上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 1
§ 5.3 非参数假设检验方法
前面介绍的各种统计假设的检验方法，几乎都假定了总
体服从正态分布，然后再由样本对分布参数进行检验。
但在实际问题中，有时不能预知总体服从什么分布，这
里就需要根据样本来检验关于总体分布的各种假设，这
就是 分布的假设检验问题 。 在数理统计学中把不依赖于
分布的统计方法称为 非参数统计方法 。
本节讨论的问题就是非参数假设检验问题。
本节主要介绍 拟合优度检验, 柯尔莫哥洛夫－斯米尔诺
夫 （ Kolmogrow-Smirnov） 检验 和 独立性检验 。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 2
1,多项分布的 2? 检验法
设总体是仅取 m 个可能值的离散型随机变量，不
失一般性，设 X 的可能值是 1,2,,mL,记它取值
为 i 的概率为 ip,
( ),1,2,,iP X i p i m? ? ? L
1
1
m
i
i
p
?
??
即
且
一,χ2拟合优度检验
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 3
设 12(,,,)nX X XL 是从总体 X 中抽得的简单随机样本，
12(,,,)nx x xL 是样本观察值。
用
iN
表示样本
12(,,,)nx x xL
中取值为 i 的个数，即
样本中出现事件 ? ?Xi ? 的频数，则
iN
是样本的函数，
所
12(,,,)mN N NL
是随机向量，且有
1
.
m
i
i
Nn
?
??
12(,,,)mN N NL
服从多项分布，其概率分布为
12
1 1 2 2
12
12
(,,,)
!
! ! !
m
mm
nnn
m
m
P N n N n N n
n
p p p
n n n
? ? ?
?
L
L
L
（ 5.12）
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 4
需要检验假设
00
10
:
,( 1,2,,)
ii
ii
H p p
H p p i m
??
?? L
其中 是已知数。0ip
我们知道，频率是概率的反映。
如果总体的概率分布的确是,1 0 2 0 0(,,,)mp p pL那么，当观察个数 n 愈来愈大时，频率 i
N
n
与 0ip 之间
的差异将越来越小,
因此频率
i
N
n
与 0ip 之间的差异程
度可以反映出 1 0 2 0 0(,,,)mp p pL 是不是总体的真分布。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 5
卡尔 ·皮尔逊 首先提出运用统计量
2
2 0
1 0
()m ii
n
i i
N np
np? ?
?? ? （ 5.23）
来衡量 i
N
n
和 0ip 之间的差异程度，这个统计量称为
皮尔逊统计量 。
直观上比较清楚，如果 1 0 2 0 0(,,,)mp p pL 是总体
服从的真实概率分布，统计量
2
n
? 要偏小些，否则就
有偏大的趋势。 因此 可以用来作为多项分布的
检验统计量。但是还需要知道它的分布，下面的
定理给出了它的渐近分布。
2n?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 6
定理 5.1 当
0H
为真时，即
1 0 2 0 0(,,,)mp p pL
是总体
的真实概率分布时，由式（ 5,23 ）定义的统计量 2
n
? 渐
近服从自由度为 1m ? 的 2? 分布，即
2
0
1
0
2
0
()
lim
(,1 ),0
m
ii
n
i
i
x
N np
Px
np
y m d y x?
??
?
?? ?
?
??
??
? ? ?
?
?
,
其中
3
22
11
2
22
1
,0,
(,1 )
2
0,0
mx
mm
x e x
xm
x
?
?
?
?? ??
?
??
??
?
??
?? ?
?
??
是
2
( 1 )m? ? 的分布密度函数。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 7
定理 5.1的证明从略。
由定理 5, 1 知,当 n 充分大时，可以近似地认为
2
n
?
近似服从
2
( 1 )m? ? 分布。对给定的检验水平
01 ???,由
2
? 分布表求出常数
2
( 1 )m
?
? ?,使
? ?22 ( 1 )nPn ?? ? ?? ? ?
给 定 一 组 样 本 值
12
(,,,)
n
x x xL, 对 应 的
12
(,,,)
m
N N NL 的值为
12
(,,,)
m
n n nL,由式（ 5, 2 3 ）
计算出
2
n
? 的观察值
2
2 0
1 0
()? m ii
n
i i
n n p
np? ?
?? ?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 8
如果 22? ( 1 )n m??? ??,则拒绝假设 0H,即认为
总体的分布与假设 0H 中的分布有显著差异。 若 22? ? ( 1 )
n m??? ??,则接受 0H,即认为总体的
分布与假设 0H 中的分布无显著差异。
例 5.10 将一颗骰子掷了 120次 。 如果如下：
点数,1,2,3,4,5,6。
频数,21,28,19,24,16,12。
问这颗骰子是否匀称？
解 依题意, 欲检验假设
( 0.0 5 )? ?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 9
计算得
0
1
1
:
6
1
,( 1,2,,6 )
6
i
i
Hp
H p i
??
?? L
2
2
22
1
21 120
6
?
1
120
6
11
28 120 19 120
66
11
120 120
66
n
?
??
??
??
??
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 10
2
22
1
24 120
6
1
120
6
11
16 120 12 120
66
11
120 120
66
??
??
??
??
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
8.1?
对 0, 0 5? ?,查附表 3 得 20, 0 5 ( 6 1 ) 1 1,0 7? ?? 。
因为 22 0, 0 5? ( 5 )n?? ?,故接受假设 0H,
即可认为 这颗骰子是匀称的 。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 11
当总体 X 不具有多项分布，但其分布函数 ()Fx 具有明
确表达式，设
12
,,,
n
X X XL 是来自 ()Fx 的样本，欲 检
验假设
00
,( ) ( )H F x F x? （
0
()Fx 是某个已知的分布）。
为此，选取 1m ? 个实数 1 2 1ma a a ?? ? ? ? ? ? ? ?L,
它们将实轴分为 m 个区间
1 1 2 1 2 1(,),[,),[,)mmA a A a a A a ?? ?? ? ? ??L
记
1 0 0 1()p F a?
