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§ 2.2 充分统计量与完备统计量
一 充分统计量
在数理统计中, 由样本来推断总体的前提是：样本
包含了总体分布的信息 。 样本中包含的关于总体分布
的信息可分为：
1,关于总体结构的信息, 即反映总体分布的类型 。
如总体服从正态分布, 则来自该总体的样本相互独
立并均服从该正态分布, 即样本包含了总体分布为
正态分布的信息 。
2、关于总体未知参数的信息，这是由于样本的分
布中包含了总体分布中的未知参数。
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为了推断总体分布的未知参数，需要把样本中关于
未知参数的信息, 提炼, 出来，即构造合适的统计量，
显然，一个, 好, 的统计量应该能够将样本中所包含
的关于未知参数的信息全部提炼出来，而不没有任何
有用信息损失，这就是英国著名统计学家 Fisher于
1922年提出的一个重要的概念 -----充分统计量。
定义 设
nXXX,,,21 ?
为来自总体 X 的样本,X 的分
布函数为 ? ??;xF, T=T (
nXXX,,,21 ?
) 为一个统计量，
当给定 T=t 时，如果样本（
nXXX,,,21 ?
） 的条件分布
（离散总体时为条件概率，连续总体时为条件密度）
与参数 ? 无关，则称 T 为参数 ? 的 充分统计量 。
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对统计量 T,如果已知它的值以后，样本的条件分布
与 ? 无关，就意味着样本的剩余部分中已不再包含 关于 ?
的信息，也就是在 T 中已包含有关 ? 的全部信息。因此，
对 ? 的统计推断只需要从 T 出发即可，不再需要样本数据。
例, 设总体 X 服从两点分布 ( 1,)Bp,即
P( X= x) = 1( 1 )xxpp ??,x=0,1,
其中 0<p < 1,（
nXXX,,,21 ?
） 为来自总体 X 一个样本,
试证,
1
1
n
i
i
XX
n ?
? ? 是参数 p 的充分统计量,
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证明,因为 iX, ( 1,)Bp,所以
1
(,)n i
i
n X X B n p
?
? ?,,即有
( ) ( 1 ),0,1,,.k k n knP n X k C p p k n?? ? ? ? L 设 ? ?nxxx,,,21 ?,为样本观测值，其中 0,1,ix ? 如果已
知
n
k
X ? 则样本 ? ?nXXX,,,21 ? 的条件概率
1 1 2 2
1 1 2 2
(,,,)
(,,,,)
()
nn
nn
k
P X x X x X x X
n
k
P X x X x X x X
n
k
PX
n
? ? ? ?
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L
L
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1 1 2 2
1
1
(,,,)
,
()
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n
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P X x X x X x
xk
P n X k
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L
如 果,
如 果,
11
1
1
( 1 )
,
( 1 )
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nn
ii
ii
x n x
n
ik k n k
in
n
i
i
pp
xk
C p p
xk
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?
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如 果,
如 果,
1
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1
,
0,
n
ik
in
n
i
i
xk
C
xk
?
?
?
??
?
? ?
? ?
??
?
?
如 果,
如 果,
与 p 无关，所以 X 为 p 的充分统计量,
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二,因子分解定理
根据充分统计量的含义，在对总体未知参数
进行推断时，应在可能的情况下尽量找出关于未
知参数的充分统计量。但从定义出发来判别一个
统计量是否是充分统计量是很麻烦的。为此，需
要一个简单的判别准则。下面给出一个定理 ——
因子分解定理,运用这个定理，判别甚至寻找一
个充分统计量有时会很方便。
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定理 2,3 （因子分解定理）
（ 1 ）连续型情况：设总体 X 具有分布密度
),,,(),;(
21 n
XXXxf ??
是一样本，
),,,(
21 n
XXXT ?
是一个统
计量，则 T 为 ? 的充分统计量的充要条件是：样本的联合分布
密度函数可以分解为
?
?
??
n
i
nni
xxxTgxxxhxfL
1
2121
));,,,((),,,();()( ??? ??
,
(2.3)
其中 h 是
n
xxx,,,
21
?
的非负函数且 ? 无关，
g
仅通过 T 依赖
于
n
xxx,,,
21
?
