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§ 1.3 常用分布族
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二项分布
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例 1 设生男孩的概率为 p,生女孩的概率为
q=1-p,令 X表示随机抽查出生的 4个婴儿
中“男孩”的个数,
一、贝努里概型和二项分布
我们来求 X的概率分布,
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4,3,2,1,0,)1(}{ 44 ???? ? kppCkXP kkk
X的概率函数是：
男 女
X表示随机抽查的 4个婴儿中男孩的个数，
生男孩的概率为 p.
X=0 X =1 X =2 X =3 X =4
X可取值 0,1,2,3,4.
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例 2 将 一枚均匀骰子抛掷 3次，
令 X 表示 3次中出现,4” 点的次数
3,2,1,0,)
6
5()
6
1(}{ 3
3 ???
? kCkXP kkk
X的概率函数是：
不难求得，
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掷骰子：“掷出 4点”，,未掷出 4点,
一般地,设在一次试验中我们只考虑两个
互逆的结果,A或, 或者形象地把两个互
逆结果叫做, 成功, 和, 失败,,
A
新生儿：“是男孩”，,是女孩,
抽验产品：“是正品”，,是次品,
?
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这样的 n次独立重复试验称作 n重贝努里
试验，简称贝努里试验或 贝努里概型,
再设我们重复地进行 n次独立试验 (,重
复, 是指这次试验中各次试验条件相同 )，
每次试验成功的概率都是 p，失败的概率
都是 q=1-p.
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用 X表示 n重贝努里试验中事件 A（ 成功 ）
出现的次数，则
nkppCkXP knkkn,,1,0,)1()( ????? ?
1)(
0
?
?
??
n
k
kXP（ 2）
不难验证,0)( ?? kXP（ 1）
称 r.vX服从参数为 n和 p的二项分布，记作
X~B(n,p)
当 n=1时，
P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1
称 X服从 0-1分布
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007125.0)95.0()05.0()2( 223 ??? CXP
例 3 已知 100个产品中有 5个次品，现从中
有放回 地取 3次，每次任取 1个，求在所取
的 3个中恰有 2个次品的概率,
解, 因为这是有放回地取 3次，因此这 3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验,
依题意，每次试验取到次品的概率为 0.05.
设 X为所取的 3个中的次品数，
于是，所求概率为,则 X ~ B (3,0.05)，
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注：若 将本例中的“有放回”改为”无放
回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝
努里概型，此时，只能用古典概型求解,
古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
0 0 6 1 8.0)2( 3
100
2
5
1
95 ???
C
CC
XP
请思考：
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贝努里概型对试验结果没有等可能的
要求，但有下述要求：
（ 1）每次试验条件相同；
二项分布描述的是 n重贝努里试验中出现
“成功”次数 X的概率分布,
（ 2）每次试验只考虑两个互逆结果 A或,A
且 P(A)=p, ； pAP ?? 1)(
（ 3）各次试验相互独立,
可以简单地说，
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例 4 某类灯泡使用时数在 1000小时以上
的概率是 0.2，求三个灯泡在使用 1000
小时以后最多只有一个坏了的概率,
解, 设 X为三个灯泡在使用 1000小时已 坏
的灯泡数, X ~ B (3,0.8)，
把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验,
“使用到 1000小时已坏”
视为“成功”,每次试验,
“成功”的概率为 0.8
P(X 1) =P(X=0)+P(X=1)?
=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2
=0.104
,)2.0()8.0()( 33 kkkCkXP ??? 3,2,1,0?k
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对于固定 n及 p，当 k增
加时,概率 P(X=k) 先是随
之增加直至 达到最大值,
随后单调减少,
二项分布的图形特点,X~B(n,p)
当 (n+1)p不为整数时，二项概
率 P(X=k)在 k=[(n+1)p]达到最
大值；
( [x] 表示不超过 x 的最大整数 )
...
n=10,p=0.7
n
Pk
0
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对于固定 n及 p，当 k增
加时,概率 P(X=k) 先是随
之增加直至 达到最大值,
随后单调减少,
二项分布的图形特点,X~B(n,p)
当 (n+1)p为整数时，二项概率 P(X=k)
在 k=(n +1)p和 k =(n+1)p-1处达到最大
值,
课下请自行证明上述结论,
n=13,p=0.5
Pk
n.,,.0
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二、二项分布的泊松近似
当试验次数 n很大时，计算二项概率变
得很麻烦，如教材例 4中，要计算
我们先来介绍 二项分布的泊松近似，
后面第十七讲中，我们将介绍二项分布的
正态近似,
kk
k
k
k
CkXPXP ?
??
?? ???? 5000
5000
6
5000
5000
6
)
1000
999()
1000
1()()5(
或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法,
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证明见教材,
定理的条件意味着当 n很大时, pn 必定
很小, 因此, 泊松定理表明, 当 n 很大, p
很小时有以下近似式：
!
)1(
k
eppC kknkk
n
?? ?
? ??
其中 np??
泊松定理
设 是一个正整数，,则有
?,2,1,0,
!
)1(lim ??? ??
??
k
k
eppC
k
kn
n
k
n
k
nn
??
np n
???
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?n 100,np 10 时近似效果就很好?
实际计算中，
!
)1(
k
eppC kknkk
n
?? ?
? ?? 其中 np??
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此例说明，当 p不是很小，而是很大 ( 接
近于 1)，可将问题略为转换一下，仍然可以
应用泊松近似,
当 n很大时,p不是很小，而是很大 ( 接
近于 1)时,能否应用二项分布的泊松近似？
请看教材例 5.