0 0 0 1
0 0 1
( ) ( ),2,3,,1,
1 ( )
i i i
mm
p F a F a i m
p F a
?
?
? ? ? ? ?
???
?
L
(5.24)
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 12
设
12
,,,
n
x x xL 是容量 n 的样本的一组值，
i
n 为样
本值落入
i
A 的频数，
1
m
i
i
nn
?
??,则
12
(,,,)
m
N N NL
服从多项分布。 当假设 成立时，
由定理 3.1得到，统计量
00,( ) ( )H F x F x?
2
2 0
1 0
()m ii
n
i i
N np
np? ?
?? ?
的分布渐近于自由度为 1m ? 的
2
? 的分布，因此
关于分布函数的检验问题又归结为多项分布的
2
? 检验问题。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 13
例 5.11 在某盒中装有白球和黑球 。 现作下面这样的
实验：用返回抽取方式从此盒中摸球, 直到取到白
球为止, 记录下抽取的次数, 重复如此的试验 100次,
其结果见表 5.3。
表 5,3
抽取
次数
1 2 3 4 ≥ 5
频
数
43 31 15 6 5
试问该盒中的白球和黑球个数是否相等？( 0.0 5 )? ?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 14
解 记总体 表示首次出现白球所需的摸取次数，
则 服从几何分布
X
X
1( ) ( 1 ),1,2,,kP X k p p k?? ? ? ? L
其中 表示从此盒中任意摸一球为白球的概率。p如果盒中白球与黑球的个数相等，此时
1
2
p ?,
代入上式得到
1 1 1( 1 ),( 2 ),( 3 )
2 4 8P X P x P X? ? ? ? ? ?
5
11( 4 ),( 5 ) 2
16 16
k
k
P X P x
?
?
?
? ? ? ? ??
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 15
欲检验假设
0 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1:,,,,
2 4 8 1 6 1 6H p p p p p? ? ? ? ?
将此及试验的频数代入式（ 5.25）
得到 统计量的观察值为2n?
2 225
2 0
1 0
() ( 4 3 5 0 ) ( 3 1 2 5 )?
5 0 2 5
ii
n
i i
n n p
np? ?
? ??? ? ??
222( 1 5 1 2, 5 ) ( 6 6, 2 5 ) ( 5 6, 2 5 )
3, 21 2, 5 6, 2 5 6, 2 5? ? ?? ? ? ?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 16
对 0, 0 5? ?,自由度＝ 5 － 1 ＝ 4,由 2? 分布查得
2
0,0 5 ( 4 ) 9,4 8 8? ?,
因 22 0.05? ( 4 )n?? ?,因此接受假设 0H,
即认为盒中白球与黑球个数相等 。
2．分布中含有未知参数的 检验法2?
前面讨论了多项分布和分布形式完全确定情形的
2?
检验方法。 但在许多场合，假设 0H 只确定了总体分
布的类型，而分布中含有未知参数 12,,,r? ? ?L 。
例如最常见的是要检验假设：总体 X 服从正态分布
2(,)N ??
。 这里假设给出了一个分布族
2(,)N ??
，其
中包含了两个未知参数 ? 和
2?
。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 17
0 0 1
1 0 1
,( ) ( ;,,)
,( ) ( ;,,)
r
r
H F x F x
H F x F x
??
??
??
?
L
L（ 5.26）
对于这类问题，需检验假设：
其中 0F 形式已知，而 12,,,r? ? ?L 未知。
从总体中抽取一个样本，令
12
,,,
r
? ? ?L 是未知参
数 12,,,r? ? ?L 的最大似然估计，将其代入 0F 的表
达式，那么
01
? ?( ;,,)
r
Fx ?? L 变成已知函数，将它代
入式（ 5,25 ）得到
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 18
10 0 1
0 0 1 1 0 1 1
0 0 1 1
? ?? ( ;,,),
? ? ? ?? ( ;,,),( ;,,),2,3,,1,
? ?? 1 ( ;,,),
i r i r
m m r
p F a
p F a F a i m
p F a
??
? ? ? ?
??
?
?
? ?
??
? ? ? ??
?
???
?
L
L L L
L
（ 5.27）
将此代入式 （ 5.25） 得统计量
2
2 0
1 0
?()
?
m
ii
n
i i
N np
np? ?
?? ? （ 5.28）
定理 5.2 （ R,A.F isher 定理）设假设 0H 为真，则由式（ 5.28 ）
给出的统计量渐近于自由度为 1mr ?? 的 2? 分布。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 19
式（ 5.28）可以用来检验包含有未知参数的分布假设。
这种检验方法称为 拟合优度检验法 。2?
注意,
2?
拟合优度检验方法使用时，必须注意 n 不小
于 50,以及每个 inp 都不小于 5,而且 inp 最好在 10
以上，否则应适当地合并区间，使 inp 满足这个要求。
例 5.1 2 研究混凝土抗压强度的分布,200 件混凝土
制件的抗压强度（单位,Pa ）的分组形式见表 5.4,
6
1
200
i
i
nn
?
??? 。 问混凝土制作的抗压强度是否服从
正态
2
(,)N ?? 分布 ( 0,0 5 )? ?？
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 20
表 5.4
区
间
190 - 200 200 - 210 210 - 220 220 - 230 230 - 240 240 - 250
频
数
10 26 56 64 30 14
解 设 X 表示混凝土制作的抗压强度，要检验假设
0H,总体 X 服从正态
2(,)N ?? 分布。由于 ? 和 2? 未知，
因此需求出它们的最大似然估计 。
它们的最大似然估计分别是
1
1? n
i
i
XXn?