。
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2 ） 离散型情况,设总体 X 的分布律为
? ?
i
P X x?
i 1 2 n
p ( x ; ) (i 1,2,),T ( X,X,,X )? ? ? LL
一个统计量，则 T 是 ? 的充
分统计量的充要条件是：样本的联合分布律可表示为
? ? ? ??
?
?????
n
i
inn
xXPxXxXxXP
1
2211
,,,?
));,,,((),,,(
2121
?
nn
xxxTgxxxh ???
（ 2,4 ）
其中 h 是
n
xxx,,,
21
?
的非负函数且与 ? 无关，
g
仅通过 T 依
赖于
n
xxx,,,
21
?
。
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例 2.4 根据因子分解定理证明例 2.3。
证明 样本的联合分布律为
? ? ??????? ?? ?
n
i
i
N
I
i xnx
nn ppxXxXxXP
11 )1(,,,
2211 ? ?
?
?? ?
n
i
ix
n
p
pp
1)
1
()1(
若取 ?
?
?
n
i
in xnxxxT
1
21
1),,,( ?
1),,,( 21 ?nxxxh ?
nTn
n p
pppxxxTg )
1()1());,,,(( 21 ????
则有
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? ?nn xXxXxXP ???,,,2211 ?
));,,,((),,,( 2121 pxxxTgxxxh nn ??? 由因子分解定理知,?
?
??
n
i
in
XX
n
XXXT
1
21
1
),,,( ? 是 p 的
充分统计量。
例 2, 5 设 nXXX,,,21 ? 是来自泊松分布 )( ?P 的一个样本，
试证明样本均值 X 是 ? 的充分统计 量。
证明 样本 ),,,( 21 nXXX ? 的联合分布律为
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? ?
1
1 1 2 2
1
,,,
!
n
i
i
x
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i
P X x X x X x e
x
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若取
?
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1
21
1),,,( ?
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x
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1
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!
1
),,,( ?
??? nnT
n exxxTg
??));,,,((
21 ?
则 ? ?nn xXxXxXP ???,,,2211 ?
));,,,((),,,( 2121 ?nn xxxTgxxxh ???
由因子分解定理知,XXXXT n ?),,,( 21 ? 是 ? 的充分统计量。
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例 2.7 设
n
XXX,,,
21
? 是来自正态总体 ),(
2
??N 的一个
样本，试证 ),(),,,(
1
2
21 ?
?
?
n
i
in
XXXXXT ? 是关于
),(
2
??? ? 的联合充分统计量。
证明 样本的联合分布密度为
?
?
?
?
?
?
??? ?
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xL
1
2
2
)(
2
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1
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)2(
1
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?
?
?
???
));,,,((),,,(
2121
?
nn
xxxTgxxxh ???,
其中 1),,,( 21 ?nxxxh ?,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 13
而 ));,,,((
21
?
n
xxxTg ? 显然是 ),(
1
2?
?
?
n
i
i
xxT 和 ),( 2??? ?
的函数。
故由因子分解定理知 ),(
1
2
?
?
?
n
i
i
xXT 和 ),(
2
??? ?
的一个联合充分统计量。 此时，显然不能说 ?
?
n
i
i
x
1
2
是
2
? 的
充分统计量。
定理 2,4 设 ),,,( 21 nXXXTT ?? 是 ? 的一个充分统计量，
)( tf 是单值可逆函数，则 )( Tf 也是 ? 的充分统计量。
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三、完备统计量
为了介绍完备统计量的概念，首先需要引人完备分
布函数族的概念。
定义 2,5 设总体 X 的分布函数族为 ? ????? ),;( xF,
若对任意一个满足
? ? 0)( ?XgE
?
，对一切 ??? （ 2,5 ）
的随机变量 )( Xg,总有
? ? 10)( ??XgP
?
，对一切 ???, （ 2,6 ）
则称 ? ????? ),;( xF 为 完备 的分布函数族 。
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定义 2,6 设 ),,,(
21 n
XXX ? 为来自总体 ))(;( ????xF
的一个样本，若统计量 ),,,(
21 n
XXXTT ?? 的分布函数
族 ? ????? ),;( xF
T
是 完 备 的 分 布 函 数 族, 则 称
),,,(
21 n
XXXTT ?? 为 完备统计量 。
完备统计量的含义不如充分统计量那么明确，但由定
义可见它有如下特征,? ? 1)()(
21 ?? TgTgP ?, ??? ?
