )()( EB QEQE ? ；
当 03H 成立时,)()( EBA QEQE ??,否则有 )()( EBA QEQE ??,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 41
令
,
E
A
A Q
QF ?,
E
B
B Q
QF ?
.
E
BA
BA Q
QF ?
? ?
则当 01H, 02H, 03H 不成立时,AF, BF, BAF ? 都有偏大
的趋势,
因此 AF, BF, BAF ? 可分别作为检验假设 01H, 02H,
03H 的统计量，下面导出 AF, BF,及 BAF ? 的概率分布。 在 01H, 02H 和 03H 都成立的条件下，由离差平方
和分解公式（ 6.20 ）得
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 42
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
????
r
i
s
j
r
i
s
j
t
k
ijk
t
k
ijkT XXQ
1 1 1 1 1
2
1
2 )()( ??
? ? ?? ?
??
? ? ?? ?
??
??????
????
r
i
s
j
t
k
ijijk
r
i
s
j
jiij
s
j
j
r
i
i
t
rtst
1 1 1
2
1 1
2
1
2
1
2
,.)().....(
)..()..(
??????
????
上式两边同除以
2
? 后，左边
T
Q
2
1
?
是自由度为 1?rst
的
2
? 变量，而右边各项的自由度分别是：
A
Q
2
1
?
的自由
度为 1?r ；
B
Q
2
1
?
的自由度为 1?s ；
BA
Q
?2
1
?
的自由度 为
)1)(1( ?? sr ；
E
Q
2
1
?
的自由度为 )1( ?trs 。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 43
由于右边各项自由度之和等于左边
2
? 变量的自由度，
故由柯赫伦因子分解定理知,
)1(~
1
2
2
?rQ
A
?
?
,)1(~
1
2
2
?sQ
B
?
?
,
)1)(1(~
1
2
2
??
?
srQ
BA
?
?
,))1((~
1
2
2
?trsQ
E
?
?
,
且它们相互独立。
从而由 F 分布的定义知当
01
H,
02
H 和
03
H 成立时,
E
A
A
Q
Q
F ?
服从自由度为 ))1(,1( ?? trsr 的 F 分布；
E
B
B Q
QF ? 服从自由度为 ))1(,1( ?? trss 的 F 分布；
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 44
E
BA
BA Q
QF ?
? ? 服从自由度为 ))1(),1)(1(( ??? trssr 的 F 分布。
给定的显著性水平 ?,查 F 分布表可得
)]1(,1[ ?? trsrF
?
,)]1(,1[ ?? trssF
?
和
)]1(),1)(1[( ??? trssrF
?
的 值，由一次抽样后所得的样本值算得
A
F,
B
F 和
BA
F
?
的值。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 45
若
)]1(,1[ ??? trsrFF
A ?
,
则拒绝
01
H,即认为因素 A 对试验结果有显著影响，否
则，接受
01
H,即认为因素 A 对试验结果无显著影响。
若
)]1(,1[ ??? trssFF
B ?
则拒绝
02
H,即认为因素 B 对试验结果有显著影响，否则，
接受
02
H,即认为因素 B 对试验结果无显著影响。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 46
若
)]1(),1)(1[( ????
?
trssrFF
BA ?
,
则拒绝
03
H,即认为因素 A 与 B 的交互作用对试验结果有
显著影响。否则，接受
03
H,即认为因素 A 与 B 的交互作
用对试验结果无显著影响。
将整个分析过程列成双因素方差分析表如下（见表 6.13）,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 47
表 6.13
方差来源
离差
平方和
自由度 平均离差平方和 F 值 显著性
因素
A
A
Q 1?r
1?
?
r
Q
Q
A
A
E
A
A
Q
Q
F ?
因素
B
B
Q 1?s
1?
?
s
Q
Q
B
B
E
B
B
Q
Q
F ?
交互作用
BA ?
BA
Q
?
)1)(1( ?? sr
)1)(1( ??
?
?
?
sr
Q
Q
BA
BA
E
BA
BA
Q
Q
F
?
?
?
误 差
E
Q )1( ?trs
)1( ?
?
trs
Q
Q
E
E
总 知
T
Q
1?rst
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 48
表中离差平方和 AQ, BQ, BAQ ?, EQ, TQ 也可用如下公式
计算。令
? ? ?
? ? ?
?
r
i
s
j
t
k
ijk
XT
1 1 1
，
2
1
T
rst
P ?
2
1 1 1
1
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
r
i
s
j
t
k
ijk
X
st
U,
2
1 1 1
1
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
r
j
s
i
t
k
ijk
X
rt
V
? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
r
i
s
j
t
k
ijk
X
t
R
1 1
2
1
1
,? ? ?
? ? ?
?
r
i
s
j
t
k
ijk
XW
1 1 1
2
,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 49
则可得
PUQ
A
??, PVQ
B
??,
PVURQ
BA
????
?
,
RWQ
E
??, PWQ
T
?? 。
（ 6.23）例 6.6 考察合成纤维中对纤维弹性有影响的两个
因素，收缩率 A 和总拉伸倍数 B 。 A 和 B 各取 4 种水
平，每种组合水平重复试验两次，得数据见表
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 50
表 6.14
因素 A
因素 B
460 )(
1
B 520 )(
2
B 580 )( 3B 640 )(
4
B
)(0
1
A 71,73 72,73 75,73 77,75
)(4
2
A 73,75 76,74 78,77 74,7 4
)(8
3
A
76,73 79,77 74,75 74,73
)(12
4
A 75,73 73,72 70,71 69,69
试问收缩率和总位伸倍数分别对纤维弹性有无显著影
响？收缩率与总拉伸倍数之间的交互作用是否影响显
著？ )05.0( ??
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 51
解 依题意有 2,4 ??? tsr 。 AF, BF 和 BAF ? 值的计算
按如下双因素方差分析表进行（表 6.15 ）。
由 05.0??,查 F 分布表
24.3)16,3(05.0 ?F, 54.2)16,9(05.0 ?F
比较知
)16,3(24.35.17
05.0
FF
A
???,
)16,3(24.31.2
05.0
FF
B
???,
)16,9(54.26.6
05.0
FF
BA
???
?
,
故合成纤维收缩率对弹性有显著影响，总拉伸倍数对弹
性无显著影响，而收缩率和总拉伸倍数的交互作用对弹
性有显著影响。
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表 6.15
方差来源 离差平方和 自由度 均方误差 F 值 显著性
收缩率 A 70.594 3
53 1.23
2
?
A
S
5.17?
A
F *
总拉伸倍数
B
8.594 3
865.2
2
?
B
S
1.2?
B
F
交互作用
BA ?
79.531 9
837.8
2
?
? BA
S
6.6?
? BA
F *
误 差 21.500 16
344.1
2
?
E
S
总 和 180.219 31