下面我们看一个应用例子,
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例 5 为保证设备正常工作，需要配备适量
的维修人员, 设共有 300台设备，每台的工
作相互独立，发生故障的概率都是 0.01.若
在通常的情况下，一台设备的故障可由一
人来处理, 问至少应配备多少维修人员，
才能保证当设备发生故障时不能及时维修
的概率小于 0.01?
我们先对题目进行分析：
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300台设备，独立工作，出故障概率都是
0.01,一台设备故障一人来处理,
问至少配备多少维修人员，才能保证当设
备发生故障时不能及时维修的概率小于 0.01?
设 X为 300台设备同时发生故障的台数，
300台设备，独立工作，每台出故障概率
p=0.01, 可看作 n=300的贝努里概型,
X~B(n,p),n=300,p=0.01可见，
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300台设备，独立工作，出故障概率都是
0.01, 一台设备故障一人来处理,
问至少配备多少维修人员，才能保证当设
备发生故障时不能及时维修的概率小于 0.01?
设 X为 300台设备同时发生故障的台数，
X~B(n,p),n=300,p=0.01
设需配备 N个维修人员,所求的是满足
P(X>N) < 0.01 或 P(X N) 0.99 ??
的最小的 N.
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解：设 X为 300台设备同时发生故障的台数，
X~B(n,p),n=300,p=0.01
设需配备 N个维修人员,所求的是满足
P(X>N) < 0.01的最小的 N,
P(X>N) kk
Nk
kC ?
??
?? 300
300
1
300 )99.0()01.0(
?
??
?
?
3 0 0
1
3
!
3
Nk
k
k
e
n大,p小,np=3,
用 =np=3
的泊松近似
?
下面给出正式求解过程：
?
?
??
?
?
1
3
!
3
Nk
k
k
e
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即至少需配备 8个维修人员,
查书末的泊松分布表得
N+1 9,? 即 N 8?
我们求满足 ??
??
?
?
1
3
01.0
!
3
Nk
k
k
e 的最小的 N.
,0 0 3 8.0
!
3
9
3
?
?
?
?
?
k
k
k
e,012.0
!
3
8
3
?
?
?
?
?
k
k
k
e
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这一讲，我们介绍了二项分布,
二项分布是实际中最常见的离散型分布之一,
二项分布描述的是 n重贝努里试验中出现
“成功”次数 X的概率分布,
我们介绍了二项分布的泊松近似，
使用时应注意条件,
在解应用题时需要注意判断问题是否
为 贝努里概型, 可否用二项分布求解,
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泊松分布
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让我们回忆一下上一讲介绍的泊松定理：
等式右端给出的概率分布, 是又一种重要
的离散型分布,泊松分布
设 是一个正整数，,则有
?,2,1,0,
!
)1(lim ??? ??
??
k
k
eppC
k
kn
n
k
n
k
nn
??
np n
???
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三, 泊松分布的定义及图形特点
,,,,,
!
)( ??210??? ? k
k
ekXP
k?
?
设随机变量 X所有可能取的值为 0,1,
2,…,且概率分布为：
其中 >0 是常数,则称 X 服从参数为 的
泊松分布,记作 X~P( ).λλ λ
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请看演示
泊松分布的图形特点,X~P( )λ
泊松分布
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历史上，泊松分布是作为二项分布的近
似，于 1837年由法国数学家泊松引入的,
近数十年来, 泊松分布 日益显示
其重要性,成为概率论中最重要的几
个分布之一,
在实际中，许多随机现象服从或近
似服从泊松分布,
四、二项分布与泊松分布
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由泊松定理,n重贝努里试验中 稀有事件
出现的次数近似地服从泊松分布,
“二项分布与泊松分布,
我们把在每次试验中出现概率很小的事
件称作 稀有事件,
如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等
请看演示
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在自然界和人们的现实生活中,经常要遇
到在随机时刻出现的某种事件,我们把在随机
时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机
事件流,
若事件流具有平稳性、无后效性、普通性，
则称该事件流为泊松事件流（ 泊松流 ）,
五, 泊松分布产生的一般条件
下面简要解释 平稳性、无后效性、普通性,
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平稳性,
在任意时间区间内，事件发生 k次 (k≥0)的
概率只依赖于区间长度而与区间端点无关,
无后效性,
普通性,
在不相重叠的时间段内，事件的发生是相
互独立的,
如果时间区间充分小，事件出现两次或
两次以上的概率可忽略不计,
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都可以看作泊松流,
某电话交换台收到的电话呼叫数；
到某机场降落的飞机数 ;
一个售货员接待的顾客数 ;
一台纺纱机的断头数 ; …
一放射性源放射出的 粒子数；?
例如
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对泊松流,在任意时间间隔 (0,t)内,事件
(如交通事故 )出现的次数服从参数为 t 的
泊松分布, 称为泊松流的强度,
λ
λ
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例 1 一家商店采用科学管理，由该商店过
去的销售记录知道，某种商品每月的销售
数可以用参数 λ =5的泊松分布来描述，为
了以 95%以上的把握保证不脱销，问商店
在月底至少应进 某种商品多少件？
解, 设该商品每月的销售数为 X,
已知 X服从参数 λ =5的泊松分布,
设商店在月底应进 某种商品 m件,
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的 m,
进货数销售数
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求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的 m.
查泊松分布表得
,0 3 2.0
!
5
10
5
?
?
?
?
?
k
k
k
e
P(X>m) ≤ 0.05也即
068.0
!
5
9
5
?
?
?
?
?
k
k
k
e
于是得 m+1=10,
?
?
??
?
?
1
5
05.0
!