? ? ? ?)()( 21 TgETgE ?? ??, ??? ? 。 （ 2,7 ）
对于一般的统计 ),,,( 21 nXXXTT ??,总有
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? ? 1)()( 21 ?? TgTgP ?, ??? ?
? ? ? ?)()( 21 TgETgE ?? ??, ??? ?,
但反之不成立，
若 T 是完备统计量，即 T 的分布函数族是
完备分布函数族，则有由定 2.5 知，对于
? ? 0)()(
21
?? TgTgE
?
,??? ?,
总有
? ? 10)()(
21
??? TgTgP
?
,??? ?,
即式（ 2.7 ）成立。
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例 2.8 设
nXXX,,,21 ?
是来自两点分布 ),1( pB 的样本。
由例 2.3 知 ?
?
?
n
i
i
X
n
X
1
1
是 的 p 充分统计量。下面验证 X 也
是完备统计量。
由于 n
i
i1
n X X
?
? ? 服从二项分布 ),( pnB,故 X 的分布律为
knkk
n
ppC
n
k
XP ???
?
?
?
?
?
?
? )1(,.10;,,2,1,0 ??? pnk ?
设 )( Xg 使得
? ? ?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
n
k
knkk
np
ppC
n
k
gXgE
0
0)1()(,对一切 10 ?? p,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 18
即
0
1
)1(
0
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
k
k
n
n
k
n
p
p
C
n
k
gp,对一切 10 ?? p
或
0
10
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
k
k
n
n
k p
p
C
n
k
g,对一切 10 ?? p 。
上式是关于 ?
?
?
?
?
?
? p
p
1
的多项式，对一切 10 ?? p 要使多项式值
为零，只能是它的每项系数为零，即 ),,2,1,0(0 nk
n
k
g ????
?
?
?
?
?
。
所以 X 是完备统计量。
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如果一个统计量既是充分的，又是完备的，
则称为 充分完备统计量 。在寻求总体分布中未
知参数的优良估计中，充分完备统计量扮演着
重要的角色。
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四、指数型分布族
要判断一个统计量 ),,,(
21 n
XXXTT ?? 是否为参数 ? 的
充分统计量和完备统计量，一般是很复杂的。现介绍一
类有很好的统计和数学性质，因而得到广泛应用的分布
族 —— 指数型分布族 。它包含了一些常用分布，如泊松
分布、正态分布、指数分布、二项分布和 ? 分布等，对这
类分布族，寻找参数的充分完备统计量是方便的。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 21
定理 2,7 设总体 X 的分布密度
);( ?xf
为指数型分布
族，即样本的联合分布密度具有如下形式,
? ?2, 9 ),,,,(
),,,()(e x p)();(
21
1 1
21
n
n
i
m
j
njj
xxxh
xxxTbCxf
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
???
其中
),,,(
21 m
???? ??
,??? 。如果 ? 中包含有一个 m 维矩形，
而且
))(,),(),((
21
???
m
bbbB ??
的值域包含一个 m 维开集，则
)),,,(),,,,(),,,,((
21212211 nmnn
XXXTXXXTXXXTT ?????
是参数
),,,(
21 m
???? ??
的充分完备统计量。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 22
例 2.9 设总体 X 服从泊松分布
n
XXXP,,,),(
21
?? 为
其样本，样本的联合分布律为
? ?
1
1 1 2 2
1
,,,
!
n
i
i
x
n
nn n
i
i
P X x X x X x e
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1
1
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1
ln
1
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?
。
与式（ 2.9）比较有
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 23
?
?
n
eC
?
?)(,
?
?
?
n
i
i
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x
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1
21
!
1
),,,( ?,
?
?
??
n
i
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xx
n
xxxT
1
21
1
),,,( ?,
?? ln)( nb ?
。
因此，样本均值 XXXXT n ?),,,( 21 ? 是参数 ? 的充
分完备统计量。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 24
例 2,1 0 设总体 X 服从正态分布 ),,(),,(
22
????? ?N
n
XXX,,,
21
? 为其样本，它的联合分布密度为
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
???
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i
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i
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xxf
1 1
2
2
)(
2
1
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)2(
1
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,
与式（ 2.9 ）比较，有
2
2
2
2/2 )2(
1
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n
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xTTT,
)
2
,(),(
2221
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? nn
bbB ???