?
??? 2 2
1
1 ()n
i
i
XXn?
?
???
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 21
用 *ix 表示第 i 组的组中值，有
6
*
1
11? ( 195 10 205 26 215 56
200iiix n xn? ?? ? ? ? ? ? ? ??
2 2 5 6 4 2 3 5 3 0 2 4 5 1 4 ) 2 2 1 P a,? ? ? ? ? ? ?
6
2 * 2 2 2
1
1
11? ( ) [ ( 26 ) 10 ( 16 )
200ni is x x nn? ?? ? ? ? ? ? ? ??
2 2 2 22 6 ( 6 ) 5 6 4 6 4 1 4 3 0 2 4 1 4 ] 1 5 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 1 2,3 3 P a? ?原假设
0H 改写成 X 服从正态
2( 221,12.33 )N 分布，计算
每个区间的理论概率值
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 22
10
2 2 1 2 0 0 2 2 1? ( 2 0 0 )
1 2,3 3 1 2,3 3
Xp P X P ????? ? ? ?
????
( 1,70 ) 0,04 5? ? ? ?
20
2 1 0 2 2 1 2 0 0 2 2 1? ( 2 0 0 2 1 0 )
1 2,3 3 1 2,3 3P P X
??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
( 0,8 9 ) ( 1,7 0 ) 0,1 4 2? ? ? ? ? ? ?
30
2 2 0 2 2 1 2 1 0 2 2 1? ( 2 1 0 2 2 0 )
1 2,3 3 1 2,3 3P P X
??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
( 0,0 8 ) ( 0,8 9 ) 0,2 8 1? ? ? ? ? ? ?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 23
40
2 3 0 2 2 1 2 2 0 2 2 1? ( 2 2 0 2 3 0 )
1 2,3 3 1 2,3 3P P X
??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
( 0,7 3 ) ( 0,0 8 ) 0,2 9 9? ? ? ? ? ?
50
2 4 0 2 2 1 2 3 0 2 2 1? ( 2 3 0 2 4 0 )
1 2,3 3 1 2,3 3P P X
??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
( 1,5 4 ) ( 0,7 3 ) 0,1 7 1? ? ? ? ? ?
60
2 4 0 2 2 1? ( 2 4 0 ) 1 1 ( 1,5 4 ) 0,0 6 2
1 2,3 3P P X
???? ? ? ? ? ? ? ? ?
????
计算结果见表 5.5，且计算得
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 24
26
2 0
1 0
?()? 1, 3 5
?
ii
n
i i
n np
np? ?
????
表 5,5
压强
区间
X
频
数
i
n
标准化区间
1
[,]
ii
uu
?
0
?
i
p
0
?
i
np
0
?()
ii
n n p?
2
0
?()
ii
n np?
2
0
0
?()
?
ii
i
n n p
np
?
190 - 200 10
(,1, 7 0 )? ? ?
0,045 9 1 1 0,1 1
200 - 210 26
[ 1, 7 0,0, 8 9 )??
0,142 2 8, 4 － 2,4 5,7 6 0,2 0
210 - 220 56
[ 0, 8 9,0, 0 8 )??
0,281 5 6, 2 － 0,2 0,0 4 0,0 0
220 - 230 64 [ 0.0 8,0.7 3 )? 0,299 5 9, 8 4,2 1 7,6 4 0,2 9
230 - 240 30
[ 0, 7 3,1, 5 4 )
0,171 3 4, 2 － 4,2 1 7,6 4 2,5 2
240 - 250 14
[ 1, 5 4,)??
0,062 1 2, 4 1,6 2,5 6 0,2 3
?
1,000 200 1,3 5
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 25
自由度是 6 － 2 － 1 = 3,对 0,0 5? ?,由附表 3 查得
2
0,0 5
( 3 ) 7,81 5? ? 。由于
22
0.05
? 1.35 7.81 5 ( 3 )
n
??? ? ?,故
接受原假设,即认为混凝土制件的受压强度的分布
是正态分布 。( 221,152 )N
在社会调查中, 调查人员可能怀疑男人和妇女对某
些提案将会有不同的反应, 他们根据被调查者的性
别和对某项提案的态度来进行分类, 结果见下表：
三、独立性检验
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 26
态度
性别 赞成 反对 弃权
男人 1 1 5 4 475 243
妇女 1083 442 362
本表称为 2× 3的列联表。每个人根据两个标准分类，
一个标准有两类，另一个标准有三类，这六种互不相
同的类称为格。
我们要检验零假设, 公民的态度与性别是相互独立的。0H
再例如医学家可能怀疑某种环境条件助和节某种疾病，
那么他们根据以下方式分类：
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 27
（ 1） 他们是否得过这种病；
（ 2） 他们是否具备所研究的环境条件 。
工程师也能够利用列联表去发现制造过程中的两种
缺陷是由于相同的原因引起, 还是由于不同的原因
引起 。 由此看出, 列联表在许多研究领域中都是非
常有用的工具 。 假定考察一个二元总体，或者考察总
体中诸元素的两个指标 。(,)XY
将这两个指标的取值
范围分别分成 m 个和 k 个互不相交的区间 1,,mAA L
和 12,,kB B BL,设从该总体中抽取一个容量为 n 的样
本
1 2 2 2
(,),(,),,(,)
nn
X Y X Y X YL,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 28
用 ijn 表示样本值中其 X 坐标落于 iA 而 Y 坐标落于 jB
中的个数 ( 1,2,,,1,2,,)i m j k?? LL ；
又记
11
,
km
i ij j ij
ji
n n n n??
??
????（ 5.35）显见
11
mk
ij
ij
nn
?
??
? ?? 用表 5.10 表示样本元素的这种分类
（这种表称为列联表）。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 29
表 5.10
Y
1
B
2
B L
k
B
1
k
i i j
j
nn
?