5
mk
k
k
e或
m=9件
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这一讲，我们介绍了 泊松分布
我们给出了泊松分布产生的一般条件
n重贝努里试验中 稀有事件 出现的次数近
似地服从泊松分布,
泊松分布在管理科学、运筹学以及自然
科学的某些问题中都占有重要的地位,
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正态分布
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正态分布是应用最
广泛的一种连续型分布,
正态分布在十九世纪前叶由
高斯加以推广，所以通常称为高
斯分布,
德莫佛
德莫佛最早发现了二项概
率的一个近似公式，这一公式
被认为是 正态分布的首次露面,
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不知你们是否注意到街头的一种赌博
活动? 用一个钉板作赌具。
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也许很多人不相信, 玩这种赌博游
戏十有八九是要输掉的, 不少人总
想碰碰运气, 然而中大奖的概率实
在是太低了 。
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平时, 我们很少有人会去关心小球
下落位置的规律性, 人们可能不相信
它是有规律的 。 一旦试验次数增多并
且注意观察的话, 你就会发现, 最后
得出的竟是一条优美的曲线 。
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高
尔
顿
钉
板
试
验
这条曲线就近似我们将要介绍的 正态分布 的
密度曲线。
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正态分布的定义是什么呢？
对于连续型随机变量，一般是给出
它的 概率密度函数 。
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一, 正态分布的定义
若 r.v X的 概率密度为
),(~ 2??NX记作
f (x)所确定的曲线叫作 正态曲线,
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
其中 和 都是常数,任意,>0，
则称 X服从参数为 和 的正态分布,
?2??
? 2?
?
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正态分布有些什么性质呢？
由于连续型随机变量唯一地由它
的密度函数所描述，我们来看看正态
分布的密度函数有什么特点。
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二, 正态分布 的图形特点),( 2??N
正态分布的密度曲线是一条关于 对
称的钟形曲线,
?
特点是,两头小，中间大，左右对称,,
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决定了图形的中心位置,决定了图形
中峰的陡峭程度,?
?
正态分布 的图形特点),( 2??N
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能不能根据密度函数的表达式，
得出正态分布的图形特点呢？
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
容易看到,f(x)≥0
即整个概率密度曲线都在 x轴的上方 ;
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 50
故 f(x)以 μ为对称轴，并在 x=μ处达到最大
值,
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
令 x=μ+c,x=μ-c (c>0),分别代入 f (x),可
得
f (μ+c)=f (μ-c)
且 f (μ+c) ≤f (μ),f (μ-c)≤f (μ)
1()
2
f ?
??
?
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这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越
贴近 x轴。即 f (x)以 x轴为渐近线。
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
当 x→ ?∞ 时,f(x) → 0,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 52
用求导的方法可以证明，
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
为 f (x)的两个拐点的横坐标。
x = μ? σ
这是高等数学的内容，如果忘记了，课下
再复习一下。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 53
根据对密度函数的分析，也可初步画出正
态分布的概率密度曲线图。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 54
回忆我们在本章第三讲中遇到过的
年降雨量问题, 我们用上海 99年年降雨
量的数据画出了频率直方图 。
从直方图，我们可以初步看出，年降
雨量近似服从正态分布。
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下面是我们用某大学男大学生的身高
的数据画出的频率直方图。
红线 是拟
合的正态
密度曲线
可见，某大学男大学生的身高
应服从正态分布。
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人的身高高低不等, 但中等身材的占大
多数, 特高和特矮的只是少数, 而且较
高和较矮的人数大致相近, 这从一个方
面反映了服从正态分布的随机变量的特
点 。
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请同学们想一想, 实际生活中具有这
种特点的随机变量还有那些呢？
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除了我们在前面遇到过的年降雨量和
身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，
如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作
物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，
射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等
等，都服从或近似服从正态分布,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 59
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
服从正态分布 的随机变量
X的 概率密度是
),( 2??N
X的分布函数 P(X≤x)是怎样的呢？
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 60
设 X~,),( 2??N X的分布函数是
?????? ?
??
?
?
xdtexF
x
t
,)(
)(
2
2
2
2
1 ??
??
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 61
正态分布由它的两个参数 μ和 σ唯
一确定,当 μ和 σ不同时，是不同的正
态分布。
标准正态分布
下面我们介绍一种最重要的正态分布
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 62
dtex
x t
? ??
?
?? 2
2
2
1)(
?
三、标准正态分布
1,0 ?? ?? 的正态分布称为标准正态分布,
??????
?
xex
x
,
2
1)( 2
2
?
?
其密度函数和分布函数常用 和 表示：)(x? )(x?
)(x?
)(x?
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它的依据是下面的定理：
标准正态分布的重要性在于,任何一个
一般的正态分布都可以通过线性变换转化为
标准正态分布,
根据定理 1,只要将标准正态分布的分布
函数制成表，就可以解决一般正态分布的概
率计算问题,
),(~ 2??NX
?
??? XY,则 ~N(0,1)设
定理 1
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 64
书末附有标准正态分布函数数值表，有了
它，可以解决一般正态分布的概率计算查表,
四、正态分布表
)(1)( xx ?????
dtex
x
t
? ??
?
?? 2
2
2
1
)(
?
表中给的是 x>0时,Φ(x)的值,
当 -x<0时
x? x
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 65
),,(~ 2??NX若
?
??? XY ~N(0,1)
若 X～ N(0,1),
)(
?
?
?
? ????? bYaP)( bXaP ??
)()()( abbXaP ??????
)()(
?
?
?
? ?????? ab
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由标准正态分布的查表计算可以求得，
这说明,X的取值几乎全部集中在 [-3,3]区间
内，超出这个范围的可能性仅占不到 0.3%.
当 X～ N(0,1)时，
P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826? ?
? ?P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544
? ?P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974
五,3 准则?
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将上述结论推广到一般的正态分布,
),(~ 2??NY 时，
6 8 2 6.0)|(| ??? ??YP
9544.0)2|(| ??? ??YP
9 9 7 4.0)3|(| ??? ??YP
可以认为,Y 的取值几乎全部集中在
]3,3[ ???? ?? 区间内,
这在统计学上称作, 3 准则,
（三倍标准差原则）,
?