1),,,(
21
?
n
xxxh ? 因此,)1,(
1
2
?
?
n
i
i
X
n
X 是 ),( 2?? 的充分完备统计量，
),(
2
n
SX 也是 ),( 2?? 的充分完备统计量。
§ 2.2 充分统计量与完备统计量
一 充分统计量
在数理统计中, 由样本来推断总体的前提是：样本
包含了总体分布的信息 。 样本中包含的关于总体分布
的信息可分为：
1,关于总体结构的信息, 即反映总体分布的类型 。
如总体服从正态分布, 则来自该总体的样本相互独
立并均服从该正态分布, 即样本包含了总体分布为
正态分布的信息 。
2、关于总体未知参数的信息，这是由于样本的分
布中包含了总体分布中的未知参数。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 2
为了推断总体分布的未知参数，需要把样本中关于
未知参数的信息, 提炼, 出来，即构造合适的统计量，
显然，一个, 好, 的统计量应该能够将样本中所包含
的关于未知参数的信息全部提炼出来，而不没有任何
有用信息损失，这就是英国著名统计学家 Fisher于
1922年提出的一个重要的概念 -----充分统计量。
定义 设
nXXX,,,21 ?
为来自总体 X 的样本,X 的分
布函数为 ? ??;xF, T=T (
nXXX,,,21 ?
) 为一个统计量，
当给定 T=t 时，如果样本（
nXXX,,,21 ?
） 的条件分布
（离散总体时为条件概率，连续总体时为条件密度）
与参数 ? 无关，则称 T 为参数 ? 的 充分统计量 。
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对统计量 T,如果已知它的值以后，样本的条件分布
与 ? 无关，就意味着样本的剩余部分中已不再包含 关于 ?
的信息，也就是在 T 中已包含有关 ? 的全部信息。因此，
对 ? 的统计推断只需要从 T 出发即可，不再需要样本数据。
例, 设总体 X 服从两点分布 ( 1,)Bp,即
P( X= x) = 1( 1 )xxpp ??,x=0,1,
其中 0<p < 1,（
nXXX,,,21 ?
） 为来自总体 X 一个样本,
试证,
1
1
n
i
i
XX
n ?
? ? 是参数 p 的充分统计量,
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证明,因为 iX, ( 1,)Bp,所以
1
(,)n i
i
n X X B n p
?
? ?,,即有
( ) ( 1 ),0,1,,.k k n knP n X k C p p k n?? ? ? ? L 设 ? ?nxxx,,,21 ?,为样本观测值，其中 0,1,ix ? 如果已
知
n
k
X ? 则样本 ? ?nXXX,,,21 ? 的条件概率
1 1 2 2
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(,,,)
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如 果,
如 果,
与 p 无关，所以 X 为 p 的充分统计量,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 6
二,因子分解定理
根据充分统计量的含义，在对总体未知参数
进行推断时，应在可能的情况下尽量找出关于未
知参数的充分统计量。但从定义出发来判别一个
统计量是否是充分统计量是很麻烦的。为此，需
要一个简单的判别准则。下面给出一个定理 ——
因子分解定理,运用这个定理，判别甚至寻找一
个充分统计量有时会很方便。
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定理 2,3 （因子分解定理）
（ 1 ）连续型情况：设总体 X 具有分布密度
),,,(),;(
21 n
XXXxf ??
是一样本，
),,,(
21 n
XXXT ?
是一个统
计量，则 T 为 ? 的充分统计量的充要条件是：样本的联合分布
密度函数可以分解为
?
?
??
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nni
xxxTgxxxhxfL
1
2121
));,,,((),,,();()( ??? ??
,
(2.3)
其中 h 是
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?
的非负函数且 ? 无关，
g
仅通过 T 依赖
于
n
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21
?
。
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2 ） 离散型情况,设总体 X 的分布律为
? ?
i
P X x?
i 1 2 n
p ( x ; ) (i 1,2,),T ( X,X,,X )? ? ? LL
一个统计量，则 T 是 ? 的充
分统计量的充要条件是：样本的联合分布律可表示为
? ? ? ??
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));,,,((),,,(
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（ 2,4 ）
其中 h 是
n
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21
?
的非负函数且与 ? 无关，
g
仅通过 T 依
赖于
n
xxx,,,
21
?