?
?
?
1
A
11
n
12
n
L
1 k
n
1
n
?
2
A
21
n
22
n
L 2 k
n
2
n
?
M M M
M M
X
m
A
1m
n
2m
n
L
mk
n
m
n
?
1
m
j ij
i
nn
?
?
?
?
1
n
?
2
n
?
L
k
n
?
X
Y
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 30
需要检验假设：
：总体的两个指标 和 是相互独立的。0H X Y
如果记
(,),1,2,,,1,2,,i j i jp P X A Y B i m j k? ? ? ? ?LL
( ),1,2,,iip P X A i m? ? ? ? L
( ),1,2,,jjp P Y B j k? ? ? ? L
显然有
11
,
km
i ij j ij
ji
p p p p??
??
???? （ 5.36）
11
1
mk
ij
ij
pp??
??
????
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 31
如果假设 0H 为真，则有 ij i jp p p???,因此列联表
中的独立性检验就是要检验假设
0,,1,2,,,1,2,ij i jH p p p i m j k??? ? ?LL（ 5.37）
这个假设中并没有明确指出 mk ? 个未知参数
i
p
?
与 jp ? 的值。 因为这些
i
p
?
和 jp ? 满足式（ 5,36 ），所以
有 2mk ?? 个独立参数。
要想用 2? 检验来验证假设 0H,就须先按照最大似
然估计法从样本中定出这些未知参数的值。
当假设 为真时, 由式 （ 5.37） 得似然函数为0H
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 32
1 1 1 1
() ij
m k m k
nn
i j i j
i j i j
L p ij p p??
? ? ? ?
??? ? ? ?
1 1 1 1
ij ij ji
m k m k
n n nn
i j i j
i j i j
p p p p ??? ? ? ?
? ? ? ?
??? ? ? ?
1 1 1 1
1 1 1 1
( 1 ) ( 1 ) jmi
m k m k
nnn nk
i j i j
i j i j
p p p p ???
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
又
1 1 1 1
1 1 1 1
lg lg ( 1 ) lg ( 1 ) lg lg
m k m k
m i k j i i j j
i j i j
L n p n p n p n p
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 33
便立即得到方程组
1
1
lg
0,1,2,,1
1
m i i m
m
i i i m
i
i
n n n nL
im
p p p pp
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
L
1
lg
0,1,2,,1
1
jjkk
k
j j j k
j
j
nnnnL
jk
p p p p
p
????
? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ?
L
令
,mk
mk
nnAB
pp
??
??
??
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 34
那么得到
,1,2,;,1,2,,jiij nnp i m p j kAB ????? ? ? ?LL
从等式 （ 5.37） 得到
1
1
1
m
im
i
i
i
n
n
p
AA
?
?
?
?
? ? ?
?
?
1
1
1
k
jk
j
j
j
n
n
p
BB
?
?
?
?
? ? ?
?
?
即
A B n??.
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 35
最后得到, 的最大似然估计为ip? jp?
? ?,1,2,,;,1,2,,jiij nnp i m p j knn ????? ? ? ?LL（ 5.38）
构造统计量
2
2
11
ij
ijmk
n
ij ij
nn
n
n
n
nn
?
??
?? ??
??
???
??? ??
（ 5.39）
因为从样本中确定出了 个参数, 所以由定理
5.2,用公式 （ 5.39） 确定的统计量渐近服从自由度为
2mk??
( 2) 1 ( 1 ) ( 1 )m k m k m k? ? ? ? ? ? ?
的 分布。2? 它就是检验假设 所需要的统计量。0H
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 36
当 时, 列联表 5.9称为四格表 。2mk??
例 5.15 调查 339名 50岁以上吸烟习惯者与慢性气
管炎病的关系, 结果如表 5.11所示 。
表 5.1 1
患慢性气
管炎者
未患慢性
气管炎者
合
计
患病率
（ % ）
吸烟 43 162 205 21.0
不吸烟 13 121 134 9.7
? 56 283 339 16.5
试问吸烟者与不吸烟者患慢性气管炎疾病是否有所不
同 （ ）？0.01? ?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 37
解 设 X 表示是否吸烟,Y 表示是否患慢性气管
炎。它们各取两个值，
1
A — 吸烟，
2
A — 不吸烟；
1
B — 患慢性气管炎；
2
B — 未患慢性气管炎。
所以 2mk?? 。
1 2 1 2
2 0 5 1 3 4 5 6 2 8 3? ? ? ?,,,
3 3 9 3 3 9 3 3 9 3 3 9p p p p? ? ? ?? ? ? ?
由式（ 5.38）得
代入式 （ 5.39） 得
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 38
2 2 2
2
2 0 5 5 6 2 0 5 2 8 3 1 3 4 5 6
4 3 1 6 2 1 3
3 3 9 3 3 9 3 3 9
?
2 0 5 5 6 2 0 5 2 8 3 1 3 4 5 6
3 3 9 3 3 9 3 3 9
n
?
? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?2
22
1 3 4 2 8 3
121
( 4 3 3 3,8 6 ) ( 1 6 2 1 7 1,1 4 )339
1 3 4 2 8 3 3 3,8 6 1 7 1,7 4
339
???
???
????
? ? ?
?
22( 1 3 2 2, 1 4 ) ( 1 2 1 1 1 1, 8 6 )
7, 4 82 2, 1 4 1 1 1, 8 6??? ? ?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 39
对,由附表 3查得0.01? ?
22( ( 1 ) ( 1 ) ) ( 1 ) 6, 6 3 5mk????? ? ? ?
因为
22? 7, 4 8 6, 6 3 5 ( 1 )n ???? ? ?
