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第三章 参数估计
§ 3.1 点估计与优良性
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引言
上一讲，我们介绍了总体、样本、简
单随机样本、统计量和抽样分布的概念，
介绍了统计中常用的三大分布，给出了几
个重要的抽样分布定理, 它们是进一步学习
统计推断的基础,
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总体
样
本
统计量
描述
作出推断
研究统计量的性质和评价一个
统计推断的优良性，完全取决
于其抽样分布的性质,
随机抽样
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现在我们来介绍一类重要的统计推断问题
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息
来估计总体的某些参数或者参数的某些函数,
参数估计
估计废品率
估计新生儿的体重
估计湖中鱼数 …
…
估计降雨量
在参数估计问题中，假定总体分布
形式已知，未知的仅仅是一个或几个
参数,
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这类问题称为 参数估计,
参数估计问题的一般提法
X1,X2,…,Xn
要依据该样本对参数 ? 作出估计，或估计
? 的某个已知函数,)(?g
现从该总体抽样，得样本
设有一个统计总体，总体的分布函数
向量 ),
为 F(x,)，其中 为未知参数 ( 可以是? ??
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参数估计
点估计
区间估计
?
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)1.0,( 2?N（假定身高服从正态分布 ）
设这 5个数是, 1.65 1.67 1.68 1.78 1.69
?估计 为 1.68,这是 点估计,
这是 区间估计,估计 ? 在区间 [1.57,1.84]内，
假如我们要估计某队男生的平均身高,
现从该总体选取容量为 5的样本，我们
的任务是要根据选出的样本（ 5个数）求出
总体均值 的估计, 而全部信息就由这 5个数
组成,
?
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一、点估计概念及讨论的问题
例 1 已知某地区新生婴儿的体重 X~ ),,( 2??N
,,2未知??
随机抽查 100个婴儿
…
得 100个体重数据
10,7,6,6.5,5,5.2,…
呢?? ?据此,我们应如何估计 和
而全部信息就由这 100个数组成,
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为估计,我们需要构造出适当的样本
的函数 T(X1,X2,… Xn)，每当有了样本，就
代入该函数中算出一个值，用来作为 的
估计值,
?
?
把样本值代入 T(X1,X2,… Xn) 中，得到 ?
的一个点估计值,
T(X1,X2,… Xn)称为参数 ? 的点估计量，
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请注意，被估计的参数 是一个
未知常数，而估计量 T(X1,X2,… Xn)
是一个随机变量，是样本的函数,当
样本取定后，它是个已知的数值,这
个数常称为 的估计值,?
?
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使用什么样的统计量去估计？?
可以用样本均值 ;
也可以用样本中位数 ;
还可以用别的统计量,
问题是,
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,)( ??XE
我们知道,服从正态分布,.),( 2 vXrN 的??
由大数定律,
1}|1{|lim
1
????
???
??
n
i
in XnP
自然想到把样本体重的平均值作为总体平均
体重的一个估计,
22 ?估计S类似地，用样本体重的方差,
,?估计X用样本体重的均值
,1
1
?
?
?
n
i
iXnX ?
?
?
?
?
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1
样本体重的平均值
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样本均值是否是 的一个好的估计量？?
(2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计
量“好”？
样本方差是否是 的一个好的估计量？2?
这就需要讨论以下几个问题,
(1) 我们希望一个“好的”估计量具有什么
特性？
(3) 如何求得合理的估计量？
那么要问,
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二、估计量的优良性准则
在介绍估计量优良性的准则之前, 我
们必须强调指出：
评价一个估计量的好坏，不能仅仅依
据一次试验的结果，而必须由多次试验结
果来衡量,
这是因为估计量是样本的函数，是随机
变量, 因此，由不同的观测结果，就会求得
不同的参数估计值, 因此一个好的估计，应
在多次试验中体现出优良性,
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常用的几条标准是：
1,无偏性
2,有效性
3,相合性
这里我们重点介绍前面两个标准,
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估计量是随机变量，对于不同的样本值
会得到不同的估计值, 我们希望估计值在未
知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未
知参数的真值, 这就导致无偏性这个标准,
1,无偏性
?? ?)?(E
则称 为 的无偏估计,?? ?
),,(? 1 nXX ??设 是未知参数 的估计量，若?
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例如, 用样本均值作为总体均值的估计
时, 虽无法说明一次估计所产生的偏差, 但
这种偏差随机地在 0的周围波动, 对同一统
计问题大量重复使用不会产生系统偏差,
无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求,
无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差,
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所以无偏估计以方差小者为好,这就引进了
有效性这一概念,
的大小来决定二者2
1 )?( ?? ?E 和
2??1?? ?
一个参数往往有不止一个无偏估计,若
和 都是参数 的无偏估计量，
比较
我们可以
22 )?( ?? ?E
谁更优,
211 )?()?( ??? ?? ED由于
222 )?()?( ??? ?? ED
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2,有效性
D( )< D( )
2??1??