。
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例 2.4 根据因子分解定理证明例 2.3。
证明 样本的联合分布律为
? ? ??????? ?? ?
n
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11 )1(,,,
2211 ? ?
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则有
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 10
? ?nn xXxXxXP ???,,,2211 ?
));,,,((),,,( 2121 pxxxTgxxxh nn ??? 由因子分解定理知,?
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1
),,,( ? 是 p 的
充分统计量。
例 2, 5 设 nXXX,,,21 ? 是来自泊松分布 )( ?P 的一个样本，
试证明样本均值 X 是 ? 的充分统计 量。
证明 样本 ),,,( 21 nXXX ? 的联合分布律为
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? ?
1
1 1 2 2
1
,,,
!
n
i
i
x
n
nn n
i
i
P X x X x X x e
x
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
L
若取
?
?
?
n
i
in xnxxxT
1
21
1),,,( ?
?
?
? n
i
i
n
x
xxxh
1
21
!
1
),,,( ?
??? nnT
n exxxTg
??));,,,((
21 ?
则 ? ?nn xXxXxXP ???,,,2211 ?
));,,,((),,,( 2121 ?nn xxxTgxxxh ???
由因子分解定理知,XXXXT n ?),,,( 21 ? 是 ? 的充分统计量。
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例 2.7 设
n
XXX,,,
21
? 是来自正态总体 ),(
2
??N 的一个
样本，试证 ),(),,,(
1
2
21 ?
?
?
n
i
in
XXXXXT ? 是关于
),(
2
??? ? 的联合充分统计量。
证明 样本的联合分布密度为
?
?
?
?
?
?
??? ?
?
n
i
in
xL
1
2
2
)(
2
1
e x p
)2(
1
)( ?
???
?
?
?
?
?
?
?
???? ?
?
n
i
in
n
x
n
x
1
2
2
2
2
2
22
1
e x p
)2(
1
?
?
?
?
???
));,,,((),,,(
2121
?
nn
xxxTgxxxh ???,
其中 1),,,( 21 ?nxxxh ?,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 13
而 ));,,,((
21
?
n
xxxTg ? 显然是 ),(
1
2?
?
?
n
i
i
xxT 和 ),( 2??? ?
的函数。
故由因子分解定理知 ),(
1
2
?
?
?
n
i
i
xXT 和 ),(
2
??? ?
的一个联合充分统计量。 此时，显然不能说 ?
?
n
i
i
x
1
2
是
2
? 的
充分统计量。
定理 2,4 设 ),,,( 21 nXXXTT ?? 是 ? 的一个充分统计量，
)( tf 是单值可逆函数，则 )( Tf 也是 ? 的充分统计量。
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三、完备统计量
为了介绍完备统计量的概念，首先需要引人完备分
布函数族的概念。
定义 2,5 设总体 X 的分布函数族为 ? ????? ),;( xF,
若对任意一个满足
? ? 0)( ?XgE
?
，对一切 ??? （ 2,5 ）
的随机变量 )( Xg,总有
? ? 10)( ??XgP
?
，对一切 ???, （ 2,6 ）
则称 ? ????? ),;( xF 为 完备 的分布函数族 。
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定义 2,6 设 ),,,(
21 n
XXX ? 为来自总体 ))(;( ????xF
的一个样本，若统计量 ),,,(
21 n
XXXTT ?? 的分布函数
族 ? ????? ),;( xF
T
是 完 备 的 分 布 函 数 族, 则 称
),,,(
21 n
XXXTT ?? 为 完备统计量 。
完备统计量的含义不如充分统计量那么明确，但由定
义可见它有如下特征,? ? 1)()(
21 ?? TgTgP ?, ??? ?
? ? ? ?)()( 21 TgETgE ?? ??, ??? ? 。 （ 2,7 ）
对于一般的统计 ),,,( 21 nXXXTT ??,总有
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? ? 1)()( 21 ?? TgTgP ?, ??? ?
? ? ? ?)()( 21 TgETgE ?? ??, ??? ?,
但反之不成立，
若 T 是完备统计量，即 T 的分布函数族是
完备分布函数族，则有由定 2.5 知，对于
? ? 0)()(
21
?? TgTgE
?
,??? ?,
总有
? ? 10)()(
21
??? TgTgP
?
,??? ?,
即式（ 2.7 ）成立。
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例 2.8 设
nXXX,,,21 ?