故拒绝假设,0H
即认为 慢性气管炎的患病率与吸烟有关 。
§ 5.3 非参数假设检验方法
前面介绍的各种统计假设的检验方法，几乎都假定了总
体服从正态分布，然后再由样本对分布参数进行检验。
但在实际问题中，有时不能预知总体服从什么分布，这
里就需要根据样本来检验关于总体分布的各种假设，这
就是 分布的假设检验问题 。 在数理统计学中把不依赖于
分布的统计方法称为 非参数统计方法 。
本节讨论的问题就是非参数假设检验问题。
本节主要介绍 拟合优度检验, 柯尔莫哥洛夫－斯米尔诺
夫 （ Kolmogrow-Smirnov） 检验 和 独立性检验 。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 2
1,多项分布的 2? 检验法
设总体是仅取 m 个可能值的离散型随机变量，不
失一般性，设 X 的可能值是 1,2,,mL,记它取值
为 i 的概率为 ip,
( ),1,2,,iP X i p i m? ? ? L
1
1
m
i
i
p
?
??
即
且
一,χ2拟合优度检验
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 3
设 12(,,,)nX X XL 是从总体 X 中抽得的简单随机样本，
12(,,,)nx x xL 是样本观察值。
用
iN
表示样本
12(,,,)nx x xL
中取值为 i 的个数，即
样本中出现事件 ? ?Xi ? 的频数，则
iN
是样本的函数，
所
12(,,,)mN N NL
是随机向量，且有
1
.
m
i
i
Nn
?
??
12(,,,)mN N NL
服从多项分布，其概率分布为
12
1 1 2 2
12
12
(,,,)
!
! ! !
m
mm
nnn
m
m
P N n N n N n
n
p p p
n n n
? ? ?
?
L
L
L
（ 5.12）
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 4
需要检验假设
00
10
:
,( 1,2,,)
ii
ii
H p p
H p p i m
??
?? L
其中 是已知数。0ip
我们知道，频率是概率的反映。
如果总体的概率分布的确是,1 0 2 0 0(,,,)mp p pL那么，当观察个数 n 愈来愈大时，频率 i
N
n
与 0ip 之间
的差异将越来越小,
因此频率
i
N
n
与 0ip 之间的差异程
度可以反映出 1 0 2 0 0(,,,)mp p pL 是不是总体的真分布。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 5
卡尔 ·皮尔逊 首先提出运用统计量
2
2 0
1 0
()m ii
n
i i
N np
np? ?
?? ? （ 5.23）
来衡量 i
N
n
和 0ip 之间的差异程度，这个统计量称为
皮尔逊统计量 。
直观上比较清楚，如果 1 0 2 0 0(,,,)mp p pL 是总体
服从的真实概率分布，统计量
2
n
? 要偏小些，否则就
有偏大的趋势。 因此 可以用来作为多项分布的
检验统计量。但是还需要知道它的分布，下面的
定理给出了它的渐近分布。
2n?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 6
定理 5.1 当
0H
为真时，即
1 0 2 0 0(,,,)mp p pL
是总体
的真实概率分布时，由式（ 5,23 ）定义的统计量 2
n
? 渐
近服从自由度为 1m ? 的 2? 分布，即
2
0
1
0
2
0
()
lim
(,1 ),0
m
ii
n
i
i
x
N np
Px
np
y m d y x?
??
?
?? ?
?
??
??
? ? ?
?
?
,
其中
3
22
11
2
22
1
,0,
(,1 )
2
0,0
mx
mm
x e x
xm
x
?
?
?
?? ??
?
??
??
?
??
?? ?
?
??
是
2
( 1 )m? ? 的分布密度函数。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 7
定理 5.1的证明从略。
由定理 5, 1 知,当 n 充分大时，可以近似地认为
2
n
?
近似服从
2
( 1 )m? ? 分布。对给定的检验水平
01 ???,由
2
? 分布表求出常数
2
( 1 )m
?
? ?,使
? ?22 ( 1 )nPn ?? ? ?? ? ?
给 定 一 组 样 本 值
12
(,,,)
n
x x xL, 对 应 的
12
(,,,)
m
N N NL 的值为
12
(,,,)
m
n n nL,由式（ 5, 2 3 ）
计算出
2
n
? 的观察值
2
2 0
1 0
()? m ii
n
i i
n n p
np? ?
?? ?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 8
如果 22? ( 1 )n m??? ??,则拒绝假设 0H,即认为
总体的分布与假设 0H 中的分布有显著差异。 若 22? ? ( 1 )
n m??? ??,则接受 0H,即认为总体的
分布与假设 0H 中的分布无显著差异。
例 5.10 将一颗骰子掷了 120次 。 如果如下：
点数,1,2,3,4,5,6。
频数,21,28,19,24,16,12。
问这颗骰子是否匀称？
解 依题意, 欲检验假设
( 0.0 5 )? ?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 9
计算得
0
1
1
:
6
1
,( 1,2,,6 )
6
i
i
Hp
H p i
??
?? L
2
2
22
1
21 120
6
?
1
120
6
11
28 120 19 120
66
11
120 120
66
n
?
??
??
??
??
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 10
2
22
1
24 120
6
1
120
6
11
16 120 12 120
66
11
120 120
66
??
??
??
??
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
8.1?
对 0, 0 5? ?,查附表 3 得 20, 0 5 ( 6 1 ) 1 1,0 7? ?? 。
因为 22 0, 0 5? ( 5 )n?? ?,故接受假设 0H,
即可认为 这颗骰子是匀称的 。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 11
当总体 X 不具有多项分布，但其分布函数 ()Fx 具有明
确表达式，设
12
,,,
n
X X XL 是来自 ()Fx 的样本，欲 检
验假设
00
,( ) ( )H F x F x? （
0
()Fx 是某个已知的分布）。
为此，选取 1m ? 个实数 1 2 1ma a a ?? ? ? ? ? ? ? ?L,
它们将实轴分为 m 个区间
1 1 2 1 2 1(,),[,),[,)mmA a A a a A a ?? ?? ? ? ??L
记
1 0 0 1()p F a?