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上一讲我们已经看到，当 n很大,p接
近 0或 1时，二项分布近似泊松分布 ; 如果
n很大，而 p不接近于 0或 1，那么可以证明，
二项分布近似于正态分布,
下面我们不加证明地介绍有关 二项分
布近似于正态分布 的一个定理，称为 棣莫
佛－拉普拉斯定理, 它是第五章要介绍的
中心极限定理的一个最重要的特殊情况,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 69
六、二项分布的正态近似
定理 (棣莫佛－拉普拉斯定理）
}
)1(
{lim x
pnp
npYP n
n
?
?
?
??
设随机变量 服从参数 n,p(0<p<1)的
二项分布，则对任意 x，有
nY
dte
x
t
? ??
?
? 2
2
2
1
?
定理表明，当 n很大,0<p<1是一个定值
时（或者说,np(1-p)也不太小时）,二项 变
量 的 分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
nY
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实用中,n 30,np 10时正态近
似的效果较好,
? ?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 71
例 1 将一枚硬币抛掷 10000次，出现正面 5800
次，认为这枚硬币不均匀是否合理?
试说明理由,
解, 设 X为 10000次试验中出现正面的次数，
采用正态近似,np=5000,np(1-p)=2500,
若硬币是均匀的, X~B(10000,0.5),
50
5 0 0 0
)1(
??
?
? X
pnp
npX
近似正态分布 N(0,1).
即
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 72
=1-Φ(16)
)50 5 0 0 05 8 0 0(1 ????
≈0
此概率接近于 0，故认为这枚硬币不均匀
是合理的,
P(X≥5800) =1-P(X<5800)
50
5 0 0 0
)1(
??
?
? X
pnp
npX 近似正态分布 N(0,1).
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 73
例 2 公共汽车车门的高度是按男子与车门
顶头碰头机会在 0.01以下来设计的,设男子
身高 X～ N(170,62),问车门高度应如何确定?
解, 设车门高度为 h cm,按设计要求
P(X≥ h)≤0.01
或 P(X< h)≥ 0.99，
下面我们来求满足上式的最小的 h.
再看一个应用正态分布的例子,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 74
因为 X～ N(170,62),)1,0(~
6
1 70 NX ?
)6170( ?? h ?故 P(X< h)= 0.99
?查表得 (2.33)=0.9901>0.99
6
170?h所以 =2.33,
即 h=170+13.98 184?
设计车门高度为
184厘米时，可使
男子与车门碰头
机会不超过 0.01.
P(X< h ) 0.99?求满足 的最小的 h,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 75
统计三大分布
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 76
)(~ 22 n??记为
2? 分布1、
定义,设 相互独立,都服从正态
分布 N(0,1),则称随机变量：
所服从的分布为自由度为 n 的 分布,
nXXX,,,21 ?
22
2
2
1
2
nXXX ???? ??
2?
2? 分布是由正态分布派生出来的一种分布,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 77
2? 分布的密度函数为
?
?
?
?
?
?
?
??
??
00
0
)2(2
1
);(
2
1
2
2
x
xex
nnxf
xn
n
来定义,
其中伽玛函数 通过积分
0,)(
0
1 ??? ? ? ?? xdttex xt
)(x?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 78
2?由 分布的定义，不难得到：
),,( 2??N
1,设 相互独立,都服从正态分布
nXXX,,,21 ?
则
)(~)(1 2
1
2
2
2 nX
n
i
i ???? ?
?
??
)(~ 21221 nnXX ?? ?
),(~),(~ 222121 nXnX ??2,设 且 X1,X2相互
独立，则
这个性质叫 分布的可加性,2?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 79
应用中心极限定理可得，若
,则当 n充分大时,)(~ 2 nX ?若
n
nX
2
? 的分布近似正态分布 N(0,1).
则 可以求得,E(X)=n,D(X)=2n
),(~ 2 nX ?若
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 80
T的密度函数为：
2
12
)1(
)2(
]2)1[();( ???
?
??? n
n
x
nn
nnxf
?
记为 T～ t(n).
定义, 设 X～ N(0,1),Y～,且 X与 Y相互
独立, 则称变量
nY
XT ?
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布,
)(2 n?
2,t 分布
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 81
具有自由度为 n的 t分布的随机变量 T的数
学期望和方差为,
E(T)=0; D(T)=n / (n-2),对 n >2
当 n充分大时，其图形类似于标准正态分
布密度函数的图形,
0);( ?
??
nxfL im
x
t分布的密度函数关于 x=0对称，且
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 82
由定义可见，
3,F分布
),(~),(~ 2212 nYnX ??
?定义, 设 X与 Y相互
独立，则称统计量
服从自由度为 n1及 n2 的 F分布,n1称为第
一自由度,n2称为第二自由度，记作
F~F(n1,n2),
2
1
nY
nXF ?
1
21
nX
nY
F ?
~F(n2,n1)
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 83
即它的数学期望并不依赖于第一自由度 n1.
? ?
??
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
? ?
00
01))((
)()(
)(
),;(
2
22
2
21
21
2
1
1
2
1
2
1
2
1
21
21
x
xxx
nnxf
nn
n
n
n
n
n
n
nn
nn n
X的数学期望为,
2)( 2
2
?? n
nXE 若 n
2>2
若 X~F(n1,n2),X的概率密度为
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 84
统计三大分布的定义、基本性质在
后面的学习中经常用到，要牢记 ！！
§ 1.3 常用分布族
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 2
二项分布
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 3
例 1 设生男孩的概率为 p,生女孩的概率为
q=1-p,令 X表示随机抽查出生的 4个婴儿
中“男孩”的个数,
一、贝努里概型和二项分布
我们来求 X的概率分布,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 4
4,3,2,1,0,)1(}{ 44 ???? ? kppCkXP kkk
X的概率函数是：
男 女
X表示随机抽查的 4个婴儿中男孩的个数，
生男孩的概率为 p.