是来自两点分布 ),1( pB 的样本。
由例 2.3 知 ?
?
?
n
i
i
X
n
X
1
1
是 的 p 充分统计量。下面验证 X 也
是完备统计量。
由于 n
i
i1
n X X
?
? ? 服从二项分布 ),( pnB,故 X 的分布律为
knkk
n
ppC
n
k
XP ???
?
?
?
?
?
?
? )1(,.10;,,2,1,0 ??? pnk ?
设 )( Xg 使得
? ? ?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
n
k
knkk
np
ppC
n
k
gXgE
0
0)1()(,对一切 10 ?? p,
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即
0
1
)1(
0
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
k
k
n
n
k
n
p
p
C
n
k
gp,对一切 10 ?? p
或
0
10
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
k
k
n
n
k p
p
C
n
k
g,对一切 10 ?? p 。
上式是关于 ?
?
?
?
?
?
? p
p
1
的多项式，对一切 10 ?? p 要使多项式值
为零，只能是它的每项系数为零，即 ),,2,1,0(0 nk
n
k
g ????
?
?
?
?
?
。
所以 X 是完备统计量。
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如果一个统计量既是充分的，又是完备的，
则称为 充分完备统计量 。在寻求总体分布中未
知参数的优良估计中，充分完备统计量扮演着
重要的角色。
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四、指数型分布族
要判断一个统计量 ),,,(
21 n
XXXTT ?? 是否为参数 ? 的
充分统计量和完备统计量，一般是很复杂的。现介绍一
类有很好的统计和数学性质，因而得到广泛应用的分布
族 —— 指数型分布族 。它包含了一些常用分布，如泊松
分布、正态分布、指数分布、二项分布和 ? 分布等，对这
类分布族，寻找参数的充分完备统计量是方便的。
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定理 2,7 设总体 X 的分布密度
);( ?xf
为指数型分布
族，即样本的联合分布密度具有如下形式,
? ?2, 9 ),,,,(
),,,()(e x p)();(
21
1 1
21
n
n
i
m
j
njj
xxxh
xxxTbCxf
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
???
其中
),,,(
21 m
???? ??
,??? 。如果 ? 中包含有一个 m 维矩形，
而且
))(,),(),((
21
???
m
bbbB ??
的值域包含一个 m 维开集，则
)),,,(),,,,(),,,,((
21212211 nmnn
XXXTXXXTXXXTT ?????
是参数
),,,(
21 m
???? ??
的充分完备统计量。
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例 2.9 设总体 X 服从泊松分布
n
XXXP,,,),(
21
?? 为
其样本，样本的联合分布律为
? ?
1
1 1 2 2
1
,,,
!
n
i
i
x
n
nn n
i
i
P X x X x X x e
x
?
?
?
?
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L
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i
n
i
i
n
x
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n
e
1
1
!
1
ln
1
e x p ?
?
。
与式（ 2.9）比较有
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?
?
n
eC
?
?)(,
?
?
?
n
i
i
n
x
xxxh
1
21
!
1
),,,( ?,
?
?
??
n
i
in
xx
n
xxxT
1
21
1
),,,( ?,
?? ln)( nb ?
。
因此，样本均值 XXXXT n ?),,,( 21 ? 是参数 ? 的充
分完备统计量。
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例 2,1 0 设总体 X 服从正态分布 ),,(),,(
22
????? ?N
n
XXX,,,
21
? 为其样本，它的联合分布密度为
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
???
n
i
n
i
ini
xxf
1 1
2
2
)(
2
1
e x p
)2(
1
),( ?
???
?
?
?
?
?
?
?
??? ?
?
?
x
n
x
n
n
e
n
i
i
n
n 2
1
2
2
2
2/2
)
1
(
2
e x p
)2(
1
2
2
?
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???
?
?
,
与式（ 2.9 ）比较，有
2
2
2
2/2 )2(
1
)( ?
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??
?
n
n
eC
?
?,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 25
)
1
,(),(
1
2
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i
i
x
n
xTTT,
)
2
,(),(
2221
??
? nn
bbB ???
1),,,(
21
?
n
xxxh ? 因此,)1,(
1
2
?
?
n
i
i
X
n
X 是 ),( 2?? 的充分完备统计量，
),(
2
n
SX 也是 ),( 2?? 的充分完备统计量。