0 0 0 1
0 0 1
( ) ( ),2,3,,1,
1 ( )
i i i
mm
p F a F a i m
p F a
?
?
? ? ? ? ?
???
?
L
(5.24)
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 12
设
12
,,,
n
x x xL 是容量 n 的样本的一组值，
i
n 为样
本值落入
i
A 的频数，
1
m
i
i
nn
?
??,则
12
(,,,)
m
N N NL
服从多项分布。 当假设 成立时，
由定理 3.1得到，统计量
00,( ) ( )H F x F x?
2
2 0
1 0
()m ii
n
i i
N np
np? ?
?? ?
的分布渐近于自由度为 1m ? 的
2
? 的分布，因此
关于分布函数的检验问题又归结为多项分布的
2
? 检验问题。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 13
例 5.11 在某盒中装有白球和黑球 。 现作下面这样的
实验：用返回抽取方式从此盒中摸球, 直到取到白
球为止, 记录下抽取的次数, 重复如此的试验 100次,
其结果见表 5.3。
表 5,3
抽取
次数
1 2 3 4 ≥ 5
频
数
43 31 15 6 5
试问该盒中的白球和黑球个数是否相等？( 0.0 5 )? ?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 14
解 记总体 表示首次出现白球所需的摸取次数，
则 服从几何分布
X
X
1( ) ( 1 ),1,2,,kP X k p p k?? ? ? ? L
其中 表示从此盒中任意摸一球为白球的概率。p如果盒中白球与黑球的个数相等，此时
1
2
p ?,
代入上式得到
1 1 1( 1 ),( 2 ),( 3 )
2 4 8P X P x P X? ? ? ? ? ?
5
11( 4 ),( 5 ) 2
16 16
k
k
P X P x
?
?
?
? ? ? ? ??
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 15
欲检验假设
0 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1:,,,,
2 4 8 1 6 1 6H p p p p p? ? ? ? ?
将此及试验的频数代入式（ 5.25）
得到 统计量的观察值为2n?
2 225
2 0
1 0
() ( 4 3 5 0 ) ( 3 1 2 5 )?
5 0 2 5
ii
n
i i
n n p
np? ?
? ??? ? ??
222( 1 5 1 2, 5 ) ( 6 6, 2 5 ) ( 5 6, 2 5 )
3, 21 2, 5 6, 2 5 6, 2 5? ? ?? ? ? ?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 16
对 0, 0 5? ?,自由度＝ 5 － 1 ＝ 4,由 2? 分布查得
2
0,0 5 ( 4 ) 9,4 8 8? ?,
因 22 0.05? ( 4 )n?? ?,因此接受假设 0H,
即认为盒中白球与黑球个数相等 。
2．分布中含有未知参数的 检验法2?
前面讨论了多项分布和分布形式完全确定情形的
2?
检验方法。 但在许多场合，假设 0H 只确定了总体分
布的类型，而分布中含有未知参数 12,,,r? ? ?L 。
例如最常见的是要检验假设：总体 X 服从正态分布
2(,)N ??
。 这里假设给出了一个分布族
2(,)N ??
，其
中包含了两个未知参数 ? 和
2?
。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 17
0 0 1
1 0 1
,( ) ( ;,,)
,( ) ( ;,,)
r
r
H F x F x
H F x F x
??
??
??
?
L
L（ 5.26）
对于这类问题，需检验假设：
其中 0F 形式已知，而 12,,,r? ? ?L 未知。
从总体中抽取一个样本，令
12
,,,
r
? ? ?L 是未知参
数 12,,,r? ? ?L 的最大似然估计，将其代入 0F 的表
达式，那么
01
? ?( ;,,)
r
Fx ?? L 变成已知函数，将它代
入式（ 5,25 ）得到
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 18
10 0 1
0 0 1 1 0 1 1
0 0 1 1
? ?? ( ;,,),
? ? ? ?? ( ;,,),( ;,,),2,3,,1,
? ?? 1 ( ;,,),
i r i r
m m r
p F a
p F a F a i m
p F a
??
? ? ? ?
??
?
?
? ?
??
? ? ? ??
?
???
?
L
L L L
L
（ 5.27）
将此代入式 （ 5.25） 得统计量
2
2 0
1 0
?()
?
m
ii
n
i i
N np
np? ?
?? ? （ 5.28）
定理 5.2 （ R,A.F isher 定理）设假设 0H 为真，则由式（ 5.28 ）
给出的统计量渐近于自由度为 1mr ?? 的 2? 分布。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 19
式（ 5.28）可以用来检验包含有未知参数的分布假设。
这种检验方法称为 拟合优度检验法 。2?
注意,
2?
拟合优度检验方法使用时，必须注意 n 不小
于 50,以及每个 inp 都不小于 5,而且 inp 最好在 10
以上，否则应适当地合并区间，使 inp 满足这个要求。
例 5.1 2 研究混凝土抗压强度的分布,200 件混凝土
制件的抗压强度（单位,Pa ）的分组形式见表 5.4,
6
1
200
i
i
nn
?
??? 。 问混凝土制作的抗压强度是否服从
正态
2
(,)N ?? 分布 ( 0,0 5 )? ?？
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 20
表 5.4
区
间
190 - 200 200 - 210 210 - 220 220 - 230 230 - 240 240 - 250
频
数
10 26 56 64 30 14
解 设 X 表示混凝土制作的抗压强度，要检验假设
0H,总体 X 服从正态
2(,)N ?? 分布。由于 ? 和 2? 未知，
因此需求出它们的最大似然估计 。
它们的最大似然估计分别是
1
1? n
i
i
XXn?