X=0 X =1 X =2 X =3 X =4
X可取值 0,1,2,3,4.
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 5
例 2 将 一枚均匀骰子抛掷 3次，
令 X 表示 3次中出现,4” 点的次数
3,2,1,0,)
6
5()
6
1(}{ 3
3 ???
? kCkXP kkk
X的概率函数是：
不难求得，
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 6
掷骰子：“掷出 4点”，,未掷出 4点,
一般地,设在一次试验中我们只考虑两个
互逆的结果,A或, 或者形象地把两个互
逆结果叫做, 成功, 和, 失败,,
A
新生儿：“是男孩”，,是女孩,
抽验产品：“是正品”，,是次品,
?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 7
这样的 n次独立重复试验称作 n重贝努里
试验，简称贝努里试验或 贝努里概型,
再设我们重复地进行 n次独立试验 (,重
复, 是指这次试验中各次试验条件相同 )，
每次试验成功的概率都是 p，失败的概率
都是 q=1-p.
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 8
用 X表示 n重贝努里试验中事件 A（ 成功 ）
出现的次数，则
nkppCkXP knkkn,,1,0,)1()( ????? ?
1)(
0
?
?
??
n
k
kXP（ 2）
不难验证,0)( ?? kXP（ 1）
称 r.vX服从参数为 n和 p的二项分布，记作
X~B(n,p)
当 n=1时，
P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1
称 X服从 0-1分布
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 9
007125.0)95.0()05.0()2( 223 ??? CXP
例 3 已知 100个产品中有 5个次品，现从中
有放回 地取 3次，每次任取 1个，求在所取
的 3个中恰有 2个次品的概率,
解, 因为这是有放回地取 3次，因此这 3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验,
依题意，每次试验取到次品的概率为 0.05.
设 X为所取的 3个中的次品数，
于是，所求概率为,则 X ~ B (3,0.05)，
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 10
注：若 将本例中的“有放回”改为”无放
回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝
努里概型，此时，只能用古典概型求解,
古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
0 0 6 1 8.0)2( 3
100
2
5
1
95 ???
C
CC
XP
请思考：
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 11
贝努里概型对试验结果没有等可能的
要求，但有下述要求：
（ 1）每次试验条件相同；
二项分布描述的是 n重贝努里试验中出现
“成功”次数 X的概率分布,
（ 2）每次试验只考虑两个互逆结果 A或,A
且 P(A)=p, ； pAP ?? 1)(
（ 3）各次试验相互独立,
可以简单地说，
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 12
例 4 某类灯泡使用时数在 1000小时以上
的概率是 0.2，求三个灯泡在使用 1000
小时以后最多只有一个坏了的概率,
解, 设 X为三个灯泡在使用 1000小时已 坏
的灯泡数, X ~ B (3,0.8)，
把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验,
“使用到 1000小时已坏”
视为“成功”,每次试验,
“成功”的概率为 0.8
P(X 1) =P(X=0)+P(X=1)?
=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2
=0.104
,)2.0()8.0()( 33 kkkCkXP ??? 3,2,1,0?k
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 13
对于固定 n及 p，当 k增
加时,概率 P(X=k) 先是随
之增加直至 达到最大值,
随后单调减少,
二项分布的图形特点,X~B(n,p)
当 (n+1)p不为整数时，二项概
率 P(X=k)在 k=[(n+1)p]达到最
大值；
( [x] 表示不超过 x 的最大整数 )
...
n=10,p=0.7
n
Pk
0
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 14
对于固定 n及 p，当 k增
加时,概率 P(X=k) 先是随
之增加直至 达到最大值,
随后单调减少,
二项分布的图形特点,X~B(n,p)
当 (n+1)p为整数时，二项概率 P(X=k)
在 k=(n +1)p和 k =(n+1)p-1处达到最大
值,
课下请自行证明上述结论,
n=13,p=0.5
Pk
n.,,.0
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二、二项分布的泊松近似
当试验次数 n很大时，计算二项概率变
得很麻烦，如教材例 4中，要计算
我们先来介绍 二项分布的泊松近似，
后面第十七讲中，我们将介绍二项分布的
正态近似,
kk
k
k
k
CkXPXP ?
??
?? ???? 5000
5000
6
5000
5000
6
)
1000
999()
1000
1()()5(
或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 16
证明见教材,
定理的条件意味着当 n很大时, pn 必定
很小, 因此, 泊松定理表明, 当 n 很大, p
很小时有以下近似式：
!
)1(
k
eppC kknkk
n
?? ?
? ??
其中 np??
泊松定理
设 是一个正整数，,则有
?,2,1,0,
!
)1(lim ??? ??
??
k
k
eppC
k
kn
n
k
n
k
nn
??
np n
???
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 17
?n 100,np 10 时近似效果就很好?
实际计算中，
!
)1(
k
eppC kknkk
n
?? ?
? ?? 其中 np??
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 18
此例说明，当 p不是很小，而是很大 ( 接
近于 1)，可将问题略为转换一下，仍然可以
应用泊松近似,
当 n很大时,p不是很小，而是很大 ( 接
近于 1)时,能否应用二项分布的泊松近似？
请看教材例 5.