则称 较 有效,
2??1??
都是参数 的无偏估计量，若有
),,(? 11 nXX ?? ),,(?? 122 nXX ??? ??1??设 和
?
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在数理统计中常用到最小方差无偏估计,
它的定义是,
（也称最佳无偏估计）
??若 满足：
?? ??? ?)?(E（ 1）, 即 为 的无偏估计；
)?()?( *?? DD ?（ 2）, *?? 是 的任一无偏估计,?
则称 为 的最小方差无偏估计,???
nXX,,1 ?
设 是取自总体 X的一个样本，
),,(? 1 nXX ?? 是未知参数 的一个估计量，?
第三章 参数估计
§ 3.1 点估计与优良性
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引言
上一讲，我们介绍了总体、样本、简
单随机样本、统计量和抽样分布的概念，
介绍了统计中常用的三大分布，给出了几
个重要的抽样分布定理, 它们是进一步学习
统计推断的基础,
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总体
样
本
统计量
描述
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研究统计量的性质和评价一个
统计推断的优良性，完全取决
于其抽样分布的性质,
随机抽样
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现在我们来介绍一类重要的统计推断问题
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息
来估计总体的某些参数或者参数的某些函数,
参数估计
估计废品率
估计新生儿的体重
估计湖中鱼数 …
…
估计降雨量
在参数估计问题中，假定总体分布
形式已知，未知的仅仅是一个或几个
参数,
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这类问题称为 参数估计,
参数估计问题的一般提法
X1,X2,…,Xn
要依据该样本对参数 ? 作出估计，或估计
? 的某个已知函数,)(?g
现从该总体抽样，得样本
设有一个统计总体，总体的分布函数
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参数估计
点估计
区间估计
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设这 5个数是, 1.65 1.67 1.68 1.78 1.69
?估计 为 1.68,这是 点估计,
这是 区间估计,估计 ? 在区间 [1.57,1.84]内，
假如我们要估计某队男生的平均身高,
现从该总体选取容量为 5的样本，我们
的任务是要根据选出的样本（ 5个数）求出
总体均值 的估计, 而全部信息就由这 5个数
组成,
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一、点估计概念及讨论的问题
例 1 已知某地区新生婴儿的体重 X~ ),,( 2??N
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随机抽查 100个婴儿
…
得 100个体重数据
10,7,6,6.5,5,5.2,…
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而全部信息就由这 100个数组成,
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为估计,我们需要构造出适当的样本
的函数 T(X1,X2,… Xn)，每当有了样本，就
代入该函数中算出一个值，用来作为 的
估计值,
?
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把样本值代入 T(X1,X2,… Xn) 中，得到 ?
的一个点估计值,
T(X1,X2,… Xn)称为参数 ? 的点估计量，
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请注意，被估计的参数 是一个
未知常数，而估计量 T(X1,X2,… Xn)
是一个随机变量，是样本的函数,当
样本取定后，它是个已知的数值,这
个数常称为 的估计值,?
?
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使用什么样的统计量去估计？?
可以用样本均值 ;
也可以用样本中位数 ;
还可以用别的统计量,
问题是,
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我们知道,服从正态分布,.),( 2 vXrN 的??
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样本均值是否是 的一个好的估计量？?
(2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计
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样本方差是否是 的一个好的估计量？2?
这就需要讨论以下几个问题,
(1) 我们希望一个“好的”估计量具有什么
特性？
(3) 如何求得合理的估计量？
那么要问,
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二、估计量的优良性准则
在介绍估计量优良性的准则之前, 我
们必须强调指出：
评价一个估计量的好坏，不能仅仅依
据一次试验的结果，而必须由多次试验结
果来衡量,
这是因为估计量是样本的函数，是随机
变量, 因此，由不同的观测结果，就会求得
不同的参数估计值, 因此一个好的估计，应
在多次试验中体现出优良性,
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常用的几条标准是：
1,无偏性
2,有效性
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这里我们重点介绍前面两个标准,
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估计量是随机变量，对于不同的样本值
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知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未
知参数的真值, 这就导致无偏性这个标准,
1,无偏性
?? ?)?(E
则称 为 的无偏估计,?? ?
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例如, 用样本均值作为总体均值的估计
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这种偏差随机地在 0的周围波动, 对同一统
计问题大量重复使用不会产生系统偏差,
无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求,
无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差,
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所以无偏估计以方差小者为好,这就引进了
有效性这一概念,
的大小来决定二者2
1 )?( ?? ?E 和
2??1?? ?
一个参数往往有不止一个无偏估计,若
和 都是参数 的无偏估计量，
比较
我们可以
22 )?( ?? ?E
谁更优,
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222 )?()?( ??? ?? ED
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D( )< D( )
2??1??
则称 较 有效,
2??1??
都是参数 的无偏估计量，若有
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在数理统计中常用到最小方差无偏估计,
它的定义是,
（也称最佳无偏估计）
??若 满足：
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设 是取自总体 X的一个样本，
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