?
??? 2 2
1
1 ()n
i
i
XXn?
?
???
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 21
用 *ix 表示第 i 组的组中值，有
6
*
1
11? ( 195 10 205 26 215 56
200iiix n xn? ?? ? ? ? ? ? ? ??
2 2 5 6 4 2 3 5 3 0 2 4 5 1 4 ) 2 2 1 P a,? ? ? ? ? ? ?
6
2 * 2 2 2
1
1
11? ( ) [ ( 26 ) 10 ( 16 )
200ni is x x nn? ?? ? ? ? ? ? ? ??
2 2 2 22 6 ( 6 ) 5 6 4 6 4 1 4 3 0 2 4 1 4 ] 1 5 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 1 2,3 3 P a? ?原假设
0H 改写成 X 服从正态
2( 221,12.33 )N 分布，计算
每个区间的理论概率值
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 22
10
2 2 1 2 0 0 2 2 1? ( 2 0 0 )
1 2,3 3 1 2,3 3
Xp P X P ????? ? ? ?
????
( 1,70 ) 0,04 5? ? ? ?
20
2 1 0 2 2 1 2 0 0 2 2 1? ( 2 0 0 2 1 0 )
1 2,3 3 1 2,3 3P P X
??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
( 0,8 9 ) ( 1,7 0 ) 0,1 4 2? ? ? ? ? ? ?
30
2 2 0 2 2 1 2 1 0 2 2 1? ( 2 1 0 2 2 0 )
1 2,3 3 1 2,3 3P P X
??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
( 0,0 8 ) ( 0,8 9 ) 0,2 8 1? ? ? ? ? ? ?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 23
40
2 3 0 2 2 1 2 2 0 2 2 1? ( 2 2 0 2 3 0 )
1 2,3 3 1 2,3 3P P X
??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
( 0,7 3 ) ( 0,0 8 ) 0,2 9 9? ? ? ? ? ?
50
2 4 0 2 2 1 2 3 0 2 2 1? ( 2 3 0 2 4 0 )
1 2,3 3 1 2,3 3P P X
??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
( 1,5 4 ) ( 0,7 3 ) 0,1 7 1? ? ? ? ? ?
60
2 4 0 2 2 1? ( 2 4 0 ) 1 1 ( 1,5 4 ) 0,0 6 2
1 2,3 3P P X
???? ? ? ? ? ? ? ? ?
????
计算结果见表 5.5，且计算得
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 24
26
2 0
1 0
?()? 1, 3 5
?
ii
n
i i
n np
np? ?
????
表 5,5
压强
区间
X
频
数
i
n
标准化区间
1
[,]
ii
uu
?
0
?
i
p
0
?
i
np
0
?()
ii
n n p?
2
0
?()
ii
n np?
2
0
0
?()
?
ii
i
n n p
np
?
190 - 200 10
(,1, 7 0 )? ? ?
0,045 9 1 1 0,1 1
200 - 210 26
[ 1, 7 0,0, 8 9 )??
0,142 2 8, 4 － 2,4 5,7 6 0,2 0
210 - 220 56
[ 0, 8 9,0, 0 8 )??
0,281 5 6, 2 － 0,2 0,0 4 0,0 0
220 - 230 64 [ 0.0 8,0.7 3 )? 0,299 5 9, 8 4,2 1 7,6 4 0,2 9
230 - 240 30
[ 0, 7 3,1, 5 4 )
0,171 3 4, 2 － 4,2 1 7,6 4 2,5 2
240 - 250 14
[ 1, 5 4,)??
0,062 1 2, 4 1,6 2,5 6 0,2 3
?
1,000 200 1,3 5
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 25
自由度是 6 － 2 － 1 = 3,对 0,0 5? ?,由附表 3 查得
2
0,0 5
( 3 ) 7,81 5? ? 。由于
22
0.05
? 1.35 7.81 5 ( 3 )
n
??? ? ?,故
接受原假设,即认为混凝土制件的受压强度的分布
是正态分布 。( 221,152 )N
在社会调查中, 调查人员可能怀疑男人和妇女对某
些提案将会有不同的反应, 他们根据被调查者的性
别和对某项提案的态度来进行分类, 结果见下表：
三、独立性检验
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 26
态度
性别 赞成 反对 弃权
男人 1 1 5 4 475 243
妇女 1083 442 362
本表称为 2× 3的列联表。每个人根据两个标准分类，
一个标准有两类，另一个标准有三类，这六种互不相
同的类称为格。
我们要检验零假设, 公民的态度与性别是相互独立的。0H
再例如医学家可能怀疑某种环境条件助和节某种疾病，
那么他们根据以下方式分类：
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 27
（ 1） 他们是否得过这种病；
（ 2） 他们是否具备所研究的环境条件 。
工程师也能够利用列联表去发现制造过程中的两种
缺陷是由于相同的原因引起, 还是由于不同的原因
引起 。 由此看出, 列联表在许多研究领域中都是非
常有用的工具 。 假定考察一个二元总体，或者考察总
体中诸元素的两个指标 。(,)XY
将这两个指标的取值
范围分别分成 m 个和 k 个互不相交的区间 1,,mAA L
和 12,,kB B BL,设从该总体中抽取一个容量为 n 的样
本
1 2 2 2
(,),(,),,(,)
nn
X Y X Y X YL,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 28
用 ijn 表示样本值中其 X 坐标落于 iA 而 Y 坐标落于 jB
中的个数 ( 1,2,,,1,2,,)i m j k?? LL ；
又记
11
,
km
i ij j ij
ji
n n n n??
??
????（ 5.35）显见
11
mk
ij
ij
nn
?
??
? ?? 用表 5.10 表示样本元素的这种分类
（这种表称为列联表）。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 29
表 5.10
Y
1
B
2
B L
k
B
1
k
i i j
j
nn
?