下面我们看一个应用例子,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 19
例 5 为保证设备正常工作，需要配备适量
的维修人员, 设共有 300台设备，每台的工
作相互独立，发生故障的概率都是 0.01.若
在通常的情况下，一台设备的故障可由一
人来处理, 问至少应配备多少维修人员，
才能保证当设备发生故障时不能及时维修
的概率小于 0.01?
我们先对题目进行分析：
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 20
300台设备，独立工作，出故障概率都是
0.01,一台设备故障一人来处理,
问至少配备多少维修人员，才能保证当设
备发生故障时不能及时维修的概率小于 0.01?
设 X为 300台设备同时发生故障的台数，
300台设备，独立工作，每台出故障概率
p=0.01, 可看作 n=300的贝努里概型,
X~B(n,p),n=300,p=0.01可见，
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 21
300台设备，独立工作，出故障概率都是
0.01, 一台设备故障一人来处理,
问至少配备多少维修人员，才能保证当设
备发生故障时不能及时维修的概率小于 0.01?
设 X为 300台设备同时发生故障的台数，
X~B(n,p),n=300,p=0.01
设需配备 N个维修人员,所求的是满足
P(X>N) < 0.01 或 P(X N) 0.99 ??
的最小的 N.
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 22
解：设 X为 300台设备同时发生故障的台数，
X~B(n,p),n=300,p=0.01
设需配备 N个维修人员,所求的是满足
P(X>N) < 0.01的最小的 N,
P(X>N) kk
Nk
kC ?
??
?? 300
300
1
300 )99.0()01.0(
?
??
?
?
3 0 0
1
3
!
3
Nk
k
k
e
n大,p小,np=3,
用 =np=3
的泊松近似
?
下面给出正式求解过程：
?
?
??
?
?
1
3
!
3
Nk
k
k
e
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 23
即至少需配备 8个维修人员,
查书末的泊松分布表得
N+1 9,? 即 N 8?
我们求满足 ??
??
?
?
1
3
01.0
!
3
Nk
k
k
e 的最小的 N.
,0 0 3 8.0
!
3
9
3
?
?
?
?
?
k
k
k
e,012.0
!
3
8
3
?
?
?
?
?
k
k
k
e
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 24
这一讲，我们介绍了二项分布,
二项分布是实际中最常见的离散型分布之一,
二项分布描述的是 n重贝努里试验中出现
“成功”次数 X的概率分布,
我们介绍了二项分布的泊松近似，
使用时应注意条件,
在解应用题时需要注意判断问题是否
为 贝努里概型, 可否用二项分布求解,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 25
泊松分布
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 26
让我们回忆一下上一讲介绍的泊松定理：
等式右端给出的概率分布, 是又一种重要
的离散型分布,泊松分布
设 是一个正整数，,则有
?,2,1,0,
!
)1(lim ??? ??
??
k
k
eppC
k
kn
n
k
n
k
nn
??
np n
???
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 27
三, 泊松分布的定义及图形特点
,,,,,
!
)( ??210??? ? k
k
ekXP
k?
?
设随机变量 X所有可能取的值为 0,1,
2,…,且概率分布为：
其中 >0 是常数,则称 X 服从参数为 的
泊松分布,记作 X~P( ).λλ λ
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 28
请看演示
泊松分布的图形特点,X~P( )λ
泊松分布
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 29
历史上，泊松分布是作为二项分布的近
似，于 1837年由法国数学家泊松引入的,
近数十年来, 泊松分布 日益显示
其重要性,成为概率论中最重要的几
个分布之一,
在实际中，许多随机现象服从或近
似服从泊松分布,
四、二项分布与泊松分布
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 30
由泊松定理,n重贝努里试验中 稀有事件
出现的次数近似地服从泊松分布,
“二项分布与泊松分布,
我们把在每次试验中出现概率很小的事
件称作 稀有事件,
如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等
请看演示
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 31
在自然界和人们的现实生活中,经常要遇
到在随机时刻出现的某种事件,我们把在随机
时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机
事件流,
若事件流具有平稳性、无后效性、普通性，
则称该事件流为泊松事件流（ 泊松流 ）,
五, 泊松分布产生的一般条件
下面简要解释 平稳性、无后效性、普通性,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 32
平稳性,
在任意时间区间内，事件发生 k次 (k≥0)的
概率只依赖于区间长度而与区间端点无关,
无后效性,
普通性,
在不相重叠的时间段内，事件的发生是相
互独立的,
如果时间区间充分小，事件出现两次或
两次以上的概率可忽略不计,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 33
都可以看作泊松流,
某电话交换台收到的电话呼叫数；
到某机场降落的飞机数 ;
一个售货员接待的顾客数 ;
一台纺纱机的断头数 ; …
一放射性源放射出的 粒子数；?
例如
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 34
对泊松流,在任意时间间隔 (0,t)内,事件
(如交通事故 )出现的次数服从参数为 t 的
泊松分布, 称为泊松流的强度,
λ
λ
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 35
例 1 一家商店采用科学管理，由该商店过
去的销售记录知道，某种商品每月的销售
数可以用参数 λ =5的泊松分布来描述，为
了以 95%以上的把握保证不脱销，问商店
在月底至少应进 某种商品多少件？
解, 设该商品每月的销售数为 X,
已知 X服从参数 λ =5的泊松分布,
设商店在月底应进 某种商品 m件,
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的 m,
进货数销售数
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 36
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的 m.
查泊松分布表得
,0 3 2.0
!
5
10
5
?
?
?
?
?
k
k
k
e
P(X>m) ≤ 0.05也即
068.0
!
5
9
5
?
?
?
?
?
k
k
k
e
于是得 m+1=10,
?
?
??
?
?
1
5
05.0
!
5
mk
k
k
e或
m=9件
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 37
这一讲，我们介绍了 泊松分布
我们给出了泊松分布产生的一般条件
n重贝努里试验中 稀有事件 出现的次数近
似地服从泊松分布,
泊松分布在管理科学、运筹学以及自然
科学的某些问题中都占有重要的地位,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 38
正态分布
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 39
正态分布是应用最
广泛的一种连续型分布,
正态分布在十九世纪前叶由
高斯加以推广，所以通常称为高
斯分布,
德莫佛
德莫佛最早发现了二项概
率的一个近似公式，这一公式
被认为是 正态分布的首次露面,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 40
不知你们是否注意到街头的一种赌博
活动? 用一个钉板作赌具。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 41
也许很多人不相信, 玩这种赌博游
戏十有八九是要输掉的, 不少人总
想碰碰运气, 然而中大奖的概率实
在是太低了 。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 42
平时, 我们很少有人会去关心小球
下落位置的规律性, 人们可能不相信
它是有规律的 。 一旦试验次数增多并
且注意观察的话, 你就会发现, 最后
得出的竟是一条优美的曲线 。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 43
高
尔
顿
钉
板
试
验
这条曲线就近似我们将要介绍的 正态分布 的
密度曲线。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 44
正态分布的定义是什么呢？
对于连续型随机变量，一般是给出
它的 概率密度函数 。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 45
一, 正态分布的定义
若 r.v X的 概率密度为
),(~ 2??NX记作
f (x)所确定的曲线叫作 正态曲线,
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
其中 和 都是常数,任意,>0，
则称 X服从参数为 和 的正态分布,
?2??
? 2?
?
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 46
正态分布有些什么性质呢？
由于连续型随机变量唯一地由它
的密度函数所描述，我们来看看正态
分布的密度函数有什么特点。
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 47
二, 正态分布 的图形特点),( 2??N
正态分布的密度曲线是一条关于 对
称的钟形曲线,
?
特点是,两头小，中间大，左右对称,,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 48
决定了图形的中心位置,决定了图形
中峰的陡峭程度,?
?
正态分布 的图形特点),( 2??N
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 49
能不能根据密度函数的表达式，
得出正态分布的图形特点呢？
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
容易看到,f(x)≥0
即整个概率密度曲线都在 x轴的上方 ;
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 50
故 f(x)以 μ为对称轴，并在 x=μ处达到最大
值,
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
令 x=μ+c,x=μ-c (c>0),分别代入 f (x),可
得
f (μ+c)=f (μ-c)
且 f (μ+c) ≤f (μ),f (μ-c)≤f (μ)
1()
2
f ?
??
?
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这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越
贴近 x轴。即 f (x)以 x轴为渐近线。
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
当 x→ ?∞ 时,f(x) → 0,
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用求导的方法可以证明，
??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
为 f (x)的两个拐点的横坐标。
x = μ? σ
这是高等数学的内容，如果忘记了，课下
再复习一下。
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根据对密度函数的分析，也可初步画出正
态分布的概率密度曲线图。
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回忆我们在本章第三讲中遇到过的
年降雨量问题, 我们用上海 99年年降雨
量的数据画出了频率直方图 。
从直方图，我们可以初步看出，年降
雨量近似服从正态分布。
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下面是我们用某大学男大学生的身高
的数据画出的频率直方图。
红线 是拟
合的正态
密度曲线
可见，某大学男大学生的身高
应服从正态分布。
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人的身高高低不等, 但中等身材的占大
多数, 特高和特矮的只是少数, 而且较
高和较矮的人数大致相近, 这从一个方
面反映了服从正态分布的随机变量的特
点 。
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请同学们想一想, 实际生活中具有这
种特点的随机变量还有那些呢？
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除了我们在前面遇到过的年降雨量和
身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，
如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作
物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，
射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等
等，都服从或近似服从正态分布,
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??????
??
xexf
x
,)(
)(
2
2
2
2
1 ? ?
??
服从正态分布 的随机变量
X的 概率密度是
),( 2??N
X的分布函数 P(X≤x)是怎样的呢？
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设 X~,),( 2??N X的分布函数是
?????? ?
??
?
?
xdtexF
x
t
,)(
)(
2
2
2
2
1 ??
??
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正态分布由它的两个参数 μ和 σ唯
一确定,当 μ和 σ不同时，是不同的正
态分布。
标准正态分布
下面我们介绍一种最重要的正态分布
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dtex
x t
? ??
?
?? 2
2
2
1)(
?
三、标准正态分布
1,0 ?? ?? 的正态分布称为标准正态分布,
??????
?
xex
x
,
2
1)( 2
2
?
?
其密度函数和分布函数常用 和 表示：)(x? )(x?
)(x?
)(x?
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它的依据是下面的定理：
标准正态分布的重要性在于,任何一个
一般的正态分布都可以通过线性变换转化为
标准正态分布,
根据定理 1,只要将标准正态分布的分布
函数制成表，就可以解决一般正态分布的概
率计算问题,
),(~ 2??NX
?
??? XY,则 ~N(0,1)设
定理 1
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书末附有标准正态分布函数数值表，有了
它，可以解决一般正态分布的概率计算查表,
四、正态分布表
)(1)( xx ?????
dtex
x
t
? ??
?
?? 2
2
2
1
)(
?
表中给的是 x>0时,Φ(x)的值,
当 -x<0时
x? x
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),,(~ 2??NX若
?
??? XY ~N(0,1)
若 X～ N(0,1),
)(
?
?
?
? ????? bYaP)( bXaP ??
)()()( abbXaP ??????
)()(
?
?
?
? ?????? ab
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由标准正态分布的查表计算可以求得，
这说明,X的取值几乎全部集中在 [-3,3]区间
内，超出这个范围的可能性仅占不到 0.3%.
当 X～ N(0,1)时，
P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826? ?
? ?P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544
? ?P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974
五,3 准则?