?
?
?
1
A
11
n
12
n
L
1 k
n
1
n
?
2
A
21
n
22
n
L 2 k
n
2
n
?
M M M
M M
X
m
A
1m
n
2m
n
L
mk
n
m
n
?
1
m
j ij
i
nn
?
?
?
?
1
n
?
2
n
?
L
k
n
?
X
Y
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 30
需要检验假设：
：总体的两个指标 和 是相互独立的。0H X Y
如果记
(,),1,2,,,1,2,,i j i jp P X A Y B i m j k? ? ? ? ?LL
( ),1,2,,iip P X A i m? ? ? ? L
( ),1,2,,jjp P Y B j k? ? ? ? L
显然有
11
,
km
i ij j ij
ji
p p p p??
??
???? （ 5.36）
11
1
mk
ij
ij
pp??
??
????
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 31
如果假设 0H 为真，则有 ij i jp p p???,因此列联表
中的独立性检验就是要检验假设
0,,1,2,,,1,2,ij i jH p p p i m j k??? ? ?LL（ 5.37）
这个假设中并没有明确指出 mk ? 个未知参数
i
p
?
与 jp ? 的值。 因为这些
i
p
?
和 jp ? 满足式（ 5,36 ），所以
有 2mk ?? 个独立参数。
要想用 2? 检验来验证假设 0H,就须先按照最大似
然估计法从样本中定出这些未知参数的值。
当假设 为真时, 由式 （ 5.37） 得似然函数为0H
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 32
1 1 1 1
() ij
m k m k
nn
i j i j
i j i j
L p ij p p??
? ? ? ?
??? ? ? ?
1 1 1 1
ij ij ji
m k m k
n n nn
i j i j
i j i j
p p p p ??? ? ? ?
? ? ? ?
??? ? ? ?
1 1 1 1
1 1 1 1
( 1 ) ( 1 ) jmi
m k m k
nnn nk
i j i j
i j i j
p p p p ???
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
又
1 1 1 1
1 1 1 1
lg lg ( 1 ) lg ( 1 ) lg lg
m k m k
m i k j i i j j
i j i j
L n p n p n p n p
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 33
便立即得到方程组
1
1
lg
0,1,2,,1
1
m i i m
m
i i i m
i
i
n n n nL
im
p p p pp
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
L
1
lg
0,1,2,,1
1
jjkk
k
j j j k
j
j
nnnnL
jk
p p p p
p
????
? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ?
L
令
,mk
mk
nnAB
pp
??
??
??
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 34
那么得到
,1,2,;,1,2,,jiij nnp i m p j kAB ????? ? ? ?LL
从等式 （ 5.37） 得到
1
1
1
m
im
i
i
i
n
n
p
AA
?
?
?
?
? ? ?
?
?
1
1
1
k
jk
j
j
j
n
n
p
BB
?
?
?
?
? ? ?
?
?
即
A B n??.
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 35
最后得到, 的最大似然估计为ip? jp?
? ?,1,2,,;,1,2,,jiij nnp i m p j knn ????? ? ? ?LL（ 5.38）
构造统计量
2
2
11
ij
ijmk
n
ij ij
nn
n
n
n
nn
?
??
?? ??
??
???
??? ??
（ 5.39）
因为从样本中确定出了 个参数, 所以由定理
5.2,用公式 （ 5.39） 确定的统计量渐近服从自由度为
2mk??
( 2) 1 ( 1 ) ( 1 )m k m k m k? ? ? ? ? ? ?
的 分布。2? 它就是检验假设 所需要的统计量。0H
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 36
当 时, 列联表 5.9称为四格表 。2mk??
例 5.15 调查 339名 50岁以上吸烟习惯者与慢性气
管炎病的关系, 结果如表 5.11所示 。
表 5.1 1
患慢性气
管炎者
未患慢性
气管炎者
合
计
患病率
（ % ）
吸烟 43 162 205 21.0
不吸烟 13 121 134 9.7
? 56 283 339 16.5
试问吸烟者与不吸烟者患慢性气管炎疾病是否有所不
同 （ ）？0.01? ?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 37
解 设 X 表示是否吸烟,Y 表示是否患慢性气管
炎。它们各取两个值，
1
A — 吸烟，
2
A — 不吸烟；
1
B — 患慢性气管炎；
2
B — 未患慢性气管炎。
所以 2mk?? 。
1 2 1 2
2 0 5 1 3 4 5 6 2 8 3? ? ? ?,,,
3 3 9 3 3 9 3 3 9 3 3 9p p p p? ? ? ?? ? ? ?
由式（ 5.38）得
代入式 （ 5.39） 得
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 38
2 2 2
2
2 0 5 5 6 2 0 5 2 8 3 1 3 4 5 6
4 3 1 6 2 1 3
3 3 9 3 3 9 3 3 9
?
2 0 5 5 6 2 0 5 2 8 3 1 3 4 5 6
3 3 9 3 3 9 3 3 9
n
?
? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?2
22
1 3 4 2 8 3
121
( 4 3 3 3,8 6 ) ( 1 6 2 1 7 1,1 4 )339
1 3 4 2 8 3 3 3,8 6 1 7 1,7 4
339
???
???
????
? ? ?
?
22( 1 3 2 2, 1 4 ) ( 1 2 1 1 1 1, 8 6 )
7, 4 82 2, 1 4 1 1 1, 8 6??? ? ?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 39
对,由附表 3查得0.01? ?
22( ( 1 ) ( 1 ) ) ( 1 ) 6, 6 3 5mk????? ? ? ?
因为
22? 7, 4 8 6, 6 3 5 ( 1 )n ???? ? ?
故拒绝假设,0H
即认为 慢性气管炎的患病率与吸烟有关 。