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将上述结论推广到一般的正态分布,
),(~ 2??NY 时，
6 8 2 6.0)|(| ??? ??YP
9544.0)2|(| ??? ??YP
9 9 7 4.0)3|(| ??? ??YP
可以认为,Y 的取值几乎全部集中在
]3,3[ ???? ?? 区间内,
这在统计学上称作, 3 准则,
（三倍标准差原则）,
?
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上一讲我们已经看到，当 n很大,p接
近 0或 1时，二项分布近似泊松分布 ; 如果
n很大，而 p不接近于 0或 1，那么可以证明，
二项分布近似于正态分布,
下面我们不加证明地介绍有关 二项分
布近似于正态分布 的一个定理，称为 棣莫
佛－拉普拉斯定理, 它是第五章要介绍的
中心极限定理的一个最重要的特殊情况,
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六、二项分布的正态近似
定理 (棣莫佛－拉普拉斯定理）
}
)1(
{lim x
pnp
npYP n
n
?
?
?
??
设随机变量 服从参数 n,p(0<p<1)的
二项分布，则对任意 x，有
nY
dte
x
t
? ??
?
? 2
2
2
1
?
定理表明，当 n很大,0<p<1是一个定值
时（或者说,np(1-p)也不太小时）,二项 变
量 的 分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
nY
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实用中,n 30,np 10时正态近
似的效果较好,
? ?
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例 1 将一枚硬币抛掷 10000次，出现正面 5800
次，认为这枚硬币不均匀是否合理?
试说明理由,
解, 设 X为 10000次试验中出现正面的次数，
采用正态近似,np=5000,np(1-p)=2500,
若硬币是均匀的, X~B(10000,0.5),
50
5 0 0 0
)1(
??
?
? X
pnp
npX
近似正态分布 N(0,1).
即
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=1-Φ(16)
)50 5 0 0 05 8 0 0(1 ????
≈0
此概率接近于 0，故认为这枚硬币不均匀
是合理的,
P(X≥5800) =1-P(X<5800)
50
5 0 0 0
)1(
??
?
? X
pnp
npX 近似正态分布 N(0,1).
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例 2 公共汽车车门的高度是按男子与车门
顶头碰头机会在 0.01以下来设计的,设男子
身高 X～ N(170,62),问车门高度应如何确定?
解, 设车门高度为 h cm,按设计要求
P(X≥ h)≤0.01
或 P(X< h)≥ 0.99，
下面我们来求满足上式的最小的 h.
再看一个应用正态分布的例子,
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因为 X～ N(170,62),)1,0(~
6
1 70 NX ?
)6170( ?? h ?故 P(X< h)= 0.99
?查表得 (2.33)=0.9901>0.99
6
170?h所以 =2.33,
即 h=170+13.98 184?
设计车门高度为
184厘米时，可使
男子与车门碰头
机会不超过 0.01.
P(X< h ) 0.99?求满足 的最小的 h,
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统计三大分布
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)(~ 22 n??记为
2? 分布1、
定义,设 相互独立,都服从正态
分布 N(0,1),则称随机变量：
所服从的分布为自由度为 n 的 分布,
nXXX,,,21 ?
22
2
2
1
2
nXXX ???? ??
2?
2? 分布是由正态分布派生出来的一种分布,
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2? 分布的密度函数为
?
?
?
?
?
?
?
??
??
00
0
)2(2
1
);(
2
1
2
2
x
xex
nnxf
xn
n
来定义,
其中伽玛函数 通过积分
0,)(
0
1 ??? ? ? ?? xdttex xt
)(x?
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2?由 分布的定义，不难得到：
),,( 2??N
1,设 相互独立,都服从正态分布
nXXX,,,21 ?
则
)(~)(1 2
1
2
2
2 nX
n
i
i ???? ?
?
??
)(~ 21221 nnXX ?? ?
),(~),(~ 222121 nXnX ??2,设 且 X1,X2相互
独立，则
这个性质叫 分布的可加性,2?
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应用中心极限定理可得，若
,则当 n充分大时,)(~ 2 nX ?若
n
nX
2
? 的分布近似正态分布 N(0,1).
则 可以求得,E(X)=n,D(X)=2n
),(~ 2 nX ?若
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T的密度函数为：
2
12
)1(
)2(
]2)1[();( ???
?
??? n
n
x
nn
nnxf
?
记为 T～ t(n).
定义, 设 X～ N(0,1),Y～,且 X与 Y相互
独立, 则称变量
nY
XT ?
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布,
)(2 n?
2,t 分布
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具有自由度为 n的 t分布的随机变量 T的数
学期望和方差为,
E(T)=0; D(T)=n / (n-2),对 n >2
当 n充分大时，其图形类似于标准正态分
布密度函数的图形,
0);( ?
??
nxfL im
x
t分布的密度函数关于 x=0对称，且
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由定义可见，
3,F分布
),(~),(~ 2212 nYnX ??
?定义, 设 X与 Y相互
独立，则称统计量
服从自由度为 n1及 n2 的 F分布,n1称为第
一自由度,n2称为第二自由度，记作
F~F(n1,n2),
2
1
nY
nXF ?
1
21
nX
nY
F ?
~F(n2,n1)
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即它的数学期望并不依赖于第一自由度 n1.
? ?
??
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
? ?
00
01))((
)()(
)(
),;(
2
22
2
21
21
2
1
1
2
1
2
1
2
1
21
21
x
xxx
nnxf
nn
n
n
n
n
n
n
nn
nn n
X的数学期望为,
2)( 2
2
?? n
nXE 若 n
2>2
若 X~F(n1,n2),X的概率密度为
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统计三大分布的定义、基本性质在
后面的学习中经常用到，要牢记 ！！
